（概率论与数理统计专业论文）积分微分方程数值方法的散逸性.pdf

摘要 在物理学和工程技术学中，许多的动力系统都具有散逸性，即系 统具有一有界的吸引集，使从任意初始条件出发的解经过有限时间 后进入并随后始终保持在这个吸引集里面。如二维的n a v i e r - s t o k e s 方程以及l o r e n z 等许多重要系统都是散逸的。 散逸性研究一直是动力系统研究中的重要课题( 参见t 咖锄) 。 当用数值方法求解这些系统时，自然希望数值方法能继承原系统所固 有的散逸性。 积分微分方程广泛出现于物理、工程、生物、医学及经济等领 域，其算法理论研究具有无容置疑的重要性，近年来逐渐引起众多学 者的极大关注。对于积分微分方程 i y 。( f ) = f 0 ，( f ) i ，g ( r ，s ，j ，( j ) ) f o ， b ( f ) ：妒( f ) f 石 甘四清 7 首先研究了该系统的散逸性及0 一方法的散逸性。 本文在文献 7 研究的基础上，迸一步研究积分微分方程数值方 法的散逸性。本文主要结果如下： ( 1 ) 当积分项用c q 公式逼近时，我们证明了化，) 一代数稳定的 r u n g e - k u t t a 方法当k 1 时是有限维散逸的，当k l 时是无限维散逸 的。 ( 2 ) 当积分项用p q 公式逼近时，证明了( | | ，n 一代数稳定的 r u n g e - k u t t a 方法当k s l 时是有限维散逸的。 ( 3 ) 讨论了单支方法的散逸性，证明了g ( c ，b o ) 一代数稳定的单 支方法( 积分项用c q 公式逼近) 当c i 时是有限维散逸的，当c 1 时则 是无限维散逸的。 ( 4 ) 讨论了一类线性多步法的散逸性，给出了该方法( 积分项用 c q 公式逼近) 散逸的充分条件。 ( 5 ) 对多步r u n g e - k u t t a 方法的散逸性进行了研究，当积分项用 c q 公式逼近时，给出了该方法是有限维及无限维散逸的充分条件。 ( 6 ) 通过数值试验，对r u n g e - k u t t a 方法，单支方法以及线性多 步法的散逸性进行了测试，测试结果进一步验证了本文所获理论结果 的正确性。 关键词：积分微分方程，初值问题，散逸性， r u n g e k u t t a 方法， ( 七，) 一代数稳定性，单支方法，g ( c ，p ，g ) 一代数稳定，线性多步方法， 多步r u n g e k u t t a 方法，c q 公式，p q 公式 a b s t a c t m 锄yd y n a m i c a ls y s t e m si np h y s i t sa n de n g i n e e r i n ga r ed i s s i p a t i v e t h e s es y s t e m sa r ec h a r a c t e r i z e db yp o s s e s s i n gab o u n d e da b s o r b i n gs e t w h i c ha l lt r a j e c t o r i e se n t e ri naf i n i t et i m ea n dt h e r e a f t e rr e m a i ni n s i d e f o re x a m p l e ，t h et w o d i m e n t i o n a ln a v i e r - s t o k e se q u a t i o na n do t h e r i m p o r t a n ts y s t e m ss u c ha sl o r e n za r ed i s s i p a t i v e t h er e s e a r c ho ft h ed i s s s i p a t i v i t yh a sa l w a y sb e e ni m p o r t a n tt o p i ci n t h ed y n a m i c a ls y s t e m sr e s e a r c h ( s e et e m a n 3 0 ! ) w h e nc o n s i d e r i n gt h e a p p l i c a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e s es y s t e m s ，i ti si m p o r t a n tt o a n a l y z ew h e t h e ro rn o tn u m e r i c a lm e t h o d si n h e r i tt h ed i s s i p a t i v i t yo ft h e u n d e r l y i n gs y s t e m s i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( i d e s ) a r i s ew i d e l yi nt h ef i e l d so f p h y s i c s ，e n 舀n e e r i n g ，b i o l o g y , m e d i c a ls c i e n c e ，e c o n o m i c sa n ds 0o n t h et h e o r yo fc o m p u t a t i o n a lm e t h o d sh a sd e c i s i v e i m p o r t a n c ei n n u m e r i c a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e c e n t l y , m a n ys c h o l a r sh a v e p a yc a r e f u la t t e n t i o nt oi t f o rt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n j ，( f ) = j r o ，( f ) ，j ，g ( f ，墨y ( s ) ) 凼) ，r o ， 【j ，( f ) = 认f ) ，t 0 ， s g a nf i r s ts t u d i e dt h ed i s s i p a t i v i t yo ft h es y s t e ma n dt h e0 一m e t h o d s a p p l i e dt ot h ea b o v es y s t e m t h et h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ed i s s i p a t i v i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d s f o rt h eu n d e r l y i n gs y s t e mo nt h eb a s i so ft h es t u d yo fs c l a n o u rm a i n r e s u l t si nt h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) w h e nt h ei n t e g r a t i o nt e r mi s 印p r o ) 【i m a t c db yt h ec qf o r m u l a , i t i sp r o v e dt h a tt h e ( 七，1 ) - a l g e b r a i c a l l ys t a b l er u n g e - k u t t am e t h o d sa r e d i s s i p a t i v ei nf i n i t e d i m e n t i o n a ls p a c ef o rk 1 a n da r ed i s s i p a t i v ei n i n f i n i t e d i m e n t i o n a ls p a c ef o rk 1 ( 2 ) w h e nt h ei n t e g r a t i o nt e r mi sa p p r o x i m a t e db yp qf o r m u l a , w e p r o v e dt h a tt h e ( | ，) 一a l g e b r a i c a l l ys t a b l em e t h o d sa r ed i s s i p a t i v ei n f i n i t e d i m e n t i o n a ls p a c ef o rj i s1 ( 3 ) w r ec o n s i d e r e dt h ed i s s i p a t i v i t yo ft h eo n e l e gm e t h o d s w h e n t h ei n t e g r a t i o nt e r mi sa p p r o x i m a t e db yt h ec qf o r m u l a ，w ep r o v e dt h a t 1 1 1 t h e g ( c ，p ，o ) - a l g e b r a i c a l l y s t a b l eo n e l e gm e t h o d sa l ed i s s i p a t i v ei n f i n i t e d i m e n t i o n a l s p a c e f o rk 1a n da r e d i s s i p a t i v e i ni n f i n i t e - d i m e n t i o n a ls p a c ef o r | | 口l k 一“：1 2 ，s j l , h ：e c ”， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 这里瑾0 ，提出了g 一稳定性概念，并且证明了单支方法的4 一稳定性与g 一稳 定性是等价的。 1 9 7 5 年，b u t c h e r 4 首先用r u n g e - k u t t a 方法考虑了( 1 1 2 ) 一( 1 1 3 ) 的解， 1 9 7 9 和1 9 8 0 年，b u r r a g e 和b u t c h e r 3 ，4 提出了代数稳定性概念并指出代数稳 定性蕴涵数值解的稳定性。关于其它更详细的研究成果我们可以参d e k k e r v e r w e r 3 2 。h a i r e r w a n n e r 2 9 以及李寿佛 1 9 。 b a r w e l l 首先研究了问题 y ( ) = 缈( f ) + ( ) ，7 o ， ( 1 1 4 ) i j ，o ) = 伊( f ) ，t s o , t o 并提出了户一稳定性和g p 一稳定性概念，这里无是复数，满足川 一r e ( a ) 。 定义1 1 一个数值方法称为是尸一稳定的，如果用该数值方法以任何满足 条件h = v m 的定步长求解问题( 1 1 4 ) 所产生的数值解 y 。l 。满足l i m y = 0 。 若在上述定义中去掉对步长的约束条件i i l = r i m ，则称该数值方法是g p 一稳定 的。 b a r w e l l 4 7 首先证明了隐式e u l e r 方法是g p 一稳定的，w a t a n a b e 和 r o t h 5 0 ，z e n n a r o 5 1 及乩z l i u ( 刘明珠) 和s p i j k e r 5 2 分别研究了单支口一 方法的稳定性，证明了当0 l 时单支臼一方法不是g p 一稳定的。 1 9 8 5 年，w a t a n a b e 和r o t h 5 0 证明了4 一稳定的线性多步方法是g p 一稳定 的。对于r u n g e - k u t t a 方法，1 9 8 6 年，z e n n a r o 5 3 证明了4 一稳定的单步配置 方法是尸一稳定的。 硕士学位论文第一章引言 i n t h o u t 5 4 ，s s ，k o t o 5 6 ，田红炯和匡蛟勋 5 7 】，张诚坚 5 8 将上述基于 模型问题( 1 1 4 ) 的数值稳定性研究进一步推广了下面的线性系统 搬) 2 + 坶( 卜f ) ”t o ， ( 1 1 5 ) 【y ( f ) = 9 ( f ) t t o ， 。 这里l m c ”。 随后，r u n g e - k u t t a 方法和线性多步法的a 一稳定与它们对应的p 一稳定性 或者g p 一稳定) 的等价性得到了证明( 见文 3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ) 。 1 9 8 9 年，t o r e l l i 2 1 首先提出了对于非线性延迟微分方程 ”) 2 m ( ) ，y ( ) ) 砧o ， ( 1 1 6 ) 【y ( f ) = 妒( f ) ，一f t - t o 物理学和工程学中，许多问题的数学模型即为一散逸的动力系统。这些系统 的特点是拥有一有界的吸引集，即从任意的初始条件出发的解经过有限时间后进 入并随后始终保持在这个吸引集里面。如二维的n a v i e r s t o k e s 方程以及许多偏 微分方程经过适当空间离散后得到的常微分系统及帮中常微分方程l o r e n z 系统 4 5 ： i 一= 盯( h x ) ， 即。= 积一甜一格，( 1 1 1 1 ) i z ：埘一b z 。 都是散逸的，这里常数盯，a , b 0 。 散逸性 注 研究一直是动力系统研究中的重要课题( 参见t 锄a i l ) 。当数值 求解这些系统时，分析该数值方法是否继承了系统的散逸性就显得尤为重要。 注】：本文所讨论的散逸性是一个动力学概念，其精确意义见定义2 1 1 ， 它有别于一般文献中的散逸性。 h u m p h r i e s s t u a r t 1 1 最早证明了散逸性系统不需要满足单边l i p s c h i t z 条件，如l o r e n z 系统是散逸的却不满足单边l i p s c h i t z 条件。 1 9 9 4 年，h u m p h r i e s 和s t u a r t 1 1 在空间c ”中首次研究了常微分方程初值 问题，得到了系统 朋) 2 m ( f ) ) ，f 巩( 1 1 1 2 ) i y ( o ) = y o ， 是散逸的结果，其中，是满足l i p s c h i t z 条件的连续映射，并满足 r e ( u ，( 打) ) ，+ 瑾晰， ( 1 1 1 3 ) 这里，0 ，口 0 ，却c ”， 是c ”中标准的内积，l | 是相应的内积范数他 们同时指出应用到该系统的代数稳定的r u n g e - k u t t a 方法是散逸的。肖爱国 3 7 考虑了一般线性方法的散逸性。 1 9 9 7 年，h i l l 8 ，9 把空间扩展到h i l b e r t 空间进一步讨论了满足条件 ( 1 1 1 3 ) 的系统( 1 1 1 2 ) 的r u n g e - k u t t a 方法和单支方法的散逸性。 2 0 0 0 年，肖爱国 2 5 研究了h i l b e r t 空间中散逸动力系统一般线性方法的 散逸稳定性。 同年，黄乘明 1 0 进一步考虑了延迟微分方程 jj ，( ) = ，( y ( f ) ，少( f 一) ) ，o ， ( 1 1 1 4 ) l y ( t ) = 妒( f ) ，一f f o ， 3 硕士学位论文第一章引言 的散逸性。这里f 是正的延迟项，矿( f ) 是连续函数，h 是一实或复的h i l b e r t 空间，x 是日中的一连续嵌入子空间，f ：z z _ 日是一局部l i p s c h i t z 连续 函数，并且满足 r e ( u ，s ( u ，v ) ) ，+ 口i “+ 硎v n ( 1 1 1 5 ) 这里口，和，都是实常数，“，v x 。 他指出系统( 1 1 1 5 ) - ( i 1 1 6 ) 当口+ o , u ，v l ，屹z ， ( 1 1 1 7 ) 这里口，届，屈，是实常量，且，o ，届0 ，屈0 。 同时他们还讨论了应用到系统( 1 1 1 6 ) - ( 1 1 1 7 ) 的0 一方法的散逸性。 由于变延迟微分动力系统本身的复杂性，关于变延迟微分动力系统数值方法 的散逸性还刚起步。2 0 0 4 年，田红炯 2 0 研究了有界变延迟微分动力系统 y ( r ) = ( f y ( ，) ，( f r ( f ) ) ) ，f 2 0 ( 1 1 i s ) l y ( t ) _ - 妒o ) ，一f f o 的散逸性，这里y 和，是p 维向量值函数，延迟函数r ( r ) 满足 o f o ) f ，f o ， ( 1 1 1 9 ) 满足以下条件 r e u ，( f 咖 0 ，0 - q o 使得 o y ( ，) 厂 盯( f ) - - a 0 o ( 1 i 2 4 ) 【y o ) = p ( f ) ，一f f o ， 的散逸性，这里r 是一正常量，矿c i 【一，o 】是给定的初值函数， ，：【o ，) x c 二【一f ，+ ) j 胃是给定的l i p s c h i t z 连续映射，满足 2 a e ( u ，巾 妒( ) ) ) y ( f ) + 口( f ) l l 甜1 2 + 刖哪m 胁a x 删) 1 1 2 ， 甜x ，妒c i 【一f 佃1 ，f 【o ，佃) ， ( 1 i 2 5 ) 这里口( f ) ，f l ( t ) f 阳r ( t ) 在区间【o ，+ m ) 上是有界连续函数，h ( f ) 和膨( f ) 满足 o h ( f ) h ( f ) 岛( f ) f + f ，v f 【o ，佃) ， ( 1 1 2 6 ) 以及 舰( f 一段( f ) ) = 佃 ( 1 1 2 7 ) 同年，h a d d a d c h e l l a b o i n a 研究了非负动力系统的稳定性以及散逸性。 最近，甘四清 3 8 ，3 9 研究了非线性v o l t e r r a 延迟积分微分方程曰一方法的 散逸性以及p a n t o g r a p h 方程的精确和离散散逸性。就我们所知。对积分微分方 程 j 巾) = ，( f ) ，c ，g ( 幻，y ( s ) ) 肚o ， 【y ( f ) = 矿( f ) ，f o ， 除甘四清 7 对系统本身的散逸性以及线性0 一方法的散逸性进行了研究外，目前 还没有其它的结果。 本文在文献 7 的基础上致力于研究积分微分方程r u n g e - k u t t a 方法，单支 方法，一类线性多步方法以及多步r u n g e - k u t t a 方法的散逸性。本文主要结果如 硕士学位论文 第一章引言 f ： ( 1 ) 当积分项用c q 公式逼近时，我们证明了( 七，1 一代数稳定的r u n g e - k u t t a 方法当| | 1 时是有限维散逸的，当后 l 时是无限维散逸的。 ( 2 ) 当积分项用p q 公式逼近时，证明了( | | ，n 代数稳定的r u n g e - k u t t a 方 法当| l 时是有限维散逸的。 ( 3 ) 讨论了单支方法的散逸性，证明了g ( c ，b o ) 一代数稳定的单支方法( 积 分项用c q 公式逼近) 当c 1 时是有限维散逸的，当c o 。 定理2 1 3 7 设j ，( f ) 是问题( 2 i 1 ) 的解，f 和g 分别满足( 2 1 2 a ) 和 ( 2 1 2 b ) e l a + 2 c 2 o ，存在i = i ( 一 s ) ，石5 攀舾( f ) l ， 使得对所有的t ；都有 7 硕士学位论文 第二章积分微分方程r u n g e k u 妇方法的散逸性 4 y ( r ) 0 2 一三j i ；万+ 占， 即系统是散逸的。对任意的占 。，开球b = 占( o ， ( 2 1 3 ) 是其吸引集。 推论2 1 4e 7 特别地，如果系统 陟( f ) = ，似f ) ，y o ) ，f 20 ， 1 【y ( f ) = 妒( f ) t o ， 满足( 2 1 2 a ) i j _ a + p r 2 f o l y ( t o ) = y o ，t t o 的s 一阶r u n g e - k u t t a 方法为 “”= j _ + a j j f ( t + c h , y j ) ，i = l ，2 只 7 - l( 2 2 1 ) t y = 只+ b j ( t + c j h ，y j “) ，栉0 j 1 1 将r u n g e - k u t t a 方法【4 ，b ，c ) 应用到( 2 1 1 ) ，得到 z 帕= 只+ 连气厂何m ，亨帕) ，：l ，2 ，焉 ( 2 2 2 a ) 。= 儿+ j i ，si ，何w ，可“) ， c 2 2 2 b ) 这里】：吣和亏帕分别是j ，以+ c i ) 和t _ + + 。c j 。h ，g 也+ c j h ，墨灭s ) ) 凼的近似，时问节点 t n = n h 。 本文我们用复合求积公式( c q 公式) 2 6 获得石n ： 亏= 碴g q ”，妒w ，巧一们) ，：l 2 ，岛 ( 2 2 3 ) 这里= t + c h ，m 是一给定的正整数，权饥j 不依赖m ，由以下收敛的积分 法确定 r ( v ) 咖z 厅杰匕中“埘一g ) ) ， f ：m 矗，( 2 2 4 ) 这里m 是正整数，o c 【o ，r 】，饥) 满足 v ，f = m h ( 2 2 5 ) 定义2 2 1 5 0 形式为( 2 2 4 ) 的积分法的阶为r ，如果满足 r m ( 啪一 妻心m ( ( m 一们矗) = d 0 7 ) ，j l 。o 口= o 命题2 2 2 1 5 9 积分法则( 2 2 4 ) 对所有的c 【o 】是收敛的，仅当它对 所有的多项式收敛，且存在独立于埘的一个有限实数v ，使得 1 i ，r = m h q = o 9 硕士学位论文 第二章积分微分方程r u n g e k u t t a 方法的散逸性 定义2 2 3 设，是一实常数，日是一个有限维( 或无限维) h i l b e r t 空间，方 法( 4 ，b ，c ) ( 积分用c q 公式处理) 称为是有限维( 或无限维) 散逸的，如果用该 方法求解( 2 1 1 ) 一( 2 i 2 ) 时，若c r + p r 2 c 2 0 ( ，= 卜j ) 。 对任意非负的对角矩阵d = 击曙 ，吃) ，在日中定义一个伪内积 d = q ， ( 2 2 9 ) h 中相应的内积范数为 。- - ( r ，l ，) i ， ( 2 2 1 0 ) 其中 y = ( e ，e j ：) h ，z = ( z l ，z 2 z 1 ) e l l 5 ! 些兰堡笙奎 整三皇墼坌壁坌查堡墨! 塑：坠立鲨盟墼垄丝 引埋2 2 岗l 2 6 j 砹 4 j 函和 旦恐。是曲个任葸的非负实序列，则下列不等 式成立 “， “ 、 h，、 14量i，j4+，尽+【喜4一，jm。a。xi-o i = o i = o i = 0i = l 岛 ，v n m2 0 ，( 2 2 1 1 ) i = l一g 喜磐烈州喜骂+ 掣一m a x 附v 玛m 兆( 2 2 1 2 ， 由以上两个不等式可以得到 ”f ” 、 n ，、 【4蔷骂一，j荟荟4+，点+荟善4一，jm嘞a。xi=0 l 盈 n m2 0 ，( 2 2 1 3 ) j = l j = = o j = 1l = l ” 砉弘如+ 1 ) 喜忍+ 型一m a 盱x 。 叭( 2 2 1 4 ) 2 3 有限维散逸性 这一部分，我们着重讨论有限维空问中( j ，d 一代数稳定的积分微分方程 r u n g e - k u t t a 方法当后l 时的散逸性，同时给出了该方法是散逸的充分条件。这 里我们总是假设日= x = c ”。 定理2 。3 - l 设方法( a ，6 ，c ) 是( j ，) 一代数稳定的，且d ， o ，o = 一喜霎坞( q i ，g ，( z 。t ) 这里 q l = 儿，q = 缈( z 掣，z j ) ，f = 2 , 3 ，s + l ，m = 帆) 又由方法的( 七，) 一代数稳定性以及( 2 1 2 ) ，我们可得 2 蚶+ 2 协+ z ( 小咿“眨秘刚：， ( 2 s 2 ) 这里 j 2 喜哆，一帕= g 加，e 扣) z ，f - ( n ) - - - - f ，刁哪) z ( 2 3 3 ) 硕士学位论文 第二章积分微分方程r u n g e k u t t a 方法的散逸性 由( 2 3 2 ) 及数学归纳法可得 k i l 2 i k r + 2 ，幽咖+ 2 ( 砌，) 霎o 憾+ z 彬萎n - - i p 门e ， ( z s 4 ) 又由( 2 2 2 ) 及( 2 2 8 ) 可得 眵门旺= 喜zi i 声 1 2 = 喜碣8 薹g ( t ( 门，t ( ，- “，巧7 1 ) 1 2 鲋喜吐陲1 2 恂g ( ，一训) | | 2 f = 1 l 口= o 八q = 0 ”。， 眇。w + ： 蒯川( 加嗟妒卜翱州叫 ( 2 3 5 ) w + z 撕+ 篙篇( 川) 扩眨+ 丛别眇纠 也( 小嗟p 旺 ( 1 + f v 2 c 2 ) + 2 ，蒯y + 2 ( a + 厅伽2 c 2 一，) 萎p 怄， ( z 3 6 ) 当y = o 时，由( 2 3 6 ) 和仁+ 少2 c 2h o ，存在( 菇) o 使得 妙卜， 刚筑j = l 2 再由( 2 2 2 a ) 和( 2 3 9 ) 可得 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 旷 。删 ，。 曩怄 ，h 一 2 “ 训 陟 斟删。痞； 2 一一 雀代鼍蔫蝙式 匕因 等 硕士学位论文 第二章积分微分方程r u n g e - k u v , a 方法的散逸性 这里 u y i 肛杰m + 占，f = l ，s ，押， = t 三2 砂蚓| y z z ( 2 3 1 0 ) 当， 。时，我t 门取g = l i ：最曼等j + ， 这里l z j 表示不比x 大的最大整数，n = 2 ( m + 1 ) q ，a = l - ( c r + p v 2 c 2 ) ， 从而o 0 且( 1 + f l r d v 2 c 2 1 p 2 4 ( m + 1 ) q h d y 。 由( 2 3 6 ) 得 盯4 翻y 脚挪+ 1 ) 批 即 薯警1 p 忆 因此融一个| q , 2 q - 1 1 使得- ，+ ：1 x k + 0 - p 眨 令p = ( m + 1 ) + 1 ) 一1 ，那么对所有的_ ，p 一肼，p 】有 川：s 华， ( 2 3 1 1 ) 另一方面，( 2 2 2 ) 表明 = ，：( ，) + 杰勺，( 班力) ，f = 卜峨 ( 2 3 1 2 ) 其中 勺= i 一吩 对( 2 3 1 2 ) 式与自身傲内积可得 i k 。卜忪| + z 矗喜气k c 耳“，“，力) ) + 2 峰勺，“，力) ) 1 1 2 ，一卜饥 两边同乘以碣d ，且对f 从1 到s 进行累加，并考虑到( 2 3 t t ) 整理可得 卜4 ( m 。+ i ) h y + | c i = = r 1 3 硕士学位论文 第二章积分微分方程r u n g e - k u t t a 方法的散逸性 其中c = 。弓州。s 。u ，p 晰? ，吉喜碣l 喜：白鼬( 虬，( ，_ ) ) + 峰勺，( ，_ ) 1 2l h e 州m 十1 ) 材，口 。 。 “2 ( 甜i ，咋) 爿。，v 。( h ，匕) x ( 2 3 1 3 ) 由( 2 3 1 1 ) 有 p 卜矾，【p - 埘p 】 重复以上分析过程，表明存在一个p ， p p + ( g + 1 ) ( 研+ 1 ) ，p + 2 9 ( 脚+ 1 ) ，彳= i ( 1 4 + ( f l m r + a v l ) 2 c = d ) ，& i + l ， 满足 h 卜r ， 以及 p 眨哦，p - 埘，计 类似于( 2 3