（应用数学专业论文）某些非线性发展系统的低正则问题.pdf

摘要 本文研究了半线性波动方程和k l e i n g o r d o n s e h r o d i n g e r 耦合组的c a u c h y 问题的适定性，同时我们考察了d a v e y s t e w a r t s o n 系统在初值的正则性低于 能量范数意义下的整体适定性。 对半线性波动方程，我们讨论了其c a u c l f f 问题的局部适定性和不适定性 问题，同时给出了s t r i c h a r t z 不等式在高维情形不能得到最优结果的原因， 即在低维情形九= 2 ，3s t r i c h a r t z 不等式能给出非线性问题的全部信息；而在 高维情形，s t r i c h a r t z 不等式不能提供全部信息，即其只对具有相近频率的 非线性相互作用能给出精确描述，而对高频和低频的非线性相互作用不能 给出较好描述。 关于k l e i n - g o r d o n s c h r o d i n g e r 耦合组的c a u c h y 问题，我们证明了初值 ( o ， o ，v 1 ) 日8 h 3 一 h 3 2 ( 5 o ) 的局部适定性。我们用了类似b o u r g a i n 引进，k e n i g ，p o n c e 和v e g a 改进的空 间和非线性估计。 最后讨论了d a v e y s t e w a r t s o n 系统的c a u c h y 问题，我们在b o u r g a i n 空间 中得到了初值正则性低于能量范数意义下时的整体适定性。在此，我们没 有要求初值具有有限能量。我们用了改进的s t r i c h a r t z 估计和分频技巧。 关键词：低正则适定性s t r i c h a r t z 估计发展系统b o u r g a i t 。型空间 a b s t r a c t w e s t , u d yl o c a lw e l l p o s e d n e s so fi n i t i a lv a l u ep t o b l e ma s s o c i a t e dt os e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o na n dc o u p l e dk l e i n - g o r d o n - s c h r o d i n g e rs y s t e m s w ea l s o c o n s i d e rt h e d a v e y ，s t e w a r t s o ns y s t e m sa n d o b t a i nt h eg l o b a lw e l l p o s e d n e s s h e l o we n e r g yn o r i nr e g a r d i n gt h i ss y s t e m f o rt h es e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n s w ed i s c u s st h el o c 越w e l l - p o s e d n e s sa n d i l l - p o s e d n e s si s s u e ，a n da l s og i v e a l l e x p l a n a t i o n t ot h a tw h yi fo n eu s e s t r i c h a r t z si n e q u a l i t yo n l y , o n ec a nn o to b t a i nt h es h a r pr e s u l t s t h er e a s o n i sa sf o l l o w s ，i nl o wd i m e n s i o nn = 2 3t i ms t r i c h a r t ze s t i m a t e sp r o v i d ea c o m p l e t es e to fr e s u l t sf o rt h en o n l i n e a re q u a t i o n f o rn 4 ，h o w e v e r ，t h e s t r i c h a r t ze s t i m a t e sn ol o n g e rp r o v i d ea l lt h er e s u l t st h ew o r s tn o n l i n e a r i n t e r a c t i o ni nn o n l i n e a rt e r mo c c u r sf o rw a v ep a c k e t sw h i c ht r a v e li nt h e s a m ed i r e c t i o n0 l l ec a nu s et h es t r i c h a r t ze s t i m a t e st oa c c u r a t e l yd e s c r i b e t h ei n t e r a c t i o no fs a m ef r e q u e n c yw a v ep a c k e t s b u ti nt h ei n t e r a c t i o no f t w ow a v ep a c k e t sa td i f f e r e n tf r e q u e n c i e s ，t h et o wf r e q u e n c yp a c k e ti sm o r e s p r e a d ，a n do n l yas m a l lp m t i o no fi tw i l li n t e r a ，c tw i t ht h eh i g hf r e q u e n c y p a c k e t h o w e v e r 、u n l i k ei nl o wd i m e n s i o n t h es t r i c h a r t ze s t i m a t e sd on o t p r o v i d es h a r pb o u n d sf o rt h i ss m a l l e rp a r to faw a v ep a c k e t f o rt i l ec o u p l e dk l e i n - g o r d o n s c h r 6 d i n g e r s y s t e m ，i ti ss h o w nl o c a l l yw e l l p o s e df o rw e a ki n i t i a ld a t a ( “o ，v 0 ，v 1 ) h 3 h 州2xh 5 3 2w i t hs 0w e n s et h ea n a l o g o u sm e t h o df o re s t i m a t et h en o n l i n e a r c o u p l et e r m sd e v e l o p e d b yb o u r g a i na n dr e f i n e db yk e n i g ，p o n c ea n dv e g a f o rd a v e y s t e w a r t s o ns y s t e m s ，w ep r o v eg l o b a lw e l l p o s e d n e s sr e s u l t sf o r t h ed a v e y s t e w a r t s o ns y s t e m sb yw o r k i n gi n b o u r g a i n st y p es p a c ew i t h r o u g hd a t a ，a n dt h em e t h o d sd o e sn o tr e q u i r et h a tt h ei n i t i a ld a t ah a v e f i n i t ee n e r g yt h e p r o o fu s e sag e n e r a l i z e de s t i m a t e so fs t r i c h a r t zt y p ea n d b o u r g a i n si d e at os p l i tt h ed a t ai n t ol o wa n dh i g hf r e q u e n c yp a r t s k e y w o r d s l o w r e g u l a r i t yw e l l p o s e d n e s ss t r i c h a r t ze s t i m a t e se v o l u t i o n s y s t e m sb o u r g a i n ss p a c e 1 c h a p t e r 1 b a c k g r o u n d t h ep u r p o s eo ft h i st h e s mi st od i s c u s st h ew e l l - p o s e d n e s sf o rs o m ed i s p e r s i v ee v o l u t i o n e q u a t i o n sw i t hl o wr e g u l a r i t y h e r et h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o ra ne v o l u t i o n a r ys y s t e m o fe q u a t i o n si ss a i dt ob ew e l l - p o s e dr e l a t i v et oab a n a c h ，f u n c t i o n a l ，s p a c ex i f , f o ra n y d a t ai nx ，t h e r ee x i s tu n i q u e l yd e f i n e dl o c a lo rg l o b a li nt i m es o l u t i o n sb e l o n g i n gt ox f o rt 0 ，a n dd e p e n d i n g c o n t i n u o u s l yo nt h ed a t a t h ep r o b l e m i ss a i dt ob es t r o n gw e l l p o s e di ft h ed e p e n d e n c eo nt h ed a t ai sa n a l y t i ca n dw e a k l yw e l lp o s e di ft h ed e p e n d e n c ei s m e r e l yc o n t i n u o u so rd i f f e r e n t i a b l e i nt h i st h e s i sw er e s t r i c tt ot h ew e a k l yw e l l p o s e d n e s s f o ra l a r g ea m o u n to fe v o l u t i o ns y s t e mo fe q u a t i o n s ，t h e r ei san a t u r a l ，a p p a r e n t l yu n i q u e ， c h o i c ef o rx ，l o c a l l y , i th a st oc o i n c i d ew i t ht h es o b o l e v s p a c eh 8 ( 酽) t h i si sd u e t ot h e f a c tt h a t 2 - n o r m sa r en o tp r e s e r v e db yt h el i n e a re v o l u t i o ni nd i m e n s i o nn 1 i ti sn o td i f f i c u l tt o p r o v et h a tt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o r a ne v o l u t i o n a r ys y s t e mo f e q u a t i o n sa r el o c a l l yw e l lp o s e di n 日。f o rl a r g es t h e s er e s u l t sw e r ep r o v e du s i n gj u s t t h ee n e r g yi n e q u a l i t ya n ds o b o l e v si m b e d d i n gt h e o r e m t h ei n t e r e s t i n g q u e s t i o ni sw h a t h a p p e n sw h e nsi ss m a l l o n er e a s o ni st h a tm a n ye q u a t i o n sf r o mp h y s i c sc a nb ew r i t t e n a ss o m ed i s p e r s i v ee q u a t i o n sw i t hac o n s e r v e dn o r m s i fo n ec a j l p r o v el o c a le x i s t e n c e a n du n i q u e n e s sa s s u m i n go n l yt h ec o n s e r v e dn o r mo fi n i t i a ld a t ai sb o u n d e dt h e ng l o b a l 1 l o w r e g u l a r i t yf o rs o m e n o n n n e a re v o l u t i o ns y s t e m s 2 e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o l l o w t h e r e f o r ei t i si n t e r e s t i n gt of i n dt h em i n i m a la m o u n to f r e g u l a r i t yo ft h ei n i t i a ld a t an e e d e dt oe n s u r el o c a le x i s t e n c ef o rt h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n s h o w e v e r ，t h ec l a s s i c a ll o c a le x i s t e n c et h e o r e m sf o rn o n l i n e a rd i s p e r s i v ee q u a t i o n sa r er i o t s h a r p t h eq u e s t i o ni st h a th o w t of i n dt h em i n i m a la m o u n to fr e g u l a r i t yo ft h ei n i t i a ld a t a t a k i n gi n t oa c c o u n tt h es c a l i n gp r o p e r t i e so fs o m ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ，o n ei n d i c a t i o n i nt h br e g a r di s g i v e nb ys c a l i n g a tl e a s ti nt h ec a s ew h e nn o n l i n e a rt e r mh a ss o r t i e h o m o g e n e i t y ，f o ri n s t a n c ei fw ec o n s i d e rt h ew a v ee q u a t i o n “一a u = “9 ，o n el o o k sf o r a ni n d e xos ot h a ta l lt r a n s f o r m a t i o n so ft h ef o r m “( z ，t ) a 。u ( a z ，a t ) ，a 0l e a v et h e e q u a t i o nu n c h a n g e d c o r r e s p o n d i n g l y o n ef i n d sa ni n d e x 8 02 一o s ot h a tt h en o r mo ft h e i n i t i a ld a t ai nt h eh o m o g e n e o u ss o b o l e v s p a c e si sp r e s e r v e db yt h ea b o v et r a n s f o r m a t i o n s b e l o ws c a l i n gas m a l ld a t as m a l lt i m er e s u l tr a s c a l si n t oal a r g ed a t al a r g et i m er e s u l t h e u r i s t i c a l l yo n ec o n c l u d e st h a tl o c a lw e l l p o s e d n e s ss h o u l dn o th o l d s t i l l ，t ot h ea u t h o r s k n o w l e d g et h e r ei sn op r o o fo ft h i sy e t r e c e n t l yt h ec l a s s i c a ll o c a le x i s t e n c et h e o r e m sw e r ei m p r o v e du s i n gs p a c e - t i m ee s t i m a t e s f o rf o u r i e ri n t e g r a lo p e r a t o rk n o w na ss t r i c h a r t z e s t i m a t e s ，a n dg e n e r a l i z a t i o n so ft h e s e t h e r ea r em a n yr e c e n tr e s u l t si nt h i sf i e l d ，f o re x a m p l ew o r kb yk l a i n e r m a n m a c h e d o n 1 】1 l i n d b l a d - s o g g e 1 ，g r i l l a k i s 5 7 ，p o n c e - s i d e r i s 【6 】，k a p i t a n s k i 【5 s ，t a r t a r u 【1 3 】， b o u r g a i nf 3 0 ，3 1j ，k e n i g - p o n c e - v e g af 3 5 3 7 】 i nc h a p t e r2w es t u d yt h el o c a lw e l l p o s e d n e s sa n di l l - p o s e d n e s sf o rt h ec a u c h yp r o b l e m t ot h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n s “一u x 。= 2 ， t ( 0 ，茁) = t 0 ( z ) ，u f ( 0 ，石) = u l ( x ) i no n e d i m e n s i o n ，a n ds h o wt h a ti fs c s 0t h e r ee x i s tas o l u t i 。nuo f ( 1 1 ) - ( 1 2 ) a n dt r + s u c h t h a t m o ) i i h ， e ， 毗( 0 ) = 0 0 0 t h es 。l u t i 。nm a p ( “( 0 ) ，毗( o ) ) 一( u ( t ) ，毗( ) ) f o r h 。c 8 “c h y p r o b l e m ( 1 ，1 ) ( 1 2 ) f a i l st ob ec o n t i n u o u sa tt = 0 i nt h eh 8 h “t o p o l o g y f o rs o ， t h es o l u t i o no d e r a t o rf a i l st ob ec o n t i n u o u si nh 8a t0 s ow e c a ns e et h a tt h es c a l i n gi s n o te n o u g ht oi n d i c a t et h er e g u l a r i t yo fi n i t i a ld a t at oe n s u r et h el o c a le x i s t e n c ef o rt h e d i s p e r s i v ee q u a t i o n s i nc h a p t e r3w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e mt ot h ee q u a t i o n s u “一a u = f ( u ，d u ) ， t ( 0 ，z ) = ，( 。) 日5 ，o , u ( o ，。) = g ( z ) h 8 1 ， w h e r efi sq u a d r a t mi nd uw i t hd = ( a ，巩l - 一，玩。) w ef i r s t e x p l a i nw h yt h et e c h n i q u e so fh a r m o n i c sa n a l y s i s w e r ee s s e n t i a li ni m p r o v i n g t h el o c a le x i s t e n c er e s u l t s ，b u tt h es t r i e h a r t ze s t i m a t e sa r en o tt h eb e s tp o s s i b l eg l o b a l e s t i m a t e ss i n c et h e yd on o tc a t c ht h er i g h td e c a y 粘t i m et e n d st oi n f i n i t y i ft h ei n i t i a l d a t ah a sc o m p a c ts u p p o r t t h ew o r s tn o n l i n e a ri n t e r a c t i o no c c u r sf o rw a v ep a c k e t sw h i c h l o w r e g u l a r i t yf o rs o m e n o n l i n e a re v o l u t i o ns y s t e m s 4 t r a e li nt h es a l ed i r e c t i o n o n ec a nu s et h es t r i c h a r t ze s t i m a t e st oa c c u r a t e l yd e s c r i b e t h ei n t e r a c t i o no fs a m ef r e q u e n c yw a v ep a c k e t s b u t i nt h ei n t e r a c t i o no ft w o w a v ep a c k e t s a td i f f e r e n tf r e q u e n c i e s ，t h el o wf r e q u e n c yp a c k e ti s m o r e s p r e a d ，a n do n l yas m a l lp o r t i o n o fi tw i l li n t e r a c tw i t ht h eh i g hf r e q u e n c yp a c k e t h o w e v e r ，u n l i k ei nl o wd i m e n s i o n ，t h e s t r i c h a r t ze s t i m a t e sd on o tp r o v i d es h a r pb o u n d sf o rt h i ss m a l l e rp a r to faw a v ep a c k e t i nt h i sc h a p t e r ，w ed on o ta i mt op r o v et h es h a r pr e s u l t sf o rst h a ts m “ ，t n + 5 i n d u c e db yk l a i n e r m a na n dt a t a r u ，a n dj u s tg i v eas i m p l ep r o o ft h a tt h er a n g eo fsi s s 字“ r e s p e c t i v e l y ，w i t hd i fn = 2 ，a n d 占 0 i fn = 3 ，a n dd 0i fn 4b yo n l yu s i n g s t r i c h a r t ze s t i m a t e sa n dt h er e f i n e m e n to ft h e s e + s oo u ra p p r o a c hi sm o r es i m p l e rt h a n t h o s eo ft h ep r e v i o u sw o r kt h i si st h em a i np u r p o s ef o ru st ow r i t ed o w nt h ep r e s e n t p r o o f i nc h a p t e r4w ec o n s i d e ra ni n t e r a c t i o ne q u a t i o n so ft h ec o m p l e xs c a l a rn u c l e o nf i e l da n d r e a ls c a l a rm e s o nf i e l di sc o n s i d e r e d w es h o wt h a tt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h ek l e i n g o r d o n - s c h r s d i n g e rs y s t e m o u t + u 嚣= 一u 口 v ”一# + 口= i 训2 u ( o ，z ) = u o ( z ) ， v ( o ，。) = v 0 ( x ) ，仇( o ，) = v l ( x ) i sl o c a l l yw e l l - p o s e df o rw e a ki n i t i a ld a t a ( 钍o ，v o ，秽1 ) h 5 日。一1 2 日。一3 2w i t hs 0 h e r ew ew o r ki nt h ew e i 曲ts o b o l e v s p a c ex 5 r ，t h ex 5 ，6s p a c eu s e dp r i m a r i l yf o rb i l i n e a r l o r e g j a r i t yf o rs o m e n o n l i n e a re v o l u t i o ns y s t e m s 5 e s t i m a t e s ，a l t h o u g hm o r er e c e n t l ym u l t i p l i n e a re s t i m a t e sb e g u nt oa p p e a r t h e s es p a c e s f i r s ta p p e a ri no n e d i m e n s i o ni nr a u c ha n dr e e d 【1 2 】a n di nh i g hd i m e n s i o n si nb e a l s 【 5 6 】i nt h ec o n t e x to fp r o p a g a t i o no fs i n g u l a r i t i e s ，t h e yw e r eu s e di m p l i c i t l yf o rl o c a lw e l l _ p o s e d n e s si nk l a i n e r m a na n dm a c h d e o n 【1 】，w h i l et h es c h r o d i n g e ra n dk d va n a l o g o u s w e r ed e v e l o p e di nb o u r g a i n 3 0 ，3 1 1 i nc h a p t e r5w ec o n s i d e rg l o b a lw e l l p o s e d n e s sb e l o we n e r g yn o r m s f o rt h ec a u e h yp r o b l e m f o rt h ed a v e y s t e w a v t s o ns y s t e m s i u e + a 让。+ p 魄g = 8 f 让j 2 u + 6 u 地 c 口h + = - d ( m 2 k w h e r ea ，灶，n ，6 ，c ，d a r er e mc o n s t a n t s ，b e i n ga ，b ，d p o s i t i v e t r a d i t i o n a l l y ，g l o b a l w e l l p o s e d n e s sa n dr e g u l a r i t yf o rt h ec a n c h yp r o b l e mf o rn o n l i n e a rd i s p e r s i v ee v o l u t i o ne q u a - t i o n sw i t hl a r g ed a t ah a so n l yb e e na c h i e v e dw h e n ( 1 ) t h e r ei sac o n s e r v e dh a m i l t a o n i a n w h i c hi se s s e n t i a l l yp o s i t i v ed e f i n i t e ，( 2 ) t h ed a t ah a sf i n i t ee n e r g y , a n d ( 3 ) t h ee n e r g y r e g u l a r i t yh 1i ss u b - c r i t i c a lo rc r i t i c a l r e c e n ta r g u m e n t so fb o u r g a i nh a v es h o w n h o wt o r e l a xc o n d i t i o n ( 2 ) a n do h t a i ng l o b a lw e l b p o s e d n e s sr e s u l t sf o rd a t aw h i c hh a sr e g u l a r i t y s o m e w h e r eb e t w e e ne n e r g ya n dc r i t i c a l ( s oi th a si n f i n i t ee n e r g y ) h i sa r g u m e n t sr e l yo n t h en o n l i n e a rp o r t i o no ft h ee q u a t i o nt ob es m m o t h e rt h a nt h el i n e a rp o r t i o n t h ep r o o f o ft h er e s u l t su s e sag e n e r a l i z e de s t i m a t e so fs t r i c h a r t zt y p ea n db o u r g a i n si d e at os p l i t t h ed a t ai n t ol o wa n d h i g hf r e q u e n c yp a r t s c h a p t e r 2 l oc a lr e g u l a r i t yf o rs e m i l i n e a rw a v e f e q u a t l o n s1 w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h es e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n 一= 札2a n ds h o w t h a tt h ep r o b l e mi sl o c a l l yw e l l - p o s e di n 铲( 兄“) f o r8 m a x 0 ，g 一1 ) ，a n di nd i m e n s i o n o p ew es h o wt h a tt h er e s u l t si ss h a r p s ow ee x t e n dt h er e s u l t sb yl i n d b l a di nr 3t or 2 a n dr i 2 1i n t r o d u c t i o n r e c e n t l y , s t a r t i n gw i t hk l a i n e r m a n - m a c h e d o n 【3 1 ，t h e r eh a sb e e nm u c hi n t e r e s ti nm i n i - m i z i n gt h er e g u l a r 姆a s s u m p t i o n sn e c e s s a r yt oe n s u r el o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o r s y s t e m so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s o t h e rm o r er e c e n tr e s u l t sa r eg i v e nb yp o n c e s i d e r i s ， z h o u y i ，h l i n d b l a d ，n b o u m a v e a s ，j b o u r g a i n1 1 , 2 ，6 ，7 ，8 o n em o t i v a t i o nf o rs t u d y i n gt h e s ep r o b l e m si st h a tm a n ye q u a t i o n si n p h y s i c sf s u c ha s t h ey a n g - m i l l se q u a t i o n ) h a v eac o n s e r v e de n e r g yn o r i n ，a n dh e n c el o c a le x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s si n t h i sn o r ma u t o m a t i c l l yg i v e sg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s a n o t h e r m o t i v a t i o ni st h a tt h e r ei sar e l a t i o nb e t w e e nn o n e x i s t e n c eo fal o c a ls o l u t i o nw i t hr o u g h 6 l o wr e g u l a r i t yf o rs o l l en o n l i n e a re v o l u t i o ns y s t e m s 7 d a t aa n df i n i t et i m eb l o w u po fas m o o t hs o l u t i o n ，w h i c hw a se x p l a i n e d i nl i n d b l a d sp a p e r 阱 i ti sw e l l k n o w nt h a to n eo ft h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h el o c a le x i s t e n c eo fs o l u t i o ni n s o b o l e vs p a c eh 3 ( 形) f o rt h ec a u e h yp r o b l e mt ot h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n s “一z x u = f ( u ，d u ) ( t 彤，x r 8 ) i ss ；+ 1k l a i n e r m a na n dm a c h e d o n 3 】p r o v e dt h a tt h ec a u c h yp r o b l e m t ot h ea b o v e e q u a t i o ni sl o c a l l yw e l l - p o s e di n 日2 ( 斧) f o ras y s t e m so fe q u a t i o n so ft h ea b o v ef o r m w i t hs p e c i a lft h a ts a t i s f i e st h es o - c a l l e d ”n u l l ”c o n d i t i o n ( s e e 【4 1 ) l a t e l y , k l a i n e r m a n - m a c h e d o n 【1 1 ，k l a i n e r m a n - s e l b e r g 2 e x t e n d e dt h ep r e v i o u s r e s u l t sf o ras p e c i a ln u l l f o r mq o ( 曲，币) = 一b a 妒+ 各1 鼠咖a 妒，t h e yp r o v e dt h ep r o b l e mi sl o c a l l yw e l l - p o s e di n 日3 ( 舻) ，w h e r es ；f o ra n o t h e rs p e c i a l l yn u l l f o r m0 n 口( 曲，1 】f i ) = 以西如妒一知妒以妒( o o l ；+ i 1 ，a n dt h e r e s u l t si nl + 2d i m e n s i o n si ss h a r p p o n c e - s i d e r i s 6 】s t u d i e dt h em i n i m a lr e g u l a r i t yo f t h r e e - d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t ht h en o n l i n e a r