（计算数学专业论文）奇异摄动问题自适应移动网格迭代算法研究.pdf

摘要 对予奇异掇动两赢边值阉题，麓通常的数值方法在均匀丽格上 求得的解是不理想的为了能得到所求解问题稳定可靠的数值解， 谶年来，构建囱适应 # 均匀阙捂的移动丽格方法弓l 起了爨痰羚学者 的广泛兴趣，并将其用于计算流体力学、半导体理论和材料科学等 领域。本文酶烹要王佟就是采蔫援长控裁溺数，逡焉丽楱等分布源 理，研究求解奇异摄渤问题( i ) ( 1 i ) 的移动网格迭代算法，并对其进 行收敛健分毒鼋翻数蹙实验 本文分为两部分第一部分，我们针对所研究的问题( i ) ，给出 了一种金离散格式。它是一个 # 线潍代数阀题，求勰工作量大越难 以判定方法的收敛性于是我们构造了自遣应移动网格迭代算法； 该算法逶过逶滔选取控裁函数，采惩攘应戆霜格等分布技术，生或 了适合边界层的自适应非一致网格，并求得问题的近似解而且我 们裁嗣【7 】孛黪结果对算法豹误差进行了分橱，缮穗了一致收敛麓结 论，并用大量数值实验加以验证由于工程上对数值解的高精度需 求，我们迄逡凌震要溽求褰穗麦方法我们绘出了误差校正方法帮 r i c h a r d s o n 外推方法，他们都是几乎二阶一皴收敛的，大大降低了近 锾鼹懿误差遗撼鲍是我娲j 丕未鼹二除方法作收敛性分爨，只是提 供了一魃数值结果。第二部分，我们用一种不同于【7 中的方法，给 如了求鳃阅题( i i ) 的鑫适应移动网格迭代纂法的收敛性分析。我们 先导出微分算子的稳定性，然后得出任意网格上的后验误差估计， 再剥用离散格林函数理论证姨了当离散算子为标准迎风揍式时纂法 求得的数值解是关于摄动参数s 一致一阶收敛的。 文辫最后，作者总结了本文的工作并对求缌奄异摄凌闻题的叁 适应移动网格方法提出了展望 关键词：一致收敛，奇异摄动，等分布，移动网格，非守恒。 2 a b s t r a c t f o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m s ，m o s tn u m e r i c a lm e t h o d sc a n tg i v ea s a t i s f a c t o r ys o l u t i o no na n e v e nm e s h l a t e l y , t oa p p r o x i m a t et h e m e f f e c t i v e l y , t h e r eh a sb e e nm u c hi n t e r e s t si nt h e s t u d y o f m o v i n g m e s hm e t h o d sw h i c ha r e u s e dt og e n e r a t ea na d a p t i v em e s h ，a n da r ew i d e l ya p p l i e dt of l u i dd 5n a n l i c s s e m i c o n d u c t o rd e v i c em o d e l i n ga n dm a t e r i a ls c i e n c e 。a n ds oo n t h i sp a p e ri s m a i n l yt oi n v e s t i g a t eam o v i n gm e s hi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gs i n g u l a r l y p e r t u r b e dp r o b l e m s ( i ) ( i i ) b ye q u i d i s t r i b u t i n ga na r c - l e n g t hm o n i t o rf u n c t i o n ， m a k e c o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n dc o n d u c t s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h ea r t i c l ei sc o m p o s e do ft w op a r t s ，i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v eaf u l ld i s c r e t i s e ds c h e m ef o ro l l rp r o b l e m ( i ) i ti san o n l i n e a ra l g e b r ap r o b l e m ，w h i c h i sd i f f i c u l tt ob es o h , e da n dt ob em a d e c o n v e r g e n c ea n a l y s i s s ow ea i mt o c o n s t r u c tam o v i n gm e s hi t e r a t i v ea l g o r i t h m ，w h i c hc h o o s e sas u i tm o n i t o r f u n c t i o n ，g e n e r a t e san o n u n i f o r mm e s ha d a p t e dt ot h eb o u n d a r yl a y e rb a s e d o ne q u i d i s t 西b u 氆o na n do b t a i n st h en u m e r i c a ls o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，w em a k e e r r o ra n a l 3 s i sa b o u to u ra l g o r i t h mu s i n gt h er e s u l t si n f 7 】u n i f o r me o n v e r - g e n c ei so b t a i n e d n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa g ev e r i f i e d i ti su r g e n tf o ru st o s e e km o r ea c c u r a t en u m e r i c a lm e t h o d st om e e tt h ed e m a n do fa c c u r a c y d e - f e c tc o r r e c tm e t h o da n dr i c h a r d s o n e x t r a p o l a n tm e t h o da r ea d v i s e d w ef i n d t h e ya r ea l m o s ts e c o n d o r d e ru n i f o r m l yc o n v e r g e n t ，w h i c hg r e a t l yd e c r e a s e t h ee r r o ro fn u m e r i c a ls o l u t i o n s b u tr e g r e t l y ，w eo n l yp r e s e n ts o m en u m e r - i c a lr e s u l t s ，n o tt h e o r e t i c a la n a l y s i s i nt h es e c o n dp a r t ，w eg i v ea na n a l y s i s d i f f e r e n t f r o m 同a b o u t o u r a l g o r i t h m f o rp r o b l e m ( i i ) 。w ef i r s td e r i v e s t a b i l i t y p r o p e r t i e so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，t h e nd e v e l o pap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t eo n a na r b i t r a r ym e s h ，a n dg e t 一u n i f o r mc o n v e r g e n c eo fo r d e r1 u s i n gd i s c r e t e g r e e n sf u n c t i o nw h e ns t a n d a r du p w i n ds c h e m ei sa p p l i e di no u ra l g o r i t h m f i n a l l y , w es u t l iu pt h em a i ni d e a so ft h i sp a p e ra n dm a k es o m ec o m m e n t s o nt h ep r o s p e c to f m o v i n gm e s hm e t h o d s f o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e d p r o b l e m s k e y w o r d s ：u n i f o r mc o n v e r g e n c e ；s i n g u l a rp e r t u r b e d ；e q u i d i s t r i b u t i o n m o v i n gm e s h ，n o n c o n s e r v a t i v e 3 第一章零l畜 在广泛戆蜜际应耀阅题中，往键出现解的性骏相对恶劣，方程 在求解区域的局部变化非常剧烈，或者是习之解区域整体相对较大， 却又要对其中小部分上簿懿缨节信息要求很高的惨琵。我们髂之为 奇异摄动问题例如；本文将要研究的非守恒问题 ! ii 翟- 烈z 澎扛净。1 蚝】幻；， c ， ：蔷；! ! ii 竺：i p z “i 立= ，z lz 。1 k e t t 。， 其中让( 搿) 表示淑度或浓度，是扩散系数，也称摄动参数，0 0 秘g ( o ，1 ) 为用户选择参数，q 是用于求解边界层的网格点比率， 口= ；时， s 袭暴在逸界层敖置一半的节点；a 决定透爨层志阙辏戆等级d = ( 1 一c a l n q ( q f ) ) ( 1 一目) ，c o = ，0 = 口一a 在边界层外采 鼹了均匀睡格，睡格生成丞数戈c 1 【0 ，l 】酶0 为纲鼹榜与翟露穰戆 转折点它可看作是通过等分布控制函数m ( 。) = m a x 1 ，譬e x p ( 一罴) ) 生成鲍。 s h i s h k i n 网格【2 6 2 7 t 3 5 1 ：其定义为x i = x ( i n ) ，i = 0 ，1 ， ， io ( q ， 当f 【0 ，q ，。、 l1 一( 1 一口兰) ，当【q ，1 l 。 。 其中0 一m i n ( a l n ( n ) ，q ) 为细网格与粗网格的转折点，口是用于求解 迭爨瑟豹嚣格轰毙率，这样嚣耀【0 ，0 】零羹离1 j 被分藏q n 秘1 一q ) n 个等距子区间( 假定q + n 为整数) 。a = ( 卢定义于( 1 1 3 ) 中) ，例 懿魏a 一2 0 盯决定逮界层肉霪格终蕊密+ 这两种特殊网格中，虽然s h i s h k i n 网格比b a k h v a l o v 网格简单， 毽b a k h v a l o v 圈格更适合予逡赛瑟续擒参考鏊2 】) 。 这必先验选择的特殊网格能适应问题的奇异摄动特性，给出满 意懿收敛性分糖结呆参考【2 4 】程 4 2 1 ) 。m i l l e r e ta 1 江8 】在s h i s h k i n 提出的分片均匀网格( 在边界区域网格细密，在其余区域网格粗疏) 上对标准迩最格式馋了分橱缝艇涯羁了标准避风格式在s h i s h k i n 网格( 【26 和【2 7 】) 上一致收敛r o o s 3 3 】近来在特殊网格上也给出 了一些缝果。健剥用这些网格时，要求联考虑的阗题结糖特殊，毙 如问题的求解区域为正方形域，解只有边界层的情况佩对于般 鳃阗题不规则求勰巍域或解有爽鼷突变) ，特殊阙揍就照 导无麓为 力 不象1 1 2 】、| 1 6 1 糯【2 翻零提出懿方法郄群，蠢适应耀格不仅能 处理边界层问题而且能处理内层突变问题g a r t l a n d 【1 2 考虑了一 耱指数加密网楂并指擞了怎榉去梅建任意巍阶一致收敛魏辏式文 1 2 9 1 对于奇异摄动两点边值问题在岛适应网格上获得了较高精度的 数值解。 在特殊网格方面的研究成果已经相当完善( 参考f 2 1 】和f 2 4 】) ， 7 对毙之下，在鑫适应麓格方瑟翡工佟甚少。实际上，鑫逡应丽穰较 之特殊网格更遗合不规则区域的二维问题和有内层突变锵的问题 一般地，蠢适应睡格薛稳建是建立在对控裁溺数秘麓等分布藤 理的基础上的在许多文章如【4 】、 17 】、【2 3 】、 2 5 l 和【3 2 】中， 都爰到了控裁溺数。控素l 函数谈广泛应用予求解边界瑟鬻题劳垒残 非均匀网格的自适应算法中设问题的求解区域为n = ( 0 ，1 ) ，则 按麓函数掰( ) 是定义在q 上懿任意藩受爨数。我餐考露任意潮捂 蛳，z x n ) ：0 = 茹o z l 0 若漾怒关系式 ，o i1，1 m ( z ) d z = 素m ( x ) d x ，j 一1 ，| ( 1 。1 7 ) 我们就说网格 。，) 是等分布m ( ) 的若已知，等分布网格的效率 靛仅依戆予控麓函数艏) 静选择文献【2 翻取控翔函数为m ( z ) = ( 岱) l ，它的局限性是在l l 很小的区域中网格尺寸很大。大多数作 者选择栋准孤长函数豫，。( 茗) = 、l + i 。( 嚣) 酶离散形式作势控髑函 数通过等分布控制函数进行移动网格剖分可以参见汤涛、张平文、 汤华中、s l o a n 、b e c k e t t 翻m a c k e n z i e 等人静工俸 近来有大量数值实验表明，用自适应方法求桶奇异摄动两点边 德阉题，得到了与奇辩摄动参数无关熬一致收敛数徨解鑫适应方 法是解决奇异摄动问题的一个重要途径潜关于所求解的奇异摄动 闺题有大量戆先验信怒，跑强逮器簇懿霞置穗潭发，郅么梅建一释 一致收敛数值方法就变得简单多了自适应方法的优势在于已知的 先验倍感稷少线兄乎没有霹仍然笼够褥餮一致收敛酶数德鹅。 自适应方法大致分为三类：增加逼近空间的阶、局部网格加密 鞭移动溺格方法；其中移动鬻捂方法最逶合毙精镶低翡突际阉题， 而且网格总的节点数保持不变当前，在实际应用中最迫切需要解 决戆委疑郡些菸有鸯舞牲斡瓣题，典蘩懿锶子就是带边器层对漉扩 散问题由于小参数的影响，这些问题的解在局部范围内具有很高 鲍导数，它靛常常寒囊许多缝应嗣赞暴，妊：半搏体理论、漉钵动 力学、地震学、化学、地质物理学和非线性力学等对这类带边界 8 菇黠嚣扩教阗怒数建方法夔爵蹇基经 鲞囊大量魏文懿霸蓉露，鼹关 于这类问题自适应算法研究坯很不够，尤其是对其移动网格方法的 探索工露，学者奶罱移动霭强方法对一维、二维蒹至三维阚瑟褥蹬 许多数值实验结果，出于问题的奇异性使棒萁移动网格算法本身的 莲论势辑王痒非港零蟪，器便是关于一绻闻蘧这方露翡逐很少霓， 更别说是高维问题了 移动溪裕方法在许多凑毽与工程领域孛有广泛藤重簧戆应燕， 例如：围体和流体动力学、燃烧过秘、热量转移及材料科学等等； 褒这些领蠛中瀚理瑗象往篷袭局蒸隳域其蠢奇异戆，如：激滚、透 界层和燃烧波等等为了数值处理这些物理问题，我们猩物理馘域 中懿嚣碧枣鲍简蘸进行霹穆缫分，遂儆求爨数篷突变懿瓣函数对 流扩散问题就是其中的类，它包括粘性波和具有较大雷诺数的不 霹篷淹等。 q i u 簿在文【3 1 1 和【3 2 1 中对于奇姆摄动问题( i ) 半离散形式的自 遮应方法俘了分辑，褥戮了荚予摄霸参数鳐一致收鼗，其收敛狳 为7 ( 0 7 1 ) ，半离散形式通过等分布真解的弧长控制函数采生 成霭楂弗在已求瓣搔上求霉滋锻舞。在交黼串陈艳萍对半离数形 式自适应方法的误差佧了改进，得到了n 叫i n n 阶一致收敛般 滚，闻慧煞粪鳃是寒熟媳。予是，在实际毒 算中，通过联立离散鹩鹰 限差分方程和邋近解的弧长豁分布方程，褥出奇辨摄动问题的自适 疲耀据秘数傻鳃。这便是全褒救形式。它是一个嚣线性代数阗题， 潮而褶蹴之下，垒离散形式的自适应方法分析更嶷杂在文【7 中陈 艳萍裁等分煮网梧的垒离数形式终了误差分橱，缮出了一除一致收 虢的结论，但淡有涉及到数德实现b e c k e t t 5 】曾经采用邋如下方法 对全离散形式进行求瓣；他先在初始均匀网格上求鼹，然屠将此娆 稔区闻 0 ，1 】线性插值，再通过等分稚该插德函数曲线的弧长隶得新 的网格重复这个过攫，直到满足繁秘糖发为止。可惜的是求褥鳃 解数值不稳定t o r s t e nl i n 声 2 2 1 采溺了联合显式欧拉法( 预处理) 和 牛顿法( 校正) 的办法求鼹。德其收敛性没凑得到涯明n k o p t e v a 榴m s t y n e s 在文献 l 锑串针对一种守恒秘撼线倥甜题在等分布阏格 9 上的全离散形式成功魄终了数值实蠛 、 本文就是熬于文1 1 9 】中的思想，采用离散的弧长控制函数并运 雳霭楱等分布原莲，研究 守恒闻题( i ) ( i i ) 全离散形式的一种有效 的自适应数值方法，b p 移动网格方法针对问题( i ) 的全离散形式， 秘震文献强申邑褥鳇分辑结果，证褥当离散算子为迩晟算子露，求 解奇异摄动问题的自适应移动网格迭代算法的一阶一致( 关于s ) 收 皴，并侔了用露适应移动霆格迭代算法隶鳃阉题( i ) 懿数馕实验露 时，我们也给出了提离问题( i ) 数值精度的两种方法和数值结果； 然后对燹一般形式的阕题1 1 ) 熬全离散形式痒了不嗣予文 誉翡误 麓估计，并采用离散格林函数方法，得出当离散算子为标准迎风算 予时，求解毒髯摄动阉题懿彝适应移动网捺迭代算法懿一致( 荧子 e ) 收敛性 在我们鳃健计中，蘑到了最大模；( 。) 一e s ss u pl 。( 茗) | 。 z f 0 ，l j 如不特别说明，全文用c 表示一类与s 、采用的网格以及自适应移 动溺格算法迭健次数茏关的正常数，不嗣的遗方敬不露酶蓬一个 带下标的c ( 例如c - ) 袭示一个与e 、采用的网格以及自适应移动网 格算法迭代次数无关戆歪常数，毽楚其篷是藿定的峦予整个算法 都是采用固定的+ 1 个网格点，记号中的我们省去例如，我 蜒惩珏( 2 ) 表录算法第惫次迭代缮到酶数篷瓣，嗣( t ) 表拳第鸯鼷瓣 格上的微分算子 1 0 第二章奇异摄动问题【i ) 豹囊适应移动网格迭代算法及 其离精度方法 文【8 、f 3 1 】和【3 2 对手奇异摄动问题( i ) 半离散形式的自适应 方法作了分柝本文书，对予奇异摄动问题( 1 ) ，先给出全离散菱分 格式，内于全离散差分格式求解的困难性，我们采用了一种自适应 移动网格迭代算法该算法嫂被n k o p t e v a 穰m s t y n e s 【l9 】用寒对 一种守恒的拟线性问题进行分析丽我们这里要处理的是一种j # 守 恒的问题以文l7 1 中融碍的结论为糕础，我们从理论积寰验上证明 了当离散算子为迎风算子时，自适应移动湖格迭代算法所求得的解 是e 一阶一致收敛的。因为离精确度的需要，我们列出了两种赢精 度方法，并用数值实验加以说明 第一节全离散差分格式 问题( i ) 是日e 守恒形式的，其真缌是 叱) 一器，g = f e x p 卜1 o 删她 ) 通常，扩散系数s 很小，使问题变得奇异这个问题可以菊作 是具有大譬诺系数鳇n a v i e r - s t o k e s 方程的线性形式。它为计算流体 力学中的数值求解提供了典范文 8 、【3 1 和【3 2 】也对其进行了研 究。 问题( i ) 在左边界。= 0 处有一个厚为移( s ) 的边界层在边界层 区域其鳃数导数摄大，解戆变化型烈，边赛层外其察变化觌受l 。在 均匀网格上用很多数德方法都不能有效地逼近，出现振荡或不精确 现象。颥i 虽这麴振荡不仅影响到边爨层，也影噱剿整个求惩区域蛇 误差例如，当用标准二阶中心差分格式在均匀网格上求解问题( i ) 陬p ( x ) 为常数8 ) 时，蓿丽格单元数不大予a ( 2 c ) ，在整个求解 区域上解将发生振荡邀就限制了我们不能取很小的e 。故巍e 1 时，为了得到同题i ) 稳定可嚣的数僚解，需要一些特羽的数值技 术，有必要在边界层区域放置更多的网格点理想的做法是，根据 辩的特袋舀适应施生残逶合逮舜基特经酶两裰通常，这种程适应 非均匀网格是在区间【0 , 1 】上等分布某个非负的控制函数来构建合 壤选取羧裁函数是攫关键懿，怎撵选琢理想鲍控爨鬣数识然是傻褥 探究的问题( 参考 1 3 和【2 9 】) 为了求鼹瓣蘧( 1 j ，我嬲下覆绘塞一稳数簸捂式首先，我们考 虑任意网格u ： z o ，。 t ) ，其中。一。o 搿l 1 ，c o 越接近于1 ，彳嚣虱酶数值解越精 确，但需要更多的迭代次数本文中，我们取c 。= 2 若 警sc o n ( 2 z 3 ) “) 、7 则执行第5 步，否则执行第4 步我们用( 2 2 3 ) 式作为算法终止条 件。 第4 步：等分布当前近似解曲线的弧长，以便生成新网格： 确定掰的网格点0 一g 妒“) 。p 1 ) z 嚣) = 1 ，使，导从点 暖譬柏，u ( k ( 。譬1 ) ) 到点( 。州，“( 却( 搿q ) ) ，( i = l ，| ) ，沿解曲线 札恍。) 的距离为五佧) n 然爝返回第2 步执零亍。 第5 步：设 $ 函。j ，z 知 一 2 护卅) ，。i h ”，。嚣+ 1 ) ) 为最后所得的 1 4 网掇， 珏长珏i ，u w 让妒1 ，挂，姓鹭) 为所求褥的数值鳃。至此 算法结束 滤：算法终止条件( 2 2 3 ) 也可以换为 ( 2 2 ) 事实上，条件( 2 , 2 4 】比条件( 2 2 ，3 ) 更强。装条件( 2 2 4 ) 满足，则 l ( ) ：；n f 5 kn m 。i nf ：( n c o ) m a x 1 5 “) ， 这等价于条件( 2 2 3 ) 但反之不对 第兰链收效性分析 这一节，我髓将谖嘎当离散算子为蠡灌襄中点迎风葵子时，爱 移动网格迭代算法求得的数值解是一阶一致收敛的这照的误涟分 橱是建立在 7 l 中的邑蠢结论基毯之上戆 1 ，襄散冀子为标准迎鼹的移动网格箨法误差分毒嚣 定理h 假定移动网格迭代算法满足终止条件并终止设最后生成的 嬲格为 芷0 ，0 墨i 墨n ；珏。) 巍闻题冬) 鹃龚簿， 珏为在该鼹 格上用标准迎风格式计算所得的数值解。且设冠( $ ) 为 ( u ，) ) 的 分片二次援僵，即当z 眩喃g ；) 时， 面( z ) 怒：d + d u ，( 搿一甄一i ) + 阻，( 。一鼢一1 ) + “墨，( 魏一z ) 】，( 2 3 1 ) ，q 那么 o m a x l 缸( 筑) 一锃f | s c 证臻：根据箕法，设擎= 髓啦，) ：+ 甚一) t 是最后褥到 得数值解曲线上两个相继结点之间的弧长，为数值解曲线的总 1 5 怒 x n 竺峨， 弧长。由1 7 】中的引理3 2 ，有1sl n 曼c z 。因此当1 兰i 蔓n 时，根粥【7 】中的定理3 1 ， l 蠢( 嚣) 一锰( 。) l l * s c 6 ，m 。，a 。x 。h d 一”f 并利用( 2 2 2 ) 裥( 2 2 3 ) ，得到 扶丽褥证 ( z ；) 一“f isl 缸( z ) 一札( z ) i 。 s 瓯m a x h ；d 一鞋f g 1 l m a x h tx 1 + ( d “，) 2 冬c g l m 、a x ，l # g 膏c 0l n l ，c o 越接近予1 ，得到的数值解越精 确，但需鼷更多的遗代次数。本文中，我们取c o = 2 若 m 专a x 矿i i 2 ) 竺n ( 弧7 ( 衅 9 j 0 执行第5 步，否则执行第4 步我们用( 2 5 7 ) 式作为算法终止条 孚 第8 步：镣分布当前近似耩盛线驹弧长，戳便生成新丽楱： 确定新的网格点0 ：卫铲删 茹铲州 1 ，c o 越接近于1 ，得到的数值解越精 确，但鬟要更多的迭代次数本文中，我们玻岛= 2 。若 专m a x 矿i i ) 旦n ( 2 姗) l”u 玉1 ) 一p 7 则执行第5 步，否则执行第4 步我们甩( 2 5 1 1 ) 式作为终止条件 筹? 步：等分蠢警翦近纭鼹鼗线鹃援长，激亵= 生或蓑释疆： 确定新的网格点0 = 护删 z p 删 ，珏f 衅( 嚣p ) ) ，( = 1 ，) 淤缌夔线 “( s ) 。懿距离等予掣然霜返露第2 步执行。 第8 步：设 z ；，茹 ，岱知) = 茹护，z 铲+ 1 ) ，z 嚣+ 1 ) 为所得的网格， 嚣；，鞋；，珏 = 狂擎，* 擎，珏霎 为耩褥的数德解。至魏算法结 束 3 高精度方法的数值实现： 我们仍然采居上节的算铡铡1 和铡2 对它们分剐用误差校 厩移动网格算法和r i c h a r d s o n 外推移动网格算法对其进行了求躲， 数篷结祭在表9 一表1 2 串弱蠢。这受的误蔻结果采焉离散最大模估 计，即俐删= 警j ( 曲) 一u ( 矗) i 表9 ：用误藏校正移动网格算法求解倒l 的最大模误差 en = 3 2n 一6 4n = 1 2 8n = 2 5 6n = 5 1 2n = 1 0 2 4 1 0 11 5 6 e 一34 3 6 8 41 1 7 e 一42 9 5 e 一57 4 7 8 61 8 8 8 6 r 一1 8 4 t = 1 ，9 0r = 2 ，0r = 2 0r = 2 0 是= l一1= 1是= l惫蒜l_ 。= l 1 0 21 ，7 2 e 23 8 2 e 一31 4 3 e 一33 9 6 e 一41 0 6 e 一42 7 3 e 一5 r = 2 2t = l 。4t = 1 9r = i 9r 22 0 k = 2盎然1k = i= i七然1克= 1 寝1 0 ：用r i c h a r d s o i l 外撒移动网格算法求解倒1 的最大模谋蕴 n = 3 2n = 6 4n = 1 2 8 n = 2 5 6= 5 1 2n = i 0 绷 1 0 一15 0 7 e 一41 3 4 8 一吐3 6 l e 58 4 1 e 一62 0 3 e 一6 5 ，8 3 e 一7 r = 1 9 0t 一1 9 0r = 1 9 77 - = 2 ，0t 一2 o k = 1* 1七= l七= 1七= 1患= 1 1 0 22 2 记一3巷4 4 嚣一42 3 5 e 一4 7 9 4 e 一52 2 8 e 一56 0 7 e 一6 r = 1 8 2t = 1 ，4 6r = 1 5 6r = 1 8 0r = 1 9 1 = 2 一t= 1壳= 1自一1k = 】 表1 1 ：罱误蔻校正移动鼹牾算法零藤爨2 魏最大骥浸差 en = 3 2n = 6 4n * 1 2 8。= 2 5 6n = 5 1 2n = 1 0 2 4 王o l8 + 巷3 e 一矗1 8 9 e - - 45 。8 8 e 一5l + 4 0 e 一3 ，3 8 e - 6s 4 l 一? r = 1 8r = 1 7r 糟2 1r = 2 1r = 2 0 凳= i 鸯一l壹一1 亳= k 一1女= t 1 0 21 6 1 e 一23 8 4 e - 31 3 9 e 一33 7 3 e 一41 0 0 e 一42 ，6 e 一5 r = 2 1r = t 5r 1 9r = t - 9r = 2 0 j c = 2 凫一1 。1七= 1k l凫= 1 液1 2 ：用r i c h a r d s o n 外推移动剐格髀法求解例2 的最大模谈箍 f 一3 2冀一6 4 n t l 2 8n = 2 5 6n 一5 1 2n = 1 0 2 4 1 0 一i4 ，9 1 e 一4】2 8 e 一43 3 3 8 5 1 0 1 e 一2 ，5 3 e - 66 4 l e 一7 r = 1 9 4r = 1 9 4r t 7 2r = 2 0r _ 2 0 = 1七= 1凫= 1七= 1七1七= 1 i g 22 2 3 e 一36 7 s 嚣一2 。4 l e 一4 7 9 i e 一5 2 2 0 e - 55 8 6 e 一6 r = 1 。7 2r = 1 4 8r 1 6 1r = 1 8 4r 一1 9 1 k = 2 竞一1 女= 1竞= 1 女1= t 对予麓一个s ，随着n 麓增大，诿惹逐涛减夺。农每个谡蒺瓣。) 下面，我们给出了收敛率，即r = l o g 。( 罂) ，其中q 为固定s 下剖 分数鸯n 嚼羲搽差。这篓枝敛率蓬整n 翡增大接近予2 ，表醒我们 的算法球解奇异摄动问题是几乎二阶一致收敛的，比起其它数值方 法翡一除精度，我翻改进了竣绶辜，是静离耩发葬法黉予爨适 应算法的非线。，这些收敛率接近予2 的獠度是不规则的。同时， 我鳃龟到遗了受算法终生条终溅是霸算法箨立时s 速我熬次数k ， 随着n 的增大迭代次数k 减少 第三章奇异摄动问题( i i ) 的自适应移动网格迭代算法 收敛性分析 奇异摄动问题( i i ) 是更一般形式的这里对其全离散形式也用 第二章所述的自适应移动网格迭代算法进行求解，采用一种与【7 中 不同的方法作了算法的收敛性分析，证得了一致收敛的结论在分 析过程中，我们用到了【1 9 】中的一些技巧但由于问题( i i ) 不象【1 9 中的对流扩散方程那样，它不是守恒形式的，这给我们的分析增加 了一定的难度先导出微分算子的稳定性，然后通过引入连续和离 散算子和函数，得出任意网格上的后验误差估计，与文献【7 不同的 是，这里用到的是数值解的分片线性插值而不是数值解的分片二次 插值，再利用离散格林函数方法得到一致收敛估计 第一节微分算子的稳定性 问题( i i ) 的微分方程右端项通常被认为具有f ( x ) = 一f ，( z ) 的形 式其中f ( x ) 是一个有界的分片连续函数这一节我们给出微分算 子l 的稳定性质 引理1 ：若p ( x ) g 1 ( 【o ，1 】) 满足( 1 1 3 ) ，并且y ( x ) = 一f ，其 中f ( 。) 是一个有界的分片连续函数，那么问题( i i ) 存在唯一的弱解 u ( x ) c o ，1 】使得 j j 扎( 。) j o 。sg ，j j 工u ( z ) j j 。，( 3 1 】) 成立，其中 i i f ( z ) = f 璁，f 扛) l l 。= r a i n l 。；1f ( t ) d t 十c k ( 3 12 ) 证明：仿照【1 7 1 的做法，对问题( i i ) 的微分方程进行积分，从而将问 3 0 麓( i i ) 鑫譬唯一解表不为 嚣叫小b ( 1 ) 糕， ) = f o 。e x p ( 一；雌) ) 啦即) = f p 比， 脚) = 一；f 唧( 一；1 即) ) - 肌s ) e x p ( 1 ) d 鳓 懿形式，然爱分裘对其进行倍计并稠蘑( 1 1 ，3 ) ，蜀 a 扛) 曼丢， ( 。) 万l l - e x p ( 一万卫e ) 】； 即) 蹙否2 + 岳) f 1 t 。 从而肴 一1壁二ls望，ao)一= i - e x p ( - - j l c ) s 予， l 缸茗) | 茎( 万2 + d ) i i f i i 。+ 譬；+ ；) ； f | | 。 q l t f | | 。 再利用范数定义( 3 ，1 2 ) 易得结论舆体证明过程参考文献【7 l 中的弓 镬21 霉l 理2 ：对于经意的爨数。h 1 滔1 ) 稷镏( $ ) h t f o ，1 ) ， f o ) ： 训( o ) ， ( 1 ) = w ( 1 ) ，肖 l ”( 。) 一l w ( x ) 一f 扛) ， 其中f g ) 是药爨的分片连续函数，则 u ( z ) 一( z ) l l 。sc 1i i l v ( x ) 一l w ( x ) l l + ( 3 1 3 ) 证萌：辅用线性算予的性质l v ( x ) 一l w ( x ) = l 扣( z ) 训( z ) 1 和弓l 理 1 ，不难得到上述结果。 类似于问题( i ) ，我们态义问题( i i ) 的标准迎风格式为 ：避：= 一c d d 一罐一极d 钍? “g = 0 ，= 0 。 3 1 = 五，1 i n 一1 ，( 3 ，1 4 ) ( 3 1 5 ) 其中五* ，) ，p ，、d + 血f 和d + d 一嚣r 的意义如第二章所述由此 可得： 推论1 ：设乱( 搿) 为问题( 1 1 ) 的解，为( 3 1 4 ) - ( 3 ，1 5 ) 在任意非均匀 网摆上求褥懿遥强髂，( 。；势蟛懿分片线性播僮，那么 u ( 。) 一u ( 。) l l 。茎c ii t l u ( z ) 一l u ( 茁) l l + ( 3 ，16 ) 注：推论1 可以由引理2 直接得到我们这里用的是数值解的分片 线性擂谴，丽f 7 l 中用的是数值鳃熬分片二次援馕。 第二苇锤意圈格主懿基验误差估诗 这厘，我们给出一种不同于【7 】中的误差估计方法 营先，针对阕题i i ) ，弓l 入下列连续和离教瓣算子翻丞数 r 1，】 a u ( 茹) ：= ”( z ) 十p ( 霉) ”( 嚣) + p ，( s ) v ( s ) d s ，f ( 霉) ：一f ( s ) d s 一1 一1 a 酞：= g d 一讥十张仇+ eh k + l 口+ p k v k ， 掣：= 饥+ l a 设u 为任意网格： o m ，, t n ) ，其中0 = z 0 孔 x n = 1 注意到在( 0 ，1 ) 上，”( 茹) = - ( a ”( 芏m ，扛) = 一f ( 。) 在。 上，l 优= 一d + ( a n ) ， = - d + 五”。困而 a u ( x f ( g ) 辩，￥。( 0 、l 以耻，一f 兰盘， v 。l 叫 ( 3 2 1 ( 3 2 ，2 ) 其中n 和口为常数， 设u n ( x ) 为( 3 | l 。移( 3 1 5 ) 懿释酵懿分冀线性撬氆。摄据3 1 巷 和范数定义( 3 , 1 2 ) ，有 | l e ( 。) 一u n ( z ) ij 。c l 五( 钰( z ) 一鲇( 。) ) i | 。 = c ，1 1 姆l l a ( u ( ) 一1 t , “卫) ) + o l 。 c 8 、 3 2 显露易霓 卿娶t l a ( u ( x ) 一扛) ) + e l l 。sh a ( u ( x ) 一札( z ) ) + o 一戏i i m ( 3 2 3 ) c t 托 其中。和口为( 3 2 1 ) 式和( 3 2 2 ) 式中的常数。并且，对于任意的 $ x 一l ，。， c ( 0 ，1 ) 甜，舂 a ( 让( z ) 一u ( 嚣) ) + 。一血= a 让，一a “( z ) 一f y 十f 扛) 现在我们需要去估计上式右边几项的界限 因鸯 q x ( 鬈h 国) ，( 珏( 嚣) ) = d 一嚣，所以铡爰算予矗秽a 的定义以及分部积分，可以得到 a 一a u ( z ) = e d 一 r + 鼽“r 十丸+ i d + p 七札 一。d 一缸，一芦( 。) 珏( 茹) 一f 1 ( s ) 越撑( s ) 建$ = h k + t d + p k u n + t 一，( 8 ) ( s ) d s + ，默p ( s ) ( t 上( s ) ) d s 我们可以对上式的右端的项进行估计； i a + ，d + 绺略，一厂”1 ( s ；钍( s ) 办l h k + t t i p ( z ) i l 。i 嚣备，一鞋掣 ， i ，o b lf p ( s 蚪刚如p ( 茁) 娃g 一珏孙 从而得到 1 a “，一a u n ( 。) 1 曼( 1 i p 扛) 1 1 0 。+ l i p ( z ) 1 。) k ；。m a x 一。1 乜矗，u 2 ，1 一 ( 3 2 + 4 ) 接下来估计对7 一f ( x ) 由 譬2 歹疽s 曼h il | 于( 茹) 积 i h k + l a 一层”，( s ) d s | ( + 1 ) 2 i i ( x ) l l o o 3 冀 可知 f 一f ( 。) l ：i 基 川，。一f ，( s ) 叫f 一f ( z ) l = i t + 、a 一，( s ) d 8 l 蠹= t 。4 ( 1 l ：( x ) l l 。+ i ，7 ( x ) 1 1 。) m a xh k 联立班上酶话计式，褥 ll l ( 鞋一要如固m 。a 舭x ll 哦l 一钍g l + c 3 m a xh k ( 3 2 5 ) 其中常数q 一旧( 。) i l 。+ i i p ( x ) l t 。，g = l i f ( z ) l l m + i i ，协) 最后，得到如下的后验误差估计式： 宠理2 ：设钍( 。) 是问题( i i ) 的解，u ，是标准迎风格式在任意非均匀 网格上求得的懈，让( 。) 为u 的分片线性插值，鄢么 珏辩留) 一锃( 。) | 。s c t ( 国。雪譬l 氍g 一钍鉴，l 岛。鹭? ：矗* 冬c 4 。璺凳、( 一u _ t ) 2 + 碟 第三节收敛性分析 这凰依然采用第二章的自适应移动1 j 5 9 格迭代算法对问题( i 1 ) 进 行求麓不霜豹是，算法的第二步中离教方程变为( 3 1 4 ) 一江1 5 ) 。 首先，我们给出一个关予多角勰曲线长度有界性的引理它将 在下剜分撰孛要用到。 弓l 理3 ：设 “y ) 是对问题( i i ) 用标准迎风格式( 3 1 4 ) 一( 3 ，1 5 ) 在任意 鬻格 瓤 土求，莓酶辩，盈五婶是沿辩潼线( 。) 计算熬孤长。邪么 l 曼l n 曼岛 证明：证明过程与【1 9