（计算数学专业论文）h2最优控制与模型匹配问题.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文叙述了皿控制设计的频域法，介绍了用互质分解法得到最优控制器的参数形 式。同时论证了马最优控制的标准闯题与模型匹配问题之间的关系。证得模型匹配问 题中的最优解为垂= 0 ，并在此基础上指出了最优控制器的参数形式与一般控制器之间 的等价性。最后给出了性能指标取得最小值时的条件。 关键词：必控制；模型匹配；标准问题；最优解 马最优控制与模型匹配问题 t h ep r o b l e mo fh 2o p t i m a lc o n t r o la n dm o d e lm a t c h i n g a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w es t a t ef r e q u e n c yd o m a i n m e t h o do fh 、c o n t r o l l e r f i r s t l y ， p a r a m e t r i cf o r mo fo p t i m a lc o n t r o lc o n t r o l l e ri sa b t a i n e du s i n gc o p r i r n ed e c o m p o s i t i o n m e t h o d s e c o n d l y ，t h er e l a t i o nb e t w e e ns t a n d a r dt h eq u e s t i o no f 鼠o p t i m a l c o n t r o l c o n t r o l l e ra n dt h eq u e s t i o no fm o d e lm a t c h i n gi sd e m o n s t r a t e d f i n a l l y ，w ep r o v et h a t q = oi st h eo p t i m a ls o l u t i o no fm o d e lm a t c h i n g ，m e a n w h i l e ，o nt h i sb a s i s ，w eg i v et h e r e l a t i o nb e t w e e nt h ep a r a m e t r i cf o r mo fo p t i m a lc o n t r o lc o n t r o l l e ra n dt h eg e n e r a lc o n t r o l l e r k e yw o r d s ：- 1 2c o n t r o ；m o d e l m a t c h i n g ；s t a n d a r dq u e s t i o n ；o p t i m a l s o t u t i o n 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 谚文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：丛竺她建氢当幽邑垂配日题 作者签名： 幺叁李日期：j 丝4 年_ 二l 月坐日 导师签名： 日期等等；月丛日 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 整塞塑过幽挂型鱼越习题 作者签名：一。盆玉名日期：二蟑q 月坐日 大连理工大学硕士学位论文 引言 控制理论自形成学科以来，无论是学科内容、学科特色、适用对象，还是研究成果 等方面，均达到前所未有的水平控制理论的原理和方法在生物、生态、医学、经济、 金融、和社会学等方面也有了广泛的应用，取得了很大的成就，并相应地形成了工程控 制论、生物控制论、经济控制论和社会控制论等新的控制论分支可以说，控制论是一 门很具有生命力的学科控制论是研究系统的调节和控制的一般规律的学科，其任务是 实现系统的稳定和有目的行为 控制论的发展大致分为三个阶段，五十年代末期以前为第一阶段，称为经典控制论 阶段；五十年代末期至七十年代初斯为第二阶段，称为现代控制理论阶段；七十年代初 期以后为第三阶段，称为大系统理论阶段 经典控制论主要研究单输入、单输出的线性定常控制系统的一般分析与控制规律， 使用的主要方法是频域法和传递函数法，其主要贡献在于建立了系统、信息、黑箱、反 馈、调节、控制和稳定等控制理论的基本概念和分析方法，为现代控制理论的发展打下 了基础 现代控制理论是在经典控制理论的基础上发展起来的，它有以下几个特点： ( 1 ) 对控制系统引进状态、状态变量、状态方程和状态空间的概念，并将控制系统的 数学模型表示成状态空间的统一形式，这样描述控制系统使数学处理大为简化，且便于 计算机求解 ( 2 ) 控制系统描述成状态空间的形式使能够处理的系统更为广泛，不再局限于单输 入、单输出的线性定常系统，从理论上来说，对于多输入多输出系统、时变系统、非线 性系统等更为复杂的系统都能够处理 ( 3 ) 现代控制理论的许多分析方法与计算机的运用密切相关例如卡尔曼( 1 ( a i m 卸) 滤 波方法，状态方程的近似求解算法等，这使现代控制理论的适用性更强 ( 4 ) 现代控制理论的重要成就之是“最优控制理论 ，在最优控制理论中需引进“目 标函数 和“性能指标”等概念在满足一定约束条件的前提下，求一最优控制率，使目 标函数或性能指标取最大( 或最小) 值，在最优控制率的作用下，控制系统将“动态最 优”地达到预期的目标显然，这种设计思想和方法比经典控制论中经常采用的试凑法 优越得多 日，最优控制问题的求解看似简单，但实际运算过程十分复杂因此经常把以最优 控nj 裔- j 题进行模型匹配化，这有利于简化求解过程，利用矩阵的内外分解，谱分解，凰 吼最优控制与模型匹配问题 范数计算，h a n k e l 范数等空间变换进行模型匹配问题求解，可以求得以任意精度接近最 优的次优解，从而为见最优控制问题的求解提供了一种简洁的方法 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 理论基础 本章给出一些基本概念、定理和结果， 首先给出本章标准符号：r 表示实数； 这些为了后继的讨论做准备 c 表示复数；c + 表示c 上开右半平面：c 一 表示c 上开左半平面；c 。表示c 上闭右半平面；c 一表示c 上闭左半平面；肌表示c 上 的虚轴；r ”表示刀维实向量空间；c 疗表示n 维复向量空间；r ”脚表示拧x m 实矩阵空间； c “”表示刀xm 复矩阵空间；z 表示复数z 的共轭转置；，。表示线性映射的像空间；郎) 表示传递函数；日：表示h a r d y 空间定义在c + 上；且为l 2 ( 血) 的子空间；日产表示h a r d y 空间定义在c 上，且为j c 2 ( 衄) 的子空间；口k - b 表示a 到b 的映射： 三，( _ o o ，+ ) = 纠v ：r c ”且p 0 表示时间；“o ) 表示系 统输入，m l y o ) 分别称为系统的状态和输出，且依赖于输入； “o ) ，x o ) r n , y o ) r p ，a ，b ，c ，d r 胍m 1 1 1 自治系统 形如 砸) = 血o 沮如) = ( 1 1 2 ) 的系统称为自治系统 如果系统( 1 1 2 ) 内部稳定，当且仅当对每个初始条件“o ) r ”，极限 x o ) 一o ，o 专o d ) 成立，也等价于彳的每个特征值a 满足r e 允 0 ， 使得 七；，掰( ) ) = 0 那么称系统( 么，b ) 是能控的 系统0 ，丑) 能控的充要条件是矩阵( 鼠么召，a 2 b , ，a ”1 占) 的秩等于刀 1 1 3 能稳性 定义1 2 当a 的所有特征值均具有负实部，称4 是稳定的对于系统，b ) ，若存 在矩阵k r 舭”，使得彳+ b k 稳定( a + b k 是h u r w i t z 矩阵) 称系统( 么，b ) 是能稳的 1 1 4 能观性 考虑系统 粼三缨+ 酬 m ， y ( ，) = c 如) + d 钆o ) 。“纠 且满足初始条件x ( o ) = ：c o ，此方程的解为必) = q m x o ，x e l t 0 定义映射y ：r ”专f 忸，r ”j ，使得 m 而 其中f ( rr ”) 表示函数的向量空间，当r 【0 丁】时，有y = y ( ) ，y 是值域为rp 的函 数假设y 是该方程的唯一解，当且仅当胁y = 0 定义1 3 若k e r u = 0 则称( c ，a ) 是能观的 定义1 4 如果存在状态变换丁，使得 t a t - 1 = l ( 如7 i n 射c = 仁t 。)l 么2 。如 一 7 并且乙是h u r w i t z 矩阵，称( c ，彳) 是可测( 或可检) 的 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 1 1 5 传递函数和状态空间 首先定义时间函数f ( t ) 的l a p l a c e 变换为： 厂( x ) 荨互f ( t ) e d t ， 积分收敛，且s 是在复平面c 中的向量 对状态空间系统( 1 1 1 ) 作l a p l a c e 变换，得： 威( s ) 一x ( o ) = a ( s ) + 召五( j ) 夕( j ) = ( j ) + d 磊( j ) ， 当x ( 0 ) = 0 时，输入输出关系为 夕( j ) = g ( d 蠡( s )( 1 1 5 ) 其中 g ( s ) = c ( s x 一么) - 1 b + d ( 1 1 6 ) 被称为系统的传递函数如果矩阵( 盯一彳) 可逆，此函数是适定的联系状态空间实现引 入传递函数如下定义： ( 带卜c c s i 卅州 ， ( 1 1 4 ) 在时域中描述为： 少( ，) = f 卯郇叶) b u ( v ) d v + 砒( r ) ( 1 1 8 ) 1 2 线性分析 动力学系统可被看作一个从输入到输出的映射这是信号处理、传输、控制处理过 程的基础因此将函数空间、算子等分析工具结合本研究产生了系统研究的重要方法特 别是算子范数给出一个自然的方法计算系统的大小将范数定义在一个向量空间中是为 了给出向量空间中元素的确切“大小” 定义1 5 向量空间y 中一范数i i 1 j 矿是函数映射y _ 【o ，+ ) ，对每一个v y 有 口) i i 叫l 矿= 0 专今1 ，= 0 6 ) l b 肚= i - i r 对所有数量口都成立 c ) 肛+ v 忆- l i d 矿+ n i y 且最优控制与模型匹配问题 这里材，1 ，v , a c ( 或只) ，则称矿为复( 或实) 线性赋范空间记为 ，称| l v | f 矿为 v 的范数 假设1 p o o ，定义p 一范数为 ，、三 批：= 旧v ( 1 2 1 ) 其中v c ”，当p = 时，定义o 。一。范数为 # m 咧v 一 ( 1 2 2 ) 定义矩阵范数为 l i m u f ( t r m m ) 一2 ， m c “n 对函数空间的范数，, 令l e n - 0 0 ，+ ) 代表从r 到c ”的向量函数空间，满足 e l “( f ) 匕出 o ，存在m 0 ，使得 对所有七，m 有慨一u t l l z k 则称此映射为有界线性算子从y 到z 的有界线性算子映射的表示为l ( v ，z ) ，并称 有界线性算子为算子 ( b a n a c h ) 巴拿赫空间的算子集合l ( v ) 本身也是一个( b a n a c h ) 巴拿赫空间 1 3 l y a p u n o v 方程和能控能观算子 l y a p u n o v 方程 彳+ j + 黝+ 9 = 0 ( 1 3 1 ) 彳，q 是给定方块矩阵，j 是未知矩阵 定理1 3 1 假设彳，q 是方块矩阵，且彳是。h u r w i t z ，这时 x = f e , r q e 加出 ( 1 3 2 ) 是l y a p u n o v 方程的唯一解 定理1 3 2 假定q 0 ，则彳是h u r w i t z 矩阵，当且仅当存在l y a p u n o v 方程 彳x + x a + q = 0 的唯一解x 0 满足 彳x + 黝+ q = 0 的l y a p u n o v 方程的解虼被称为( c ，彳) 可观的g r a m i a n 的算子 1 4 稳定控制 一7 一 、最优控制与模型匹配问题 图1 1 本节研究反馈设计，考虑系统的设计方法，闭环系统的反馈结构如图( 1 1 ) 所示闭 环系统有一个外部输入、一个输出，分别用w ，z 表示信号方程代表了环境对此系统的 影响效果，如噪音、扰动和命令信号z 代表所有将被控制的反馈系统的特点映射g ，k 代表线性子系统其中g 为给定系统是不变的，被称为系统k 是控制器或控制定律，作 用是保证从w 到z 的映射满足我们希望得到的性质为完成这项任务，这个控制器利用 信号y ，选取了一个直接影响g 行为的活动u g ，k 是状态空间，g 按以下方式展开 m ) = 删如一) ( 嬲) = 陆卅泣叭d i 2 1 ( w ( t ) j i k 描述为 五( f ) = a + x t ( f ) + 毋y ( r ) 甜( ，) = c k 坼( ，) + 见y o ) 其中c ，a ，b ) 和( c k ，a k ，b k ) 是能稳的、能检的 传递函数可根据两个输入和两个输出分块如下： l 6 ：j l 、， 葛 如果x ( ，) ，以( f ) ，y ( f ) ，“( f ) 对所有初始条件x ( 0 ) ，x k ( o ) 和所有输入函数w o ) 都存在唯 一解，则此系统是适定的( w e l l p o s e d ) 定理1 4 1g ，k 组成的系统是适定的，当且仅当，一d 2 2 0 k 非奇异特别的，如果 = 0 ，见= 0 ，则此系统是适定的 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 定义1 9g ，k 组成的系统是适定的，且对每个g 中初始条件x ( 0 ) ，k 中初始条件 以( 0 ) ，极限 z ( ，) ，坼( ，) 专0 o 专o o ) 成立，其中w = 0 ，则称g ，足组成的系统是内部稳定的 定理1 4 2g ，k 组成的系统是内部稳定的，当且仅当，一d ：，皿可逆，且 如= ( 吾三) + ( 台主) ( 一二：一尹 1 ( 兰0 ) c 4 2 ， 是h u r w i t z 矩阵 从w 到z 的传递函数用t ( s ) 表示，如果丁0 ) 是正则的，即r ( j ) 中分母的次数比分子 的次数高，且当d k = 0 时，有 瓤) ：( c l ，d - 2 c k ) ( s i 咆) 。1 ( 盎，) + d l t ( 1 4 3 ) 如果以是h u r w i t z 矩阵，此函数的所有极点都在做半平面，且是剐l 中的元素 等价地，闭环系统映射wv - - z 是l 2 1 0 ，) 上的有界、时域算子，此映射被称为输入输出 稳定 外部输入输出的传递函数的有界性，对系统1 1 的内部稳定性无影响 希望找到内部稳定性的一个外部特征，从而使得我们可以描述所有可能的稳定控制 器由于这种特征只能对内部系统进行非限制的控制，因而讨论与变量从w ，z 无关 基于上述讨论，我们来考查图1 2 所示系统 图1 2 图1 2 是图1 1 的下方回路，但它在反馈回路中加入了噪音其控制k 的描述同图 1 1 系统g ，是g 中下方的部分由下表示 岛2 ( ，) = 出2 2 p ) + 垦v l ( ，) v 2 ( ，) = c 2 x 2 2 0 ) + d 2 2 v l ( t ) 其中( c ：，a ，b 2 ，) 与g 状态空间中用来描述的矩阵相同 k 的表示仍为 丸( ，) = a k 以( r ) + 反y ( f ) 一9 一 垦最优控制与模型匹配问题 甜( ，) = c k x t ( r ) + 皿y ( f ) y ( f ) 为k 的输入，是1 ，2 ，d 2 的复合 少( ，) = 1 ，2 ( ，) + d 2 ( ，) 甜( f ) = 1 ，l ( r ) + 4 ( ，) 利用状态方程可以证得，系统1 2 是适定的，当且仅当，一d ：2 d k 非奇异并且g 2 ：的 状态包括了g 的所有状态因此系统1 1 和系统1 2 内部稳定性是等价的 定理1 4 3 假设( 彳，b 2 ，c 2 ) 是可稳且可检的，则图1 2 系统是内部稳定的当且仅当 ( 畋d i ) h 的传递函数在腰一 定理1 4 4 图1 1 所示系统存在内部稳定控制器k 当且仅当( 彳，垦，c ：) 是可稳且可 检的此时该控制器由以下给出 r ( s ) = ( 生垒! 等三竽銎曼i i 兰o ) ( 1 4 4 ) i，j 其中f ，三是使得彳+ 垦f ，a + 三c 2 为h u r w i t z 矩阵 大连理工大学硕士学位论文 2 皿最优控制 在兄致空间中内积的定义：v 户，户r h ：，则 ：= 去e 乃扩u c o ) p u 6 0 ) a 国 i = 0 ，则下面两条等价 x = r i c ( h , ) b ，c ，d ) ，控制器k 有实现( 4 ，反，g ，n ) ， h 2 最优控制与模型匹配问题 其中 ( 1 ) k 使g 的内部稳定，且忸o ，启) 0 ：= y ， ( 2 ) f 使g 的内部稳定，且妞o ，霞7 ) 0 ：= y ， 郎j - 满足( a ) 0 ，b l ，c 1 ) 是可稳且可检的， ( b ) 0 ，垦，c 2 ) 是可稳且可检的， ( c ) 琉( c l ，4 ：) = ( o ，) ( d ) 压。( 研，巧。) = ( o ，) 若k 使内部稳定，则 即唧别矧面，i i ：+ 剖： 其中 r， e ( j ) = l l l = 一氍，y = r i c ( h _ ，) t = 匕晋) ，旬= ( f ，x ，h 。，g c ，g t r a p 均按定理2 2 3 中定义 定理2 2 6g 为状态空间，其实现为 r g ( j ) = j l 满足定理2 2 5 的全部条件，则h 2 综合稳定器的最优稳定化子控制器为 确= p 垒；墼 弦2 6 ， 大连理工大学硕士学位论文 且由霞，所能得到的性能 如，刨o 属i 面，| | ： ( 2 2 7 ) 其中，j ，h 。，g c ，l ，y ，乃，g 均按定理2 2 5 中定义 缸 证明由0 ，b 1 ，c 1 ) 是可稳且可检的得0 ，且) 可稳且( c 1 ，彳) 可检又由0 ，垦，c 2 ) 是可稳且可检的得0 ，岛) 可稳且( c ：，彳) 可检所以0 ，岛，c 1 ) 是可稳且可检的 由定理2 2 2 知，h 。在r i c c a t i 算子定义域中 由定理2 2 1 知，彳+ 麟= a ，- b 2 9 x a + b 2 f 是h u r w i t z 矩阵 0 ，且，c 2 ) 是可稳且可检的得0 ，q ，研j 是可稳且可检的所以彳。一q c ：】，是 h u r w i t z 矩阵似一q c 2 d = a + l c 2 是h u r w i t z 矩阵由定理1 4 4 知， ，a + 丹f + l c ：一f 、 k z ( j ) = r 一王f 1 f 一利 使g 的内部稳定 由定理2 2 3 ，定理2 2 5 知， 酶詹) h 胁k ( 屯，启砸 = 阵马卜0 面川h ( 雪，硝 由于0 晓且眶+ 8 面厦与霞：无关， 由 如( 故只需证肚( 窟，霞) 眶= o 确加p 等 得闭环系统( 窟，霞，的状态方程 j c ( t ) = a x ( t ) 一l w ( t ) + b 2 甜( r ) z ( ，) = 一f x ( t ) - i - 甜o ) 少( r ) = c 2 x ( ，) + w o ) i r o ) = ( 彳+ b 2 f + c 2 ) x r 9 ) 一勿o ) 甜o ) = a r o ) 由其中z ( t ) = 一a ( r ) + “( f ) 得三( s ) = - f 置c ( t ) + ；4 t ) 方程的矩阵表示 ( 嚣m 川：熘，m 一0 三熘) + 川 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) h 2 最优控制与模型匹配问题 = 匕匐( 嚣 + ( ； w ，( 2 2 1 0 ， = ( l c ：a + b ：f f + l 。c ：) ( 捌+ ( 二l 三) 川，i 又p ) l 一2+2+2 |l z r ( ，) jl 一。 c “一4 “，( 暑) = ( 二主 访c j ， 其中 以= 一三a g4 + 皿f f + q )以2 l 一三c 24 + 皿f + c 2 j 所以 ( 捌刊训一( 二扣， 圣c s ，= ( ，。) ( 霉笛 = ( ，。) c 盯二一d ，1 ( 二主) 伽c s ， 矗。，= ( o f ) ( 暑) = ( o ，) ( s i - a a ，。1 ( 二主) 似j ， 如蚪ff ) ( m - a t l ) - l 钠 点俭， 纠= 夸毒堕吲 - l 对传递矩阵的状态作相似变换丁= 瞄7 卜 所以 f ，a 0 ：0 、 受| 等一土堕引。0 睢硝= o 一1 6 大连理工大学硕士学位论文 2 2 2 马最优控制的y o u l a 参数化解 定义2 2 2以，力r h 。称它们是右互素的若存在j ，罗剧l ，使得 赫一荫：i m ，n r h 。称它们是左互素的若存在j ，矿r i i 。，使得 被一甜：i 定义2 2 3 函数p l i p 的右互素分解指 尸= n m 叫 其中露，对r i i 。，肪1 为真函数，且肪，力称是右互素的 函数尸r p 的左互素分解指 p = m 叫n 其中对厨，的限制如上 定理2 2 7 给定函数尸r p ，则其左右互素分解均存在 尸= n m = m 叫n t 且对适当的j ，j ，矿尉无，满足 b 露妒( 2 2 1 1 1 1 )【一詹j 1 j j = j 其中舅，2 ，矿，满足一个附加的形式 ( 2 2 1 1 ) 式被称为户的双互素因子分解 证明：令正匕爰 ，其中( c 2 一岛) 是可舸检的 引入状态空间 髂嘲：裟) 排。 选取矩阵，使彳+ b ，为h u r w i t z 阵记a f = a + 占，f 定义( i i ) v o ) = 材o ) 一f 娟) ， c f = c ：+ d ：2 f 设以6 ) ：1 ，专“，则由( i ) ，( i i ) 可得 - l 锵i 对g ) ：v y ，则 用同样的方法可得 删= 辨 皿最优控制与模型匹配问题 瓣 邻带 其中a = a + 三c 2 为h u r w i t z 阵b ；= 岛+ 三d 2 2 姻= 阱m = 脒 带m = 带 x = i f 一么工) - 1 垦，= - f ( m 一么上) - 1 三 膏= ，一c 2 一4 ，) - 1 ，= - f ( m 一彳寸1 工 厨= i + c 2 ( s i 一彳e ，费= c 2 一彳三波， 6 = ，+ f 一彳f ) - 1 岛，力= 2 一彳f - - 1bm c b 2 = ，+ f l 盯一彳i b ，= ，i 盯一彳f1 所以 户= c 2 ( s t 一彳) b 2 = c 2 ( s y - a - b 2 f + 垦f ) 1 饬 ：c 2 缸一b 2 f ( s ! 一么f ) - 1 k 一彳f ) 1 岛 = c ：一彳f ) - 1 ( i + b 2 f ( s i 一彳f ) - 1 ) 砬 = c ：一彳，) - 砬( i + f ( s i 一彳f ) - 1 岛) 一t = n m 一 下面证明 匿露和 脚一两= ( ，一，一彳工) 1 垦) ( i + f ( s l 一彳f ) _ 垦) + ，一彳工) 1 三c ：( s l 一彳寸1 马 = i + f ( s i - a 上) 。1 h 盯+ 彳f ) + ( s i - a ) - b 2 f + l c 2 ) ( m 一彳，) 一2 8 2 同理可证霜一讶= o ，一脚+ 磁：o ，一n y + 磁：，孝 图2 1 中对系统g 的分块 、 i g ( s ) = l i 一1 8 一 a 1 2 ( s ) 1 包( s ) j 1l = g x 时 0 = 投d 当 、，、 s s ，l， q q，iii、 = 大连理工大学硕士学位论文 对g 2 2 进行双互素因子分解 一玎衍 m0 和 其中包：= 撕= 厨一 定理2 2 8 假定( 彳，展，c 2 ) 是可稳且可检的实现，则所有使图2 1 系统内部稳定的 控制器由下式给出 k = ( y - m q ) ( x 一v q ) = ( 。y q ) 叫( 1 ，- q m ) ( 2 2 1 2 ) 其中q ( s ) j 氓，且x ( ) 一n ( o o ) q ( o o ) 可逆 皿最优控制与模型匹配问题 3 i - 1 2 最优控制与模型匹配 3 1 模型匹配问题 图3 一 图3 1 表示用串联的三个传递函数定，垂，定逼近传递函数盂，这种问题就是模型 匹配问题 这里最，定，磊为给定函数，控制器垂是待设计函数，要求是垂肼。，这样图 3 1 就代表了稳定系统 模型匹配的准则为 ， s u p 2 ：w - 1 2 ，2 1 j 极小，即误差能量在单位能量最坏输入w 作用下，被极小化这一准则等价于 卜杰矧：极j 、 模型匹配问题可以化为皿最优控制问题 大连理工大学硕士学位论文 图3 2 图3 - 所示系统中，设。l 乏：j ，标准问题是：设计一个最优控制器霞= 一q 使 g 稳定且 即，铣极小 系统3 2 的方程表示 z = z w + l “ y = 瓦w k 的表示为 代入得 甜= 一勿 z = ( 五一t ：q t s ) w 即点( g ，k ) = 互一互9 五 则陬6 ，霞) 0 ：极小即为慷一是垂霉8 ：极小，所以模型匹配问题能够化为标准皿最优控制问 题 引入三个传递函数 互= g i l + g 1 2 y m g 2 l 疋= g 1 2 m 乃= m g 2 l 定理3 1 1 若系统2 1 符合定理2 2 8 的条件，且稳定控制器 k = ( y m q ) ( x 一q ) 一= ( x q 忉1 ( 】，一q m ) 则系统中whz 的传递函数为 量( g ，k ) = 互一正q 五 此时见最优控制问题转化为模型匹配问题 证明图2 1 中whz 的传递函数可简记为 点( g ，k ) ；g i l + g 1 2 k ( i 一屹k ) 一g 2 1 z 最优控制与模型匹配问题 把霞= ( 矿一越) ( j 一均一1 代入点( 0 ，启) 得 点( e ，霞) = 岛，+ 岛：( 夕一施) ( j 一尬) 一1 ( j 一越) ( ( j 一越) 一g 2 ：( ，一蚴一t 包。 = g i l + g 1 2 ( 】，一 坦) ( ( x 一q ) 一g 2 2 ( 】，- m o ) ) - 1 g 2 l 其中 瞳一砌一c - t 2 ：扩一越) = ( x 一) 一m 。1 ( y - m q ) - = x n m _ y ( ( 宕一力亘) 一6 ：( 矿一石 ) ) = ( j 一面昭一t 向一- = ( j 一詹1 而“：( 厨一衙) “詹：詹 所以 点( 0 ，霞) = 龟。+ 龟：( p 一越) 廊：， = 互一疋q 正 且粒( e ，启) 8 ：极小转换为忙一之 杰0 ：极小，即卫最优控制问题转换为模型匹配问题 3 2 模型匹配问题最优解 定理3 2 1 把定理2 2 6 中所得，三用到状态空间分解中，则参= o 为定理3 1 1 中模型匹配问题的最优解 为证明这一结论，须先证明以下引理 定理3 2 2 磊= 晓且一( f g ：，之- - 0 ，元= 矿 其中 q u 证帅喀彘厨张) 降带 f ，彳 垦f i b z1 2 l 0 一a + b z f l 曼i l c ld 1 2 f ：d 1 2 对传递矩阵的状态作相似变换r = g 刀得 ( 2 ) 正= 大连理工大学硕士学位论文 - ( 相+ ( 黜卜 元域，= 隧畔 m 驴崛t 2 【- 秭儿石撼j 对传递矩阵的状态作 其中 乃= m g 2 l ( 3 ) 霉= 龟。+ e 。：僦：。 等半斧) + m t , o0 卜q j见。 i，j ( 张) + ( 箍) 桦 铧 m - ( 张) + ( 枨) 等嘲 等锎。1 降带 矿 _ ( 张卜 非 降书 矿+ 阱 等错 = 巨_ 每矧 对传递矩阵的状态作相似变换丁= 瞄1 蟹 阱 铧惟蔓! 孙辅) 代入 其中 _ ( 张卜( 带) ( 等半斧) ( 带) ( 等芈斧) f ，彳三c 2 l d z - 、1 2 i 0 坐堕j - 墨土婴川 1 1 0 j 0 j 一2 3 一 。毋瓦 曼，o 暖q彳q 一 么0 一g 厂 ，-_-、1 i i 蛾蜀 得 忸且m。一卜乩且鸩三q悼o： 棚。一q 船 坞d_： 。一q 期 啦。 r 以 4 王 最优控制与模型匹配t - i 题 对传递矩阵的状态作相似变换丁= 瞄7 ) 得 删制警牡# 亲! 代入 霉 其中 - ( 特) + ( 等半学 = ( 甜m 棚( 艚) 一妇( 等半学) _ ( 甜) + ( 觥) ( 求) - 呱 = ( ( 球) + ( 筹搬 ( 米肛嘛 f，t觥c fd ) ( 带0 l + q 2 l1 2 八一fi 习 对上式传递矩阵的状态作相似变换丁= ( 三二) 得 ( 蕊) ( 尜) = 篙爿 = f ，t 筹c , d 绷lf 一( 甜0 ) + ：o ic li 代入得互= g 。b l u f g 由定理3 1 1 和定理3 2 2 得如下结论 定理3 2 3 若系统2 1 符合定理2 2 6 的条件，且稳定控制器 k = ( y - m q ) ( x 一 留) = ( y q ) 叫( 】，一q m ) 则系统中w h z 的传递函数为 点( g ，k ) = 正- t 2 q t 3 = g 。b i u f g + u q y 定理3 2 4痧是内矩阵并且痧e c 脚 即6 。与d 是玉交的； 矿是内矩阵并且6 ，矿r i - i 即6 ，与矿是正交的 证明：证明利用了状态空间实现的标准处理方法从u 得到 一2 4 一 警面 f 一， 2 -、垦。一日 4 一q ，j-_-_-l = 、j， 大连理工大学硕士学位论文 则容易计算出 啡 精 u u = - a 。f c ；c fc ；q ： 0 a f 曰 巧珑c p l u g c = 现对传递矩阵的状态作相似变换 可得 r 扩昏【 u 。u = 瞄爿 一4 0 0 0 a fb 2 冀0 i 一4 0x 0 a f l 荔0 o j 衄 j 定理3 2 5 矩阵空间朋2 中，一个函数与一个内函数相乘，可定义该空间上的一 个等距即 当包= 6 ：时， 2 - - 2 蚓矧钮 利用以上结论，卜回证明足理3 2 1 证明由定理3 2 4 知，龟且和痧是正交的旬与矿是正交的故有 忙( o ，霞) 卜粒蜀一惦+ 迈噬 = 怜b “i 嘛一矿虻 = 岐马| i ：+ i 呜叫跳 显然，则亘= 0 为定理3 1 1 中模型匹配问题的最优解 定理3 2 6 把定理2 2 6 中所得f ，上用到状态空间分解中，则 = 0 时，定理2 2 8 中的稳定控制器与定理2 2 6 中的稳定控制器相等即 坞最优控制与模型匹配问题 詹划一越赠一砌砸一鳓1 ( 夕一q m ) = a + b 2 f + l c 乙i ：- 。l ) 证明q = 0 时，k = ( 】，一m q ) ( x n q ) = k a aa = 。1 = 巨兰三等l c 2 丝乏i - l 对传递矩阵的状态作相似变换丁= ( 三卅得 定理3 2 7 它= 巨曼! 墼 = p 垒；监 织( 粥) 】厂满足a y + y a + b b 。0 ，且c y + d b 。= 0 ， 则户0 国) 户( ，) d d 。，对任意的成立 证明 邱，= ( 带) ， 则户0 ) = 户o 国) 聊叫= l or 善 对传递肼的状态f ：e 相似变换丁= ga 肿一= 0y ) 嘞川删+ b b ， 则 聊叫= 彳爿】，+ 拗+ 肋+b d + y c 0 一么 一c cc y + d b d d 一2 6 一 、j o兰o 大连理工大学硕士学位论文 = ( = ( c 。n - a ) - 一a ) - q ( s ) - l i + ) _ i 卜 所以 户d ) 户d 国) = 一c 0 硝一彳) 一1 q ( ，硝+ 彳- - 1 c + d d = c ( j o ) i 一彳) 。1 如( ，硝一彳) 一) + 加加+ 当q = a y + y a 。+ b b + = 0 时，等号成立 定理3 2 8 设p - ( 相， x 满足彳j + 觑+ c + c 0 ，且c d + 船= 0 ， 则户。( ，国) 户o 国) d + d ，对任意的成立 分 书。 ( 如+ 掣争卅) - 1 胁肋 所以 户0 ) 户o ) = 一b ( c o i + a - - 1 q o 硝一么) 一1 b + d d ：( ( j c o x 一彳) q b ) q 缸硝一彳) 。1 召) + d d d d 当q = 彳x + 捌+ r c = o 时，等号成立 定理3 2 9 把定理2 2 6 中所得，l 用到状态空间分解中，模型匹配问题的最优 解委= 0 ，且= 一芝】，= 0 ，竭= 0 时，性能指标 婶，刽矧o 。b , i i i + 0 畸卜o 一2 7 证明 由定理2 2 6 的条件知 由定理2 2 1 知j ，满足r 变形得 另 代入得 由已知 皿最优控制与模型匹配问题 鹃= ( 掣半学吗2 【1 产斧j r i c ( h ：) ， 一r c ；c r + b l 研= 0 ( 彳+ l c 2 ) y + r ( a + l c 2 ) + 一】，q r + 且研= 0 ( 局+ l d 2 1 ) ( 马+ l d 2 1 ) = b l 研+ 蜀噬i r + 三d 2 l 耳+ 三d 2 l d 刍r = b b ：+ l i ： ( 彳+ l c 2 ) 】，+ y ( a + l c 2 ) + + ( b i + l d 2 1 ) ( 墨+ l d 2 i ) = 0 f y = 一b ；】，= 0 ，x b l = 0 ， 吗满足定理3 2 7 所以 同理，利用定理3 2 的条件，所以 ( 畸) ( j e o ) f g ( j ( o ) = o 0 面川：= 去，撇沫畸) ( 归) 畸( 砌k = = 0 8 可证 眸蛾= 0 壮( g ，k 2 ) | i ，= | l g c 钏，+ 0 粥，i i ，= 0 在控制理论中，许多问题都可以转化为日，最优控制问题，如鲁棒控制问题、信号 跟踪问题等只最优控制问题的求解看似简单，但实际运算过程十分复杂因此经常把 日，最优控制问题进行模型匹配化，这有利于简化求解过程，利用矩阵的内外分解，谱 分解，日，范数计算，h a n k e l 范数等空间变换进行模型匹配问题求解，可以求得以任意 精度接近最优的次优解，从而为日，最优控