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论文题目：z 4 等变系统的极限环个数和一类四点边值问题 学科专业：应用数学 学位申请人：徐伟骄 指导老师：韩茂安教授 摘要 本文第一章为引言，主要内容是介绍所研究课题的来源，现状，以及本文的研究方法 和主要结论 第二章主要研究近哈密顿系统在五等变七次扰动下产生极限环的个数利用h o p f 分支和异宿环分支的方法，扰动可得1 6 个极限环，并且给出了它们的分布本章中我们 应用了最新的理论和方法，涉及相当复杂的计算 第三章主要研究近哈密顿系统在五等变五次扰动下产生极限环的个数及近哈密顿 系统在五等变三次扰动下产生极限环的个数，利用第二章的有关结果和方法，并应用 了一些技巧，分别得到1 3 个和5 个极限环。并且给出了它们的分布 第四章主要研究了方程霞十q ( t ) f ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ，边值条件为也( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 8 l 锃( f ) + 口2 缸( 露) ，其中0 等，露 1 ，a l + o , 2 1 应用锥上的不动点定理可得正解存 在本章主要创新是将已有的一类三点边值问题复杂化至四点边值问题，三点边值问题 的所得结果在四点边值问题下同样成立 关键词：极限环；异宿环；互等变系统；h o p f 分支；边值问题；正解；锥；不动点 t h e s i st o p i c ：l i m i tc y c l e so fz j ，e q u i v a x i a n ts y s t e ma n dac l a s so ff o l l r - p o i n tb o u n d a r y - w l u e p r o b l e m s u b j e c t ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：x uw e i j i 轧o i n s t r u c t o r ；p r o f e s s o r 薹重a 盈m a o a n a b s t r a c t a sa ni n t r o d u c t i o n ，i nt h ef i r s tc h a p t e rw ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fo u r r e s e a r c h a n dm a i nt o p i c st h a tw ew i l ls t u d yi nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s w ea l s og i v ead e s c r i p t i o n o fo u rm e t h o d sa n dr e s u l t sd e t a i n e di nt h i st h e s i si nt h ef i r s tc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，o u rm a i np u r p o s ei st oc o n c e r nw i t ht h en u m b e ro fl i m i t c y c l e so fan e a r - h a m i l t o n i a ns y s t e mu n d e rz 4 ，e q u i v a r i a n ts e p t i cp e r t u r b a t i o n u s i n g t h em e t h o r do fh o p fa n dh e t e r o c l i n i cb i f u r c a t i o n ，w ef o t m dt h a tt h ep e r t u r b e ds y s t e m c a nh a v e1 6l i m i tc y c l e s 。i nt h i sc h a p t e r ，w eu s et h el a t e s tt h e o r e m sa n dm e t h o d s ， c o n c e r n i n gw i t hq u i t ec o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o n ，a n dt h ed i s t r i b u t i o n sa r eg i v e n i nt h et h i r dc h a p t e r w es t u d yt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e so fa u e a r h a m i l t o n i a n s y s t e mu n d e rz 4 e q u i v a r i a n tq u i n t i cp e r t u t b a t i o na n dt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e so fa n e a r h a m i l t o n i a ns y s t e mu n d e rz 4 e q u i v a r i a n tc u b i cp e r t u r b a t i o n u s i n gt h em e t h o d s a n dr e s u l t so ft h es e c o n dc h a p t e r ，t h e nb ys o m es k i l l s ，w ef o u n dt h a tt h ep e r t u r b e d s y s t e m sr e s p e c t i v e l yh a v e1 3a n d 5l i m i tc y c l e s ，t h ed i s t r i b u t i o n sa r eg i v e n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w es t u d ye q u a t i o n 蠢十q ( t ) f ( t ) = 0 ，tg ( 0 ，1 ) w i t hb o u n d a r y c o n d i t i o n s 也( o ) 一0 ，u ( 1 ) 一a l u ) 十a 2 u ( , 7 ) ，w h e r e0 ，叼 1 ，a l 十a 2 1 t h e e x i s t e n c er e s u ko fp o s i t i v es o l u t i o ni so b t a i n e db ya p p l y i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi n c o n e s t h ea p p r o a c h e sd e v e l o p e dh e r ee x t e n dt h ei d e a sa n dt e c h n i q u e sd e r i v e di nr e c e n t l i t e r a u r e s 。t h em a i ni n n o v a t i v ep o i n to ft h i sc h a p t e r ，w ec o m p l i c a t eac l a s so ft h r e e - p o i n tb o u n d a r yp r o b l e mi n t of o u r 。p o i n tb o u n d a r yp r o b l e m ，t h er e s u l t so ft h r e e - p o i n t b o u n d a r yp r o b l e ms t i l lh o l d si nf o u r p o i n tb o u n d a r yp r o b l e m 。 k e yw o r d s ：l i m i tc y c l e s ，h e t e r o c l i n i cl o o p ，z 4 - e q u i v a r i a n c e ，h o p fb i f u r c a t i o n ， b o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m s ，t h ep o s i t i v es o l u t i o n s ，c o n e s ，t h ef i x e dp o i n t 1 l 上海师范大学硕士学位论文学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 论文作者躲柳肾啉甲年j 月，乒日 4 1 论文使用授权声明 上海师范大学磺士学位论文 论文使用授权声明 论文作者签名，矜印魄日期t 寸罗年5 月i 缸鹦 导臌名嘏 一 瞵卅每厂隽r 耩 。舞飞譬。i l 一 ，一 上海师范大学礤士学位论文 第一寒引言 第一章引畜 本文包括两个方蔺的内容：z 4 等变近哈密顿七，五，三次多项式系统的极限环的个 数耩一类菲线往莲煮边毽翦歪解鬻题 第二章是研究蜀等变近哈密顿七次多项式系统的极限环的个数 著名数学家d h i l b e r t 1 】予1 9 0 0 年在霆骣数学家大会上提出了二十三个数学难题， 其中第十六个问题瞬藤一半就是t 给定微分方程 勘磊扛，y ) 妇 繇磊y ) 其中r ，q 髓是茹，爹的次数不高于冗的实系数多璞式；问它最多有几个极限环l h 及它 船的相对馕暨，鄙对一切这样的携次系统，麓否敲计出极限环个数魏上莠( 童然依赖予 礼) 。有许多文章是关于这方面的研究的如文献 2 - 6 1 通常，对于一般多项式找檄限环的 数嚣是攫难的鸯了降低难度我奶考虑鬻有菜彝对称嚣多项式系统。磊等变系统是禳重 嚣的对称之一，它首先在文献【7 】中提出下面的定理就是在文献【7 】中给出的 定理1 1 。1 。考虑实多项式系统 耋咄 硝) 江越) 塑d t 一繇( 嚣，琴) ， 其中r 扭，y ) 秘孕。渤，y ) 是茹耱y 魏稚次多项式， 1 1 ，王) 是五等交熬充分祭释是丞 数f ( z ，乏) 赫只；( 茁，y ) + i q n ( 嚣，秒) ，其中髫一 ( 石+ ，y = 蠢( 名一动及i = 夏，有如下 形式 f ( z ，萄= 张( 泣l 窑) 旁p 1 + h , ( i z l 2 j 亨4 + 2 釜r ，。( 嚣，薯) ， ( 1 1 2 ) 忿11 2 0 其孛魏零h l 是复舔数，进一步，方程( 1 + 羔。1 ， 是磊等交懿晗密顿系统韵充要条俘是方 程( 1 1 2 ) 成立并且满足篑十罄兰0 y 醢秘辍黼在文激翻孛 芷鞠了易等变三次系统有王2 个投限环苴磊等交三次系 统有1 个檄限环y u ，h a n 和y u a n 在文献f 9 】中证明了磊等变三次系统有3 个小极 歉环襁罄绕3 个小极限环的1 个大极限环。w 强壬芰a n 秘l i u 在文献【l o 】研究了五等 交5 次系统至少有1 6 个极限环。z h a n g ，h a r t 稀z 氇n g 在文献叠l 】发现了熬次系统至 少有1 5 个极限环，l i ，c h a n 和c h u n g 的文献【1 2 1 给出了蕊次系统至少存在2 4 个极限 环。更多的结果露藤参阕文献i 1 3 2 童l l 第一章引言上海师范大学磺士学位论文 现在，在( 1 1 2 ) 中，我们取n 燃3 和q 一4 ，有 玛。毒。，动一a o + a l i z l 2 ) z + 震莎， ( 1 。1 3 ) a o ，a l 弼a 3 是复数。 若忍4 满慰 警+ 警三o ， “) 穰一” r _ 即满足r e a o 拳r e a l 掣0 那么在( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 成立的条件下，我们得到对应的三 次系统熹如下形式 老攀一y t b o + ( 层1 一1 ) 扩+ ( 艿l 十3 ) 卅岩，5 1 l 雪拳x b o + ( b 1 一1 ) 矿+ ( b i 十3 ) 磐2 l = 一壤， 。 其中 h ( x ，y ) = 一b o ( x 2 + 爹2 ) 2 一b 1 一熏j 积毒+ 爹莲) 莲一b i 3 ) 矿v 2 2 。 系统( 1 1 5 ) 的相图，见图1 i 6 1 ， 2 ( 1 ) 懿= 0 ，b l 一- 1 ( 3 ) 玩一0 ，一1 b i 0 ( 2 ；b o 0 ，b 1 0 ，b t - 1 上海师范大学硕士学位论文 第一章引言 ( 5 ) 玩 0 ，- 1 b 1 1( 6 ) b o 0 ，b 1 = - 1 图1 1 系统( 1 1 5 ) 的相图 另外，在( 1 1 2 ) 中，我们取礼= 7 和q = 4 ，有 局，4 ( z ，虿) = ( a o + a 1i z l 2 + 也i z l 4 十a 6 l z l 6 ) z + ( 如+ a 4 i z l 2 + a 7 1 名1 4 ) 尹+ ( a 5 + a 8 l z l 2 ) z s - l - a g - 君7 ， ( 1 1 6 ) 其中a k = a k + i b k ，k = 0 ，1 ，2 ，9 令p 7 = r e 乃，4 ( z ，乏) ，q 7 = i mf 7 ，4 ( z ，- ) 那么由( 1 1 6 ) 式可以直接得出 b = a o x 一6 0 秒十o l ( z 3 + x y 2 ) 一b 1 ( 刃2 y + y 3 ) + n 2 ( x a - 3 x y 2 ) + 6 2 ( 3 2 2 y y 3 ) + 他( 矿+ 2 x 3 y 2 + x y 4 ) 一6 3 ( 茁4 y + 2 x 2 y 3 十! ，5 ) + a 4 ( x 5 - 2 x 3 y 2 3 x y 4 ) + b 4 ( 3 2 4 y + 2 x 2 y 3 一y 5 ) 十铂( z 5 1 0 x 3 y 2 + 5 x y 4 ) 一b 5 ( s x 4 y 一1 0 x 2 y 3 + 箩5 ) + 0 6 ( z 7 + 3 x 5 秒2 + 3 x 3 y 4 + x y 6 ) 一6 6 ( z 6 y + 3 x 4 可3 + 3 x 2 y 5 十7 ) + n 7 ( 名7 一x s y 2 5 x 3 暑4 3 x y 6 ) 一5 7 ( 一3 x 6 y 一5 x 4 y 3 一x 2 y 5 + y 7 ) + n 8 ( 茁7 9 x 5 y 2 5 x 3 暑4 + 5 x y 6 ) 一6 8 ( 5 留6 y 一5 x 4 秒3 9 x 2 暑5 + 剪7 ) + 0 9 ( z 7 2 1 x 5 y 2 + 3 5 x 3 暑4 - 7 x y 6 ) - 5 9 ( 一7 x 6 y + 3 5 x 4 剪3 2 1 x 2 y 5 + y t ) ， q 7 = a o y + b o x + a 1 ( z 2 y + y 3 ) + 6 1 ( z 3 + x y 2 ) + 0 2 ( y a - 3 x 2 y ) + b 2 ( x 3 - 3 x y 2 ) + 0 3 ( z 4 y + 2 x 2 可3 + 秒5 ) + 6 3 ( z 5 + 2 x 3 y 2 + x y 4 ) + a 4 ( 一3 x 4 y 一2 x 2 y 3 十y 5 ) + k ( z 5 2 x 3 y 2 3 x y 4 ) + a s ( 5 x 4 箩一 1 0 x 2 y 3 + 圹) 十6 5 ( z 5 1 0 x 3 y 2 + 5 x y 4 ) + 舭( z 6 可+ 3 x 4 y 3 + 3 x 2 y 5 + y 7 ) + ( 刀7 + 3 x 5 y 2 + 3 x 3 y 4 + x y 6 ) + n 7 ( 一3 x 6 秒一5 x 4 y 3 一x 2 y 5 + y t ) + 6 7 ( z 7 一z 5 y 2 5 x 3 y 4 3 x y 6 ) + a s ( 5 x 6 秒一5 x 4 矽3 9 x 2 y 5 + y 7 ) + b s ( x 7 9 x 5 y 2 5 x 3 y 4 + 5 x y 6 ) + a 9 ( - t z 6 可+ 3 5 x 4 3 2 1 2 2 y 5 + y 7 ) + 6 9 ( z 7 2 1 x 5 y 2 + 3 5 x 3 y 4 7 x y 6 ) ( 1 1 7 ) 3 第一章萼l 富上海炳范大学硪士学位论艾 本溉我们研究以下苏等变系统 妻渊玩专岛妇，彩，疹糕一玩苇谤7 洳，彩，薹，1 ，8 ) 嚣研究薹。羔警熬七次撬动系缝。敢魏= 4 餐b 1 = - 3 时，嫠襻嗡密赣遗数变秀 h = - 2 ( x 2 + 犷) 十( z 4 十2 疆)( 1 1 9 ) 对应褶黼为i 羔( 蘸x 第三章是利耀上述思想分别研巍了五等变近啥袋顿五次、兰次多项拭系统的檄限 嚣个数。 在瓣四章我们考虑凶点边值的援解问题 速德瓣遂悬微分方爨孛纂鬻重簧赫方蕾，霹参觅文献鎏2 2 罐攀美予透毽阕蘧 的文章肖很多，特别是解的存在性( 包括多擞解、正解、周期解和极值解) 为了解决 鲍类闽越我魏冒缴采爱一些方法，镶舞n o n l i n e a ra l t e r n a t i v eo fl e r a y - s c h a u d e r 2 2 ，3 0 1 ， m a w h i n 的连续性定理1 2 2 ，2 3 j ，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理【2 2 】，上下解 2 2 ，3 l 】，m o n o t o n e i t e r a t i v em e t h o d 2 4 ，等等其中，多点逑馕阍遂电于理论背景的竟泛黧它麓实际瘦攫 性得列了很大鳓熬税线褴= 阶常徽分方程酌多点边越丽题的研究首先并始于i l 汛和 m o i s e e v 随后陆续出现了非线性多点边值问题的众多结果。马如云f 3 3 1 研究了如下非 线缝兰煮速餐鬻遂鹃歪舞 鑫辫专蠡罐歹妻茹，t ( 0 ，1 边值条件 链磷一0 , u ( 1 篇疆鬈妨， 燕中0 豫 3 魄+ 毂) | ；瑚一铅和- - x e ) ( 彩一瓣 i + j o 那么 m ( h ，= b 奄( h - a ) m ，0 o 翼中 b o 一2 7 r c o o ，b il b o ：o = - c l o t r ( h 1 2 + 3 h z o ) 一c o l 7 r ( h 2 , + 3 h 0 3 ) 十c 2 0 7 r + c 0 2 7 1 蠢文献f 差蹴穗【量霹盏接褥翱以下孳l 理。 引理2 1 4 若( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 成立设稃在南d 和而0 ，使得 b j ( a o ) 一o ，j 一0 ，k l ，巍( 6 0 ) 0 ， c 0 ( 如) = c 1 ( 矗0 ) 筹历( 如) 一0 ，c 3 ( 如) 0 ， 和 r a n k 驾刹筹一， 英中锄蒜c 2 l 。慨6 净0 ，l s 0 ( r e s p ，o ) ，( 2 。1 1 ) 有惫十4 ( r e s p ，知+ 3 ) 个极限环 现在我 f 】设( 2 1 1 ) 是譬= 4 的磊等变的假设( 2 1 2 ) 有一等变4 - 角环严是由 4 个双曲鞍点s l ，& 和4 条异宿轨l 1 2 ，l 2 8 ，如4 和l 4 1 构成的，满足仪( ) 一& ， 留( k = 岛。丽融设在p 毒外面存在4 条异宿孰l 2 1 ，l 3 2 ，三嘟和l 1 4 满足疆( 厶j ) = 筑， w ( l t j ) 一岛那么除了r 4 我们有4 个2 一角环 五l = 1 2 u 2 l ，三2 一l 2 3 u l 3 2 ，l a 一三3 4 u 五稿，| 一五4 l u 毛l ， 期一个私角环于4 一二1 4ul 4 3ul 3 2ul 2 1 见嘲王1 ( 4 ) 我们设以上均由方程h ( x ，y ) 一 声定义那么可以假设在0 厣一h 1 的条件下，方程h ( x ，y ) 一h 定义了4 族周端 轨砖，歹= l ，2 ，3 ，4 ，满足九l 。i r a 肄磅= 如，t = l ，2 ，3 ，4 ，而在o h 一声1 的条件下，方 程露溆秽) = 矗定义了2 族周期鞔驴帮砖，满足_ h l 。i r a p + 驴= 参4 帮l i m 芦，l h = f 毒 8 尘整堡整盔兰堡圭堂焦鎏塞簦三壅垦簦震近哈密顿七次多项鼗系统的极限环个数+ ”。_ _ - - - _ _ _ _ 二二二。二二二二! ? o ”- 一y 洲+ n 4 ￥、o _ jl “，”i j 那么我们有以下6 个m e h l i k o v 函数 瓤( 纛，占) 一妻。q d x - p d v ) i , ：o ，0 声一h 1 ，i = l ，2 ，3 ，4 ， ， 魁慨嘉；z 羟宰淼# v ) l , - - o ，溉鬼鑫) = 吏妻孽如一p d y ) l ；鞠，。蠢一多l 。 ( 2 1 1 0 ) 引入 c 0 1 ( 5 ) 一f 牮如一p d y l 蓐神， 娩s 群f 譬如一痢蠡渤， d l ( 6 ) 黼魄+ 锄) ( & ，0 ，艿) ，l i 蕊4 ，( 2 1 1 1 ) c 2 l ( 露一f ( 十甄一d 1 ) i , - _ o d t ， c 2 2 ( 5 ) 黜? 钒+ 甄一或) 稍斑， 我们很容易由【1 5 】得出 引理2 1 。5 。设( 2 。1 1 0 ) 成蕊我稍蠢 舰( ) = ( c o l + c 0 2 ) 一诗( 愚卅i n l 庇卅+ ( c 2 1 + 0 2 2 + 碱) ( 柏 2 c 3 f 是，霹( 纛一圆窑i n h 一多| + ， ( 2 1 1 2 ) 誊0 多一h 1 ，i 一羔，2 ，3 ，4 盼，和 溉( 如，鳓= 4 铷2 1 4 d 1 1 l ( h p ) l nl 托p i 十( 4 c 2 2 + b d l ) ( 一声) + 4 c a ( s , ，艿) ( 纛一声) 2i n | h 一岔l 争， 虹箫”剐啪卅恻”国q 王玛 十4 c 3 ( 吼，艿) ( 危一p ) 2i nf h 一f 十， 蠡0 鑫一声1 畸，其中天l 是方程2 + 1 。2 在最静静强棱并蔑魏( 魏，是琴l 埋2 。王。1 在鞍点s l 定义的二阶m e l n i k o v 系数，辨外玩b l 和b 2 是常数 2 2 主要结果及其证明 本节，我 】考虑旋等变系统主1 。彩，其孛hl 觜z ：- ( 量；1 9 x 都么我嬲胃把熏。1 。霹写 9 箩二掌一盈等变近哈密顿七次多项式系统的极限环个数 上海师范大学硕士学位论文 为 囊= 一钾书劬s + e e t ( z ，挈) ，参= 缸勘产g q 7 嚣，爹) ，簿2 1 ) 其中辟和q 7 风( 1 1 7 ) 对于g 燃0 ，系统( 2 2 1 ) 有9 个奇点：中心0 一( 0 ，o ) ，c l = f l ，量，绣= - 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4 等- x 4 + 丽4 1 6 茹_ 5 + 等) 姬孓码， 所( z ) = v 1 - v 2 x 2 - z 4 ( 8 x 6 一- - 1x 4 - - 孑4 2 2 十彳4 + ( 百1 5 2 2 4 + 了4 8 河2 一- ) 4 2 2 2 - x 4 ) ， _ o ( z ) ：2 v 1 + v ，2 x 2 - z 4 , 删= 肛忑西( 搿+ 4 + 4 v 如2 _ x 4 ) ， _ 3 ) = 、：_ 丽( 警搿4 + i 3 2 w _ 2 十鲁+ ( 妣2 + 詈) 、曩孺) ， 甄( $ ) = f j = _ 而( 菩矿一萼z 2 十詈一( 4 x 2 - 吾) v 危聂翮， 魏( z ) 一伍忑焉萼+ 酉4 9 6 z _ 4 + 酉4 0 8 z _ 2 + 亍8 + ( 等z 4 + 4 1 6 2 2 3 5 - ) 4 2 2 2 - z 4 ) ， 衲) = v i + 4 2 z 2 - z ( s z 6 一百3 4 4 嚣47 42 十亍4 一( 鲁冉r 4 8 2 一- ) v 2 2 2 - x ) + 根据( 2 1 1 1 ) ，( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) ，我们得到 c o l ( 6 ) = q 7 如一p t d y =a f i l ，+ + 5 a 5 ) 1 4 + a 6 h 6 + ( a t + 3 a s ) 1 1 7 ， 。l 1 2 i = o 。j 2 ， 3 c 0 2 ( 艿) = q 7 d x p t d y = a j ( x 2 j + 场) + ( a 4 + 5 a 5 ) ( 1 2 4 十如4 ) + a 6 ( 1 2 6 j l 姒 j = o ，j 2 十如) - 4 - ( 卿3 a 8 ) ( x 2 7 磊7 ) ， f 2 。2 4 ) 其中 如= 一z 1 秘咖，j = ( ) ，1 ，3 ，4 ，6 7 ， 场= 一，以哟池删 l 3 a 6 ，7 ， 上海师范大学硕士学位论文第二章反等变近哈密顿七次多项式系统的极限环个数 由近似计算，我们有 岛= z 以驰j = 0 ，1 3 4 6 7 1 1 0 = - 1 1 1 0 7 2 0 7 3 5 ，1 1 = - - 0 8 0 7 2 2 7 9 0 6 7 ，1 1 3 = - 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