（计算数学专业论文）板问题的区域分裂算法.pdf

摘要 本论文对薄板弯堕避提出一种带m 旦苎丝条佳的t r u n c 有 、- - _ _ _ - - _ _ 一_ ，_ 一 限元逼近。先把求解区域q 划成若干几何协调的小区域，在每个小 区域上各自独立地作拟一致三角形剖分假设真解u + h 3 ( q ) n 硪( q ) ，右端项，l 2 ( q ) 。只要在子区域交界面上，t r u n c 有限元解的函数值、切向导数和法向导数各自满足相应的m o r t a r 条件，我们将证明此方法得到的有限元解与真解的能量模误差最 优，即与不带m o r t a r 条件的t r u n c 元解有相同的精度。 我们用堡查型垒重圈整左法求解此问题。并证明用共轭梯度 法作迭代算子时，该方法( c c g ) 可以达到能量模意义下的最优， 计算复杂度接近最优我们还用经典多重网格方法( 可变的v 循 环、v - 循环) 求解带m o r t a r 条件的t r u n c 元解，证明所构造 的网格转移算子满足收敛性条件，从而传统多重网格方法作预处 理的条件数为一致有界。 ，、 另外，我们还将给出一种求m o r l e y 元解新的预处理方法。该 方法的思路是，首先在整体粗网格( 网格大小为日) 上求有限竞 解，再在某个小区域q o 中用较细的网格( 大小为h ) 校正，这样得 到的解在一个更小的区域d 上具有o ( h + h 2 ) 阶收敛性。将此思 路推广开来，我们可以设计并行校正算法，即将q 分为若干个可 以是几何非协调的小区域功，并扩展到q f 将粗网格上的整体解 并行地在q ，校正，最后得到的解具有整体o ( h + 日2 ) 阶收敛性 我们的数值结果与理论分析完全一致 摘要 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，am o r t a rt y p et r u n ce l e m e n tm e t h o df o rs o l v i n g p l a t eb e n d i n gp r o b l e m i se s t a b l i s h e d a l lt h es u b d o m a i n so fqa r et r i a n g u l a t e di n d e p e n d e n t l y a tt h ei n t e r f a c e s ，t h r e em o r t a rc o n d i t i o n s ，o n e f o rt h es o l u t i o ni t s e l fi np o i n t w i s ew a y , t h eo t h e rt w of o rt h en o r m a l a n dt a n g e n t i a ld e r i v a t i v e so ft h es o l u t i o ni np r o j e c t i o nw a y , a r eg i v e n t oa s s u r et h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o d t h ee r r o re s t i m a t ei ne n e r g y n o r mi so b t a i n e du n d e rt h er e g u l a r i t ya s s u m p t i o n st h a tt h ee x a c ts o l u t i o nu + h 3 ( q ) n 研( q ) a n d l 2 ( q ) t h ee r r o ro r d e ri so p t i m a l ， t h es a m el i k et h eu s u a lt r u n ce l e m e n te m t h o d ac a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o df o rt h i sm o r t a rt y p et r u n ce l e m e n t i s p r o p o s e d t h i sm u l t i g r i ds o l v e r i s p r o v e nt op r o v i d et h es a m ea c c u r a c ya st h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o nw i t hr e s p e c tt oe n e r g yn o r m ，a n d t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yi ss u b o p t i m a l m o r e o v e r ，c l a s s i c a lm u l t i g r i dm e t h o d s ，s u c ha sw c y c l ea n d v a r i a b l ev c y c l e ，a r es h o w nt ob e c o n v e r g e n tu n i f o r m l y f o rt h i sm o r t a r t y p et r u n c e l e m e n t an e wt w o l e v e lm e t h o df o rm o r l e ye l e m e n ti sp r e s e n t e d t h em a i n i d e ai s ：f i n das o l u t i o nb a s e do nt h eg l o b a lc o a r s et r i a n g u l a t i o no fs i z e h ，a n dt h e nc o r r e c ti t i nas u b d o m a i nq ow i t hf i n e rg r i d so fs i z eh s u c hs o l u t i o ni sp r o v e nt ob ea c c u r a t ea so ( h + 日2 1o nas m a l l e rs u b d o m a i nd w em a ya l s oa p p l yt h i sm e t h o dt og e tap a r a l l e lc o r r e c t i o n a l g o r i t h m ，w h e r eq i sd i v i d e di n t os u b d o m a i n s 功w h i c h m i g h t b en o n g e o c o n f o r m i n g e a c hd ji s e x t e n d e dt os u b d o m a i nq w ec o r r e c tt h e g l o b a lc o a r s es o l u t i o no n e a c hq p a r a l l e l l y , t oo b t a i nag l o b a ls o l u t i o n w i t ha c c u r a c yo fo ( a + h 2 1 摘要3 f i n a l l y , n u m e r i c a le x p e r i m e n t s a r ep r o v i d e dt os h o wt h ev a l i d n e s s o fa b o v et h e o r e t i c a lr e s u l t s 板问题的区域分裂算法 第一章引言 本论文主要研究板问题的一些区域分裂算法及其快速求解首先，我们回顾一下 有关m o r t a r 方法的已有成果在某种程度上，m o r t a r 元方法可以看成是非重叠区域 分裂法的一种，其在各子区域上可以有不同的网格剖分【1 8 ，1 9 】甚至，不同的子区域 内可以采用不同的离散方式b e m a r d i 等提出了在子区域交界面耦合谱方法和有限元 方法的两种m o r t a r 条件，并证明了其收敛性【1 7 ，1 6 】在不同的子区域内可以根据需 要采用不同的有限元空间因此，我们可以采用一种整体结构化、而局部非结构化的 网格【1 4 ，这在实践中很容易实现到目前为止，m o r t a r 有限元方法已经被广泛用 于各类数学物理问题，如接触问题【6 7 】，拟线性椭圆边值问题【6 5 】、三维问题 2 5 、 有限体积法【5 0 】、线弹性问题 6 2 】、单侧接触问题的变分不等式【1 0 】、非协调h p 方 法 7 0 】，等【1 4 ，1 2 ，5 7 ，6 6 ，8 ，1 3 ，5 9 】g o p a l a k f i s h n a n 还证明了两阶问题m o r t a r 有 限元方法的收敛性与子区域的个数无关【5 3 】求解m o r t a r 元解的主要思路有两个： 一个是把m o r t a r 条件转化为l a g r a n g e 乘子，用混合元的解法f 4 ，4 1 ，45 另一个是 用转移矩阵将各子区域边界上的未知量联系起来后者有较好的并行性本文将重点 讨论基于第二种思路的m o r t a r 元方法 与两阶问题相比，用于四阶问题( 如板问题) 的m o r t a r 条件的提法更为复杂 在子区域交界面上，需要对解的函数值和有关导数分别提出m o r t a r 条件对谱方法 m o r t a r 条件的提法已有一些研究【1 1 ，1 2 】对局部非协调的有限元方法，结果相对 较少黄建国、李立康曾在 5 7 】中提出了一种针对m o r l e y 元的m o r t a r 方法，用于 求解版弯曲问题在各子区域( 子结构) 上，m o r l e y 元被用于不同的网格剖分，前 提是在子区域交界面上有限元解必须满足一定m o r t a r 条件当u h 3 ( q ) n 掰( q ) 且l 2 ) 时，可以得到能量范数意义下的最优误差此方法与 6 6 】的m o r t a r 条 件相比，更为简单而且，m a r c i n k o w s k i 的误差估计要求光滑性假设u + h 4 m ) 我们知道即使q 是凸的，对一般的l 2 ( q ) ，这一条件也很难成立 6 6 中还提出 了板问题其他元的m o r t a r 条件 t r u n c 有限元已被广泛应用于板问题实践证明这种有限元非常有效且收敛得很 快 1 ，2 ，3 】其收敛性的理论证明参见 7 3 1 基于此，我们提出一种方法 6 1 1 ，将求解区域 划分为若干子区域，在每个子区域上，进行独立的网格剖分要求有限元解的函数值及 引言 2 两个一阶导数在各子区域交界面分别满足m o r t a r 条件这样当u + h 3 ( q ) n 掰( n ) ， 且，l 2 ( f 2 ) 时，我们能证明带m o r t a r 条件的t r u n c 元解在能量模意义下与普通 的t r u n c 有限元有相同的精度 m o r t a r 元离散后得到的矩阵条件数均为o ( h - 2 ) ( 两阶问题) 或o ( h - 4 ) ( 四阶问 题) 因此人们自然会想到用各种各样的预处理来控制它多重网格方法在近十年得 到迅速发展，该方法通过粗网格上的校正，将细网格上迭代产生的的低频误差消去， 从而提高计算效率，参见【3 6 ，7 ，4 0 ，3 5 ，3 8 ，8 1 ，3 2 】 瀑布型多重网格方法( c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d ) 是近年来由b o r n e m a n n 和d e u f l t h a r d 2 3 】发展起来的一种特殊的多重网格方法，它可以被视为一种校正次数 p = 0 的多重网格方法，即所谓单向多重网格方法( o n e - w a y m u l t i g r i d ) 其主要特 点是在保持精度的前提下，以粗网格上较多的迭代次数为代价，来避免细网格上的校 正，并减少细网格上的迭代次数 假设原问题解为u ，某个有限元解为u l ，以及其对应的瀑布型多重网格解为u 如果一种c a s c a d i c 多重网格方法能够得到 i i u 一u ：忆l = o ( 1 1 u 一钍l 忆l ) ，这里”忆l 为相应的能量范数， 且多重网格复杂度 工作量= o ( n l ) ，这里毗为最细网格上未知量个数， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 则称此c a s c a d i c 多重阿格方法在能量模意义下是最优的另外，若( 1 1 1 ) 成立，而 计算复杂度为o ( n z ( 1 + l o g n l ) 3 ) ，则称此c a s c a d i c 多重网格方法在能量模意义下是 拟最优的 v v s h a i d u r o v 在1 9 9 4 年给出了多重网格方法的收敛性分析【7 2 】1 9 9 6 年， b o r n e m a n n 和d e u m h a r d 【2 3 】证明了，对p 1 协调元，当c a s c a d i c 多重网格方法用于 两阶椭圆问题时，对二维问题，用共轭梯度法作为光滑迭代算子能够达到最优；对三 维问题，所有光滑迭代算子都能够达到最优b o r n e m a n n 等还在【2 4 中从理论上比 较了经典多重网格与多重网格的差别，并提出了两阶问题c a s e a d i e 解要达到弘模 意义下最优必须满足的条件石钟慈和许学军将c a s c a d i c 多重网格方法推广到两阶 问题的所有各种有限元【7 5 】，他们证明了对两阶问题用共轭梯度法作为光滑迭代算子 能够达到最优；而四阶板弯曲问题【7 6 】，共轭梯度法能够达到拟最优，其它传统光滑迭 代算子都不能用b r a e s s 还将c a s c a d i c 多重网格方法应用于s t o k e s 问题，并证明此 方法是最优的【2 6 】s h a i d o r u v 在【7 1 】中将c a s c a d i c 方法的应用于有角点奇性的两 阶椭圆问题，他设计了一种满足【5 】5 ( h ，7 ，l ) 条件的网格加细方法，在此基础上证得 c c g 方法在能量模意义下是最优的 值得一提的是，s t e v e n s o n 利用非协调元空间( 如非协调p 1 元、m o r l e y 元等) 与某些协调元空间的关系，证明了对正则性较低的两阶问题，用非协调元空间、协调 引言 3 元空间的c a s c a d i c 多重网格方法同样有最优收敛性 7 7 】并且，四阶问题的m o r l e y 元方法作适当修改后用c a s c a d i c 方法可以达到最优关于c a s c a d i c 方法的应用，还 可参见 5 2 ，5 1 】 将各种m o r t a r 元方法与多重网格求解相结合，成为许多数学家研究的新方向 b r a e s s 等对l a g r a n g e 乘子型的m o r t a r 元构造了多重网格方法，并证明了其收敛性 【2 7 】他们还证明了选用适当的与网格有关的范数时，该混合元满足l b b 条件，从而 l 2 范数收敛【2 8 】在【2 9 】中，b r a e s s 还具体介绍了此算法，并用数值算例进一步肯定 了理论分析【2 8 】【7 9 】给出了m o r t a r 元多重网格方法的框架b r a e s s 等还构造了用 于此m o r t a r 元的c a s c a d i c 多重网格方法 3 0 】d e u f l h a r d 等对间断材料的椭圆问题 用m o r t a r 元逼近，c c g ( c a s c a d i cc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ) 方法求解，并给出 了误差收敛性分析针对两阶问题的m o r t a r 元方法，g o p a l a k r i s h n a n 提出了可变的 v - 循环多重网格算法，并证明了该预处理系统的一致收敛性【5 4 】 本文第四、五章将分别对c c g 方法和多重网格算法应用于求解带m o r t a r 条件的 t r u n c 有限元收敛性进行讨论并证明c c g 方法是拟最优，用一循环和可变的 y 循环则一致收敛同时我们的算例将进一步肯定理论结果 另一类被广泛研究的区域分裂法是基于加性s c h w a r z 方法的可重叠或不可重叠区 域分裂法b j c r s t a d 等将求解区域划分为若干子区域，用迭代法求解 2 1 ，2 0 ，4 2 】 有小尺度重叠的区域分解见 4 7 】c h a n 等在【4 4 】中，利用重叠型区域分解对某些特 殊形状区域的区域分裂的收敛性进行了证明b r a m b l e 等设计一种可动态地局部加细 的网格，在此整体粗、局部细的复合网格上作预处理之后，一致收敛 3 1 】他们还在 【3 3 】中给出重叠的复合型( c o m p o s i t e ) 网格上的区域分裂法，证明了作为两阶椭圆形 问题的预处理子是一致收敛的注意到其所用的方法均是从矩阵代数的角度出发的 许进超等利用区域上的单位分解，给出重叠性区域上的有限元解【5 8 】 求解四阶问题时，另一种已经被广泛采用的非协调元是m o r l e y 元【6 8 】，其收敛性 证明见【6 3 】、【7 4 】由于其刚度矩阵条件数仍为o ( h - 4 ) ，人们也设法改进其计算效 率对双调和问题，b r a e s s 在【6 9 】中用共轭梯度法求解m o r l e y 有限元，并提出了一 种一致收敛的预处理方法b r e n n e r 曾给出m o r l e y 元的多重网格方法，并证明有最 优收敛性 3 7 】 许进超在【8 3 】中，对两阶问题给出一种新的预处理方法该方法的思路是，首先 在整体粗网格上求有限元解，再在某个小区域q o 中用较细的网格校正，这样得到的 解在一个更小的区域d 上具有o ( h + 王产) 阶收敛性将此思路推广开来，可以设计 并行校正算法，即将q 分为若干个小区域d ，并扩展到q ，将粗网格上的整体解并 行地在q f 校正，最后得到的解具有整体o ( h + h 2 ) 阶收敛性 在本文第六章中，我们将此思路推广到扳问题的m o r l e y 元方法，得到能量范数 误差为o ( h + h 2 ) 阶收敛性数值算例充分肯定了我们的结论 板问题的区域分裂算法 第二章预备知识 2 1 函数空间 本节我们给出一些函数空间的定义 在开集g 上，我们采用s o b o l e v 范数及半范数的标准表示方法： i 胛( g ) = ( 厶i 铲 1 2 如) 1 卢，川驴( g ) = ( 厶i 铲口1 2 出) 1 胆 i a l s m。i 口卢“ 用g o ( - ) 表示定义在虿上的连续函数 对于定义在某剖分氕( g ) 上的某种有限元函数，定义如下半范 伽= ( 懈邯) ) 1 胆， m = 0 ，1 ，2 耳矗 我们将会用到分数次的空间 日1 2 ( g ) = 【l 2 ( g ) ，h 1 ( g ) 】1 2 ，日甜2 ( g ) = 【l 2 ( g ) ，硪( g ) l 2 ， 以及 日_ 1 ( g ) = ( 硪( g ) ) ，h _ 1 2 ( g ) = 旧1 2 ( g ) ) 对于自然数f ，蜀( e ) 表示集合e 上所有阶数不超过f 的多项式组成的集合 本文中，我们用c 或c 表示与网格剖分等参数无关的常数，而且在不同的位置可 能取不同的数值 另外，对dcgcq ，我们称dc cg ，若 d i s t ( o d o q ，o a o a ) = d ( 1 ) 2 2 一些有用的算子与引理 我们考虑一维线段6 r 1 ，对其作网格大小为h 的拟一致剖分兀( 6 ) 4 第二章预备知识 定义l 2 ( 6 ) 的子空间w i ( 6 ) 为 w i ( 6 ) = ： l 2 ( 6 ) 是在6 上关于瓦( 6 ) 的连续分片线性函数) ， 如图2 1 ( a ) 记觑( 6 ) 为在兀；( 6 ) 上，所有在头尾两单元是常数的线性连续函数之集，如图 2 1 ( b 1 令饥为从工2 ( 6 ) 到帆( 6 ) 的工2 正交投影，即 ( 亓 ，妒) 胪( d ) = ( u ，妒) 口( 6 ) ，( 6 ) 我们知道 1 9 】 引理2 2 1 任取 h 5 ( 6 ) ，其中8 o ，：2 ，1 ) ， i i ( 1 一亓 ) i f l ：c 6 ) + 町：2 1 1 ( i 一亓 ) 训i h - i ：( d ) c 蟛l l v l l 。( d ) ( a ) ( 6 )( b ) ( 6 )( c ) 嘲( 6 ) 图2 1 函数空闻示意圉 任取函数t c o ( 万) ，我们定义以u - ( 6 ) i( 丌：u ) ( o ) = 钍( 口) ， n 为6 的任一端点， lk ，j ( 卜程) 钍妒d s = 0 ， v l p 以( 6 ) 下一结论来自【1 9 1 引理2 2 2 如上所定义的靠满足以下稳定性估计： i l 以t 慨6 ) 曼硎训驴( d ) ， 慌钍i i 础。( 5 ) g 日脚) ，v u 础2 ( 6 ) 定义l 2 ( d ) 的子空间w ：( d ) 为 w 0 ( 6 ) = 口： l 2 ( 6 ) ， 关于兀( 6 ) 分片常数) ，( 如图2 1 ( c ) 所示) 以及q 为从l 2 ( d ) 到w 0 ( d ) 的工2 正交投影 第= 章预备知识 6 引理2 2 3 令q 定义如前对所有u h 1 2 ( 6 ) ，有 i i ( ，一q h ) u l l 小( 6 ) sc h i 2 i u 日- 。( j ) 引理2 2 4 令f 为某个三角形k 的一条边，对于函数妒h 1 ( k ) ，我们定义币妒= 南j 妒d s ，以及冗芋妒= 妒一f f 妒，则 r 孑妒i | l ：( f ) c ￥2 i 妒l h ，( k ) 证明考虑参考单元，由迹定理【5 5 】，对任意常数e ，都有 而1 忙别b ( 旷赤i i 稀( p + 讹) 1 1 ( 庐g 队9 + ) 1 1 ( 私硎( 9 + 6 ) 1 1 吣 由于i n f e e n | | ( p + e ) 峙( 詹) c 1 9 l x z ( 露) ，我们得到 i i 霹妒| | l 。( f ) se i f i j li 妒f 日- ( 耳) 引理2 2 5 令f 为某个三角形k 的一条边，则以下结论对任意v h 1 ( k ) 成立， 删t t ( f ) 曼g ( h 剖u 怫c g ) + h 备、( 耳) ) 此引理可直接由s c a l i n ga r g u m e n t 【4 3 】和迹定理 5 5 】得到 引理2 2 6 定义厶为兀( d ) 的连续线性插值算子，( 此处d 可以为一维或二维开集) 卵i i 厶t 正一钍1 日a ( 。) c h 2 一。f “日。( 。) ，v e 露( 6 ) ，仳h 2 ( e ) 板问题的区域分裂算法 第三章板弯曲问题t r u n c 元的m o r t a r 方法 收敛性分析 本章我们将对薄板弯曲问题提出一种带m o r t a r 条件的t r u n c 有限元逼近先 把求解区域划成若干几何协调的小区域在每个小区域上各自独立地作拟一致三角形 剖分假设真解u + h 3 ( q ) n 瑶( q ) ，右端项，l 2 ( q ) 只要在子区域交界面 上，t r u n c 有限元解的函数值、切向导数和法向导数各满足相应的m o r t a r 条件， 我们将证明此方法得到的有限元解与真解的能量模误差最优，即与不带m o r t a r 条件 的t r u n c 元解 7 3 】有相同的精度最后的数值算例进一步肯定了我们的理论 其中 5 3 1 薄板弯曲问题 考虑凸多角形区域，薄板问题的变分形式为：求u + h 3 ( q ) n 珊( q ) ，使 口( u + ，口) = ( ， ) ，v 月；( q ) ，( 3 1 1 ) o ，u ) ( ，u ) = 上 钍”+ ( ，一州z 啬盎一蠹象一万0 2 u 孬0 2 v ) 如咖 = l n | m 如曲。 而0 盯 1 2 为p o i s s o n 比我们已经知道 口( 钍， ) e 川2 n 2 川2 ，n ，v u ， 嘲( q ) 口( ，u ) g h ；巾v v 瑶( q ) ( 3 1 2 ) ( 3 13 ) 由l a x - m i l g r a m 引理，问题( 3 1 1 ) 存在唯一解“+ 明( n ) 我们假设( 3 1 1 ) 满足下述的椭圆正则性，即任取，h 1 ( q ) = ( 础( q ) ) ，存在 解“+ h 3 ( q ) n 瑶( q ) ，使得 让i i 片a ( n ) c i i ，1 1 日一- ( n ) ( 3 1 4 ) 第三章板弯曲问题t r u n c 元的m o r t 方法收敛性分析 8 对于此处的凸多边形区域q ，一定有( 3 1 4 ) 成立【2 2 】 5 3 2 有限元离散 这里我们将给出一种m o r t a r 型t r u n c 元方法来求解( 3 1 1 ) 为简单起见，我 们仅考虑子区域划分为几何协调的情形，即，将区域q 分裂为凸的子区域q ( 1 i m ) ，满足i j 时，砭n 砭或者是空集、顶点，或者是某个公共边界在每个 q i 上，我们进行大小为的拟一致三角形剖分氕； 为便于分析，我们总是假设存在两个常数c 和e ，使得 c 7 u k g ，v t 鼻a q o a 毋 ( 3 2 5 ) 由这些局部的剖分，我们可以构造一个q 上的整体剖分再= u 丝1 兀。，其中 h = m a x l 型s f 我们令表示q i 和q j 的公共边( 如果存在的话) ，即，= a q n a ；同 时令f 表示所有这些边所组成的集合，即f = u g 。丽丽由于每个死的构造是 互相独立的，因此每条公共边继承了两种剖分这就意味着上有两套相互独 立且可能完全不同的一维网格( 见图3 1 ) - 孙，2 ) ，2 ) y 妨 吣加： f t ，2 一 形夕 7 0 , 2 m 多 n 1 ，2 ) ，1 ) 。) 7夕 图3 1 网格剖分示意图 我们定义r 玎的其中一边为主控制边( 即m o r t a r 边) ，记为称另一边 为从边或n o n m o r t a r 边记为如j 用兀。( 7 m ，i ) ( ( 如j ) ) 表示，( k ，j ) 上由剖分 五。( ) 决定的网格此处，指标m 表示整数对( t ，j ) 我们记s 为所有此类m 的集 合并且当我们提到m = ( ，j ) s 时，有r 玎= j = “j 成立如图3 1 所示， 此处s = ( 1 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 3 ，4 ) ，( 4 ，1 ) 第三章板弯曲问题t r u i n c 元的m o r t a r 方法收敛性分析 9 为简化符号，在不至于引起误会的情况下，对于任意集合z ，我们用p z 标 记乏中的点p ，此处p 必须是某个单元的顶点例如，p ，y 。i 就意味着p 是网格 万( ，t ) 的一个节点 对应于每个子网格瓦，我们定义如下t r u n c 有限元空间【7 3 】即在每个三角 形上，记其三个顶点为 挑) 警1 ，则形函数为 它由w ( p 1 ) ，w 。( p d ，w y ( p i ) 完全决定 注意到这个形函数的定义与不完全三次z i e n k i e w i c z 元 9 】相同，不同之处在于我 们将改变离散的双线性形( 见( 3 2 1 5 ) ) 定义皿上的t r u n c 元空间为 喈( q i ) = 扣： i 耳形如( 3 2 6 ) ，v k 万；， ，及嘶在k 的节点处连续， 且 0 ) = p ) = 0 ) = 0 对所有p a q n a q 成立 下面定义 m 珊( q ) = i i 喈( 筑) i = 1 对于函数础( q ) ，我们称v h 在a q f n a = r o 毋上满足m o r t a r 条件 如果以下关系式成立 i 。) = j j ( 力，任取瓦j ( h j ) 的节点p ， ( 3 27 ) ( 氏a n i 。一魏| k ，) 妒如= 0 ，w w h ( “，j ) ， ( 3 2 8 ) j d m j ( 厶；o , v h l , 。；一如良l k j ) 妒d s = 0 ， v 妒w i ( j ) ，( 3 2 9 ) j “，j 其中厶。厶f 为；和瓦j 各自对应的标准线性插值，n 为j = ，j = r 玎上由，i 指向，的单位法向量，8 为上相应的切向量 现在我们定义m o r t a r 型t r u n c 元空问v ：r 为珊( q ) 中所有满足m o r t a r 条件( 3 2 7 ) 一( 3 2 9 ) 、并且在所有子区域顶点有直到一阶导数连续的函数的集合 通过简单的计算，我们知道条件( 3 2 7 ) 等价于 ( q h ( 号争。，；) ，妒) c 。( k 。= ( q h ( 零争i k ，) ，妒) 口( 轴j ) ，v 妒i 硼( “j ) ， f 3 2 1 0 1 u k ，；) = u i h ，) ，p 是如j 的任一端点， 其中q 为第一章定义过的工( 靠j ) 到w 2 ( “j ) 的正交投影算子 碍 h 毒汁扣 k 砖 沁施加 h 砖一怕m 确 + h 沁 一 如 十碍 甜吼+ = 第三章板弯曲问题t r u n c 元的m o r t a r 方法收敛性分析 1 0 其中 我们定义 ( 3 2 ，1 1 ) 州u 川= 正t 让”+ c 一州z 舄磊一象券一雾象，如幻 对于任意 o h 昭r ，我们将其分为两部分 在任意单元k 上， 并且 v h = 巩+ u ：( 3 2 1 2 ) 砚j 耳= o l a l + a 2 ) 2 + 0 3 a 3 + 口4 a 1 a 2 + 0 5 a 2 a 3 + 口6 a 3 a l ，( 3 2 1 3 ) 口：i = 0 7 ( a i a 2 一a 1 a ；) + a 8 ( a ；a 3 一a 2 a i ) + a 9 ( a ；a l a 3 a ；) ( 3 2 1 4 ) 可以看出，第一部分- 是完全二次多项式，另一部分u 则为对称的三次式 由以上记号，薄板弯曲问题( 3 1 1 ) 的m o r t a r 型t r u n c 元解为：求u h 昭r ，满足 b h ( u ， o h ) 兰a h ( 砜，孤) + a h ( u ：， ：) = ( v h ) ，v v h 昭置( 3 2 1 5 ) 曲 u 0 蛳 m 汹 i | o 第三章板弯曲问题t r u n c 元的m o r t a r 方法收敛性分析 3 3 m o r t a r 型t r u n c 元的基本性质 本节中，我们将给出一些有用的引理和m o r t a r 型t r u n c 元的基本性质这对 于我们进一步估计其收敛性有很大的帮助 我们先给出按( 3 2 1 3 ) 和( 3 2 1 4 ) 分裂的函数的一些基本估计以下结果参见 7 3 引理3 3 1 令 o h 如p 兽定义，并按p 2 j 圳一p 2 到被分为两部分v h = o h + ： 则以下结论在任意单元k 及其任意边f 上成立 自， 可h l h 2 ( 耳) c r v h l h 2 ( 耳) ，l ：i h 2 ( j r ) c h k v h h 3 ( ) ，l 筹导f l - ( f ) sc h k v h l h s ( 耳) ， 这里h 耳为的直径 任取u h 3 ( k ) ，我们定义其在三角形k 上按形函数( 3 2 6 ) 做的插值为 ( r g u ) 慨) = u ( p ) ，( r k u ) 。慨) = u 。慨) ，( r k u ) ，( 张) = u ，( a ) ， 其中a 为k 的任一顶点对于u h 3 ( q ) ，我们定义其插值r h i u 满足在所有的 k 五，上，r i u i k = r k u 且令r h t 正为r h u l l 2 i = r h u ，即r h u 为u h 3 ( q ) 在矗 上的t r u n c 元插值 引理3 3 2i t s 已知u 日3 ( q ) ，以及r h u = f 疆+ ( r ，u ) 定义如前，则 i u t h 乱1 日m ( 耳) + i 钍一f i 了i h m ( k ) + fr h ；“) 7 h - - ( g ) c h ； - m i t i 口3 ( ) 由b h ( ，) 和曙r 的定义，可以得到关于( 3 2 1 5 ) 可解性的如下结论 定理3 3 1 半范数1 1 2 ，o = ( 兰1 死i v h i k ( k ) ) 1 7 2 是空间曙冗的范数，且6 ( ，) 一致昭r 一椭圃，即，存在与h 无关的常数a ，满足o i 臣n b h ( v a ，v h ) ， v v h 昭r 证明由定义( 3 2 1 1 ) 和( 3 2 1 5 ) ，我们有 a h ( v h ，。d h ) = 盯i f 3 ，n + ( 1 一盯) i j ；，n ，0 口 ；， b h ( v ， u h ) = a h ( v h ，- ) + a h ( v l h ，u ：) = 盯“- 1 3 。n + i ：限n ) + ( 1 一盯) “砚i ；。n + f ：臣n ) 2 ；( 盯” 1 3 ，n - 4 - ( 1 一盯) i i ；，n ) 2aj i ；，n 而且，h 1 2 ，n = 0 即意味着v h k p l ( k ) ，v 兀由于在每个q 。中， 咖的一阶导数在所有单元的顶点连续，可以推断在整个q 上必为线性函数根据 m o r t a r 条件( 3 2 7 ) - ( 3 2 9 ) ，得到 o h p 1 ( q ) 最后，再由d i r i c h l e t 边界条件，知 u 三0 因此，i v h l 2 ，n 定义了曙r 空间的一个范数 一 第三章板弯曲问题t r u n c 元的m o r t a r 方法收敛性分析 由此我们可以定义能量范数 h n = ( b a ( v ， ) ) 1 ，2 显然，i 1 2 , f l 与”i b , h ，n 等价 设鼠( q ) 为q t 上的b e l l 元空间【4 3 ，定义e h ，：喈( q ) - - 9 b h ( q ) 为 l ( e h ，一) 0 ) ；”， ( d o ( 昂， ”) ) ) = ( d ) ( p ) ，i 口j = 1 ， i ( d o ( 晶，”) ) ( p ) = 0 ， = 2 ， 其中p 是k 瓦；的顶点此算子满足【3 9 】 引理3 3 3 任取 噌( q ) ，如下估计式成立 1 l 既，一慨耳) sc i v l h 。( k ) ，蜉l u 一毋，一h 目sc h 2 1 v l h 。( ) a = o 注意到算子e ，i 建立了从谐( 继) 到b h ( n i ) ch 2 ( q i ) 的联系，这在我们的下一 步证明中至关重要 引理3 3 4 任取w 曙r ，有 h 磐i 。一警叫b 。，+ 忙等l 。一警叫b ， sc h j 2 f 1 2 ，n ， 忪警k 一警k 忆训+ 怯警i 一警l 忆训曼c 弓，2 f 咄。， 这里8 为上的切向量 这一结果可以直接由引理2 2 5 、逆不等式以及引理2 2 6 得到 引理3 3 5 设，t = 如j = r 玎为两个子结构n i 和的公共边任取昭r 有 i i ，。一晶，。i ，。，。| | 日。，。+ f i ( ，一q 一) ! ! ! ! ! 豸 k 生| i 口。，。g ：7 2 | k 呱， i j i ，一z 。i 如一1 日邯州，+ ( 1 ( ，一q 一) 皇墨! 甓 鱼l l 妒。“_ e 砖7 2 卜一k q 证明由引理2 2 5 和引理3 3 3 可知 i l i 。一翰，t i * 。i ：。( 。 s g ( 蚵1 m m 一玩州n 。幛，( 鳓+ i v , , i k e h , t v h l a 。) ) 无 c h f f 臣n 又由引理2 2 3 、引理3 3 3 以及( 3 2 5 ) ，得 1 1c i h o e h i v h 刈洲7 2 1 警l 户钟k n 即第一个结论成立第二个不等式可类似得到 一 引理3 3 6 以下结论对所有伽 昭r 成立， 忆鬻。凡础g q z t ) h 扎。 怯警o k 警k 儿。， l l j k “1 。一叫h l ，i i p ( 6 m j l i 厶；叫 l 饷，。一埘 l 如ji i 嚣警( “j sc ( h y 2 l 凹h 1 2 ，n ；+ 巧1 7 2 l 叫h 1 2 ，) ， sc ( h ：2 2 “+ 砖7 2 圳。舢 曼c ( h ：2 i 训h 1 2 n ；+ ；7 2 l 删 1 2 ，n j ) ， 墨c ( h d w 1 2 n i + 嘞i 叫 f 2 ，吩) 跚黧昱絮黑m 舯o r t a r 嚣。搿篙。、z l 任取 l 2 ( j ) ，由 条件( 3 2 8 ) 、引理3 3 4 、1 挫4 “4 。 ( 3 2 5 ) 和引理2 2 5 镪 h 鬻l 吨等”k c 1 ：( 氏等l 侧也磐w 俨们) d s i 竹( 荫。警。氏孰。+ 警卜”m s 蚓川。“怯警。警叫k ；，。 + l l 警- 厂开、警叫k 。十i 警。斡忆州， + i 巨笋k 。一警叫k 圳十恤等k 一等k 忆i ， 十1 1 訾i 嘞訾叫k ) 即证得第一个不等式 第- - l i i板弯曲同题t r u n c 元的m o r t a r 方法收敛性分析 1 4 引理3 3 7 任取u 珊( q ) n 日3 ( q ) ，我们定义豆= r h u 则 i i 如( 讥i 协。一吗i h 。，) 厶。晶说j 。，一如巩奶i 。， l 厶。仇磁i 。；一九玩奶“。 1 2 i l l ( h ，j h 。 1 2 i l 2 ( d m j s c ( 增1 1 i 备s ( o 。) + 嵋5 i u f 2 日s ( 吗) ) ，( 3 3 1 6 ) g ( ? l u f 备a ( n ，) + 磅i l 备。( n j ) ) ，( 3 3 1 7 ) s e ( 引u 瞎。( n ) + q 3 i j “1 2 一( q ) ) ( 3 3 1 8 ) 证明由三角不等式、引理2 2 6 、引理2 2 5 以及引理3 3 2 ，我们得到 li 如( 诹i 一 l l j l i f 。, i ) 屹( ) s g 碍j 戗i 。；一奶i 如，i ；，( 如。+ ii 玩i * ，；奶i 如，ij ：t ( h 。) g 碍( i 矾i 、。一t 后。( 如j ) + i 奶i h j u e t ( 。) ) + l 值l ，一u l ：。( 。) + i i 奶l 。一钍i i ：，( h j ) 墨g ( ；1 吐j 备a ( n ；) + 蟛5i u l 2 日a ( 码) ) 即得到( 3 3 1 6 ) 由于哦是让的t r u n c 元插值，故