（计算数学专业论文）鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法.pdf

摘要 二阶控制系统泛应用于大型挠性空阊结构控制、地震工程、多柔体系统 控制、阻尼陀螺系统和机器人控制设计以及结构动力学q ，的震动分析等工程领 域。 本文考虑状态反馈二阶控制系统的鲁棒部分二次特征值配置。为了减小反 馈矩阵范数和闭环特征值的敏感性，我们将问题转化为两个不同的无约束非线 性最小化问题。对每一个无约束非线性最小化问题，我们提出了新的价值函数。 通过s y l v e s t e r 方程参数化，我们为所提出的价值函数推导m 明确的梯度公式。 然后，我们应用梯度方法求解相应的最小化问题。数值试验表明我们的方法是 有效的。 关键词：鲁棒部分二次特征值配置，二阶控制系统，s y l v e s t e r 方程 a b s t r a c t s e c o n d o r d e rc o n t r o ls y s t e m sa r i s ei nar e m a r k a b l ev a r i e t yo fa p p l i c a t i o n s s u c ha sl a r g ef l e x i b l es p a c es t r u c t u r ec o n t r o l ，e a r t h q u a k ee n g i n e e r i n g ，t h ec o n - t r o lo ff l e x i b l em u l t i b o d ys y s t e m s ，t h ec o n t r o l l e rd e s i g nf o rd a m p e dg y r o s c o p i c s y s t e m s ，r o b o t i c s ，a n dt h ev i b r a t i o ni ns t r u c t u r a ld y n a m i c s i nt h i st h e s i sw ec o n s i d e rt h er o b u s tp a r t i a lq u a d r a t i ce i g e n v a l u ea s s i g n - m e n tp r o b l e mf o rs e c o n d o r d e rc o n t r o ls y s t e m sb ys t a t ef e e d b a c k t or e d u c e t h ef e e d b a c kn o r i n 8a n ds e n s i t i v i t yo ft h ec l o s e - l o o pe i g e n v a l u e s ，w ef o r m u l a t e t h ep r o b l e ma st w od i f f e r e n tu n c o n s t r a i n tn o n l i n e a rm i n i m i z a t i o np r o b l e m sw i t h n e wp r o p o s e dc o s tf u n c t i o n s e x p l i c i ta n a l y t i ce x p r e s s i o n so ft h eg r a d i e n t so f t h ec o s tf u n c t i o n sa r ed e r i v e dv i at h es y l v e s t e re q u a t i o n - b a s e dp a r a m e t r i z a t i o n t h e nw ee m p l o yg r a d i e n t b a s e dt e c h n i q u e st os o l v et h em i n i m i z a t i o np r o b l e m s n u m e r i c a lt e s t sa r ea l s or e p o r t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e d a p p r o a c h e s k e y w o r d s ：r o b u s tp a r t i a lq u a d r a t i ce i g e n v a l u ea s s i g n m e n t ，s e c o n d o r d e rc o n - t r o ls y s t e m ，s y l v e s t e re q u a t i o n u l 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下取得的研究成果。本人 在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文中以 适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学术活动规 另外，该学位论文为() 课题( 组) 研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的资 助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写 课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作 特别声明。) 栅筠掣：搿 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 论文( 包括纸质版和电子版) ，允许论文进入厦门大学图书馆及其数 据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、硕 士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编 出版，采用影印、缩印或者其他方式合理复制。 本学位论文属于： () 1 、经厦门大学保密委审查核定的保密论文，于年 月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 、不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“ 或填上相应内容。保密学位论文 应是已经校保密委审定过的，方可打“ 力，未经审批均为公开论文 此声明栏不填写的，默认为公开论文，均适用上述授权。) 作者签名：造冬锋 导师签名： 日期：多年名月如 日期：年 月 日 第一章引言 1 1 部分二次特征值配置问题 我们考虑如下二阶控制系统： m i j ( t ) + d d l ( t ) 4 - k q ( t ) = b u ( t ) ( 1 1 ) 这样的二阶控制系统在工程应用领域中应用广泛。这主要包括大型挠性空间结 构控制、地震工程、多柔体系统控制、阻尼陀螺系统和机器人控制设计以及结构 动力学中的震动分析等，见文献 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 】。在许多应用 中，佗n 实矩阵m ，d ，k 分别被称为质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，nxm 实 矩阵b 为输入矩阵( m 铊) 。礼维向量g ( t ) 和u ( t ) 分别代表状态向量和控制向量。 本文中我们假设m ，d ，k 均为实对称矩阵，且有m 正定，k 半正定，这种情形通 常出现在实际应用中，见文献 1 4 ，1 5 ，1 6 】。 通过变量分离q ( t ) = z e 址，其中z r “为待确定的常向量，a 为待定的数量， 我们得到方程( 1 1 ) 的一般解，而且这样的一般解是由如下二次特征值问题的解 所决定的：即求孔维非零向量z 和数量a 满足关系式： ( a 2 m + 入d + k ) x = 0 ( 1 2 ) 记尸( a ) = 入2 m + a d + k 矩阵多项式p ( a ) 称为开环二次束，( a ，z ) 称为p ( a ) 的 特征对。二次特征值问题已有很多文献讨论过，如【1 4 】等。 在实际工程问题中，p ( 入) 的所有特征值中有一小部分是我们不希望出现 的。例如在桥梁结构中，这一小部分对应的特征值可能会引起整个结构的共振 现象，共振是我们要避免的。因此希望通过控制外力u ( ) 来改变p ( 入) 的特征值 的结构。 取u ( t ) ( 称为状态反馈控制器) 为如下形式： 也( t ) = p 香( t ) + g r 口( ) ， 其中只g 为待确定的( 礼m ) 实矩阵，称为反馈矩阵。将( ) 代入( 1 1 ) ，可得如 下闭环系统 m 百( ) 4 - ( d b f t ) 口( ) + ( k b g t ) q ( t ) = 0 ( 1 3 ) 2鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法 类似( 1 1 ) 可知( 1 3 ) 由如下的矩阵束来决定 足( a ) = a 2 m + a ( d b f t ) + ( k b g t )( 1 4 ) 称只( 入) 为闭环二次束。 对于p ( 入) 和r ( a ) 的特征值之间的关系，我们的要求是在引入反馈矩 阵只g 之后，只( 久) 能够将p ( 入) 的一小部分已知的不好的特征值替换掉，同 时保留原问题p ( 入) 的剩余绝大部分特征值不变，这一性质也被称为无溢出 性 1 7 。这一问题称为部分二次特征值配置问题。为了研究部分二次特征值配置 问题，我们先回顾一下一阶控制系统的特征值配置问题。 1 2一阶控制系统的特征值配置问题 考虑如下的一阶控制系统 圣( t ) = a x ( t ) + b u ( ) ，( 1 5 ) 其中a r n n ，b r n m ，缸( t ) = 一k z ( ) ，k r m n ，z ( ) r “。将u ( ) = 一k x ( t ) 代入( 1 5 ) 可得 圣( ) = ( a b k ) z ( ) ( 1 6 ) 系统( 1 6 ) 由矩阵束( a b k ) 的性质来决定。标准特征值配置问题就是寻找状 态反馈矩阵k ，使得矩阵束( a b k ) 具有给定的谱集。特征值配置问题可以分 为完全配置和部分配置。完全配置问题巾解k 的存在性唯一性条件在文献f 1 8 】， 解法见 1 8 】，【1 9 】， 2 0 】， 2 l 】， 2 2 】， 2 3 】等。这里我们更关心的是部分特征值配置的 问题。 设 a 1 ，入2 ，h 1 ，+ 2 ，k ) 是a 的谱集， 入，入2 ，) ( p n ) 是自共轭的。给定 p 1 ，p 2 ，脚) 也是自共轭的集合，并且 p 1 ，p 2 ，坳 n a 1 ，入n ) = o 部分特征值配置问题即是找到mx 佗矩阵k ，使得矩阵束( a 日k ) 的谱集为 【p 1 ，p 2 ，脚，a p + 1 ，入p + 2 ，a n ) 文献 2 4 1 给出了该问题的一种解法。 第章引言 3 1 3鲁棒性 在一阶控制系统( 1 5 ) 的特征值配置问题中，对于给定的矩阵ab ，我们希 望找到矩阵k 使得矩阵m = a b k 具有给定的特征值集。这样的k 在一定条 件下存在，但不唯一，因此要选取合适的k 。如果解矩阵k 满足：m 的特征值对 于系数矩阵a ，b 的扰动不敏感，那么称这样的k 是鲁棒的。有关一阶特征值配 置问题鲁棒性的数值算法我们可以参考文献 1 8 】，【2 5 】，【2 6 】，【2 7 】， 2 8 】， 2 9 】等。b r a h m a 在 1 6 】中总结了可以用来度量特征值配置问题鲁棒性的几个条件： m 的特征矩阵x 的f 范数条件数c o n d f ( x ) ：= l i x i i f i l x _ 1 l l f 或者等价 的l i x 慷+ i i x - 1 幅。 m 的特征矩阵x 的酉性或正交性，t r ( i x 日x ) 2 。 m 的特征矩阵x 的f - 范数条件数与实际应用中最小范数的加权： 11 去( i i x l i 刍+ l i x 一1 i l ；) + 击( 1 一a ) l | k l l ；，0 口1 厶二 本文组织如下：在第二章，我们简短介绍部分二次特征值配置问题的一般 解和已有鲁棒性数值方法。在第三章，我们考虑鲁棒部分二次特征值配置问题， 将问题转化为两种不同的无约束非线性最小化问题，并给出了价值函数的梯度 的明确表达式和相应的数值算法。在第四章，我们通过数值试验，比较了不同 目标函数下解的鲁棒性。最后，在第六章，我们得出了一些结论性评价。 本文中的符号记号约定如下： a = d i a g ( x 1 ，a 2 ，入2 n ) - = p ( a ) 的所有特征值构成的对角矩阵。 a 1 = d i a g ( a 1 ，入2 ，k ) = p ( a ) 的要被替换的特征值构成的对角矩阵。 a 2 = d i a g ( a p + l ，a 升2 ，a 2 。) = p ( a ) 的将要被保留的特征值构成的对角矩阵。 a j = d i a g ( # ，肛2 ，弘p ) = 新的特征值构成的对角矩阵。 x = ( x l ，x 2 ，z 2 n ) = p ( 入) 的特征值对应的特征向量构成的矩阵。 x 12 ( x l ，x 2 ，z p ) = a 1 中特征值对应的特征向量构成的矩阵。 4 鲁棒部分一次特征值配置问题的数值方法 x 2 = ( z 卅1 ，z p + 2 ，z 2 n ) = a 2 中特征值对应的特征向量构成的矩阵。 m = ( y l ，y 2 ，饰) = k 中特征值对应的特征向量构成的矩阵。 i i x 怯= x 的f r o b e n i u s 范数。 q ( a ) = a 的谱集。 t r ( a ) = a 的迹。 r ”，c ”分别表示全体n 维实数，复数向量，r 似m ，c 似m 分别表示全体( n x m ) 维实，复矩阵，表示单位矩阵，表示向量z 的转置，a t 表示矩阵a 的转 置，z 嚣表示向量z 的共轭转置，a 日表示矩阵a 的共轭转置，五表示矩阵a 的共 轭，a t 表示矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆，c o n d f ( a ) 表示a 在f 一范数下的条件 数，v e c ( a ) 表示把矩阵a 按照列向量拉直为一个大的列向量，aob 代表两个矩 阵a 和b 的k r o n e c k e r 积。 第二章部分二次特征值配置问题的解 要讨论鲁棒部分二次特征值配置问题，我们首先要得到部分二次特征值配 置问题的一般解。本章简短介绍一下部分二次特征值配置问题的参数解，见文 献【1 8 ，1 6 ，3 0 ，3 l 】。 2 1 化为一阶标准问题 为了叙述问题方便，下文中我们始终有如下的假设条件： 1 m ，d ，k 孵n ，b 础m ，且m t = m ，d t = d ，k t = k ，m 和k 分别 为正定矩阵和正半定矩阵。 2 p ( 入) 对应的二阶系统是可控的，即 r a n k a 2 m + a d + k 】- 佗，v a c 3 特征值之间的关系 _ 入1 ，a 2 ，入2 n ) n p 1 ，p 2 ，蜥】- = a + 1 ，+ 2 ，a 2 n n a 1 ，入2 ，入p ) = 彩 0g 入l ，入2 ，a p ) 对于如下二次特征值问题 ( a 2 m + a d + k ) z = 0 因为m 为正定矩阵，m 一1 存在。因此( 2 1 ) 可化为 a 2 z = ( 一a m 一1 d m 一1 k ) z 令 a = ( 一z ，k 一二。) ，岔= ( 毋 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 6 鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法 结合( 2 1 ) 直接验证即司得 a 圣：a 这样就把二次特征问题转化为标准的一阶特征值问题。 对于二阶控制系统 r ：善芝簿妊 偿3 ， i牡( ) = f t 圣( ) + z ( t ) r 7 令 孙，= ) ， 则。 邢，= ) 令 雪= 0 。b ) 直接验证即可知( 2 3 ) 等价于 三( t ) = a z ( t ) + b u ( t ) 这样原来的部分二次特征值配置问题就可以叙述为：寻找状态反馈矩 阵s = ( 俨，f t ) ，使得( a + 台s ) 的谱集为 p 1 ，芦2 ，脚，+ 1 ，久升2 ，a 2 n ， 我们知道相应的特征向量构成的矩阵为 y = ( 基：宏2 ) 从表面上我们可以看到部分二次特征值配置问题完全转化为标准的一阶特 征值配置问题，这样就可以利用一阶控制系统特征值配置问题的已有结果对部 分二次特征值配置问题的解及其鲁棒性进行讨论。 但是应当注意到，将问题降阶为一阶问题后，a 的维数会加倍，并且不具备 原来的二阶问题的优点，如对称性，正定性等有利于数值计算的特殊结构，因此 我们希望在二阶问题背景下求解反馈矩阵f 和g ，而利用一阶问题中有关鲁棒 性的理论来讨论部分二次特征值配置问题的鲁棒性问题。 第二章 部分= 次特征值配置问题的解 7 2 2 反馈矩阵的参数解 b r a h m a 在 1 6 中直接利用原二次特征值问题的信息而不是首先把问题降 为一阶问题，并利用s y l v e s t e r 方程的结果，给出了部分二次特征值配置问题 解的参数表达式。下面的正交关系式为导出参数解的一般表达式提供了基础， 见 1 6 ，t h e o r e m4 1 和 1 s ，t h e o r e m1 6 6 5 】。 引理2 2 1 ( 正交性) a 1 x t m x 2 a 2 一x t k x 2 三0 利用引理2 2 1 ，可以得到部分二次特征值配置问题的反馈矩阵f ，g 的显式 参数表达式。有关详细证明见 3 0 ，t h e o r e ml 】和【1 6 ，t h e o r e m4 1 】。 定理2 2 1 ( 参数解) 令r = ( 7 1 ，伪7 p ) c m 加，满足条件：如果心= 风，则有= 噘设z 为如 下s y l v e s t e r 方程的唯一解 a 1 z z a ：= 一a 1 x t b r ( 2 4 ) 则二次特征值配置问题的解反馈矩阵只g 的表达式为 f = m x l a l 圣t ，g = 一k x l 圣t 其中圣满足方程圣z = r 此外，对任意满足假设条件的非零的r ，f 和g 均为实 矩阵。 2 3 最小范数解 因为f = m x l a l 垂t ，g = 一k x l 西t ，其中圣z = f ，r 为任意满足定理2 2 1 的参数矩阵，所以只g 均为r 的函数。b r a h m a 在 1 6 ，3 0 】中通过极小化j = 芎1l i s 恽 给出了一组确定的只g ，由此得到的解称为最小范数解。因为s = ( g t ，f t ) ，所 以j = ；( j f i l 2 f + l i g 幅) ，即，为r 的函数，对于极小化j ，b r a h m a 采用拟牛顿最 优化法( 如：b r o y d e n - f l e t c h e r g o l d f a r b - s h a n n o ( b f g s ) 算法【3 2 ，3 3 】) 来求解， 因此需要j 关于r 的梯度v r ( ，) 的表达式( 见 1 6 ，t h e o r e m4 3 】和 3 0 ，t h e o r e m2 】) 。 8 鲁棒部分_ 次特征值配置问题的数值方法 定理2 3 1 ( 梯度公式) 假设f 7g 由定理2 2 _ f 给出，令s = ( g t ，f t ) ，p = m x l a l ，q = 一k x l ， c = 【q t ，p t 】。z 满足s y l v e s t e r 方径 a 1 z z a i = 一a 1 x f b r 假设z 可逆且u 满足s y l v e s t e r 方程： a ：u u a l = 一z 一1 c s h 西， 其中圣z = r ，那么 ( 1 ) s = f z c ， ( 2 ) v r ( j ) = 去【z 一1 c s h u a l x f b t 采用拟牛顿最优化法，利用定理2 3 1 关于j 的梯度公式，就可以求出能够极 小化j 的r ，从而可利用定理2 2 1 得到反馈矩阵的确定解。 在定理2 2 1 和2 3 1 的基础上，b r a h m a 给出了如下的算法。 算法2 3 1 ( 最小范数算法) 输入： _ f 系数矩阵m ，d ，k r 忆黼，其中m = m t ，k = k t ，d = d t ，且m 为正 定矩阵，k 为正半定矩阵。 2 控制矩阵b r 似m ，( m 佗) 。 3 p ( 入) 的需要被替换的特征值集( ，自共轭的集合， 入1 ，入2 ， 彳自共轭的集合 p 1 ，p 2 ，如) 。 5 计算梯度矩阵范数的误差界e 。 疗最大迭代次数m a x t t 盯 输出： 反馈矩阵只g ，使得闭矩阵束p c ( 入) 的特征值为 p 1 ，p 2 ，如，a 舛1 ，a p + 2 ，a 2 n ) ， 并且极小+ l j = 烈11 1 rl l f 2 + l i g l l ) 。 口：形成矩阵a 1 ，k ，x 1 ，c ，令k = 1 f ：选择矩阵r = ( 7 1 ，讹) c m 口，满足条件：如果如= 风，则 有7 f = 饥。 第二章部分- 次特征值配置问题的解9 2 7 通过求解s y l v e s t e r 方程a 1 z z a ；= 一a l x f b r 得到z 。如果z 的条件 数非常大，则选取另外的r 这一步利用m a t l a b 中l y a p 函- 数来求解 3 ：求解线性方程组z w = c 得到c 。计算s = r w 和s y l v e s t e r 方程“u u a l = 一w s 丁垂的解u ，其中西z = r 。 彳j 计算梯2 变v r ( j ) = 【w s t u a l x t ib i t 。 如果l l v r ( j ) lj f l ， 那么d j 为b f g s 方法的第三步得到的度量衡量标准；如果j = l ，那么d j = d 1 。 2 ：启为s y l v e s t e r 方程a 1 2 2 a ；= 一a 1 x f j e 7 f 的解，咖为线性方程组 2 w ：c 的解。 3 - 找到f = r a i n q 剖1f 咖悍。该问题利用m a t l a b 中的f m i n b n d 函数来求 解。 4 ：f n e t l ，= f o l d + l d j 。 我们应当注意到如此得到的解是局部最小的。因此需要选取不同的初 值r 来得到j 的最小值。 2 4基于特征矩阵酉化意义下的鲁棒解 我们知道二阶控制系统( 1 1 ) 可表示为一阶形式： m 童( ) + d 2 ( t ) + k x ( t ) = b u ( t ) 2 ( ) = a z ( t ) + b u ( t ) ， 1 0 鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法 这里 五= ( 一善，k 一二。) ，拈o 。b ) 刊归) 令s = ( g t ，f t ) ，则矩阵a - i - 台s 的特征矩阵为 y = 意。) ， 这里矩阵m = ( y l ，蜘) ，玑为闭环二次束只( 入) 的对应于特征值胁的特征向量， 且玑为下列方程的解： ( # 2 m + p d + k ) y i = b m ，i = l ，p ， 见文献 1 6 ，3 1 】。 我们知道如果矩阵y 是i f _ 交阵或酉阵，则矩阵a + b s 的特征值条件数最优， 即对扰动不敏感。因此可以寻求r 使得y 接近于正交阵或酉阵。b r a h m a 1 6 ，3 l 】通 过最小化如下目标函数求解鲁棒部分二次特征值配置问题： 了= i j ( ，一y 打y ) 2 i ； 在【1 6 ，3 1 1 中，j 被分解为如下形式 其中 = i i ( g 一甲m a l y l h y l a l ) 2 临，以不依赖于r 。 关于r 的梯度公式如 下：( 1 6 ，t h e o r e m4 8 】和 a l ，t h e o r e m5 】) 定理2 4 1 ( 梯度公式) 令 z 1：= 厶一k 日m 一天1 k 何m 天： 易：= 厶一铲m a l y h y l a l z 3 ：= z 易+ 爱z 1 + a 1 z l 易a ：+ 天i 砺z l 天1 今五为如下勋2 秽e s e 访程的解：a j 五一互人1 = 磊铲k 贾1 何1 ，其中g l = p t 户+ q ? 国，p = m x 】a 】，q = 一k x l 。那么 v i 以= 2 ( 乙a 1 x t b ) r 第， 章部分二次特征值配置问题的解 在定理2 4 1 和的基础上，b r a h m a 给出了如下的算法。 算法2 4 1 输入： j 系数矩阵m ，d ，k r 竹胁，其中m = m 丁，k = k t ，d = d t ，且m 为正 定矩阵，k 为正半定矩阵。 2 控制矩阵b r 似m ，( m n ) 。 3 尸( 入) 的需要被替换的特征值集f ，自共轭的集合， a 1 ，入2 ，入p 。 彳自共轭的集合 p l ，p 2 ，饰) 。 5 计算梯度矩阵范数的误差界e 。 6 最大迭代次数m a x t t e r 。 输出： 反馈矩阵只g ，使得闭矩阵束r ( 入) 的特征值为 p 1 ，p 2 ，坳，h 1 ，h 2 ，入2 n 】， 并且极小4 5 j = i i ( i y h y ) 2 临。 口：形成矩阵a l ，k ，x l ，a ，令k = 1 0 j ：选择矩阵r = ( 1 1 ，忱饰) c m p ，满足条件：如果心= 风，则 - p 一 碉2 饥 2 ：通过求解s y l v e s t e r 方程a ，蜀一乙a 1 = 一历y i k s ：1 c 1 得到历。 3 ：计算梯度v r ( j ) 。如果h v r ( j ) h f 1 ， 那么d j 为b f g s 方法的第三步得到的度量衡量标准：如果歹= l ，那么功= d 1 。 2 ：通过p = 阿- ，训计算e = 【雪- ，鲂】其中吼满足方程 ( 纸2 m + p d + k ) 吼= b 龟，i = l ，p 1 2鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法 3 ：找到2 = m i n n 洲( 易一铲研一a i y l h y l a l ) 2 怯。该问题利用m a t l a b 中 的f m i n b n d 函数来求解。 4 ：f n 。”= f a a + l d j 。 我们应当注意到如此得到的解也是局部最小的。因此需要选取不同的初 值r 来得到以的最小值。 第三章鲁棒部分二次特征值配置问题的新解法 对于部分二次特征值配置问题， 1 6 ，3 0 】中给出了最小范数解，对于鲁棒部分 二次特征值配置问题， 1 6 ，3 1 通过闭矩阵束r ( 入) = a 2 m4 - a ( d b f t ) + ( k 一 v y 、 b g t ) 的特征矩阵y = l 一2 l 最接近正交阵或酉阵的方法，即通过 m q 叉2 a 2 ，= i i ( i y h y ) 2 悍来度量鲁棒性，给出了鲁棒部分二次特征值配置问题的一 组解。本章我们将依据鲁棒性的意义利用有关特征值扰动的理论，得到两个新 的度量部分二次特征值配置问题的鲁棒性和最小化范数的目标函数，推导出目 标函数的梯度的明确表达式，并设计了数值算法。 3 1 基于一阶化的解 首先我们把部分二次特征值配置问题转化为一阶问题，利用一阶控制系统 的理论来分析鲁棒部分二次特征值配置问题。由上一章的内容可知，二阶控制 系统( 2 3 ) 对应的一阶形式为： 2 ( t ) = a z ( t ) + b u ( t ) ， 这里 a = ( 一暑，k 一二。) ，台= ( z b ) 刊归) 为了得到鲁棒部分二次特征值配置问题的新的目标函数，我们先叙述【3 4 】中的一 个重要定理。 定理3 1 1 设乃，疋为任意的两个( 佗佗) 矩阵，其特征值分别为 q 1 ，口2 ，乜n ) 和 阮，尾，风) 。 那么对于2 范数0 ，有 m j a x m ；i n i 毗一岛i ( i i t ，i i4 - i i t z i i ) 1 一钏丑一正忙 证明见 3 4 1 c p 的定理v i i i 1 1 。 口 1 4 鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法 由定理3 1 1 可知，对二阶控制系统( 2 3 ) ，相对应的特征值扰动的上界可以近 蝴l l a i i f + l i a + 台剐f 来度量，这里s = ( g t ，f t ) 。因为 a + 雪s = ( 一m 一。( k o b g t ) 一m 一。( 。i b f t ) ) ， 所以有 l i a + 雪s i i ；= i i i l l 刍+ l i m 1 ( k b g t ) l i ；+ l i m 一1 ( d b f t ) l 唔 i i l l l 刍+ l i m i i ；( 1 i k b g t i | 刍+ l i d b f r | i 刍) 我们可以选取如下价值函数： 去( 1 i m - 1 ( k b g t ) i 佞+ i i m _ 1 ( d b f 丁) i i 刍) 由于价值函数中含有m ，当n 较大时，为保证数值计算的稳定性，因此我们考 虑如下的目标函数： j = 去( i i k b g t | i ；+ i i d b f t l i 备) ( 3 1 ) 由第二章定理2 2 1 可知，部分二次特征值配置问题的反馈矩阵f = m x l a l 圣t ，g = 一k x l 垂t ，其中圣满足方程c z = r ，r 为满足定理2 2 1 要 求的参量。类似最小范数解的分析方法，我们需要首先求解如下的无约束最优 化问题： m ，i n j = 寺( j i 一b g t | i 刍+ j j d b f t j j 刍) ( 3 2 ) 为了利用拟牛顿最优化方法求解最优化问题( 3 2 ) ，我们首先仍要得到j 关 于r 的梯度公式。对此我们有下面的定理。 定理3 1 2 设r = ( ，y 1 ， 7 2 ) c 仇如，满足条件：如果心= 风，则有= 吼。反馈矩 阵f g 的一般形式为：f = m x l a l 西t ，g = 一k x l 垂t ，其中圣满足方程中z = r 。 令尸= k + b g p x t k ，q = d b 圣人l x t m ，z 满足s y l v e s t e r 方程： a 1 z z a i = 一a l x r lb r 设z 是可逆的，以y 分别满足s y l v e s t e r 方程： a ：一u a l = 一z 一1 x r lk p h b e ， ( 3 3 ) ( 3 4 ) 第三章 鲁棒部分一次特征值配置问题的新解法1 5 人：y v a l = 一z a 1 x f m q 圩b 圣( 3 5 ) 那么j 关于r 的梯度v r ，为： 11 v r j = 专【z 一1 x t k p h b u a l x f b 】t 一去【z 一1 x t lm q 胃b y a l x t b t ( 3 6 ) 证明由定理2 2 1 可知，f = m x l a l 圣t ，g = 一k x l 垂r ，中满足方程组c z = f 。 由。，的定义可知： - f i g + b c x t k 2 f + l i d b o a l x t m i l 2 f ； p i 2 f h + 互i ij l 。e 舢、 (37)t r ( p h p ) + 抄( q h q ) 、v “7 + 以 因此我们有j 关于r 的梯度： v r j = v r + v r 如 ( 3 8 ) 下面我们分别求出 和也的梯度公式。 为了得到 的梯度公式，我们先求出 关于r 的一阶变分： m 三争“p 篱端1 t r ( p a p t r ( p 凹a p 翟 ( 3 9 ) = 日 ) +日) r 7 下面我们要求出t r ( p 日尸) 关于r 的表达式。因为尸= k + b o x t k ，所 以 a p = b a o x t k ， ( 3 1 0 ) 又圣z = f ，两边对r 求导可得：a o z + ( i ) a z = r ，由假设知z 可逆，所以有 圣= 【r c a z z 一1 ( 3 1 1 ) 结合( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) ，可得： t r ( p h p )t r ( p h b a o x t k ) t r ( x r k p 疗b a o ) = 打( x f k p 片b a f 一圣z l z - 1 ) ( 3 1 2 ) = t r ( z 一1 x t k p h b a f 一圣z 】) = t r ( z 一1 x t k p 日b a f ) 一t r ( z 一1 x t k p h b c a z ) 1 6鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法 下面我们把r ( z 一1 x t k p 日b 圣z ) 表示为r 的形式。对( 3 3 ) 两边求一阶变分 可得： a 1 z a z a ：= 一a 1 x f b a f ( 3 1 3 ) 由文献 3 5 】中关于s y l v e s t e r 方程的解的讨论可知( 3 1 3 ) 酐j 解z 为： 这里咖七为标量。令历= z 一1 x t k p h b 圣，磊= a i x f b a f ，那么有 t r ( z , a z ) = t r ( z 1 咖知( a 1 ) j ( 一易) ( a i ) 七 j = o k = 0 ：打( p - - lp - 1 九k ( a ：) 七z )( 3 1 ( - z 1 ) ( i l ) j z 2 4 ) = 打( 九k ( q ) 七 ) p 。叫 j = ok = o = t r ( u a , x t b a f ) ， 这里= 暑：p k ：- - 0 1 w 。l ) 知( 一z 1 ) ( h 1 ) ，显然满足s y l v e s t e r 方程( 3 4 ) 。结 合( 3 1 2 ) ，( 3 1 4 ) 即可得： t r ( p 日a p ) = t r ( z 1 x t k p h b u a l x t b a r ) ( 3 1 5 ) 下面我们来求( 3 9 ) 中t r ( p a p h ) 关于r 的表达式。由( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) n - j 得： t r ( p a p h ) 打( p k 贾1 ( 圣) h b 日) t r ( b 日p k x l z hv , r 日一a z 圩西h ) = t r ( b h p k x l z h a f 日) 一t r ( b 片p k 宕i z 一日a z h 圣h ) = t r ( b h p k x l z 日a f h ) 一t 7 ( z f z h ) t 面m a r h 来表示t r ( z h a z 日) 。对( 3 1 1 ) 两边同时取共轭转置可得： a ia z h a z h 天l = z 2 可知该s y l v e s t e r 方程的解z 日的表达式为： ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 卜 a rb t xa一八 k 九 一脚 州间 = z 卜 一a 霉 a 七 伤 一脚 州触 = h z 第三章鲁棒部分二次特征值配置问题的新解法 1 7 其中南为标量。所以 t r ( z f a z 日)打( 1 七z 1 h 1 - ，j 。2 h 州- ) 七) j = ok - - - - o 竹一1t ) 一1 一t r ( 1 1 k ) ( 天。) 屉( 一z f ) ( 天：) j z ) j = ok = 0 一t r ( u ia f h b 日灭1 天1 ) 一t r ( b h 贾1 天1 u 1a f h ) ， 其中巩满足如下的s y l v e s t e r 方程： 天。巩一玑天：= 一z f ( 3 1 8 ) 结合( 3 1 6 ) ，( 3 1 6 ) ，可得： t r ( p a p h ) = t r ( b 日p k 元1 z 一日+ b 日贾1 a 一1 u , a f 日) ( 3 1 9 ) 由( 3 1 5 ) ，( 3 1 9 ) ，即可得到 关于r 的一阶变分的表达式： 她蔫墨p 砰k 篡xz 竺：u b 臻a 黜u ， a f q 2 。， + t r ( 【b h 1 一日+h 贾1 1 日) 、一吖 所以以的梯度v r 的表达式为 v r j l = 去【z 一1 x t k p h b u 人1 x f b 】丁 ( 3 2 1 ) 同理我们可得以的梯度v r 以的表达式为 v r j 2 = 一去【z _ 1 x t im q 日b y a l x f b 】t ( 3 2 2 ) 这里y 满足s y l v e s t e r 方程( 3 5 ) 。结合( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 即可知结论( 3 6 ) 成立。 口 定理3 1 2 为我们提供了求解鲁棒部分二次特征值配置问题的新的非线性目 标函数。与【1 6 ，3 0 中的最小范数解一样，我们采用拟牛顿最优化法来求出满足 最优化问题的r ，进而给出对应的反馈矩阵。 算法3 1 1 输入： j 系数矩阵m ，d ，k r n 黼，其中m = m t ，k = k t ，d = d t ，且m 为正 定矩阵，k 为正半定矩阵。 1 8鲁棒部分二次特征值配置问题的数值方法 2 控制矩阵b 时m ( m 礼) 。 3 p ( a ) 中需要被替换的特征值集f ，自共轭的集合) ， 入1 ，a 2 ，) 。 彳自共轭的集合( p 1 ，p 2 ，脚 。 5 计算梯度矩阵范数的误差界e 。 6 最大迭代次数m a x 池，。 输出： 反馈矩阵f ig ，使得i 羽矩阵束p c ( 入) 的特征值为 p 1 ，肛2 ，如，+ 1 ，h 2 ，a 2 n ) ， 并且极小化j = ；( 1 i k b g t i i 刍+ j i d b f t i i 刍) 。 d ：形成矩阵a l ，a ；，x 1 ，令k = 1 j j 选择矩阵r = ( 7 1 ，能饰) c m p ，满足条件：如果心= 风，则 有= 吼。 2 ：通过求解s y l v e s t e r 方程a 1z z a ；= 一a 1 x b r 得到z 。如果z 的条件 数c 帆d ( z ) 非常大，则选取另, | e j r 。这一步利用m a t l a b 中的1 y a p 函数来求 解。 了：求解线性方程组圣z = f 得到圣，进而得到p = k + b c x t k ，q = d b 圣a 1 x t lm 。求解s y l v e s t e r 方程人ju u a , = 一z - 1 x t k p h b o a i v - v a l = 一z 一1 a 1 x t m q h b 圣得到解u 和y 。 名? 计算梯度v r ( j ) 。如果i l v r ( j ) i i f e ，或者迭代次数超过了m a x 慨， 转6 ：，否则转5 ：。 5 7 利用b f g s 方法 s e ，3 驸算新的r 。令k = k + l ，转2 ：。 岔利用r ，依据定理了j 耕算出反馈矩阵f g 。 关于步骤5 ：中新的r 的计算： 我们的目标是要极小化函数j = ( 1 1 k b g t 临+ l i d b f t 怯) 。记当前 的r 的值为r “d ，新的r 的值为r 勰埘，那么r n 跚可通过下面得步骤得到： 1 与b f g s 方法的第一步一样，用于= r u u + a d j 来代替r o f d ，这里也是b f g s 方 法中的搜索方向向量，d ，= 一d i g r a d ，这里g r a d 代表当前的梯度，d f 为b f g s 方 法得到的度量衡量标准。 2 牙为s y l v e s t e r 方程a 1 2 2 k = 一a 1 x f b p 的解，毒= r 2 ，并由此计 算出新的反馈矩阵户= m x l a l 毒t ，0 = 一k x l 毒t 。 3 求解f = 血 ( il k b 0 怯+ l i d b - f i i ；- ，该问题利用m a t l a b 中 的f m i n b n d 函数来求解。 第三章鲁棒部分二次特征值配置问题的新解法1 9 4 f n e 伽= f o l a + f 岛。 3 2基于特征矩阵条件数的解 上一节我们主要是利用【3 4 】中有关矩阵特征值扰动的结论，用一个新的目标 函数j = ； l i k b 0 幅+ 圳d b p l i 刍 来