（运筹学与控制论专业论文）非扩展矩阵小波的存在性.pdf

摘要 小波分析是继f o u r i e r 分析和g a b o r 分析之后的一种新的时频分析工 具，被广泛地应用于信号处理、图像处理、数值逼近等领域。小波分 析的一个基本问题是如何构造小波，特别是那些具有应用价值的小波。 本文主要做如下讨论： l ，讨论了一类整点非扩展矩阵的小波存在性。 2 给出这类使得小波存在的非扩展矩阵的一些例子，进而探讨可 能还有哪类非扩展矩阵存在小波。 关键词：扩展矩阵、格、( d ，r ) 小波 a b s t r a c t w 旮v e k ta n a j y s i 8i 8an e wt o o lo ft i m e f r e q u e n c ya n a l y 窨i 8b e s i d e sf b u r i e ra n a l y s i s a i l dg a b o ra n a l y 8 i 8 ，b e i n g 印p h e di ns i g n a lp r o c e s s i n i m a g ep r o c e 8 8 i n ga n dn u m e r i _ c a la n a l y s i s ab i s i cp r o b l e mi 8h o wt oc o s t n l c tw a v e l e t 8 ，e s p e c i 曲yt h o s ew h i c ha r e e x t r e m e l yl l s e f u li np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s 1 ，w es h o wt h ee ) c i 8 t e n c eo fa d i l a t i o nw 8 v e l e t 8f o r8 0 m en 叫一e x p a n s i v ei n t e g r a l m a t r i e e s 2 v g i v e8 0 i i l e ( 锄p l e 8o ft h en o n e x p a s i v em a t r i c e 8f o rw h i c hw a e l e t se ) c i s t ， d l e nd i s c u s 8t h ee 菇s t e n c eo fw a 、r e l e t sf b ro t h e rd 主l a t i o nm a t r i c e s k e yw o r d s ：e x p 8 璐i v em 如r i x ，l a t t j e e ，( d ，r ) w a v e l e t 8 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利日的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者躲郜缟勉导师躲很南 第一章概述 小波分析是继f 0 u r i e r 分析和g a b o r 分析之后的一种新的时频分析工具。小波变 换是种信号的时间一频率分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频 两域都具有表征信号局部特征的能力，因而能有效的从信弓中提取信息，通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l ea n a l ”i 8 ) ，解决 了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析的发展历史最早可追溯到2 0 世纪初。1 9 1 0 年h a a r 提出了规范正交小波 基的思想，构造了紧支撑的正交函数系一一h w r 函数系。1 9 4 6 年，g a b o r 提出了加 窗f 0 l l r i e r 变换( g a b o r 变换) 理论，使得信号的表示具有时频局部化性质。人们真 正研究小波是在8 0 年代。1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a a r 系进行了改造，构造了一组具 有指数衰减且有限次连续可微的小波基。1 9 8 4 年，g r o s s m a 和m o r l e t 首次提出了小 波的概念，给出了按一个确定函数妒的伸缩平移系展开函数的新方法和进行信号表 示的新思想。随后，m e ”r 构造出了具有一定衰减性质的光滑小波函数。1 9 8 6 年， m a l l a t 和m e y e r 提出了多分辨率分析的理论框架，为小波基的构造提供了一般的途 径。多分辨率分析的思想是小波的核心，它是理论与应用的结晶。至此，小波分析 才真正成为一门学科。之后，人们构造出了大量的小波，其中包括具有指数衰减 的b a t t l e _ l e m a r i e 小波和第一个双正交小波_ t c h 锄i t c h i a n 小波等。比较引人注日 的是d a u b e c h i e 8 于1 9 8 8 年构造的一类具有紧支撑的有限光滑正交小波函数，该小波 得到了非常广泛的应用。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条的双正交小波函 数，并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和小波函数。 日前，小波分析的理论和应用都得到了快速发展，被广泛应用于信号处理、图 像处理、数值逼近、地震勘探、语音识别、医学成像与诊断等领域，在科技界引起 了广泛的关注和高度的重视。 小波分析的一个基本问题是如何构造小波，特别是那些具有应用价值的小波。 下面我们将简单地介绍一下这方面的进展情况。 1 1已有结果 首先，我们介绍一下一维的小波。 第一章概述 2 定义1 1 1 设函数妒( r ) 如果 2 妒( 2 。+ f ) ：j ，2 z ) 是l 2 ( r ) 的标准正交基。那么称妒为正交小波， 在一维情况下，我们也可以一- 般的讨论放缩因子为。的小波。d a i ，l w s o n 【6 】证 明了当放缩因子口 l 时，都是存在正交小波的。c h u i ，s “。j 进一步指出当放缩因 子口 1 为无理数，满足对任意的正整数j ，都有一为无理数时，此时存在的正交小 波不具有很好的时频局部特性。 定义1 1 2f 0 u r i e r 变换如下定义，对任意的，l 1 ( r ，) nl 2 ( r “) ， ，偿) r ，( z ) e 一2 ”。 d z j r “ 用来表示附中的内积。 在高维情况下，我们先考虑放缩因子为2 的多维小波基。d a u b e c h i e s 【1 6 】提出一 个构造多维小波基的思想，为方便起见，这里仅考虑二维的情形，多维的情形类似。 通过l 2 ( r ) 的标准正交小波基奶，f = 2 砂( 掣。+ 1 ) 构造驴( r 2 ) 的标准正交基的一个 基本方法是直接取一维情形的两组基的张量积 如l ，“m f 2 ( z 1 ，勋) = 咖1 ，“( z i ) x 如，b ( 沈) ，j 1 ，如，z 1 如z 在这种基中，变量o l 和她的放缩是独立的。 将上述思想推j ，我们可以进一步考虑放缩放缩因予a 为n 阶可逆实矩阵的情 形。记d = ，j z ，用r 来表示i r 的可数予集。驴( r ，) 是r “中所有勒贝格平 方可积函数的全体。 定义1 - 1 3 记= 妒1 ，砂) c 工2 ( 1 p ) ，x ) = id e t a i 妒i ( a z + ) ：a d ，r ，f = 1 ，研，如果x ( 皿) 是p ( ) 的标准正交基，那么称函数系皿为多函 数( d ，r ) 小波。当l = 1 时，只包含一个函数妒，如果 i 如t a l 妒( a z + 女) ：a d ，r ) 是驴( r ”) 的标准正交基，那么称砂为单一函数( d ，r ) 小波，简称旧，r ) 小 波。 在本文中，我们只考虑r = z 8 的情况。 第一章概述 3 在很长一段时间里，人们对于在高维情况下能否存在孽个函数p ，z ”) 小波持怀 疑态度。后来d a i ，l 舡s o n ，s p e e 出e i l 7 j 论证了这种小波的存在性。他们证明了当放缩 因子a 为任意n 阶扩展矩阵时，都存在单一丽数( d ，z “) 小波。 定义1 1 4 称a 是扩展矩阵，若a 黾n 阶可逆实矩阵，且所有的特征值的模大干1 。 经研究发现，对于某些扩展矩阵a 所构造出的( d ，z “) 小波有很好的光滑性，这 在应用方面是非常有用的。然而，人们对于非扩展矩阵是否能存在( d ，z “) 小波的情 况还是未知的。后来，s p e e d e 【“1 指出对于某些非扩展矩阵a ，也是存在( d ，z “) 小波 的。他证明了若a 是n 阶实的对角阵，满足i d e a i 1 且所有元素的绝对值不小于1 ， 则存在( d ，z “) 小波。本文旨在找到另一类非扩展矩阵a ，使得存在( d ，z ”) 小波。 d a j ，l a r 8 0 n ，s p e e g k 【上。j 所构造出来的小波其实是( d ，z ”) m s f 小波。即小波妒的 选取满足砂= 昂。通常情况下，m s f 小波如下定义： 定义1 1 5 若函数妒口( i p ) 是( d ，r ) 小波，且存在可测集e c f p ，使得l 妒i = x e ( x 占是i r 中可测子集e 的示性函数) ，那么我们称妒是( d ，r ) 最小频率支撑( m s f ) 小波。此时的可测子集e 被称为( d ，r ) 小渡集。 在文献【1 7 ， 1 8 】中，已对m s f 小波的一些性质进行了研究。b a w n i c m a r c i n 【1 切 证明了当d = a ，j z ，并且对任意的非零整数j ，都满足f ( z ”) n z “= o ) 时， 若存在( d ，z ”) 小波则只能是( d ，z “) m s f 小波。由此看来，m s f 小波在( d ，r ) 小波的 存在问题上似乎起着特殊的作用。 到目前为止，( d ，r ) 小波存在性的证明一般都是通过构造小波函数来完成的。 因为晟小频率支撑小波的结构较为简单，研究者们通常考虑最小频率支撑小波的构 造。1 魄n g w a n g 【。”j 给出了( d ，r ) m s f 小波的刻画：设a 是n 阶可逆实矩阵，d = 掣，j z ) 。r 是b ，的满秩格，e 是丑于中的可测子集，若妒l 2 ( r ，) 且酬= 凇， 那么妒是( d ，r ) 晟小频率支撑小波当且仅当 【b ( e ) = i r ( m o d 零测集) ( 1 ) b d 【j e + 7 = r ”( m o d 零测集)( 2 ) 1 r 其中，u 代表集合的不交并，b 。是丑的转置，1 1 是r 的对偶格。关于满秩格和对偶 格的定义在第二章会详细介绍。 第一章概述 4 从而，( d ，r ) m s f 小波的存在性证明就转化为能否构造出可测子集e ，使之满足 ( 1 ) ( 2 ) 两个条件，即小波集的存在性。这正是本文解决该问题的主要思想，木文所 论证的是小波集的存在性，事实上也就证明了( d ，r ) m s f 小波的存在性。 1 2 本文主要内容 小波分析的一个基本问题是对什么样的( d ，r ) 对存在小波。本文是在前人的基 础上刻画了一类放缩矩阵a ，使得存在( d ，z ”) 小波。其中d = 掣，z ) 。 定理。3 。 设a 是n 阶实矩阵，a = ( 1 二。) ，其中，a - 是n - 阶扩展矩 阵，a 2 是n 2 阶行列式不为0 的幂等阵，即存在n 7 z ，使得a ；+ 1 = a 2 ，l ， d = o ，j z ) ，那么，存在( d ，z 4 ) 小波。 定理。3 3 设a 是n 阶实矩阵，a = ( 1 竺! ) ，其中，a t 是n t 阶扩展矩 阵，a 4 是任意的n 2 竹l 维矩阵，a 2 是n 2 阶狞列式不南。的幂等阵，即存在n ，z ， 使得a ；+ 1 = a 2 ，n 1 ，d = a ，j z ，那么，存在( d ，z ”) 小波。 定理z 3 4 设a 是n 阶实矩阵，a2 ( 竺：一a 。盖。) ，其中，a t 是n ，阶扩 展矩阵，a 2 是n 1 阶行列式不为。的幂等阵，面存在z ，往得a ；：a 2 ，n ，1 ， d = a j ，f z 1 ，那么，存在f d ，z n l 小波。 定理z 。s 设a 是n 阶实矩阵，a = ( ：三：竺2 ：三：竺2 ) ，其中，a 是 n l 阶扩展矩阵，a 2 是n l 阶行列式不为。的幂等阵，即存在n 7 z ，使得a 芗+ 1 = a 2 ，n 2 l ，d = o ，j z ) 。那么，存在( d ，z “) 小波。 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 小波理论之一是怎样构造( d ，r ) 小波，特别是具有应用价值的小波。通常情况 下，我们考虑当d = o ，j z ) ，r = z “时，对何种n 阶实矩阵a ，存在( d ，z “) 小 波。虽然在 1 7 】中，已证明对任意的扩展矩阵a 都存在( d ，z “) 小波，但是对于非扩 展矩阵存在( d ，z ”) 小波的情况知之不多。本章旨在找到一类整点非扩展矩阵，使得 存在( d ，z ”) 小波。 2 1 引理及其证明 我们先介绍格的有关概念，为叙述下面的引理作准备。 定义2 、l - l 称i r 中的子集r 为格，如果存在f p 中线性无关的向量n ，址， 使r = ：= 1o 岫i 啦z ) 。如果存在n 阶可逆实矩阵a ，使r = a z ”，则称r 为 的满秩格。设r c r ”是一个格，如果r = 。i p l 使得 z ，对任意的7 r ，那么称r 7 为r 的对偶格。 下面的这条引理是对( d ，r ) 小波集的刻画。 引理2 1 2 2 0 】设a 是n 阶可逆实矩阵，d = ，j z ) ，r 是r n 的满秩格， e 是f p 中的可测子集，若妒l 2 ( f p ) 且| 妒l = 地，那么妒是( d ，r ) 最小频率支撑小 波当且仅当 u 目( e ) = ( m o d 零测集) ，u e + 7 = ( m 。d 零测集) b d1 r 其中，u 代表集合的不交并，b 。是b 的转置，r ，是r 的对偶格。 当r = z “时，我们有r 7 = z “。这是因为：首先由r 的定义，显然有z “ r 7 。其 次若f ，中有一元素。z ”，则z 中必有一个分量& 掣z 。此时取，y = ( o ，1 ，o ) ， 第i 个分量为l ，其余都为o 。刚 = 毒仨z ，这与o i 、矛盾。所以r ，cz “。 综上所述，r 一z “。 引理2 1 3 2 2 设 玩 是r n 中可测子集的序列，a 是n 阶可逆实矩阵，e 是 r ”中可测子集满足l f 麓e i 一0 ，则： 5 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 ( 1 ) 如果ub + 7 c ，那么ue + 1c 础。 ，z “1 z 4 ( 2 ) 如果0 a 。( e ；) c r “，那么0 a ( e ) c r ”。 k e zz 6 引理2 1 ，4 【2 2 设a ，u 是扎可逆阶实矩阵，r 是的满秩格，若存在中的可 测子集e ，满足 u 小( e ) = ( m o d 零测集) k z 那么存在酣中的可测子集f ，使得 u e + 7 一r “( m o d 零测集) 1 r u ( c ，a u 一1 ) ( f ) = f p ( m o d 零测集) ，uf + 7 = f p ( m 。d 零测集) z1 u r 在以后的证明中，我们会用到矩阵论的一些知识。 引理2 ，1 5 【2 5 】设a ，日，g 是n 阶实矩阵，矩阵方程a x x b = g 有唯一解的充 要条件是a 和日没有公共的特征值。 在介绍下面的两个引理之前，我们先来定义两个映射r 和d 。 设a 是n 阶可逆实矩阵，设集合阢g 为丑，的可溅子集，满足u a ( u ) = r ( m o d z 零测集) ，ug + 7 = r “( m o d 零测集) 。 1 e z “ 因为ug + 7 = f l n ( m o d 零测集) ，令l l = f r ug + 7 ，显然三1 为零测集。 1 z “ z “ 那么对任意的z i p u l ，则存在唯一的一k z “，使得z g k ，即z + 如g 。 因为u a 。( c 厂) = i p ( m o d 零测集) ，令l 2 = f p u a ( u ) ，显然如也为零测集。 zk z 那么对任意的z f r 如，则存在唯一的一m 。z ，使得。a 一”( c 厂) ，即a “z 我们定义映射r ：l r l i - g ，使得对任意的z l r l i ，r ( z ) = o + g 。 定义映射d ：i p 工2 ，u ，使得对任意的z i 。n l 2 d ( z ) = a “o u 。 引理2 1 6 设r ，中的可测子集u ，g 满足u a 。( c 厂) = 丑，( l o d 零测集) ，ug + k z 1 z n 7 = i p ( m o d 零测集) ，l l ，l 2 ，r ，d 如上所定义，a 是n 阶可逆实矩阵，是耶中的 可测予集，则 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 7 ( 1 ) u l l + ，y c r ， 号rw l 。是单射。 1 z “ ( 2 ) ua ( 2 ) c 硝1 = 亭d l 叭l 。是单射。 i z 证明；1 对任意的z ，f l 1 ，若r ( z ) = r ( g ) = o + 七l = + 如，1 ，如z “， 即z = g + 一l 。因为u 1 l + 7 c r “，所以l = 。由此推 蚺z = ，即f f 叭l ， 1 r 是单射。 2 若已知7 l 叭如是单射，下面我们用反证法来证明uw 三1 + 7cl p 。 1 z ” 若存在饥他z ”，使得( w u l + m ) n ( 1 + 加) 0 ，则存在z ，w 工1 ， 使得2 + 1 l = + ，此时显然有$ 口。因为7 0 ) = 。+ 1 g ，f ( f ) = g + 乜= z + m 一加+ 如g ，1 ，女2 z ”，若饥一他+ 也l 就与ug + 7 = r “( m o d 零 测集) 矛盾。所以饥一能+ 如= 奴，从雨雄娃 f ( z ) = ，( ) ，这与r 叭岛是单射矛盾。 所以uw 五1 + 7 c 。同理可证( 2 ) 式成立。口 引理2 1 7 设口中的可测子集以g 满足0 a ( c ，) = f p ( m o d 零测集) ，ug + k z1 z ” 7 = 丑，( m o d 零测集) ，l 1 ，岛，7 - ，d 如上所定义a 是n 阶可逆实矩阵，是i r 中的 可测予集，则： ( 1 ) 若d ( w 三2 ) = c 厂( m o d 零测集) 且d i 叭如是单射， 集) 。 ( 2 ) 若r ( 厶) = g ( m o d 零测集) 且r i 叭l ，是单射， 集) 。 则ua ( w l z ) = r ”( m o d 零测 女e z 则u - 矿l l + 7 = r ? ( m o d 零测 z n 证明：令w ；= z w l 2 ，a 。矿 ，z ，显然有uw ；cw l 2 。对任 k = 一 。o 意的z w l 2 ，都存在k z ，使得a “。u ，所以z cu ，由z 的 i ” 任意性，我们可推出w l 2cuw ；，所阻w 工2 = uw k 。因为u a 。( = 丑，( m o d 零测集) ，所以 w ；i z 中的元素彼此不交。因为圳叭l 。是单射，所以 u a ( 仉) = u d ( ) = d ( u 矾) = 矿( m o d 零测集) k z z 女z 因为ua ( u ) = r ，( m o d 零测集) ，所阻ua “ua ( w ；) = i r ( m o d 零测集) 。又因 女牙m e zk z 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 为 ua “u a ( 仉i ) = uu a “仉名= uu a “( 眠) m zt zm 2 妊zn z z = u a “( u 帆) n zk z = u a ”( w l 2 ) 所以u ( w l 2 ) = b ，( r o d 零测集) 。同理可证( 2 ) 成立。 口 k z 2 2 命题及其证明 8 x i a o j i a n gy - u 【。卅进一步推广了文献 17 中的结论，指出若a 1 是n l 阶扩展矩阵， 则存在有界的( d l ，z ”) 小波集 矗，其中d l = a ，j z ) 。在以后的证明中，我 们总用鸩来表示某个有界的( d ，z ”) 小波集。因为a l 是扩展矩阵，而蝇又是有 界的。我们总可以傲到对任意的o r ，都存在一个自然数m ，使得a i ”( ) c ( 一口，o p 。接下来的两个命题是文献【2 2 1 中命题的推广，将二维情况推广到了n 维。 ， 命题2 2 l 设a 是n 阶实矩阵，a ；f a lo l ，a 1 是扩展矩阵，n l ，砌分 oa 2 别是a 1 ，a 2 的阶，鸠是有界的( d l ，矿1 ) 小波集，d 1 = a ，j z ) ，那么存在i r 的 可测子集g ，使得g c 矗r ”，满足ug + 7 = r ，( m o d 零测集) ，u ( a ) ( g ) c 1 z “k 牙 r “ 证明：令g = 尬 o ，1 ) m ，显然g c 蝎2 。 u g + ，y = u ( + 饥) ( 【o ，1 ) 十y 2 ) z ”1 1 z “1 2 z ”2 = u ( 她+ 7 - ) u ( 【0 ，1 ) “。+ 加) 饥z “l 恤z “2 因为u ( 尬+ 饥) = r 8 1 ( m o d 零测集) 1 】2 “1 i p ( m o d 零测集) 。 u ( 1 0 ，1 ) 札2 + 他) = r j ”，所以ug + 7 = 他z “21 z “ 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 对任意的七m z ”，七= ( 惫l ，七2 ) ，m = ( m l ，m 2 ) ，南l ，m l z m ，m 2 z m 。 ( g + 七) n ( g + m ) = ( 矗十h ) n ( 尬+ m 1 ) f ( ( 0 ，1 ) 啦+ 南2 ) n ( o ，1 ) 珊十m 2 ) =0 9 所以有ug + 1 = l p ( m o d 零测集) 。 对任意的m z ，我们有 ( a ) ( g ) n ( a 。) “( g ) = ( a i ) ( 尬) ( a ：) ( o ，1 ) ”) n ( a i ) ”( 以) ( a ；) ( 【o ，1 ) ”) = ( ( a i ) ( 帆) n ( a i ) “( 尬) ) ( ( a ；) ( 【0 ，1 ) ”) n ( a ；) ”( 0 ，1 ) ”) ) 所以u ( a 。) ( g ) cr “。口 命题。2 z 设a 是n 阶实矩阵，a = ( 1 二。) ，i a i ，其中a 是n ，阶 扩展矩阵，m 是有界的( d 1 ，z ”) 小波集，d 1 = a ，j z ) ，如果有i p 的可测子 集c 厂cu ( ) ( m 1 ) 2 ，满足u ( o ) ( u ) = ( m o d 零测集) ，u 矿+ 1c 彤， 那么存在彤的可测予集w ，使得uw + 7 = b ，( i n o d 零测集) ，u ( a 。) ( ) = i p ( m o d 零测集) 。 证明：南命题2 2 1 的证明可知存在g = m l 【0 ，1 产，使得ug + 7 = l p ( m o d 1 三” 零测集) ，u ( a ) ( g ) cf l 竹。工l ，l 2 如上述定义。我们定义映射r ：i r l 1 g ，使 得对任意的z b ，u 1 ，r ( z ) = z + g 。定义映射d ：i t n 三2 - + u ，使得对任意 的z l 2 ，d ( ) = ( ) 茁u 。因为gc 幅彤2 ，u cu ( a ；) ( 尬) 2 ， mn ( a i ) ( 帆) = o ，对任意的一l ，所以g n 矿= 0 ，并且对任意的y 疡cg ， 我们有i d ( y 三2 ) i l a 2 l 一1 i y | = i a r _ 1 i y 三2 i 。 下面令阢= 矿，毗= ( 帆一- u ( g r ( 一l l ，) ) d ( g r ( 一l l 1 ) 工z ) ，我们来证 明u ( a ) ( 眠岛) = f p 且7 i l 。是单射。 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 ( 1 ) 先用数学归纳法证明 1 0 =( u d ( g r ( 仉- ) 工2 ) d ( g 7 - ( 矸名一1 l 1 ) l 2 ) ) u g 下( w 1 l 1 ) u ug 丁( i 一l l 1 ) 由定义可知= ( 啊ug ( m u - ) ) d ( g v ( 肌l 1 ) l 2 ) ，因为矿ng = 0 ，我们 有g r ( u ，1 u ) nd ( g r ( m l 1 ) 如) = 0 ，所以w j 可写成如下形式： h ，2 = ( 盯d ( g r ( 婀l 1 ) l 2 ) ) ug 下( 矾，1 l 1 ) 假设n = 时命题成立，那么n = + 1 时， + l = ( 眠u ( g r ( u 1 ) ) d ( g 丁( 恤- ) 如) = ( u d ( g r ( w 1 l ，) 工。) d ( g r ( w 气l 1 ) l 2 ) ) u g r ( i 啊工1 ) u ug r ( - k l 1 ) 命题得证。由此命题可知对任意的j ，jsn 一1 ，g v ( i 嵋工1 ) c 帆。 下面证明 g v ( w ；恤1 ) i n ) 中的元素互不相交。 设z w ；一ln g r ( w i l l 1 ) ，因为z w ；一1 ，z g ，g n 上1 = 0 ，所以z w ；一1 u 1 ，进而有7 ( 帆一1 u 1 ) ，这与z g r ( w ；一l u l ) 矛盾。 所以w ；一ln g r ( w i l l 1 ) = 口，因为对任意的j n ，j 一1 ，g v ( u 1 ) c ，所以r ( 矸名一，l 1 ) 与g r ( w i 一2 l 1 ) ，g v ( 叭l i ) 盼交集为空。由的任意性， 可知 g r ( w ；l 1 ) | ) 中的元素互不相交。 因为u ( a ) ( g ) c r ”，由引理2 1 6 知训g l 。是单射，所以 d ( g r ( w i l 1 ) 三2 ) i 女n ) 中的元素互不相交。又因为 眠= ( u d ( g r ( ”，1 l 1 ) 上2 ) d ( g r ( w 名一1 l 1 ) l 2 ) ) u g 下( w ，1 l 1 ) u - ug 下( i 住一1 l 1 ) 所以d ( k l 2 ) 一u 。下面我们证明叫l 。是单射。因为训u ，d i g l 。是单射，所以我 仃】只需证明当卫u d ( g r ( w 1 三1 ) l 2 ) d ( g 下( h 气一1 l 1 ) l 2 ) ，掣g 丁( 1 h l t ) 工2 u u g r ( w ；一1 u 1 ) 岛时，d ( 。) d ( g ) ，而这又是显然的。所以d l 如是单射， 由引理2 1 7 知u ( a 。) ”( w ；三2 ) = r 一( m o d 零测集) 。 m z 第二章箍点非扩展矩阵小波的存在性 ( 2 ) 我们用数学归纳法证明r 1 l 。是单射。 因为uw i + 7cr ”，由引理2 ，1 6 知r i 毗l ，是单射。 假设n = 一1 时成立，那么扎= 女时，对任意的z ，吼u 1 ，当g ，口帆一l l 1 时， 自然有r ( z ) = f ( ”) 辛z = 9 ，当。，9 g v ( w ；一1 l 1 ) 时，r ( 。) = 7 - ( g ) z = 9 也成 立，当z w k 一1 工l ，g r ( w i l l 1 ) 时，必有r ( z ) r ( ) 。这是因为： 若r ( o ) = r ( ) ，有r ( z ) = ，所以r ( w ；一1 1 ) ，这与g g v ( w ；一1 工1 ) 矛 盾。所以r i 矾、l 。是单射。 由毗的定义，计算得 以及 慨一- i i d ( g f ( 阢一l 三1 ) l 2 ) n 肌一- i + i g r ( ，工，) si g r ( w 名一l 工1 ) i + i d ( g r ( i 饩一1 l i ) 工2 ) l 2 f g v ( w 名一l l 1 ) i( 1 ) i 仉i l 帆一- i + ( j g l - i 一t 1 ) 一f 1 ( i g 卜i 毗一，i ) = 1 w 名一1 l + ( 1 一i a r l ) ( i g i i h 名一- i )( 2 ) 因为t i 帆l 。是单射，所以有l i 饥l 茎l g l ，由( 2 ) 式可推出 i g i 1 w ；i l a r 扣1 ( g l 一| 研) ， 这就意味着i i i g | a 另外由( 1 ) 式知 m 一1 ls2 i g v ( m 一1 l 1 ) is2 ( 蚓一i r ( 帆一- 恤1 ) 2 i a r “2 ( f g 卜i 胍1 ) 所以w k 是橱西列。因为l 1 ( f r ) 空间是完备的，所以存在r ，中的可测子集w 使得w k w ，即l w 气w ，| 一0 。 下面我们证明存在f p 中的可测子集w 使得 uw + 7 = ( m o d 零测集) ，u ( a 。) ( w ) = r “( m 。d 零测集) 1 z n女z 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 1 2 r i 帆l ，是单射辛ui l 1 + ，y c r ”辛u u l + ，y c r ，= r i ，l 。是单射。 1 e z “1 z “ 因为 w 三q i = l g l ，所以r l w ，l ，= g ( n 1 0 d 零测集) ，由引理2 1 ，7 我们有u ，7 三l 十 1 2 “ 7 = 丑p ( i n o d 零测集) 。 u ( a 。) 。( i k 三2 ) = f p ( m o d 零测集) ju ( a ) 2 ( 、岛) ci r 号d l ，l 。是单射。下 面我们需要证明d ( 工2 ) = 矿( m o d 零测集) 。令y 是含在矿的任一测度大于零的子 集，现在只需证明i d ( l 2 ) n v i o 。选取cw ；如。使得d 催) = y ，则 | 矿i ，另外取膏足够大使得i w ；i 0 得证。由引理2 1 7 知0 ( a 2 ) 。( 彬7 l 2 ) ：= r “( i n o d 零测集) 。 女z 另= l l 三2 ，我们就有 u ( a ) ( ) = 舻( m o d 零测集) ，u + 7 = r “( m o d 零测集) 口 k z1 e z ” 注记：命题2 2 2 告诉我们只要矩阵a 满足定的条件，如果找到一个集合满 足u ( a ) 。( ) = ( m o d 零测集) ，0w + ，y c 甜，那么就存在( d ，z “) 小波集， 轴；z z 4 d 一 a ，j z ) 。 2 3 主要结论 定理2 3 1 是命题2 2 2 的一个具体的应用，它是解决我们所提出问题的主要定理。 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 1 3 定理。3 - 设a 是n 阶实矩阵，a = ( 孑1 二。) ，其中，a - 是n ，阶扩展矩 阵，a 2 是n 2 阶行列式不为0 的幂等阵，即存在n z ，使得a ；+ 1 = a 2 ，n 721 ，那 么，存在形中可测子集，使得0 ( a 2 ) ( ) = r n ( m o d 零测集) ，0 + 7 c 证明：记日= a ，b l = a i ，b 2 = a ；，令晶= 尬2 ，其中尬是有 界的( d - ，z “) 小波集，d l = a j ，j z 。我们有u b ( e 1 ) = f p ( r n o d 零测集) 。 令如= i p u 丑。( 蜀) ，定义映射d ：l p 三2 - e 1 ，使得对任意的z r ，岛， d ( z ) = b “。日。在i p 2 中，取 = o ，1 ) ”，则u + ，y = 丑，2 。因为 厶+ 7 1 7 z ”) 有可数多个，所以可对其排序并记为乃，j n 。令= b 一“_ 1 ) 一【 以厶 ， = u 巧，下面我们证明ub 。( w 7 ) = 丑，( m o d 零测集) 。 j ；l* z 因为对任意的j n ，b 【j - 1 妒( ) 一蝇乃，u 尬= e l ，即d ( ) 一e 1 ， j 而且u 王，七( 置) = b r ( m o d 零测集) 。由引理2 2 6 知我们只需证明d i ，是单射。 ( 1 ) 对任麓 的g ，y w 0 ，且。口，d ( z ) = 丑p 一1 ) “z ，d ( ) = b a 一1 ) 一，贝0 d ( z ) d ( g ) 。( 若b o 一1 ) z = b o 一1 ) “号b o 一1 ) ”0 一f ) = o 辛z = ，矛盾) 。 ( 2 ) 设。w ，剪w 0 ， j 。d ( z ) = b “一1 ) 一。，d ( 掣) = b u 一1 ) ，贝9 d ( z ) d ( ) 。 ( 若d ( 。) = d ( ，) 垮硝- 1 一旺) n 础_ 1 ( ) 口辛厶n 0 o ，矛盾) 。 所以ub ( w ) = 矗r ( m o d 零测集) 。 女e z 下面令w = b 一”村w 7 ，m n ，m 取足够大，使得对任意的j n ，正玎“”一( r 1 ) ” ( m ) ci 一 ， 】n l ( 以是有界的) ，显然我们有u 丑( ) = r ，( m o d 零测集) 。下而我 们证明对任意m z ”，( + ) n ( + m ) = 0 。= ( h ，如) ，m = ( m l ，m 2 ) ，h ，m 1 z m ，m 2 z m 。因为l 矿= ub _ ”7 吖一u 一1 ) “( m ) ，所以 = _ ，( b f “一。一1 “( 脑) + 七1 ) ( 乃+ ) nu ( 日f 吖一( 2 1 ) ”( 蝎) + m 1 ) + m 2 ) ，“f c u ，【( b f 一村一。一1 ( m ) + h ) n ( b _ 一吖一卜1 ( 脑) + m 1 ) 】 ( + 乜) n ( 五+ m 2 ) 】 j 。 当j z 时显然为空集。j f 时，因为0b i 一”一u 叫n ( m ) c 【一 ，i 】n l ，若想使交集 当j z 时显然为空集。j f 时，因为ub i “”一u 。m 。( m ) c 【一 ， 】n l ，若想使交集 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 不空，只有1 = 2 ，“1 = “2 ，即女= m 。 所以uw + r c r “，u ( a 。) ( i v ) = r ”( m o d 零测集) 。口 z ” 七z 由定理2 3 1 及命题2 2 2 可推出如下定理： 1 4 定理。3 z 设a 是n 阶实矩阵，a = ( 1 三。) ，其中，a t 是n ，阶扩展矩 阵，a 2 是n 2 阶行列式不为0 的幂等阵，即存在n 7 z ，使得a ；+ 1 = a 2 ，礼1 ，那 么，存在r ，中可测子集，使得 u ( a ) ( 渺) = i p ( m o d 零测集) ，u 形+ 7 = l p ( m 。d 零测集) e z1 z 8 将命题2 2 1 和命题2 2 2 中的z “改为满秩格r 时，上述结论仍然是成立的。由此， 我们可以将定理2 3 2 进一步推广。 、 定理2 3 3 设a 是n 阶实矩阵，a ：f a 1 0 i1 ，其中，a 1 是n l 阶扩展矩 oa 2 阵，a 4 是任意的”2 m 维矩阵，a 2 是n 2 阶行列式不为0 的幂等阵，即存在n 7 z ， 使得a 争“= a 2 ，n 1 ，那么存在丑，中可测子集”，使得 u ( a 。) ( w ”) = ( m o d 零测集) ，uw ”+ 1 = 舯( m o d 零测集) k z1 孑“ 证明：取满秩格r ，= a j z ”的基本格f ，满足uf + 7 = i p ，使得以原点为内 点，即存在n r ，满足( 一o ，o ) “，cf 。在定理2 3 1 中，令= b ”7 ，m n ， m 取足够大，使得对任意的j n ，b m 一一1 ( 尬) c 卜n ，0 n ，( 矗是有界的) 。 此时的b 和丑l 就是定理2 3 1 中的b 和b 1 。 考虑满秩格r _ u 矿，u = ( 鬟) ，a 3 是任意煳- 维实矩阵 是a 3k n 2 阶单位矩阵。显然我们有ub 。( w ) = l p ( m o d 零测集) 。下面我们证明对任意 m 1 1 ，( - 矿+ 南) n ( + m ) = 0 。七：( h ，如) ，m = ( m 1 ，m 2 ) ，七l ，m 1 r “1 ，七2 ，m 2 r 4 2 。 h = 雹o l ，m l = a i 掣l z 1 ，掣l z m 。= a 3 z l + 2 ，m 2 = a 3 可1 + 啦， 第二章整点非扩展矩阵小波的存在性 z 2 ，驰z m 。因为w = ub _ 一盯一u 一1 “( 恤) 厶，所以 j 1 5 = u ( b _ ” 一u 一1 ”( 尬) + 七1 ) ( 易+ 南2 ) nu ( b f “7 村一2 1 “7 ( 以) + m 1 ) ( 五+ m 2 ) c u ( b i m o 一1 ( a 矗) + h ) n ( b _ f u 一1 利( 尬) + m 1 ) 】 ( + 也) n ( 五+ m 2 ) 当j z 时显然为空集。j = z 时，若h l 仍然为空集。当- = m t 时。有0 1 = 玑， 。2 驰。因为( 厶+ 岱2 ) n ( + 抛) = o ，所以( + 南2 ) n ( 易+ m 2 ) = o 。 即u + ，y c i p ，u ( b ) 。( ) = i r ( m o d 零测集) 。由命题2 2 2 知，存在丑，中的可 测子集，满足u + 7 = f p ( m o d 零测集) ，u ( b ) ( 7 ) = 日，( m o d 零测集) 。下 面我们利用引理2 1 4 将满秩格r 转化为矿1r ，即z “。 n ( 广n 一( p 州羟) ( 麓) = ( 三。圳般) =