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摘要 摘要 b r a g g 光纤是一种新型的一维光子晶体光纤，这种光纤横截面的折射率只在 径向一个方向呈现周期性分布。由于在b r a g g 光纤中光波基于光子带隙的机理传 输，相比常规光纤具有低损耗，高非线性阈值和可调整结构参数较多、可调节性 强等优点。近年来作为国内外的研究热点，其应用范围正在向通信、医学、传感 等多个领域延伸。特别是随着计算机技术的提高，各种数值计算方法，如有限时 域差分法，有限元法，伽略金法等的应用使得处理更复杂的光纤结构成为现实， 对b r a g g 光纤的研究也将更为全面和深入。 本文主要用传输矩阵法和渐近矩阵法等相关理论对b r a g g 光纤的色散和损耗 特性进行了系统的研究。通过分析b r a g g 光纤的各个结构参数对光纤的色散和损 耗性能的影响，以及对光纤中的模的类型等具体问题的研究，本文建立了较为完 整的b r a g g 光纤理论，为b r a g g 光纤的实际制作和应用研究提供了理论参考。 论文主要包括四个方面： 1 用渐近矩阵法讨论了b r a g g 光纤的传输色散和损耗特性，并研究在特定波 长下，如何通过改变包层折射率差、中心核半径、核折射率等结构参数来优化传 输特性。 2 讨论了各种类型结构参数下导模和辐射模的包层场分布，分析光纤中导模 和辐射模的定量分类标准，以及b r a g g 光纤的结构参数对导模区域大小的影响。 3 探讨了大纤芯单模b r a g g 光纤的模式特性和色散系数，这种方法也适用于 设计单入射角下的窄带单模滤波器。 4 将渐近矩阵理论与传输矩阵法、伽略金法进行了比较研究，以便于进一步 分析更复杂类型的b r a g g 光纤，分析显示，后两种理论应用在b r a g g 光纤包层为非 周期或存在周期扰动的情况下更加方便。 关键词：b r a g g 光纤，色散，损耗，渐近矩阵法，伽略金法 a b s t r a c t a b s t r a c t a sa o n ed i m e n s i o np h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，b r a g gf i b e ri sb a s e do nt h ep h o t o n i c b a n d g a pg u i d i n gm e c h a n i s m c o m p a r e d w i t hc o n v e n t i o n a lf i b e r ，b r a g gf i b e rc a nl e a dt o l o w e rp r o p a g a t i o nl o s sa n di m p r o v et h et h r e s h o l df o rn o n l i n e a re f f e c t s m o r e o v e r , b r a g gf i b e rh a san u m b e ro fi n d e p e n d e n ts t r u c t u r ep a r a m e t e r s ，w h i c hi m p r o v et h e c o n t r o l a b i l i t yo ft h ef i b e r sd i s p e r s i o np r o p e r t i e s r e c e n t l y ，b r a g gf i b e rh a sb e e n a t t r a c t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o no fs c i e n t i s t sa l lo v e rt h ew o r l d t h ea p p l i c a t i o no f b r a g gf b e ri se x t e n d i n gt o w a r d sv a r i o u sf i e l d ss u c ha sc o m m u n i c a t i o n , s u r g e r ya n d s e n s o r e s p e c i a l l yw i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rc a p a c i t y ，f i n i t ed i f f e r e n tt i m e d o m a i nm e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o da r eu s e dt od e a lw i n lm o r ec o m p l i c a t e df i b e r s t r u c t u r e s ，w h i c hw i l ld e e p e na n dc o m p l e t et h ea n a l y s i so fb r a g gf i b e r a s y s t e m a t i cr e s e a r c hi sm a d eb yu s i n gt h et r a n s f e rm a t r i xm e t h o da n da s y m p t o t i c m a t r i xm e t h o d b yd i s c u s s i n gt h ee f f e c to fe a c hs t r u c t u r ep a r a m e t e r , d i s p e r s i o na n dl o s s p r o p e r t i e sa r ea n a l y z e da n dac o m p a r a b l yc o m p l e t eb r a g gf i b e rt h e o r yi se s t a b l i s h e d n l i st h e o r yp r o v i d e saf o u n d a t i o nf o rt h em a n u f a c t u r ea n da p p l i c a t i o no fb r a g gf i b e r n l et h e s i si sc o m p o s e do ff o u rp a r t s ： 1 b r a g gf i b e r sd i s p e r s i o na n dl o s sp r o p e r t i e sa l ed i s c u s s e du s i n ga s y m p t o t i c m a t r i xm e t h o d f o ras p e c i f i cw a v e l e n g t h , t h ec l a d d i n gi n d e xc o n t r a s t ，c o r er a d i u sa n d c o r ei n d e xa r ea l t e r e dt oo p t i m i z et h et r a n s f e rp r o p e r t i e s 2 e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sf o rb o t l lr a d i a t i o na n dg u i d e dm o d e sa r e 、i d e l yd i s c u s s e d b yc o n s i d e r i n gt h ec l a d d i n g f i e l d 田1 ec l a s s i f i c a t i o ns t a n d a r do fg u i d e dm o d ea n d r a d i a t i o nm o d ea r ea n a l y z e d f u r t h e r m o r e ，t h ep r o b l e mt h a th o w b r a g gf i b e r ss t r u c t u r e p a r a m e t e r sa f f e c tt h eg u i d em o d ea r e ai sr e s e a r c h e d 3 t h em o d es h a p ea n dd i s p e r s i o nc o e f f i c i e n to f l a r g ec o r es i n g l em o d eb r a g gf i b e r a r ed i s c u s s e d 1 1 1 ed e s i g no fan a r r o wb a n df i l t e rf o rs i n g l ew a v d e n g t ha tas i n g l ea n g l e o fi n c i d e n c ei ss i m i l a rt ot h ed e s i g no f t h i ss i n g l em o d eb r a g gf i b e r 4 i no r d e rt oa n a l y z em o r ec o m p l i c a t e db r a g g 、f i b e rs t r u c t u r e s ，t h r e em e t h o & ， a s y m p t o t i cm a t r i xm e t h o d ，t r a n s f e rm a t r i xm e t h o da n do a l e r k i nm e t h o d 锄哈c o m p a r e d a n dd i s c u s s e d t h el a s tt w om e t h o d sa l ep r o v e dt ob em o r ec o n v e n i e n ti ns t u d y i n g a b s t r a c t a p e r i o d i cf i b e ra n dd i s t u r b e dp e r i o d i cf i b e r k e y w o r d s ：b m g gf i b e r , d i s p e r s i o n ，l o s s ，a s y m p t o t i cm a t r i xm e t h o d ，g a l e r k i n m e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：刘约姆导师签 日期： 第一章引言 1 1 选题依据及研究意义 第一章引言 光纤的传输特性是指光纤用于信息传递时的最基本特性，它包括光本身在光 纤中的传播特性和载有信息的光信号的传输特性两方面。光本身在光纤中的传播 特性包括：光场的分布形式；传播常数；偏振特性；模式耦合特性等。 光信号的传输特性包括：群时延和群速度；色散特性等。 光纤的主要用途是传输光信号或者对光信号进行变换、处理。随着卫星有效 载荷技术的发展，人们对光纤容量、光纤中信号的传输速度、信号传输距离的要 求也越来越高；同时，光纤还是光学天线、光纤放大器、光纤激光器、光滤波器 等光学设备的重要组成部分；在照明、传感和医疗器械【l l 方面，光纤也有广泛的应 。用：用于传感的光导纤维，有的起传输信号的作用，有的还要将非光信号调制到 光信号上；在激光器中的平面光波导用来产生谐振，也主要基于传输特性。正是 由于光纤有十分优良的传输特性，才使光纤通信事业蓬勃发展。因此研究光纤的 一传输特性有极重要的意义。 在常规光纤中，由于制备光纤材料的条件限制，以及全反射型传输机理本身 的局限性，使得人们难以对光纤的损耗、色散和非线性效应等主要传输特性进行 有效的控制，不能达到相关技术领域的迸一步要求。光纤材料的限制表现在：光 在介质中远距离传输存在吸收损耗，无论选用怎样的低损耗材料，距离一长，吸 收损耗总会累积直至明显。为了补偿这一损耗，人们用掺铒光纤每隔一段距离就 对衰减的光信号进行放大，然而这将光纤带宽限制在了较窄的铒激发频率区，不 能满足通信领域对大带宽的需求；而传输机理本身也具有局限性，主要表现在： 全反射机理导光对光的入射角有一定要求，特别是在集成光路中，不可避免地会 出现较大的光路弯曲，由于光纤内应力的作用会引起折射率的改变，如果光纤弯 曲的曲率半径太小，将引起光的传播途径改变，使光从纤芯渗透到包层，甚至从 包层中泄漏出去引起散射损耗。目前，常规光纤的这些弊端已经成为光纤通信技 术进一步发展的瓶颈，因此，人们纷纷将研究的焦点转向了对新型光纤的研究中。 在众多的新型光纤中，一种基于光子带隙型机理导光的b r a g g 光纤无疑是最 电子科技大学硕士学位论文 具发展潜力的新型光纤之一。这种光纤的径向存在周期性的折射率分布，它由纤 芯和高低折射率介质层交错排列的包层区两部分组成，其包层中周期性结构形成 禁带，如果入射光的频率落在光子带隙中，光在周期性包层中就不能传播，从而 将光束限制于纤芯中。因此可以将b r a g g 光纤近似看作一维光子带隙型光子晶体 光纤，光基于一维光子带隙效应局限于纤芯中传播，在包层区光按b r a g g 反射理 论被反射回来i2 1 。 图1 1 为从常规光纤至u b r a g g 光纤的发展演示图。常规光纤由折射率较高的纤芯 和折射率较低的包层组成，通过全反射效应导光。由于材料色散，纤芯必然会产 生损耗，目前世界上最好的日本z 光纤，即使在抽取了材料中引起损耗最大的o h 一 离子，有效地控制了本征吸收和瑞利散射后，在1 5 5 u m 波长下仍存在0 1 5 4 d b k m 的损耗。为进一步减小损耗，人们开始考虑将纤芯变为折射率最低的空气芯，此 时由于包层折射率必定大于纤芯折射率，故不能用全反射机理导光。而将b r a g g 反 射理论引入光纤结构中，包层中的b r a g g 堆栈就可以有效地限制光的泄漏，当堆栈 层数足够时，泄露将变得非常小。 煮 图l 1b r a g g 光纤发展图 b r a g g 光纤有两个主要优势【3 1 1 4 l ：第一，b r a g g 光纤可将光约束在折射率最低 的空气芯中无损传输，具有相当低的传输损耗，理论上可以低于目前光纤的典型 值0 2 d b k m ，据预测，这种光纤最有可能成为下一代超低损耗传输光纤；第二， 由于只有很少一部分光在包层中传输，所以相对于常规光纤来说，材料的非线性 效应明显降低，减小了诸如四波混频、交叉相位调制等非线性效应，提高了受激 拉曼散射的功率阈值，同时也提高了光纤对光的功率控制能力，减小了材料色散。 另一方面，由于b r a g g 光纤中可调整的结构参数比较多，这使得易于针对不同的 应用要求( 从光纤通信到传感) 对传输特性作适当的调整。 2 0 0 3 年j u a na m o n s o r i u 提出一种高折射率核b r a g g 光纤【5 l ，就现在的技术来 第一章引言 说，高折射率核b r a g g 光纤更易于用m c v d 方法( m o d i f i e dc h e m i c a lv a p o rd e p o s i t i o n p r o c e s s , 改进的化学气相沉积法) 制作，这种光纤能够选择性地加强b r a g g 光纤的某 种非线性光效应( 如用于产生超连续波) ，并且在8 0 0 n m 和15 5 0 n m 附近具有很好 的的色散平坦特性以及极高的非线性系数 近年来，国外在b r a g g 光纤的理论和制备方面已经有很多研究，如大纤芯单模 传输 繁j b r a g g 光纤、b r a g g 光纤的色散补偿、高折射率纤芯的b r a g g 光纤的色散特性 等，一些研究单位还成功地进行了一些实验探索，所有这些都使得利用b r a g g 光纤 进行高速数据传输或作为光源和光放大器件成为可能。与此同时，b r a g g 光纤作为 一种新型的光纤结构，其理论分析仍需要进一步深化，特别是在国内的研究由于 实验技术滞后，各方面研究也很不完善。 在b r a g g 光纤的理论研究中先后提出了各种研究方法，包括最早提出的传输矩 阵法、渐近矩阵法，伽略金( g a l e r k i n ) 法1 6 l 以及有限元法、时域频域有限差分法等 数值分析方法【7 l 。其中，渐近矩阵法以其比较准确的近似特性和易于控制的误差 范围在理论分析中得到了广泛的应用。其基本思想就是将b r a g g 光纤周期性的包层 结构近似为平面b r a g g 堆栈，在外部包层区将贝塞尔方程近似用指数函数来表示， 从而简化计算过程，使结果更容易分析。鉴于以上优点，本文主要用渐近矩阵法 来分析b r a g g 光纤色散和损耗特性，为b r a g g 光纤在光通信技术领域中的深入应用提 供理论分析基础。 1 2 国内外研究动态 p y e h 和a y a r i v 于1 9 7 8 年最早提b r a g g 光纤的概念，并且对其光频麦克斯韦 方程组用传输矩阵法进行了初步的理论分析。但是，由于对b r a g g 光纤的讨论一直 停留在折射率对比较小的两种电介质上，因而没有得t 丑b r a g g 光纤的系统设计方法 和制备方法。随着纳米技术的发展，直至1 j 1 9 9 9 年，yf i n k 等根据大折射率对比的介 质全反镜原理，提出了可在空气中传光的一维空心光子晶体光纤【8 】【9 j ，该光纤的主 要特点是，用于约束光的径向一维光子晶体对工作波段的光是全向反射镜，纤芯 空气柱的半径远远大于工作波长和全反射镜的厚度。如此，频率处于一维光子晶 体全反区的光，无论是从内侧，还是外侧入射到该光纤上均被完全反射。因而， 除单根这种光纤可以将光约束在空气中传播外；利用这种光纤阵列可以做成各种 反射镜。2 0 0 0 年，y o n gx u 等人运用渐近矩阵法代替传输矩阵法研究b r a g g 光纤， 3 电子科技大学硕士学位论文 使得对b r a g g 光纤的研究得到进一步深化【l o l ，在此基础上，国外大批科学家投入 了对b r a g g 光纤的深入分析中去，并取得了一定的成果。如对空芯光纤和同轴b r a g g 光纤的比较研究【1 1 1 、对高折射率模b r a g g 光纤的色散补偿研究【1 2 1 和同轴b r a g g 光纤 中功率流的分布i ”l 的研究，都取得了一定的进展。 国内方面，2 0 0 6 年9 月，北京邮电大学的文t j d , 毅等运用全矢量有限元法研究了 高折射率椭 麟b r a g g 光纤的偏振特性【l ，讨论t b r a g g 光纤用作保偏光纤的可能 性山西大学的贾清等提出了用b r a g g 光纤作为吸收池来检测气体的种类和浓度的 一种新型的气体传感器1 1 5 l l m l 。由于b r a g g 光纤中的场分布主要集中在芯区，对气体 损耗较为敏感，所得到的相对灵敏系数是现有技术的2 0 倍。这种新型的气体传感 器不仅灵敏度较高，响应时间短，结构简单，且能在不同的波长对不同种气体进 行测量。清华大学的学者还提出了1 5 5 9 m 波长下的全固体硅b 磁g 光纤，从而使在 拉$ t b r a g g 光纤的过程中，能更好地保持其光纤形状和比例常数，避免横截面的畸 变，使b r a g g 光纤向实用迈进了一步。国内的其他单位如浙江大学、北方交通大学、 中科院等单位也都对这种光子晶体光纤有了一定的研究【1 7 1 作为光子带隙型光纤的一个分支，b r a g g 光纤以其独特的结构和奇异性能，为 光纤通信提供了一种新型的光传输介质和光器件材料。今天，对b r a g g 光纤的研 究正在由理论探讨转入实验室试验，并且已经逐步走向市场。随着b r a g g 光纤的 导光理论、制作工艺、性能测量技术的不断完善，在不久的将来，必将广泛应用 于光传输，脉冲整形和压缩，传感光学和非线性光学等领域中。 1 3b r a g g 光纤的研制及应用 1 9 9 9 年y o e lf i n k 等人制作出第一根b r a g g 光纤，他们发展了一套基于镀膜和光 纤拉丝技术制备一维光子晶体光纤的方法。由于涉及拉丝工艺，要求用来做全反 镜的两种材料都应具有很好的延展性，相近的熔点和膨胀系数，且具有尽可能大 的折射率差。其制作方法为：先将一根直径为1 9 2 r a m 的硅玻璃棒作为光纤芯区， 在稀释的硫酸溶液中洗净，用蒸发器将碲蒸发，碲离子将吸附在缓慢旋转的硅玻 璃棒上，旋转保持包层厚度的均匀性。然后将吸附了碲包层的玻璃棒浸入聚苯乙 烯溶液中，形成聚氨酯纤维包层，这样重复上面的工作，光纤包层由碲和聚氨酯 纤维交叠而成，最后形成的光纤有九层，l o c m 长。每个分层厚度分别为0 8 m 和 1 6 m ，碲的折射率为4 6 ，聚氨酯纤维为1 5 9 。最后，将光纤棒放入腐蚀性氢氟酸 4 第一章引言 稀释溶液中，溶解掉核区的硅，最后得出的空i = i , b r a g g 光纤具有很好的微反射镜结 构和机械稳定性【1 】。 2 0 0 3 年gv i e r m e 等人第一次制作出空气硅b r a g g 光纤1 8 i ，实际上，将空气作为 低折射率材料是无法支撑整个结构的，但可以用远小于工作波长尺度的二氧化硅 桥梁( s i l i c ab r i d g ：e ) 穿过空气层将整个结构连起来，而且极细小的二氧化硅桥梁的 对空气层影响是可以忽略的；利用环形结构的空气洞排列，也可以形成等效的布 拉格结构，如图1 ，2 所示，在空气包层中需要用硅线作为支撑，光纤长度为1 2 0 m ， 截面半径在约为8 0 1 2 0 t m 。测试显示，当包层只有三层时，r e o 。模的传输损耗 就可以达到1 0 d b k m 。同金属波导相似，在b r a g g 光纤中，r e o 模具有最低的传输 损耗，这种模式在对光传输特性的分析中仍然起着举足轻重的作用。 图1 - 2 首次制出的b r a g g 光纤截面图 医学上，由于二氧化硅对波长1 0 6 9 i n 的激光有强烈的本征吸收，传统的二氧 化硅光纤不能传输二氧化碳激光，而b r a g g 光纤突破了这个限制。因此可以用二氧 化碳激光器作为光源，将激光耦合进一个机器臂，通过插入口腔的机器臂可以精 确地切除头部和颈部的肿瘤，这种医疗方法不需要进行开颅手术，大约四小时后 可以完成手术，病人在一周后就可以恢复吞咽能力，极大程度上减小了病人的痛 苦【l8 1 。b r a g g 光纤在科学研究和公共事业中都展现了特殊的威力，其前景不容忽视。 电子科技大学硕士学位论文 1 4 论文研究的主要内容 线性光波导的传输特性包括色散和损耗两个方面，两者共同影响传输特性而 且相互关联。如果加上非线性，则一个光波导实际上的传输特性包括损耗、色散 ( 包括延迟) 和非线性三个方面。色散的作用是使光信号的波形发生畸变，如果 信号是一个脉冲信号，那么色散的作用往往是使脉冲展宽且幅度下降，但总功率 并没有损失；损耗是在传输过程中光能量的损失，通常是被材料所吸收或者散射， 这意味着光功率的降低；光纤的非线性可能不会引起波形变化，但是会使光载频 展宽，从而使光信号的总频带展宽。虽然色散和损耗的影响是相关联的，但由于 我们研究的光纤损耗极小，可以将二者分开独立讨论，即在讨论色散时假定损耗 为零；同样，在讨论损耗时，将不考虑色散的影响。 由于技术和实验设备上的限制，对b r a g g 光纤的实验工作无法进行，因此本 文主要对各种结构参数情况下的b r a g g 光纤的色散和损耗特性进行计算机仿真研 究，并对b r a g g 光纤中传输的光波模式进行了比较深入的分析。论文主要分为六 章，各章的主要内容如下： 第一章总结了b r a g g 光纤理论的发展历史以及国内外动态，概述了b r a g g 光纤研 制和应用的现状，并讨论了课题的选题依据和研究意义。 第二章介绍了b r a g g 光纤的基本传输理论传输矩阵法，并且比较和研究了不 同折射率差下场量的三维图。传输矩阵法思路简洁明了，结论准确度高， 对于b r a g g 光纤的扰动分析有很大的帮助。 第三章通过对一维周期性层状介质中光传输特性，如反射率、能带形状、b l o e h 传输常数等参量的分析，详细介绍了周期性介质中的传输理论b i o c h 理论，分析了周期性介质中光传输的方法。在此基础上推出了用b l o e h 理 论研究b r a g g 光纤的方法，并且对b r a g g 光纤的传输色散和损耗特性公式 进行了推算和研究。 第四章对b r a g g 光纤的色散与光纤结构参量之间的关系进行了比较全面的分析， 并且对比研究了表面波的色散曲线情况；对b r a g g 光纤模式场进行了比较 深入的分析，并探讨了大纤芯单模的b r a g g 光纤的色散特性。 第五章运用数值计算方法，主要是有限时域差分法和伽略金法研究了b r a g g 光纤 对光的限制特性。研究表明，数值计算方法虽然较为耗时，且不如解析法 便于分析，但是数值计算方法，尤其是伽略金法在对梯度折射率b r a g g 光 6 第一章引言 纤的进一步研究有着非常重要的意义。 第六章总结课题所作的各项工作，论文的主要创新点，最后指出论文研究中存在 的不足和今后的研究方向。 7 电子科技大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章传输矩阵法分析b r a g g 光纤 图2 - l 所示为周期性b r a g g 光纤横截面结构。它包括一个低折射率芯( 如空气) 和具有周期性的包层，这种包层由若干高、低折射率相间的环形层堆积而成。根 据具体器件的性能要求，可以通过改变芯区的半径、芯区折射率、包层层数、包 层折射率差、包层厚度等多项结构参数来寻找最优组合的光纤。因此，b r a g g 光纤 在控制模传输特性方面具有极强的设计灵活性1 2 h s l 。 图2 - 1 周期性b r a g g 光纤 2 2 同，b 层叠光纤的矩阵算法 在柱坐标系下，将z 方向作为光传输方向，假定光纤的折射率在这个方向不变， 则由电磁场理论知每一个场分量均可表示为： 妒( r ，0 ，z ，t ) = 妒p ，p ) 肛“ ( 2 1 ) 8 第二章传输矩阵法分析b r a g g 光纤 这里的妒可以场分量e ，e 日，皿，耳，风中的任意一个，其中，u 是角频率，卢是 传输常数。从光波导理论进一步得出横场分量用丘，i - i , 表示的表达式： 易= 而i f l 叩( 删o o e , 一, o p u 刀o _ t t ) ( 2 - 2 ) 坞= 南岛皿+ 詈昙最 母= 南融+ 学南皿】 耳= 上w v e - 芦2f 旦o r 皿一詈南叫 而纵向场分量e p ，乃，皿( ，9 ) 满足下面的波动方程： m 妒纠2 ) 】= 。 萁中。v 2 = v 2 一a 2 a z 2 县耩场i , a v l a c 七笪子。汶个方穰的诵解为1 2 1 ： ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) 乏嚣c j , 渺c 七r 苌) 蹦d y ，渺( k r 舯) c o s ( 馏t o 兹 ( 2 7 ) 皿= 【 + + 妒) 、7 其中彳，b ，c ，d ，妒均为常数，是整数，k = 2 z e p 2 ) 2 。设两种介质分晃处的 半径，= p ，如图2 - 2 所示，讨论界面两侧的场方程： t = 【4 z ( 毛，) + 最z ( 墨，) 】c o s ( 阳+ 磊)， p 皿= 【q 以( 毛，) + d l 巧( 毛，) 】c o s ( 阳+ )r p 9 ( 2 - 9 ) ( 2 i o ) ( 2 1 1 ) 电子科技大学硕士学位论文 图2 2 场表达式中的系数分布图 由在，= p 处的边界条件知色，皿，毛，均应连续，因此可以建立下面的 4 ，e ，g ，d l 和4 ，b ，c 2 ，d 2 的4 4 关系矩阵，矩阵中的m 就是要研究的传输矩阵： 4 岛 c 2 d 2 = m 2 3 对传输矩阵m 进行推导和简化 4 且 c i q ( 2 - 1 2 ) 场表达式( 2 - 8 ) 、( 2 9 ) 在，= p 处t 是连续的，因此有： 【4 ( 毛p ) + 置z ( | l p ) 】c o s u p + 磊) = 【4 ( 如p ) + 岛巧( 如p ) 】c o s ( 阳+ 也) ( 2 1 3 ) 显然，此连续性条件在所有的口值下都必须成立，因此有诲= 如。类似地，对也也 有吼= 仍，这时连续性条件简化为： 4 ( 墨p ) + 巨巧( 毛p ) = a 2 以( 镌d ) + 岛z ( 后2 p ) ( 2 - 1 4 ) c l 以( 岛p ) + d i 巧( 毛j d ) = c 2 一( 如j d ) + d 2 巧( 如p ) ( 2 - 1 5 ) 1 0 第二章传输矩阵法分析b r a 9 8 光纤 要找出介质分界面两边场量的进一步关系，只利用场的z 分量连续条件是不够的。 因此，这里由式( 2 - 8 卜( 2 一1 1 ) 和式( 2 2 ) 又得出场分量毛的连续性条件： 寿睁( m + 州娜i 棚+ 妨一等毛m ( + 州( 卜帅) 】 = 吉陪叫+ 嘲】洲) 一警如m ( + 州( 】c o s ( 阳制】 ( 2 1 6 ) 同样，式( 2 - 1 6 ) 也必须对所有p 都成立，从式( 2 - 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 可以推出，只要毛屯， 就有： ( 1 砰) 4 正( 毛p ) + 蜀巧( 毛p ) ) ( 1 碍) 4 以( 乞p ) + 岛巧( 如力) ( 2 - 1 7 ) “砰) c l 7 ( 毛p ) + d l 巧7 ( 畸p ) ) ( 心霹) c 2 以7 ( 屯p ) + 砬k 7 ( 乞p ) ) ( 2 - 1 8 ) 将式( 2 1 6 ) - ( 2 1 8 ) 联立，得到： s i n q o + 咖) = c o s ( 1 0 + 【p ) 即 咖= 妒士丌2( 2 - 1 9 ) 同样的思路，可以得出凰场分量的连续性条件： 毒垮m ( 毛力+ 州娜i n 叭沪詈毛( m + 州( 脚州) 】 = 吉号m ( + 嗍岛p ) s i n ( 1 0 + q a ) 一号乞( + 纠( 即) 】 ( 2 2 0 ) 从得出的式( 2 1 9 ) 、( 2 - 2 0 ) 可以看出，传输的波可以有两种类型： l 复三豁裟d y ，( k r ) k ls o s i n 阳l o ； 哎= 【c 珥( 打) + 。一7 i l 主嚣c j , 曷：础d y ，洳( k r ) 对c 以o s 良l o ， 皿= 【( 鼢) + ， 一7 可以将这两种形式的边界条件总结如下，对于i 型表达式有： 4 以( 霸户) + 蜀巧( 毛p ) + o + o = ( 1 2 ) ( 2 - 2 3 ) 电子科技大学硕士学位论文 嚣m ( + 且欢】+ 赤【c i 讹力+ 嘲】_ ( i - - ) 2 ) ( 2 2 4 ) o + o + c l ( 毛p ) + q 巧( 毛p ) = 0 _ 2 )( 2 - 2 5 ) 赤心碱卅轵m 】+ 嚣m ( 墨力+ 4 2 7 ( 酬_ ( 1 删 ( 2 - 2 6 ) 这里的( 1 _ 2 ) 表示只要将等式左边下标的l 用2 代替，就是等式右边的表达式。 对i i 型表达式，系数项，砰p 变成一砰p ，其余类似，式( 2 2 3 ) , - ( 2 2 6 ) 可以写成矩 阵形式： 其中： m ( i ，p ) = 巨( p ) 凰( j 口) 皿( p ) 局( p ) j i ( 毛户) 盟z(岛p)k, p 、7 0 南抓 = m ( 1 ，p ) 4 且 c i d l = m ( 2 ，p ) 巧( 毛力 型f(屯夕)k, p 、7 o 7 f 毛一巧( 屯p ) ( 毛) 2 p 叫v 川 鸣 岛 c 2 皿 0 万笔以( 如p ) ( 砖) 2 p 1 v 川 j t 妓i o , j t 7 ( 岛力 k p “一 ( 2 - 2 7 ) o 7 f 毛一巧( 毛p ) ( 岛) 2 p v 、川 巧( 毛力 等巧( 毛力 k i p ”“。 ( 2 2 8 ) 式( 2 - 1 2 ) q h 的矩阵m 可以用式( 2 - 2 7 ) 中的矩m ( i ，p ) 表示： 一m = m 一( 2 ，p ) m ( 1 ，p ) ( 2 2 9 ) 注意到当，= 0 时，两个子对角矩阵为零，矩阵退化，得到的就是纯t e 和t m 模 的传输矩阵： 黔m 婚陆 1 2 ( 2 3 0 ) 第二章传输矩阵法分析b r a g g 光纤 2 4 传输矩阵法应用于b r a g g 光纤 上面所述的传输矩阵法可以用于研究任意层状光纤，包括常规光纤的传输特 性，下面主要针对b r a g g 光纤作模场特性的初步研究。研究的方法为通过正确选 择包层厚度，找出最小的远场输出流量。不失一般性，这里只考虑t e 模 ( ，= o ，e = 0 ) 的情形。t e 模仅有的场分量值为： 皿= 【c 乩( 打) + d y o ( a ) e 肚刈 ( 2 3 1 ) e e i 一下i 。v # 瓦0 hz (2-32) h r = i 铲f lohhz(2-33) 由于在，= 0 处日，= p 池刊是归一化的，因此c 和d 为常实数，径向平均坡印亭矢 量为： 驴三r e ( 易z ) 2 j 1r e ( 半) ( 2 - 3 4 ) x c a ( k r ) + d y 0 7 ( 扫) 】 c + a ( k r ) + k ( 扫) 】 图2 - 3 至图2 - 6 为用传输矩阵法算出的t e 模日，分量的场分布图。 豳 黧 图2 - 3n = 1 0 时的h ：场俯视图图2 4 n = 2 0 时的也场俯视图 图2 - 3 至图2 5 选用的参数为包层折射率惕= 3 ，n 2 = 1 5 ，疗= 1 5 是典型的硅 玻璃和塑料的折射率。相应的包层厚度l = o 1 3 p r o ，乞= 0 2 6 5 t m 。核半径= 1 a m ， 传输波长允= 1 5 5 t i n ，在介质层的设计中，通常遵循的原则是：取两种交替介质层 髓 电子科技大学硕士学位论文 的光学厚度为1 4 的工作波长，称作四分之一波长层( q u a r t e rw a v el a y e r s ) 条件。 这里选取的包层厚度就满足了这个条件，即尼。l = 忌2 ，：= z 2 。另外，选用t e 模的 有效折射率= o 3 2 8 ，这一值是根据后面讨论的色散曲线中横坐标为1 5 5 乒t m 时 求得的，为包层对数。 图2 - 5n = 2 0 的见模场分布图2 - 6n = 1 0 ，n 2 = 2 的皿场俯视图 对比图2 3 和图2 4 可以看出，在十个包层对下光强的分布与二十包层对时效 果相差甚小，这说明在选用的参数条件下，十个包层对就足够使光得到良好的约 束。作为比较，图2 - 6 画出了十个包层对时高折射率层变为塌= 2 时的模场俯视图， 此时1 5 5 z m 的光在光纤中得不到很好的控制，在光纤截面内呈周期性振荡，最终 将从横向泄漏出去，而无法在b r a g g 光纤中远距离传播。 图2 7 = 2 0 ，啊= 2 时也模场分布 图2 - 8n = 2 0 ，啊= 2 1 n h ：场俯视图 若其余条件不变，只调整包层厚度使啊= 2 时仍然满足岛= 如，2 = 万2 条件来 优化光纤结构，此时包层厚度= 0 1 9 6 ，作出的模场分布图如图2 7 、图2 - 8 所示， 此时光纤对z = 1 5 5 m 波长的光仍然不具有很好的限制性，因此，要达到限制模泄 1 4 第二章传输矩降法分析b r a g g 光纤 此时光纤对力= 1 5 5 t i n 波长的光仍然不具有很好的限制性，因此，要达到限制模泄 漏的效果，光纤的各个变量需要协调一致，这将是一个比较复杂的过程。 2 5 本章小结 本章介绍了传输矩阵法的基本理论，这种方法可以用于计算多种层状结构下 的光纤模场，在2 4 节用这种方法画出了皿的三维图形，讨论了包层对数和折射 率差对光束约束能力的影响。同时，这种方法将同下一章的b l o e h 理论结合起来， 为寻找b r a g g 光纤的色散方程打下基础。 电子科技大学硕士学位论文 第三章用b l o c h 理论分析b r a g g 光纤 3 1 用b l o c h 理论分析周期性结构中的光传输 在波导发展的初期，人们主要研究的是层状平板介质中的电磁场传输理论。 并且在周期性平板介质中发现了b r a g g 反射的现象，这种周期性层状介质结构在 实际中已经有了广泛的应用。如用于实现多层高反射，非线性光学中的相位匹配 以及获得光双折射效应。 3 1 1 矩阵理论和传输算子 为了使分析思路更清晰，首先考虑最简单的周期性层状结构。其折射率模型 表示为： ”c x ，= 三：? 三二三支， 其中玎c x + 人，= 胆c x ，c 3 一， 荔 爹 1 爹 覆 k 。 屯 ( n - 3陇0 衫) 人+ 6 缓 一i 荔 人+ b殄i+ 6 x 殇 劢 n t hu n i t 图3 - 1 周期性层状介质结构 如图3 - l ，x 轴垂直于周期界面，人是折射率变化周期。由于在z 方向尺度较 1 6 第三章用b l o c h 理论分析b r a g g 光纤 大，可看作无界，因此场量分布可以写成如下表达式：e ( x ，z ) = e ( x ) e i p ，在每一 层中的场分布可以分解为一个入射波和一个反射波的叠加。这两个波的幅值组成 一个列向量： 其中( 口= l ，2 ) 表示第刀个周期单元中第口层的列向量。因此在同一层的电场分 布可以写为p o l ： e ( x ，力= ( 砰p o 砒一毋口。州。) 护 ( 3 - 2 ) 其中： k = 瓜丽而，口= 1 ，2 ( 3 3 ) 同式( 2 1 4 ) 、( 2 - 1 5 ) 类似，各层的列向量不是独立的，根据介质分界面的连续 性条件，两组列向量的四个元素只有两个可以任意选择。对x 方向上的硒模来说， 场量在y - z 平面，因此在界面处e 和o e o x 连续，代入表达式( 3 - 2 ) 中，并定义 气= ，瓦= 跣n ，气= 砰，屯= 醪，则有： 口 + 屯- l = e 一如小气+ p 如， 屯 竺二釜葛竺：蕞啪 。川 p 一屯a q + p 如，a 反= p 一啦小+ p 如乒屯 r7 如，( e - a 缸, a c 一一p 如f 吃) = 吗，0 吨a a n p 魄小屯) 叫荽4 一科勒 瞄铫 = 甚一斟动 消去吒，吃，得到 1 7 ( 3 - 5 ) ( 3 6 ) 电子科技大学硕士学位论文 撒) ( 3 7 ) 翩蛳g o s 啪 1 睁廿n 啪 三羔 ， c = p 一嘎一 圭，( 等一乏 s m 乞j 6 卜。 胁岫卜吲1 等一韵s 逾叫 由式( 2 7 ) 可见，吒，是的函数，因此彳，b ，c ，d 也都是夕的函数式( 3 7 ) 中的 矩阵就是入射平面波复振幅q 一。和反射平面波复振幅吃一。与相邻单元对应层复振幅 的传输矩阵。由于_ ，既一。和，吃代表的层具有相同的折射率，所以传输矩阵是幺 模的。即满足： 彳d 一召c = 1 【3 9 ) 类似地，也可以得出第二个层复振幅( 巳- l ，吃一，t 和( ，以) 。之间的关系式， 注意到其传输矩阵与式( 3 7 ) 有所不同。在接下来的分析中也将阐明，传输矩阵与 周期层状介质的能带结构有着紧密的联系。 下面是同样的方法计算出的t m 模( 场量日没有x 方向的分量) 的传输矩阵元 素： 玎咿 c o sk ：, b - 2 r 睫+ 囊卜6 羔一爿 。柳 玎蚴以囊一纛卜j 6 甜士毗 圭僚x r 1 2 k 叫2 xs i n 1 8 彳c ，一 i i l、l，一 一 一即 ，ii、 为j呈分素元阵矩各中其 第三章用b l o c h 理论分析b r a g g 光纤 如上所述，对疗个周期性单元的列向量瞄 来说，仅有一组列向量是独立的， 不失一般性，选择第零个单元的啊层的复振幅为已知量，则每一周期单元中相应 层的振幅向量为： 利用式( 3 9 ) ，式( 3 - 1 1 ) 得： ( 乏) = ( 尝三) 呻( 乏) 时匕苫煳 ( 3 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 一般来说，只要给出任一周期中场量的幅值q ，q ，其余周期中的场就可以唯 一确定。 。一 3 1 2b l o c h 波和带隙结构 周期性层状结构具有一维周期性格子在传输中的不变性，