（计算数学专业论文）一种二次非协调四边形有限元的误差估计.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 有限元方法在工程技术中有着广泛的应用，也是求解微分方程的重要数值方法。非 协调有限元方法在解决流体和固体力学问题时可以获得稳定的数值解，例如求解线性或 非线性s t o k e s 问题以及与弹性力学相关的问题等。近年来非协调有限元方法越来越多地 引起了科学家和工程师们的关注，并将这种有限元方法应用于更广的领域。尽管在有限 元方法中经常使用三角形单元，但当求解问题的区域边界具有四边形特征时，特别是在 三维空间的情形，人们更希望使用某种适当的四边形有限元。 本文基于l u o 和s h e e n 提出的任意四边形网格上的一种新的二次非协调有限元，应 用这种有限元求解二维空间中的二阶椭圆问题，估计该有限元在求解椭圆问题时的误 差。在误差估计中首先运用变分原理将椭圆方程边值问题转换成相应的变分问题，然后 运用s t r a n g 第二引理估计变分问题的二次非协调有限元方法的解与变分问题的弱解之 间的误差，运用对偶论证法估计这两种解在r 范数下的误差。本文最后得到了这种有 限元求解二阶椭圆方程d i r i c h l e t 边值问题和r o b i n 边值问题在能量范数和p 范数下的 最优误差估计。两种边值问题在能量范数下的误差均为0 f h 2l ，在r 范数下的误差均为 o ( h 3 ) 关键词：非协调有限元；四边形；细分；误差估计 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 e r r o re s t i m a t ef o raq u a d r a t i cn o n c o n f o r m i n gfi n i t ee l e m e n to n q u a d r i l a t e r a l s a bs t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a sw i d ea p p l i c a t i o n si ne n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y ，a n da l s oi ti s a l li m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s n o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n tm e t h o d sh a v es u c c e s s f u l l yp r o v i d e dt h es t a b l en u m e r i c a ls o l u t i o n so fm a n y p r a c t i c a l f l u i df l o wa n ds o l i dm e c h a n i c sp r o b l e m s ：f o ri n s t a n c e ，l i n e a ro rn o n l i n e a rs t o k e sp r o b l e ma n d t h ee l a s t i c i t yr e l a t e dp r o b l e m s r e c e n t l yn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sh a v ea t t r a c t e d i n c r e a s i n ga t t e n t i o nf r o ms c i e n t i s t st oe n g i n e e r si nm o r ew i d ea r e a s a l t h o u g ht h et r i a n g u l a r m e s h e sa l ep o p u l a rt ou s e ，i nm a n yc a s e so n ew i s h e st ou s eq u a d r i l a t e r a lm e s h e s 、) l ，i t h a p p r o p r i a t ee l e m e n t si n s t e a d , w h e nt h ep r o b l e mg e o m e t r yi so fq u a d r i l a t e r a ln a t u r e ，e s p e c i a l l y i nt h r e ed i m e n s i o n s t h i st h e s i si sb a s e do nan e w q u a d r a t i cn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n to nq u a d r i l a t e r a l s ， w h i c hi sp r o p o s e db yl u oa n ds h e e n t h ea i mo ft h i st h e s i si su s i n gt h ee l e m e n ts o l v i n g s e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m si nt w od i m e n s i o n sa n do b t a i n i n gi t se r r o re s t i m a t e f i r s t ，w e c h a n g et h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ee l l i p t i ce q u a t i o ni n t oi t sv a r i a t i o n a lp r o b l e m t h e n w eu s et h es e c o n ds t r a n gl e m m ae s t i m a t i n gt h ee r r o rb e t w e e nt h es o l u t i o no ft h i s n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h es o l u t i o no fi t sv a r i a t i o n a lp r o b l e m ，a n da l s ot h e d u a l i t ya r g u m e n ti su s e df o rt h ee r r o re s t i m a t eo ft h et w os o l u t i o n si nf n o r m f o rt h ee l l i p t i c e q u a t i o n e r r o re s t i m a t e so fo p t i m a lo r d e ra r ed e r i v e di nb o t he n e r g y n o r ma n d 亡- n o r mf o r t h es e c o n d o r d e re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hd i r i c h l e ta n dr o b i nb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s t h e e r r o r so ft h et w ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si ne n e r g y - n o l t na leb o t h 0 ( h 2l ，址l ee r r o r so f t h a ti nl 2 - n o r ma r eb o t h o ( h 3 ) k e yw o r d s ：n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ；q u a d r i l a t e r a l ；s u b d i v i s i o n ；e r r o re s t i m a t e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 由于偏微分方程在理论和实践上的重要性，它的数值解法，长期以来吸引着数学家、 物理学家和工程师们的注意。一种数值方法包括它的数学基础和它的实现，都紧紧地依 赖理论数学的发展和计算手段的改善。计算机科学的发展，现代大型高速电子计算机的 出现，对数值方法的冲击之大，是历史上从未有过的。有限元方法作为求解偏微分方程 的一个强有力手段，正是电子计算机时代的产物【1 】。本章对有限元方法作简要介绍，并 对现有的非协调四边形有限元方法的研究成果进行综述。 1 1 有限元方法简介 1 1 1 有限元方法的历史发展 有限元方法由r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，2 0 世纪5 0 年代由航空结构工程师 t u r n e r 和c l o u g h 等人发展，取得了巨大的成功。随后逐渐波及到土木结构工程，到了 6 0 年代，在一切连续统领域，都越来越广泛地得到应用。 我国数学家冯康院士和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的数学理论基础。由 于越来越多的数学家加入到发展有限元方法的行列，这种方法便由工程局限性中逐渐解 脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，并确立了它的数学基础。 近年来，有限元方法除了传统的协调元方法以外，还发展到非协调元、杂交元、混 合元和拟协调元等方法。 有限元的研究和应用蓬勃发展，在计算机的配合下它在机械工程、飞机制造和土木 工程等领域中得到了广泛的应用，是结构分析中不可缺少的工具，也是求解微分方程的 一种重要的数值方法【1 - 3 】。 1 1 2 有限元方法的基本思想 从数学的观点看，有限元方法是鼬t z g a l e r k i n 方法的推广，它们的基本思想都是用 有限维空间近似代替无限维空间。有限元方法应用样条函数方法提供了一种选取局部基 函数或分片多项式空间的新技巧，从而在很多程度上克服了r i t z g a l e r k i n 方法选取基函 数的固有困难。 有限元方法摒弃了刻画自然规律中的局部的、瞬时的数学描述，而以大范围的、全 过程的数学分析作为自己的出发点。局部和整体，瞬时和全过程，只是以两种不同的角 度来描述自然现象。一个过程，既可以被微分方程所描述，又服从相应的变分原理，方 法虽然不同，但却从不同的侧面来反映同一自然规律。 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 有限元方法最重要的特性就是提供了一条建立连续统离散逼近的自然途径。 有限元方法是利用场函数分片多项式模式来实现离散化过程的，也就是说，有限元 方法所依赖的有限维子空间，其基函数系是具有有限支集的函数系，这样的函数系与大 范围分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变量的相互依赖关系。任何一个局部 地点，它的影响元素集，正是基函数本身和它的支集。 在线性力学范畴里，场内处于不同位置的力相互作用产生的能量，可以用双线性泛 函b ( 仍，伊，) 来表示，其中仍，9 f 正是相应位置的基函数。b ( 纺，伊f ) 的大小与仍，伊，支集的 交集大小有关，如果两个支集的测度为o ，则b ( 纪，妒，) - 0 因此，离散化所得到的方程 的系数矩阵是稀疏的。若区域分割细小化，则支集不相交的基函数越多，矩阵也就越稀 疏。这给数值解法带来了极大的方便。 有限元方法可以用任意形状的网格分割区域，还可以根据场函数的需要疏密有致 地、自如地布置节点，因而对区域的形状有较大的适应性。另外，有限元方法在实用上 更大的优越性还在于，它与大容量的电子计算机相结合，可以编制通用的程序，代表着 数值方法的进步；反过来也促进了计算机科学的发展【1 。7 】。 1 1 3 有限元方法的解题过程 有限元方法求解问题的基本过程可归纳为： ( 1 ) 把问题转化为变分形式。 ( 2 ) 选定单元的形状，对求解区域作剖分。一维情形的单元是小区间。二维情形的 重要单元有两种：三角形和四边形( 矩形、任意凸四边形) 。三维单元更加复杂一些，包 括四面体、六面体等。 ( 3 ) 构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间。 ( 4 ) 形成有限元方程( m t z g a l e r k i n 方程) 。 ( 5 ) 提供有限元方程的有效解法。 f 6 1 收敛性及误差估计1 4 。 1 2 非协调有限元方法 1 。2 1 非协调有限元方法简介 本文关心的是非协调有限元方法在求解二阶椭圆方程中的应用。 在1 9 7 3 年，c r o u z e i x 和r a v i a r t 教授【8 】提出了三角形和四面体上的线性非协调有限元 以及三角形上的三次非协调有限元。它的思想，至少在一次非协调有限元的情形，是运 大连理工大学硕士学位论文 用了与三角形各边中点值或者四面体各面质心的值有关的自由度，替代了协调有限元施 加在顶点上的值的情形。这种非协调元在解s t o k e s 问题时提供了稳定的有限元对，并且 具有最佳的收敛阶数。 非协调有限元方法在解决流体和固体力学问题时可以获得稳定的数值解，例如求解 线性或非线性s t o k e s 问题以及与弹性力学相关的问题等，近年来这种方法越来越多地引 起了科学家和工程师们的关注，并将非协调有限元方法应用于更广的领域【8 】。 1 2 2 非协调四边形有限元 本节对已有的非协调四边形有限元的研究方法和研究成果进行综述。 尽管在有限元方法中经常使用三角形单元，但当求解问题的区域边界具有四边形特 征时，特别是在三维空间的情形，人们更希望使用某种适当的四边形有限元。 关于矩形非协调有限元，h a n 9 】提出了一种矩形有限元，它的局部自由度是5 。 r a n n a c h e r t u r e k 1 0 】提出了两种旋转q 非协调元：第一种元的局部自由度由各边中点的4 个值组成，第二种元的局部自由度由各边的四个平均值组成。d o u g l a s 等 】提出一种新 的非协调有限元，这种元仅使用各边中点的四个值作为自由度。这在某种意义上是结合 并发展了旋转q 元的两种局部自由度类型，使用高次多项式并且自由度仍然是4 。这种 元由c a i ，d o u g l a s 和y e 等【1 2 】成功地应用到求解n a v i e r s t o k e s 问题中。a r n o l d ，b o f f i ，齐d f a l k 掣1 3 】指出这种矩形元应用到真正的四边形网格时，最优的收敛性将会失去。因此对于真 正的四边形网格的情形，需要添加额外的元【1 4 】，它的局部自由度是5 。p a r k 和s h e e n ”】提 出只非协调四边形有限元，这种元具有最少的自由度，提出这种有限元的动机是发现 任意一个四边形网格上的一次函数可以由各边中点的任意3 个值唯一决定。l e e 和 s h e e n 1 6 】提出了矩形网格上的一种新的非协调有限元，这种非协调有限元在每个矩形网 格各边的两个高斯节点上是连续的，它由只os p a n x 2 y ，x y 2 组成，并且自由度是8 。 、， 最近罗钟铉教授和d o n g w o os h e e n 教授【1 7 】提出了一种任意四边形网格上的只非协 调有限元，这种元在四边形网格的每条边上的两个高斯节点上是连续的，通过连接每个 四边形的两条对角线对其进行细分，使得定义在每个四边形的细分上的分片二次多项式 空间的维数是8 。这个分片二次多项式空间就是每个四边形上的非协调有限元空间。 1 3 本文的工作和组织结构 本文基于罗钟铉教授和d o n g w o os h e e n 教授提出的这种任意四边形网格上的只非 协调有限元，利用这种有限元求解二维空间中的二阶椭圆问题，估计该有限元在求解椭 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 圆问题时的误差。分别对二阶椭圆方程的d i r i c h l e t 边值问题和r o b i n 边值问题进行研究， 文中得到了关于二阶椭圆问题的能量范数和p 范数下的最优误差估计。 本文安排如下：第二章，介绍与本文相关的有限元方法和多元样条函数空间的基础 知识，为下文的研究做准备。第三章，介绍l u o 和s h e e n 提出的任意四边形网格上的二 次非协调有限元。第四章，利用这种有限元求解二维空间中的二阶椭圆问题，估计该有 限元在求解椭圆问题时的误差。本文最后得到了该有限元求解二阶椭圆方程边值问题的 能量范数和范数下的最优误差估计。 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章介绍有限元空间和多元样条函数空间的一些相关基础知识，为下文的研究作准 备。 2 。1s o b oie v 空间和泛函分析的一些基础知识 2 1 1s o b oie v 至i 副 设r ”为胛维欧式空间，q 为尺”中有界且连通的的区域，边界是弛。 r ( q ) ( 1 p o o ) 表示一切定义在q 上的p 次可积函数组成的集合。r ( q ) 表示一切定 义在q 上的本性有界的可测函数组成的集合。 记区域q 上的偏微分算子d 。= b q 见，其中d ，= ，q 口。为非负整数。 口= ( q ) 称为，2 重指标，记h = 口l + 口2 + + 定义2 1 6 - r j 定义范数 i i 1 l 帅j = ( n ( x ) i ，出) ，1 p o 。， i i - i i 黝= e s s s u 。p l 甜( z ) l ，p = o o 设m 为非负整数，1 p o o ，函数空间 w 帆p ( q ) = “口( q ) ：d “( q ) ，l 口l m ) ， 依范数 、三 1 1 1 = 岫卜1 p o 。 i = l m 1 1 1 1 。，。= m b i a 。xl f d a u 。，。，p = o o 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间。 w ，( q ) 为g ( q ) 按范数l i - j l m 的完备化空间。 记 日册( q ) = w 卅2 ( q ) ，w ( q ) = 吩2 ( q ) ， | | 1 | 。= | | i | 椰，1 1 1 1 = 1 1 i o ：， 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 则h ”( q ) ，w ( q ) 均是h i l b e r t 空间，其内积为 ( ) ，= ( d a u , d d v ) ，州h ”( q ) s o b ole v 嵌入定理【6 - 7 1 设qcr 一为有界区域，其边界a q 是l i p s c h 娩连续的曲面， 聊1 ，则 当聊 ，z p ，形”户( q ) 一口( q ) ，1sg i 兰； 当m = n p ，w ”p ( q ) 一口( q ) ，l 9 n p ，w ” p ( q ) 一c ( 磊) 特别地，算子 ，：h 1 ( q ) 一r ( q ) 是连续的紧算子。 h 6 l d e ，| 不等式【6 忉设1 p ，g 。为一对共轭指数，即土p + 吉2 1 ，gf ( q ) ， g l q ( q ) ，则 i 厂( x ) g ( x ) 出| - 0 ，p 【o ，0 0 ) ，f ( w k + l , p ( q ) ) ( w k + l , p ( q ) 的对偶空间) 有 f ( u ) = o ，v u e ( q ) ， 则存在常数c ( q ) ，使得v v w “1 尸( q ) 有 i ( v ) - 0 ，使得 ( a u ，“) c ( “，“) ，v u 见， 大连理工大学硕士学位论文 则称么是正定算子。 定理2 1 圆设么是正算子。若方程a u = 厂在见上有解，则此解必使泛函 ，( 甜) = 去( 彳材，酃) 一( 材) j 达到极小值；反之，在见上使泛函，( 甜) 达到极小值的函数必是该方程的解。 2 3 有限元空间的一些基本性质 用有限元法求微分方程的数值解本质上是用有限维空间逼近无限维空间，从而将无 限维空间中的问题离散为一个近似的有限维空间中的问题。在有限元方法中，这个近似 的有限维空间就是有限元空间，它是建立在区域剖分基础上满足一定约束条件的分片多 项式空间。 2 3 1 椭圆方程边值问题的变分方法 以平面区域q 上的d i r i c h l e t 边值问题为例。 j _ “= 厂， 【 = 0 ， ( x , y ) q ， ( z ，y ) 弛 取空间砩( q ) ，令 口( “，v ) = ( 警塞+ 万a u 万卜， 则问题的弱解提法为： 求豁捌( q ) ，使得 口( “，v ) = ( 厂v ) ，v v 明( q ) 或者令 歹( v ) = 去口( v ，1 ，) 一( 厂，v ) ， 求“职( q ) ，使得 m ) - 忙m 删i n 巾) v e 爿二i 2j 给定一个有限维子空间圪酬( q ) ，并且提出一个与原问题近似的问题：求k ， 使得 a ( u 。，v ) = ( 厂，v ) ， v v e 圪 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 甜。称为近似解，这个方法称为g a l e r k i n 方法。 也可以换一个提法：求圪，使得 ，( ) = r n i n j ( v ) 这个方法称为r i t z 方法。 g a l e r k i n 方法与r i t z 方法都称为变分方法，经典的变分方法取光滑函数构成的有限维 空间圪，这在实用上受到很大限制。所谓有限元方法，就是在变分方法中用剖分插值给 出子空间圪，所得到的函数是分片光滑的，它非常便于应用【酗。 2 3 2 有限元插值基本理论 有限元空间作为求解问题所在无穷维空间的一个近似空间，除了要属于某一个 s o b o l e v 空间外，还必须具有一定的逼近性质。 给定区域q 的一个剖分乙，一般为三角形或者四边形单元，v k 瓦，记h r 为单元 的直径，以为k 的最大内接球直径，五2 搿，如果存在常数c 使剖分族乙( o 办1 ) 满足 监c ，v ke 乙， p k 则称剖分族是正则的。 如果剖分族不仅是正则的，而且存在常数y ，使得 当观 k 一 则称剖分是拟一致的。构造有限元空间圪，一般情况下为分片多项式，将变分问题离散 化，在有限维空间上求解。若圪cv ，则该有限元称为协调有限元【l 】，否则称为非协调 有限元【1 1 。 插值逼近定理n 1 给定一个有限元仿射族，假定相应的剖分瓦= uk 是正则的，在 x e 珀 参考元 霞，户，宝) 上成立下列关系， w k + i p ( 霞) 一c 。( 应) ， 形h l 户( 应) 一形巩9 ( 霞) ， 大连理工大学硕士学位论文 尸( 启) c 户一矿g ( 霞) ， 其中s 为艺中出现的最高阶偏导数的阶数，m ，k 为非负整数，1 p ，g 啦则存在不依赖 于k 的常数c 使得对任何k 乙和函数v w “1 ，( k ) ，有 l v 一厶v i 。取足c ( k ) f i 砖卜研i v l m ，足 特别当p = q = 2 时，有 l v k v k 嘴卜研i v l m 以髟 在定理条件下，有限元空间k 上的插值算子厶具有如下的逼近性质： 0 v 一厶v 1 1 0 ，+ h l l v 一厶v | l l ， 0 ，使得 ( “，“) 2 口1 1 1 1 ：， v u 圪， ( “，v ) m 。i i v i i 。， v u ，v 圪+ y ， 则存在只依赖于m ，口的常数c ，使得 陋飞k c 陋吨+ 州s u “p 。皆 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 2 4g a u s s 求积公式 考虑如f = 形式的求积公式： r p ( x ) 厂( x ) 出喜以厂( ) ( 2 1 ) 其中为求积公式的结点，4 为求积系数。 定义2 4 代数精度【1 8 1 形如( 2 1 ) 的求积公式，假如对厂( z ) = 1 ，x ，x 2 ，x 卅( 或次数 s 聊的多项式) ，公式恒精确成立，而当f ( x ) = x 肿1 公式不精确成立，则称公式( 2 1 ) 的代 数精度为m 定理2 2 对于给定的，z 个不同的结点五，x 2 ，存在常数4 ，鸣，4 使得当 f ( x 1 是次数胛一1 的多项式时求积公式( 2 1 ) 精确成立，亦即 e 夕( x 矿( 誓) 出= 芝4 厂( 磁) 称求积系数由 4 = r p ( x ) 厶( x ) 出( 尼= 1 ，一，z ) ， 决定的求积公式为插值型求积公式【1 引。其中 ( x ) = 国( z ) ( x 一魄) 国( x 。) ，缈( x ) 主( x - x ，) ( z 一) 显然刀个结点的插值型求积公式的代数精度d ，z l ，反之，代数精度d 胛一1 的，2 个 结点的求积公式一定是插值型求积公式。 具有最高代数精度2 ，2 1 的插值型求积公式，称为g a u s s 型求积公式【1 8 】。 定理2 3 18 】插值型求积公式( 2 1 ) 具有2 胛一1 次代数精度，必须且只须插值结点 五，恐，是 口，b 上以p ( x ) 为权的n 次直交多项式的零点。 2 5多元样条函数空间的基础知识 2 5 1 多元样条空间的定义 设d 为二维欧氏空间r 2 中的给定区域。以只记二元实系数代数多项式的集合： r k - i1 最= p = 勺x u y ic l r 大连理工大学硕士学位论文 二元多项式p 己称为不可约的【1 8 】，如果( 在复数域中) 除常数和该多项式本身外，没 有其它多项式可整除它。代数曲线 f ：z ( x ，y ) = 0 ，l ( x ，y ) 己 称为不可约代数曲线1 引，如果，( x ，y ) 是不可约多项式。显然，任何直线都是不可约代数 曲线。 用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，则d 被剖分为有限个子区域 4 ，d ，他们称作是d 的胞腔 1 8 】。相邻胞腔的公共边界线段称为网线 1 8 1 ，网线的交点 称为网点或顶点【1 8 】。 多元样条空间【1 8 】定义为 辎( ) = s c ( d ) isb , 最，i = 1 ，) 按以上定义可知，任一个样条 s 甜( a ) 均为在d 上具有阶连续偏导数的分片k 次多项式函数。 2 5 2 多元样条空间的基本性质 首先给出多元样条函数空间经常用到的代数几何中的b e z o u t 定理。 b e z o u t 定理1 8 1 设p ，( x ，y ) 与p ：( x ，y ) 分别是槐次和刀次的代数多项式，如果它们的 公共零点数多于聊甩，则p 。( x ，y ) 与p ：( x ，y ) 必有公共因子存在。 基于上述b e z o u t 定理，王仁宏教授得到了多元样条函数光滑连接的条件。表现为 如下定理： 定理2 4 1 8 1 设函数z = s ( x ，y ) 在两相邻胞腔p 和d ，上的表达式分别为z = p ，( x ，y ) 和z = p j ( 五y ) ，其中p t ，p ，忍为使 s ( x ，y ) c ( 口u q ) ， 必须且只须存在多项式劬鼻一( 川) d ，使得 p i ( x , y ) - p ( z ，y ) = 乃( 石，y ) + 1 g l ，( x ，y ) ， ( 2 2 ) 其中 f ：，：乃( x ，y ) = 0 为d ，与d j 的公共网线，且不可约多项式t ，( x ，y ) 的次数为d 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 其中q 口( x ，y ) 乞一川p 称为内网线上r ：勺( z ，y ) = o 上的( 从q 到口的) 光滑余因子。 称内网线i 上的光滑余因子存在，即指等式( 2 1 ) 成立。 定义内网点彳处的协调条件【1 8 】为 爿 毛( w ) r g ，( x ，y ) - o ， ( 2 3 ) 其中彳表示对一切以内网点彳为一端点的内网线所求的和，而q j j ( x ，y ) 为r l ：，上的光滑 余因子。 设a 的所有内网点为4 ，厶整体协调条件定义为 凡眇( w ) 川劬u ( w ) 兰0 ，u = l ，一，m ， ( 2 4 ) 其中相应于内网点乞的协调条件之q 。( ”( x ，y ) 满足( 2 2 ) 中所规定的条件。 定理2 5 【1 9 】对给定的剖分，函数s ( x ，y ) 群( ) ，必须而且只须s ( x ，少) 在每一 条内网线上均有一个光滑余因子存在，并且满足由( 2 3 ) 所示的整体协调条件。 由此，可以建立多元样条函数的一般表达形式。设区域d 被剖分分割如下有限个 胞腔d 】，d 任意选定一个胞腔，例如d l 作为源胞腔，从d 1 出发，画一流向图c ，使之 满足： 1 c 流遍所有的胞腔d 1 ，d 各一次。 2 0 穿过内网线的次数不多于一次。 3 0 不允许穿过网点。 流向图0 所经过的内网线称为相应于0 的本性内网线。其它的内网线则为相应于a 的可去内网线。显然可去内网线与本性内网线只是一个相对概念。 设r 盯：乞( x , y ) = 0 为c 的任意一条本性内网线。从源胞腔c 出发，沿c 前进时，只 有越过r ，后才能进入所以闭胞腔的并集记作u r ；，将从源胞腔0 出攀沿r l 时，在越过0 之前所经过的各胞腔并集为r ；，称u i ；u r ；为网线r 的前方，记作，( r ) 定义2 5 【1 8 】设i ，：t ，( x ，y ) = 0 为相应于流线0 的本性内网线，多元广义截断多项式 定义为 乃c 墨y ， 二= 孑五y ：i ! ；? 三爱翟：) 大连理工大学硕士学位论文 由此，有如下的样条函数表现定理： 定理2 6 【限1 9 】任意s 群( 1 均可唯一地表示为 s ( 训) = p ( ) + ? ：f ，( 训) ：+ 1 劬( w ) ，( 础) d ， ( 其中p ( x ，y ) 忍为s ( x ，y ) 在源胞腔上的表达式，一表示对所有本性内网线求和。 光滑余因子的方法可以研究任意剖分下的多元样条函数空间。多元样条的一些问 题，例如维数问题，最终可以归结为对协调条件的研究。 3 置一非协调四边形有限元 本章介绍l u o 和s h e e l l 提出的任意四边形网格上的一种新的罡一非协调四边形有限元 【1 乃 o 3 1只一非协调有限元的构造方法 一个四边形q 的四个顶点记为吩，j = l ，2 ，3 ，4 ，记巳，j = l ，2 ，3 ，4 分别是从_ 到k ，的四 条边，其中v 5 = v 1 令9 2 j - 1 和9 2 是边勺，j = l ，2 ，3 ，4 上的高斯节点。 对一个给定的四边形q ，定义q + 为连接两条对角线的细分( 参见图一) 。设p ；( r ) 是次数不超过尼的多项式空间，对角线为乞。( x ，少) = o 和厶，( x ，y ) = o 定义上的分片多 项式空间， 爰( q ) 声 s ( x ，y ) lj ( x ，y ) l q p ：，i = l ，2 ，3 ，4 ，f ( x ，y ) c 1 ( q ) 爱( q ) 中的分片代数曲线由下面的零点集定义： ( x ，川j ( x ，y ) = o ，s ( x ，y ) 是( q ) 砭 乳 誉s 。 毪 v l 蓦t星兰 图3 1 四边形q 的细分q f i g 3 1 s u b d i v i s i o nq o faq u a d r i l a t e r a lq 羔 显然d i m 是( q + ) = 8 当沿内部的交点d 逆时针方向固定取向时，定义下面的截断函 数：设r ：z ( z ，y ) = o 是通过d 的直线方程， 瞰w ) ：= 黔力y 羹蹴畦撇髓姐 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 设 忍( q ) ：= ( q + ) = s p 口挖i ，x ，y , x 2 , x y ，y 2 ，e 1 2 。( 工，y ) ：， 。( x ，y ) ： 显然，v s ( x ，y ) ( q ) 可以写出如下形式： s ( x ，y ) = 以。+ q 。x + 口。，y + a 2 0 x 2 + q ，x y + a o ：少2 + c 匕( x ，y ) ：+ d f 1 。( x ，j + 2 ， 为了表达的简单明了，我们采用下面的记号， s ( x ，y ) = a o o ，a 1 0 ，a 0 1 ，a 2 0 ，a 1 1 ，a 0 2 ，c ，奶 于县 s ( x ，y ) = 而( x , y ) = a o o + o l o x + a 0 1 y + a 2 0 x 2 + q l x y + a 0 2 y 2 ，( x ，y ) q 1 s 2 ( x , y ) = 岛( x ，y ) + c 乞。( x ，y ) 2 ，( x ，y ) 0 2 s 3 ( x ，y ) = 是( z ，y ) + d e l ，( 石，夕) 21( x ，y ) 0 3 s 4 ( x , 少) = 而( x ，y ) * d 1 l ，( x ，y ) 2 ，( x ，y ) q 4 空间( q ) 就是定义在q 上的非协调有限元空间【1 7 1 。 3 。2 只一非协调有限元空间的维数和基函数 下面介绍这种非协调有限元空间的维数和基函数。 3 2 1 局部基函数 定理3 1 【1 7 1 设垂，( 扣1 ，7 ) 是g ，( ，= 1 ，8 ) 中的任意7 个g a u s s 节点，则 磊( i = l ，7 ) 和。构成了鼋( q 。) 的一个插值适定节点组。 下面，以一个单位正方形为例，它的四个顶点的坐标为( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( 1 ，1 ) ，( o ，1 ) ，定义 9 个g ( q + ) 上的分片多项式： 死( x ，y ) = 3 8 ，1 5 4 ，- 9 4 ，- 1 5 4 ，0 ，- 3 4 ，3 ，3 ) 唬( x ，少) = 3 8 一、3 4 ，3 4 一x 3 2 ，一9 4 + 3 x 3 2 ，一3 4 + 3 j 2 ， 3 4 压，一3 4 + 3 以2 ，0 ，3 3 以l 织( x , y ) = 3 8 ，- 9 4 ，- 9 4 ，9 4 ，6 ，- 3 4 ，- 3 ，3 ) 一1 8 盛( z ，y ) ： 3 8 一以，4 ，一9 ，4 + 3 4 j 2 , - 9 4 一蛎，2 ，9 ，4 一撕，2 ， 3 一撕，9 4 3 4 j 2 , - 3 + 3 , g ，0 l 戎( j ，y ) = 3 ，8 ，一9 1 4 ，- 9 1 4 ，9 1 4 ，0 ，2 1 4 , - 3 ，- 3 丸( t ，) ： 3 8 一i 4 ，- 9 1 4 + 3 4 i 2 , 3 4 4 j 2 , 9 4 一淅z 一3 + 2 i 。9 1 4 3 4 i 2 ，0 ，一3 十3 以 卉( ，) = 3 1 8 ，一9 1 4 ，1 5 1 4 , 9 1 4 ，“，一3 1 4 ，3 ，一3 ) 戎( z ，y ) ： 3 8 + 3 x 3 4 ，3 ，4 5 i ，2 ，3 ，4 5 q r 3 2 。一3 1 4 + a , g 2 ， 一3 + 4 j 。- 3 4 + y , , 6 1 2 ，3 3 以，o 以及 # 2 ( z ，y ) = 一1 1 2 ，3 ，3 ，- 3 ，0 ，一3 ，0 ，0 ) 下面画出西( 毛y ) ，疙( y ) ，以及8 ( 而y ) 的图形，分别见图3 2 ，图3 3 和图3 4 旧 f i g3 2 ( x , y ) 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 目33 政( x ，y ) * 3 3a ( y ) 目33 畦( x , y ) f i g3 3 吐( e y ) 大连理工大学硕士学位论文 并且满足= 面条件 眦垆器姜2 ，讹) = 骺i 黜= 2 j , 2 1 川幺3 以及 矽月( 0 ) = 1 ，矽月( g ，) = 0 ，i = 1 2 ，8 显然 力( x ，y ) ) 8 i ，中的任意7 个和矽r ( x ，y ) 组成最( q ) 的一个局部基函数7 1 。 3 2 2 插值算子 通过简单的计算，可以得到最( q ) 的如下的基函数形式，便于有限元的计算。 ( x ，y ) = 矽只( x ，y ) ， ，( x ，y ) = 破一畋+ 唬一九+ 唬一唬+ 力， ：( x ，y ) = 欢一九+ 织一九+ 九一办， ( x ，y ) = 唬一织+ 唬一九+ ， y 。( x ，y ) = 织一九+ 丸一磊， y ，( x ，y ) = 唬一唬+ 办， 甄( x ，y ) = 办一办， ，( x ，y ) = 办， 对一个给定的函数厂( x ，y ) ，我们定义q 上的插值算子： l ( f ；x ，y ) 厂( p ) y 。( x ，y ) + f ( g ，) ，( x ，y ) 定理3 2 t 1 7 】插值算子，( 厂；x ，y ) 具有如下的性质： 1 i ( f ；o ) = 厂( d ) ，i ( f ；g ，) = 厂( ) ，i = l ，2 ，7 2 1 ( f ；x ，y ) = f ( x ，y ) ，f ( x ，y ) 爰( q ) 特别地厂昱 设d ，以和m 分别表示四边形，点和边的个数。设q f ( 净1 ，2 ，m ) 表示所有的胞腔， q + 是q ，的细分。 令 r h q 】，0 2 ，q 口) ；q g = 五， 一种二次非协调四边形有限元的误差估计 乙= q 1 ，q 2 + ，) ， y = v 】，) ， e = ke 2 ， 这里h = m a x d i a m q ， 特别地，设彬，赡分别表示内部的点和边。 3 2 3 有限元空间的维数 我们的目的是引入关于四边形剖分瓦的罡一非协调有限元空间。 设 n c ；= ：f 2 - 地lv hi q g ( q ) ，v q 瓦，在所有的高斯点连续) 定理3 3 n 钉d i m n c ! = 4 心- 6 孵+ 2 + 6 = 2 虬 大连理工大学硕士学位论文 4 收敛性分析 本章利用l u o 和s h e e n 提出的任意四边形l 网格上的昱一非协调四边形有限兀求解二 维空间中的二阶椭圆问题，估计该有限元在求解椭圆问题时的误差。 4 1二阶椭圆方程的djric hle t 边值问题 考察如下的d i r i