（理论物理专业论文）弯曲时空中的场方程.pdf

大连理工大学硕士学位沦文 摘要 爱因斯坦的广义相对论预言了黑洞的存在，但由于黑洞的一些特性使得对它的探测 极为困难。人们在某些双星系中发现了致密天体，分析表明这些天体的质量远远超出了 广义相对论中任何一颗死亡恒星的质量极限，因而把它们确定为黑洞。如果黑洞本身有 辐射，而且我们能够通过某种手段观测得到，不仅能够说明黑洞的存在，还能对它的结 构有所了解。这样，我们可以假定黑洞时空中存在辐射场，对它的性质进行研究，从而 加深对黑洞的理解。 本文的主要内容是关于黑洞视界外部时空中的标量场，我们选择的黑洞时空在无穷 远处是渐近d es i 他r 时空。在论文的第一章，简单地介绍了黑洞的形成、视界的概念、 黑漏的热性质以及黑洞辐射和标量场辐射等基础知识。 在第二章中我们计算了在s c h w a r z s c h i l d d es i 他r 时空中对应不同的角频率“下的实 标量场方程。计算中使用了多项式拟合的方法来推导乌龟坐标x 和半径r 的关系。结果 显示场方程的曲线近似简偕波，并且曲线的波长和频率随着角频率。改变而改变。在这 一章中，我们还对反射、透射系数的计算方法进行了讨论。 第三章则介绍h i s a os u z u k ，e i i c h it a k a s u 西和h i r o s h iu m e t s u 在k e r r n e w m a n d e s i t t e r 时空中无质量场方程的解析解法。h i s a os u z u k 等通过一系列参量变换转化 t e u k 0 1 s k y 方程为h e u n 方程，而h e u n 方程是已知的数理方程，其解的形式是超几何函 数级数。他们的解析解法对我们寻求标量场方程的解析解有着重要的启发意义。 关键词：标置场；s c h w a r z s c h ii d d es i t t e r 时空；k e rr n e 帅a n d es i t t e r 时空 弯曲时空中的场方程 f i e l de q u a t i o ni nc u r v e ds p a c e t i m e a b s t r a c t b l a c kh 0 1 ei so n eo ft h ep r e d i c t i o n so fe i n s t e i i l sg e n e r a ir e l a t i v i t y b u tj ti sv e r yh a r dt o d e t e c tb e c a u s e 也ec h a m c t e r so fb l a c kh o l e s p e o p l ef o u n dc o m p a c to b j e c t si i ls o m eb i n a r y s y s t e i n s ，锄di d e m 硪e dt h e ma sb i a c kh o l e s b c c a u s ec a r e f i l la n a l y s i ss h o w e dt h a tt t l e - rm a s s e s a r e 亿rb e y o n da n y1 i m i ta c c e p t e df o rd e a ds t a r si ng e n e r a ir c l a t i v i t y i f b l a c kh o l e sh a v es o m e c h a r a c t 耐s t i cr a d i a t i o no u 招i d et h ee v e n th o r i z o n ，n l e nah i 曲p r e c i s i o nc a l lb ee x p e c t e dt o i d e n t i 什t h e ma n da l s ot ou n d e r s 协dt h e i ri n n b rs t 兀l c t l l r c t h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l va b o u tm es c a l a rf i e l d i nc u r v e db l a c kh o i es d a c e t i m e b a c k 舒o u n d sa s s u m e dt ob ea s y m p t o t i cd es i t t e rs p a c e “i n f i n i t y i nt h ef i r s tc h a p t e r s ， t h e c o n c c p t so fb l a c kh o l ea n dt h ee v e n th o r i z o n ，b l a c kh o l er a d i a t i o n ，t h et 1 1 e m a lp r o p e r t i e so f b l a c kh 0 1 e ，a n ds c a l a rf i e l dr a d i a t i o na r ei n t r o d u c e db r i e 玎v i nc h 印t e r2 ，t h er e a ls c a l a r f i e l de q u a t i o ni ss o l v e dn u m e r i c a l l yi ns c h w a r z c h i l d d e s i t t e r s p a c e - t i m ew i t hd i f r e r e n ta n g u l a rf e q u e n c y am e t h o dc a i l e d 穗b j y n o m i a j ? a p p r o x i m a t i o ni su s e dt od e r i v e 廿l er c l a t i o nb e t w e e nm et o r t o i s ec o o r d i n a t exa i l dt h er a d i u sr i t 担f b u n d 也a tt h ew a v e 缸n c t i o ni sc l o s et ot h a to fah a n n o n i cw a v e a 帕w h e n a l t e r s 协e c u r v e 担锄p l i t u d ea 1 1 dw a v e l e n g ma r ed i f f e r e n t t h em 础o do fc a l c u l a t i n gt h er c f l e c t i o na 1 1 d 仃a n s m i s s i o nc o e f f l c i e n t si sa l s od i s c u s s e di nt h i sc h a d t e r i i lc h 印t e r2 ，t h ea n a l ”i cs o l u t i o no fm a s s l e s sf i e l de q u a t i o ni nk e r r - n e w m a n d es i n e r s p a c e t i m ew h i c hi sg i v e nb yh i s a os u z u k ，e i i c h it a l ( a s u g ia n dh i r o s h iu m e t s ui si n t m d u c e d t h et e u k o i s 埘e q u a t i o ni s 打a n s f o r m e dt 0h e u ne q u t i o nb yv a r i a b l es u b s t i t i l t i o n ，a n dt l l e h e u ne q u t i o ni s8k n o w nm a t l l 锄a t i c a l 血n c t i o n ，i t ss o l u t i o n si si l lt h ef o r mo fs e r i e so f h y p e 唱e o m c t r i cf u n c t i o n s n i sm e t i l o di sh e l p 血lf o ru s t of _ m dt h ew a yo ft 1 1 ea n a j y t i c s o l u t i o no f s c a i a rf i e l de a u a t i o n k e yw o r d s ：s c a l a rf i e l d ；s c h w a n 嫩h i l d m es i “e rs p a c e t i m e ：k e r r - n e w m a n d es i t t e r s p a c e t i m e 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：三丛望日期：趔 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 粥孽 导师签名：盘歪! 墅 堡生年月坠日 大连理工大学硕士学位论文 引言 e i n s t e i n 的广义相对论【0 3 】实际上是一个时间、空间和引力的理论。它预言了黑洞【4 习的存在，历史上第一个从广义相对论得出黑洞条件的人是s c h w a r z s c h i l d ，他于1 9 1 6 年 求得了e i n s t e i n 场方程对于球对称的质量为m 的星体的精确解，此黑洞被称为 s c h w a r z s c h i l d 黑洞。此后陆续地人们又求得了r - n 黑洞解、k e r r 黑洞解以及k e r r n e w m a n 黑洞解等。黑洞问题是目前物理学和天文学研究的一个热点。 但是黑洞的探测极为困难。到现在为止我们都没有办法来直接观测黑洞，也没有直 接的证据证明黑洞的存在。如果黑洞本身有辐射，而且我们能够通过某种手段观测得到， 不仅能够说明黑洞的存在，还能对它的结构有所了解。这样，我们可以假定黑洞时空中 存在辐射场，对它的性质进行研究，从而加深对黑洞的理解。如果黑洞时空中存在辐射 场( 标量场或者旋量场) ，那么辐射场通过它的能动张量就会影响黑洞的时空度规；同时， 黑洞的引力场也会作用于辐射场。我们可以认为辐射场的作用可以忽略，只考虑引力场 的作用，也就是说把辐射场当作试验场。 正因为黑洞时空中场的重要性，近年来不少学者从事了这方面的研究。2 0 0 1 年， i b r c v i k 和b s i m o n s e n 利用数值方法求解了s c h w a r z s c h i l d _ d es i t t e r 时空中标量场方程的 解，他们采用了数值模拟的方法解决引入乌龟坐标后方程求解困难的问题【6 】。画出了波 动方程的图像，发现它类似于简谐波的图像，然后讨论了透射系数和反射系数。2 0 0 3 年，田建祥，郭广海和桂元星等改进了数值模拟的方法，得到了更为精确的解，并计算 了其他时空的标量场方程( 如r e i s s n e r - n o r d s t r o m d es i t t e r 时空等) 1 7 。而另一方面， h i s a os u z u k ，e l l c h it a l ( a s u g i 和h i r o s h iu m e t s u 在1 9 9 8 年给出了k e r r n e w m a n d es i t t e r 时空中无质量场方程的解析解法【l l ”】。 本文第一章主要介绍黑洞相关的基础知识。第二章则继续进行求解s d s 时空中标量 程方程的工作，使用多项式拟合的方法计算波动方程的数值解，并讨论角频率对波动 方程结果的影响。第三章则介绍h i s a os u z u k ，e i i c h it a l ( a s u 西和h i r o s h iu m e t s u 在 k e r r n e w m a n d es i t t e r 时空中无质量场方程的解析解法。 弯曲时空中的场方程 1 黑洞 最早预言黑洞的人是英国剑桥大学的米歇尔( j m i c h e l l ) 和法国科学家拉普拉斯 ( p 。s l a p l a c e ) 。他们在2 0 0 多年前就曾谈到“宇宙中最明亮的天体很可能是看不见的”。 当时他们是通过万有引力理论得出的一个暗星的形成条件。一般来说，质量越大、密度 越大的星球，物体从它表面逃离所需要的速度越大，当星球的密度大到一定程度，也就 门 ， 是星球的质量和半径满足r 三! ，以至于逃离速度大于光速时，光予就不能从星球表 c 面逃离。它们会被星球的万有引力拉回去，远方的观测者就不可能看见这个星球了，这 就是黑洞含义的牛顿理论解释。当然现在看来这是一个错误的解释。 后来广义相对论问世，爱因斯坦给除了广义相对论的基本方程场方程。而不久 后，s c h w a l z s c h i l d 就得到了一个爱因斯坦场方程的精确解，它是一个静态、球对称的真 空解。除此之外，e i n s t e i n 场方程还有很多其它的解，如d e s i 札e r 解描述的是一个a o 的真空场；r e i s s n e r 烈o r d s 廿o m 解描述的相当于一个带电的s c h w a r z s c h l l d 黑洞：此外还 有k e r r 解、k e r r n e w m a n 解等等。黑洞最初被认为是一颗死亡的星球，人们的着眼点 只放在它的力学行为上。后来才发现黑洞有着丰富的内涵，它不仅有力学性质，而且有 量子性质和热性质。黑洞不仅有非热辐射，它还有热辐射，和温度。本章中，1 1 简单 地介绍了黑洞的形成；1 2 介绍了黑洞的分类并以s c b w a r z s c h i l d 黑洞为例简单地介绍了 黑洞的结构：1 3 介绍了黑洞的热力学性质：】4 介绍了黑洞辐射；1 5 是关于黑洞时空 中的标量场辐射。 1 1 黑洞的形成 黑洞实际上是星体演化的一个阶段，我们在宇宙中所看到的不同大小和颜色的恒 星，实际上那个处于恒星演化的不同阶段。弥漫于银河系中的星际物质( 尘埃和气体， 主要由氢氦组成) ，在万有引力的作用下聚集起来，形成星体。聚集过程中它们的引力 是能转化为热能，使原本很冷( 温度约l o o k ) 的物质温度升高，弱国聚集成星体的物 质很多，多到相当于太阳质量( 1 9 9 1 0 ”g ) 或大于太阳质量，引力势能转化成的大量 热能可使星体内部温度升高到l o o o 万度，从而点燃星体中氢的聚变反应。这时，一颗 发光的恒星就诞生了。此时的恒星处于一个长期稳定的时期，这个时期约占恒星寿命的 9 9 。称为主序星。其质量从l o o 个太阳质量到o 1 个太阳质量不等。 当恒星中心部分的氢全部烧掉之后，恒星中部的热核反应就停止了，这是万有引力 战胜了热排斥，星体开始收缩。由于恒星表面的温度远低于中心部份，那里还不曾发生 大连理工大学硕士学位论文 过氢合成氦的热核反应。这时，随着星体的塌缩，星体外壳的膨胀和中心部分的同时进 行收缩，发生了短暂而猛烈的热核反应，称为“核闪”。此后，恒星进入一个相对稳定 的时期，并不断膨胀。由于外壳离中心越来越远，恒星的表面温度越来越低，从黄色变 为红色。由于体积过于巨大，这种红色的巨星看起来非常明亮，成为红巨星。 红巨星的内部物质在热核能耗尽而塌缩时，原子间的电磁力项不住自身万有引力的 猛烈挤压，原子的电子壳层被压碎，形成电子在晶格中自由穿行。或者说原子核漂浮在 电子海洋中的状态。在这种电海洋中，电子的状态由能量、动量和自旋决定。由于量子 化，能级、动量值和自旋值都是分立的，都只有有限个。当物质压紧时，由于体积缩小， 上述量子态将被电子挤满，泡利不相容原理不允许两个以上电子处在同一个电子态，相 互靠近的电子产生一种新的斥力，阻止体积的进步缩小。这种力顶住了万有引力，使 得星体不再塌缩，这就是白矮星状态。 白矮星的质量是有上限的，不能大于1 4 个太阳质量( 钱德拉赛卡极限) 。当超过 这个极限时，仅靠原子间的电子斥力已不能支撑自身的重量。电子将被压入原子核中， 于其中的质子中和生成中子，成为中子星。中子星与白矮星有些类似，它不是靠排斥或 电磁作用来抗衡引力，而是靠中子间的简并压强( 泡利斥力) 来抗衡。 中予星也有一个质量上限，称为奥本海默极限。大约为3 4 个太阳质量，超过这 个极限的中子星不稳定，会进一步塌缩，形成黑洞。 1 2 黑洞的分类和结构 1 ，2 ，1s c h w a r z s c h ； d 时空的结构 s c h w a r z s c h i l d 给出了爱因斯坦场方程的精确解，它是一个静态、球对称的真空解 其中线元的形式为 出：一( 1 一三尝) c ：击z + ( i 一三掣) 一办z + ，：d 铲十，zs i n 2 口 ( 1 1 ) c 。，c 。， 它在两个地方奇异。一是在r = 0 处有一个s c h w a r z s c h i l d 奇点。另一个是在r = 2 m 处 有个s c h w a r r s c h i l d 奇面。在r = 2 m 处度规张量的行列式和标曲率都是正常的，通 过选择得当的坐标系，可以消除这里的奇异性，所以它属于坐标奇异性。而r = o 处的奇 异性则是时空本身的内禀奇异性，它不能通过坐标变换来消除。由时空曲率张量组成的 弯曲时空中的场方程 标量r 。r 一“= = ! 告在，= o 处发散。而标量在坐标变换下是不变的，所以无论选择什 r 么样的坐标系，这里的奇异性都不能消除3 ，” 。 从时间变慢的公式出= f l 一2 g m c 2 r 和引力红移公式y = ，l - 2 g m c 2 r 可 以知道，在r 斗= 2 肘的时候舭斗o 。，v 斗o 这就说明，在无穷远处的观测者看来， 位置离曲面r = 越近的钟走得越慢。当钟放置的位置无限趋近于时，无穷远处的观 测者会认为这个钟趋于完全停止，时间无限变慢；离曲面r = 越近的光源所发出的光， 频率变得越低，波长五= c v 变得越长。也就是说，光的谱线向红端移动得越厉害。当 光源趋近于这个曲面的时候，它发出的光的谱线将发生“无限红移”，频率趋近于零， 波长趋于无穷大。所以，奇面r = _ = 2 g m c 2 被称为无限红移面 s c h w a r z s c h i l d 时空是号差为+ 2 ( 或一2 ) 的黎曼时空，在这个时空中，存在一种特殊 的超曲面，它的法矢量是类光的，也就是说，法矢量本身不为零，但是它的长度为零。 这种超曲面的法矢量是平躺在它的切平面上的，既是它的法矢量，也是它的一个切矢量。 假设 ( x “) 暑，( z o ，x ，x 2 ，x 3 ) = 0( = o ，1 ，2 ，3 ) 是四维时空中的个三维超曲面，它的法矢量定义为= 眚，法矢量的长度为 叫和，叫荡嘉 ( 1 _ 2 ) ( 1 3 ) 如果满足= 。或者g ”苦誊= o ，则这个超曲面就是一个零曲面。其中保有该时空 的对称特性的特殊零曲面，称为事件视界，简称视界。 s c h w a r z s c h i l d 时空是静态、球对称的面，由于视界是保有时空对称性的一种特征 曲，所以也是静态、球对称的”善专= 。就可以约化削1 ( 考) 2 - 。，式中的等。 所以只能有9 1 1 _ l _ 等= o 叭= 名= 等。 大连理工大学硕士学位论文 由此可以看出，s c h w a r z s c h i l d 时空的事件视界正是它的引力半径处的奇面，而 且与无限红移面重合。因此，把事件视界定义为黑洞的边界。r _ 的时空区域就称为黑洞的外部。 1 2 2 黑洞的分类 上节介绍了s c h w a r z s c h i l d 黑洞的结构，这节简单介绍其他几种黑洞。 静止的带电球状物体周围的引力场( 即时空弯曲状况) ，可以从爱因斯坦场方程解 出，称为r e i s s n e r - n o r d s t r o m 解( 或带电s c h w a r z s c h i l d 解) 。在通常单位制下，其 线元为 船川一警+ 署) c 2 肌( 1 一等+ 雾广矶删响n 2 唰( 14 ) 其中和p 分别为场源的质量和电荷。它所描述的时空是静态、球对称的，也就是说， 弯曲的时空呈现球对称，且不随时间变化。 从上面的式子可以看出，此时空在度规r = o 处有一个奇点，在这里g 。发散。并且 这一点是时空的内禀奇点，不可以通过坐标变换去除，反映时空本身在r = o 处有毛病。 此外，杉一竽十等= 0 处，g l l 发散，其解有两个： = 等州警) 2 * 争；：t = 詈叫笋2 一手； s ， ( 1 6 ) 这两个球面是两个奇面，不过这两个奇面的奇异性不是内禀的，时空曲率在这里 并不发散。只要物质和电荷非常集中，集中在半径小于的球体内，就会形成一个黑洞。 ，= 是这个黑洞的边界。r n 黑洞和s c h w a r z s c h i l d 黑洞一样在中心有一个奇点，但它 有内外两个视界，内外两个无限红移面。而这两个视界分别和两个红移面重合，即和 t o 1 9 6 1 年k e r r 猜出了一个场方程的稳态轴对称解，但不是静态的。在自然单位制下， 其线元为 弯曲时空中的场方程 班- ( 1 一警妒+ 譬“脚n 【( ，2 材) s i n 2 口 + 等竽坳2 一等产捌矿 ( 1 6 ) k e r r 度规的奇异性出现在p 2 ir 2 + 口2 c o s 2 口= o ，ir 2 2 肺+ n 2 = o 这两个位置上，利 用求无限红移面的普遍公式g 。= o ，可以求出k e r r 黑洞的无限红移面为 ：吖撕矛= 孑丽。同理，按求视界的普遍公式g r 善善：o ，可以求出k e r r 时空的视界为丘= m 厨i 。恢复至| j 普通单位制为= 孚+ 譬) 2 - ( 去2 ，外 视界包围的部分就是k e r r 黑洞。 e t n e w m a n 等人把k e r r 解推广到带电情况，得到k e r r n e w m a n 解，它描述一个转 动带电星体的外部引力场，即该星体外部时空的弯曲情况。其线元为 船_ ( 1 _ 艺马矾譬以础帅 固s i n 2 口 + 坐堕哮鱼彬一墅峰业捌p n 7 pp 式子中p 2 = ，2 + 口2c o s 2 矽，= r 2 2 扫+ 口2 + q 2 。与k e r r 解情况类似，这是一个稳态、 轴对称的时空，这个时空在p 2 = r 2 + d 2c o s 2 口= o 和= r 2 2 胁+ 口2 + q 2 = o 处存在奇异 性。 k e r r n e w a n 黑洞两个无限红移面为= m m 2 一日2c o s 2 口一q 2 ，它的两个视界 为洲丽a 恢复为黼单僦变为= 詈+ j 学2 一0 2 一等， 当星体塌缩到小于时将形成黑洞，就是k e r r - n e w i a j l 黑洞。 此外，当场方程的宇宙学常数人o 时，为d e 。s m e r 时空，这将在第二章中具体介 绍。 大连理工大学硕士学位论文 1 3 黑洞的热性质 相比于黑洞的量子效应，黑洞的热性质更受到人们的关注，特别是与热力学定律类 比之后，人们更相信黑洞与热力学定律的联系将是今后黑洞理论的重要发展方向。 先介绍几个基本概念和定理； 黑洞的表面积：黑洞的真正边界是外视界，因此，人们定义外视界的面积为黑洞 的表面积。 黑洞的表面引力：它是一个静止在外视界的物体( 随外视界一起转动) 所受的引力 场强。 无毛定理：形成黑洞的星体，失去了除总质量从总角动量，和总电荷p 外的全部 信息。黑洞的全部性质只由膨z 印这三个参量决定。 面积定理：黑洞的表面积在顺时针方向永不减少，j 一o 。 ( 1 8 ) 上面两个定理也是黑洞的热性质之一，再来看一个描述黑洞各参量之间关系的重要 公式贝肯斯坦一斯马尔公式： 删= 嘉飙+ q + 出+ _ 坦 ( 1 9 ) 式中4 为黑洞的表面积，t 为表面引力，q + 为转动角速度i 外视界两极处的静电势一， 质量和角动量上 我们再来看热力学第一定律的表达式： d v = 蹦s + q 彬= y d q ( 1 1 0 ) 式中以z 墨n ，z0 和矿分别是系统的内能、温度、熵、转动角速度、角动量、电荷和 表面两极处的静电势。等式左边为系统内能的增加，右边第一项为系统在过程中吸收到 的热量，第二、三项则为外界对系统所作的功。 ( 1 9 ) 与( 1 1 0 ) 式极为相似。( 1 9 ) 的左边为黑洞质量的增加，按照质能关系 式e = m c 2 ，也即能量的增加。右边第二、三项可以看作外界对黑洞作的功，而第一项 似乎可以看作吸收的热量。如果这个对比是正确的，黑洞应该有与其面积成正比的熵， 贝肯斯坦等人通过构成黑洞的物质对微观态的分析，认为黑洞确实存在于其面积成正比 弯曲时空中的场方程 的熵，这就给出了面积定理的物理意义：面积定理不过是熵增加原理在黑洞力学中的具 体体现。 我们看到贝肯斯坦一斯马尔公式可以类比与热力学第一定律；面积定理粪比与热力 学第二定律。因此， ( 1 9 ) 和( 1 8 ) 分别被称为黑洞力学的第一定律和第二定律。 热力学第三定律告诉我们，不能他难过有限次操作把一个热力学系统的温度降到绝 对零度。类比到黑洞的情况，由( 1 9 ) 可知n 相对于热力学中的温度，那么黑洞的第 三定律就可以描述成“不能通过有限次操作把黑洞的表面引力n 降到零”。 为了说明黑洞热力学的第三定律，就要提一下“宇宙监督假设”：当k e r r n e w m a n 黑洞达到极端状态( 内外视界重合) ，单向膜区成为一张无限薄的膜。如果再增加一点 电荷或角动量，内外视界和单向膜区将消失，出现裸奇异，破坏时空的因果性，为了避 免这一现象，彭若斯提出了宇宙监督假设：“存在一位宇宙监督，它禁止裸奇异出现”。 后来修改为“时空一定是整体双曲的”。而宇宙监督假设可以看作黑洞力学的第三定律 的推论。如果黑洞力学第三定律成立，宇宙监督假设就必然成立。 热力学还有一个第零定律，它通常表述为热平衡具有传递性，这条定律的一个必然 结果是热平衡系统各点有相同的温度。类似的，对于黑洞，如果虹真的是温度，濒进平 直稳态的黑洞的r 当然应当是常数。这已经获得了证明。 现在再回头看一下黑洞力学的四条定律【1 5 】： ( 1 ) 第零定律：稳态黑洞的表面引力e 是一个常数。 ( 2 ) 第一定律：跏= 戤+ q + 办+ 一坦。 6 厅 ( 3 ) 第二定律：黑洞的表面积在顺时针方向永不减少，j 爿o 。 ( 3 ) 第三定律：不能通过有限次操作把黑洞的表面引力t 降到零。 上述定律非常类似于热力学的四条定律，黑洞表面引力相当于温度，表面积相当于 熵，黑洞热辐射的存在更证明了黑洞是普遍存在温度的。 1 4 黑洞辐射 1 4 1 自发辐射和受激辐射 自发辐射和受激辐射是只在动态黑洞时空中才有的现象，这一现象的产生的原因 是，引力场对物理空间的拖曳和视界附近的静电势引起了视界附近的能级交错。这里我 们以k e m n e w m a i l 时空为例来简单说明这种现象。k e m n e w m a n 时空中，视界附近的 能级只能存在于q 4 和乱蔓雪( 彳口) 这两个区域，q 是正能态，旺是负能态，而 大连理工大学硕士学位论文 爿 b 的区域是禁区。在无穷远处，k e r r n e w m a n 时空是渐近平直的，此时一 占且 4 = 一口；但是在黑洞表面处，爿= b = 已按照d i r a c 的思想，真空是所有费密子的正能态 都空着，而所有负能态都己填满的状态，在视界处，当馥 c 时，就会出现正负能级的 交错，处于负能态弼能量大于c 的费密子就会通过隧道效应穿过禁区而辐射出去【】”。 非热辐射的机制也可以从场论的观点来描述，简单地讲就是：视界附近引力场的拖曳 和静电势把该处一切粒子的基态能级升高或降低。当一种粒子的基态能级升得高过它在 平直时空中的最低激发态能级时，就会产生这种粒子的自发辐射。对于玻色子，由于一 个模式中可以存在多个粒子，在自发辐射的同时，还可能会产生受激辐射。 非热辐射与后面要讨论的h a w h n g 辐射不同，它是由视界附近真空能级交错引起 的，与黑洞的温度无关，而且完全没有热性质。即使是绝对零度的视界，也仍然会有这 种辐射。没有切向运动也没有静电势的视界，温度再高也不会产生这种辐射。 研究表明，只要视界附近存在引力场的拖曳，或存在静电场，就一定会产生正负能 级交错和非热辐射，而且这种非热辐射会使黑洞的角动量和电荷减少，最终退化为不转 动、不带电的s c h w a r z s c h i l d 黑洞。在这种意义上，可以把s c h w a r r s c h i l d 黑洞看作是黑 洞的基态，而把各种转动、带电的黑洞看作是黑洞的激发态。 1 4 2h a w k in g 辐射 1 9 7 1 年，h a w k i n g 在宇宙监督假设和强能量条件成立的条件下，证明了黑洞的面积 定理，即只要有物体落入黑洞，它的事件视界面积就会增加。紧接着，j b e k e n s t e i n 就 指出事件视界的面积即是黑洞熵的量度，由于携带熵的物体落到黑洞中去，它的事件视 界的面积就会增加，这样黑洞外物质的熵和事件视界面积的和就永远都不会降低。当时 h “村n g 认为如果把黑洞事件视界的面积解释成它的熵，那么它也应该有温度但具有特 定温度的物体必须以一定的速率发出辐射。按照黑洞的定义，它被认为是不发出任何东 西的物体，所以不能认为黑洞的视界面积是它的熵。但是后来他经过计算发现不论旋转 黑洞还是非旋转黑洞都能产生并辐射粒子，而且辐射粒子的谱刚好是一个热体辐射的 谱，并于1 9 7 3 年提出了黑洞力学四条定律( 上一节已介绍) 。这四条定律可以和热力 学的四条定律相对应，表面引力提当于温度，视界面积相当于熵，黑洞实际上并不是一 个完全的黑体，而是一个“灰体”。 对h a w k i n g 辐射的物理机制有以下两种解释【1 6 1 7 】： 第一种解释是量子理论中的隧道效应。经典观点认为任何物体包括辐射都不可能逃 离黑洞，视界是黑洞单向膜区的起点，只许进而不许出。从黑洞内部来看，视界就像是 堵无限高的墙，要越过它逃离黑洞就要有无穷大的能量。但是量子力学提供了没有足 弯曲时空中的场方程 够的能量而穿过任何一堵墙的可能性，这就是隧道效应，它是测不准原理的直接结果， 丽测不准原理是量子力学的基石。一般来讲，测不准原理就是说，所有的测量都会对微 观系统产生干扰。比如，对于一个孤立电子，我们不可能同时准确地测量它的位置和速 度，对位置的高精度测量会导致对其速度测量的一定程度的不准确性，反之亦然。 经典地讲，从黑洞逃离是被禁止的，但是测不准原理允许粒子在一定的时间间隔里 从黑洞借助一定的能量。如果黑洞是微型的，即尺度与基本粒子相当，能量的跃迁可能 足以使粒子运动一段大于视界半径的距离，其结果就是粒子逃出视界。但是粒子并不是 翻过视界“墙”，而是通过测不准原理在“墙”上打通了一个隧道穿过视界的。 第二种解释认为这些粒子不是从视界里面出来的，而是来自于紧靠视界外面的真 空。在量子力学中，真空并不意味着没有任何场、粒子或者能量，它只是一种能量最低 的状态。从d i r a c 真空的思想可以得出真空涨落的概念。填满的负能粒子海中，不断地 发生负能粒子向正能态跃迁的虚过程。在这一过程中产生虚的正能粒子和虚的负能空 穴，负能空穴就是正能反粒子。一个粒子和它的反粒子相遇就会相互湮灭。在不存在任 何力的量子真空里，粒子对不断地产生和湮灭，所以平均来说就没有任何粒子或反粒子 真正产生或者湮灭，这些粒子也不能被直接观测，所以才被称作虚粒子。虚粒子可以通 过真空的极化而变成实粒子，设想有一个力场，比如电场，作用在真空上。当一对正、 负电子产生时，它们会被电场沿着相反的方向分离，如果电场的强度足够高，它们就会 分离得足够的远，以至于不能再相互碰撞而湮灭，这时候虚粒子对就被实化变成了实粒 子。 量子真空同样可以被黑漏周围的强引力场所极化。在r a c 海里，虚粒子对不断地 产生和湮灭，粒子和它的反粒子会分离一段很短的时间，于是这对虚粒子的前途就有四 种可能性：第一种是，两个粒子重新相遇而湮灭；第二种是，反粒子被黑洞捕获面正粒子 逃离出去；第三种是，正粒子被黑洞捕获而反粒子逃离出去：第四种就是，两个粒子都 落入黑洞。h a w k i n g 经过计算发现，黑洞总是有倾向性地捕获反粒子。反粒子落入黑洞， 沿着时间的方向穿过单向膜区达到奇点，使那里的质量减少。正能粒子则逃离出去。这 个过程也可以等价地理解成，粒子逆着时间的方向从奇点穿过单向膜区到达视界，在视 界处被散射以后再顺时飞向远方。h a w k i n g 用量予场论的方法严格证明了这种辐射的存 在，而且辐射的能谱是黑体辐射谱，温度为丁= 后来d a m o u z 等人用不同的方法 2 牙五口 也证明了这一点i l 。 大连理工大学硕士学位论文 1 5 标量场辐射 标量场的研究对于黑洞的探测，黑洞的形成以及宇宙监督假设的研究都有重要意 义。如果黑洞本身有辐射，而且我们能够通过某种手段观测得到，不仅能够说明黑洞的 存在，还能对它的结构有所了解。这样。我们可以假定黑洞时空中存在辐射场，对它的 性质进行研究，从而加深对黑洞的理解。如果黑洞时空中存在辐射场( 标量场或者旋量 场) ，那么辐射场通过它的能动张量就会影响黑洞时空的度规；同时，黑洞的引力场也 会作用于辐射场。我们可以认为辐射场的作用可以忽略，只考虑引力场的作用，也就是 说把辐射场当作试验场，这里我们只考虑试验标量场。 1 9 7 2 年，p r i c e i l o ”1 研究s c h w a r z s c h i l d 时空中的标量场时得出的结论是，标量场辐 射在等，面上，先是准正规衰减，后来按幂函数，叫2 “”衰减，到了晚期就会被黑洞塌缩 时引力场扰动的效应所淹没。后来很多人对各种黑洞时空中的标量场传播作了大量的研 究，结果表明虽然标量场在等r 面上都是先准正规衰减，而后期衰减的方式有所不同， 但是晚期一般都会被淹没掉。k r i v a n 在1 9 9 6 年用数值方法对旋转黑洞时空中标量场的 研究也得到了和p r i c e 相一致的结论。b r a d y 等人在1 9 9 7 年对s d s 时空和鼢州s 时空 中标量场的辐射作了研究【2 2 ，指出卢o 的标量场在等r 面上先是准正规振荡，后按照 矿= 疙+ 硝e x p ( 一2 一r ) 变化，最后会衰减到一个固定值，这可以理解为标量场在带电黑洞 内部的c a u c h y 视界处发生了散射，就像g u r s e l 盼2 4 】所指出的那样，所以它可以以一个 定值传播到黑洞视界甚至宇宙视界：而肛o 的标量场在等；面上先是准正规振荡，后按 照一e x p ( 一，k r ) 衰减，因而最后会衰减到零。p o i s s o n f 2 5 l 等人在1 9 9 9 年又对s c h w a r z s c h i l d d es i t t e r 时空中与时空曲率有藕合( 藕合常数为f ) 的标量场作了进一步研究，发现在 的情况下，f t 时，标量场准正规振荡，然后按照幂函数衰减，就像在 s c h w a r z s c h i l d 时空中一样；r 略小于名时，标量场按照更快的指数形式衰减；f f 时， 标量场就像在一个纯d es i t t e r 时空中一样，因为此时黑洞附近的时空结构对它的影响已 经很小了，它的行为由古的数值大小来决定。掌小于极限值亭= 3 1 6 时，它按指数衰减。 善 彘时，场开始振荡，振荡的频率随杏的增大而增大，此时振幅仍然按指数衰减。 g r i s p i n o “卅等人在2 0 0 0 年，对绕s c h w a r z s c h i l d 黑洞旋转的源发出的标量场辐射作分析 发现，辐射出的能量比在m j n k o w s k i 时空中计算所得的量要少2 0 3 0 ，并且大部分 能量会逃到无穷远，而不是为黑洞所吸收。 b r c v i k 和s j m e n s o n 削在2 0 0 1 年给出了s d s 时空中k l e i n g o r d o n 方程的数值解。他 们采用正切函数来拟合乌龟坐标，给出了k g 方程在黑洞视界和宇宙视界之间的一个全 局解。结果表明，这种质量为零、自旋为零的标量场辐射可以从黑洞的事件视界传播到 弯曲时空中的场方程 字宙视界。在第2 章中，我们将他们的方法加以推广，引进了更高精度的多项式拟合的 方法，讨论了s d s 时空的标量场，结果显示场方程的曲线近似简偕波透射系数接近于 1 ，反射系数很小，并且曲线的波长和频率随着角频率“改变而改变。 大连理工大学硕士学位论文 2s d s 时空中的标量场 弯曲时空中，描述自旋为零的标量粒子运动的量子力学方程为k l e i n - g o r d o n 方程 口中= o ，它的一般形式是 击毒c 而”争咖= 。 ( 2 1 ) 其中的g 为度规行列式，为粒子质量。这里我们要讨论的是零质量的实标量场，即 = o 。s d s 时空在黑洞半径以外包含有真空能量，换句话说就是一个正的宇宙学常数a ， 因此这个时空含有两个视界，一个是黑洞视界，另一个是宇宙视界，宇宙视界的位置由 a 的大小决定，而这个时空中有物理意义的区域就是这两个视界之间的部分。宇宙视界 的出现改变了通常s c h w a r z s c h i l d 时空中视界的位置。黑洞视界将位于【2 必3 蜘这个范围 内。 在这一章中，我们给出了s c h w a r z s c h i l d d es i t t e r 空间中标量场方程对应不同的角频 率。下的数值解，并画出了标量场强度以及势函数的空间变化图。所用的方法是把 s c h 谢z c h i l d 空间中的乌龟坐标推广到s d s 系统，把势函数矿写成乌龟坐标x 的函数， 进而将标量场方程转化成一种比较方便求鳃的形式。由于利用乌龟坐标来解场方程很困 难，我们引进了多项式拟合的方法以便求得x 和r 之间的反函数关系来解方程，我们这 里主要讨论当两个视界非常接近的时候，即所谓的n a r i a i 黑洞的情况。在i b r e v i k 和 b s i m o n s e n 等前人的一系列工作中，。都被取为了单位量，我们这里求解了在不同角频 率。下的波动曲线并给出了曲线的波长和频率随u 的变化情况。最后将连续变化的势 垒用方形势垒代替计算出反射系数和透射系数【7 】。 2 1 视界 含宇宙学常数项的e l n s t e i n 场方程为 巧，一三船，a g 矿8 z t ， 对于一个球对称系统，线元的形式为 ( 2 2 ) 皇望堕窒盟堑查望 一一。 船州哪2 + 南扩”2 枷2 2 s i n 2 卿2 在s d s 时空，( r ) 的形式为 m ) ：l 一丝一譬 rj ( 2 3 ) ( 2 4 ) 式子里面的m 是黑洞的质量。度规( 2 3 ) 的奇异性由方程，( ，) = o 决定。考虑在n a r i a i 黑洞情况下宇宙学常数由埘2 = 吉给出，我们取删2 = 0 1 1a 在这时，方程，( r ) = o 有 三个根，分别对应三个视界；黑洞( 事件) 视界，宇宙视界，和一个无物理意义的 负的视界，它们的关系为 o ， o ，= 一( + ) 这时，( r ) 可以写成 ，( ，) ：会( ，一) ( 一r ) ( r 一) j r ( 2 5 ) 根据几m 。：o 1 1 就可以算出此时黑洞视界和宇宙视界的位置为= 2 8 3 9 1 m 和 = 3 1 8 7 8 m 。 2 2 波动方程 插入度规后，方程( 2 1 ) 的形式为。 一一斋+ 妒m ) 中，】f ，+ 7 品 ( s t 一矿= 。 眩s ， 利用s d s 时空的对称性可以把中分离变量 中；三、，d ( r ) 8 ( 口，妒) 这里是球谐函数。取、壬，( r ，f ) 一甲“( r ) p ，可以得到径向方程 ( 2 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 一c r ，参( ，c r ，导 + y c r ， 甲。c r ，= 印2 甲。c r ， y ( r ) 是势函数，其形式为 ( 2 8 ) 附，川r 华+ 半 = ( 一半一等 ( 等一等+ 吾) c z m ，被取为单位量。现在引入乌龟坐标x ，它的形式为 l r 咖 ”面j 7 万 它一般是用表面引力k 来表示，k 的定义为2 2 1 t 2 半a = 掣a k2 半a 这时候乌龟坐标就可以写成如下形式 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2