（概率论与数理统计专业论文）公司合并的相关问题研究.pdf

摘要 摘要 最优分红和最优再保险问题一直都是保险风险理论中很重要的两类问题，现 在对此类问题的研究基本上就是对古典风险模型进行改造和推广，使模型更接近 实际，结果更具有可操作性。 本文讨论了两个公司合并前后分红和再保险的相关问题，模型为古典风险模 型。这两个公司承保同一风险，且索赔次数过程为两个独立的泊松过程。其中对 合并分红问题，本文基于b r u n od e f i n e t t i 关于公司按照期望折现分红最大化方式 给股东分红的假设，通过合并前后分红的比较，来确定合并是否盈利。本文采用 了边界分红策略和门槛分红策略，分别给出合并是否盈利的条件。对边界分红， 其得出的条件很直观、简单，对门槛策略，其结果比较复杂。对于合并再保险，本 文讨论了最优比例再保险问题，采用了两种最优准则：m v 准则和最大期望折现 分红准则。在m v 准则下，此问题可转化为求最大期望效用函数问题，本文给出 了两个最优比例的显式表达，对最大期望折现分红准则，合并后索赔量分布为混 合指数分布，尽管其分红函数比较复杂，但我们对最优比例仍给出了隐式表达。 关键词：合并，期望折现分红，比例再保险，m v 准则，复合泊松过程，效用 函数，混合指数分布 a b s t r a c t a b s t r a c t o p t i m a ld i v i d e n da n do p t i m a lr e i n s u r a n c er e t e n t i o np r o b l e m sa r ev e r yi m p o r t a n t i na c t u a r i a ll i t e r a t u r ea l lt h et i m e a n dn o w , t h er e s e a r c h e si nt h e s ep r o b l e m sa r eb a - s i c a l l yo nr e b u i l d i n ga n de x t e n d i n go ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，w h i c hm a k et h em o d e l m o r ep r a c t i c a la n dt h er e s u l t sm o r eo p e r a t i o n a l t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ed i v i d e n da n dr e i n s u r a n c ep r o b l e m so nt h em e r g e ro ft w o c o m p a n i e s i no u rm o d e l ，t h et w oc o m p a n i e st a k eo nt h es a n l er i s k ，a n dt h et w oc l a i m n u m b e rp r o c e s s e sa r ei n d e p e n d e n tp o i s s o np r o c e s s e s f o rt h ed i v i d e n do nt h em e r g e r , w ee x a m i n e st h em e r g e ro ft w oc o m p a n i e su n d e rt h ep r e m i s e ，d u et ob r u n o d e f i n e t t i ， t h a tt h ec o m p a n i e sp a yo u td i v i d e n d st ot h e i rs h a r e h o l d e r si ns u c haw a y s oa st om a x i m i z et h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n d su n t i l ( p o s s i b l e ) r u i no ri n s o l v e n c y w eg e tt h ed i f f e r e n tr e s u l t sf o rm eb a r r i e rs t r a t e g ya n dt h r e s h o l ds t r a t e g y , a n dt h ef o r - m e ri ss i m p l e ，w h i l et h el a t t e ri sc o m p l e x f o rt h eo p t i m a lr e i n s u r a n c eo nt h em e r g e r , w ed i s c u s st h eo p t i m a lp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ep r o b l e m s t w oo p t i m i z a t i o nc r i t e r i a a r ec o n s i d e r e d ：m vc r i t e r i aa n dm a x i m i z i n gt h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n d sc r i t e r i a u n d e rm em vc r i t e r i a ，t h i sp r o b l e mc a nb ec o n v e n e di n t os o l v i n gt h e m a x i m i z i n ge x p e c t e du t i l i t yf u n c t i o n ，a n dw eg e tt h ec l o s e d - f o r me x p r e s s i o n s u n d e r m a x i m i z i n gt h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n d sc r i t e r i a , t h o u g ht h ec o m p l e x i t y o ft h ed i v i d e n df u n c t i o n o ft h em i x t u r eo f e x p o n e n t i a ld e n s i t y , w es t i l lg e tt h ea p p r o x i m a t ee x p r e s s i o n s k e yw o r d s ：m e r g e r , t h ee x p e c t a t i o no fd i s c o u n t e dd i v i d e n d s ，p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e ，m vc r i t e r i a , c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，u t i l i t yf u n c t i o n ，m i x t u r eo f e x p o n e n t i a ld e n s i t y l 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：绦菇处 矽甜年5 月2 0 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：绦袭k ) - o o g 年5 月口日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n dk n o w l e d g e 1 1 1t h e p h y l o g e n i e so fo p t i m a ld i v i d e n da n dr e i n s u r a n c ep r o b l e m s t h eo p t i m a ld i v i d e n dp r o b l e mw a sf i r s td i s c u s s e db yd e f i n e t t i 【1 】a tt h e15 t h i n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fa c t u a r i e si nn e wy o r kc i t yi n1 9 5 7 i nt h i sp a p e r , h ec o n s i d e r e dad i s c r e t et i m er i s km o d e la n dp r o d u c e ds o m er e s u l t si nt h es i t u a t i o nw h e n t h ea g g r e g a t eg a i np e ru n i tt i m ei se i t h e r1o r 一1 s u c ha sh es h o w e dt h a tt h eo p t i m a l d i v i d e n d p a y m e n ts t r a t e g ym u s tb eab a r r i e rs t r a t e g y t h a ti s ，w h e nt h es u r p l u sr e a c h e s c e r t a i nl e v e l ，i n c o m en ol o n g e rg o e si n t ot h es u r p l u sp r o c e s sb u ti sp a i do u ta sd i v i d e n d st os h a r e h o l d e r s t h e nh es h o w e dh o wt h eo p t i m a ll e v e lo ft h eb a r r i e rc a nb e d e t e r m i n e d s u b s e q u e n f l y t h ep r o b l e mo ff i n d i n gt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yw a sd i s c u s s e d e x t e n s i v e l yi nc o n t i n u o u st i m er i s km o d e l s t h ef i r s tt r e a t m e n to ft h eo p t i m a ld i v i d e n d d i s t r i b u t i o ni nt h ec l a s s i c a lc o m p o u n dp o i s s o nm o d e lc a nb ef o u n di nb u h l m a n n 【2 】 a n dg e r b e r 【3 】i ns o m ec u r r e n tp a p e r , a u t h o r sp r e v i o u s l ya s s u m e dt h a tt h ed i v i d e n d a r ep a i dt ot h es h a r e h o l d e r sa c c o r d i n gt oab a r r i e rs t r a t e g y , t h e nm e yd i s c u s s e dd i v i d e n dp r o b l e m so rc o n s i d e r e dt h ep r o b l e mo ff i n d i n gt h eo p t i m a ll e v e lf o rt h eb a r r i e r f o re x a m p l e ，d i c k s o na n dw a t e r s 【4 】e x t e n d e ds o m ek n o wr e s u l t sr e l a t i n gt ot h ed i s t r i b u t i o no ft h ep r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n dp a y m e n t su n t i lr u i ni nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l g e r b e ra n ds h i u 5 g a v ead e t a i lm o d e l s ，f o re x a m p l e ，p a u l s e na n dq e s s i n g 【6 】c o i l - s i d e r e dap e r t u r b e dc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s su n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s t ；c a i ，g e r b e r , a n dy a n g 【7 】c o n s i d e r e da no r n s t e i n u h l e n b e c km o d e lw i t hc r e d i ta n dd e b i ti n t e r e s t ； f a n ga n dw u 【8 】c o n s i d e r e do p t i m a ld i v i d e n dp r o b l e m si nac o m p o u n d p o i s s o nr i s k p r o c e s sw i t hc o n s t a n ti n t e r e s to ni n v e s t m e n t ；g e r b e ra n ds h i u 9 】c o n s i d e r e do p t i m a l d i v i d e n dp r o b l e m so ft h em e r g e ro ft w oc o m p a n i e sa r em o d e l e da sab i v a r i a t ew i e n e r p r o c e s s 1 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n b a r r i e rs t r a t e g ya r es i m p l ea n dc o n v e n i e n tf o ro p e r m i n g ，b u tt h er e s u l t i n gd i v i d e n d s t r e a mi sf a rf r o mp r a c t i c a la c c e p t a n c e f u r t h e r m o r e ，i fab a r r i e rs t r a t e g yi sa p p l i e d ，u l t i m a t em i no ft h ec o m p a n yi sc e r t a i n t h e s ec o n s i d e r a t i o n sl e a dt ot h ei d e ao fi m p o s i n g r e s t r i c t i o no nt h ed i v i d e n ds t r e a m ，r e s u l t i n gi no p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t ha d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s a s m u s s e na n dt a k s a r 10 p o s t u l a t e dab o u n d e dd i v i d e n dr a t ea n ds h o w e d t h a tt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi sat h r e s h o l ds t r a t e g yi nb r o w n i a nm o t i o nr i s km o d e l s ，t h a ti s ，d i v i d e n d ss h o u l db ep a i do u ta tt h em a x i m a la d m i s s i b l er a t ea ss o o na st h e s u r p l u se x c e e d sac e r t a i nt h r e s h o l d s o m ec a l c u l a t i o n sf o rt h i sm o d e lc a nb ef o u n d i ng e r b e ra n ds h i n 【11 】i nt h ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e l ，g e r b e ra n ds h i n 1 2 】 e x a m i n e dt h ea n a l o g o u sq u e s t i o n s ，m e ys h o w e dt h a tt h em a x i m a lv a l u ef u n c t i o no f t h ed i v i d e n d sc a nb ec h a r a c t e r i z e db yt h eh a m i l t o n j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o n t h e n m e ys h o w e dt h a tf o rt h ec a s eo fa ne x p o n e n t i a lc l a i ma m o u n td i s t r i b u t i o n ，t h eo p t i m a l d i v i d e n ds t r a t e g yi sat h r e s h o l ds t r a t e g y r e i n s u r a n c ei sam e c h a n i s mo ft r a n s f e r r i n gr i s kf r o ma ni n s u r a n c et oas e c o n d i n s u r a n c ec a r r i e r t h ef o r m e rp a r t yi sr e f e r r e dt oa st h ec e d e n tw h i l et h el a t t e ri sk n o w n a st h er e i n s u r e r r e i n s u r a n c ep r o v i d e sa l lo p p o r t u n i t yf o rt h ei n s u r e rt or e d u c et h ea n d e r w r i t i n gr i s ka n dh e n c el e a d st om o r ee f f e c t i v em a n a g e m e n to fr i s k t h es t o p l o s s ， t h ee x c e s s o f - l o s s ，a n dt h ep r o p o r t i o n a l ( q u a t o s h a r e ) a r es o m ee x a m p l e so fr e i n s u r - a n t ec o n t r a c t s t h e r ea r es o m eo p t i m a lc r i t e r i a ，f o re x a m p l e ，m e a n v a r i a n c ec r i t e r i a ， m a x i m i z et h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n d sa n ds oo n t h em e a n v a r i a n c e p o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mi sf i r s t l yp r o p o s e db ym a r k o w i t z 【1 3 1 f r o mt h e no n ，i t b e c a m ear a t h e rp o p u l a rc r i t e r i o nt om e a s u r et h er i s ki nf i n a n c et h e o r y ；s e em e r t o n 1 4 ，z h o ua n dl i 【1 5 ，o k s e n d a la n ds u l e m 【1 6 】e t c r e c e n t l y , w a n g ，x i aa n dz h a n g 17 】p o i n t e do u tt h a tt h em e a n - v a r i a n c ep r o b l e mi sa l s oo fi n t e r e s ti ni n s u r a n c ea p p l i - c a t i o n s t h e yc o n s i d e r e dar i s k1 6 v yp r o c e s s b yt h em a r t i n g a l ea p p r o a c h ，t h eo p t i m a l i n v e s t m e n ts t r a t e g yw a so b t a i n e du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a ts h o r t s e l l i n gw a sa l l o w e d m o r e o v e r , t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g yw a sn o ti n d e p e n d e n to ft h ec l a i mp r o c e s s f o rt h em e a n v a r i a n c ep r o b l e m ，r e i n s u r a n c e n e wb u s i n e s sa s a n o t h e ri m p o r t a n tt e c h n i q u ef o ri n s u r a n c ec o m p a n i e sh a db e e nc o n s i d e r e db yb 五u e r l e 【1 8 a l t h o u g ht h ec o n t r o lw a sc o n s t r a i n e dt ot a k en o n n e g a t i v e ，b i u e r l e 1 8 】s t i l lg a v e ac l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h eh j be q u a t i o n ，a n dt h e nc o n s t r u c t e dt h eo p t i m a lc o n t r o lb y 2 c h a p t e r1i n 缸o d u c f i o n t h ec l a s s i c a lv e r i f i c a t i o nt h e o r e m 1 1 2s o m ei m p o r t a n tr e s u l t so nt h em e r g e r t h ei d e a so ft h i sp a p e ri so r i g i n a l l ym o t i v a t e db yg e r b e ra n d s h i u 9 】，w h i c hg a v e s o m er e s u l t so ft h eo p t i m a ld i v i d e n do nt h em e r g e ro ft w oc o m p a n i e s i ti sa s s u m e d t h a ta g g r e g a t en e ti n c o m e p r o c e s so fac o m p a n yi saw i e n e rp r o c e s sw i t hap o s i t i v e d r i f tpa n dv a r i a n c e 盯2p e ru n i t et i m e t h e nt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi s ab a r r i e r s t r a t e g y ab a r r i e rs t r a t e g yh a sap a r a m e t e rb ，t h el e v e lo ft h eb a r r i e r l e ty ( z ；b ) d e n o t et h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n d su n t i lr u i n h e r ez d e n o t e st h ei n i t i a lc a p i t a l t h e n y ；6 ) = 篙f o r o z 6 ( 1 1 ) f u r t h e r m o r e ， y ( z ；b ) = z b + y ( 6 ；b ) f o rz b ( 1 2 ) l e tb + d e n o t et h eo p t i m a lv a l u eo fb ，t h e nw e h a v e ， 6 + = 南l n 8 2 ， ( 1 3 ) r sr 、7 a n d y ( 矿；矿) = 等 ( 1 4 ) t h i se l e g a n tf o r m u l aw i l lb eak e yf o r a n a l y z i n gam e r g e r a f t e rt h em e r g e r , t h er e s u l t i n ga g g r e g a t en e ti n c o m ep r o c e s si saw i e n e rp r o c e s s ， w i t hp a r a m e t e r s 2p 1 + p 2 ， ( 1 5 ) a n d 靠= 砰+ 仃；+ 2 p a l c r 2 ( 1 6 ) t h u s 螺= ( p 1 + p 2 ) ，( ) ( 1 7 ) l e tv m ( x ；b ) d e n o t et h ee x p e c t a t i o no ft h em e r g e dc o m p a n y sd i s c o u n t e dd i v i d e n d su n t i lm i n t h e nt h ep o t e n t i a lg a i no nt h em e r g i n gt h et w o c o m p a n i e si s ( z 1 + x 2 ；) 一f k ( z 1 6 ：) + ( z 2 ；) 】，( 1 8 ) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i tf o l l o w sf r o mp r e v i o u se x p r e s s i o n st h a t ( 曝；6 麓) = ( 6 ；6 ；) + ( 6 ；6 ；) ( 1 9 ) t h e r e f o r e ，l e tu sa s s u m et h a tt h ec u r r e n tc a p i t a lo fc o m p a n y 歹i s 骘，j = 1 ，2 h e n c e ， b ：+ 6 ；i st h ec a p i t a lo ft h em e r g e dc o m p a n y t h e n ，w e c a l lg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( a ) 6 麓 ( 6 ；6 ：) + k ( 虻；虻) t h a ti s ，am e r g e rr e s u l t si nag a i n t h e n ( b ) i f 6 麓 6 ：+ 醛， ( 6 象6 象) ( 醛；6 ；) + ( 6 ；6 ；) t h a ti s ，am e r g e rm a k e sn oe c o n o m i cs e n s e c o n s e q u e n t l y , i f f o rb o t hc o m p a n i e s1a n d2w eh a v e 誓 萼一o 嗽7 鼢，名 吩 z ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) t h i sp a p e ra d d r e s s e dt h eq u e s t i o n ”m e r g e r - n o wo rn e v e r ? a n df o u n dar e l a t i v e l y s i m p l ea n s w e r o n em i g h ta r g u et h a ti fm e r g e rd o e sn o tt a k ep l a c en o w , i tr e m a i n sa n o p t i o ni nt h ef u t u r e t h i sl e a d st ot h ep r o b l e mo ff i n d i n gt h eo p t i m a lt i m eo fam e r g e r 4 1 2t h ep r i m a r yc o n t e n to ft h i sp a p e r t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r i nc h a p t e r1 ，w er e v i e wt h ep h y l o g e n i e so fo p t i m a ld i v i d e n da n dr e i n s u r a n c e p r o b l e m sa n di n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tr e s u l t so ft h eo p t i m a ld i v i d e n do nt h e m e r g e ro ft w o c o m p a n i e s c h a p t e r2a n dc h a p t e r3a r et h ep r i n c i p a lp a r t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w eg i v e s o m er e s u l t so ft h eo p t i m a ld i v i d e n do nt h em e r g e ro ft w oc o m p a n i e s ，t h e nw ec a nd e c i d ew h e t h e rt h em e r g e rr e s u l t si nag a i no rl o s s ，a n dt h em o d e li st h a tt h ea g g r e g a t en e t i n c o m ep r o c e s so fac o m p a n yi sac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，a n dw eu s eb a r r i e rs t r a t e g ya n dt h r e s h o l ds t r a t e g yt og e td i f f e r e n tr e s u l t s ；i nc h a p t e r3 ，w eg e ts o m er e s u l t so f t h eo p t i m a lp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c eu n d e rt h em e a n v a r i a n c ec r i t e r i aa n dm a x i m i z i n g t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n d sc r i t e r i a i nc h a p t e r4 ，w e g i v et h ec o n c l u s i o no ft h i sp a p e ra n dp r o s p e c tt h ef u r t h e rw o r k s 5 c h a p t e r2 t h ed i v i d e n dp r o b l e m so ft h em e r g e ro ft w o c o m p a n i e s 2 1t h em o d e l i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt w os t o c kc o m p a n i e s ，l a b e l e d1a n d2 ，a n da s s u m et h a t t h es u r p l u sa tt i m etw o u l db e ( b e f o r ed i v i d e n dp a y m e n t s ) ： f o rc 。m p 锄y1 1 ( t ) f o r c o m p a n y2 ， 巩( 亡) = x l + c l t m ， ( 2 1 ) 2 ( t ) u 2 ( t ) = z 2 + c 2 t 一k ， i = 1 ( 2 2 ) w h e r e 批i st h ec l a i mn u m b e rp r o c e s sf o rc l a s si ( i = 1 ，2 ) t h et w oc l a i mn u m b e r p r o c e s s e sa r ei n d e p e n d e n tp o i s s o np r o c e s s e sw i t hp a r a m e t e r sa la n d a 2 i ti sa s s u m e d t h a t _ k ) i sa ne x p o n e n t i a lc l a i ms i z er a n d o mv a r i a b l ew i t hp a r a m e t e r sp ，a n di t i s i n d e p e n d e n to fg l ( t ) a n d 2 ( 亡) a n dx ii st h ea m o u n t o fi n i t i a ls u r p l u sa n dc ii st h e r a t eo fp r e m i u m f u r t h e r m o r e ，w ea s s u m et h a tt h ej o i n ta g g r e g a t en e ti n c o m ep r o c e s s ( b e f o r e d i v i d e n dp a y m e n t s ) i sa l s oac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ： w i t hp a r a m e t e r s n ( t ) u ( t ) = v l ( t ) + 巩 ) = z + 西一k ， i = 1 z = x l + x 2 ， c = c 1 + c 2 ， 入= 入1 + 入2 6 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 试 c h a p t e r2t h ed i v i d e n dp r o b l e m so ft h em e r g e ro ft w oc o m p a n i e s 2 2t h em e r g e ro ft w oc o m p a n i e sw i t hb a r r i e rs t r a t e g y 2 2 1b a r r i e rs t r a t e g y i nt h ec l a s s i c a lm o d e lo fr i s kt h e o r y , t h es u r p l u sp r o c e s s u ( 亡) ) o fa ni n s u r a n c e c o m p a n yi sg i v e nb y u ( t ) = u ( o ) + c t s ( 亡) ，t 0 ( 2 7 ) t h ep r e m i u m sa r er e c e i v e dc o n t i n u o u s l ya tac o n s t a n tr a t ec ，a n dt h ea g g r e g a t ec l a i m s p r o c e s s s ( 亡) ) i sac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sw i t hc l a i mf r e q u e n c ya a n di n d i v i d u a l c l a i ma m o u n tp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o np ( 可) ，y 0 l e td ( t ) d e n o t et h ea g g r e g a t ed i v i d e n d sp a i db e t w e e nt i m e0a n dt i m et ，a n dx ( t ) b et h ec o m p a n y ss u r p l u s ，n e to fd i v i d e n dp a y m e n t s ，a tt i m et t h u s ， x ( t ) = u ( t ) 一d ( 亡) ，t 0 t = i n f t 0 1 x ( t ) 0 i st h ef o r c eo fi n t e r e s tf o r v a l u a t i o n n ec o m p a n ys e e k st om a x i m i z et h ee x p e c t a t i o no ft h er a n d o mv a r i a b l ed l e tv ( x ) d e n o t et h es u p r e m u mo f 驯d 】，w ea s s u m et h a tt h ed i v i d e n d sa r ep a i d a c c o r d i n gt oa b a r r i e rs t r a t e g yc o r r e s p o n d i n gt oab a r r i e ra tt h el e v e lb t h u sw h e n e v e r t h es u r