（应用数学专业论文）一些趋化性方程组的解的整体存在性.pdf

摘要 k e l l e r 和s e g e l l 9 7 1 年建立了经典的c h e m o t a x i s 模型，从此c h e m o t a x i s 现象得到 了广泛深入的研究本文研究如下模型： u t = a u v ( u v v ) + u ( 1 一札) ， 臻= 口+ 最一口， u ( z ，0 ) = ( z ) ，口( z ，0 ) = ( z ) = v o ， 赛= 0 ，嘉= 0 ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) q ( o t ) ( 1 ) z q ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) 通过构造能量不等式，半群理论以及一致g r o n w a l l 不等式证明如下定理： 若u o ( x ) 工( q ) ，v o ( x ) 叼( q ) ，p n ，咖( z ) o ，蜘( z ) 0 则方程组( 1 ) 的解存在唯 一，且有如下估计： i l u ( - ，亡) 0 工m ( q ) ai i v ( ，t ) l l l 一( n ) c v n 1 ，v t 0 b u d r e n e 和b e r g 于1 9 9 1 年在研究大肠杆菌的实验中得到了一些有趣的结果， 建立了三个变量的c h e m o t a x i s 模型，并且研究了数值解的稳定性本文将研究其简 化模型： u t _ a u v ( 碲严v 秒) + 让( 品一u ) ， 魄= u + 而w u 2 一u v ， 姚= a w 一番， u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，可( z ，0 ) = v o ( z ) ，叫( z ，0 ) = w o ( z ) ， ( x ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， z q 券= 0 ，= 0 ，等= 0 ， ( z ，亡) a q ( o ，丁) 本文将通过构造增) 范数以及一致g r o n w a l l 不等式证明如下定理： 若u o ( x ) l ( q ) ，伽( z ) ，w o ( x ) w 翟( q ) ，p n ，u o ( x ) o ，咖( z ) o ，w o ( x ) 0 则n = l ，n = 2 时方程组( 2 ) 的解存在唯一，且有如下估计： l l u ( ，t ) i | l 。( n ) + l i v ( ，t ) i l l 一( q ) + 1 1 w ( ，0 i l l m ( n ) c ，v t 0 关键词：趋化性，整体存在性，一致有界性 a b s t r a c t s i n c ek e l l e ra n ds e g e le s t a b l i s h e dc l a s s i c a lc h e m o t a x i sm o d e li n1 9 7 1 ，c h e m o t a x i s p h e n o m e n ah a v eb e e ni n v e s t i g a t e dw i d e l y i nt h i sp a p e rw ei n v e s t i g a t et h em o d e la sf o l l o w s ： u t = a u v ( 厂( 札) v x ( u ) ) + f ( u ，u ) ， v t = a v + g ( u ，秒) ， ui t ：o = 咖， uj t = 0 2v o ， 器= 0 ，象= 0 ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， z q ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) b yc o n s t r u c t i n ge n e r g yi n e q u a l i t y ，s e m i g r o u pa n du n i f o r mg r o n w a l l si n e q u a l i t y , w ew i l lp r o v e t h e t h e o r y ： i fu o ( x ) l o o ( q ) ，( z ) w 名( q ) ，p 佗，呦( z ) o ，珈( z ) 0t h e nt h es o l u t i o no fe q u a t i o n s y s t e m s ( 1 ) a r ee x i s t e n ta n du n i q u e t h ee s t i m a t ei sa sf o l l o w s ： u ( ，t ) l i l m ( q ) c ，i i v ( ，亡) l i l 一( n ) cv n 1 ， 0 b u d r e n ea n db e r go b t a i n e ds o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t si nt h ee x p e r i m e n t sf o re c o l ii n 1 9 9 1 ，a n de s t a b l i s h e dc h e m o t a x i sm o d e lo ft h r e ev a r i a b l e s t h e ys t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h e n u m e r i c a ls o l u t i o n i nt h i sp a p e rw ew i l li n v e s t i g a t et h es i m p l i f i e dm o d e l ： 饥= a u v ( 西老矿v 可) + 仳( 品一缸) ， 仇= a v + 器一u v ， w t = a w 一蒜， u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，秒( z ，0 ) = 铷( z ) ，w ( x ，0 ) = w o ( x ) ， 券= 0 ，雾= 0 ，筹= 0 ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， z q ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) ( 2 ) 册w i l lp r o v et h et h e o r yb yc o n s t r u c t i n gn o r m o f 昭( t ，t + 1 ) a n du n i f o r mg r o n w a l l si n e q u a l i t y ： i fu o ( z ) l o 。( q ) ，( z ) ，讹( z ) w 譬( q ) ，p n ，也o ( z ) 0 ，v o ( x ) 0 ，w o ( z ) 0t h e n n = 1 ，n = 2t h es o l u t i o no fe q u a t i o ns y s t e m s ( 2 ) a r ee x i s t e n ta n du n i q u e t h ee s t i m a t ei sa s f o l l o w s ：i j 仳( 。，t ) l l l 。( q ) + i i v ( ，亡) l l 二。( q ) - i - 1 1 w ( ，t ) j j 二( n ) c ，v t 0 k e yw o r d s ：c h e m o t a x i s ，g l o b a le x i s t e n c e ，b o u n d e d n e s s 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：之 慨屏崩日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将 学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：c 二一一 引言 c h e m o t a x i s 是指某些生物( 如细菌) 总是优先向某种化学物质( 如营养物) 浓 度相对较高的地方趋近或远离，是生物交流的重要手段通过对生物的这种趋化 性的研究可以更好地了解生物群体内的竞争，繁殖以及疾病的传播等生态过程 k e l l e r 和s e g e l l 9 7 1 年建立的经典的c h e m o t a x i s 生物模型为： u t = a u v ( ( u ) v x ( v ) ) + f ( u ，u ) ， 仇= a v + g ( u ，可) ， 让i 扛o = u o ， ul 扭o = v o ， 券= 0 ，= 0 ， ( x ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，亡) q ( 0 ，t ) ， x q ( z ，舌) a qx ( 0 ，t ) qci f 是一个有光滑边界的有界区域，函数u ( x ，t ) 代表生物的密度，函数v ( x ，t ) 代 表化学物质的浓度，初值u o ，v o 都是非负函数，且u o ，v 0 叼( q ) ，p n ，l ，表示a q 的 外法线方向函数f ( u ) ，x ( x ) 代表趋化敏感系数f ( u ) 一般依赖于生物密度函数 x ( x ) 一般依赖于化学物质的浓度 b u d r e n e 和b e r g 于1 9 9 1 年在研究大肠杆菌的实验中建立了三个变量的c h e m o - t a x i s 模型，其简化模型为： 饥= u v ( 西考炉v t ，) + 钆( 茜台一u ) ， y t = a v + 而w u 2 一乱u ， w t a w 一品， u ( z ，0 ) = u o ( x ) ，钞( z ，0 ) = 伽( z ) ， ( z ，0 ) = 加o ( z ) ， 器= 0 ，赛= 0 ，券= 0 ， ( z ，亡) qx ( 0 ，t ) ， ( x ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ， z q ( z ，t ) a qx ( 0 ，t ) 其中qc 形是一个有光滑边界的有界区域，函数u ( x ，t ) 代表细菌的密度，函数v ( x ，t ) 代表化学吸引物的浓度，函数w ( x ，t ) 代表化学排斥物的浓度初值铷，v 0 ，w o 都是非 负函数，且u 0 ，v 0 ，w 0 w g ( q ) ，p 几，表示a q 的外法线方向 c h e m o t a x i s 方程组在不同空间下的解的局部存在性和整体存在性有如下结果： ( 1 ) 局部存在性：当厂( “) ，x ( 秒) 在零点无奇性时， a m 】在初值u o ( x ) 哪( q ) ，v o ( x ) w g ( q ) ，p n 的情况下，有经典的局部存在性理论，并且局部解为古典解( 见参 7 考文献 1 】， 2 】) 当u o ( x ) l ( q ) ，v o ( x ) 孵( q ) ，p n 的情形下：，( 让) ，x ( 口) 在零点无奇 性时，则要求u o 0 ，v o 0 当f ( u ) 在零点有奇性时，则要求u 0 a o 0 ，v 0 0 当 x ( ) 在零点有奇性时，则要求伽0 ，v o b 0 0 当，( u ) ，x ( 口) 在零点都有奇性时， 则要求u o a o 0 ，v o b o 0 ( 2 ) 整体存在性：整体存在性一直是c h e m o t a x i s 生物模型的一个难点对于n = l 的情形很多文章证明了解的整体存在性而对高维情形的研究近年来是一个热点 问题 n = l 时h i l l e n 和p o t a p o v 于2 0 0 4 年对于，( 让) = u ，x ( v ) = 口，f ( u ，v ) = 0 ，v ( u ，口) = - a v + u 的情形进行研究，利用半群理论在初值u o ( x ) l o 。( q ) ，v o ( x ) 吩( q ) ，0 n j 印0 ，使l l u - u o l l w ；( m o ，i i v - v o l l w ；( , ) g o 若a ( u ，v ) 具有两个正实部的特征值则j 7 - o ( 充分小) 使方程组存在古典解： ( u ( ，亡) ，t ，( ，t ) ) c ( 0 ，刁，w 譬翟) nc ( ( d ，7 _ ) q ) 当u o 俨( q ) ，v 0 w ：( q ) ，p n 时h o r s t m a n n 得到了相同的局部存在性结果 引理2 2 解的整体存在性定理( h a m a n n ) ： 引理2 1 的条件下，a 是一个上三角矩阵，若有如下先验估计，则解整体存在 1 i u ( ，t ) l l l - ( , ) c ( t ) ，l i 口( ，t ) l i l * ( n ) sc ( t ) v n l ，v t 【0 ，7 1 若常数c ( t ) 与时间无关则称解整体存在且一致有界 引理2 3 g r o n w a l l si n e q u a l i t y ： t ( 亡) 0 ，关于t 绝对连续t 【0 ，刁a ( t ) 0 ，b ( t ) 0 若0 ( t ) n ( t ) 乱( t ) + b ( t ) 则 u ( t ) e 口( t ) 如( 让。+ o 。6 ( 亡) d s ) 引理2 4 一致g r o n w a l l si n e q u a l i t y ： u ( t ) 0 ，a ( t ) 0 ，b ( t ) 0 ，在【t 。，+ 】均为局部可积函数，且满足；露押a ( t ) d s a ，露+ 卞b ( t ) d s b ，扣u ( t ) d s ca , b ，c 为正常数若u i ( 亡) a ( t ) u ( t ) + b ( t ) 则 u ( t + r ) ( 三+ b ) e 口 v t t o 引理2 5 g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 内插不等式。 i i “i i l ，( n ) 硎钆| j a 明( n ) 厶1 - - ( a n ) 其中v u 叼( q ) p ，q 1 满足：p ( n g ) n q 且r ( o ，p ) ，。= 豆1 - i - + 7 ( o ，1 ) 引理2 6 设1 p o o ，令a ：= 4 表示如下定义的二阶算子： a p u ：= - u , u ed ( a p ) ：= 悱昨( 咧嘉i 铀叫 第二章几个基本引理 那么，a 的谱与p 无关，且是一组可数的正实数：0 = 肋 p 1 6 0 j p ( 2 ) 解析半群e - t a p 不依赖于p 即当u l p ( q ) nl g ( q ) 时有： 且对所有的u l v ( q ) 满足： 。 i i ( a + 1 ) q e - t ( a - f 1 ) u h l p ( n ) c t a e 一 i l u l i l ，( o ) 9 其中：t o ，y 0 ( 3 ) 任取t ( 0 ，1 ) ，1 p q ，算子e 一2 a ：岛( q ) 一l q ( q ) ，且有 范数估计。 i i e _ 。a 训h q ) c t 一詈( ；一钏训b q ) 7 引理2 7 设q 0 ，1 0 ，p 0 使得对所有的 u l p ( q ) 有如下估计： i j ( a + 1 ) 口e a v u l p ( 1 2 ) c ( ) 亡- a - 一s e 一灿i l u l l l ，( n ) c ( e ) 亡- - 0 - - 孝i l u l l l ，( q ) 本文几个概念： i v 仳i = ( 整。u ) i v 2 u i = ( 乙：1 让邶2j ) i l u ( t ) l l w * ，p ( n ) = 笔1i i v u ( t ) l l n p ( n ) i l u l l w ；, 吾( q t ) = l i t t l l n n p ( q t ) - i - i i v 2 u i i l p ，p ( q 丁) 4 - i i v u l l l ，p ( 口t ) + 0 乱i i l p ，( q r ) 琵( 。丁) = s u p o t 钆，札o ( z ) o ，珈( z ) 0 则方程组( 1 ) 的解 存在唯一，且有如下估计： i l u ( ，t 川l 一( n ) su ，i i v ( 。，t ) l i l o o ( a ) su y n2l ，y t2u 引理3 1 若( u ，v ) 为方程组的解，则u ( z ，t ) 0 ，0 v ( x ，t ) m a x 1 ，i l 铷( z ) i i l ( n ) 因单个方程满足极值原理，结合u o ( x ) 0 ，v o ( x ) 0 易得 弓i 理3 2 i l u ( ，t ) l l l 。( q ) c ，i i u ( z ，8 ) 1 1 l ：。( q ，件。) c v 亡0 证明：对含u 的方程两端在q 上积分 面d 上钍( z ，) 如= o 让( 1 一让) d x n 证明：把关于v 的方程写成积分形式： v ( t ) = e - ( a + 1 ) t v o ( z ) + f e - ( a + 1 ) o 叫) g ( u ) d s 两端同时作用( a + 1 ) a ，互1 o ，p 扎 弓i 理3 4 i l v l l w k ；( q 。+ 。) c v t 0v p 1 因为v t = a v + 煮一钉，南l ( q ) ，v ( x ，t ) l ( q ) 由睇2 ，p , 1 ( q t ) 内估j 汁： i l v l l w ；：；( q + ，) c 弓i 理3 5l l u ( ，t ) l l l ，( q ) c 0 坳1 证明：首先用归纳法证明k p ( q + 。) c v p 1 p = l 时由引理2 知| i 让( ，圳l 。( n ) c ，i l u ( x ，s ) i i l 。，。( q t , t - 1 ) c v t 0 成立 假设对恻i l i , , p ( q + 。) cv p 1 ，下证l i u i i l p + 1 川( q t , t - i - 1 ) c 对于u 的方程两端同乘妒- 1 在q 上积分得： 三鬲d 丘矿如- i - p - 1 ) 上矿2 i v u l 2 d x = _ 五矿- 1 v u 。v v d x - - 上u v v 2 v d z + j 厶伊( 1 一u ) 如，n z 令w = u 暑，则v w = ；u 詈一1 v u ，且i i 伽i l 羔。：( 饥，件，) = l l 让j l 笔p ，p 旧t , t l - 1 ) 故有： ；爰上抛+ 学上i v 卵d x ， 2 - pf 1 w v w 乳i d x + f n1 w 2 v 2 v i d z + fw 2 d x 一厶扩1 d z ， 1 2 硕士毕业生毕业论文 由g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 内插不等式及 i i 叫i | l 。+ 击( n ) c l l w l l 备- ( 。) j j 叫i i 艺函) 故有： p o i n c a r e 不等式： q = 砸知( o ，1 ) i l w l l 羔。+ 击( n ) i i v uj i 羔。( 孙十，) ( q ) i i v 嵫2 ( 。+ 1 ) ( q ) i i w 2 c t 州w 2 - ：2 a ) i | 加i j 备( n ) + c + i l w l l 至：( n ) l l v u i i 焉。+ ，) ( q ) z l l w , l l i , 。( o ) + s i l 叫i i 羔。( n ) + c + i l w l l 至：( o ) i i v u l i 云夏+ ，) ( q ) 又因为： 羔。+ ) l l v 2 v l l l 2 n + 1 ( 哟 冬i i 叫l l 奢( n ) i l 叫1 1 2 l - ：( 2 q c t ) l i v 2 r i l l + 。( n ) e i l 叫i i 备一( q ) + c + i i 叫i i 羔：( n ) i | v 2 口l | 云：。( 哟 i i v 叫i l 之：( q ) + i l 叫i i 至z 【q ) + c + i l 叫i l 至t ( n ) i i v 2 v i i 乏：。( n ) 心! d ， qw 2 d x + 学厶i v 帕、 3 c i i v 酬羔。( n ) + c i l w l l 至。( 哟( 1 l v 2 i i 墨1 ，( n ) + l l v 口i l 乏2 州归) + 1 ) 一上乱1 + p 出( 半) 取6 = 得： 由引理3 3 可得： 又由假设： z 蚪1 ( 胁 l 2 。+ , ( n ) - t - 酬忘删( 。) ) d s c 毗拈z 件1 上叫2 触= 厂n u p d x d s c 由一致g r o n w a l l 不等式得 上伽2 出= 上矿出c 2 0 0 8 年 矿 切p 一 珏 z r c ：如厂如 m 一厂止如 + 厂如 轨卜 忆 哟 v c i m舻咖 u c 小 + 槲 o 如 训 f _ 撕咿 训 嘞 阢 、j 忪 上n - ：= - 一叫 屯川 州c c ： 时 k 2 幻 矾 c 刮 一 一 第三章一类趋化性方程组的解的整体存在性 1 3 由( 木) 式得： z 。+ 1 厶矿+ 1 d z d s c 故由数学归纳法得： j 。t + lz 矿如d s c ，印1 并且： ( ，圳工p ( q ) c ，v p 1 引理3 6 1 l u ( ，t ) l l l * ( q ) c v t 0 证明：关于u 的方程写成积分形式： u ( ) = e 叫+ 1 ) t u 。( z ) + te - ( a + 1 ) ( t - s ) v ( u v 口) 出+ z e - ( a + 1 ) ( t 叫( 2 u - u 2 ) d s 两端同时作用( a + 1 ) 口，0 0 得： i i ( a + 1 ) a u 0 ) i i ( a + 1 ) - t ( a + 1 ) u o n ) + 舯( a4 - 1 ) a e - ( a + 1 ) ( t - s ) v ( u v u ) n ) d s + z f l ( a + 1 ) q e 一( 4 + 1 ) ( 卜8 ( 2 仳一u 2 ) i i b ( n ) d s ，0 = 厶+ 2 + 3 结合引理2 8 ，3 1 ，3 3 及3 5 得： 1 ai l u o l l l 。( f o c 。 2 q 。( 亡一s ) 一0 r 弘1 e 刊汹i i 乱v q ) d s q ( t s ) - - 0 1 - - 扣e 刊卜8 俐锄( n ) i l v v l i l ：p ( 0 ) d s c其中取0 0 弓i 理4 3i l w l l u ( q t ，件。) c0 证明：对于w 的方程两端同乘w 在q 上积分得 故 l v 叫1 2 如= 一丘u1 + 2 d x 0 引理4 4l i v w l l v 。( q + 。) scv t 0 证明：对于w 的方程两端同乘一a w 在q 上积分得： 故 因为： 1df i v w l 2 d z + ai a w l 2 如 丛伽 ，n u 叫2 1 + 叫2d x f n i a 伽l l u i 出 i i a w l l ；, 。( n ) + c + 羔：( n ) 三五d 上i v 叫1 2 出+ f 1 a 卵d z c 制i i ) 三压d 上l v 讥i 州) d x 0 1 5 c 上 v i q k 在 如铲 川厶 伊 一。 嘶 m 一如 小 哪岖 厂如 ：“ 有厂止 凶旦出 则故 厂如 +z d 2 加 厂厶 m 础故 1 6 引理4 5i i v l l v ： 0 弓i 理4 6l l v u l | ( q 埘+ 。) c耽0 证明：对于v 的方程两端同乘一a v 在q 上积分得 象正i v 秒+ s oi a u f = 一f ，q w u 2 a v 1 + u 2如+ 正乱钞 如 i i a v l l 至：( n ) - fc + i l u l l 羔：( q ) 面d 上l v 钞1 2 如+ 五1 a 可1 2 d x _ c 制) 结合引理4 2 及引理4 5 ： ，f。tt-tli i u 慨n ) d s c ， 由一致g r o n w a l l 不等式得： 面d 上i 吼1 2 d x 一 c 讹 一 s ， 如 c z ，i 出 一 2 ， 砰如 矶阳 疋v 厶 厂，儿 第四章一类趋化性方程组的解的整体存在性 对于u 的方程两端同乘u 在q 上积分得 取 故 ! d _ nu 2 1 1 厶v ( - ，q i v u l 2 d x ( 1 + u ) 2 乳) 出+ 厂札2 ( ，q 等1 睾蚺上 ( + 口) 2 。- n 1 + 加2 等如一上拖再面如一厶如 c i i v u l l l 。( n ) l l u l l l 。( q ) i l v v l i l 。( o ) + 恻i 至。( n ) u ) d x e l i v 札嵫( n ) + c + 羔。( q ) i i v u 哦( n ) 4 - i l u l l 至。( n ) n = 1 ，由g n 不等式：i 叫n ) v i i 札幢3 ：( n ) l 刍。( n ) = 互1得 c + i l u l l 2 。( n ) l l v v l l 羔。( n ) 31 c l l u l l 艺：( q ) l l u l l i , 。( q ) l l v v l l 羔。( n ) e 备。( n ) + c l l u l l 芝：( q ) i i v 秽哦8 ( q ) 三爰上u 2 d x + ni v u 丢i l v u o 至：( 。) + c ( 1 + i i v u i i 量。( n ) ) l i u i l 至。( 。) 爰上u 2 d x 0 结合v 的方程得： l i a v l i l 。( n ) c ， 耽 0 又啦= a u v ( 万考矿v 口) + u ( 茜告一u ) = u + f ( u ，口，w ) 由引理4 8 ，4 9 及4 1 0 ，4 1 1 得： f ( u ，u ，w ) l 口( q ) 1 a n = 2 故n = l ，n = 2 时：i l “( ，t ) l l l 。( n ) + l i v ( ，t ) l l n - - ( ) + 1 1 w ( ，t ) i i l * ( q ) c ，0 由a m a n n 理论，定理成立 2 4 硕士毕业生毕业论文 参考文献 2 0 0 8 年 【1 】h a m a n n ，d y n a m i ct h e o r yo fq u a s i l i n e rp a r a b o l i ce q u a t o i n s2 ：r e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s ，d i f f e r e n t i a l i n t e g r a le q u a t i o n s ，3 ( 1 9 9 0 ，) 1 3 - 7 5 2 】h a m a n n ，d y n a m i ct h e o r yo f q u a s i l i n e rp a r a b o l i ce q u a t o i n s3 ：g l o b a le x i s t e n c e m a t h ，z ，2 0 2 ( 1 9 9 8 ) p p 2 1 9 - 2 5 0 【3 】3 m a i d a ，k o s a k i ，t ，t s u j i k a w a ，a ，y a g i m ，m i m m u r a c h m o t a x i sa n dg r o w t hs y s t e mw i t hs i n g u l a r s e n s i t i v i t yf u n c t i o nn o n l i n e a ra n a l y s i s ：r e a rw o r l da p p l i c a t i o n s6 ( 2 0 0 5 ) 3 2 3 - 3 3 6 【4 】d h o r s t m a n n ，m ，w i n k l e r b o u n d n e s sv sb l o w - u pi nac h e m o t a x i ss y s t e m j d i f f e r n t i a le q u a t i o n s 2 1 5 ( 2 0 0 5 ) 5 2 - 1 0 7 【5 】t h o m a sh i l l e n ，a l e xp o t a p o v t h eo n e - d i m e n s i o nc h e m o t a x i sm o d e l ：g l o b a le x i s t e n c ea n da s y m p - t o t i cp r o f i l e m a t h m e t h a p p l s c i 2 0 0 4 ；2 7 ：1 7 8 3 - 1 8 0 1 【6 】d h e n r y ，g e o m e t i c st h e o r yo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，i n ”l e c t u r en o t e si nm a t h e m a b - i c s ”v 0 1 8 4 0 ，