（光学专业论文）光致离解和光电离过程中的物理特性分析.pdf

光致离解和光电离过程中的物理特性分析 丁瑜 摘要：量子力学由于能够解释物质所有的化学性质和其他各种性质而获得极 大的成功。但关于光和物质的相互作用还是存在问题。在1 9 2 9 年，一种新的理论一 关于光和物质相互作用的量子理论终于诞生了。这使得光与物质的相互作用成为 人们关注的焦点。本文主要研究光与物质相互作用过程中光碎片角动量的极化( 取 向和排列) 及光电离过程中的电离相干。研究了在轴反冲限制下，对各种不同的 偏振光( 线偏振光，圆偏振光，非偏振光) 离解后角动量极化的结果。当光与原 子相互作用发生电离时，产生的电离波会发生相干现象。本文运用分波展开法， 通过电离态上的粒子布居研究了电离相干现象，同时考虑到精细结构中分裂能级 问的相互作用，用掰( 撑为整数或半整数) 脉冲，进一步阐明了电离现象。 第一部分：主要研究在轴反冲近似情况下，光与物质相互作用，不同的偏振光入 射后，离解碎片的角动量极化。 本文详细讨论了不同螺旋量子数( 在反冲方向k 上角动量，的投影q ) 的分 离能级被相干激发的情况。正如我们所期待的，矢量相关作为碎片反冲方向k 的 函数提供了很多从标量性质中很难提取到的重要信息。可以直接讨论光离解过程 中的激发矩阵和态多极，计算出光离解的微分横截面和碎片的角动量极矩。 第二部分：利用分波展开法通过电离态上的粒子布居研究电离相干现象。 本文提出了通过把连续的电离波展开为分波的方法，找到了电离态上的相干 现象。由于外场作用，原予中精细结构中的两分裂能级会发生能级间的耦合作用， 同时由此分裂能级产生的两通道电离会发生相干。通过改变通道间的相位等因数， 会影响电离态的粒子布居，利用这种方法可以研究双通道电离间的相互作用。 关键词：双光子共振三光子电离取向排列角分布光电离 光离解 p h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i c si nt h ep r o c e s so f p h o t o d i s s o c i a t i o na n dp h o t o i o n i z a t i o n d i n g y u a b s t r a c t ：q u a n t u mm e c h a n i c sh a sa c h i e v e dg r e a ta c h i e v e m e n t sd u et ot h e e x p l a n a t i o n so fc h e m i c a la n do t h e rp r o p e r t i e s ，h o w e v e r , t h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e n m a t e r i a l sa n dl i g h ta r es t i l ln o ta s s u r e d i n1 9 2 9 ，an e wt h e o r yo fi n t e r a c t i o n sb e t w e e n m a t e r i a l sa n dl i g h tw a sg e n e r a t e d ，w h i c hm a d et h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nm a t e r i a l sa n d l i g h tb e c o m et h ef o c a lp o i n to ft h ea c a d e m i a t h em a i np o i n t so ft h i sa r t i c l ea r et o d i s c u s st h ep o l a r i z a t i o n ( o r i e n t a t i o na n da l i g n m e n t ) o ft h ef r a g m e n t si nt h ep r o c e s so f s t u d y i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nm a t e r i a l sa n dl i g h ta n dt h ei o n i z a t i o nc o h e r e n c ei n t h ei o n i z a t i o np r o c e s s t h ep o l a r i z a t i o no fa n g u l a rm o m e n t u ma f t e rt h ei o n i z a t i o nf o r t h ed i f f e r e n t p o l a r i z e dl i g h t s ( 1 i n e a r l yp o l a r i z e dl i g h t ，c i r c u l a rp o l a r i z e dl i g h t ， u n p o l a r i z e dl i g h t ) h a sb e e ns t u d i e du n d e rt h ea x i a l - r e c o i ll i m i t t h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nl i g h ta n dm a t e r i a l sc a nb r i n gt h ei n t e r f e r e n c eo ft h ei o n i z a t i o nw a v e s t h e a r t i c l ea l s oi n c l u d et h a ti nt e r m so fp o p u l a t i o no ft h ei o n i z a t i o ns t a t e s ，t h ep h e n o m e n o n o fi o n i z a t i o ni n t e r f e r e n c ei ss t u d i e db yp a r t i a l - w a v ee x p a n s i o nm e t h o d c o n s i d e r i n g t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ns p l i t t i n gl e v e l si nt h ef i n es t r u c t u r e ，t h er e s u l t so fn u m e r i c a l s i m u l a t i o no ft h ep o p u l a t i o ni nt h es t a t eo fi o n i z a t i o ni sg i v e nb yn pp u l s e s ( 厅m a y b ei n t e g e ro rh a l f - i n t e g e r ) t h ef i r s tp a r t ：t h ep o l a r i z a t i o no ft h ef r a g m e n t sh a sb e e ns t u d i e dw h e nd i f f e r e n t p o l a r i z e dl i g h t si n t e r a c tw i t hm a t e r i a l su n d e rt h ea x i a l - r e c o i ll i m i t t h ec o h e r e n t e x c i t a t i o nb e t w e e nl e v e l sw i t hd i f f e r e n th e l i c i t yq u a n t u mn u m b e r sh a sb e e nc a r e f u l l y d i s c u s s e d a sw ee x p e c t e d ，v e c t o rc o r r e l a t i o na saf u n c t i o no fkh a sp r o v i d e d i m p o r t a n ti n f o r m a t i o nw h i c ha r ed i f f i c u l tt og e ti nt h es c a l a rn a t u r e s w e c a nd i r e c t l y d i s c u s st h ee x c i t a t i o nm a t r i xa n ds t a t em u l t i p o l c si nt h ep r o c e s so fp h o t o d i s s o c i a t i o n ， c a l c u l a t et h ed i f f e r e n t i a lc r o s ss e c t i o na n dp o l a rs p a no fa n g u l a rm o m e n t u m t h es e c o n dp a r t ：t h ei n t e r f e r e n c ep h e n o m e n o no fd i s s o c i a t i o nh a sb e e ns t u d i e d u s i n gt h ep a r t i a l - w a v ee x p a n s i o nm e t h o dt h r o u g ht h ep o p u l a t i o ni nt h e s t a t eo f i o n i z a t i o n i nt h i sa r t i c l e ，w ep r o p o s e dan e wm e t h o dt oe x p a n dc o n t i n u o u sw a v ei n t o i i p a r t i a lw a v e ss oa st of i n dt h ei n t e r f e r e n c eo nt h es t a t eo fi o n i z a t i o n u n d e rt h ea c t i o n o fl a s e rf i e l d ，t h ec o u p l i n ge f f e c to ft h ef i n el e v e l so ft h ea t o ma r i s e d ，a n da tt h es a m e t i m et h ei n t e r f e r e n c eb e t w e e nt w oc h a n n e l so fi o n i z a t i o no c c u r e d b yc h a n g i n gt h e p h a s ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w oi o n i z a t i o nc h a n n e l s ，t h ep o p u l a t i o no ft h ei o n i z a t i o n s t a t ea r ea f f e c t e d s ot h a tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h et w oi o n i z a t i o nc h a n n e l sc a nb e s t u d i e d k e yw o r d s ：t w o p h o t o nr e s o n a n tt h r e e - p h o t o ni o n i z a t i o n o r i e n t a t i o n a l i g n m e n tq u a n t u mi n t e r f e r e n c ea n g u l a rd i s t r i b u t i o n p h o t o ni o n i z a t i o np h o t o nd i s s o c i a t i o n i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者繇了嗡瞧矽7 j 乙 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学。本 人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大 学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版 和纸制版；有权将学位论文用于非盈利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆、院校资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：t j喻 日期：坳7 、诺 1 1 研究现状和进展 第一章引言 近些年来，随着量子电动力学和激光的问世，光与物质的相互作用越来越受 到人们的关注。光与分子相互作用会引起分子离解，光与原子相互作用会引起电 子的电离。到目前为止，已经有很多人致力于这方面的实验和理论研究。d i x o n i 驯 曾提供了通过分析多普勒线形确定l j ，k l 相关的一般方法。他给出了偶极距的显式 表达式，这里偶极距是由依赖于多普勒线形的极化产生的。同时，他给出了碎片 动力学性质的半经典描述中偶极距的合理解释，并提供了运用这种方法处理问题 的特殊例子。在文献【2 3 】中，d i x o n 指出，偶极距理论上可以通过光离解动力学的 一般量子理论和相关的势能表面和跃迁偶极距知识来计算。当角动量不太大，或 者当我们非常需要矢量相关函数的显式表达式的时候，这些全量子的处理方法是 必要的。 离解后的光碎片存在各种极化情况。对原子光碎片极化的研究可以洞悉更基 本的物理过程。早在1 9 2 8 年，在n a l 光离解的研究中，m i t c h e l l 就提出原子的光 碎片可以在光离解过程中极化【1 1 。1 9 6 8 年v a nb r u n t 和z a r e 就讨论并预言了电激 发的光碎片可以产生极化荧光。所有这些表明原子的极化来自于电离过程中分子 的总角动量沿某固定坐标轴的投影( q 。一1 + m 。i ) 守恒2 1 。对原子光碎片极化 的实验观察始于1 9 8 0 ，包括在c s l p 州离解过程中对基态c s ( 2 屯原子取向和 n a z 离解过程网中激发态 k 气原子排列的报道。 1 2 本论文的工作 对分子光离解过程中的矢量性质的研究，作为获得碎片动力学详细信息的一 种途径在实验上和理论上越来越受到人们的重视。例如，离解碎片的角动量极化 对应的是矢量7 和z 的关联函数。在简单的实验情况下，极化的程度是由取向和排 列表征的。取向指的是( f ，) ，排列指的是( ) 。另一个矢量性质是离解碎片的空 间角分布，这指的是离解碎片的反冲矢量k 与空间固定z 矢量的相关。在许多实 验中，测量结果不能区分相关函数i ，z l 和l k ，z i ，因此当离解碎片的角分布 ( 1 k ，z1 ) 一定，不考虑碎片的角动量极化时，取向和排列( 1 ，z1 ) 通常测量的 是所有散射方向的平均值。这些测量提供了有关于激发态的对称性和半碰撞过程 中动力学性质的许多重要信息。然而，正如h o u s t o n 和他的合作者所强调的，关 于光离解过程中的详细信息的获得是由l ，k l 的相关决定的。l k l 的相关可以通 过测量光碎片的角动量极化函数来确定。光碎片角动量的极化是碎片反冲矢量k 的函数。这一关系是在分析激光诱导荧光谱得到的次多普勒线型的基础上得出的。 d i x o n 曾提供了通过分析多普勒线形确定1 kl 相关的一般方法。对于线偏振光， 相关是由一系列平动和转动角分布的偶极距来定义的。 这里研究的问题与自旋和光电离过程中研究的角动量极化有关。初始状态任 意取向的分子被光离解成两部分，其中一部分携带角动量，运用轴向反冲近似， 线偏振光、圆偏振光及非偏振光入射后，角动量极化的显式表达式都可以给出。 在这里详细讨论了不同螺旋量子数( 在反冲方向k 上角动量，的投影q ) 的分离 能级被相干激发的情况。正如我们所期望的，矢量相关作为碎片反冲方向k 的函 数提供了很多从标量性质中很难提取到的重要信息。尤其是可以用角动量空间分 布的取向和排列确定个体的绝对大小以及跃迁矩阵元的相对相位。 光电离过程中，电离波为连续波，运用分波展开法，可以得到一系列电离态。 由于能级的精细结构，不同通道的电离波就会发生相互作用。运用这种量子化的 方法，可以研究不同通道的电离波间的相干。运用龙盖库塔法，可以得到电离相 干的模拟结果，同时运用分波展开法可以得到其解析表达式。 2 第二章角动量和波函数 2 1 角动量算符 一个质量为腕，速度为矿的粒子，在坐标系中处在，处，根据经典力学1 6 】，粒子 的线动量p 为， p 4m v ( 2 - 1 1 ) 角动量f 可以写为： 1 ir p ( 2 1 2 ) 根据量子描述，( 2 1 2 ) 可以通过把p 替代成( ) v ，其中j l 一勉，i i 为普朗克 常数，v 为梯度算符，其笛卡儿分量为： v 旦j + 兰夕+ - - ! z (2-1-3)ox 砂。 把 、。 7 上式中毫夕，三表示单位矢量。为了推导方便，令壳- 1 ，所以p 的笛卡儿分量为： p ，一。去，p ，一一z 熹，p ：一一鲁 譬士 p z 。川面，p ，。叫石，p ：。叫石 譬1 4 ) l 的分量为； l 一即：一孕，一- f ( y 昙一z 砉) 卜孕。一印：一- i ( z - 耋一工旁( 2 - 1 - 5 ) l 一印，一弦，- 。 昙一) ，丢) 在量子力学中m ，别- a b b a 7 1 ，其中如果待观测量彳和b 同时可测，那么就说算 符爿，b 对易。也就是说【4 ，b 】一0 【8 l ，从( 2 1 4 ) 式可以看出粒子的位置矢量和它 的动量满足基本对易关系： 【z ，n 】- i h ，i x ，p ，卜0 ，【工，p ：】- 0 ( 2 - 1 6 ) 以上关系循环成立因此可以看出不可能同时测量粒子在任意时刻沿相同方向的位 置和动量 ，的笛卡几分量满足的对易关系可以写为： 【，l y 】if 壳t ，【，t 卜f 壳l ，i t , ，t 】一i h l ，, ( 2 - 1 7 ) 3 方程( 2 - i - 7 ) 中阐明了一般量子态不能具体用角动量超过一个本征值的三个分量来 描述对应着相互对易关系最多的“好”量子数可以描述量子力学系统的最多信息 由于对易性很重要，下面我们定义【9 l 一个一般的角动量算符j 满足其三个笛卡儿分 量的对易规则： 【l ，矗】= f 红，【l ，丘】= f 纸，【l ，l 】= f 机 ( 2 - 1 8 ) 在下一部分中，我们可以看到，允许自旋的存在所以我们把，称为轨道角动量，为 总角动量 2 2 本征值和角动量算符的矩阵元 总角动量的平方定义为： j 2 = j ：+ j ：+ 迁 ，2 算符有如下对易关系： 【，2 ，l 】一【，2 ，川- 1 2 , l 1 - 0 因此态l 肋) 可同时作为，2 和j 的任意分量( 这里取，；) 的本征函数，即 j 2 l 加) 一a 一肋) j , j m ) 一所l 加) 通过计算我们知道本征值旯，；( 肋l ，2 l j - 锄一( 伽i j ：i 加) 算，- 2 + 髟一，2 一，；在i 加) 表象中是对角化的而且有非负本征值 ( f + 刀1 肋) 一( a 厂m 2 ) i j , n ) 引入升降算符，定义为： j + 一j x + 习y ，j 一= j 。一i j ， 由( 2 1 8 ) 和( 2 - 2 - 2 ) 式可知，升降算符满足如下对易关系： 4 ( 2 2 - 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 - 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 2 5 ) u 2 ，。】一0 ， f ，：，；】- 歹。， 【，+ ，歹一】i2 j ： 通过测试函数，。l 肋) 的行为，可以发现 j 2 ，t i 加) 一，。，2 i 加) - 0 j 。i 肋) 和j ：，。i 伽) ( ，。，：土j 。，加) 一1 ) ，。l 加) ( 2 2 7 ) ( 2 - 2 - 8 ) 因此可以看到，。ij , 是j 2 在本征值时的本征函数，同时也是j ：在本征值肌t 1 时 的本征函数。因此，函数，。i 加) 正比于归一本征函数i 肋1 ) ，也就是 j i 肋) - c 。i 加1 ) ( 2 2 9 ) c 。是比例常数。由于小的取值范围在m 。与肌一之间通过计算可得， c ：【j ( ，+ 1 ) 一历( ，打1 ) 】( j 1 0 ) 因此有下列关系： 撇：湍( 2 - 2 - 1 1 ) 2 3 角动量波函数 到目前为止，我们考虑的是在一个抽象的2 ，+ 1 维的矢量空间中的角动量本征函数 i 户咒) ，对整数，通常引入球极坐标用f 和态i 砌) 非常有用 则1 的各分量可以写为 工一，s i n p c o s # ) ，一r s i n o s i n 妒( 2 - 3 一1 ) z r c 0 s 8 5 m ( 2 - 3 2 ) 式，可以得到， l ，- i ( s 呻寺一删去) 卜f ( - c o s 嘉俐心n 妒杀) ( 2 - 3 - 2 ) l 一。一f 旦 a 西 。( + 嘉+ 矧疗去 n t 击著+ 击扣n 口寿， 在该表象中，本征值方程为 ( 2 3 3 ) 佗- 3 - 4 ) 鼎刮俐概) ( 2 - 3 - 5 ) f ：i 砌) 一小f 砌) 解上述偏微分方程，得到的解为球谐函数1 7 1 ，即 p ，妒) 一i m ) ( 2 3 6 ) 球谐函数可以写成两个函数的乘积，一个跟极角口有关，另一个跟方位角毋有关 1 k ( 口，驴) 一e h ( 口) 垂。( 庐)( 2 - 3 7 ) 中。 ) 满足方程【_ + 历2 p 。( - 0 ( 2 - 3 - 8 ) “w 得到解为： m 。 ) ( 2 石) 一c x p ( 妇) ( 2 3 9 ) “p ) 满足方程【主b 历d ( s i n 口刍) + 砸+ 1 ) 一吾m 二巧2 】。p ) 一o ( 2 - 3 - 1 0 ) 对于m 0 ，得到解为 棚) 一锛【2 2 _ + 1u ( 1 训- m ) ! ! 1 ( s i n 矿丽d 面】+ s 2 一_ 1 ) f ( 2 - 3 - 1 1 ) 我们知道勒让德多项式为：( c 。叻= s i 矿研j 丢r a ( c o s o ) ( 2 - 3 - 1 2 ) 其中，a ( c 。妇) = 而1 唁石d 面】。( c 。孑口一1 ) f ( 2 - 3 - 1 3 ) 6 对比式( 2 3 1 1 ) ，( 2 3 1 2 ) ，( 2 3 1 3 ) 我们可以定义 e 删- ( - 州莩等篇弘p 既m 苫。 0 ，刊一( 一1 ) “0 i m ( j mj ，j 2 m 2 一屯一6 。， 2 4 2c l e b s c h g o r d a n 系数和3 一，符号的对称性和数值表示： ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 一年7 ) ( 2 4 8 ) c l e b s c h g o r d a n 系数之间的递推关系是通过在( 2 舢4 ) 式的基础上定义 ，：一 。+ j ：而得到的( 2 - 4 4 ) 式应用( 2 2 - 9 ) 和( 2 - 2 - 1 0 ) 式左边可以变为 ，。lj m i j ( j + 1 ) 一m ( m 1 ) y z i j m 1 ) 叱( 一所沏1 ) 】如，以册：j m l j 。m 。兄肌：) p 4 唧 魄+ 豇) ( ，- ，j 拂l 硎 ，伽z ) “i 忱 右边变为： - 防( + 1 ) 一惕( ，吩1 ) 弘( 肌，j 2 ，1 2 i 神i ，- 啊1 ，：) ( 2 4 - 1 0 ) “n “，：o ：+ 1 ) 一帆1 ) 产( ，兆f 神i ，m ，j 奶1 ) ) 通过( 2 4 9 ) 和( 2 - 4 - 1 1 ) 式对比可以得到如下关系： 【，( ，+ 1 ) 一m ( m t l ) 】为( ，。m 。，：m ：】肋1 ) 一【，1 ( ( ，l + 1 ) 一m 1 ( 埘。千1 ) 】乃( ，l m l 千1 ，2 1 7 1 2 i j m ) ( 2 - 4 1 1 ) + 【，2 “j 2 + 1 ) 一m 2 ( m 2 千1 ) 】尼( j 1 t n l ，j 2 m 2 千1 1 j m ) c l e b s c h g o r d a n 系数的显式表达式可以通过推导得到经过一系列的代数运算【1 0 l 可 以得芏u ： ( ，。m 。，：m ：i j ，珂，) - 6 ，。+ 。：，【( 2 ，+ 1 ) ! 兰二二三= ! ! ；j ；i 翌- f ：! 二型 ( ，。+ 小。) ! ( ，。一m 。) ! ( ，：+ m ：) ! ( ，：一m ：) ! ( ，+ 埘，) ! ( ，一刖，) ! 】( 2 - 4 - 1 2 ) 。；( 一1 ) 7 肛2 ( ，- + ，：一，3 - - v ) 2 ( j l - m - - v ) 2 ( j 2 + m 2 - - v ) 5 x ( ，3 一j 2 + m l + ，) ! ( ，3 一，i m 2 + ，) ! 】 当j j 。+ ，：+ a 爿= r v 取所有保证各因子非零的所有整数时，由( 2 4 1 2 ) 式可以给 出下面的对称关系： ( j i m 。，j ：m ：i j ，m ，) ( 一1 ) “+ 一6 ( j 。一历。，：一朋：i l 一所，) 一( 一1 ) “+ 一 ( ，：m ：，j i m 。i ，m ，) - ( - 咿 筹卜j l m l ) j 3 - m 3 忆叫” 。 - ( - 旷” 筹卜，叫，兄毗叫) ( 2 3 ) 一( 一1 ) “一“i2 2 j j ：3 + + 1 1 i 恐( ，m ，j ，一，栉- i ，：，雄：) + 一( 一1 p 2 m 2 j 3 + + 1 1 l 尼( j ：- m z , j , m 3 1 j - 卅- ) 一 引入如下的w i g n e r3 一，符号后，( 2 - 4 1 3 ) 式可以写成更对称的形式定义w i g n e r 3 一j 符号为 f - 27 3 1 ( 一1 ) 矗一( 2 ，+ 1 ) 彤( j 。埘。，j ：肌：i j ，一所，) ( 2 4 1 4 ) m i 小2m 3j i j l m l ) j z m ：i ，肼，) - ( 一1 ) “。如3 ( 2 ，+ 1 ) ( 妻，小j 2 ：一j 3 肼，) 从( 2 舡1 4 ) 和( 2 4 1 5 ) 可以得到如下关系： w i g n e r3 一j 符号中各列交换偶数次，值不变，即 ( 所j l j 2 皇) 一像删j 3 ，挣瞄妻。 交换奇数次，会有下列关系： 9 但4 - 1 6 ) ( 历j l j 2 挣p “m j l j 3 ) 一( 一) “2 “3 ( 三，m j 3 ，肌j 2 ：) ( 2 4 - 1 7 ) 七旷幔岫匕m j 2 ：_ ：，) 另外还有以下关系： ( m j l 。毫毫) 一c 一9 小小 ( 匕。二：乞，) g 4 - 印 2 4 3c l e b s c h g o r d a n 系数和3 一，符号的几何解释 我们观察c l e b s c h g o r d a n 系数和3 一j 符号的的矢量模型。根据图2 - 1 可以看出耦 合态i 加) 是有矢量 和j 2 考虑到各自的相位，耦合成，。尽管小一肌- + m ：，矢量，t 、 ，：和j 的相互关系依然引入了关于z 轴的非确定分量r n 。，m ：。 因此， c l e b s c h g o r d a n 系数( ，。m 。，：m ：l 加) 代表的是在耦合态i 加) 上能够找到j t 、j 2 在 z 轴的投影为j 。、，：的投影量子数肌，、m ：的几率振幅。对应的3 一，符号是该几 率振幅除以因子( 2 + 1 ) 。 y 图2 1 耦合态i j 掰) 的矢量模型表示 1 0 说到矢量模型，根据图2 - 2 非耦合态i j 。m 。，：所：) 是由矢量j l 、j 2 在z 轴独立作用 形成的，其投影为肌1 、m 2 。因此c l e b s c h g o r d a n 系数( j 1 历l ，2 脚2 i 肋) 可以解释为 它给出了非耦合态i 小，：肌：) 的几率振幅，该非耦合态是由j 。、，：瞬时耦合形成 的耦合态l 加) ，该耦合态的长度为【，( ，+ 1 ) 】。c 1 e b s c h g o r d a n 系数的平方代表几 率，它取0 到1 范围内的合适分数。 z y 图2 2 非耦合态l ，m 。，2 m 2 ) 的矢量模型 运用矢量模型对计算( 小。，：肌：i 加) 2 的值非常有益。让我们回到图二，由于把整 个图作为一个整体具有轴对称性，我们可以固定 的任意趋向，考虑，：沿z 轴的 进动，如图三所示。我们分别用( 吼，咖) 和( 吼，九) 表示，和j ：的极角，用y 表示j 。 和，：之间的夹角。那么， =71j刎,uj2l(clouji ( c o s o , 瞄c o s r 0 2 + s i n 0 1s i n o z c o s ( c , 一九) ) ( 2 4 1 9 ) + 一九) ) 其中( 办一办) 是在平面凡和j ：之问的二面角。很明显，这个二面角随着，：沿z 轴 的进动而均匀变化。 1 1 图2 - 3 非耦合态l j i m l ，2 m 2 ) 变化的矢量模型 我们对( 2 4 1 9 ) 式对时间f 求导得到，的长度变化速率。根据余弦定理， 阶一时+ 蚶一圳j z l c o s 7 化4 2 0 ) t i ，1 2 + l j ：1 2 2 歹。歹： 因此， 丢瓴境) 一一三知| 2 - | h ，：门t i 卅百d l j l ( 2 - 4 - 2 1 ) 所以， i 州掣制忡吣s i n 0 2s i n 协刊等芦 ( 2 - 4 - 2 2 ) 然而，如图2 - 3 所示，。、，：、，矢量在砂平面的投影是一个三角形，它的三边 分别为j 。；i ，i s i n o , ，s ：一i j z s i n o ：，s l j s i n o ，l j s i n o 所对的角就是二面角 似一识) 。三角形的面积为 厶( ，：，) 。i l s , x s 2 1 ；丢s i n 岛吲s i n p ：s i n ( 办一九) ( 2 - 4 - 2 3 ) 与( 2 4 2 2 ) 比较，可得， a l j _ _ _ l l ；2 型生掣( 2 - 4 2 4 ) 2 一r 一 1 通过设定关系掣。幼归一化变化率，也就是说，每单位时间内的旋转。，1 、 4 f j ：合成的矢量大小为 爿，其在停留时间内的密度几率联d 。酽l j y a t ) ，因子2 来 源于二面角由0 到2 ，r 变化时，i 州的大小变为原来的两倍。即 删一去 ( 2 4 2 5 ) 因此根据矢量模型【- u ，j , m l , ，：脚：l 矩) 2 正比于l 彤，反比于( ，j ：，) 所形成三角 ， 1 2 - 1 4 一 ! 一m j2 n r ( 2 j + 1 m ，( j - ，2 ，) 4 利，( ，1 ，2 ，) ( 2 4 - 2 6 ) 当j 取大值的时候，l 卅一，+ 去。( 2 4 2 6 ) 式给出了在角动量取极大值时3 一，符号 平方的几何解释。 下面根据图2 - 3 ，把( 2 - 4 2 6 ) 式量化。根据余弦定理 s i n ( 疵一如) - 【1 一c o s 2 ( 唬一九) 】尼 - 【1 - ( 坦嚣半旷 q 4 2 乃 将( 2 4 - 2 7 ) 带j k ( 2 4 2 3 ) 得到面积的表达式： 厶( ，。，：，) 。要k + 6 + c ) 2 一洳z + 6 ：+ c 2 烀( 2 - - 4 - 2 8 ) a 一，。( + 1 ) 一m ； 其中， bt ，2 ( j 2 + 1 ) 一，”2 2 ( 2 - 4 - 2 9 ) c j ( j + n 一历2 因此，( 2 - 4 - 2 6 ) 式变为， ( 妻，历j 2 ：一j 所) 2 一丽五i 去砑 注意当0 + 6 + c ) 2 2 ( a 2 + 6 2 + c 2 ) 为负时，3 一，符号经典来讲是禁止的，即经典几 率为0 。 1 4 第三章转动算符及张量算符 3 1 转动矩阵与转动算符 3 1 1 旋转算符的定义 绕任意 轴旋转口角的旋转算符定义为r 。 ) 一e x p ( 一i a j 憎) ( 3 1 1 ) 其中 j 蠢一一f 毒，_ ( 3 1 2 ) 如果系统绕五轴旋转，那么角动量在五轴的分量是不变的 尺 ，口，z ) - e x p ( - i z ) e x p ( - i 0 y ) e x p ( - i x j z )( 3 1 3 ) 回到角动量旋转时变换性质的一般问题首先，认为任意旋转不会改变，的值，因为 正如( 3 1 - 1 ) 定义的，- ，2 算符和旋转算符是对易的 【r 似) j 2 】i 【e x p ( - a y 晡) ，j 2 卜喜一口) 7 【，五) 7 ，2 卜o ( 3 - l 。4 ) 如果旋转是沿 ，2 和：的本征态i 脚) ，那么只能把l 埘) 变换为关于膨的线性求和 月( 妒，口，z ) i 删) 。荔d 二竹x ) i j m ) ( 3 - 1 - 5 ) 其中展开系数d 矗】i f ，0 ，z ) - 沁( 庐，0 ，x ) i j m ) ( 3 - 1 - 6 ) 是关于r 的( + 1 ) ( 2 ，+ 1 ) 阶幺正矩阵的矩阵元【1 2 1 把( 3 - 1 3 ) 式带入，( 3 - 1 6 ) 式可简写为d 矗mp ，0 ，z ) 一。一+ d 二i fp 弦州( 3 1 - 7 ) d 二鲥( 口) - ( j j l f l e “7i j m ) ( 3 - 1 8 ) 旋转矩阵的性质中核心问题是d 二m ) 的演化问题b k ( 3 - 1 8 ) 式可以看出d p ) 由 j ，决定的，而w i g n e r 曾经说过，d 矗wp ) 可以写成极角的有限项多项式的形式 d 二m p ) 一【u + 肘) ! u 一肼) ! u + m7 ) ! u m ，) ! 】尼 ；矿万丽矗芒丽而( 3 - 1 - 9 ) 【c o s 乓) 1 2 ，一一。“【一s i n 乓) 】w m 求和是对所以能保证各因子非负的整数， 3 1 2 d 矗m ( 0 ) 的性质 d 二射( 0 ) * d ：。一。，( 口) d 二2 i f ( 一0 ) = ( 一1 ) ”。”d 二。( 口) d 二”( - a ) 一d 矗。，( 口) 以上三个式子合在一起可以写为 d 二j l f ( 口) 一( 一1 ) u - md 知，( 口) 一( 一1 ) ”“d 名，一。( 一) 由于旋转矩阵是幺正矩阵，它们满足如下求和规则 荔【d 二m 僻) 】d 矗俾) 。荔d 厶，p ) j ”p ) l6 一 弘d 二”( 月) 】蝶 ( r ) 4 荔d 知，( p ) d ”j m ( 疗) _ 6 ” o - 1 一l o ) ( 3 1 1 1 ) ( 3 1 1 2 ) o 一1 1 3 ) ( 3 - 1 1 4 ) f 3 1 - 1 5 ) 3 2 球张量算符 3 2 1 球张量算符的定义 定义一个k 阶不可约球谐张量算符t ( k ，q ) ，q 一一豇，- k + 1 ，k r t ( k ，口) r 一屹 沙 ，q ) ( 3 。2 - 1 ) 考虑到我们的问题既有空间固定坐标系又有分子体坐标系，我们定义t ( k ，p ) 为在空 间固定坐标系的球谐张量，t ( k ，q ) 为分子体坐标系中的球谐张量贝f l ( 3 2 - 1 ) 式变为 t ( k ，口) 一d ，k 。( r 矿( 七，p ) ( 3 - 2 2 ) 这说明通过旋转，t ( k ，q ) 在分子体坐标系中的分量和t ( k ，p ) 在空间固定坐标系中 的分量相关运用旋转矩阵的幺正性，并对( 3 - 2 - 2 ) 式左右两边乘以d 量俾) 对g 求和， 我们得到 t ( k ，p ) = 2d ：q ( r ) t ( k ，日) ( 3 2 _ 3 ) q 3 2 2w i g n e r - e c k a r t 理论 设有矩阵元缸删i r ，q ) l a j m ) ，态矢量r ，q ) i 口7 m7 ) 在 d 表象中做旋转 变换我们把它分解到不可约表象中 1 6 r t ( k ，口) i 口。竹) 】一r t ( k ，q ) r 1 r l a j m7 ) 。；d l ( r 矿( 七，q ) 摹d 二w ( 尺) i 口7 m ”) ( 3 - 2 - 4 ) 。三d l ( r ) d 加r ) 【r 州) i 口。m ”) 】 ( 3 2 - 4 ) 抛( 2 k + i x 2 j + 1 ) 维矢量r ，吁) l 口7 m ， 通过旋转变换到d d ，直积 空间中 考虑到c l e b s c h g o r d a n 理论中两个旋转矩阵的乘积是c l e b s c h - g o r d a n 系数乘 以一个旋转矩阵d ，其中k 从k + ，到i k - j l 。因此我们会问由2 k + 1 个函数构 成的d 。表象的基即特殊态矢量l 脚，q ) 的变换z ( 七，q h 口= ，竹，) 的线性组合是什么? 这个问题的答案是c l e b s c h g o r d a n 系数与角动量耦合来完成的，即 i 芦g o 。荔，( 幻，j m ”i k q ) t ( k ，q ) i a 7 m ) ( 3 - 2 - 5 ) 我们乘以矩阵元( 以mi ： ( 洲i 艘) 。荔，( 幻7 ，删i ) q 枷m ) 两边同乘以( 幻，j m i k q ) 并对k ，q 求和，得到： ( 3 - 2 - 6 ) ( 伍7 m p ，叮) l a = ，m ) 。荟( 甜m i 脚( q ) ( 幻，m l 磁) ( 3 - 2 - 7 ) 但是上式中如果，- k ，m q 标量积( 甜m l f l k q ) 就会消失。当以上条件满足时， 标量积的值就会与m 无关，也就说，不随旋转而变。因此我们把( 3 2 - 7 ) 式写为： ( a m i t ( k ，q ) l a s r 锄r ) - 妇，j m i j g ( 叮l l t , i l a j ) k 可以由，替换。这里( 甜i k 忙7 ，) 等于( 甜m i 肜m ) 叫做瓦的约化矩阵元。这些 结果表明t ，q ) 的矩阵元中的物理部分体现在约化矩阵元中，而几何部分则体现 在c l e b s c h g o r d a n 系数中。 1 7 习惯上上式可以写为： ( 枷懈g 咖) i ( 刮刊：舻川州巧) ( 3 - z - 8 ) 为了提醒还有一个因子( 2 ，+ 1 ) ，这里把( a 钏瓦9 可) 写为仁圳r 0 可) 。因为 知道约化矩阵元扛钏丁0 可) 的值，我们可以写出所有( 2 j + 1 ) ( 勉+ i x 2 j + 1 ) + 5 嗣 的可能矩阵元仁，锄i i t l j 。m 。) l j ：m ：) ( 3 - 2 - 1 2 ) 用3 一，符号可以表示为： 旧胁) 。磊( 伽衙+ 1 ) ( ，：。m j 2 ：肌) l 肌) l j ：蝴( 3 2 1 3 ) 同时我们引入球张量算符r 0 。，吼) 和u ：，q ：) 分别独立作用于空间1 和2 ，因此 t ( k 。，吼) 和u ( 七2 ，留：) 对易。我们把由r ( k 。，吁。) 和， 2 ，q 2 ) 构成的球张量x 仲，g ) 写成 下列形式： z ，q ) - 隹。q 。，k ：q ：| 幻矿 。，q 。) 【，( 七：，q ：) ( 3 2 - 1 4 ) 用3 一，符号可以表示为： x ( 七，鼋) 一荟( 一1 ) 。乜+ 9 ( 2 七+ 1 ) 必( ：2 ：! q ) r - ，口- ) u ( 七：，孽：) ( 3 - 2 - 1 5 ) 计算一般矩阵元的值 ( 础：川