（运筹学与控制论专业论文）bailey变换与一些新的q级数恒等式.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0 1 0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 5 7 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h eb a i l e yt r a n s f o r ma n ds o m en e w 口一s e r i e s - i d e n t i t l e s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c h e sa n dc y b e r n e t i c s t 、 1 u i r e c t i o n ：u o mb l n a t o r i c s a d v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rg u oj u n w e i n a m e ：c h e nj i n g a p r i l2 0 1 0 s h a n g h a i - r 一 华东师范大学学位论文独创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文 b a i l e y 变换与一些新的q - 级数恒等式， 是在华东师范大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名：篮盏 日期：州矿年月穆日 学位论文授权使用声明 b a i l e y 变换与一些新的q - 级数恒等式系本人在华东师范大学攻读学位期 间在导师指导下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。 本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相 关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许 学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文 加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘 要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。本学位论文属于 不保密，适用上述授权。 导师签名：本人签名：醴堑 一 本人签名：咝缒 一 日期珈归年朋哆日 _ r 一 陈静硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 张晓东教授上海交通大学数学系主席 洪渊教授华东师范大学数学系 杜若霞副教授华东师范大学数学系 摘要 w n b a i l e y 1 1 】给出了如下b a i l e y 变换：如果 风= q ，一r 押并且= 露胁一n 吩却， r = 0r = n 这里q n ，风，和厶需要满足一定的条件，使得相关的无穷级数都绝对收敛。 利用b a i l e y 变换，我们证明了下面的5 个恒等式： 薹躲= 争，n q ( 3 + 1 ) 2 c 1 - q 2 n + l ， 薹赢2 r t = o ( _ 1 ) n ( 1 + 9 4 n + l + q s n + 3 + q 1 2 n + 6 ) ， 薹器= f o o 3 州m c l - - q 2 n + l ， 薹怒= 驴州m c l - q 2 n + l ， 圣o o 丽q n 2 乩 据我们所知，前面两个等式是新的。另外，我们利用铲二项式定理和生成函数的 方法，证明了下面的新的等式： o o ( _ 1 1 ) q = n ( n + 1 ) z 2 u ( 一q ；q 2 ) ：0 0 ( 一1 ) n g m + 1 ) 2 z n - n = o ( 一z q ；q ) 2 n + l 厶n = 0 、7 1 它是l 毛a m a n u j a n 2 0 ，第1 3 页】“丢失的笔记本刀中一个等式的推r - ( z = 1 ) 。 数。 关键词：酽级数；恒等式；b a i l e y 变换；b a i l e y 对；q - - 项式定理；生成函 i i 如风 脚 = 脚 么 那 f a b s t r a c t i n 【1 l 】，w n b a i l e yf i r s tp r e s e n t e db a i l e y st r a n s f o r m 【2 7 - i f t h e n ， no o 阮= a 柏一，扣a n d = 露n 蜘棚 r = 0r = ：n q n = 风如，q n 2 乙玩 n = 0 s u b j e c tt oc o n d i t i o n so nt h ef o u rs e q u e n c e so l n ，风，a n d 矗，w h i c hm a k ea l l t h ei n f i n i t es e r i e sa b s o l u t e l yc o n v e r g e n t b yu s i n gb a i l e y t r a n s f o r m ，w ec a np r o v e t h ef o l l o w i n gf i v ei d e n t i t i e s ： o 矿( g ；q 2 ) 竹 r ! ：堕2 惫( - q ；q ) 2 n r o o q n r 急( 一g ；q 2 ) n 0 ( 二1 2 ：笙 鲁( - q 2 ；q 2 ) n 。j ! 三，t ( 2 n 2 + n ) r 竺：! 鲁( - q ；q ) 2 n + 1 o 。 = ( 一1 ) n q n 鼽+ 1 ) 2 ( 1 一q 2 n + 1 ) ， n = 0 = z ( - 1 ) n q 6 n 2 ( 1 + q 4 n + 1 + 9 8 n + 3 + q 1 2 n + 6 ) ， n = o = q 似槲d 胆( 1 一q 2 n + 1 ) ， n = o ： 里： ：1 ( - q ；q 2 ) n + 1 “ 矿( 鼽+ 1 ) 2 ( 1 一q 2 n + i ) ， a sw ek n o w n ，t h ef i r s tt w oi d e n t i t i e sa r en e w f u r t h e r m o r e ，c o m b i n e dq - b i n o m i a l t h e o r e mw i t hg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，w eg a v et h ef o l l o w i n gn e w i d e n t i t y ： = ( 一1 ) q 州m 扩 n = o t h ea b o v ei d e n t i t yi sag e n e r a l i z a t i o ni na a l l l a n u j a n s “l o s tn o t e b o o k 【2 0 ，p 1 3 1 ( z = 1 ) k e y w o r d s ：q - s e r i e s ；i d e n t i t i e s ；b a i l e y st r a n s f o r m ；b a i l e yp a i r s ；q - b i n o m i a l t h e - o r e m ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n s i i i 脚 脚 脚 h 一 舻一 丝h ”一口”面! 卜 型 脚 目录 第一章引言1 第二章对称的双边b a i l e y 变换5 第三章共轭b a i l e y 对7 第四章等式( 1 8 ) - ( 1 1 3 ) 的证明8 第五章关于a n d r e w s - w a r n a a r 等式的一个注释1 7 参考文献1 9 作者申请硕士学位期间完成的工作2 2 致谢2 3 r b a i l e y 变换与一些新的g 级数恒等式 第一章引言 b a i l e y 在1 9 4 7 年给出了著名的b a i l e y 变换公式 1 1 1 ，如果 no o 风= 口，一，+ r 并且= 西胁一n 蜘扣， r = or = ：n 那么， 这里a n ，风，和如需要满足一定的条件，使得相关的无穷级数都绝对收敛。 这里先介绍本文所用到的g - 级数中一些符号记法( 参见【1 3 】) ： ( o ；q ) o = 1 ， ( n ；g ) n = 1 - ( 1 一a q 詹) ， ( 。；g ) 。= i i ( 1 一a q 七) ，i q l 1 ( a l ，a 2 ，a m ；q ) n = ( a l ；g ) n ( 0 2 ；g ) n ( 口m ；口) n ( 儿= 1 ，2 ，) ， ( a l ，a 2 ，a m ；g ) 。= ( a l ；g ) ( 0 2 ；口) 。( a m ；g ) ，i q l 1 州拆( 。嚣舭) _ 砉喾涨 b a i l e y 【1 1 】利用这个变换公式以及b a i l e y 引理，得到了许多基本超几何级数 的变换公式，同时也利用这些公式得到了一系列的r o g e r s - r a m a n u j a n 类型的恒 等式。 b a i l e y 同时也在文献f 1 1 】中指出，利用b a i l e y 变换证明等式的过程比较简 单，只需交换双重级数的和号。值得一提的是，b a i l e y 自己并没有用过b a i l e y 变 换的一般形式，他仅仅运用了其特殊形式，即 q n = 丽1 ：，风= 面1 而， 以及 氏= 哗熘祭i p l p 2 9 一“n 一1 ；口) n 1 加 风 脚 = n q 脚 b a i l e y 变换与一些新的口一级数恒等式 此时，根据b a i l e y 变换， ，( a q l p l ；q ) ( a q p 2 ；q ) ( 一1 ) 竹( p 1 ；口) n ( 仡；g ) n 国一；g ) n ( o q p 1 p 2 ) n q n n - ( ；) 2 弋面瓦瓦磊画而而而而丽刁鬲瓦面而啊f 一。 后面将要看到，找出恰当的( a n ，风) 对恒等式的证明是很重要的。 定义1 1 ( b a i l e y 对) 我们将满足下面条件的序列对( a n ( 口，口) ，风a ，g ) ) 称 为b a i l e y 对，即对于n 0 ，有 风2 赢冀赫 在【1 1 ，1 4 】中，b a i l e y 给出了下面的“b a i l e y 引理( 也可参见【2 ，第三章】) 的基本结论，它其实是b a i l e y 变换的一个结果。 定理1 2 ( b a i l e y 引理) 如果( a na ，口) ，风a ，口) ) 是一组b a i l e y 对，那么我们有 赢要型糍竽堕( 最) 撕，( 署；q ) n ( 薏；g ) n 急 ( 口- 口) 州、舢2 m r 心 =蠕qj帽(p；lgjr；ql)gqr(p2肛；q)邶r口gmr(触aq丫06aq ( 。，口) 台l p l ，q m 嚣；g j r l g ；q j m l o 口；g j 卅r p 1 砌 p 州 b a i l e y 发现了b a i l e y 变换和b a i l e y 引理以后，他一共考虑过5 种类型 的b a i l e y 对，并且跟d y s o n 一起推导出了一些恒等式【1 1 ，1 4 。不久，s l a t e r 通 过自己的计算，又发现了9 4 种类型的b a i l e y 对，并由此推导出了1 3 0 个恒等 式( 参见【2 4 ，【3 0 】) 。2 0 多年之后，有很多数学家开始研究关于r o g e r s - r a m a n u j a n 型的恒等式，这其中有a l d e r ，a n d r e w s ，b r e s s o u d ，c a r l i t z ，和g o r d o n 。尤其 是a n d r e w s 【7 ，8 】将w n b a i l e y 所定义的b a i l e y 变换和b a i l e y 引理推广 到多个参数的更一般的形式【3 】3 ，从而也得到了一些新的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。此外，他还证明了由s l a t e r 【2 6 ，2 8 1 给出的1 3 0 个等式可以写 成多重级数的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。随着计算机在数学方面的应 用，p a t t i e ，r i e s e ，w i l f ，z e i l b e r g e r 和一些其他的人关于r o g e r s - r a m a n u j a n 型 b a i l e y 变换与一些新的g 级数恒等式 恒等式，做出了很大贡献。同时，其中的一些人也进一步提高并延拓了b a i l e y 引理和b a i l e y 变换，例如，a n d r e w s 【3 给我们展示了b a i l e y 引理是如何自我 复制的，并由此推导出了一系列“b a i l e y 链”。并且a n d r e w se ta l 【1 0 】发现 了a 2 型b a i l e y 引理，a n d r e w s 和b e r k o v i c h 【4 ，5 1 又将b a i l e y 链推广到了b a i l e y 树，此外，b e r k o v i c h 和w a r n a a r 【1 5 】给出了b a i l e y 链的进一步深入和延伸。而 本文也是b a i l e y 变换的一个应用。 在r a m a n u j a n 的“丢失的笔记本【2 0 ，p 1 3 】( 也可参见【6 ，9 3 节，2 2 7 - 2 3 2 页】) 里面，给出了下面的5 个假t h e t a 函数： fi(-1)nqn(+1)(q；q2)n：oo(一1)n口n(州)2，q) n ：o 2 n + 1 名、 。 壹-m怨黑：壹(-1)v”，q) 名( _ g 2 州台一 a 0 n = o o ( g ；q 2 ) 。q n r ! 竺12 厶( - q ；q ) 2 n + 1 n = o 、 ”十1 0 ( q ；- q ) 2 n q ” 乞( 一g ；q ) 2 n + 1 亟二1 2 竺生亟里：2 竺竺： ( - q ；g ) 2 n + 1 = ( 一1 ) 心q 咖“脾， n = o = z ( - 1 ) ”口2 n 肼， n = o = ( 一1 ) 心q 咖+ 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 这里l q l 1 通过运用b a i l e y 变换，a n d r e w s 和w a r n a a r 【9 】给出了等式( 1 1 ) - ( 1 4 ) 的证 明。他们同样也得到了很多既是假t h e t a 函数又是部分t h e t a 函数的新等式，例 如下面的( 1 2 ) 式的一个一般等式 妻地毪掣：oo等z哪产川q)2 怠 【一g ；n + l 高l z 还有下面的一个比较奇妙的式子 o o 可2 嘿：1 + 妻( 圳知， (16)q；q 鲁( 一q ；9 2 ) “( 一2 ) 州鲁、叫 p “7 3 b a i l e y 变换与一些新的口级数恒等式 这里 ，( n ) = 礼+ k如果 2 k 2 2 k + 1 佗2 k 2 + 2 k ( 1 7 ) 在本论文中，我们给出了( 1 1 ) 式的一个更一般的式子 以及，通过b a i l e y 变换，我们给出了下面的口级数恒等式 ( 1 8 ) 薹躲= 蜘n = 0 ) n q n ( 3 n + 1 ) 2 ( 1 + q 2 n + 1 ) ， ( 1 9 ) q n 磊2 ( _ 1 咿( 1 + q 4 n + 1 _ q s + 3 + q 1 2 + 6 ) ， ( 1 1 0 ) 薹器= 静州脾c 1 - q 2 n + l ， 薹= 脚妻q n ( 3 n + 1 ) 2 c 1 - - q 2 n + l ， 阻埘 三丽q n - _ 1 ( 1 1 3 ) 据我们所知，等式( 1 8 ) ，( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 是新的恒等式，而( 1 i i ) 式是胁 m a n u j a n 的“丢失的笔记本 【2 0 ，p 3 6 ：里面的- - 个等式。值得指出的是( 1 1 3 ) 式是r o g e r s - f i n e 恒等式【1 7 ，e q ( 1 4 1 ) 】的一个特例。特别地，等式( 1 8 ) 中， 当z = 1 ，就是g e a n d r e w s 和s o w a r n a a r 所证的等式( 1 1 ) 式。在文章的 结尾，我们给出了( 1 1 3 ) 式的有限形式。 4 b a i l e y 变换与一些新的口级数恒等式 第二章对称的双边b a i l e y 变换 在【1 1 】里面，w n b a i l e y 首次将b e i l e y 变换展示给我们( 也可参见【2 7 ， 第2 4 节，5 8 7 4 页】) 。 引理2 1 ( b a i l e y 变换) 如果 0 0 并且= 矗胁一n 蜘佃， 这里q n 风7 n 和矗需要满足一定的条件，使得相关的无穷级数都绝对收敛。 这是因为 o o a 。= n = o q n 西胁一玎蜘+ ， n = or = 竹 q n 4 肌n 咋韧 r = on = o 屏4 而我们下面某些等式的证明只需要用到b a i l e y 变换的一种变形，即对称的双 边b a i l e y 变换，可参见文献【9 】。 引理2 2 ( 对称的双边b a i l e y 变换) 如果 n 风= 一，u n + r 并且= 矗胁一n 诈+ n ， ( 2 1 ) r 2 一n r = l n l 那么， o o q n = 风厶， 竹= 一n = o ( 2 2 ) 这里口n ，风，和以需要满足一定的条件，使得相关的无穷级数都绝对收敛。 5 + 一np a 住脚 = 风 靠风 脚 = 脚 么 那 b a i l e y 变换与一些新的q - 级数恒等式 类似于b a i l e y 引理的证明方法，我们可以很快地证明引理2 2 ，参见文 献 9 1 。在下一章，我们将给出一些满足( 2 1 ) 式的序列对( ，矗) ，称为共 轭b a i l e y 对。 6 b a i l e y 变换与一些新的q 一级数恒等式 第三章共轭b a i l e y 对 我们将会用到两个共轭b a i l e y 对( ，如) ，并且这两个共轭b a i l e y 对需要满 足对称的双边b a i l e y 变换( 2 1 ) 。 定理3 1 在对称的双边b a i l e y 变换中，如果我们取脚= v n = 1 ( q 2 ；q 2 ) 。，并且 死：f ( q 2 ；q 2 - ) 2 , 一z q n ， ( 3 1 ) 那么 = q 彳f q r ( 件( 3 2 ) a n d r e w s 和w a r n a a r 【9 】主要运用了下列超几何级数中的一系列变换证明了 定理3 1 ，其中包括h e i n e 变换【1 8 ，3 5 9 页，e q ( 3 2 ) 】 2 ，( 乞6 ；口，二) = 量专竺瓣2 妒( 。b ：6 ；g ，c ：) ， 文献 1 8 ，1 0 0 页，练习3 2 】中的 砒a , ；q , - z ) = 踺旗一彳) ， z i i 和r o g e r s - f i n e 恒等式【1 7 ，e q ( 1 4 1 ) 】 妻赫矿= 薹器c 1 - a z q z n 矿一“，台( 6 ；q ) r 。鲁( 6 q ) r ( 刑) n + 1 、 八川 。 同样地，我们有下面的定理： 定理3 2 在对称的双边b a i l e y 变换中，如果我们取纵= = 1 ( 9 2 ；9 2 ) n 并且 氏= ( g ；q ) 2 n q n ，( 3 3 ) 那么 = q 勘2 口掣 ( 3 4 ) 1 b a i l e y 变换与一些新的g - 级数恒等式 第四章 等式( 1 8 ) 一( 1 1 3 ) 的证明 有了定理3 1 我们就可以推导出等式( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 。同样地，有了定 理3 2 ，我们就可以推导出等式( 1 9 ) - ( 1 1 1 ) 。这些证明不定是最简单的，但是 说明了由a n d r e w s 和w a r n a a r 9 】9 所推导出的b a i l e y 变换，是口- 级数恒等式证明 中的重要工具。现在，通过引理2 2 结合对称的双边b a i l e y 变换和定理3 2 ，我 们可以得到 定理4 1 如果n 是一个非负整数，并且 风2 三两若赢丽， 那么 o oo o 【 j ( 伽) 凯q n 风= g ( 吉1 ) 口一2 n 2 n 2 0 j 2 0 - - - - l j 这里q n ，佛需满足一定的条件，使得相关的无穷级数绝对收敛。 定理4 1 的证明参见 9 】。由上面的定理，我们有 定理4 2 等式( 1 9 ) 成立，即 妻磐亟：壹(一1)nqnc：-n+1)2(1+口2n+t)q；q) 台( 一2 n 鲁 卜叫广 证明：在定理4 1 中取 a n = ( 一1 ) n g n ( 3 t i + 1 ) 2 ，则有风= 石( q 丽；q 2 ) n 这里用到了等式【2 6 ，g 1 ，即 ( q ；a s ) no( 一1 ) r q r ( 打+ 1 ) 2 一= ( q 2 ；q 2 ) 2 n 幺( q 2 ；口2 ) 州( q 2 ；q 2 ) n + ， 8 b a i l e y 变换与一些新的q - 级数恒等式 因此， 我们可以看出 因此就有 薹躲= 扣k m 【 j = q ( 吉1 ) ( 一1 ) 竹q 邮州) 2 q 勘2 j 2 0 n = 一g j 【吾j = g ( 吉1 ) ( 一1 ) n g 一( j = o n = 一【 j j ( 一1 ) n q 一( ；) = ( 一1 ) 。g 一( ”抄 r 1 - - - - - - 3 薹躲= 泓j = o 妁，i 2 一j ql 2 咿删2 = ( 一1 ) q 3 州脾( 1 + 9 2 州) 定理4 3 等式( 1 1 0 ) 成立，即 证明：在定理4 1 中取 则有 o o = ( 一1 ) 棚q 舻( 1 + 口4 州+ q 跏+ 3 + 9 1 2 n + 8 ) n - - - - - 0 q 2 m = ( 一1 ) m q 2 m ( 3 m + ，a 2 m + 1 = 0 ， 阮= 丽蒜 9 ( 4 1 ) 口 _ h n 舻孬丝 脚 b a i l e y 变换与一些新的口级数恒等式 这里用到了等式【2 6 ，c 1 ，即 1 芒 ( 一1 ) 胁q ( 卅1 ) 两丽2 r 毫l 两磊丽丽磊 定理 证明 o o 【j g ( 吉1 ) a n q 锄2 j 2 0 - = - l j j q n q 以护 7 1 - - - - - - 3 = ( q ( 对1 ) + g ( 2 g 川舻 o o 【j j 2 0 - , - - - l j 【j ( 一1 ) m q q m 一1 7 t , - - = 一【量j = ( 一1 ) l j q 2 j 2 钾。2 l 2 j l 2 j + 1 ) + ( 一1 ) l z 2 。j q 2 j 2 + 州。2 2 j ( 1 2j “ 、l 、 孔，件2p 、 g + n ，弩 口 ， 伽 = l + 暂 + 巧 g + + 巧 g ，一 舢 = b a i l e y 变换与一些新的g 级数恒等式 这里用到了【2 6 ，4 7 0 页1 中第三个等式，即 因此， ( - q ；q 2 ) n ：生! 坚塑竺! ： ( q 2 ；q 2 ) 2 n 幺( q 2 ；q 2 ) n r ( 9 2 ；q 2 ) n + r = ( 口g ) 2 n q n 风 n = o o 。【 j = g ( 言1 ) ( 一1 ) ( ”执邢州) 2 q 掰 j 。o , , = - t i j o o【丢j = g ( 三1 ) ( 一1 ) ( “一( 三) j 2 0 n = 一【j = 口( 轨一1 ) 咄一g ) 一【弧卅1 ) 2 = ( 一1 ) ( 1 ) 矿( 劫+ 1 ) 2 ( 1 + q 2 j + 1 ) ， j = o 在( 4 2 ) 式中将q 替换成一口，我们就完成了定理的证明。 为- g i 正n 等式( 1 1 3 ) 和( 1 1 2 ) 我们需要下面的定理： 定理4 5 如果佗是一个正整数，并且 那么 妻垡盟型芋：壹矿，壹qnq_n2(-q；q)2 名 州 每1昌“1 这里q n ，风需满足一定的条件，使得相关的无穷级数绝对收敛。 定理4 5 的证明和定理4 1 类似，参见【9 】。 1 1 ( 4 2 ) 口 ( 4 3 ) ( 4 4 ) 一 一筠一铲 n = 风 b a i l e y 变换与一些新的口一级数恒等式 定理4 6 等式( 1 1 3 ) 成立，即 薹而q 丽n 2 乩 证明：在定理4 5 中取 o t 2 m = ( 一1 ) m q 2 m ( m + 1 ) ，q 2 仇+ 1 = 0 ， n t l 2 一，l 则有屏2 两焘丽 这里用到了等式【2 6 ，c 5 】，即 q n 2 - - n 芒 ( 一1 ) 胁q ( r + 1 ) 两而2 ，毫j 两际而 因此， = 一”a n q 哪2 j = on , - - - - - - j o o 【j = 一呻( 一1 ) 一q 2 巾。 j 2 0 t = 一嘲 = y ( - - 1 ) j q j 2 钾一2 【j ( 嘲+ 1 ) = 1 定理4 7 等式( 1 1 2 ) 成立，即 薹= p o o m 1 ) 2 c 1 - q 2 n + l q ) 2 n + l ， 台( - g 幺y 、 p 警 矿一弼以f 脚 = 一li 矿孕一g一卜 脚 勺 + 严 + 0 暂 gd 一 舢 = b a i l e y 变换与一些新的g - 级数恒等式 证明：在定理4 5 中取 a 一t = 一互19 6 m 2 2 m ，a 3 m = q 6 m 2 - 2 m , a 3 m + 。= 一丢9 6 m 2 + 2 m ，则有阮= 参见 2 6 ，a s 。因此， 我们很容易地看出 ( q 2 ；q 2 ) 2 。q n 风 ( - q ；q ) 2 n + 1 o o j = 矿叶”口。q 叫2 j = on - - - - - - j o o 3 j = q 吲聃d q n q 彳+ j = on = - - 旬 3 j + 1 q 竹q 哪2 = 3 j + 2 q + 2 坍3 t l = 一( 3 j + 1 )n = 一j 歹 = n = 一j n = - - 3 j n - - - - - ( 巧+ 2 ) q 惭+ j = o 口n 口一矿 q 2 n 2 ( q 2 ；q 2 ) 2 ，l 。 3 j + 1 1 脚+ 2 q n q 哪2 n = - - ( 3 j + 1 1 ( a 3 n q - ( 3 n ) 2 + a 3 n - 1 q 一( 3 n 1 ) 2 + q 3 n + l q 一( 3 n + 1 ) 2 ) ( g 一3 n 2 一盔n 一互1q 一- 3 n 2 + 4 n - 1 一互1q 一3 | n 2 4 n 一1 ) ( q - 3 n 2 - 2 n q 一3 n 2 一缸一1 ) = ( 口川m 以) 一口七+ 1 ) ( 3 卅1 ) n - - - - - 3 = 口一跖2 一笱一g 一巧2 4 j 一1 ， n塾口彳：f，菱刚彳)_；_lq-(3j+1)2_o。3j+lq-(3j+1)2c。-3j-1k q 矿舻= i 刚2l n = 一3 j n = - ( 3 j - t - 1 ) = g 一巧2 ， 1 3 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 脚熹 脚 = 瞧，玎舻) + n - 靴g 柏+ 2 ) 2 + 倒响+ 2 ) 2 = 一口一巧2 一句一1 ( 4 8 ) 通过结合等式( 4 5 ) 一( 4 8 ) ，我们有 = q 钐2 卅+ ( g 酽蜘+ 2 一扩埘“) 一 j = oj = o = q 似3 计d 胆( 1 一q 2 n - i - 1 ) 定理4 8 等式( 1 8 ) 成立，即 ( - 1 ) n q n ( n + 1 ) z 2 n (： 名 【一g ) , 2 时1 q ；q 2 ) n z q ； o o ( 一1 ) n q n ( n + 1 ) 2 矿 证明：根据q - - 项式定理，我们将1 ( - z q ；q ) 2 n + 1 展开，即 ( - z q ；q ) 2 n + l 这里嘲是口二项式系数，定义为： 所以， o o 一尼卜吁， 黔 母= 洲 ( 一1 ) n q n ( 1 ) 名2 n ( g ；q 2 ) n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一：= ( - z q ；q ) 2 n + 1 等式( 4 9 ) 的右边可以重新写为 ( 一1 ) n q n ( 计1 ) z 2 n ( g ；q 2 ) n ( 一1 ) n q n ( n + 1 ) 名2 n ( g ；q 2 ) n 1 4 o o 矿毒1 附 口 一后卜v ， ( 4 9 ) + +叮 g ：i 一“： i k 生一 脚 脚 脚 脚脚脚 脚 b a i l e y 变换与一些新的g - 级数恒等式 = 争州薹( 。r 知髅严如彪n = 0凫= o 、171 ， 、1 ，1 ，7 - 2 三一d ( - 1 r 七揣t i * 嘞詹n = 0 七= o 、1 。1 、z71 ， 在上面的等式中，比较z m 的系数可知，等式( 4 9 ) 等价于 。m 踹q 2 ) q ) k = 筹 七急m ( 9 2 ；n ( 口； ( g q ) m 。 卜d w 由e u l e r 定理( 参见【1 ，推论2 2 】) ，我们有 三o o1 q m ( m 而+ 1 ) - 2 z m = ( 删；扎 ( z 2 q 2 ；口2 ) ：= = - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( z q ；g ) = 薹锩茅名2 n 薹鑫 比较等式( 4 i i ) 两边名仇的系数，我们就得到了( 4 1 0 ) ，这就证明了( 1 8 ) 。 口 显然，当z = 1 时，( 1 8 ) 式就可以化简成r a m a n u j a n 类型的假t h e t a 函数恒 等式( 1 1 ) 。当z = 一1 时，( 1 8 ) 式就可以写成： 薹藩筹生q 2 n + 1 ) = 争州怕= 赫 心 台( 口2 ；9 2 ) n ( 1 一一幺q一弋i 百虿= 峥j 纠 这是由g a u s s 定理( 参见1 ，推论2 1 0 1 1 得来的。我们注意到： = 0 ， = ( q 2 ；q 2 ) ， 我们将( 4 1 2 ) 式和( 4 1 3 ) 式相结合，可得 薹高群斋= 糌 1 5 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 产一槐一魏 川一唧一 脚脚 b a i l e y 变换与一些新的g 级数恒等式 而我们将( 4 1 2 ) 式和( 4 1 4 ) 相结合，可得 霎嵩茉高= 赫一c q 2 ；q 2 q 2 ) q ) o o k 台( 9 2 ；n ( 1 2 叶1 ) ( g - 口2 、胂 1 6 b a i l e y 变换与一些新的g 一级数恒等式 第五章关于a n d r e w s - w a r n a a r 等式的一个注释 在【9 ，1 8 2 页】中，作为a n d r e w s 和w a r n a a r 结果的一个特例，他们给出tf 面的等式： 丽( _ q ；q 2 ) n q n = e 1 1 q ( 6 1 ) 名( 一口2 ；q 2 ) 州 一 w “7 这里，我们指出( 1 - 1 3 ) 和( 6 1 ) 式可以统一写成： ， 量糕卜南1 a b ( 6 2 ) 台( n g g ) 州p 一。 _ “7 例如，我们在( 6 2 ) 式中做这样的替换：q _ q 2 ，a 一一1 ，和b _ 一q ，马上就得 到( 6 1 ) 式。为了证明( 6 2 ) ，只要注意到： 糕卜高( 微卜警辫r 1 ) 然后对n 从0 到o 。求和即可。 - - ：y 面，( 6 2 ) 也可以通过下面的r o g e r s - f i n e 恒等式【1 7 ，e q ( 1 4 1 ) 】简单地推导出来： 薹镞灶薹器c 1 - a z q 2 n 矿一， 3 ， 或者运用下面的对称恒等式【1 9 ，e q ( 1 2 ) 】： 薹而( a z ；q ) n 矿= 薹o 。而( b z ；q ) n 以 ( 6 4 ) 此外，如果我们将( 6 2 ) 式的左边写成 志2 1 ( 口b , q ；a q 2 ；q , a b ) ， ( 6 5 ) 那么，( 6 2 ) 式就可以通过h e i n e 变换 1 8 ，p 2 4 1 ，i i i 1 】 。(。，6；c；口，z)=气；糕2t(cb,z；az；q,b) b a i l e y 变换与一些新的口一级数恒等式 和q _ - - 项式定理得到。 另一方面，如果我们在( 6 2 ) 式中将a 替换成一a ，并且令b 一0 ，那么将得 到 乒掣：1 ( 6 6 ) 鲁( _ 0 口) 州一 、7 我们可以从( 6 3 ) 式中，很容易给出( 6 6 ) 式的一般等式： 薹黛( - a q q ) k + l 二薹甓答 7 ， 乞 m ； 乞( 口；g ) m 一七。 、7 此外，当m = 0 和m = 1 时，等式( 6 7 ) 分别有下面的有限项的模拟： n k = o n 吾i 等式( 6 8 ) 和( 6 9 ) o 七q ( ：) 这里1 ( q ；口) 一1 = 0 这里厂( n ) 与( 1 7 ) 来。 ( q g ； 1 一( 口；g ) n ( 1 + a q n ) 1 + a a q + a q n + 1 2 面不矿瓦两f 丽。 ( 6 8 ) ( 6 9 ) l 喜 而盟加盟 0 一一 一七裂揲 g h 州 i 甚 一 一茹 小 势一叼 一 水一一 n x 二，r 址 型小 磊 和 面 参考文献 参考文献 【1 】1g e a n d r e w s ，t h et h e o r yo fp a r t i t i o n s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ， 1 9 9 8 【2 】g e a n d r e w s ，q - s e r i e s ：t h e i rd e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o ni na n a l y s i s ，n u m b e r t h e o r y , c o m b i n a t o r i c s ，p h y s i c s ，a n dc o m p u t e ra l g e b r a ，c b m sr e g i o n a lc o n f s e r i nm a t h ，v 0 1 6 6 ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 8 6 【3 】g e a n d r e w s ，m u l t i p l es e r i e sr o g e r s - r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e s ，p a c i f i cj m a t h 1 1 4 ( 1 9 8 4 ) ，2 6 7 - 2 8 3 【4 】g e a n d r e w s ，b a i l e y st r a n s f o r m ，l e m m a ，c h a i n sa n dt r e e ，i n ：j b n s t o z ，e ta 1 ( e d s ) ，s p e c i a lf u n c t i o n s2 0 0 0 ：c u r r e n tp e r s p e c t i v ea n df u t l l r ed i r e c t i o n s ，k l u w e r a c a d e m i c ，d o r d r e c h t ，2 0 0 1 ，p p 1 之2 【5 】g e a n d r e w s ，a b e r k o v i c h ，t h ew p b a i l e yt r e e ，j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 6 6 ( 2 0 0 2 ) ，5 2 9 - 5 4 9 【6 】g e a n d r e w sa n db c b e r n d t ，r a m a n u j a n sl o s tn o t e b o o k ，v 0 1 1 ，s p r i n g e r ，n e w y o r k ，2 0 0 5 f 7 】g e a n d r e w s ，ag e n e r a lt h e o r yo fi d e n t i t i e so ft h er o g e r s - r a m a n u j a nt y p e ，b u l l a m e r m a t h ，s o c 8 0 ( 1 9 7 4 ) ，1 0 3 3 - 1 0 5 2 【8 】g e a n d r e w s ，a na n a l y t i cg e n e r a l i z a t i o no ft h er o g e r s - r a m a n u j a ni d e n t i t i e s f o r o d dm o d u l i ，p r o c n a t l a c a d s c i u s a7 1 ( 1 9 7 4 ) ，4 0 8 2 - 4 0 8 5 【9 1 g e 。a n d r e w sa n ds o w a r n a a r ，t h eb a i l e yt r a n s f o r ma n df a l s et h e t af u n c t i o n s ， r a m a l l l u j a nj 1 4 ( 2 0 0 9 ) ，1 7 3 - 1 8 8 【1 0 】g e a n d r e w s ，a s c h i l l i n ga n ds 0 w a r n a a r ，a na 2b a i l e yl e m m aa n dr o g e r s - r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e s ，j a m e r m a t h s o c 1 2 ( 1 9 9 9 ) ，6 7 7 - 7 0 2 【1 l 】w n b a i l