（应用数学专业论文）集体不动点定理在抽象经济中的应用.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 在过去三四十年里，w a l r a s i a n 平衡点的存在的a r r o w d e b r e u 结果已经在很多方面被 推广。m a s c o l e l l 首先认为平衡点的存在无需假定偏好是完备和可传递的，然后g a l e 和 m a s c o l e l l 证明了在没有有序偏好情况下竞争平衡点的存在。通过使用k a k u t a n i 的不动点 定理，s h a f e r 和s o n n c n s c h c i n 证明了在偏好可能不是完备或可传递但有开图像情况下，关 于抽象经济的a r r o w d e b r e u 引理的更有力结果。实质就是对偏好对应加强了条件，对可 行对应减弱了条件。 b o 珂i n 和k e i d i n g 证明了在k f 优化偏好对应下一个紧抽象经济的新的存在定理，且 条件比s h a f e r - s o n n c n s c h e i n 假设弱。从那以后就开始有很多关于紧抽象经济的平衡存在的 推广。而d i n g - k i m t a n 把b o 嘈i n k e i d i n g 的结果推广到更一般偏好和无穷多代理。大多 数抽象经济的平衡存在定理假定商品空间或选择集为紧凸，然而事实上商品空间并不总是 紧或仿紧致。 集体不动点定理，在抽象经济平衡存在定理以及经济中的博弈问题里，起着基础性的 作用。本文从影响集体不动点定理条件构成的连续选择定理入手，比较几种连续选择定理 和集体不动点定理的条件严格程度。并据此进一步分析抽象经济平衡存在定理和博弈极大 元定理里的条件严格程度，并比较了这些定理的优劣。 在建立非紧抽象经济的平衡存在定理时，某些定理尝试用局部凸空间代替紧。 在证明集体不动点定理时，连续选择定理往往起着关键作用很多连续选择定理里常 用到t - 1 ( ) ，) 是开集的条件，而在定理2 2 2 证明过程中用到的连续选择定理，却用丁有局部 相交性质代替了t 1 ( y ) 是开集如果丁_ 1 ( y ) 是开集，则对vx x 有r ( x ) 矽，取j ，s b ) 且 令g ) = 丁。1 ) ，从而g ) 是x 的一个开邻域r y n ：。b ) r ( z ) ，因此条件局部相交性质弱 于r 。1 i y ) 是开集 引理2 2 9 中，“r 1 ( y ) 是开集”也可推出u r t y ) - - x 。显然条件“t 。1 ) 包含一个开 活 集么，”比t 1 ( y ) 是开集要弱，故引理2 2 9 是比较好的定理。 第二节里的定理证明所用的集体不动点定理里紧的条件放松是以用局部凸拓扑向量 空间代替拓扑向量空间换来的，而第三节里定理尝试使用不限制为局部凸拓扑向量空间的 集体不动点定理。 定义2 3 6 和定义2 3 7 分别定义了f a n b r o w d e r 映射和b r o w d e r 映射。f a n - b r o w d e r 映射比b r o w d e r 映射的定义有时候在构造定理时更加好用。f a n - b r o w d e r 映射里 “x = u 臼n , s 一】y y ”也比丁1 ) 是开集要弱。在有些连续选择定理里得出c d s g ) 有连 续选择函数s ，加上条件“c o s ( x ) cr g ) ”以后。自然s 也是丁( 工) 的连续选择。 在很多抽象经济的平衡点定理里，构造多值映射的方法经常被使用，从而给定理的证 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 明带来很大的方便。 本文这些定理都是由连续选择定理证明集体不动点定理，再证明抽象经济的平衡点和 博弈的极大元的存在。这种证明模式，被很多学者采用。由于连续选择定理的不同，从而 决定了集体不动点定理、抽象经济的平衡点和博弈的极大元的存在定理的构成条件的不 同。 对比定理2 2 3 和定理2 3 4 中条件的构成，定理2 3 4 里条件( 2 ) 比定理2 2 3 里条件 ( 3 ) 要宽松得多，i n t x 汜- 1 g ，) u h ，) 包含“忸。1 ( x 1 ) u 日 包含c 的一个相对开 子集彳，”，c o c 也包含r ，而且定理2 3 4 里条件( 2 ) 只要求包含关系成立就可以了。定 理2 3 4 中要求“x 有紧凸不动点性质或r 是e e 可逼近到c ；c o r ”，可是定理2 2 3 却要 求“局部凸空问”。在实际经济模型满足局部凸空间要求时，定理2 2 3 更容易应用。当不满 足局部凸空间要求时，定理2 3 4 仍然可应用。故定理2 3 4 更具有广泛性。 文献e 2 4 1 中定理9 1 、9 2 与本文定理2 3 3 、2 3 4 非常相似，只是把条件“x 有紧凸不 动点性质或尺是k l e e 可逼近到c = c o r ”换成“c 是容许的”。比较这两个条件，“容许的”的 条件更难被满足，故本文定理2 3 3 、2 3 4 优于文献1 2 4 中定理9 1 、9 2 。 关键词：紧凸不动点性质；k l e e 可逼近的；映射；局部( 连续) 可选择的； 集体不动点；平衡点；极大点；局部凸空间 武汉科技大学硕士学位论文 第l i i 页 a b s t r a c t i nt h ep r o b l c r no fe x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mp o i n t sa n dm a x i m a le l e m e n t so fa na b s t r a c t e c o n o m y , c o l l e c t i v e l yf i x e dp o i n tt h e o r e mi st h eb a s i s t 1 1 i sp a p e rb e g i n sw i t ht h ec o n t i n u o u s s e l e c t i o nt h e o r e md e c i d i n gt h ec o n s t r u c t u r eo fc o l l e c t i v e l yf i x e dp o i n tt h e o r e m w ec o m p a r e 谢l t h er e q u i r e m e n t so fs o m ek i n d so fc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m s s od o e sc o l l e c t i v e l yf i x e dp o i n t t h e o r e m a c c o r d i n gt ot h er e s u l t so fc o m p a r i n g , w ec o m p a r ew i t ht h er e q u i r e m e n t so fs o m ek i n d s o fe x i s t e n c et h e o r e m so fe q u i l i b r i u mp o i n t so fa na b s t r a c te c o n o m y s od os o m ek i n d so ft h e m a x i m a le l e m e n t st h e o r e m so ft h eg a m e f i n a l l yw er e a c hc o n c l u s i o no ft h ea d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e so fe x i s t e n c et h e o r e m so fe q u i l i b r i u mp o i n t sa n dm a x i m a le l e m e n t st h e o r e m so f a n a b s t r a c te c o n o m y k e y w o r d s ：c o l l e c t i v e l yf i x e dp o i n tt h e o r e m ，c o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m ，e q u i l i b r i u mp o i n t , m a x i m a le l e m e n t ，l o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 日期：型雹j 2 ，3 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 论文作者签名：望坚 指导教师签名：丝缒鳞一一 日期：兰哩：! 三! 三 武汉科技大学硕士学位论文 第1 页 第一章预备知识 在过去三四十年里，w a l r a s i a n 平衡点的存在的a r r o w - d e b r e u 结果已经在很多方面被 推广m a s c o l e l l 首先认为平衡点的存在无需假定偏好是完备和可传递的，然后g a l e 和 m a s c o l e l l 证明了在没有有序偏好情况下竞争平衡点的存在通过使用k a k u t a n i 的不动点 定理，s h a r e r 和s o n n e n s c h e i n 证明了在偏好可能不是完备或可传递但有开图像情况下，关 于抽象经济的a r r o w d e b r e u 引理的更有力结果实质就是对偏好对应加强了条件，对可行 对应减弱了条件 b o 啷i n 和k e i d i n g 证明了在k f 优化偏好对应下一个紧抽象经济的新的存在定理，且 条件比s h a f e r - s o n n e n s c h e i n 假设弱从那以后就开始有很多关于紧抽象经济的平衡存在的 推广而d i n g - k i m t a n 把b o 瑁i n - k e i d i n g 的结果推广到更一般偏好和无穷多代理大多数 抽象经济的平衡存在定理假定商品空间或选择集为紧凸，然而事实上商品空间并不总是紧 或仿紧致 集体不动点定理，在抽象经济平衡存在定理以及经济中的博弈问题里，起着基础性的 作用本文从影响集体不动点定理条件构成的连续选择定理入手，比较几种连续选择定理 和集体不动点定理的条件严格程度并据此进一步分析抽象经济平衡存在定理和博弈极大 元定理罩的条件严格程度，并比较了这些定理的优劣 本文需要大量的数学和经济背景，这些知识比较散乱，为了后面正文的顺利展开，分 2 节介绍：数学背景知识，经济背景知识 1 1 数学背景知识 定义1 1 1 【1 2 1 ：设e 为线性空间，如果在e 上定义了一个( 非负) 函数，记为，它 满足( 1 ) o 且有m = o 营x = o ( 零元) ；( 2 ) i x + y l l - ， ( 相应的，扛x ：g g ) ，) ( 相应的，b x ：g b ) - 工2 ，当且仅当工1 艺工2 且x 1 乏x 2 ，被读作“工1 可被严格偏好于x 功 工1 一x 2 ，当且仅当x 1 艺x 2 且x 2 艺x 1 。被称为“工1 与x 2 无差异 公理1 2 3 t 协1 连续性对于所有的x 匙，“至少与x 一样好的”集合艺( x ) 与“比x 差 的 集合s ( 工) 在尺：上是闭的 公理1 2 4 严格单调性对于所有x o ，工1 戤，如果p x 1 ，则石。艺x 1 ，令一方面， 如果x o 工1 ，贝f jx o - x 1 公理1 2 5 1 5 1 凸性如果x 1 艺妒，那么对于所有t 【o ，1 】，t x l + ( 1 - t ) x o 艺妒。 这个公理的稍强解释如下： 公理1 2 5 【1 5 1 严格凸性如果x 1 p ，并且工1 艺x o ，则对于所有t ( o ，1 ) ， t ：r 1 + ( 1 一t ) x o - x o 0 5 1 在现代理论中，效用函数只是一个精确地总结包含在消费者偏好关系中的信息有 时，偏好关系及其相关集易于直接进行恰当分析，而在其他时间，特别是当人们愿意利用 微积分方法是，采用效用函数更便于分析在现代理论中，偏好关系被当做偏好的最原始、 最基本的特征效用函数只“代表”或总结由偏好关系所传递的信息 如果对于所有工o ，一群，“) “b 1 ) x 0 艺一，则，实值函数材：彤专r 被称为代 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 表偏好关系的一个效用函数 代表偏好关系的实值函数的存在性f 1 5 】： 如果二元关系艺是完备的、可传递的、连续性的及严格单调的，则必存在一个连续的 实值函数u ：彤专尺，它一定代表艺 偏好性质与效用函数【1 5 1 ： 令艺是由“：群一r 表示，则1 当且仅当乏是严格单调的，“g ) 是严格递增的。2 当 且仅当艺是凸的，“b ) 是拟凹的。3 当且仅当乏是严格凸的，“g ) 是严格拟凹的 普通效用函数“b ) 定义在消费集x 上，并直接代表着消费者偏好一正如我们所看到 的，它因此被称为直接效用函数 价格、收入与效用最大值之间的关系可被一个实值函数，：群x 丘专r 定义如下： 1 ，0 ，y ) = m 警“g ) 受约束于p x y 函数y 0 ，y ) 被称为间接效用函数 j e - 间接效用函数的性质【1 5 】： 如果“g ) 在群上是连续且严格递增的，则由间接效用函数的定义的y 0 ，y ) 将是： 1 在r ：+ r + 上连续。2 关于0 ，y ) 是零次齐次性的。3 关于y 是严格递增的。4 关于p 是 递减的，此外，它还满足5 关于0 ，y ) 是拟凸的。6 罗伊等式：如果1 ，0 ，y ) 在b o ，y o ) 处可 微，并且加g 。，y 。) 砂o ，那么：0 。，y 。) = 一 i = 1 ，刀 间接效用是一个总结大量有关消费者市场行为信息的简洁而有力的方法一个与此相 伴随的工具称为支出函数也是同等有效的方法一般的，我们把支出函数定义为最小 值函数，即p p ，“) = m i n p 工受约束于“g ) “ 艇魁 间接效用函数与支出函数之间的关系【l 5 】 对于一些其效用函数是连续且严格递增的消费者而言，设咖，y ) 与e 幻，y ) 是间接效用 函数与支出函数，则对于p o ，y 0 与材妒而言：1 p ，妇，y ) ) = y 2 如，p 0 ，“) ) = “ n a s h 均衡定义【1 5 】：给定一个有限策略式博弈g = ( 最，“；) ：! ：。，如果对于每个局中人f ， 对于一切朋f m ，总有“，协) “，如，疡一。) ，则这个联合策略是一个n 础均衡 在n a s h 均衡中，给定其他所有行为者的行动，每个行为者他或她尽可能将事情 做得最好容易理解的是，当一切行为者达到这一点，没有一个人有动力区单方面地改变 他或她正在做的事情，则该状态被视为一种均衡 博弈论是关于理性的行为者在策略性环境里或博弈中采取怎样行动的系统研究这里 每个行为者在知道何种决策对自己最有好处之前，首先应了解其他行为者的行动这种喜 欢性是博弈论的标志，并且决定理性的经济人在这种背景中如何行动 在策略性背景中，那些可被“理性的”保持的行为正则性将会被称为均衡 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 第二章集体不动点定理在抽象经济里的应用 2 1 集体不动点定理在多目标博弈中的应用 【1 5 均 合作均衡的最普遍的概念归于约翰纳什在n a s h 平衡中，给定其他所有行为者 的行动，每个行为者他或她尽可能将事情做得最好容易理解的是，当一切行为者达 到这一点，没有一个人有动力区单方面地改变他或她正在做的事情，那么该状态被视为一 种均衡 依照需求与供给理论，需求等于供给的市场均衡观念是核心由于在这种环境中，不 存在任何人采取策略去进行改变行为的倾向或必需，这个均衡概念的理论吸引力将出现 这些行为中的正则性( r e g u l a r i t i e s ) 形成了作出预测的基础 【1 5 1 从对行为做出预见的观点看，我们希望描述潜在的行为的正则性它可能出现在 一种策略性背景中同时我们希望接纳这样的观点，即局中人是“理性的_ 砘们不仅安 自我利益行动，而且充分地了解其他局中人行为的正则性在策略性背景中，正如在需求 供给背景中那样，那些可被“理性的”保持地行为正则性将会被称为均衡 定义2 1 1 1 2 1 i ：数域足上的线性空间e 称为拓扑向量空间，是指其上存在一个拓扑f ， 使得加法运算x + y 及数乘运算缎在拓扑f 下分别是b ，y ) 及q ，x ) 的二元连续函数 g ，y e ；a k ) 定义中的连续性的条件可叙述如下：( 1 ) 对于任意x , y e 及x + y 的任意邻域 u 肿，f ，必存在x 和y 的邻域u ，u y f 使得虬+ u ycu x + y ( 2 ) 对于任意a k x e 以及触的任意邻域，必存在z 的邻域u x 及j 0 ，使得当陋一a i o ，= l ，刀j vie i ，表示鼍= 兀州、m ，t = k ，毛书x ，) 定义2 1 2 d 1 对于博弈m = ，q 土。，如果i ，g g ) 且没有策略x ，c g ) 或者 p g ) 一p ，而) 霹f o ) ( 相应的，p i 仁) 一p 7 ，薯) i n t 霹- ) ，那么称参与者f 的一个策 略墨鼍为博弈m = x i ，p ie 上。，的关于孑的一般p a r e t o 效率策略( 相应的，一般弱p a r e t o 效率策略) 如果对于每个参与者来说，墨x ，是关于i 的一般p a r e t o 效率策略( 相应的， 一般弱p a r e 喧。效率策略) ，那么称策略iex 为博弈m = ，p ic l e ，的一般p a r c t o 效率平 衡( 相应的，一般弱p a r e t o 效率平衡) v x x ，i i ，若约束集被固定为e g ) = x i ，那么一般p a m t o 平衡就是p a r e t o 平衡 一般p a r e t o 平衡也是一个一般弱p a m t o 平衡 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 关于n a s h 平衡的定义： r m 的非负象限贮在根据向量的收敛性( 关于e u c l i d e a n 度量) 诱导的拓扑下有非空内 部 定义2 1 3 ：对于博弈 m = 伍。，p ，c ，) i e j ，y = 以，圪) 为权重向量当v 参与者i g ，满足 ( 1 ) ；，g ( - ) ； ( 2 ) 圪磁 0 ； ( 3 ) 形p t ( 一) k p ( - f ，一) 对于每个而c f g ) 那么称策略；x 为关于博弈m = ，p ，c ，) f e ，的权重向量 v = 眈，匕) 的一般加权n 曲平衡 如果k ，vf ，称策略；x 为关于权重向量矿= ( k ，吒) 的一般加权n a s h 平衡的删形式( 。= = ，) 剖兰j = ly ，= ，卜舭的标准单形，假设 k 尺” o ) ，v f j 是固定的当且仅当v f j ，一x i 是嚣瞬) 圪p ( ；，一) 的最优解时， 策略；x 是博弈m = ( x t ，p ，c ) f ，的关于权重向量v = ( k ，圪) 的一般加权n a s h 平衡 下面是一般加权n a s h 平衡的存在性问题 当 形彤， o ) vi = 1 ，册，z = ( z i ，一，g 。) y = l 一，y 拼) x 时，构造对应t 矿：x xx 寸r ，n r ：x 专2 x 满足 t v ( z ，y ) - - e 形p 7 ( z j ，y ，) 和当c ( z ) = n 埘c ( z ) ，vg ，y ) ex x 时满足 矿( z ) = kc ( z l 丁y ) = 蕊r y ( z ，y ) ) 引理2 1 2 假设m = ( x l ，p 。，qk ，( ，有限) 是一般多目标博弈k r ：， o ，v f ， 当且仅当；x 是对应矿的不动点时，策略；x 是博弈m 的关于权重v = 以，圪) 的 一般加权n a s h 平衡 证明：先证明充分性由于 ；c ( i ) ，t r ( i ；) sr r ( - y ) ，vy e c ( _ ) 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 可知道，vf ，v 只g 有： ， 一一一一、 n l ，- 一 一 一、 形p 【t ，x ，- - ，z ，鼢+ - ，z 。) l p i 【- l ，x h ，y ，x m ，石mj 由；是矿里的不动点，可推出；c ( - ) 对于v 行为 y = g 。，站y 孔，；。) c ( - ) 可知道k p g b ；，砖y m ，。黑i ) _ 户g ；，y ，) ，进一步可推出 杉p ，( _ 。，；h ，；，；州，；。) k 尸( - 。，；卜，y ，；，；。) ，vy ，c f 6 ) 最后可推出 vy ，c ：( - ) ，vf ，k p ，( - ，；。) 形尸，g 。，；，y ；，；m ，；。) 故可证明x 是关于权重y 的一般加权n a s h 平衡 再证明必要性令工为关于权重矿的一般加权n a s h 平衡可知道 ；c g ) ，k p t g ) k p i g ，y ；) ，vy ；e g ) 由此可推出 v y c ( - ) ，芝_ p ( i v 一，；。) 芝k p r g 。，一x i - iy ，；州，；肼) i = 1l f f i l 由此x 是对应y 的一个不动点得证 这说明一般加权n a s h 平衡的存在性等价于对应y 的不动点的存在性： 使用引理2 1 2 和一些不动点定理可以研究一般加权n a s h 平衡引理2 1 2 限定参与者 是有限的当策略集是收敛( 比如x i 是有内积的z 2 空间里的子集) ，参与者是无限的时候， 引理也可能成立 下面先研究文献【1 6 】中定理4 3 定义2 1 4 t 7 1 ：t 是多值映射，如果对于每个石x ，在y 里的每个开集矿有r ( x ) c 矿， 则在工里存在一个x 的开邻域u 使得对于每个y u 有r ( y ) c 矿，则对应t ：x 专2 7 称为 上半连续的对于拓扑空间x 和y ，一个映射t ：x 哼2 r 被称为闭的，如果它的图像 g ，仃) = b ，y ) ：工x ，y r g ) 在x y 里是闭的值域r ( x ) 的闭包承习在y 里是紧的，则 映射称为紧的如果对于每个x x ，在y 里的每个开集y 有丁b ) nv 矽，则在x 里存在 一个工的开邻域u 使得对于每个y u 有丁) ny ，则对应t ：x 专2 y 称为下半连续的 定义2 1 5 【7 l ：令e 是一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间一个集合bc e 称为凸完全有界 ( c o n v e x l yt o t a l l yb o u n d e d 简称为e t b ) ，当无论何时对于0 的每个邻域矿e ，存在一个有 限子集b ，l i j ce 和有限的凸集族 c , l i 1 使得对于每个f i 有c fc y 且 bc k + c , l i ，j 众所周知，一个局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间的每个紧子集是凸完全 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 有界的 引理2 1 3 假设y 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间f 的凸子集假设s ：y _ 2 r 是一个上半 连续对应满足vy y ，s ) 是非空闭凸的当s - f f ) 是】，的紧且凸完全有界的子集时，存在 一点夕y 使多s ) 成立 在下面的定理里假设博弈的模型是非合作的，所有参与者没有重新参与的交流，参与 调整他的偏好和限制，以达到最小化支出函数的目的 下面说明一下后面一些符号的表示法 巧= u 枷 】j ：f 当y f t ，y ；巧，可这样表示： 【y ；，y f ) = ( y l 一，y h ，y f ，y f + l ，y 。) = y y 口 6 r “， a 6 是标准欧式内积 引理2 1 4 ( 文献【1 7 】) 假设】，是h a u s d o r f f 拓扑向量空间f 的非空凸子集，c 是y 的 非空紧子集构造s ：y 岭2 c 为对应且满足： ( 1 ) c o s ( y ) cc ，vy y ； ( 2 ) s - i ( z ) 在】，里为开集，vz y 可推出存在点多y 满足夕c d s ) 引理2 1 5 假设e ，f 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，e 是紧的，s ：e 专2 ，为满足vs ( e ) 是e 的非空紧子集连续对应，假设g ：e xf 专r 是在e xf 上的连续函数可推出函数 r l ：e r ，即vp e ，7 7 g ) = i 哆、g g ，v ) 在e 上是连续函数 证明：应用文献【1 8 】中定理2 5 1 的结果，可知刁上半连续的应用文献 1 8 1 中定理2 5 2 ， 可知叩下半连续的故可推出叩在e 上连续 定义2 1 6 t 2 1 1 ：如果对于每个t r ，k x l ( x ) - - f 是凸的，则称厂是拟凸的如果一f 是拟凸的，则称是拟凹的 定义2 1 7 t 2 1 】：令e ，是2 个拓扑向量空间，是e x f 到月1u 一o o 里的一个映射则 k w ) 称为w 保持固定情况下x 的一个拟凹函数，如果下面的条件被满足：( 1 ) 对于在f 每个固定的w ，西k w ) 不恒为- - 0 0 在e f 的每个紧子集k o 上，是半连续，即对于在r 1 里的任一f ，集合肚w 】l kw 】k 。，仗曲f 是紧集( 2 ) 对于在e 每个固定的石，嘶，w ) 在f 里的每个紧子集丘上的w 里下半连续，即对于在尺1 里的每个t ，集合 w k ：，o ( x ，曲 f 在k ：里是开集( 3 ) 对于在f 里的任一w 和对于在r 1 里的任一f ， 集合翻x e ，g ，w ) f 是e 里面的一个凸子集 定义2 1 81 7 】令x ，y 是非空拓扑空间且t ：x 哼2 y 是一个对应则可称m ) 是丁的 上截面且r 。1 ) = k x yr 是r 的下截面 武- y 科技大学硕士学位论文第l l 页 引理2 1 6 假设j 有限，m = ，p ，c f ) f 。，是一般多目标博弈( viei ，x i 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间e 里的非空紧凸子集c ：x 一2 局是上半连续限制对应满足：veg ) 是置 的非空闭凸子集，c 1 ( z ，) ( 可能是空集) 在x 里是开集，v 乙x ，当存在加权向量 矿= 以，) ，k 戤 0 ) 满足vi e l ( 1 ) g ，z ) 专巧p i k ，z ，) 在x x 上联合连续；( 2 ) v x 鼍，z - v , p i k ，刁) 在x 上拟凸可推出博弈肘关于加权向量矿= 以，圪) ，存 在一般加权n a s h 平衡；x 证明：构造对应z ：x 专2 x 为vx x ，vt n ， t g ) = u ， z ，q 纠) 榔r a i n ) 形p f k ，u ) + 净 可知道删= 也，( c f 啪卜置卜) m i n ，v ，p i k 小壮v xex 由z 哼k p 。g ；，z ，) 在x 上拟凸知道v 互g ) 是非空凸的v zex ， r - , ( z ) = x x l z z = 卜z 卜f e ， z “g 扣协小恺r a i n w l p + h ) + 琊 = x x b c f g 沮k 尸g ；，毛) o ， 这和关于加权向量v = ( k ，圪) 的相应的一般加权n a s h 平衡相矛盾故可推出工是博弈 m 的一般弱p a r e t o 平衡 若x 是关于加权向量v = 蛾，圪) ( vi j ，巧磷或i n tr 向) 的一般加权n a s h 平衡，引理2 1 7 的结论成立它的逆命题一般不正确，就是说一般p a r e t o 平衡不一定是一 般加权n a s h 平衡 定理2 1 1 i 有限，m = 伍；，p ，c f ) i t ，是一般多目标博弈( viei ，x ih a u s d o r f f 拓扑 向量空间e 的非空紧凸子集q ：x 专2 置是上半连续限制对应满足c f lz ，) ( 可能是空集) 在x 里是开集，v 毛五i i ，当( 1 ) g j 在石x 上联合连续；( 2 ) v 吩鼍，g j k ，) 在x i 上凸时，存在博弈m 的一般p a r e t o 平衡x x 证明：对于固定加权向量v = ( k ，圪) ，vf 1 ，杉i n t0 i i ，vx x ，有 g ) = b ：g ) l ，g 乏g ”由于g ；在x x 上联合连续且v 而鼍，g j k ，) 在置上凸，使 用引理2 1 6 得出博弈m 有关于加权向量y 的一般加权n a s h 平衡x vf i ，k i n t 僻， 使用引理2 1 7 ，；是博弈m 的一般p a m t o 平衡 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 2 2 某些尝试用局部凸空间代替紧抽象经济的平衡存在定理 在建立非紧抽象经济的平衡存在定理时，某些定理尝试用局部凸空间代替紧抽象经 济f = ，4 ，e ，只l 。，由代理人构成指标集，在一个拓扑向量空间里的选择集五，限 制对应4 ，b i ：x = 兀科五一2 葺，偏好对应只：兀，e ，x ，专2 局平衡点x = g ，) 拒，x 对于 每个f ，满足岛g ) 且4 g ) n 只b ) = 矽称为平衡点如果对于每个f i ，只g ) = ，则 z z 是博弈，只k ，的极大点 定义2 2 i t 7 l ：具有凸零邻域基的拓扑向量空间称为局部凸空间 定义2 2 2 t 7 l ：k 、e 为非空集，k 到e 的集值映射r ，是k 到2 e ( 即e 的子集的空 间) 的映射这样一个映射的不动点，意思是k 的一点 使得u 丁以) 记 g r a p h ( t ) = 眠j ，) k xe l y r g ) ( 1 ) 若k ，f g ) 为闭( 凸、有界、紧等) 集，则 称r 为闭值( 凸值、有界值、紧值等) 映射( 2 ) 若g r a p h ( t ) 为闭( 凸、闭凸等) 集， 则称丁为闭( 凸、闭凸等) 映射 定义2 2 3 t 7 】：如果r g 融，f g ) ) x xy ：工x ) ) 的图像在x 】，里是开集，则称对应r 是开的或者有开图像称丁( x ) 是丁的上截面，f 。1 ) 是r 的下截面 引理2 2 1 6 】x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，fh a u s d o r f f 拓扑向量空间，zcf 当对应 s ：x 专2 ，是下半连续，vcf 是非空开集时，可推出对应s 矿：x 一2 z ， s vg ) = p g ) + v ) nz ，x 彳在x z 有开图像 定义2 2 4 【7 】：数域k 上的线性空间e 中的集合a 称为吸收的，如果对任意的x o e ， 存在a o 0 ，当川a o 时，均有a x a 拓扑向量空间e 中集曰如果满足 衄cb ，( v 口数域k ，川1 ) ，则称b 是均衡的 引理2 2 2 在拓扑向量空间中，存在由均衡、吸收集所组成的邻域基 引理2 2 3x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，zcf 当对应 s ：x 专2 ，是上半连续的，p 是f 里的非空开平衡的0 邻域时，对应品：x _ 2 z 上半连 缝 ；+ 证明：vx x ，t 是z 里包含s p ( 工) 的v 开子集由s b ) + p 在f 里是开集，可推出存 在f 的开子集d 满足s g ) + p c0 ，品b ) = p b ) + p ) nzcs = o nz 由尸平衡，可知 s g ) c0 一p = d + p 由s 上半连续，d + p 是包含s g ) 的开集，可推出在j 里存在x 的开 邻域满足vz n ，s ( z ) co + p z n ，s ) 一p = s g ) + 尸c0 ，并进一步可推出 s e ( z ) = ( z ) + p ) n zc 7 o n z = t 即昂在z 上半连续 引理2 2 4 t 9 1e ，f 是拓扑向量空间，s ：e - - ) 2 ，是有开下截面的对应可推出对应 c o s 有开下截面 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 引理2 2 5e 是非空仿紧致h a u s d o r f f 拓扑空间，f 是h a u s d o r f f 拓扑向量空i 司假设 s ：e 专2 ，是满足vs ( 口) 是非空凸，vb f ，s 一1 ( 6 ) 在e 里是开集的对应可得出s 有连续 选择，并有满足va e ，g ( a ) es g ) 的连续映射g ：e 专f 定义2 2 5 t ”1 ：若x 的任何一个开覆盖毋，包含着一个覆盖x 的有限子族，则称空间 是紧致( c o m p a c t ) 的 定义2 2 6 t 1 3 】：如果空间x 的任意一个开覆盖3 有一个覆盖x 的局部有限的开加细c ， 则称空间x 是仿紧致的( p a r a c o m p a c t ) 引理2 , 2 6f = ，q ，c ，e ) 拒，为抽象经济，( 可能不可数) v 歹，满足( 1 ) 是 局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间的非空凸子集，q 是地非空紧子集；( 2 ) vz x = 兀触t ，q g ) 非空，五( z ) c ( z ) ；( 3 ) 对应鸩：工专2 g 上半连续满足 v z x ，g ) 凸；( 4 ) g jn 弓) - 1 ) 在x 里是开集，vy q ；( 5 乃叠c 叱( z ) ，vz x ； ( 6 ) 集合y 尸 z x ：蛾n 弓_ ) ( z ) 仿紧致可推出i 有平衡选择三石，三j c 嘭g ) ， q g ) n 弓g ) = ，vj a _ i 证明：陋，n 弓) - 1 ) 在工里是开集，vy q ，使用引理2 2 4 ，可推出对应c d 慨n 弓) 有开下截面，y 尸k x ：e jnek ) 矽 = u 阼矗污ne 广1 ) 在x 里是开集对应 瞳n 弓) ：巧- - 2 白使用引理2 2 5 ，可得出存在在_ 上c o ( e ne ) 的连续选择g ， g j ( z ) c o ( e ，n 弓k ) ，vz 构造对应刁，：x - - 争2 满足 渺 端耋耄蓦 可推出刁j ( z ) 是q 的非空闭凸子集，vz e x z 巧，g j g ) cc o e j ( z ) cc 嘭( z ) ，可推出 y = z x - r ，( z ) cw = z 巧：乃( z ) c 形) u k x 哆- r 7 j ( z ) cw = z 巧：g ，( z ) 形 u z x 5 ：c 哆( z ) cw = z 巧：g j ( z ) w l u zx c l f j ( z ) cw j c 峨上半连续性，可推出访x ：c 心( z ) cw j 在x 里是开集g ，连续可推出 k 巧：g ，( z ) 形j 在巧里是开集，在x 里也是开集从而y 在x 里是开集，7 ，上半连续 c = u mq ，构造甲：x - - - ) 2 c ， vze x ，甲g ) = h 卢，巩( z ) 可推出vy ( z ) 是c 的 非空闭凸子集，使用文献【1 0 】中引理3 可推出，甲上半连续再使用文献 1 1 1 中h i m m e l b e r g 不动点定理，可得出存在三j 满足三甲g ) ，vz x ，可推出 主，c f f ，g ) ，e ，( 三) n 乞g ) = 驴，v ，j 定义2 2 7 f 7 l 一个拓扑空间是正规且每个开子集是个只集，则此拓扑空间称为完全正 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 规空l 剐 定义2 2 8 t 2 1 1 ：如果空间x 的一个子集彳等于x 的可数个开子集的交，则称a 为x 中 的一个吼集 完全正规空间还有另外一种定义 定义2 2 9 t 1 3 】：如果x 的每个闭子集都是x 的一个g 占集，则此拓扑空间称为完全正规 空间 定义2 2 1 0 t ”】：设9g ) c z b ) 为拓扑空间x 的点工的子邻域族。如果它满足v v z g ) ，3 u gg ) ，uc 矿，则9g ) 称为x 的邻域基。 一个拓扑空间的拓扑也可由它的开集基或所有点的邻域基来决定 定义2 2 1 1 t 7 1 ：设x 为拓扑空间，p 伍) 表示x 的所有子集构成的族，风( x ) = p ( x ) 一移) 设d 为非空集，( d ，) 表示定向集是指( 1 ) v n d ，n 力：( 2 ) 若 玎m ，m ，n ，m ，d ，则刀坂3 ) v ，l ，m d ，3 1 d 使得，力，m 每个从d 到z 的映射称 为x 中的一个网，记为扛。，万d ；每个从d 到p 似) 的映射称为x 的一个集网，记为 0 。，以d ) 定义2 2 1 2 吲：我们把定向集记做( d ，d ) ，另一个定向集( d ，) 称为( d ，d ) 的子定 向集，是指( 1 ) d cd ；( 2 ) v 口d ，了d ，口d ，且d ，j 口d 尸；这里最要注意的 是d 上的序关系可以不必是d 上原有的序关系如果就是通过d 导出的，即v 口、 夕d 7 ，口d ，口d ，则仞，d ，) 称为佃，d ) 的共尾子集当p 7 ，d ，) 是p ，d ) 的子 定向集时，定向族扛。) 口。( 也就是x 中的一个网) 称为 t 。d 的子定向族；而当，d ，) 是( d ，d ) 的共尾子集时，定向族 t ) 口就称为 t 匕。d 的共尾子族如果存在x 为子定向 族扛口 伽d ，的一个极限点，称 k 口。为收敛子网 定义2 2 1 3 7 1 ：设 z 。，刀d 为x 中的网，x x ( 1 ) 若对x 的每个邻域u ， ：i n d 使得v 肌d ，m 拧暾。u ，则称z 为k ，l d 的一个极限点( 2 ) 若v n d 和工的 每个邻域u ，3 m d ，m 疗