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武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。一 计算题（20分4题）1.粒子以能量E由左向右对阶梯势入射，求透射系数。讨论如下三种情况：（1）U0E0；（3）E0,但由右向左入射。解： U0E0写出分区薛定谔方程为：令：，可将上述方程简化为：一般解可写为：由 有限，得 B0由波函数连接条件，有：解得： 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数满足 R+D1可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x0 写出分区薛定谔方程为：令：，可将上述方程简化为：一般解可写为：考虑到没有从右向左的入射波，B0由波函数连接条件，有：解得： 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数满足 R+D1可见，尽管E0，但仍有粒子被反射。 E0,粒子从右向左入射仿，有但 B为入射波系数，B为反射波系数，A为透射波系数，A0.由波函数的标准条件，有解得： 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数满足 R+D1 可见，仍有粒子被反射。2.一维谐振子在t0时处于归一化波函数 所描述的态中，式中均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：（1） 待定系数C；（2） t0时，体系能量的可能取值及相应的几率；（3） t0时，体系的状态波函数。（4） t0与t0时体系的。解：用Dirac算符 由 ，可求得 能量可能取值 ， 相应的几率 1/2， 1/5， 3/10 因为n0,2,4都为偶数，故宇称为偶 利用 ，有 0 3.若试探波函数取为，其中N为归一化波函数，为变分参数，试用变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。解： 先将波函数归一化 而氢原子的哈米顿为 所以 令 ，得到 所以：，精确解为： 变分值略大于精确值。 基态波函数为 4.两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0xa)内，忽略两电子间的相互作用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。 解： 忽略相互作用时，体系的能量本征值为 （n1，n21,2,3,） 体系的总波函数是反对称的： 基态n1n21，基态能量为 基态波函数为 可见基态能级不简并。 第一激发态，
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