（概率论与数理统计专业论文）关于经验似然方法的一些研究.pdf

摘要 o w e n f l 9 8 8 ，1 9 9 0 ) 提出的经验似然方法是统计推断中最重要的方法之一，它同现 有的统计方法相比具有许多突出的优点，如经验似然区域的形状只同样本有关，b a r t l e t t 纠偏性，区域保持性和变换不变性等因此，经验似然方法受到了许多统计学家和经济 学家的广泛关注，有大量的文献对它进行了研究和应用 本文分别是在g l e n n n l ( 2 0 0 6 ) 和j u n j i a n z h a n g ( 1 9 9 9 ，2 0 0 6 ) 的基础上，对经验 似然方法进行了研究 第一章介绍了经验似然方法的背景以及研究现状，给出了o w e n 1 9 8 8 ，1 9 9 0 ) 关于 经验似然方法的定义与关于总体均值估计经验似然方法的几个经典的理论结果 第二章根据g l e n nn l ( 2 0 0 6 ) 提出的加权经验似然方法，对i i d 样本 置，恐， x 。) 引入权重向量u 。= ( u 心u 喝，“。) ，其中u 。 0 ，u 嘶= 1 构造加权经验似 然比统计量 驯一p 垂( 玎”l 脚一；f b ) 在一定条件下讨论了一2 1 0 9 劈( 伽) 的渐进性质，得到了非参数的w i l k s 定理，并给出了 总体均值的置信区域： 定理2 1 设x 1 ，局，墨为戳空间中的独立同分布的样本向量，具有相同的 总体均值向量肚。和方差矩阵，其中方差矩阵为满秩设轨为定义在样本x 。e 的概率质量，p i 0 ，1 i 茎扎，且p 。= 1 对任意的n ，给定权重向量 = ( o d n l ，2 ，。) ，对1 i n ，有， 0 ，且 = 1 ，如果权重满足 则 熙2 i = 1 2 l o g 露( 芦o ) 三x 2 ( p ) ，n o 。 其中鸟表示依分布收敛 同时给出了约束条件下的加权经验似然比对数的大样本性质，推广了o w e n ( 1 9 9 1 ) 的结论： 浙江大学硕士学位论文 推论2 2 设z 1 ，z 2 ，磊为r p + g 空闻的独立同分布的随机向量，其中五= ( 誓，w ) ，五舻，x r 叮且p g 0 ，1 s i n 给定权重向量= 1 ，2 ，c o n 。) 满足定理2 1 1 的条件若e ( j i g ， o o ，且 附c 驴如= ( 兰茎：) 为满秩记e ( 历) = 他o = ( p ，加，以o ) ， 玩体( 地i 如) =s u p w r ( f ) i f r ，f x d f = ，f y d f = 地) s u p r ( f ) i f r ，f x d f = 触) 其中r 为随机变量磊的经验分布函数，w r ( f ) = l - i , _ - 1 ( 老) “若池= 卢加+ 咋( 1 ) ，如= 如o + o p ( 1 ) ，则 一2 l o g 鬈b l x ( p 口i p 。) = n ( ( 矿一砌) 一岛。( 贾一如) ) 7 某( ( 矿一p ：) 二岛。( 贾一池) ) + 唧( 1 ) ， 其中，出：一，= 已，岛。：，：，贾：壹 五，p ：壹 k ，同时有 i = 1i = 1 2 l o g , 露r ( p 蚰l 肛加) 三x 2 ( 口) ，n _ o o 第三章对于p 混合随机变量序列 五，磁，五。) ，利用k i t a m u r a ( 1 9 9 7 ) 提出的分 组经验似然的方法，即设z = o ( n 7 ) ，0 丁 0 ，且j 6 芝2 ，满足s u p l 如e i x k l 2 + 6 假设混合速度满足黧1 p ( n ) 0 0 ， 则有 ( 1 ) a 2 = 沪+ 2 暑2 c 伽( 五，玛) 收绕 浙江大学硕士学位论文 ( 2 ) c k = f x d f r ( f ) r , 0 r 0 ，且孙2 ，满足s u p l 曼女! 。e i x 1 2 + 6 o o 假设混合速度满足甚1 p ( 2 ”) 0 ； n + ”n + ” ( 2 ) c k = f x d f i r ( f ) r ，0 r 1 ，f r ) 为闭区间； ( 3 ) 墨恐p ( t t o c ；n ) = p x ；一2 l o g r 定理3 3 设如为满足e r 妒( x ，o o ) = ，妒( x ，o o ) f d ( x ) = 0 的唯一解，妒( x ，0 ) 为关 于x 的递增可测函数，且满足以下条件： ( a ) s u p l k 。e i 妒( x k ，0 0 ) 1 2 + 6 ( 3 0 ，6 霉 ( b ) 墨1 p ( n ) 0 0 则有： ( 1 ) a 2 = v a n c e ( x 1 ，0 0 ) ) + 2 墨2 c o t ，( 妒( 蜀，0 0 ) ，妒( x j ，如) ) 收敛； ( 2 ) c k = 厂妒( z ，o ) d f i r ( 刃r , 0 r 0 ，= 1f o ri i d s a m p l e s , t h ew e i g h e de m p i r i c a ll i k e l i h o o dr a t i os t a t i s t i c 陋u p 垂( 嚣) i x d f = i t o , f 0 ，1 isn g i v e n w e i g h t v e c t o r w 。= ( l ，2 ，。) ，w h - i c hs a t i s f i e st h ec o n d i t i o ni nt h e o r e m2 1 i fe ( i i z , 1 1 2 ) ( 3 0a n d 喝= ( 芝乏) i sw i t hf u l lr a n k d e n o t ee ( z 1 ) = # z o = ( p 知，嘶) 7a n d = 幽鬻餐群等意警趔， w h e r e 兄i st h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf o r 磊，w r ( f ) = 订：1 ( 等) “i f = 肛加+ o p ( 1 ) ，山= 肛蛐+ 0 p ( 1 ) ，t h e n 一2 l o g 露y ( 如l ) = n ( ( 矿一脚) 一岛。( 贾一如) ) 7 p a 咿- 1 ( ( y - i u ，) 一岛。( 文一) ) + 唧( 1 ) ， w h e r e 邑陋= 一硪甜，= 礞，戈一蛳五，y = m e a n w h i l e t = ii = j 一2l o g9 2 r i x ( 脚o l 胁) dx 2 ( q ) ，n _ o o i nt h et h i r dc h a p t e r u s i n gt h eb l o c k w i s ee m p i r i c a ll i k e l i h o o di n t r o d u c e db yk i t a e f l t l r a ( 1 9 9 7 ) f o r s t r o n g l ys t a f i o n a r y p m i x i n g s e q u e n c e x 1 ，x 2 ，k ) , l e t i = o ) ，0 下 o ，a n d 3 6 2 ，s a d s 岛，i n gs u pe i x 1 2 + 6 o 。s u p p o s et h em i x i n g r a t es a t i s f i e s 甚1p ( n ) ( 3 0 ，t h u s ( 1 ) a 2 = c r 2 + 2 罢2 c o y ( x , ，局) i sc o n v e r g e n t ； ( 2 ) c r = j 。x d f i r ( f ) r 0 r 0 , a n d 3 8 2 ，s a t i s f y i n gs u pe i x 七1 2 + 6 0 0 s u p p o s et h em i x i n g r a t es a t i s f i e s 墨1p ( 2 ”) 0 ； n + n o o ” ( 2 ) g 。= 厂x d f t r ( f ) r ，0 r 1 ，f r i s a c l o s e d i n t e r v a l ； ( 3 ) 3 l i m p 伽c k ) = p x i - 2 l o g r ) n + o o t h e o r e m3 3l e t0 0b et h eo n l ys o l u t i o no fe f 妒( x ，e o ) = f w ( x ，如) f d ( x ) 妒( 墨口) b eai n c r e a s i n gm e a s u r a b l ef u n c t i o no n xa n ds t a f i s f y i n g ( a ) s u p l k 。e l 妒( j 吒，) 1 2 + 6 o o ，6 霉 ( b ) 甚l p ( n ) o 。 t h e n ( 1 ) a 2 = v a t ( 妒( x 1 ，如) ) + 2 暑2c d 似( 五，) ，妒( 玛，如) ) i sc o n v e r g e n t ； ( 2 ) c k = 厂妒( z ，o ) d f i r ( f ) r ，0 r 1 ，f 昂a c l o s e d i n t e r v a l ； ( 3 ) 恶p p o g n = p x i 一2 l o g r w h e r e r ( f ) = i i l l n p i ，：lp i = 1 ，p i 0 0 ， k e y w o r d s ：e m p i r i c a ll i k e l i h o o d , w e i g h t e de m p i r i c a ll i k e l i h o o d , i i d ，s t r o n g l ys t a - f i o n a r y p - m i x i n gs e q u e n c e ，b l o c k w i s ee m p i r i c a ll i k e l i h o o d i i d 【n 】 砒 n 兄( 善) i ( a ) a v b f f n e x v a r x c o v ( x ，y ) 口( 五，) x n 生x x 。二x x 。当x x 。! x a n = 0 ( k ) a n = 0 ( k ) a n 一0 ( k ) a n = d p ( k ) a n = o p ( k ) x 2 ( p ) 或瑶 i | i l 符号对照表 独立同分布 实数a 的整数部分 k 维欧式空间 自然数集 经验分布函数 集合a 的示性函数 a 与b 的最大值 f 关于r 绝对连续 随机变量x 的期望 随机变量x 的方差 随机变量x 与y 的协方差 由随机变量列 x 。) 生成的盯代数 五。依分布收敛于x 五。依概率收敛于x x 。几乎处处收敛于x 五。p 阶平均收敛于x ，即l i m l 五；一x l = 0 一w l i m k o , t t 耻一) m 4 ， 浙江大学硕士学位论文 3 因为l ( 乃) ：卉熹= n - n 可应用l a 舻抽铲乘子法计算上述问题，求得露的渐近分 i = 1 布，从而确定( 1 3 ) 中的临界值c 1 1 3 经验似然方法的一些经典结果 o w e n ( 1 9 9 0 ) 给出经验似然方法关于总体均值推断的经典结果： 定理a 蜀，恐，墨为r p 空间独立同分布随机向量，e ( x ) = 伽，v a r ( x ) = ， 其中的秩为q 对0 r 1 ，令= f x d f r ( f ) r f r ) ，则为凸集 且 l i mp ( p o g 。) = p ( x 2 ( 口) - 2 l o g r ) ( 1 5 ) 若e ( i i x l l 4 ) 0 ； 浙江大学硕士学位论文 4 ( 4 ) e i 如( x ) 1 3 ) o o 对于o c 0 则为参数0 定义加 权经验似然函数为 舢以s u p p ：t ( p 、) = t j 矿i 一1 对于墨，局，的凸包中的所有参数0 ，满足下面不等式 从而有 记w e l ( o ) = 旦n 垆，其中扫= 喜咄五，并记w n w ) = ( i i = l 1 ”定义 = 1 之l 、 留) 一s u p w r ( f ) i x d f = 肋，f 最) 5 矿 。m 0 ，1 s i n 给定权重向量= ( 1 ，岫，) ， 满足定理2 1 1 的条件若e ( 1 l z f l l 2 1 o ) 0 引理2 2 2 ( o w e n , 1 9 9 0 ) 设 叉i ，1 i n ) 为独立同分布的随机雯量，定义磊= 1 m - o , z 汹鼽五2 脚j ， ( 2 8 ) ，4n、 其中，权重满足定理2 1 1 的条件所以，要证定理2 1 1 ，只需证 一2 w e l ( # o ) = 一2l o g , 劈( p o ) 三x 2 ( p ) ，n 0 0 浙江大学硕士学位论文 9 其中w e z ( p o ) 为式( z 3 ) 所给出本问题转化为解如下的在线性约束条件下的非线性规划 问题： 伽e f ( 伽) = s u p 。1 0 9 , l w n l ) ， ( 2 9 ) 并满足约束务件 巨i 伽 亿埘 i 忙1 【亿0 下面我们用l a g r a n g e 乘子法求解该非线性规划问题，即 由于最优化问题的约束条件满足k a r u s h k u h n t r i c k e r 条件，故满足一阶豁要性条件即 差= 百7 1 4 m n i 叫五_ 0 i _ 1 ，2 ，n ( 2 1 1 ) 对等式( 2 1 1 ) 左右两边同乘以鼽，得 m d 时一a l p i a a ：。磁= 0 ，i = 1 ，2 ，n ( 2 1 2 ) 对等式( 2 1 2 ) 关于i 从1 到n 求和，并利用权重向量的性质以及约束条件( 2 1 0 ) 得 a 1 = n a 0 幻 将上式代入( 2 1 1 ) 中，可以得到p 的表达式： 其中乘子a = 沁n ，满足 a 2 1 + , v ( x - i t o ) 鼬) = 妻= 1 糕= 。 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 肋 一 砥阢 。斟 碹 一 d 一 挑 。甜 a 一“ 慨 n m 。瑚 i | l 浙江大学硕士学位论文 1 0 首先，我们先来证明忪i = d pp ；) 令a = 矽，p o ，_ a i l o l l = l ，所以1 1 x 1 1 = _ p 同 o w e n ( 1 9 9 0 1 类似，有 0 = l l a ( ：9 1 i = i i g ( 矽) = 陲黼i = i ( 壹i 叫五刊一p 壹等嵌将产) il= 1i = 1 。r 。r - lp u 7 l 竺二至三!=!；!=；掣一i壹弓篁：。五一肛。，i l - j l 、，、，、i 一 1 + p 么 i 鲁鲁”“”l = 丽p o 雪。一l ；p 弓萎n c x 一川i c 2 肌， 其中勺表示第j 分量为1 ，其余全为0 的的单位向量，z n 2 跫誉i 五一p 。i ，并记 雪= ( 墨一脚) ( 五一肋) ( 2 1 7 ) i = 1 由引理2 2 3 以及定理2 1 1 中权重向量所满足的条件( 2 1 ) 式易知 叉因为 故 喜嘻嘏一v o ) | = o p ( 礼一；) 弓陇一i = o p ( 礼一5 ) j = li = 1l 三一若r t 碍盟瑶 。m 。a x 。i o ，n 一 ( 2 1 8 ) 由上式以及权重的性质，根据引理2 2 4 ，有雪三e ，竹一0 0 显然可知鼬昂+ d p ( 1 ) ，其中如为方差矩阵的最小特征值根据以上分析，我们可以由( 2 1 6 ) 推得 再p 1 瓦= d p ( n 一；) ( 2 1 9 ) + p 磊 v pr 、- 7 浙江大学硕士学位论文 1 1 又由引理2 2 2 知磊= 。0 ) ，因此 i i | ) , 1 t = p = o p ( n 毛) 记m = a ( 五一p - o ) ，则 ( 2 2 0 ) 燧m = 燧i ( k 一脚) i = q o 一；) 。( n ) = o p ( 1 ) ( 2 2 1 ) 展开方程( 2 1 5 ) 得 0 = 9 ( a ) = i ! ，“j n i x i 一肋一喜一脚，一肋n 一喜堕掣但2 2 ) n 记x = o , t n ；五，则方程2 1 5 为 。= 宕一伽嘲+ 妻i = 1 紫 其中，雪已由( 2 1 7 ) 所给出由引理2 2 4 可得 慨- p o l l 2o p ( 1 ) i = 1 所以，利用磊= 。( 佗 ) 以及式( 2 2 4 ) ，( 2 2 0 ) ，估i t ( 2 2 2 ) 的最后一项为 从而得到a 的表达式 喜鲤酬幽 = 。( n ) d p ( t , - 1 ) 0 p ( 1 ) = o n ( n - a ) a = 雪一1 ( 贾一t o ) - t - p 其中1 1 p 1 1 = 唧( n 一 ) 对- 2 w e l ( g o ) 泰勒展开，并用m = ( k 一伽) 代入，得 - 2 w e l ( i t o ) = 2 n w il o g ( 1 + m ) i = 1 = z 喜o 一萼+ 琅) ，b 1 。 ， ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 丝 掣 盟 。僦 浙江大学硕士学位论文 1 2 - k 中，琅满足 l i mp ( 器蛆，t 兰0 _ 1 b 为一正常数 ( 2 2 8 ) 将( 2 2 6 ) 式代入( 2 2 7 ) 得 c 小z 喜t0 一萼+ 仇) = 2 a ( x 一脚) 一f ( 五- u o ) ( x 一伽) a + 2 i 依 = 2 n x 7 ( 贾一脚) 一n 雪a + 2 琅 = 2 n ( 贾一脚) 雪一1 ( 贾一脚) + 2 ( 贾一t o ) 一n ( 2 一g o ) 雪一1 ( 贾一t o ) 一2 n j 3 协一肋) 一n 3 s 3 + 2 哺 i = 1 = n ( 贾- u o ) 7 雪- 1 ( 贾一伽) 一礼印+ 2 m 琅 由1 1 卢1 1 = ( n 一) 以及雪三得 ( 2 2 9 ) n p 印l = 脚( n - ) o p ( 1 ) o p ( n 一 ) = 吻( 1 ) ( 2 3 0 ) 又根据式( 2 2 0 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 2 8 ) 以及磊= 。( n ) 得 从而 证毕 z 峪 i = 1 2 b i i x i l 3 t 陇一伽1 1 3 i = 1 = 2 b o p ( 仃一；) 唧( 他；) = o p ( 1 ) ( 2 3 1 ) 一2 w e l ( i t o ) = n ( 贾一伽) 7 雪一1 ( 贾一p o ) + 吩( 1 ) ( 2 3 2 ) 根据上式，再由引理2 2 3 ，以及雪二，得 一2 w e l ( 脚) 三x 2 ) ，他- 0 0 浙江大学硕士学位论文 下面证明推论2 1 2 ，证明方法同o w e n ( 1 9 9 1 ) 证明令 其中风。= ，= 则 a = ( 一三。0 ) v a r ( a z l ) = a v a r z l 。 q 2 i 。 咖 其中邑k = ! 一 ；- 。1 。” 根据定理2 1 1 ，对p = 伽+ d p ( 1 ) ，则有 ( 2 3 3 ) 一2 w e l ( p o ) = 礼( 贾一伽) 一1 ( 贾一伽) + o p ( 1 ) ( 2 3 4 ) 将上式用心= ( 成，以) ，则 一2 l o g g 艮陋( 脚i 舰) + d p ( 1 ) = n ( 2 一地) r 2 ( 2 一儿) 一n ( 宕一) 。- 1 x 一) = n ( a ( z 一如) ) 7 ( a ：a ) a ( 2 一心) 一n ( 贾一，k ) 7 e - 以1x 。一如) ( 2 3 5 ) 其中牙：妻 厄，贾：壹五，矿：壹i k 根据定理2 1 1 ，显然有 = 1= 1i = 1 2 l o g 劈y 陋( 蛳l o ) 三x 2 ( q ) ，n _ o o 成 一 o ，jlii-i、lii， 卸 坩 e e 拓 归 e ， ， 、l、l_、 o $ 岛 一 ，l一 | i 浙江大学硕士学位论文1 4 又因为 【 a ( 2 一儿) = i 印 一岛z 将( 2 3 3 ) 代入( 2 3 5 ) ，得 姑二 = ( p 一脚三二：一地，) 。2 弱， 一2 l o g 编，( 如f 如) + d p ( 1 ) = 他( ( p 一脚) 一岛。( 又一) ) 7 孟( ( p 一坳) 一岛。( 5 c 一) ) ( 2 3 7 ) 本文章研究的是i i d 样本的加权经验似然方法，事实上加权经验似然方法对不同 分布的样本更具有实际意义，所以独立但不同分布样本的加权经验似然估计方法的大样 本性质需进一步研究和探讨 第3 章相依样本情况下的经验似然方法 3 1 引言及主要结果 自o w e n ( 1 9 8 8 ，1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 提出经验似然方法以来，由于该方法自身的诸多优 越性和有效性，许多学者已将它广泛地应用到各种模型但是，目前对经验似然方 法的研究以及应用主要集中在独立同分布样本情形，由于现实生活中相依样本存 在的普遍性，不独立样本经验似然方法的研究也同样受到了关注，这方面的文献主 要有：k i t a m u r a ( 1 9 9 7 ) ，张军舰( 1 9 9 9 ，2 0 0 1 ，2 0 0 6 ) ，f r a n c e s c ob r a v o ( 2 0 0 5 ) ，l ul m & r u n c h uz h a n g ( 2 0 0 1 ) ，n o r d m a nd & s i b b e r t s e npe t c ( 2 0 0 6 ) 等 本章主要讨论了强平稳p 混合随机变量序列的均值的经验似然估计，推导了经验似 然比统计量的渐进性质，并构造出均值的经验似然比区间，推广了j u n j i a n z h a n g ( 2 0 0 6 ) 的结果 定义3 1 1 称随机变量序列 ，礼1 ) 为p 混合的，若 刺=k“x。l。sup)e佩xy-e丽xey-,sup 0 ，n - - + y e l 2 ( 9 器 0 0 ( 3 1 )p 【n j2 一，n o o p 1 ， k r x l 2 ( 多予) ， + 。) 、v a r x v a r y 其中，铹= 盯( k ，n 他6 ) ，= 1 ，2 ，) ，o ( 就) 是所有的关于税w 浸, l j a - p 阶矩 存在的随机变量组成的集合 p 混合的性质可参见b r a d l e yr c ( 1 9 8 6 ，2 0 0 5 ) ，陆传荣等( 1 9 9 7 ) 等参考文献 定义3 1 ；2 称随机变量序列 ，几1 ) 为强平稳的，若对任意的自然数对( ，歹) ， 序列k + 1 ，五+ 2 ，五+ j 与弼，恐，有相同的分布，其中1 i n - j ，1 歹n 假设 以，n 1 ) 为强平稳p 混合的随机变量序列，由强平稳的定义知该随机变量 序列具有相同的分布，不妨设分布函数为晶记e k = p o ，v a r ( x 1 ) = 0 - 2 0 ，r ( z ) = 1 5 浙江大学硕士学位论文1 6 ：竺。，( 五sz ) 易知，只是f o 的极大似然估计定义似然比函数为 即) = 怒 ：y i l 1 f ( x t ) - ：f ( x i - ) 一 n 竺，丢 = i i n f x i 定义3 1 3 冗( 伽) = s u p r ( f ) l z d f = 伽，f 最) ， 其中f 最表示f 关于r 绝对连续 由第一章中所提到的，经验似然比函数可以等价地写成 冗c伽，=supfl啉i妻鼽=t，a。，壹i=li=11 = 1腓五= 肋) lj 记区域c k = f x d f l n ( f ) r ，0 0 ，满足s u p l k 如e i x k l 2 w 0 0 假设混合速度满足：1 p ( n ) o o ， 则有 ( 1 ) a 2 = 仃2 + 2 暑2 c o v ( x l ，玛) 收勰 ( 2 ) c ；。= f x d f l r ( f ) r , 0 r 一 纯 l = 阢 。甜 哦 。僦 = f r 浙江大学硕士学位论文 1 7 下面我们先介绍分组经验似然的方法分组经验似然是由k i t a m u r a ( 1 9 9 7 ) 首次提出 来的，为相依样本的研究提供了一种非参数方法本文采用的是不重叠样本分组的方 法，即设f = o ( n 7 ) ，0 7 - 0 ，且j 6 2 ，满足8 u p l ( n e i x k l 2 + 6 o o 假设混合速度满足甚1 p ( n ) o o ，则 有 ( 1 ) a 2 = 盯2 + 2 m o ：0 2 c o v ( x 1 ，x j ) 收敛j ( 2 ) g 。= f x d f i r c f ) r , 0 r 0 ，且劭2 ，满足s u p l l k 。e i x , 1 2 + 6 o o 假设混合速度满足甚1 p ( 2 t i ) o ； ( 2 ) c ；。= i x d f i r ( f ) r ，0 r 1 ，f 昧) 为闭区问； ( 3 ) l i mp ，幻g 。) = p x ；一2 l o g r ，- 一 推论3 1 4 在定理3 1 2 的条件下，对任意的实数t ，有 一2l o g 留( # o + n - - 扣) 一x i ( 既 其中，a 2 = 盯2 + 2 r 7 ：2 c o y ( x , ，x j ) ，且t 2 为非中心参墩 推论3 1 5 在定理3 1 3 的条件下，对任意的实数t ，有 一2l o g 纺( # o + n 一 以) 。x ；( t 2 ) ， 其中，a 2 = l i m 掣，且t 2 为非中心参数 n c o 一 以上结果可以推广到m 估计，即对实函数妒( x ，口) ，0 是定义在分布函数f 上的泛 函，为下面方程的一个解： e p , p ( x ，0 0 ) = 妒( 五o o ) f d ( x ) = 。 ( 3 6 ) 其中，x 的分布函数为f ( x 1 定理3 1 4 设0 0 为满足3 6 式的唯一解，妒( x ，0 ) 为关于x 的递增可测函数，且满 足以下条件： ( a ) s u p l 蔓如e i 妒( x k ，0 0 ) 1 2 + 5 o o ，6 霉 ( b ) 。c o l p ( 几) o o 则有： ( 1 ) a 2 = v a r ( 妒( x 1 ，如) ) + 2 墨2c d u ( 妒( j h ，0 0 ) ，妒( ，岛) ) 收敛； ( 2 ) c k = 厂妒( 石，o ) d f i r ( f ) r , 0 r 1 ，f r ) 为闭区间； ( 3 ) j i mp 伽g 。) = p x i 一2 l o g r ) ，7 其中，r ( f ) = n 器1 n p i ，：1 a = 1 ，鼽0 浙江大学硕士学位论文1 9 定理3 1 5 设如为满足3 6 式的唯一解，妒( x ，0 ) 为关于x 的递增可测函数，且满 足以下条件： ( a ) s u p l 。e l 妒( x k ，o o ) 1 2 + 6 ，6 2 ； ：1 p ( 2 - ) 0 ； n + n + ( 2 ) = _ r 妒缸，o ) d f i r ( f ) r ，0 r 1 ，f 以) 为闲区间； ( 3 ) l i mp 肋g 。) = p x ；- 2 t o g r 其中，r ( f ) = ：1 吼，：1 鼽= 1 ，鼽0 3 2 引理及其证明 引理3 2 1 ，礼1 ) 为任一随机变量序列，满足s u pe i k l o o ，磊= l k e n 以概率1 成 立，其中k 1 因为磊= 只眵i x i ，易知 磊 f n ) 只有有限个以概率1 成立因此 l r 气n l i m s u p k n e( 3 7 ) 以概率1 成立对任意的由e 不同值组成的可数集，( 3 7 ) 式以概率1 成立，从而有 z j = o ( n ) a s 一 引理3 2 1 2 ( 薛留根，1 9 9 4 ) 设 ，n 1 ) 为p 混合随机变量序列，且混合速度p ( ) 满 足 p ( 2 n ) o 。 浙江大学硕士学位论文 2 0 若对某个r 2 ，使得有s u pe i x d 7 1 ，有 1 i n ：喜( 咒一删- o ( n 龟l o g ( 1 0 9 l o g n 一，n s ( 3 8 ) 引理3 2 3 ( 陆传荣，1 9 9 7 ) 设 ，礼1 ) 为强平稳p 混合随机变量序列，e x l = o o 0 ，e x 。0 且p ( 2 “) 0 ，那么 c o 其中1 ( t ) = s i n t ( t n l 2 ，0 t 1 ，子2 ：= e x + 2 e x l x j j = 2 ( 3 9 ) 引理3 2 4 设 五。，几1 ) 为一强平稳的p 混合随机变量序列，e x l = p ，e i x l l 2 v o 。，其中p 1 ，o v 6 表示m a x a ，6 ) 若程= v a r s n _ 0 0 ，且 若l = o ( n 7 ) ，0 7 - ，则有 p ( 矿) 0 j = 2 v a t ( y = y = , x j ) 一a 2 礼 证明由。o o l p ( 竹) 0 0 以及p 混合的定义可得 i c 舢，x j ) l o o j = 2 i u a ) c o v ( x ，x j ) 一o ，扎一o o j = 2 三y o r ( 妻j = l 玛) = ；1 n v a r 蜀+ z 砉妾c 伽c 蜀，玛，) = v a r x l + 丢c 伽( 恐，x a”- = v a r x l + 云 ( n 一1 ) c o y ( x 1 ，局) + ( n 一2 ) c 伽( 墨，x 3 ) + + c o y ( x 1 ，) ) = v a r x , + 2 c o y ( x 1 ，乃) 一磊2 - u 一1 ) c a r ( x 1 ，x j ) _ v a r x l + 2 c o y ( x , ，x a =，4 2 o o 从而得证 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 引理3 2 6 若 k ，礼1 ) 为一p 混合序列，则对每一n ，竹m f k ：r r 的b o r e l 可测函数，则随机变量序列 ，( ) ，钆1 ) 也是p 混合序列，且其相关系数p ( 竹) 小于等 于 拖，k 1 ) 随机变量序列的相关系数 蝴“ 科 浙江大学硕士学位论文 证明显然具体见参考文献【1 ，2 】 3 3 定理及其证明 下面证明定理3 1 1 ： i , vr 归由定理3 1 1 的条件知， ，佗1 ) 为强平稳p 混合随机变量序列，且混合 速度p ( ) 满足 p ( n ) o o f = l 由引理3 2 5 可证得结论( 1 ) ，即 0 0 0 a 2 = 口2 + 2 c o v ( x 1 ，x j ) o ，n o o ( 3 2 0 ) j 1 + 盟& i a i = 。( n 一5 ( 1 0 9 n ) 南( 1 0 9 l o g n ) 南) ，q 1 ( 3 2 1 ) 。甜 入一n 脚 一 溉 训。斟 “1 一竹 浙江大学硕士学位论文 2 4 又因磊= 。0 南) ，得 记m = a ( 恐一伽) ，则 展开( 3 1 5 ) 式得 a = 。( n 一 ( 1 。g 几) 南( 1 。g l 。g n ) 南) ( 3 2 2 ) 盟2 嬲咒一伽l = 。( 竹一 ( 1 0 9 n ) 南( 1 0 9 l o g n ) 南) 。( n 南) = 。( n 训4 删( 蚝n ) v 伫“( 1 0 9 l o g n ) 州2 “) = d ( 1 ) ( 3 2 3 ) 。硎= ：喜等 = 去喜( 五刊( 1 - - m + 硼刊) = ：妻i = lc 墨一脚，一击喜m 一+ ：喜掣 = 赢一伽一龛喜一肋，2 + 三喜掣 = 赢一研+ 磊1 若n 等 由式( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 得 ；善肛硝= 。( n 赤) 们- 将m = a ( 五一伽) 代入( 3 2 4 ) 式中的最后一项，并利用式( 3 2 2 ) 以及( 3 厕得 陲掣i = l ； 骞等l 三n 产i = 1 i 五一脚m 巾+ m i l ：。( 竹嘉) 。( n t ( 1 0 9 n ) 南( 1 0 9 l o g 礼) 象) d ( 1 ) ：d f n q ， 口s ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 堑兰盔堂堡主堂堡堡壅丝 ! ! ! ! ! ! ! = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = ! ! ! ! = = ! ! ! = = = = = 2 2 5 5 一 最后一个等式是因为6 0 ，故雨1 将上式代回式( 3 2 4 ) ，得 赢一伽一a 簧= 。( 礼一) 们 得 a = ( 研) 一1 ( 矗一伽) + p ， 其中例= 。(