（理论物理专业论文）膜相互作用及相关动力学.pdf

摘要 摘要 本文我们利用弦论及有效场论的方法研究了膜之间的相互作用以及相关的 动力学问题。 膜的相互作用 我们重新研究了d o 膜与d 8 膜之间的相互作用。我们发现无论是在n s n s 分支还是在r r 分支，相互作用势能密度中都存在着发散部分。该发散部分在 以前的研究中一直被忽视，我们则指出该发散部分正反映出d 8 膜不能作为一 个独立物体存在的自然特性。我们知道在该系统的r r 分支中存在着反直觉的 非零贡献，对其我们也已有了一些解释。我们将在考虑上述发散部分的前提下 对以前关于该系统的解释作一些改进。进一步研究表明，即便在d 8 膜上加入一 些f l u x 也无法改变d 8 膜不能单独存在的本质。特别值得指出的是，对于d 8 膜 携带电f l u x 的情形，我们推广了以往处理r r 分支费米零模的正规化方案从而 在计算中得到一个有意义的结果。 我们还利用有效场论的方法计算了任意维度下两堆平行放置且相距一定距 离的p 膜之间的长程相互作用。特别地，如果将上述计算的对象限定为1 0 维下 的d 口膜，我们用同样的方法计算了这些d p 一膜携带一些特殊非阿贝尔f l u x 后的 长程相互作用。这些计算不但证实了我们已知的一些事实，而且还帮助我们更 好地理解这些d 臼膜系统。譬如，对于文中所构造的( d o ，d 8 ) 构型，与以往 结论所不同的是我们的计算表明该构型很可能是一个边缘束缚态。 膜的动力学 我们在型超弦理论中发现了一类超引力解，该解描述相交的非超对称 d 。膜系统。该解由一些参数来刻画，当这些参数由一组特值连续变化到另一组 特值时，它所描述的构型也由黑d 。膜平滑地变成与之对应的静态k a l u z a k l e i n “b u b b l eo fn o t h i n g ”( k kb o n ) 。我们称该解为i n t e r p o l a t i o n 族解。我们的研 究表明，在一定的条件下，该i n t e r p o l a t i o n 族解暗示着黑d 。一膜到稳定的静态 b u b b l e 的一种可能的转变，而转变的机制则可解释为闭弦快子凝聚。 我们还展示了另外一些超引力i n t e r p o l a t i o n 族解，即交叉非超对称d 1 仍5 构 型和交叉非超对称f n s 5 构型，我们对这些解也作了类似的讨论。 关键词：p 膜d 一膜边界态超引力膜的相互作用闭弦快子凝聚 a b s t r a c t w e s t u d yt w oa s p e c t so fs r i n g mt h e o r y ：b r a n ei n t e r a c t i o n sa n dt h er e l a t e dd y n a r i l i c s t h e s eh a v eb e e ni n v e s t i g a t e df r o mb o t ht h es t r i n g ya n dt h ee f f e c t i v et h e o r y a p p r o a c h e s b r a n ei n t e r a c t i o n s w er e s t u d yt h ei n t e r a c t i n gd o - d ss y s t e m ，p o i n t i n go u tt h a tt h ed i v e r g e n tp m c e o ft h ei n t e r a c t i o np o t e n t i a le n e r g yd e n s i t yi ne i t h e rn s - - n ss e c t o ro rr rs e c t o ri sn o t s o m e t h i n gw h i c hc a nb ei g n o r e db u tr e f l e c t st h ed s b r a n en a t u r eo f n o n e x i s t e n c ea s a ni n d e p e n d e n to b j e c t a l o n gw i t ht h i s ，w eh a v ea l s oa d d r e s s e daf e ws u b t l ei s s u e s r e g a r d i n gt h ee x i s t i n gt w oi n t e r p r e t a t i o n sf o rt h en o n v a n i s h i n gc o u n t e r 。i n t u i t i v er - r p o t e n t i a la n di m p r o v e dt h e me a c hb yc o n s i d e r i n gt h ed i v e r g e n c ep i e c e o ft h ep o t e n t i a l f u r t h e rs t u d i e ss h o wt h a tt h ep e r s i s t e n c eo fd i v e r g e n c ef o rt h ep o t e n t i a li ne i t h e rs e c t o r i nt h ep r e s e n c eo faf l u xo nt h ed 8 b r a n e si n d i c a t e st h a ta d d i n gaf l u x f l u x e s o nt h e d 8 - b r a n e sd o e s n th e l pt oi m p r o v ei t sn a t u r eo fe x i s t e n c ea s a ni n d e p e n d e n to b j e c t f u r t h e r m o r e w er e s o l v eas u b t l ei s s u er e g a r d i n gt h er e g u l a r i z a t i o no ff e r m i o n i cz e r o 。 n l o d e si nt h er rs e c t o rw h e nt h ed 8 - b r a n e sc a r r y a ne l e c t r i cf l u xs ot h a tam e a n i n g f u l r e s u l tf o rt h ep o t e n t i a lc a nb ec a l c u l a t e d w ea l s oc a l c u l a t et h el o n g r a n g ei n t e r a c t i o nb e t w e e n t w op b r a n e sp l a c e dp a r a l l e l a tas e p a r a t i o ni nd i v e r s ed i m e n s i o n sv i aa ne f f e c t i v ef i e l dt h e o r ya p p r o a c h i np a r t i c u l a r w ec o n s i d e r e dc a s e sw h e nt h ep - b r a n e sa r e1 0 一d i m e n s i o n a ld ，, - b r a n e sc a r r y i n gw i t h t h e mas p e c i a lw o r l d 。v o l u m en o n a b e l i a nf l u x t h ei n t e r a c t i o ns oc o m p u t e d f o re a c ho f s u c hs y s t e m sg i v e sn o to n l yt h ek n o w nf a c t sa b o u tt h eu n d e r l y i n gs y s t e mb u t a l s os o m e n e we v i d e n c e sw h i c hm a yh e l pu st ou n d e r s t a n dt h es y s t e mb e t t e r f o re x a m p l e ，i n t h e c a s eo f ( d o ，d 8 ) s y s t e m ，i nc o n t r a s tt ot h ep r e v i o u ss t u d y , o u rc o m p u t a t i o n si n d i c a t e d t i l a tt l l es oc o n s t r u c t e d ( d o ，d 8 ) s y s t e mm a y w e l lb ea m a r g i n a lb o u n d s t a t e b r a n ed y n a m i c s w ef i n daf a m i l yo fs u p e r g r a v i t ys o l u t i o n s ，c h a r a c t e r i z e db ya f e wp a r a m e t e r s ，i n t y p ei is t r i n gt h e o r i e s ，w h i c hr e p r e s e n t st h ei n t e r s e c t i n gn o n s u p e r s y m m e t r i cd p - b r a n e s a n dn i c e l yi n t e r p o l a t e sb e t w e e nt h ec o r r e s p o n d i n gb l a c kd p - b r a n e sa n dt h ek a l u z a _ k l e i n b u b b l eo fn o t h i n g ”( k kb o n ) b yc o n t i n u o u s l yc h a n g i n gs o m e o ft h e s ep a r a m 。 e t c ：r sf 如mo n es e to fv a l u e st oa n o t h e r w ep r o p o s e dt h a tt h i si n t e r p o l a t i o ni m p l i e sa t t l a b s t r a c t p o s s i b l et r a n s i t i o nf r o mb l a c k 巩一b r a n e st os t a b l es t a t i cb u b b l e s ( u n d e rc e r t a i nc o n d i _ t i o n s ) v i at h ec l o s e ds t r i n gt a c h y o nc o n d e n s a t i o n w ea l s of i n do t h e rf a m i l i e so fs u p e r g r a v i t yi n t e r p o l a t i o ns o l u t i o n s ，i e ，t h ei n t e r - s e c t i n gn o n s u p e r s y m m e t r i cd j d 5c o n f i g u r a t i o no rt h ei n t e r s e c t i n gn o n 。s u p e r s y m m e t r i c f n s 5c o n f i g u r a t i o n s i m i l a rc o n s i d e r a t i o na r ea p p l i e dt ot h e m k e y w o r d s ：p b r a n e ，d b r a n e ，b o u n d a r ys t a t e ，s u p e r g r a v i t y ，b r a n ei n t e r a c t i o n ，c l o s e d s t r i n gt a c h y o nc o n d e n s a t i o n i v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做 作者签 作了明确的说明。 签字日期：型! ：兰：型 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科 学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅，可以将学位论文编入中国学位论文全文数据库等有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 囱公开 作者签 导师签名： 签字日期：巡! 里：苎：三2 签字日期：盈醴l 皇：兰l 第1 章绪论 第1 章绪论 量子场论以及后来的发展很好地解释了自然界中4 种基本相互作用中的3 种，即电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用；但对另一种基本相互作用即 引力相互作用却无能为力。这个问题的根本原因是我们在量子场论的框架下无 法对引力进行量子化。我们希望能用统一的理论来描述这4 种相互作用，因此 如何协调广义相对论与量子力学之间的关系是理论物理所面临的一大难题。从 某种程度上讲，弦论【l - - 3 是目前最有希望将这4 种相互力统一起来的理论，而 且不仅如此，弦论还能将自然晃中所有常规意义下的基本粒子都统一起来。 在弦论中，我们抛弃了以往对“自然界中基本粒子是点粒子”的假设，转 而认为自然界的基本组成是一些振动着的长度在p l a n c k 尺度( 1 0 3 3 厘米) 的 弦。每根弦都有其唯一的共振频率，基本粒子的质量和力荷便由弦的振荡行为 来决定，比如说传播引力相互作用的引力子便对应弦论中自旋为2 的无质量弦。 当我们用弦来测量空间中卷曲维度的半径时，未缠绕的弦测得的值为r ，而缠 绕的弦测得的值为1 冗：也就是说大小为r 的维度与大小为1 r 的维度等价。 这样由于我们无法得到比弦还小的尺度，因而在弦论中便可避免奇点的出现。 如果我们只考虑玻色自由度，我们将得到玻色弦理论，不过该理论中的最 低激发态是快子模而且该理论不能描述现实世界中的费米子；在弦理论中加入 费米自由度以及超对称，我们就得到超对称弦理论，也就是我们习惯所称的超 弦理论。超弦理论不但可以消除弦论中的快子模而且还预言了时空超对称，这 为我们检验超弦理论提供了一种可能。无论是玻色弦理论还是超弦理论，一个 自洽的弦理论都要求我们的时空高于4 维，具体地说，一个自洽的玻色弦理论 要求时空为2 6 维，而一个自洽的超弦理论则要求时空为1 0 维。对于这些额外 的维度，我们认为它们卷曲起来以至于我们无法观察到。6 维的c a l a b i y a u 空 间就可视为超弦理论中额外维所存在的形态。事实上，空间中的每一点都是一 个很小的流形，而且每一个额外维的尺度都为p l a n c k 尺度。 超弦理论并不唯一，我们共发现了5 种自洽的超弦理论，分别为i 型超弦 理论、h a 型超弦理论、i i b 型超弦理论、s o ( 3 2 ) 杂化( h e t e r o t i c ) 弦理论( 简 记为h o ) 以及e 8 x e s 杂化弦理论( 简记为h e ) 。各理论的性质不尽相同，其 中i i a 型超弦理论和l i b 型弦理论具有n = 2 超对称而有3 2 个超荷，我们将之 归为型超弦理论；而h o 超弦理论和h e 超弦理论则同属杂化弦理论，它们 是i 型超弦理论与玻色弦理论的特殊混合。我们将这些超弦理论列在下表作一 简单比较： 第1 章绪论 超弦理论规范对称性超对称手征性 i i an = 2否 bn = 2是 h e e s x e sn = 1是 h o s o ( 3 2 ) n = 1是 i s o ( 3 2 ) = 1 是 这5 种超弦理论通过超弦理论中的一些对偶关系联系在一起，具体为描述长距 离与短距离之间等价性的t 对偶和描述强耦合与弱耦合之间等价性的s 对偶。 其中h a 型超弦理论与h b 型超弦理论、h e 超弦理论与h o 超弦理论可通过 t - 对偶联系起来；h o 超弦理论与i 型超弦理论、h b 超弦理论与其自身之间则 是s 对偶的。特别值得指出的是，通过研究s 对偶我们可得知某一超弦理论的 非微扰性质。那么我们不禁要问h a 型超弦理论以及h e 超弦理论的s 一对偶理 论分别是什么? 研究表明当i l a 型超弦理论和h e 超弦理论的耦合常数增大时将 会长出第1 1 维，这个新的维度在a 型超弦理论中是一个圆圈( s 1 ) 而在h e 超弦理论中则表现为一段线段( 1 i n ei n t e r v a l ) ；当该维度展开时，我们将得到一 个新的11 维量子理论，即m 理论。我们还不知道m 理论的具体形式，我们只 知道它的低能有效理论为1 1 维超引力理论，但是我们相信上述5 种超弦理论以 及1 1 维超引力理论同属于这个更为基本的理论而分别对应它的不同近似( 如图 1 1 所示) 。 2 d = 1 1s u g r a s d u a l 图1 15 种超弦理论以及1 1 维超引力同属于m 理论。 第1 章绪论 相对于1 维的基本弦，5 种超弦理论以及m 理论均含有一些高维的延展体 一一膜，我们将拥有p 个空间延展维度的膜记为p 一膜。m 理论中存在着两种膜， 即m 2 膜和m 5 一膜。不同的超弦理论中也存在着一些不同的膜，其中i 型超弦理 论和型超弦理论中存在一类由基本弦的d i r i c h l e t 边界条件所定义的膜，我们 称之为d 膜1 ，而且h a 型超弦理论只含有偶数p 的d 。膜而i i b 型超弦理论则 只含有奇数p 的d d 一膜。一个理论中的膜可以通过对偶变换变到另一个理论中的 膜；经过一系列恰当的对偶变换，任何一种膜都可以变到另一种膜，这其中也 包括弦本身。比方说，h a 型超弦理论中的d 一膜与i i b 型超弦理论中的d 一膜就 可通过t 对偶互相转换。 膜对研究超弦理论及m 理论的非微扰性质来说很重要，本文我们将研究膜 之间的相互作用及相关动力学问题。 1 d 膜中的d 便是指d i r i c h l e h 3 第2 章膜 第2 章膜 本章我们先介绍p 膜的n a m b u g o t o 作用，再简要介绍d 一膜的一些性质及 其描述，特别是d 膜的边界态描述和超引力描述，它们是本文的研究基础。 2 1 p 一膜 正如我们在绪论中所述，p 一膜是指空间中p 维的延展体，它的世界体 ( w o r l d v o l u m e ) 有p + 1 维。本节我们将介绍描述p 。膜在时空中自由运动的 n a m b u g o t o 作用量。我们先从自由运动点粒子的作用量出发，得到自由运动弦 的n a m b u g o t o 作用量，进而推广到p 膜1 。实际上，0 维的点粒子和1 维的弦 可分别看作0 膜和1 膜。 我们先看看点粒子。研究一个质量为仇的相对论性点粒子在d 维弯曲时 空中的运动可通过最小作用量原理( m i n i m a la c t i o np r i n c i p l e ) 转化为一个对作 用量求变分的问题。该点粒子的作用量应正比于其运动轨迹x p ( 也称世界线 ( w o r l d 1 i n e ) ) 的不变线长，即( 取危= c = 1 ) s o = 一q d s ， ( 2 1 ) 其中a 是具有质量量纲的常数，d s 是世界线的线元且可表示为 d s = 、_ g z p ( x ) d x p d x ”。 ( 2 2 ) 如图2 1 所示，点粒子的经典运动轨迹对应固定端点下连接两端点的所有世界 线中具有最小线长的世界线。常数q 可通过对作用量( 2 1 ) 取非相对论极限得 到，如下： 岛= 一q 一= 一q d t v 1 - d 伊一q 出( 1 一三俨+ ) ，c 2 3 ， 其中表示高阶项，将上式与我们熟知的非相对论点粒子的作用量比较便可 得知o t = m 。引入一个标记世界线的实参数1 - ，这样粒子的世界线便可记为 x u ( t ) ，由此我们便可将作用量( 2 1 ) 完整地写为2 s o = 一m 打、一g z v ( x ) x p x p ， ( 2 4 ) 其中。表示对7 - 的微商。 1 本节参考文献1 3 l o 2 点粒子的作用量并不依赖于参数7 的选取 5 第2 章膜 x 蜀 图2 1 点粒子的经典运动轨迹对应最小线长的世界线。 点粒子的作用量( 2 4 ) 可以推广至弦的情形。如图2 2 所示，我们知道 弦在时空中扫出一个2 维的世界面( w o r l d s h e e t ) 。引入标记世界面的两参数 口o = 丁和口1 = 盯，其中7 为类时坐标、盯为类空坐标，这样我们可写出如下的 作用量形式： ，l s l = 一d a ， ( 2 5 ) ， 其中乃是弦的张力，d a 是世界面的面元且可表示为 d a = v - d e t g 卵d t d a ， ( 2 6 ) 而g a 8 则为世界面上的诱导度规，即 g 口多= 一纵p ( x ) 以x “如x p ( 口、卢= 0 、1 ) 。( 2 7 ) 我们称作用量( 2 5 ) 为弦的n a m b u g o t o 作用量。由于d a 具有长度的平方量 纲，因此弦的张力的量纲为 t o 】= 长度= 质量长度。 有了上述弦的n a m b u g o t o 作用量，我们就可以很容易得到p 膜的n a m b u g o t o 作用量。p 一膜在d 维时空( p p 、a p 时，r t - 以x i ( 取2 7 r a 7 = 1 ) 。 要得到描述张重合d 膜的作用量则需对( 2 1 7 ) 式作适当的修改【9 1 。此 时，对每一对d 膜 m ，托) 6 而言，都会有一组非阿贝尔的无质量场( a q ) 三、 ( x ) ：与连接在第m 张d 膜和第n 张d 一膜之间的开弦相关联。我们将这些场 视为矩阵，则多张d 膜的d b i 作用量可写为 s n 厂蕊厕。 ( 2 2 0 ) 上述作用量即为非阿贝尔d b i 作用量，其中t r 指对规范指标求迹( t r a c e ) 。为 给出非阿贝尔d b i 作用量的严格定义，我们必须解决( 2 2 0 ) 式运算中的编序 问题。由于与d 膜位置相关的时空坐标x 已成矩阵，因此计算g 弘矿、b “。的 p u l l b a c k 时同样需要考虑编序问题。虽然此问题有些进展，但到目前为止我们仍 未找到一个适用于任意阶的非阿贝尔d b i 作用量的自洽定义。不过对背景时空 平坦的情形，非阿贝尔d b i 在低能下的形式相对比较简单。从前面的介绍可知， 如果我们对单张d p 膜情形取某种近似将会得到p + 1 维的u ( 1 ) 超y a n g m i l l s 理论；同样地，如果对多张d 口，膜也取同样的近似，我们将得到p + 1 维非阿 贝尔的u ( n ) 超y a n g m i l l s 理论，其作用量对应1 0 维u ( s ) 超y a n g m i l l s 作用 量7 约化到p + l 维时的形式【9 1 。在维度约化中，当q 、卢p 时r 口为世界体 上的u ( n ) 规范场的场强，当i p 、o t p 时以t 寸瓯x ，这两部分与前面单 张d 膜情形类似，只是此时a a 、x 、r 口及以t 均为n n 矩阵；除此之外， 我们还多了虱歹 p 的情形，此时有_ 一i i ，x j 】。 2 2 3d 一膜间的联系 d 一膜系统有一个重要的性质就是我们可以从已知的固定维度的一个或者多 个d 膜中构造出更低维或者更高维的d 膜。这有很多种方法实现，比如说通过 t - 对偶。本小节我们将通过背景场以及一些非对易关系来构造新维度的d 膜。 我们先来构造低维膜【1 0 ，1 1 1 。考虑d 膜作用量( 2 1 7 ) 中的c h e m s i m o n s 作 用量( 2 1 6 ) ，对于单张d 口膜，该项可简单地写成如下形式： ， s ce f + b ， ( 2 2 1 ) ，+ 1 其中c = 七g 表示对所有可能的七一形式r r 势瓯形式上的求和。在上述积 分中，对每一个具体g ，( 2 2 1 ) 式的非零贡献对应指数展开至+ 1 一k ) 2 1 0 6 指标m 、r i 为c h a r t p a t o n 指标。 7 1 0 维u ( n ) 超y a n g 。m i l l s 作用量与作用量( 2 1 9 ) 类似，只是多了一整体求迹运算 第2 章膜 阶。比如说，对于单个d d 一膜有如下的耦合形式： q 一1af 。 ( 2 2 2 ) ，e p + l 上式意味着d p 一膜上的u ( 1 ) 规范场与r r 势q 一1 耦合。我们知道c ；一1 对应 d p 一2 一膜，因此我们认为d p 一膜上的磁场等效为涂抹在d p - 膜上的d p 一2 一膜。 上述结论可以推广至多张d 一膜系统而只需对( 2 2 1 ) 式右边取迹。比如说， 对于张紧致的d 口膜，存在正比于 n f c 2 2 3 ， 的荷，该荷是量子化的且表示d p 一膜上d p 一2 - 膜的数目。类似地， nf af ( 2 2 4 ) 表示d p - 膜上d p 一4 一膜的数目。而更一般的情形是 nf 七 ( 2 2 5 ) j 表示d p - 膜上d p 一2 k 一膜的数目。 这样我们就通过多张d p 膜上的场强r 卢构造出了低维d 一膜。而高维d 一 膜则不同，它们是通过多张d 口膜系统中具有矩阵形式的标量场x i 的对易 子构造。正如去f 表征d p 一2 一膜的荷一样，矩阵2 7 r i x i , x 】则表征d p + 2 一膜的 荷【5 - 1 2 , 1 3 。注意，该荷指的是局域荷密度，对一个有限膜构型来说其净荷为零。 2 3d 膜的边界态描述 对于型超弦理论中的b p sd 膜，我们可从开弦角度将其视为开弦的端点 所搭载的超曲面；而从闭弦角度，我们则可构造一个满足一定边界条件且b r s t 不变的边界态i b ) 来描述它f j 6 , 1 4 - - 1 6 。本节我们便来介绍d 一膜的边界态描述。 d 一膜的边界态描述分为n s n s 分支和r r 分支两部分，而每一分支中满足 边界条件的边界态又可能有两种，我们记为l b ，叼) 且r = 4 - 8 ；经g s o 投影后， n s n s 分支和r r 分支的边界态分别为 l b ) n 8 = 三 i b ，+ ) n s i b , - ) n s ，i b ) r = 丢 1 b ，+ ) r + i b ，一) r 。( 2 2 6 ) i b ，7 7 ) 又可写为物质部分和鬼部分( 包括超鬼) 的乘积，即 l b ，町) = - i b m b t ，叩) l b g ，野， ( 2 2 7 ) 8 此处叩不同于l o r e n t z 度规钆。，注意区分 1 1 第2 章膜 其中 归一化因子9 b 。a t ，7 7 ) = i b x ) l b e ，7 7 ) ，i b g ，叩) = l b g h ) i b s g h ，叼) ； ( 2 2 8 ) 勺= 而( 2 丌q 3 _ ，。 ( 2 2 9 ) 我们前面提到这些边界态应该满足一定的边界条件，通过求解这些边界条 件便可得到边界态的表达式。我们将处在y 处的d p - 膜的边界条件列如此1 0 ： ( q n + s a 一。) l b x ) = 0 ( 礼o ) 且矿i b x ) = ( 扩一y ) l b x ) = 0 ( 物质场x p ) ， ( 妒。一i t ? s 移一。) i 嘞，7 7 ) = 0 ( k b - n ) l b , h ) = 0 且( + e - ) l b g h ) = 0 ( 展+ i n d t ) l 展g h ) = 0 且( m + i 斫一t ) i 民h ) = 0 其中s 矩阵为 s = ( 叼口卢，一如) 。 ( 物质场咖p ) ， ( 鬼场b 、c ) ， ( 超鬼场卢、7 ) ，( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 上述边界条件中场的下标t 在n s 分支中取半整数、在r 分支中取整数。如果 d 膜上带有f l u xf1 1 ，除s 矩阵变化外上述边界条件的表达式均不变；我们定 义户三2 7 r a f ，则此时s 矩阵为 s = ( ( 叼一户) ( 叼+ 户) 一1 n 卢，一如) 。 c 2 3 5 ， 9 该因子可从圆盘( d i s k ) 中发射闭弦所对应振幅的因子化中得到1 4 a 7 1 1 0 我们以l b x ) 所满足的边界条件为例作一简要说明。我们知道从开弦的角度看，如果假设搭在d p 一膜 上的开弦端点为仃= 0 ，则该端点所满足的边界条件为 以x 。l ，；0 x f ，：0 0 ( q = 0 、1 、p ) 矿( i = p + 1 、9 ) ( n e u m a n n 边界条件) 。 ( d i d c h l e t 边界条件) 。 我们对上述边界条件作t - 对偶( 转至闭弦角度) 便得到1 = 0 处边界态i b x ) 所满足的边界条件，如下： o , x n i ，= o i b x ) =0( 口= o 、1 、p ) ， 一l ，：o l b x ) = y ( f = p - f1 、9 ) 接下来我们将x p 的闭弦振子展开式代入上式，得 ( 口：+ 口! 。) l s x ) = 0 且( 口二一o l 。) i b x ) = 0 ( n 0 ) ， 庐。i b x ) = ( 矿一y i ) l s x ) = 0 ( 2 3 2 ) 这样在我们所定义的s 矩阵( 2 3 4 ) 式下，上式便可写成( 2 3 3 ) 式中i b x ) 所满足的边界条件。 n 本文中所述d 膜上带有的f l u x 均指d 一膜世界体上的f l u x 1 2 第2 章膜 但无论d 一膜上是否带有f l u x ，边界态的结构都是一样的b 6 】，其中物质场部分为 b x ) 唧睡b 跚一呐， i 风，7 ) n s = 一ie x p i t 妒_ r s 移一r ii o ) ， l 吼，叩) r = 一e x p f i 叩妒- m s 移一mi i b ，叼) 乳 ( 2 - 3 6 ) 而鬼场及超鬼场部分为 一p壹乙山。一n(半)ig_1)|纠)，n=l lj 、， i 展g i l ，? 7 ) n s = e x p i i 7 7 7 - ，良，一卢一，礼，) li 尸= - 1 ) l p = 一1 ) ， i b s g h , r ，r = e x p 瞧( 枷一k 礼小p m i p ：一 i 户：一百3 ) 。 ( 2 3 7 ) 注意，我们这里将超鬼场的n s n s 分支选在( - 1 ，- 1 ) p i c t u r e 中，而将r r 分支选在( - i 2 ，一3 2 ) p i c t u r e 中。加上f l u x 后，鬼场和超鬼场部分不受影 响，这个从( 2 3 7 ) 式中也很容易看出来；改变的量除了s 矩阵以外，还有物 质场x j , 的零模部分l 取) ( o ) 以及物质场的r r 分支的零模部分i s ，7 7 ) 箸) 。在 考虑f l u x 后，可将这两部分写出如下的形式： i b x ) c o ) = - d e t ( v + 户) 6 ( 9 一曲( 矿一矿) ni 七p = o ) ， i b ，7 7 ) 等= ，a ，4 c z 日) i a i b ) ， ( 2 3 8 ) 其中 m 三( 硝n 卵筹u ) 亿3 9 ， i a ) i 3 ) 表示r r 分支的旋量真空，c 表示电荷共轭矩阵，u 矩阵则定义为 u 三z 1 d 磊；e x p ( 毛w 中) ； ( 2 4 。) e t ( r f 、一 + ) 且“；”表示在指数展开中对r 一矩阵的指标取反对称化。对于无f l u x 情形， 我们只需在( 2 3 8 ) 及( 2 4 0 ) 式中取户= 0 即可，很明显有u ：1 。 上述边界态的共轭边界态形式- - i 参考文献【6 】，我们在此不再一一列出。在 下一章的3 1 节中我们将利用d 膜的边界态计算d 一膜之间的相互作用。 第2 章 膜 2 4d 一膜的超引力描述 我们在2 2 1 小节中提到人们在研究超引力的过程中发现了作为经典解的 d 一膜 7 1 。我们知道型超弦理论中除b p sd 膜之外，还存在破缺所有时空超对 称的非超对称d 膜系统( 如正反d 膜对) 。本节我们将分别介绍b p sd 膜以及 非超对称d 一膜的超引力解。 2 4 1b p sd 膜的超引力解 本小节我们从超引力角度来求解b p sd 膜，它们是类似孤子的经典解 7 1 。 我们在求解超引力d 一膜解时只需考虑带某一种r r 荷的解，这样我们将 型超引力的作用量写成如下的形式( e i n s t e i n 框架) ： & r = 虿1f 严z 厅( r 一丢( 荆2 一互1 c a 毒障，) ， ( 2 4 1 ) 其中a = ( p 一3 ) 2 。我们取如下的度规形式： d s 2 = e 2 a c r ) ( d r 2 + r 2 d q ；一p ) + e 2 b ( r ) ( - d t 2 + ( d ) 2 ) ， f 8 一p = q v o l ( n 8 一p ) 。 ( 2 4 2 ) 在上述度规假设下，对应的超引力解具有i s o ( p ，1 ) s o ( 9 一p ) 对称性并带有 ( 8 一p ) 形式r r 场强的磁荷。分析时空的超对称性质知当a ( r ) 和b ( r ) 满足 ( p + t ) b ( r ) + ( 7 一p ) a ( r ) = o ( 2 4 3 ) 时，所得超引力解满足b p s 条件且保持一半的时空超对称。利用条件( 2 4 3 ) 式求解运动方程得( e i n s t e i n 框架) d s 2 = 曰一字( 一d t 2 + ( 拟) 2 ) + 曰牛( d r 2 + r 2 d q ；一p ) ， e 2 = 曰， f 8 呻= q v o l ( f t s _ p ) ， ( 2 4 4 ) 其中h a r m o n i c 函数疗和荷参数q 分别为 疗：l + 笔， q ：土( 7 一p ) 舻_ p ) ， ( 2 4 5 ) 且“+ ”对应d 一膜、“一”对应反d 一膜1 2 。 解( 2 4 4 ) 是带磁荷的b p sd p - 膜( 0 p 叫处才有定义；而且无须像b p sd 一膜一样要求荷非零， 非超对称d 一膜的荷可为零也可不为零1 3 。 当参数取特定的值时，非超对称d 膜解可退化为b p sd 膜解。设 w 7 一p = e d 7 _ p ， 其中e - - - 0 而国为某个固定值。此时 ( 2 5 6 ) f _ 1 + ( ( q + p ) c 。s h 2 曰+ ( q p ) 】两茁i t - p e 。( 2 5 7 ) 当取c o s h2 0 = l e ( a + p ) 时，可知 f 寸1 + 两t 乃7 - - p 。 ( 2 5 8 ) 可见此时f 退化为b p sd 一膜解中的h a r m o n i c 函数疗，又因h 1 鼠_ 1 ，这样非 超对称d 一膜便退化为了b p sd 膜。 1 3 对非超对称d 膜解而言，当p = 0 因而q = o 时，解仅由两个参数占和u 描述，我们可以将其解释 为重合的相等数目的正反d 一膜：对于q 0 情形，我们则可以将其解释为重合的不等数目的正反d 膜 我们知道由于超对称的原因。平行放置的b p sd 膜之间相互作用力为零，但这个结论对非超对称d 一膜来 说不成立 1 6 第3 章 膜的相互作用 第3 章膜的相互作用 通常我们有3 种方法计算两堆平行放置的膜之间的相互作用：1 ) 弦论计 算【4 8 】；2 ) 探针膜( b r a n ep r o b e ) 法【7 1 9 】；3 ) 有效场论法6 2 0 。每种方法都有 其各自的适用性和优缺点。 弦论计算 顾名思义，此法所研究的系统必须有相应的弦论描述，因此此法在研究 d 膜之间的相互作用时广泛运用。对d 膜而言，最低阶的相互作用是一 个柱面图，它既可以看作是开弦的单圈图也可以看作是闭弦的树图。此法 对d 膜可以作弦层次上的微扰计算，其适用性要求弦耦合常数较小。 探针膜计算 在源膜( b r a n es o u r c e ) 产生的背景下的探针膜所受的作用可以通过分析该 膜在源膜产生的场中的势能得到。显然，此法要求探针膜不能改变源膜所 产生的背景，也就是说探针膜的膜数要远比源膜的膜数小。此外我们还需 知道源膜的具体构型。 有效场论计算 此法需知道全域( b u l k ) 和世界体上的有效作用量。通过这些作用量，我 们可以得知每一个全域无质量模的传播子以及它们与膜之间的耦合，从而 便可计算出膜之间的相互作用势能。一般情况下此法给出的是长程相互作 用。特别地，对于一些相互作用中只含有无质量模的系统，譬如d o d 8 系 统，此法的适用范围也可扩展至弦层次上。 需指出的是，后两种方法只需知道全域和世界体上的低能有效作用量便 可，譬如m 理论中的m 2 一膜和m 5 膜，我们都可以作相应的计算。特别是对横 向m 5 一膜而言，有效场论计算是目前唯一可用的方法。另外，有效场论计算不 要求两组膜的数目悬殊，也不要求知道膜的具体构型。一般说来，相对于前两 种方法，有效场论法需要的信息最少。因而也最经济。 本章我们将分别用弦论和有效场论法来研究膜之间的相互作用。 3 1弦论计算 本章开始我们介绍d 膜之间的相互作用既可从开弦的角度计算也可从闭弦 的角度计算，这源于弦世界面上的对偶性：如图3 1 所示，从一张d 膜传播到 1 7 第3 章 膜的相互作用 另一张d 膜的闭弦的树图等价于端点搭在这两张d 一膜上的开弦的单圈图。 图3 1 两d 一膜之间交换一根闭弦等价于搭在两膜之间的开弦的单圈图。 本节我们将从闭弦的角度并利用2 3 节介绍的d 一膜边界态来计算d o 一膜与 d 8 膜之间的相互作用以及给d 8 膜带上常电f l u x 或磁f l u x 后的情形 2 l 】。我们将 在下面的讨论中澄述如下几个问题：d o d 8 系统的发散问题以及对该系统解释 的改进；d 8 膜带电f l u x 后r r 分支中费米零模1 的正规化方案；d 8 膜上加入一 个或多个f l u x 也不能改变它不能作为独立物体存在的特性，特别地，非阈值束 缚态( f ，d 8 ) 和( d 6 ，d 8 ) 也像d 8 膜一样不能独立存在。 3 1 1 d o 一膜与d 8 - 膜之间的相互作用及其发散问题 我们先对d 8 膜的性质作一简单介绍。相对于其它d 口膜而言，d 8 膜较为 特别：类似于4 维时空下的平面源，作为一个余维( c o d i m e n s i o n ) 为l 的延展 体，它的r r 势并不随距离的增大而减小。因此我们相信d 8 膜不能作为一 个独立物体存在而必须跟定向迹形面( o r i e n t i f o l dp l a n e ) 联系在一起【2 】。d 8 膜 的这种特性部分地展示在它与d o 膜之间的相互作用中，比方说，从闭弦的角 度看，分别从n s n s 分支和r r 分支得到的柱形相互作用能量均是发散的。 d o 一膜与d 8 膜之间的相互作用在很多文章中已经讨论过，不过这些讨论往往忽 略了这个细节，在本小节中我们将重新研究d o 膜与d 8 膜之间的相互作用，并 对以前的解释作一些改进。 d o d 8 系统像n d = 4 系统2 一样保持了1 4 的时空超对称。对于n d = 4 系统，两d - 膜之间的零相互作用来源于n s n s 分支和r r 分支的贡献各自为 1 文中费米零模指的是物质场妒pr r 分支的零模部分，参见( 2 3 8 ) 式 2 对于一根两端分别搭在d p 一膜和d p , - 膜( 假设p p ，) 之间的开弦，其端点处坐标或满足n e u m a n n ( n ) 边界条件或满足d i r i c h l e t ( d ) 边界条件。我们记两端端点均满足n 边界条件的坐标数目为n n ，两 端端点均满足