（应用数学专业论文）一类二次非线性奇摄动robin问题的渐近解.pdf

摘要 本文用边界层函数法给出了一类二次非线性奇摄动r o b i n 问题 l - , y ”= ( y ) 2 - h ( y ) ( j | i ( y ) o 0 0 ，0 0 为小参数在( 1 1 ) 中令- - - 0 得到退化系统显然，退化系统的阶数比( 1 1 ) 低，因而它的解一般不 会满足全部的初值条件( 1 2 ) 如果象上面那样，系统的最高阶导数的系数含有小参数且退化系统的阶数比 原系统的阶数低，则称原系统为奇异摄动系统反之，如果系统最高阶导数的系 数不含有小参数，且退化系统的阶数等于原系统的阶数，则称原系统为正则摄动 系统参考文献9 卜1 中讨论了当一o 时，问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 6 t c j 解趋向于其退 化系统某一解的极限过程，得出了如下结论： t i k h o n o v 定理 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 如果满足下列条件： i ) 函数f ( z ，y ，t ) 和f ( z ，y ，t ) 在变量( z ，y ，t ) 空间的某个开区域g 中连续， 且对z 和y 满足l i p s c h i t z 条1 瓠 i i ) 方程f ( z ，y ，f ) = 0 在变量( y ，f ) 空间的某个有界闭区域历上存在满足下 列条件的解z = 缈( j ，t ) ： 1 伊( y ，f ) 在西上连续； 2 当c v ，t ) 历时有( 烈y ，f ) ，y ，t ) g ； 3 根z = 缈( y ，f ) 在西上是孤立的，即存在r 0 ，使得当( y ，f ) 历， 0 i i z - q , ( y ，t ) i i 0 ，使得当0 s 心时，问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 在区间 o ，刀上存在 唯一解y ( t ，) ，z ( t ，) 满足下面极限等式 l i i 礁y o ，) = 歹( f ) ，0 t t ( 1 4 ) t - - 加 l i m z ( t ，z ) = 孤) ，0 t t ( 1 5 ) 制 从( 1 4 ) ，( 1 5 ) 可以看出y ( t ，) 在区间 o ，t 】上是一致有效的，而z ( f ，) 则不 然在二十世纪五十年代后期a b v a s i l i e v a 在她的文章中首次给出了问题( 1 1 ) ， ( 1 2 ) 一致有效的渐近解，她构造了渐近解具有下面形式 x ( t ，) = i ( f ，z ) + r l x ( r ，) ， ( 工= ( z ，y ) 丁) 其中 虱f ，) = 写( f ) + 夏o ) + ， 为正则级数 r l x ( r ，) = n o x ( r ) + u r l l ( f ) + ，( f = ) 为边界层级数 边界层级数r l x ( r ，) 的各项都是指数式衰减的在说明渐近解的一致有效性 时作了如下的余项估计 4 s u p x ( t ，) 一以】 o ，0 z o 0 0 , 0 “1 ) d y = z d t y ( o ，) - z ( o ，) = a ，y 0 ，z ) + z 0 ，z ) = b 为了更一般地讨论问题，令 f ( z ，儿f ) = z 2 - h ( y ) ，f ( z ，y ，t ) = z 脚心仉舻嗯麓 搿二分( 0 ) 其中x = ( y ，z ) 7 ，这样，问题就能写成 面d z = f ( z ，y ，f ) a 出y = 他，j ，f ) r ( x ( o ，) ，x o ，0 ) = 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) h 2 ：假设z 。0 r ( x ( o ，) ，孑( 1 ，) ) = p , o + 墨+ 2 尺2 + = 0 ( 2 1 1 ) 由此得出 r s = 0 ，i = 0 , i ，2 ， ( 2 1 2 ) 把式( 2 7 ) ( 2 9 ) 代入式( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，将含不同变量t ，f 的部分分开，并展开成 的幂级数比较两边的同次幂系数： 2 1 1 比较o 的系数，求展开式的零次近似 0 = f o 垒f ( e o ，死，f ) = 毛2 - h ( y o ) ( 2 1 3 ) 亟d t = 五垒厂( 毛，死，f ) = 毛= 一而 ( 2 1 4 ) 7 d i f 1 0 z ：兀。fa f ( 三o ( 0 ) + n 。z ，y o ( o ) + 兀。y ，0 ) ( 2 1 5 ) d f = ( 毛( o ) + 1 - 1 0 z ) 2 一j | l ( y o ( o ) + 1 - 1 0 y ) d l - l o y ：0( 2 1 6 ) 同时 风蜊而烈坳= b y m o + - 孙z o - m a ) = ( o ) ( 2 由( 2 1 6 ) 式及l i m n o y ( f ) = 0 得l i o y ( f ) 量0 由( 2 7 ) ( 2 1 0 ) 式得 毛= 弓( o ) + n ，颤o ) i = 0 , 1 ，2 ， ( 2 1 8 ) y o = 死( 0 ) + 兀o y ( o ) ，从而 死( 0 ) = y o ( 2 1 9 ) 在( 2 1 7 ) 式中，可将粕看成未知数由式( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 及死( o ) = y o 知磊( 1 ) 仅依 赖于y o ，故凡( x o ，而( 1 ) ) = 0 可看作是关于的各分量为未知数的方程组 h 4 ：设方程组( 2 1 7 ) 关于有解而= o ，且 。a 。( x o ) l 知础垒。o o ( 2 2 0 ) 而- 霹 求出x o = 霜后，再由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 式就能求出y o ( t ) ，毛( f ) ( 假设 亟d t = 伊( 死，f ) 即鲁= 一丽可解) 由等式毛( 。) + n 。z ( 。) = z 。，可求得n 。z ( 。) 的值，再根据条件兀o z ( 佃) = 0 及( 2 1 5 ) 式，进一步可求出n o z ( f ) 至此，关于零次近似的各个量：y o ( f ) ，毛( f ) ，f i o y ( f ) ，n o z ( r ) 均已求出，零次近似 随之确定 2 1 2 比较的系数得渐近展开式的一次近似 掣= 再垒冠( f ) 毛+ 弓( f 厩= 2 毛毛一i i i ( 死厩 ( 2 2 1 ) 8 掣= z 垒厕互+ 厕只= 乏 ( 2 2 2 ) 警= n ，垒c ( 加z + ( 加少+ g ( f ) ( 2 2 3 ) = 2 ( 而( o ) + n o z ) n i z h ( y o ( o ) ) n i y + 2 ( 磊( o ) f + 五( o ) ) n o z 百d i - i l y = n 。厂 ( 2 2 4 ) 口f 、厶厶t ， af 【z o ( o ) + n o z ( r ) ，y o ( o ) + 1 - i o y ( r ) ，0 ) 一。( 毛( o ) ，歹o ( o ) ，0 ) 2h o z 在以上四个方程中，方程( 2 2 1 ) 是代数方程，其余为线性微分方程，定解条件 可由 蜀= r l ( 档) 而+ r 2 ( 瑶) ；l ( 1 ) = o ( 2 2 5 ) 即 马= ( 只盏：纠= ( o ) 亿2 给出其中r l g ) 表示月的分量对x ( 0 ) 分量的导数矩阵，岛( ) 表示尺的分量对 2 ( 1 ，) 分量的导数矩阵r ( 霹) 为蜀( x o ，2 0 ( 1 ，) ) i x o - 瑶 o = i ，2 ) 的简写，；。( 1 ，) 是 问题( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 9 ) 的解在t = 1 时的值由方程( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) ，( 2 2 4 ) 可得写( f ) 线性地依赖于y 。( 也还依赖于x o ) ，这样方程( 2 2 5 ) 就可以看作以五为 未知量的方程组，其系数矩阵为 尺( 霹) + 尺2 ( 端) 掣 ( 2 2 6 ) 可证对应的行列式恰好等于：即 r , ( x d + r 2 ( 霹 ( 2 2 7 ) 而z 霹 的行列式由假设l - h9 1 1 ( 2 2 5 ) 是可解的，能求出j r l ，有了这个条件就能求解方程组 ( 2 2 1 ) ( 2 2 4 ) 从而求出只( f ) ，乏( f ) ，h i y ( r ) ，n ，z ( r ) ，原系统的一次近似随之确 定 2 1 3 比较”的系数，求渐近展开式的刀次近似 9 _ d z f n - i = 瓦( f ) 毛+ e ( f ) 兑+ c ( f ) = 2 z o g j l l ( y o ) l + c ( f ) ( 2 2 8 ) 鲁= 五( f ) 毛+ 元( f ) 歹+ 兀( f ) 2 乏 ( 2 2 9 ) 警= c ( r ) l - 1 z + 御啪) ( 2 3 。) = 2 ( g o ( o ) + n o z ) n 矗z - h ( y o ( o ) ) n y + 瓯( r ) d l - l - y ：h 纠厂( f ) ：h z ( 2 3 1 ) 其中e ( f ) q 1 ) 是用写，i = 0 , 1 ，2 ，刀一l 按确定的方法表示的：q ( f ) ( 肛1 ) 是 用n ，x ( f ) ，i = 0 , 1 ，2 ，n - 1 按确定的方法表示的 这组方程的定解条件由 r 。= 蜀( 工：) + 尺2 ( 霜) 瓦( 1 ) + 厶= 0 ( 2 3 2 ) 即 耻( 死意：纠= ( 0 ) 他3 2 ) 确定其中瓦( 1 ) 依赖于，依赖于毛，i 万，那么( 2 3 2 ) 式就可看作关于毛的方 程组，可以证明其系数行列式也等于0 0 ，因而可解完全类似于一次近似的情况 解出只( f ) ，毛( f ) ，h 。j ，( f ) ，n 。z ( f ) ，从而得n 次近似： x 。o ，) = 而+ r l o 工+ ( 而+ n l 工) + + ”( 瓦+ n 。力 ( 2 3 3 ) 2 2基本结论 所有的边界函数都有以下性质： 定理1 边界函数都是指数式地趋于零，即 i n f x ( f ) l c e - k , f = o ，1 ，2 ， ( 2 3 4 ) 其中c ，k 是正的常数 1 0 证明在构造形式渐近解的过程中，我们总是要求 n ，工( 佃) = o i = o ，l ，2 ， ( 2 3 5 ) 由于n 。y 暑o 故对于兀o j ，结论( 2 3 4 ) 成立 令三( f ) = z o ( o ) + n o z ( f ) ，则式( 2 1 5 ) 就变成 要= z 2 一j i i ( 死( o ) ) 口f 这是一个一阶变量可分离方程，解出 z = 坐! 坠丝 1 一2 ( 元( o ) ) r ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 再将z = 毛( o ) + n 。z ，毛( o ) = 一而覆两代入上式得 noz=萼l-ce2= 是- - c e - 2 厕f 亿3 8 ) u ( 元( o ) ) f 2 2 ( 死( o ) ) f 由条件z ：= z ( o ) = 毛( o ) + n o z ( o ) 一4 h ( y o ( o ) ) 得n o z ( o ) l ，又因为 o o ，y = y o ，f = 0 k = ( z ，y ，f ) i z = 毛o ) ，y = 死( f ) ，o 0 和c 0 ，使得当 0 si a o 时，在曲线厶的万邻域内，存在问题( 2 1 ) ( 2 3 ) 的唯一解x ( t ，l u ) ，且 对0sfs1 满足不等式 肛( f ，a ) - x , ( t ，) l 掣胂 证明该定理的证明依据文献 1 的定理4 1 在本文的假设条件下，只需验 证定理4 1 的条件，v ，其它条件自然满足 一阶矩阵 丘o ) = c ( 毛( f ) ，y o ( t ) ，f ) = 2 毛= - 2 而 1 2 的特征值万( f ) 的实部 r e 2 ( t ) = 旯o ) = - 2 4 h ( f i o ) o ，此时根是左稳定根在区 间【o ，1 】的右端出现边界层，可用类似的方法讨论渐近解 当一j i l ( y ：) z 0 0 j | l ( y o ) 时，系统( 2 1 ) ( 2 3 ) 的解出现角层如何求其渐 近解也是值得研究的问题 1 3 考虑如下边值问题： t o , 。= y “一1 ， 等价于 记 第三节算例 y ( o ，) - y ( 0 ，) = 3 ，y ( 1 ，) + y ( 1 ，) = - 2 2 1 ， y ( o ，) - z ( o ，) = 3 ，y o ，) + z o ，) = - 2 f ( z ，y ，t ) = z 2 1 ，f ( z ，y ，t ) = z 对于( 3 3 ) ，( 3 4 ) 令= o 得退化方程组 即 f ( - 罗o ，y o ，f ) = 0 ，, c 出o = ，( 毛，死，f ) ， 和- 0 鲁舀 考虑右稳定根毛= 一1 ，又因为n o y 墨0 ，死( o ) + n o y ( 0 ) = y o ，解出 解出 死( f ) = - t + 蜘 了d h o z ：n 。f ：f ( 毛+ 兀。z ，死+ n 。j ，o ) 口f = ( n o z - 1 ) 2 - 1 n 。z = 五2 万， 因为毛( 0 ) + n o z ( o ) = z o ，毛= - 1 ，也就有 1 4 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) = z 鱼出l，矿a 立出 1 i o z ( o ) = z o + 1 其中y o ，z 。的值由下列方程组确定， 民= l 觅y o ( 1 ) - z + o 础- 3 ) + 2 ) = l y ( y o 。- - 1 ) z o - + 3 ( - 1 ) + 2 ) = ( 3 ) 解出y o = 0 ，z o = - 3 代入( 3 6 ) 得 y o2 - t ， 代入( 3 8 ) 后，再代入( 3 7 ) 求得 兀。z = 一百2 e - 2 r 万 这样就得到零次近似： r o = 死一1 - i o y = - t ， z 0 = 毛+ n o l 一万2 e - 2 r = 一等 易于验证这个例子满足前面讨论一般问题时的所有假设条件 ( 3 8 ) 本文所讨论的情况具体到这个例子在相平面上属于z ： 一l 的情况，当时间f 从0 增大到l 时，轨线上的点从直线z = y 一3 与轨线的交点p 出发沿轨线运动到 直线z = - y 一2 与轨线的交点q ，在f = 0 附近产生边界层，f 增大时，趋向于退 化解z = 一l ( 见下图) 1 5 一lu国 、 f j 一 j j 一鹬一2 弘一 ( 相平面图) 1 6 参考文献 1 a b v a s i l i e v aa n dv f b u t u z o v a s y m p t o t i ce x p a n s i o n so fs o l u t i o n so f s i n g u l a r l yp e r t u r b e d d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m r u s s i a n ：n a u k o m a s c o w ，1 9 7 3 2 c h a n gkh ，h o w e sfa n 0 1i n e a rs i n g u l a rp e r t u r b a t i o np h e n o m e n a ：t h e o r y a n da p p l i c a t i o n m n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 8 4 3 张锦炎，冯贝叶常微分方程几何理论与分支问题( 第二次修订本) m 北京： 北京大学出版社，2 0 0 0 4 韩祥临二次奇摄动问题解的渐近估计 j 中山大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 3 ( 1 ) ：1 0 4 1 0 5 e 5 2 周钦德，苗树梅二阶奇摄动边值问题 j 应用数学与力学，1 9 8 8 ( 1 ) ：9 1 9 4 6 林宗池，林苏榕某类二阶非线性系统初值问题的奇摄动应用数学和力 学1 9 9 3 ( 2 ) ：9 5 1 0 0 7 a t i k h o n o v ，a b v a s i l i e v a ，a n ds v e s h n i k o v d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m ， s p ( i n g e r v e r l a g ，b e r li n ，h e i d e l b e r g ，n e wy o r y o ，1 9 8 5 8 v e s i p o v a a s y m p o t i cp r o p e r t i c so fs o l u t i o n so fg e n e r a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n d i t i o n a l l ys t a b l es y s t e m so f o d e s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1i ，1 9 5 6 1 9 6 6 9 a n t i k h o n o v t h ed e p e n d e n c e o ft h es o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so nas m a l lp a r a m e t e r j m a t h s b 2 2 ( 1 9 4 8 ) ，p p 1 9 3 2 0 4 1 0 a n t i k h o n o v o ns y s t e m so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n t a i n i n g p a r a m e t e r s j m a t h s b ，2 7 ( 1 9 5 0 ) ，p p 1 4 7 1 5 6 1 1 a n t i k h o n o v s y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n t a i n i n gs m a l l p a r a m e t e r sm u l t i p l y i n gs o m eo fd e r i v a t i e s j m a t h s b ，3 1 ( 1 9 5 2 ) ，p p 5 7 5 - 5 8 6 1 2 r e 0 m a l l e y ，j r o ns i n g u l a r l yp e r t u r b e di n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ， a p p l i c a b l ea n a l s i s ，v 8 ，1 9 7 8 1 3 林武忠，汪志鸣奇摄动边值问题的解对给定数据导数的渐近分析 j 华 东师范大学学报，2 0 0 6 ( 1 ) ：2 0 2 2 1 4 林武忠编译常微分方程奇摄动理论 m 1 9 8 8 1 5 林武忠一类奇摄动方程组的边值问题 j 应用数学学报，1 9 9 3 ( 3 ) ：3 4 7 3 5 3 1 6 倪明康化学动力学中一类奇摄动抛物型方程的周期解 j 应用数学和力 学，1 9 9 1 ( 5 ) ：4 6 1 - 4 6 8 1 7 倪明康一类条件稳定的多小参数奇摄动方程组边值问题 j 华东师大学 报( 自然科学版) ，1 9 9 2 ( 1 ) ：1 6 - 2