（课程与教学论专业论文）上海6～9年级学生对有理数的认知.pdf

摘要 本研究通过问卷测试和学生访谈的方法对上海6 9 年级8 0 7 位学生有理数 认知现状进行了调查研究，重点关注学生对有理数五个子结构和稠密性的认知。 一通过研究发现，上海6 9 年级学生对有理数五个子结构( 部分一整体、 商、度量、比和算子) 的认知中具有以下特征和差异： 1 在五个子结构中，度量和比这两部分的表现较差。 2 在部分整体子结构中，对单位1 的理解受图形类型( 连续图形或离散 图形) 的影响较大。相比连续图形，学生把离散图形中的每一等份理解成单位1 的表现更好。 3 不同年级学生对五个子结构的认知均存在显著性差异。 4 在度量子结构上，男女生认知存在显著性差异。 二使用s o l o 分类法对每位学生有理数稠密性的回答进行水平划分后发 现： 1 回答水平主要集中于m 和r 水平( 第三和第四水平) ，e 水平( 最高水 平) 较少。 2 基于s o l o 分类法发现，9 年级表现最好，7 年级次之，8 年级最差。卡 方检验表明8 ，9 年级之间存在显著性差异。 对有理数概念和稠密性认知研究均表明，在思考有理数的相关知识过程中， 低年级学生思维受整数束缚，高年级学生思维受无理数干扰。 关键字：有理数子结构稠密性认知s o 【o a b s t r a c t t h i sp a p e rd o e sar e s e a r c ho nt h er e c o g n i t i o no fr a t i o n a ln u m b e r sf o rs c h o o l s t u d e n tb yq u e s t i o n n a i r ei n v e s t i g a t i o ns u r v e yo fs t u d e n t sf r o mg r a d e6t og r a d e9i n s h a n g h a l t h ef o c u so nt h ep a p e ri st h er e c o g n i t i o no ft h ef i v es u b c o n s t m c t so f r a t i o n a ln u m b e r sa n dd e n s i t yo ft h er a t i o n a ln u m b e r sf o rs t u d e n t s f i r s t ，t h er e s e a r c hf i n d so u tt h a tt h es t u d e n t sf o rg r a d e6t o9h a v es o m ed i f f e r e n t a n du n i q u er e c o g n i t i o n sf o rt h es u b c o n s t m c t s ( p a r t - w h o l e , q u o t i e n t ，m e a s u r e ，r a t i o ， o p e r a t o r ) a sf o l l o w i n g ： 乱c o m p a r i n gw i t ho t h e rs u b c o n s t r u c t s ，s t u d e n t sl a c kag o o dr e c o g n i t i o no f m e a s u r ea n dr a t i os u b c o n s t r u c t s b s t u d e n t sh a v ead i f f e r e n c ei nr e c o g n i z i n gu n i t1b e t w e e nd i f f e r e n tf i g u r e s c o m p a r i n gw i t hc o n t i n u o u sf i g u r e s ，s t u d e n t sh a v eab e t t e ru n d e r s t a n d i n go fu n i t1 w i t hd i s c r e t ef i g u r e s c s t u d e n t si nd i f f e r e n tg r a d eh a v eas i g n i f i c a n tv a r i o u sr e c o g n i t i o n so ft h ef i v e s u b c o n s t r u c t s d s t u d e n t so ft h ed i f f e r e n tg e n d e rh a v ea no b v i o u sv a r i o u sr e c o g n i t i o n so f m e a s u r es u b c o n s t m c t s e c o n d ，a l l o c a t i n gv a r i o u sa n s w e r sb ys o l o , i t i sf o u n dt h a t ： a t h ea n s w e r sc o n v e r g et oma n dl l e v e l sa n dt h ep r o p o r t i o no r el e v e li sl e s s b b a s e do ns o l o ，i ti sd e t e c t e dt h a tg r a d e9h a v et h eb e s tp e r f o r m a n c e , a n d g r a d e8s e c o n d ，a n dg r a d e7 t h ew o r s t a tl a s tw ef i n do u tt h a ts t u d e n t sw i t hl o w e rg r a d eh a v eas i g n i f i c a n ti n f l u e n c eo f d i s c r e t ei n t e g e rn u m b e rs t u d e n t sw i t hh i g h e rg r a d eh a v eg r e a ti n f l u e n c eo fi r r a t i o n a l n u m b e r sw h e nr e c o g n i z i n gt h er a t i o n a ln u m b e r s k e yw o r d s ：r a t i o n a ln u m b e r s , s u b c o n s h u c t s ，d e n s r y r e c o g n i t i o n , s o l o 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：趁互叁 日期： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作槲：沈葛包导臌：伸移 日期：五盆：当日期：逆2 ：兰! 第一章引论 第一章引论 1 1 研究背景 日常生活中，我们时时刻刻在与数打交道。商品的价格用整数或小数来表示， 如饼干3 元一袋，西瓜1 9 元一斤；气温用正数或负数来表示，如元旦那天，杭 州3 摄氏度，哈尔滨1 3 摄氏度；我们会用分数来向领导汇报工作进度，如完成 1 了整个项目的导；商店搞促销活动，用百分数来表示打折幅度，如6 折大甩卖的 5 意思是现在的价格是原来的6 0 ，这样的例子举不胜举。简而言之，我们在生活 中碰到的主要是有理数。事实上，就算是同一个有理数，在生活中也有着丰富多 彩的意义( 附录c ) 。因此，理解有理数并掌握好有理数非常重要。 2 0 世纪年代处，美国在最受人瞩目的报告国家正处于危机中：教育改 革势在必行( n a t i o n a lc o m m i s s i o no ne x c e l l e n c ei ne d u c a t i o n , 全国优质教育委 员会，1 9 8 3 ) 的推动下又一次掀起了教育改革的浪潮。自那时候起，大量有影响 的数学教育研究报告或专著，诸如c a r p e n t e r ( 1 9 9 3 ) 等人编著的有理数研究集以 及l a m o n ( 2 0 0 6 ) 的专著，都强调了对有理数理解的重要性。 全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ( 2 0 0 1 ) 在第三学段( 7 胡年级) 中正式提出有理数概念，事实上，在第二学段( 4 6 年级) 后期，学生已经在学习 分数和小数内容了。同样，上海市中小学数学课程标准( 试行稿) ( 2 0 0 4 ) 在 初中阶段( 六至七年级) 内容与要求中“数与运算”的第一个学习主题就是有理数， 占8 5 课时，差不多为一个学期的课时。内容涉及；数的整除性、分数及其运算、 比和比例、有理数及其运算、有理数在数轴上的表示以及有理数的大小比较。不 管是全国的义务教育数学课程标准还是上海的中小学课程标准，我们都不难发 现，它们强调的都是有理数的运算，而对理解，则重视不够。 在美国、英国、荷兰、新西兰以及日本等国家，数学教育工作者就有理数概 念理解、学习，教法以及评估等问题作了一系列调查研究和理论分析，并且成果 丰硕( 如b c h r , l e s kp o s t s i l v e r , 1 9 8 3 ；r a h i m k i e r e n , 1 9 8 8 ；e t c ) 。不过，在 我国，从定量和定性角度研究学生学习有理数的文章不多。 第一章引论 1 2 研究意义 i _ a m o n ( 2 0 0 6 ) 认为：通常，学生们对数学的觉醒( d i s e n c h a n t m e n t ) 开始于小 学高年级或中学低年级。理解分数仅仅是学习有理数之旅的开始，学好有理数对 学生培养比例推理( p r o p o r t i o n a lr e a s o n i n g ) 相当重要。这种推理能力是打开通向高 等数学和科学，甚至是成为数学家之门的钥匙。美国课程和评估标准( n a t i o n a l c o u n c i lo f t e a c h e r so fm a t h e m a t i c s ，1 9 8 9 ，p 8 2 ) 中称：比例推理是如此重要，以至 于无论在何时、无论付出何种努力都必须要让学生( 的比例推理能力) 得到有效发 展。在我国，处于小学后期或中学早期的学生主要在学习有理数( 全日制义务 教育数学课程标准，2 0 0 1 ；上海市中小学数学课程标准，2 0 0 4 ) 。 f r e u d e n t h a l ( 1 9 7 3 ) 认为，教一个内容的最佳途径是联系学生的数学现实和 生活现实，在将要传授的知识与学生已经在现实世界中积累的知识和经验之间、 在将要传授的知识与已经教过的知识之间建立起紧密的联系。这是教学必须联系 学生心理基础的观点。那么，学生学习有理数的的心理基础是怎么样的昵? 在西 方，关于学生学习有理数的研究已经不是什么新的课题了。从最早k i c r e n ( 1 9 7 0 年的工作到最近i a l m o n ( 2 0 0 6 ) 的专著第二版面世，期间3 0 年，大量关于有理数 概念分析、学生思考、教师教法、评价以及有理数课程设置的文章先后出现。然 而在我国，传统的教育强调背诵、模仿记忆、“熟能生巧”。“熟读唐诗三百首， 不会作诗也会吟”。大运动量的“数学练习”是考试成功的基础( 张奠宙，李士 铸，李俊，2 0 0 3 ) 。在这种大背景下，教师教学侧重于算法指导，学生看重如何 能更快速解出题目，各类初中数学教学杂志倾向于有理数解题技巧类的文章。而 对于有理数概念理解、学生的思维模式等方面的研究几乎是空白。 鉴于有理数学习的重要性和我国目前在该领域的研究现状，本研究希望通过 定量和定性的研究和探索，得到6 胡年级学生对有理数认识比较全面的了解，并 由此提出相应教学建议。 1 3 问题阐述 本研究关注上海市6 - - 9 年级学生对有理数的认知。具体地说，本研究旨在讨 论下面二个问题： 2 第一章引论 ( 1 ) 上海市6 棚年级学生对有理数概念的认知 现有的研究一致认为( 详见第二章) 有理数并不是单独的结构( c o n s 仇l e t ) ，它可 以被分成五个不同但又密切相关的子结构( s u b c o n s t r u c t s ) 。本研究中指的有理数 概念认知包括有理数五个子结构的认知，有理数集的认知以及有理数乘法的算法 与非算法解释。在本问题中，借鉴国外的研究结果，对上海6 9 年级学生有理 数的认知状况进行探讨。 ( 2 ) 上海市6 - 9 年级学生对有理数稠密性的认知 有理数系是学生碰到的第一个稠密数系。理解有理数稠密性也是他们学习的 一个难点。在v a m v a k o u s s i 和v o s n i a d o u ( 2 0 0 4 ) 的研究中发现，学生掌握的关 于自然数的知识束缚了对有理数稠密性的理解。他们通过对1 6 个9 年级学生( 大 约1 5 岁) 的问卷调查和访谈发现，真正理解有理数稠密性的学生很少。同时，“任 意两个有理数之间存在着第三个有理数”是学生接触无限小思想的开始。毫无疑 问，掌握好有理数的稠密性是重要的。 第二章文献综述 第二章文献综述 本章将讨论国内外关于有理数研究的现状和相关理论。在开始讨论之前，先 就有理数作一些简单介绍。 2 1 1 有理数发展史简介 2 1 有理数的界定 早在公元前6 0 0 到公元前3 0 0 年之间的古典希腊学者登场之前，古代原始文 1 明社会中已经具有了分数的概念，不过只限于，之类，而且是用文字表达的 23 ( 莫里斯克莱因，2 0 0 2 ，p d ，如古埃及人约在公元前1 7 世纪时已使用分数， 分数概念与分数记号应用而生，但是使用特殊符号来表示分数( 李文林，1 9 9 8 ， p 1 9 ) 。然而，分数被学术界作为一个数接受则要晚许多世纪。在古希腊时代， p y t h a g o r a s 学派认为的数仅指整数，和现代人不一样，他们不把两个整数之比看 成是一个分数从而是另一个数。实际的分数是只用于商业的，以表示钱币或度量 单位的若干部分，但算术在商业上的这类应用是属于正统希腊数学范围之外的 ( 莫里斯克莱因，2 0 0 2 ，p 3 7 ) 。时间再往后推，生活在公元前3 0 0 年左右e u c l i d 在他伟大的著作几何原本里也没有正式提到分数，几何原本里虽有整数 之比，但只是作为比例中的比而出现，而且甚至并不把这些比看作是分数。比只 是作为比例的一部分而出现的，因而并无一般性的意义( p 8 3 ) 。 到了亚历山大前期( 公元前头三个世纪) ，亚历山大人开始把分数本身当作 数来看待( p 1 4 9 ) 。a r c h i m e d e s ，h e r o n ，d i o p h a n t u s 和其他人都随意应用分数并 拿来进行运算，不过从文字记载看来，他们并没有讲过分数概念，这可能是认为 这些分数在直观上很明显，可以接受并加以应用( p 1 5 0 ) 。 有趣的是分数带有强烈地域特征。巴比伦的分数是6 0 进位的，埃及采用的 是单分数佃n i tf r a c t i o n ) ，阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。 这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞 不前，直到1 5 世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中 4 第二章文献综述 国古代在分数理论上的卓越贡献。 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部对“分”的解释：“分， 别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算 引入的。其“合分术”有云：“实如法而一不满法者，以法命之。”这句话的今译 是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的 高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在九章算 术注中所言： 众分错杂，非细不会乘而散之，所以通之通之则可并也 凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同同者，相与通同共一母也 齐者，子与母齐，势不可失本数也 有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘， 称：“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩编解结，无往而不理焉。 乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎”( 纪志刚，2 0 0 3 ) 。 相对于分数，负数的出现则要晚的多，被人们使用和接受也显得更困难。据 今所知，最早使用负数的是6 2 8 年左右的印度人b r a h r a a g u p t a ，他同时提出了负 数的四种运算。那时候，印度人应用负数来表示欠债，在这种情况下，正数表示 财产数。但是尽管如此，印度人并没有毫无保留的接受负数。甚至b h a s k a r a 给 出一个问题的两个解5 0 与5 时，他说：“这里不要第二个数值，因为它不行；人 们不赞成负数的解”( 莫里斯克莱因，2 0 0 2 ，1 2 1 0 ) 。 负数通过阿拉伯人的著作传入到欧洲，但1 6 世纪和1 7 世纪的大多数数学家 并不承认它们是数，或者即使承认了，也不认为它们是方程的根。如丘凯( n i c o l a s c h u q u e t ，1 4 4 5 1 5 0 0 ) 和斯蒂费尔( s t i f e l 1 4 8 6 - 1 5 6 7 ) 都把负数说成是荒谬的 数，是“无稽之零下”。卡丹( c a r d a n , 1 5 0 1 1 5 7 6 ) 把负数作为方程的根，但认为它 们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达( v i e t a , 1 5 4 0 - 1 6 3 0 ) 完全不要负数，巴斯卡( p a s c a l ，1 6 2 3 1 6 6 2 ) 则认为从0 减去4 纯粹是胡 说( 纪志刚，2 0 0 3 ) 。然而负数终于逐渐为人所接受。 在中国，负数的概念和算法首先出现在九章算术“方程”章，因为对“方 程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘 徽的注释深刻的阐明了这点： 5 第二章文献综述 今两算得失相反，要令正负以名之正算赤，负算黑，否则以 斜正为异方程自有赤黑相取，左右数相推求之术而其并减之势 不得广通，故使赤黑相消夺之故赤黑相杂足以定上下之程， 减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率然则其正无 入负之，负无入正之，其率不妄也 关于负数的更多相关研究，可以参见b e e r y ( 2 0 0 2 ) 等人的专著。 2 1 2 有理数的定义 我们知道，有理数的出现跟度量有着千丝万缕的联系。在日常生活中，我们 不仅要数单个的对象，而且也需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。为 了能够自如地度量这种能任意细分的量，首先要任意地选择一个度量单位，并规 定它为1 ，然后我们数一数被度量的那个量包含多少个单位。但是一般来说，算 单位个数的过程，其结果不一定是“正好算完”，即给定的量不一定恰好是我们所 选择的单位的整数倍。可以说，在大多数情况下它是介于这个单位的两个相邻倍 数之间。遇到这种情形时，通过把原单位分成n 等分，引进一个新的小单位，在 通常语言中，这个新的小单位可以有专门的名称，例如，l 米分为1 0 0 厘米，1 市斤分为1 0 两，1 小时分为6 0 分，1 分钟分为6 0 秒等等。但在数学的符号系统 f 中，把原来的一个单位分成糟等分而得到的小单位，可以用符号三来表示；而且 n 如果一个给定的量恰好包含册个小单位，它的度量将用符号竺来表示。这符号 n 称为分数或比( 有时记作r e ：n ) 。经过了若干世纪的摸索，数学家们才有意识地 采取了具有决定性的步骤，即：符号竺脱离了它同测量过程及被测量的量的具 n 体关系，而被看作是一种纯粹的数，它本身作为一个实体与自然数有同样的地位。 当埘和弹是自然数时，符号竺称为有理数。在这种情况下，有理数是作为度量 n 工具出现的。 有理数的出现，除了有类似于度量这样的实际原因之外，还有更内在的，甚 至是更迫切的理由，那就是数学内部发展的需要。在自然数系中，减法和除法并 不总是可行的。人们为了保证减法的顺利实施，引进了负整数和0 。用方程戤一b 6 第二章文献综述 定义的、两个整数4 和b 的比工。竺，称为分数。发明分数作为一个新数的符号， a 确保了除法可以不受限制地进行( 零不可以作为除数) 。这时候，全体有理数是 指整数和分数的集合。 如果有理数旦不是有限小数，那么通过不断地去作除法一定能表示为一个无 g 限的小数。在这过程中每次必然有一个非零的余数，否则这个小数是有限的。在 除的过程中出现的所有不同余数将是1 和口一1 之间的整数，所以最多只能有q 一1 个不同的余数值，这意味着最多除q 次，某个余数七将第二次出现。但由此随后 而来的所有余数，将按照余数七第一次出现后它们出现的同样次序重复。这说明 任何有理数都可以表示成循环小数( 那些能表示为有限小数的有理数，也可认为 是一个循环小数，在它有限个数码之后，只是无限次地重复着数o ) 。反之，也 可以看出，所有循环小数都是有理数。 根据以上分析，以及参考相关数学书籍( 九年制义务教育课本数学六年级第 二学期；余元希，1 9 8 8 w e i s s t e i n , 1 9 9 9 ；r 柯朗，2 0 0 5 等等) ，概括起来，有理 数可以有以下四种定义。 1 统称说：整数和分数统称为有理数( 有理数包括整数和分数) ； 2 分数说：有理数是指能够表示成旦形式的数，其中，吁为整数，且口- o ； 口 3 小数说：数的连续统或实数系是全体无限小数。( 有限小数看成从某个位 置开始所有数码全是零这样的特殊情形。或者可以描述为，我们把最后 一位是4 的有限小数，改写为这样的一个无限小数，在口的位置上代之 以争1 ，随后所有数码全等于9 ) 有理数是循环小数；无理数是非循环小 数。 4 序偶说；若妇，6 ) ，( c ，d ) ( 口，6 ) 1 4 z ，6 z 0 ，且耐= b e ，则称( 口，6 ) 等价 于( c ，d ) 写成q ，b ) 一( c ，d ) 。 0 ，6 ) 1 4 z ，b e z o ) 中序偶的等价类叫做有理 数。一切有理数组成的集合叫做有理数集。 在中学阶段，学生能够接触到的只有第一、第二和第三种定义。故，在本研 究中仅限于前三种定义。 7 第二章文献综述 2 2 国内外相关研究现状 2 2 1 有理数的五个子结构 西方学者们认为有理数不是一个单独的结构，它是一些有联系的但又不相同 的子结构的集合( c a r p e n t e r , 1 9 9 3 ) 。普遍认为，这些子结构包括度量( m e a s u r e ) 、 商( q u o t i e n t ) 、算子( o p e r a t o r ) 和比( r a t i o ) ( k i e r e n ，1 9 8 8 ) 。b e h r 和他的助手 们( b e h r , m j ，h a r dg ，p o s t ，t r ，& x e s h , l t 1 9 9 2 ) 把部分整体( p a r t - w h o l e ) 也作为了其中一个子结构。 不同子结构代表了有理数的不同概念，但这并不表示有理数是由几个相互独 立的子结构拼凑而成，它们是有内在的统一联系的( k i e r e n ，1 9 9 3 ； s t r e e f l a n d , 1 9 9 3 ) 。第一个统一元素是单位( u n i t ) 的概念。b e h r 和他的助手们提 供了关于不同子结构之间转换的详细分析。这种转换的主要特点就是单位的合成 和重组。区分不同的子结构主要依赖于如何选择和转变单位。l a m o n ( 1 9 9 3 ) 也 把单位的概念当作分析比的基础。她向我们展示了比是如何被当作单位来使用 的，并进一步提供了学生们用这一概念来解决有关比的问题( r a t i op r o b l e m s ) 的 证据。单位的概念并不仅仅是有理数各个子结构的统一因子，同时也是理解其他 数学概念如测量一的基础。分割过程( t h e p r o c e s so f p a r t i t i o n i n g ) 是这些 子结构的另外一个统一因子( c a r p e n t e r , 1 9 9 3 ) 。不同的予结构实质上是不同方法 的单位分割。比如，度量子结构是用度量单位来分割有理数；商子结构是分子根 据分母的数量被分割。 b e h r 和他的助手们认为不同的子结构能够帮助我们更好地理解有理数概念 和乘法运算。l a m o n ( 2 0 0 6 ，p 2 2 5 ) 认为不同的子结构对我们深刻理解有理数有 不同的帮助，并不存在某个万能的子结构可以代替其他子结构。 m a r s h a l l ( 1 9 9 3 ) 和l a l f l o n ( 2 0 0 6 ) 等人都在他们的文章或专著里详细地讨 论了有理数的五种子结构。以下是m a r s h a l l 对五种子结构的描述： ( 1 ) 部分整体 很显然，这种子结构是大多数学生最先想到用来解释有理数的 思考图式这个子结构可以这样被描述：一个整体被分割成一些相 同的部分。这些相同的部分可以是连续的量( 通常是几何区域) 也 8 第二章文献综述 可以是焉散的独立物体 部分一整体子结构通常是通过形象表示介绍给学生，然后才逐 渐过渡到符号表示两种形象表示是占主流的，第一个是符号詈； 第二个形象表示和分割区域有关，通常这个区域是用长方形或圆形 绘制，这样它们可以被轻易地分割成相同的几决符号詈可以用来 描述分割，a 是整个单位6 的一部分在部分一整体的子结构中，a 永 远超不过6 因此詈永远小于等于1 典型的题目有： 4 把长方形的去涂上阴影； b 有四个球，其中3 个是红球，一个白球问，红球占到球总 数的多少? ( 2 ) 商 商子结构类似部分一整体子结构，依赖于分割典型的表达是 i a 与部分一整体不同的是，式子中的口和西可以代表不同的事物 商子结构体现了一种分割，在这个子结构里，元素a ( 例如三个比 萨) 被分到了b 个群中( 例如和四个朋友分享) 这里对分数兰没有 n 大小的限制，a 可以比6 大或小或相等典型的题目有： 4 你将如何将3 个p i z z a 平均分给4 个小朋友，每人能得到多 少? ( 3 ) 度量 度量的情形是分数被重复用来测量距离通常情况下它伴随 n 着一根数轴或者一个度量装置( 例如，尺子) ，学生被期望能够用_ j i d 作为单位来度量不同的两点 s a x ( 1 9 8 0 ) 在它的著作里提到了度量四个尺度，其中名义度量 尺度仅要求把物体分成离散的类别，如男，女；序列度量尺度根据 一定的准则对事物进行嘲f 列，如记小学学历为1 ，高中学历为2 ，本 科学历为3 ，研究生学历为4 ，根据数字顺序，对四个学历进行排序。 9 第二章文献综述 间隔度量尺度要求相互间隔的距离相等最后，比率度量尺度具有 要求相等间隔( 例如两根线段之间的距离) 和绝对零点。这两个特 征对中学生来说可能是比较难理解一般来说，相等间隔和有意义 的零点的概念是在学习数轴的时候建立起来的，它们成为了度量的 形象表达方式 要理解度量子结构，首先要理解用来作为度量单位的分数三 即，它被重复的使用以决定一些物体的长度或大小。分数詈表示以昙 为单位长度的距离( 口个三) 这里对口的大小没有限制。典型的问 题有： 4 x 到0 的距离是多少? o - _ 五一一一一一1 b x 到y 的距离是多少? o 。一y 一l ( 笔者注：早在在古巴比伦文化中，少数几个有其特定记号的特殊 分数三，三和詈，在量的度量意义上已经作为“整体”看待，而不是一 的几分之几例如把一角钱与元对比我们可以把l 角钱写成击，但 又把三本身看成是一个单位( 莫里斯克莱因，2 0 0 2 ) ) 1 0 ( 4 ) 比 比子结构涉及两个量相关的问题和前面几个子结构不同，比 子结构不能表示物体的分割。确切地说，它表示一类物体数目和另 外一类物体数目的比较。比子结构有下面三个特点：第一，这种子 结构通过导描述一对数；第二，它描述或者暗示了一种比例：假如4 和6 有特定的关系，那么如果口有变动会导致6 也有变动；第三，它 描述了我们世界里恒久不变的量 对于比子结构，在符号要中，口和6 可以是完全不同的并且， 口不表示6 的一部分典型的题目有： 口s u s i e 在3 升水里加了1 杯糖，那么她应该在6 升水里加入 几杯糖? 1 0 第二章文献综述 b 有4 个球，3 个是红球1 个白球，问红球和白球的比是多少? ( 5 ) 算子 在算子子结构里，分数璺被当作“函数机器( 交换机器) ”，把 某个数经过交换机器作用变成第二个数算子子结构通常被认为与 比子结构很相近，这是因为导被描述为“口与扫的交换”两者不同的 是，算子子结构把詈当作一个整体看待，而比子结构则把詈看成是 有序的数对典堑题目有： 口应该怎样才能把一副图画变成原来的三4 7 6 我现在有1 吾杯牛奶但是我的营养搭配单里要求2 ；杯那 么我应该怎样来减少营养搭配单里的其他物品，使得我能用 1 三3 杯牛奶代替2 三4 杯? l a l n o n ( 2 0 0 回认为在有理数的商子结构里，符号詈体现了数学概念两重性的 特点。首先它代表了( 4 + 6 ) 这个运算过程，其次，它又作为一个对象一除法运 算的结果而存在。 查阅国内相关期刊，不难发现，关于有理数的文章琳琅满目，比如“有理 数的乘法法则”探究性学习的教学设计与反思，对“有理数加法法则”的教学 设计及反思，学好有理数要过三关，有理数及其运算( 参考文献3 9 - - 4 2 ) 。然而，这类文章关注的焦点都是有理数的课堂设计、课堂教学、有理数 运算等，对有理数本身的理解的探讨很少。 2 2 2 有理数的稠密性 r 柯朗在他著名的著作什么是数学一对思想和方法的基本研究中如 下描述了有理数的稠密性。 在一条直线即“数轴”上，我们标出从0 到1 的线段，确定从0 到1 这线段的长为单位长，这单位长度我们是可以任意选取的于 是，正整数和负整数表示为数轴上一组等距的点，整数在0 点的右 1 1 第二章文献综述 边而负数在左边为了表示分母为捍的分数，我们把每一个单位长 线段分成雄等分，则这些点表示了分数为n 的分数如果我们对每 一个整数n 都这样傲，那么所有的有理数将都能用数轴上的点来表 示我们称这些点为有理数，我们将不区分地使用“有理数”和“有理 点”这两个术语 有一个重要的基本事实可以表述如下：有理点在直线上是稠密 的这个意思是，在每一个不论是多么小的区间中都存在着有理点。 为个表明这一点，我们只须取一个足够大的分母玎，使得区间【o ，勺小 于问题中给定的区间【a ，别；这时分数兰中至少有一个一定落在这个 区间中因此在直线上任何一个区间，不论它多么小，都不可能没 有有理点而且由此得知，在任何一个区间中必须有无穷多个有理 点，因为如果只有有限个，则在任意两个相邻的有理点之间的区间 内，将不存在有理点，我们刚才看到这是不可能的 r 柯朗利用数轴的解释让我们对有理数的稠密性有了非常直观的印象。然 而，并不是所有的学生都能有幸读到上面这段文字。 v a m v a k o u s s i 和v o a n i a d o u ( 2 0 0 4 ) 研究发现，学生掌握的关于整数的知识有 助他们掌握有理数的代数性质，而整数的离散性却束缚了他们对有理数稠密性的 理解。他们通过对1 6 个9 年级学生( 大约1 5 岁) 的问卷调查和访谈发现真正理解 有理数稠密性的学生很少。他们根据学生回答水平的高低，将这些学生分成了5 个等级：低级离散( n a i v ed i s c r e t e n e s s ) 、高级离散( a d v a n c e dd i s c r e t e n e s s ) 、 离散一稠密( d i s c r e t e n e s s - - d e n s i t y ) 、低级稠密( n a i v ed e n s i t y ) 、成熟的稠密 ( s o p h i s t i c a t e d d e n s i t y ) 。每个等级占到的比例各为：杀、2 1 6 、未、三1 6 和旦1 6 。 对于有理数的稠密性，国内的学者似乎存在着一些争议，谭坚( 2 0 0 6 ) 认为 “因为任何两个有理数之间总存在着一个有理数，所以有理数在数轴上是稠密的” 这种说法是错误的，存在许多糊涂观念。为此他就有理数稠密性的三种常见的提 法有理数的稠密性有理数在数轴上的稠密性有理数在实数域中的稠密性 分别予以澄清。 第二章文献综述 颜秀红( 2 0 0 5 ) 认为，有理数只有定义为分数才具有稠密性，如果定义为无 限循环小数则不具有稠密性。 为了明确本研究中稠密性概念，笔者采用如下定义：称一个数集是稠密的， 如果这个数集的任两个数之间总存在一个( 因而存在无穷多个) 这个数集中的 数。 2 3 1 数学的理解 2 3 相关理论介绍 r s k e m p ( 1 9 7 1 ) 在他的著作 t h ep s y c h o l o g yo fl e a r n i n gm a t h e m a t i c a l ( 学 习数学的心理学1 第一篇中详细探讨了什么是理解，用什么方法我们才能达到 理解。他运用s c h e m a ( 图式) 来解释理解，认为图式有两个主要的功能：它使 现成的知识完整化，又是获得新知识的智力工具。r s h e m p 认为，对某种事物的 理解，指的是将它同化进入一个适当的图式之中。然而，不适当的图式会使以后 的思想的同化非常困难，也许会成为不可能。 上面提到了图式的概念，按照p i a g e t 的解释，图式是指相对稳定的以动作为 主的认知结构组织。这里的动作既包括实际动作，也包括抽象化了的在思想上展 开的动作。图式实际上就是指心理结构。 在r s h e m p 另一篇文章中( 1 9 7 6 ) ，他将理解划分为“工具性理解”和“关系性 理解”。工具性理解是指知道法则但不懂理由，而关系性理解则是我们平时所讲 的“知道怎么做”又“知道为什么这样做”。工具性理解对应习惯式学习或机械性学 习，关系性理解对应含有理解的学习即理智式学习。 v a m v a k o u s s i 和v o s n i a d o u 在研究学生对有理数稠密性理解的时候就注意 到，有些学生能够答对两个不同有理数之间存在着无数个有理数，但是不能说出 理由。换句话说，这些学生属于工具性理解( 记住了数学老师讲过的话) 。 李士铸先生( 2 0 0 1 ) 认为，学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上 能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么 才说明是理解了。个人认知结构在内容和组织形式上的特征，至少包括了以下几 层意义： 第二章文献综述 1 知识的理解必须要有一定的心理基础。 从教育心理学最基本的原理看，“影响学习最重要的因素是学生已经知道了 什么”。在学习一个新概念以前，头脑里一定要具备与之有关的准备知识，并且 这些有关的概念结构是能够被调动起来的，使之与新的概念建立联系，否则就不 会产生理解。所以要使新旧知识发生互相左右，建立联系，前提就是要有相应的 基础图式。 2 必须选择和调动起相称的认知图式。 在建构新概念或建构新概念的意义时，所利用的认知图式必须是正确的、恰 当的，即相称的，否则就会引起误解。要形成正确的理解，需要经过复杂的心理 机制过程。按照心理学的观点，其中最基本的机制是同化和顺应。 通俗地讲，信息处理时利用头脑中现有的图式，对知识进行舍取、改变的过 程称为“同化”过程，在没有现成的图式可直接利用时，则设法调整或改造自己已 有的图式，或是设立新图式，使之能够接纳新信息，这样的过程称为“顺应”( 或 “适应”) 。同化和顺应以图式为基础实现其功能，同时又让旧图式得以更新、充 实和发展。显然，顺应要比同化复杂。 3 理解是一个信息或要素组织的过程。 理解不是直线式的简单的积累，相反，它是螺旋地发展，结构式地建造出来 的。对于数学来说，无论是概念结构的形成，还是一个专题的整体知识结构的产 生，都必须经历一个建构的过程。简单地讲，理解式的学习涉及到两个方面的建 构，一是处理新旧知识之间的联系，产生一个新、旧知识之间的特定概念关系； 二是组织起相应的关系结构，以利于新概念的存储和回忆。 4 理解还需要认知结构的再组织。 学习中至关重要的一个过程是心理上的再组织过程。随着学习的展开，知识 的增多，数学的知识需要作进一步的组织。借助于内部结构的再组织，将能使思 维对对象的把握达到一个理性的阶段，进展到一个更深入、更全面、更广阔的程 度。 s p r i r e 和t k i e r e n ( 1 9 9 4 ) 认为，一个数学概念的理解，可以划分为八个水 平，它们分别为：初步了解，产生表象，形成表象，关注性质，形式化，观察评 述，组织结构，发明创造。p r i r e 和k i e r e n 通过观察、谈话等方法，专门调查了 1 4 第二章文献综述 一位叫k a t i a 的女学生学习分数的过程。在初步了解的基础上，他利用折纸和画 图的方法来领会分数概念，这是“产生表象”水平的理解，由此形成了某个分数的 表象，然后注意到分数的等价性：分子、分母同乘一个数，值不变。他能通过分 子、分母同乘以2 的方法写出一连串相等的分数。这时她达到了“关注性质”的水 平，对面对“怎样做i 1 + i 1 ”的问题，她的同乘以2 的方法失效了。如果老师提出“先 二j 找到公分母，再用交叉相乘的方法找到分子，并相加”，就可以让学生去运算， 但学生却不一定会理解，于是老师提示说：“分数的意义是什么? k a t i a 答道：“切 比萨饼! ”她立刻折返，回到了“产生表象”水平，画出表示去、寺的比萨饼，重 二j 新形成要相加的去和专的表象。显然她是带着解决新问题的明确目的，讲寺比萨 二j二 饼画成三，将 比萨饼画成孝。在作了类似的计算后，她将过程归结为一个算法， ojo ， 这一次达到了“形式化”水平。接下去，她又折回到产生表象和形成表象水平，去 弄懂形式化水平所需要的运算，并利用了一般的分数等价性质，构造分数加法的 意义。当从“关注性质”发展到“形式化”后，学生掌握了形式化概念，她可以不 再利用表象而发展理解。例如，将加法鱼+ 生归结为丝+ 盟，而不再参考分数 ac口c口c = 是指a 份中的b 份的表示方法。 2 3 2 数学概念的两重性 a n n as f a r d ( 1 9 9 1 ) 等人研究认为，许多数学概念特别是代数概念具有两重性， 即表现为一种过程操作，又表现为对象、结构：过程对象；算法一结果；操作 行为一结构关系。过程和对象是概念的两个侧面，有着紧密的依赖联系。形成 一个概念往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程，在过程阶段，考 虑的更多的是运算；而在对象阶段，考虑的更多的是结构；两者的最终结果是在 认知结构中共存，在适当的时机分别发挥作用。完成一个概念从运算性的过程过 渡到结构性的对象需要经历长期的过程，有时甚至是困难的，期间大致要有三个 阶段：过程的内化、过程的压缩、对象的实体化或对象化。 在过程的内化阶段，学习者可以熟练地进行过程的运算，能够脱离相对具体 的情境，转变或上升为心理上的操作，而不需要完全依赖具体的被操作对象合实 第二章文献综述 际问题。这里的“内化”与p i a g e t 在发生认知论原理中所表达的意义是一样的： 如果一个过程能够通过心理表象运算，那么这个过程就已经内化了。 在过程的压缩阶段，随着过程的重复实旅，学习者能够将一个长运算顺序压 缩成一个易于操作的单元，这时单个的知识逐步降低了自身的地位，成为总体过 程的一个局部，从而将给定过程当作一个整体来考虑，使得内化了的心理操作简 约和抽象。另外，在压缩阶段，由于比较和概括能力增强了，概念的不同表示之 间的转换会变得更加容易 在实体化阶段，由于有了压缩的基础，概念达到结构化、整体化，完全摆脱 了过程的束缚和限制，使得过程变成易于把握本质的实体对象。这时，学习者能 够将一个数学概念看作带有自身特点的一个完整的对象。 s f a r d 还认为，过程的内化和压缩是逐步完成的，是量变，实体化经常是一 个突然的转变，是质变。作为对象的概念，它既要操作别的对象，又要被高层次 的运算来操作。而且，一个概念如果还未被高一级的过程运算，那么就看不出对 象化的必要性，就不能达到真正的对象化。 有理数概念的理解首先是过程性的理解，然后才逐步上升为对象性理解。只 有把有理数作为一个对象，而不是一个运算过程来对待，才能更好地学习和理解 以后更复杂的数系。a n n as f a r d 等提出的数学概念两重性理论为我们分析学生的 理解、发展概念所处的层次、水平提供了很好的理论基础。 2 3 3s o l o 分类法 从2 0 世纪8 0 年代开始，认知发展理论的研究对象已冲破逻辑运算范畴，越 来越关注理论与教学实践之间的联系。b i g g s 和c o l l i s 提出不同于p i a g e t 的观点， 他们相信描述学生的发展和结构，最恰当的方法不是对学生自身( 比如他的年