（计算数学专业论文）一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法.pdf

目侨大号 t o n g j lu n i v e r s i t y ad i s s e r t a t i o ns u b mi t t e dt o t o n 百iu n i v e r s i t yi nc o n f o r n l i t yw i t ht h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c e a d e v e i o p e dr a t i o n a ld i 仟e r e n t i a iq u a d r a t u r e m e t h o df o rs o i v i n g 3 ds i n g u i a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m s ( s u p p o r t e db yt h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ， g r a n tn o 1 0 6 7 l1 4 6a n dn o 5 0 6 7 8 1 2 2 ) c a n d i d a t e ： g u o f e n gh a n s t u d e n tn u m b e r ：0 7 2 010 2 0lo d e p a r t m e n t ： d i s c i p l i n e ： m 句o r ： s u p e r v i s o r ： d e p a r t m e n to f m a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c s c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s p r o fx i o n g h u aw u m a r c h ，2 0 1 0 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学乎论文作者虢玮习辱 2 口一年多月珏日 童 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 玮畔 纠年，月；日。 摘要 微分求积法( d i 舵r e l l t i 甜q u a d r a t u r em e t h o d ，简记为d q m ) 是一种求解偏微 分方程的高精度方法。一般的文献主要研究二维窄间的偏微分方程的微分求积 法，如何把这一高精度方法推广到求解三维空间的偏微分方程，特别是三维奇异 摄动问题及不规则区域问题，这是具有挑战性的课题。 本文中，我们特别使用了一种新的边界处理方法一一边界直接展开方法，来 处理三维区域内偏微分方程的边界条件。这种方法充分利用了多项式的性质，直 观有效。我们通过如下四个步骤来求解三维不规则区域内含小参数的椭圆方程： l ，在深入研究了b e r r u t ，b a l t e n s p e r g e r 和m i t t e l m a n n 的有理微分求积法( 有 理谱配点法【1 1 ) 之后，我们将这种方法拓展到三维情况，并用其离散三维椭圆方 程； 2 ，引进双曲正弦变换来解决奇异摄动问题中小参数e 带来的困难： 3 ，通过介绍边界直接展开方法的原理，展示使用边界直接展开方法能得到 高精度的原因，并用其求解不规则区域问题： 4 ，区域分裂法与上述方法结合来处理有几个边界层的复杂问题。 本文中，我们同时使用三维有理微分求积法( 三维有理谱配点法) ，边界直 接展开方法，以及正交变换和区域分裂方法，在三维不规则区域内，求解了几个 有小参数的椭圆方程。算例的数值计算结果展示出我们方法的精确性和有效性。 关键词：边界直接展开方法，三维有理微分求积法( 有理谱配点法) ，双曲正 弦变换，区域分裂方法，奇异摄动，不规则区域 葶 a d e v e l o p e dr a t i o n a ld i n i e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d f o rs o l v i n g3 ds i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m s h a ng u 伊f e n g ( m a j o r e di nc o m p u a t i o l l a l lm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f w ux i o n 乎h u a d i 骶r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ( d q m ) ，卸l l i g ha u c c u r a c ym e t h o df o rs o l v i i l g d i 珏e u t i a le q u a t i o l l s ，i su s u 猷l y a p p l i e do nl da n d2 de q u a t i o i l s b u ti tw o u l db eal i t t l e h a u r df o rd q mt od e a lw i t h3 de l l i p t i ce q u a t i o n s ，e s p e c i a u yt h es i i l g u l a rp e i r t u r b a t i o n 锄di n3 di r r e g u l a rd o i n a i n i i lt h i sa r t i c l e ，an e wm e t h o d ，d i r e c te ) 叩a n s i o nm e t h o do fb o u n d a u r yc o l l d i t i o n ( d e m b c ) ，i sd e v e l o p e dt oh a n d l et h eb o u n d a 巧c o n d i t i o ni n3 di r r e g u l a u rd o m a i n t h e s i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m si n3 di r r e g u l a rd o m a i na r es o l v i l l gb yt h ef o l l a w i n g4 s t e p s ： f i 瑙t l y t h ep r e v i o u sr a t i o n a ld i f j e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ( r a t i o i l a ls p e c t r a l c 0 1 l o c a t i o nm e t h o di nf 1 】) w 邪d e v e l 叩e db yb e h u t ，b 8 l t e n s p e r g e r ，粕dm i t t e l m a i l i l ， b u th 艄s i n c eb e e ng e n e r a l i z e dt o3d i m e 瑚i o n s e c o n d l y c o n f o r m 越m a pi si i l t r o d u c e dt od e a lw i t ht t l ea n n o y i n gp r o b l e i n so ft h e s m a up a r a m e t e r i ns i l l g u l a rp e r t u r b a t i o n t h i r d l y i ti ss h a w e dt h a td i r e c te 印a n l s i o nm e t h o do fb o u l l d a r yc o n d i t i o ni s c 印a b l eo fh a i l d l i n gb o i m d 缸yp m b l e mi na ne m c i e n t l y f i n a l l y ，t h ec o i n b i l l a t i o l lo ft h ea b o v ei n e t h o da n dd o i n a i nd e c o m p o s i t i o l li su s e d f b rs o l v i n gt h em o r ec o m p l e xp r o b l e m sw i t hs e v e r mb o m l d a r yl 町，e i 。s h 1t h i s 甜t i c l e ，3 dr d q m ：d e m b c ，n f o r m a lm a pa n dd o m a l i nd e c o l n p o s i t i o n a u r e 印p l i e dt os o l v es e v e r 出e l l i p t i ce q u a t i o n sw i t has m a l lp a r a m e t e ri n3 di r r e g u l a r d o i n a i n t h en u l n e r i c a l lr e s u l t ss h o wt h a to u ra p p r o a d hi sa c c u r a t e 跚1 de 佑c i e n t k e y w r o r d s ：d i r e c te x p a n s i o nm e t h o d ，3 d 胝i o l l md i 骶r e n t i 出q u a ( 1 r a t u r em e t h o d ， c o n f b r m 出m a p ，d o m a j nd e o o m p o s i t i o n ：s i n g u l a l rp e r t u r b a t i o n ，i r r e g u l a rd o l n a i n 。 i i 摘要 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 第二章 2 1 2 2 第三章 3 1 3 2 3 3 第四章 4 1 4 2 4 3 第五章 5 1 5 2 第六章 6 1 6 2 6 3 6 4 目录 引言 工程背景 微分求积法的发展 微分求积法有待于进一步研究的一些问题。， 本文的主要工作。 微分求积法简介 微分求积法的一般公式 传统的微分求积法 有理微分求积法和s i n h 变换 传统方法的插值误差估计 有理微分求积法， 鼢2 1b a u r y c e n t r i c 有理插值， 3 2 2s i n h 变换 有理微分求积法在奇异摄动中的应用j 三维有理微分求积法1 4 拓展一维有理微分求积法 1 4 三维有理微分求积法的应用1 5 区域分裂法1 6 边界直接展开法1 8 关于边界直接展开法的一些分析1 8 边界直接展开法的应用一。 1 9 数值算例 2 1 例1 ：区域q 1 内边界层位于z = l 上的三维椭圆方程。2 1 例2 ：区域q 2 内边界层位于z = 1 上的三维椭圆方程一 2 2 例3 ：区域q 3 内边界层位于z = 0 上的三维椭圆方程2 3 例4 ：区域q 3 内边界层位于z = 士1 上的三维椭圆方程 2 4 i l l l 2 3 4 4 4 7 7 o 0 2 3 1 1 1 1 一类三维奇异摄动i 玎】题的有理微分求积法 第七章总结与展望 参考文献 致谢 个人简历 2 6 2 7 3 2 3 3 第一章引言弟一早 jl 舌 1 1 工程背景 对工程系统的分析包括两个重要步骤：合理反映物理现象的数学模型的建立 和数学方程的求解。一般来说，工程问题是由线性或者非线性的偏微分方程描述 的。所以在工程学科中常常使用数值逼近法求解偏微分方程，例如有限差分法， 有限元法，边界元法等。只要选择合适的网格点数就可以得到所要求精度的数值 解。有限元法是迄今为止应用最广泛、最有效的数值计算方法，但是所用的网格 点比较多，计算起来不方便，有必要寻找更为有效的数值计算工具| 2 】o 1 2 微分求积法的发展 微分求积法( d q 法) 是c h a r db e l l m a i l 和他的同事f 3 ，4 ，5 1 在2 0 世纪7 0 年代初 提出的求解偏微分方程的一种新方法。自提出以来，微分求积法已被成功运用到 许多工程物理问题中。这个方法数学原理简单，计算精度高，计算量小，使用方 便，而且不依赖泛函和变分原理，也不用另外考虑边界条件。当问题具有全局性 光滑解时，微分求积法因为自身的高精度，以及只需较少的网格点成为优于有限 差分法和有限元法的更佳选择1 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，l3 1 。 美国曼哈顿k a n s 弱s t a t e 大学的m i n g l e 应用微分求积法求解非线性扩散方程 | 1 4 1 。美国o k l a h o m a 大学的c i v a z 和s 1 i e p c e v i c h 应用广义的微分求积法处理运输过 程、t h o l n a s - f e r m i 方程、泊松方程，以及多维问题1 1 5 i1 6 ，1 7 ，1 8 】。d o k u z 大学的o m e r c i 词e k 把微分求积法用到弹性杆的稳定性、振动和弯曲分析3 0 ，3 l l 。吴雄华， 丁志宏，沈烨，孔伟斌等人使用微分求积法来研究美式期权定价问题，体现了微 分求积法在金融领域的应用和发展1 3 2 t3 3 】。 陈等人1 3 8 】对微分求积法在全空间上的性质进行了研究，并且指出了微分求 积法在求解非线性微分方程的时候将比传统的差分法和有限元法更有效。m a i i k 和b e r t 则在处理高阶多维偏微分方程的边界条件方面给出了更仔细的理论证 明。 在微分求积法的基础上，国内外的专家还研究出了很多新的微分求积法。l i e w 和他的同事提出了移动最小二乘微分求积法。l i e w 提出了微分求积元法，用于 对r e i 鹃n e r - m i n d l i n 板进行静态分析【2 0 】。此外，l i e 、r 还提出了d q u ，d q n ，d q z 等 有效方法1 2 l ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 1 。吴雄华，李晨，吴芸，沈烨，刘书亭等人根据微 分求积法的思想，在传统微分求积法的基础上结合区域分裂法，提出了微分求积 区域分裂法，来求解三角形区域上的偏微分方程边值问题、非线性奇异摄动问题 一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法 2 及抛物彤方程自由边界问题，他们的成果体现了这种方法的高效| 3 4 t3 5 ，3 6 3 7 】。 在最近几年，有理微分求积法( 有理谱配点法) 渐渐流行起来。基于有理插值 函数的有理微分求积法是由b e m i t ，b a l t e n s p e r g e l 和m i t t e l m a n n1 1 】共同研究出，由 于有理插值函数是指数逼近解析函数的，所以有理微分求积法具有更高的效率。 有理微分求积法的一个显而易见的好处就是其配点选取方式有助于消除恼人的 龙格现象。使用有理微分求积法还有另一个好处，那就是町以更简单更迅速的找 到一个微分方程的特解l a 0 】。最后，我们在深入研究直积之后，将一维的有理微分 求积法拓展至三维情况。 1 3微分求积法有待于进一步研究的一些问题 现在，微分求积法在很多方面都有着成功的应用，例如流体动力学方面，波 问题，以及固体结构分析方面等等1 4 l l 。微分求积法能取得这样的成功，很大程度 上得益于其在充分光滑函数问题上的高精度。 传统的微分求积法对复杂的不规则区域问题的解决存在一定困难。微分求积 法中的函数逼近( 多项式展开或者傅立叶级数展开) 是沿直线的，故用微分求积 法进行导数的数值离散也是沿直线的。这种特性使得微分求积法可以被直接用于 规则区域。对于复杂的几何形状，微分求积法不能被直接应用，需依赖坐标变换 技术阮3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 】。无法处理任意不规则区域的偏微分方程，是阻止微分求积 法法在工程问题上应用的最大难题，而能够处理复杂几何区域正是有限元方法备 受关注的原因1 4 2 】。 有些方法已经被研究出来，用于克服谱方法的这一限制。例如，求解三角形 区域内的p e d 方程时最常用的方法就是引入坐标变换，将三角形区域转换成正常 的计算区域。所以三角形区域的一个点要被考虑成一条边，导致这个点附近有太 多的配点，最终造成巨大的计算浪费1 4 3 】。这时，区域分裂方法可以解决三角形区 域的问题| 4 4 】。然而，区域分裂法的应用十分复杂。另一种解决方法就是使用微 分求积n e f f t z 方法1 4 5 】。在微分求积n e f f c z 方法中，微分求积法被用于计算规则区 域内方程的特解，而n e 矾z 方法被用于求齐次方程的解。另外，域嵌入方法也 是避免划分网格和不规则区域复杂处理的一个好方法。这种方法是通过原问题在 虚拟规则空间的辅助问题的解来逼近原问题的解，而原问题的求解域包含在虚拟 规则空间内1 4 6 ，47 1 。可惜这种方法也很复杂。 本文中，我们专注于处理三维不规则区域内的奇异摄动问题。一种全新的方 法，我们将一维的边界直接展开方法拓展至三维，用以处理三维不规则区域内的 椭圆方程。这种方法既町以有效处理不规则区域上的复杂边界条件，又可以避免 一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法 3 大型程序中的网格重新划分，是一种可以取代有限元方法和边界元方法的方法， 而且也可以在大变形问题中避免重新网格剖分【4 8 】。 1 4 本文的主要工作 本论文将被分为如下若干部分： 第二章，主要介绍微分求积法的一般公式和传统的微分求积法： 第三章，引入有理微分求积法，并且介绍了有助于处理奇异摄动问题的双曲 正弦变换； 第四章，展示怎样将一维有理微分求积法拓展成三维有理微分求积法，以及 三维有理微分求积法的应用； 第五章，给出边界直接展开方法的一些分析，并且说明如何使用边界直接展 开方法处理不规则边界区域； 第六章，通过几个计算实例，展示边界直接展开法和三维有理微分求积法的 良好特性。 第二章微分求积法简介 弟一覃傲分不积法间r 2 1 微分求积法的一般公式 微分求积法( d i 雎r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ) 本质上是一种拟谱方法或配点 法，即用整个计算区域上所有节点处的函数值的加权和来逼近函数在各节点处的 导数值。 考虑函数，( 卫) ，z k ? 6 1 ，设配置点为n = z o z l 1 令l ，( z ) 为，( z ) 在 第二类仍e 6 妒 e t ，节点上的三0 夕r 口珊e 插值。那么对于任意的叼，o 叩 1 ( 3 2 ) 7 一类乏维奇异摄动问题的有理微分求积法 8 椭圆上任意一点到焦点的距离之和为2 口，长短半轴之和为p = q + 旅日。 通过计算得到 ， q = 去( p + p 一1 ) j1 v 西= 去( p p 一1 ) ( 3 3 ) 相应的在复平面( z = z + i 秒) 上，椭圆可表为如下形式： e o ：z = 去( p + p 一1 ) c o s 口+ 丢( p p 一1 ) s h lp ， o 口2 7 r ( 3 4 ) 或者 ， e ：z = 去( 胆9 + p 一1 e i 口) ， o p 2 r ( 3 5 ) 另外，在数据 ( z ，( z 七) ) ) 上的l 咿a n g e 插值误差可以由h e r i i l i t e 围线积分形 式给出 m h 名，：熹上器墨如 ，c s 6 ，( z ) 一l ，( z ) = 三上手涨詈兰专如，( 3 6 ) 其中l ( z ) = 兀篓o ( z 一巧) ，并且，( z ) 在r 围成的区域内解析，用柯西积分公式很容 易验证( 3 6 ) 成立。从( 2 1 0 ) l ( z ) = 肌( 1 一z 2 ) 矗( z ) ( 3 7 ) 以及关系式 ( 1 一z 2 ) 霸= 圭( 而“z ) 一“瑚 ( 3 8 ) 代入积分式( 3 6 ) ，消去分子分母中的相同项，我们可以将误差积分写成如下形 式 其中u ( z ) = 珊+ 1 ( z ) 一强一l ( z ) 。要估计这个误差积分，可以选取r 为椭圆易，l o ) ，s i n h 变换定义为 9 ：z = 占+ e s i n h ( p ( 6 ，) u + 叩( 6 ：) )( 3 3 6 ) 一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法1 3 胛= 扣n h 以( 半) 州。h 。1 ( 孚) 】 ( 3 3 7 ) 柑一= 扣n h 。1 ( 半) “- h “( 孚) 1 ( 3 3 8 ) 通过计算可知z = 6 + i e 被9 1 变换到u 平面上的 = 嬲+ t 等，歹z 似3 9 ， 为了比较解析椭圆大小，取最靠近【一1 ：1 1 的 s ( 州如肛糕+ i 高 ( 3 4 。) 计算可知变换后的u = s + 抚所在的解析椭圆“) 比耳( 6 。) 离【- l ，1 1 更远【5 7 l 。 墨3 3有理微分求积法在奇异摄动中的应用 奇异摄动问题一般含有边界层或内部层，对于很薄的边界层，传统的d q m 会 遇到很大的麻烦。c h e b y s h e v 节点在边界附近相邻点间隔为p ( 一1 ) 【5 8 l ，而为了 较好的捕捉边界层，需要在层内有配置点，设边界层的宽度为d ( ) ，可知= d ( e - 0 。5 ) 。当e = 1 0 _ 8 时，需要约= d ( 1 0 4 ) 个配置点。另外，d q m 一阶和二阶微 分矩阵的条件属为别为d ( 2 ) 和d ( 4 ) 1 4 1 i l ，此时微分矩阵的条件数很差，将导致 计算不稳定。 从另一个角度看，当e 很小时，函数，( z ) 在复平面上有十分靠近【一1 ：1 】的奇点， 导致函数的解析椭圆很小，传统的d q m 收敛的很慢，因此需要很大的节点数才 能达到预期的收敛精度。 有理b a r y c e n t r i c 插值可以很好地逼近含有边界层的函数。r d q m 是基于有理 插值的，所以利用r d q m 解决奇异摄动问题是一个很好的途径。当然，我们必 须要知道在复平面上的奇点，才能用变换将函数的解析椭圆拉大。n e f e t h e 等通 过c h e b y s h e v - p a d e 逼近来搜索奇点f 4 0 j ，b e h u t 等将奇点作为待定系数放在分母上， 通过迭代找到最优奇点阮5 4 | 。对于奇异摄动问题，可以大致估计奇点的位置，即， 若已知边界层的位置为占，边界层宽度为d ( e ) 。从而可以假设解在复平面上的奇 点为6 + n ，n 为一参数，需要我们通过数值试验确定。 第四章三维有理微分求积法 4 1 拓展一维有理微分求积法 选取c h e b y s h e v - l o b a t t o 节点z o ：z 1 一，z j 、r 。设u 为一个三维数组，其中以让= 仳( 甄，协，铋) ：0 i 1 ：o j 飓：o 知3 。我们分别用五，a ! 和岛来表 示单位矩阵，一阶微分矩阵和二阶微分矩阵。另外，我们使用两维矩阵d z 来代 表五，a 和岛，而且功是一个f 阶矩阵，z = l ：2 或者3 。 表4 1 展示了两维矩阵d 与三维矩阵u 之间的乘法法则。 表4 1 ：乘法法则 矩阵格式离散格式 ，卯j = l ：2 + 1 ，甜七= 1 ：3 + 1 ，卯i = l ：1 + l a ( i ，文七) = 0 ； a = d 1 u，卯z = l ：1 + l ， a ( i ，j ，七) = a ( t ；互南) + d 1 ( i ，z ) 木u ( z ，j ，七) ； e 竹d e n d e n d e n d ，o ri = 1 ：l + 1 ， ，d r 七= 1 ：3 + 1 ， ，凹歹= 1 ：飓+ l q ( i ：j ，七) = o ； q = d 。u，d rz = 1 ：2 + 1 ， q ( i ，互七) = q ( i ：，七) + d 2 ( 歹，j ) 幸u ( “七) ； e 佗d e n d e n d e 礼d ，胛i = 1 ：i + 1 ： ，凹j = 1 ：2 + l ， 1 4 一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法 1 5 续表4 2 矩阵格式离散格式 ，d r 七= 1 ：飓+ l ， 岛( i ：互奄) = 0 ； 伤= d 3 u ，卯z = l ：3 + 1 ， 国“，z 七) = 伤“，歹，七) + 占1 3 ( 七：z ) 乖( i ，歹，z ) ； e n d e 礼d e n d e 礼d 根据表4 1 的规则和代数中直积的定义，我们可以通过微分矩阵与向量相乘 逼近微分量，见表4 2 。本文中，我们使用可e c u ( 与m a t l a b 中的( ：) 同义) 表示向 量化的三维矩阵u ，其中。表示直积。 表4 2 ：微分算子逼近格式 4 2 三维有理微分求积法的应用 考虑到任意长方体都可以通过坐标变换被转化为单位正方体【_ 1 ，l 】3 ，所以我 们直接讨论单位正方体f l ：1 】3 的情况。 一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法 1 6 假设qo = ( z ，秽，z ) l ( z ：! ，：z ) 【一1 ：1 1 3 。 厶饥= 口】“? z + n 2 u 暑，”+ n 3 牡。二+ n 4 札z 若，+ n 5 t 屯 + n 6 t 正班+ n 7 t b + n 8 坳+ 0 9 仳。+ 8 l o t ( 茁：可：z ) qo ( 4 1 ) = ，( z ：秒，z ) 、 t 正( z ，可，z ) = 妒( z ，秒：z )( z ，可，z ) a qo ( 4 2 ) 其中n s ：s = 1 ：1 0 表示( z ，秒，z ) 上的光滑函数。 现在，我们在本文中假设 ( 筋= c o s ( 耐b 丌) ，协= c o s ( 嗣_ 丌) ：张= c o s ( 南丌) ) ， j = 仳( 戤，协：z ) ：o 。埒七= n s ( 戤：耽：钆) 和 j 七= ，( 以，协：) ： = o ，j ，歹= o ：2 ：后= o ：3 。根据表4 2 ，我们可以将( 4 1 ) 写成矩阵与向量相乘的 形式，m t j e c u = u e c ，其中口e c ( 钆) 和 e c ，分别与m a t l a b 中的n 。( ：) 和，( ) 同义。 4 3 区域分裂法 m = 班n 9 ( 口e c ( n 1 ) ) ( 如。如。口1 ) + 出口g ( 口e c ( n 2 ) ) ( 厶。上屯oj r l ) + 出n 9 ( 口e c ( n 3 ) ) ( b 3o 如o ) + 出n 夕 e c ( n 4 ) ) ( 忍oa 2oa 1 ) + d i n 9 ( u e c ( n 5 ) ) ( a 3 圆如圆a 1 ) ( 4 3 ) + 成n 9 ( e c ( n 6 ) ) ( a 3 圆a 2 因 ) + 也n 9 ( e c ( n 7 ) ) ( ，3 如圆a 1 ) + 击n 9 ( 口e c ( n 8 ) ) ( 厶圆a 2o ) + 出n 9 e c ( n 9 ) ) ( a 3o 尼圆 ) + 历n 夕( e c ( n l o ) ) ( 五。忍 ) 区域分裂法是上实际六十年代由德国数学家h s c h w a r z 为求解复杂区域上的 偏微分方程而提出的。区域分裂法有三种类型：( 1 ) 带重叠的区域分裂法；( 2 ) 不 带重叠的区域分类法：( 3 ) 带虚拟成分的区域分类法。区域分裂法有许多优点，如 区域分裂方式的任意性、区域分裂后物理问题的数学描述的多样性以及问题求解 法的灵活性，因此它已成为大型科学计算问题算法设计的重要方法。通过区域分 裂法，是乘法的复杂性大大地减少，同时也是微分求积法的有效性大大增加。 一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法 1 7 对于有小参数的偏微分方程，只有在方程的边界层中设置更多的配点才可以 保证谱方法的高精度。所以我们使用双曲正弦变换来改变c h e b y s h e v - l o b a t t o 节点 的位置，将配点向某一位置挪动，但是对于多个边界层的问题，仅仅使用双曲正 弦变换无法解决的。对于这种有多个平行边界层的情况，我们先使用区域分裂法 将复杂的情况分解成一个个只有一个边界层的予问题，然后再使用双曲正弦变换 求解每一个子问题。 第五章边界直接展开法弟血覃边界且慢臆升法 5 1 关于边界直接展开法的一些分析 现在，我们使用阢j 七来表示点( 翰：协：钆) 上的函数值u ( 而：协：讯) 。由于( 3 2 5 ) ， 我们得到三个分别基于x ，y 和z 方向有理插值基函数的矩阵 l ，( z ) = ( z ( z ) z 1 + ，( z ) ) l z ( 暑，) = ( z 1 ( y ) l 2 + 1 ( 矽) ) l 3 ( z ) = ( z ( z ) f 3 + ( z ) ) 定义在q o 上的函数仳( z ，可，z ) 可以通过( 5 4 ) 来逼近。 伽( z ，暑，z ) = ( l 3 ( z ) 圆三2 ( 矽) ol 1 ( z ) ) 移e c u 假设x = ( z 。z 。) t ，y = ( 可，蜘) 丁和z = ( z ， 函数札。( x ，kz ) 可以写成( 5 5 ) 的形式。 ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ) r ，则 t i 。( 置y _ z ) = ( ( l 3 ( z ) 圆肌e s ( 1 ，2 + 1 ) 圆伽e s ( 1 ，1 + 1 ) ) 木( 帆e s ( 1 ：3 + 1 ) o l 2 ( y ) o 帆e s ( 1 ，l + 1 ) ) ( 5 5 ) 奉( o n e s ( 1 ，3 + 1 ) d n e s ( 1 ；2 + 1 ) ql l ( x ) ) ) 口e c u 其中，运算符号奉表示点乘。 有了表4 2 和( 5 5 ) ，我们就可以在任意形状区域上处理方程的边界条件，无 论是d i r i c h l e t ，n e t l m a 肌或者其它更复杂得边界条件。 假设任意形状的三维空问q ，并且qcq o = 卜l ：l 】3 ，我们希望求得问题ii 的 解u 。问题i 见( 5 6 ) 和( 5 7 ) ： 、 l u = ，( z ，! ，z ) q ( 5 6 ) 让= 妒( z ，秒，z )( z ，可，z ) a q ( 5 7 ) 其中，( 5 6 ) 与( 4 1 ) 是相同的方程，但是定义在不同的区域上。 1 8 一类三维奇异摄动问题的有理微分求积法 1 9 要将三维有理微分求积法应用到问题i 中，首先将方程l 乱= ，中的系数函 数n 的：1 2 l o 和，从空问q 延拓到q ( j 上。所以，形如( 5 4 ) 的解嘶。则是上方 程l 札= 厂的特解。显然，这个特解也是q 上方程l 札= ，的特解。当然，这个特解 不是唯一的。如果特解u 。又能够满足边界条件( 5 7 ) ，那伽肯定就是原方程 的解。 同样，我们也将定义在q 上的方程l t l = ，中的函数 n 。) 。= 1 ，2 ，1 0 和，也延 拓到n o 上，这样我们就得到了问题i i ，见( 5 8 ) 和( 5 9 ) ： l u = ，( 卫，可，z ) q o ( 5 8 ) t = 可( z ，z )( z ，y ，z ) a q i l( 5 9 ) 域嵌入法的思想，就是通过求出虚拟空间q o 上辅助问题i i 的解，来逼近问 题i 的解。任意边界条件都可以被延拓到空间a q o 的边界上，但问题是如何保证在 新的空间上计算得出的解与原空间上的解相同。目前已经有了很多种将原方程的 解延拓至虚拟空间上的方法【4 2 ，4 3 ，4 6 】，但是这些处理方法都比较繁琐，而且很多 时候很难实现。本文中，我们用了一种非常自然的方法将方程的解延拓到虚拟空 间q o q 上，即边界直接展开方法。我们给出了新的边界条件，见( 5 1 0 ) 。 = 一觎a q o ( 5 1 0 ) 其中，。是使用三维有理微分求积法求解问题ii 得到的数值解 这里，我们假设问题ii 的解u l 可以被连续延拓到q ( 】上。现在，使用三维有理 微分求积法求解问题i i ，我们就可以得到一个解- ，l 。，则必定有面。m = 乱。一。 所以在空间q 上，1 一札n 啪i i = l i 钆2 一砜。i i ，其中仳2 是问题i i 的解。 5 2 边界直接展开法的应用 为了计算u ( 玑仳= 牡( 戤：) ) ，我们将使用配点法。 根据( 3 3 4 ) 和( 3 3 5 ) ，我们知道矩阵a 和b f 的秩分别为m 和l 一1 ，其中2 = l ：2 卯3 。所以上文( 4 3 ) 中定义的矩阵m 的秩至少不小于( 1 1 ) ( 2 1 ) ( 3 一1 ) 。另外，我们显然知道m 是( ( l + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ) ( ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 飓+ 1 ) ) 阶矩阵。所以我们至少在边界a q 上选取2 1 飓+ 2 1 3 + 2 2 3 十2 个 点，用( 5 5 ) 将边界条件展开，加入到系数矩阵m 上。现在，我们定义= 2 l 2 + 2 1 3 + 2 2 3 + 2 0 ) 为上段中边界点的枚举。根 三慨口e c u 方程的右端项可以用( 5 1 2 ) 表示。 ( 5 1 1 ) 卜( 蚴，啪，：z 加)、 = i ；i ( 5 1 2 ) 妒( z 臼q ，鼽m ，z 鲫 r ) 边界条件矩阵舰是一个( ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ) 矩阵，而微分方程 系数矩阵m 是一个( ( l + 1 ) ( 飓+ 1 ) ( 3 + 1 ) ) ( ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ) 矩阵。 所以我们可以将边界条件矩阵加在微分方程系数矩阵下面，组成一个新的系数 矩阵矾即( 笼) o 同时也将右端项组装起来，徽| j 7 ：( 幺) o 不徽道矩 阵丽的秩为( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) 。根据行数小于列数的满秩矩阵的性质，我们 知道方程丽口e c 【，= 口e c - 有且仅有一个解 仳( 翰，耽：魂) ) ，当然这就是方程( 5 6 ) 和( 5 7 ) 在c h e b y s h e v - l o b a t t o 节点上的解。 、ii， 、l ，c ：a ) z c ： 锄 洲 m ；蓦 驸 肌 卜 c ： c ： z z 让； 让 ，liii 三维有理微分求积 例2 和例3 中，我们 = 1 ：可：z 【一1 ：1 】) 我们求解一个边界 在例l ，例2 和例3 中，我们设置了系数1 ，2 和3 ，分别用来表示c h e b y s h e * l o b a t t o 节点：= c o s ( 料7 r ) ，耽= c 。s ( 辩丌) ，讯= c o s ( 锝丌) ) ，江l ，1 + 1 ， j = 1 ，2 + 1 ，后= l ，3 + l ：而在例4 中，1 1 和1 2 则表示 既l = c o s ( 舒7 r ) ， z i 2 = c o s ( 稽7 r ) ：i l = 1 1 1 + 1 ，i 2 = 1 1 2 + 1 ，在a 和b 两个空间内聊和钆与 例l ，例2 和例3 中相同。本论文中，用来表示小参数。 6 1例1 ：区域q l 内边界层位于z = l 上的三维椭圆方程 意高二翁苫。泄苫。，耄茎：。 1 ，iu ( z ，可，z ) = ( 1 一e 量 ) ( 1 一e 可一1 ) ( 1 一e 。一1 )( z ，可，z ) a q l 、7 方程( 6 1 ) 的解析解是札( z ，拶，z ) = ( 1 一e 孚) ( 1 一e 掣一1 ) ( 1 一e ：一1 ) ，方程( 6 1 ) 的边界层是 ( 茁：可：z ) i z = 1 ，( z ：秒，z ) q1 。 区域q ，定义在( 6 2 ) ，其三维图形见图6 1 。我们在区域q 】借助d e m b c 、3 d r d q m 和双曲正弦变换技术求解方程( 6 1 ) ，其中双曲正弦变换中的两个系数分 别是设定为6 = 1 和n = 3 。我们计算方程( 6 1 ) 得到的数值解见表6 1 。 ql = ( z ：暑，z ) i 。：剪：z 【一l ；1 】) ( z ：可，z ) l ! ，2 + z 2 l ：可，z r + ) ( 6 2 ) 图6 1ql 展示图 2 1 6 2例2 ：区域q 2 内边界层位于z = 1 上的三维椭圆方程 。 本节中我们仍然求解方程( 6 1 ) ，但是求解区域从上一届的q l 改为q 2 ( 区 域q 2 的定义见( 6 1 ) ，其三维图形为图6 2 ) 。我们在区域q 2 借助d e m b c 、3 n r d q m 和双曲正弦变换技术求解方程( 6 1 ) ，其中双曲正弦变换中的两个系数分 别是设定为6 = l 和口= 3 。我们计算方程( 6 1 ) 得到的数值解见表6 2 。 q 2 = ( z ，暑，z ) i 圹+ z 2 1 ：z 【一1 ：o 】) u ( z ：秽，z ) l z 【o ：1 1 ，剪，z 【一l ：1 】 ( 6 3 ) 图6 2q2 展示图 表6 2 ：在q2 内借助d e m b c 计算得到方程( 6 1 ) 的解 小参数el 2 3 最人绝对误差最大相对误差 1 0 0 e + o o7775 7 7 8 0 61 6 4