（概率论与数理统计专业论文）不确定性条件下的投资分析.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 现代投资理论包括投资的基准模型、珂理论模型及其在不确定性和金融市场的 不完美性两方面的扩展。本文主要利用随机动态最优化理论研究了几种不确定性 对投资决策的影响，这几种不确定性包括利率、需求、价格以及外部环境。 众所周知，在投资的基准模型中，企业面临具有完全弹性的资本供给并能无 成本的调整自己的资本存量。我们很自然的考虑这个模型，但是我们看到这个模 型对于解决实际问题存在着不足，q 投资模型将调整成本引入模型是对基准模型的 改进，它更加符合实际的经济情况。本文在利率不确定性对投资决策的影响分析 中，改进了c a l c a g n i n i ( 2 0 0 0 ) 的模型，将调整成本引入模型，并且对总的投资成本 做出合理的假设，得到了最优投资率，这是原模型无法得到的结论。 许多的生产过程对环境存在危害，这是当今世界普遍关注的问题。要发展生 产就必然导致环境问题，国家作为一个社会计划者，就面临采取什么样的政策来 降低污染水平。本文的一个工作是在环境不确定条件下研究污染企业的投资策略， 主要在理论上扩展了i ( o r t ( 1 9 9 5 ) 的模型，所得出的结论对于政府对环境污染的控制 标准有重要意义。 i t 5 型随机分析在经济、金融问题中的应用引起了一些建模问题，m c s h a n e 典型模型及其随机分析的应用对于处理这些问题是一种比较满意的方法。本文结 合实物期权方法，给出了m c s h a n e 典型模型在项目投资方面的应用，指明了它的 潜在实用价值。 关键词：随机过程，不确定性，投资分析，动态规划 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t m o d e mi n v e s t m e n tt h e o r yc o m p r i s e sb a s e l i n em o d e lo fi n v e s t m e n t 、qt h e o r y m o d e la n dt w oi m p o r t a n te x t e n s i o n so fm o d e l ：u n c e r t a i n t ya n df i n a n c i a lm a r k e t i m p e r f e c t i o n s t h i sp a p e ra i m sa ta n a l y z i n gt h er o l eo fu n c e r t a i n t yo ni n v e s t m e n tb y u s i n gt h et h e o r yo fs t o c h a s t i cd y n a m i co p t i m i z a t i o n i nt h i sp a p e r , w ef o c u so nf o u r t y p e so f u n c e r t a i n t y ：d e m a n d 、i n t e r e s tr a t e 、p r i c ea n d e n v i r o n m e n t i ti sw e l lk n o w nt h a ti nt h eb a s e l i n em o d e lf n m sf a c eap e r f e c t l ye l a s t i cs u p p l yo f c a p i t a lg o o d s a n dc a na d j u s tt h e i r c a p i t a ls t o c k sc o s t l e s s l gi ti sa n a t u r a lo n et oc o n s i d e r , b u tw ec a ns e et h a tt i f f sm o d e li sn o te n o u g hf o ru st ok n o wa b o u tt h ea c t u a li n v e s t m e n t 。 q t h e o r y s o l v e st h ed i f f i c u l t i e s i nt h e a n a l y s i s o fi n f l u e n c eo fi n t e r e s tr a t eo n i n v e s t m e n td e c i s i o n s ，t h i s p a p e ri m p r o v e s t h ec a l c a n i n i s m o d e l c o n s i d e r i n g t h e a d j u s t m e n tc o s t s ，t h eo p t i m a l r a t eo fi n v e s t m e n ti s g o t t e n w h i c hi sn o tf o u n di n c a l c a n i n i sm o d e l m a n yp r o d u c t i o np r o c e s s e sd a m a g et h ee n v i r o n m e n ta n dt h i ss u b j e c to fi n c r e a s i n g c o n c e r ni nt h ew o r l d t o d a y a ni m p o r t a n tq u e s t i o ni nt h i sr e s p e c ti sw h a tk i n do f p o l i c y i n s t r u m e n t st h eg o v e r n m e n t ，i ni t sr o l ea ss o c i a lp l a n n e r , s h o u l dc h o o s et or e d u c et h e l e v e lo f p o l l u t i o n t h i sp a p e rs t u d i e so p t i m a li n v e s t m e n t p o l i c i e sf o rap o l l u t i n gf i r mi n a nu n c e r t a i ne n v i r o n m e n t t h i sp a p e re x p e n d sk e r r sm o d e lt h e o r e t i c a l l y t h ef i n a l c o n c l u s i o n sa r ei m p o r t a n tf o rt h eg o v e r n m e n tt oc o n s t i t u t et h es t a n d a r do f c o n t r o l l i n g p o l l u t i o n a p p l i c a t i o no f t h e i t 6s t o c h a s t i cc a l c u l u st op r o b l e m si ne c o n o m i c sa n df i n a n c e r a i s e ss e v e r a lm o d e l i n gi s s u e s m c s h a n e sc a n o n i c a lm o d e la n da l t e r n a t i v es t o c h a s t i c c a l c u l u sf o rh a n d l i n gt h e s em o d e l sr e s o l v e st h e s ei s s u e si nas a t i s f a c t o r ym a n l i e r t i l i s p a p e re x p l o r e st h ea p p l i c a t i o no fm c s h a n e sa p p r o a c ht op r o j e c ti n v e s t m e n tw i 山r e a l o p t i o n m e t h o d s k e yw o r d s ： s t o c h a s t i cp r o c e s s ，u n c e r t a i n t y ，i n v e s t m e n ta n a l y s i s ，d y n a m i c p r o g r a m m i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：昌王倬 日期：九，- 驴争年牛月弓9 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅a 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密囱。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：邑王耸指导教师签名：方f 垅彤 日期：2 噼牛月d 日 日期：弘畔年口爿亏。日 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究投资问题的重要意义 投资理论在整个经济学中所占的比重不是很大，但由于其流量波动所引发的 经济波动的短期效应及其流量固化形成存量对经济增长的长期效应，人们往往对 其各加关注。要了解研究投资的重要性，我们要从经济增长说起，因为从整个宏 观经济来看，我们研究投资的最终目的是为了制定促进经济增长的投资政策，这 对于经济改革和经济发展格外重要。 经济增长与就业水平，价格水平对经济活动构成了宏观经济的主要目标体系。 在这一目标体系中经济增长之所以成为宏观经济的主要目标是因为只有通过经济 增长才可以提高人们的消费水平；才可以改善人们的生活质量；才可以促进社会 收入分配的平等化；才可以增强一个国家的实力，提高该国在国际上的地位。进 入7 0 年代以来，有些经济学家对经济增长目标提出异议，认为经济增长消耗了大 ! 量的资源造成环境的污染，还带来了一系列的社会问题，然而绝大多数的经济学 家认为经济增长中出现的阀题能够靠经济的进一步增长得到解决。从长远的观点 看问题，经济增长作为主要的宏观经济目标，不仅具有经济学上的意义，而且具 有论理学上的价值。因而无论在规范分析还是实际考察中，经济增长都是经济学 家研究的主题，也是各国政府梦寐以求的主要宏观经济目标。 尽管经济增长作为宏观经济的目标已为绝大多数经济学家和政府官员认为是 理所当然的，但在实现增长的方法上人们的认识很不一致，抛开工业革命前经济 学家特别强调土地在经济增长中的特殊地位不说，即使现在，在实现经济增长的 途径上，有人指出劳动在经济增长中的特殊地位，也有人强调资本形成即投资对 经济增长的关键作用，还有人认为技术进步是经济增长的关键因素。而上述问题 都与投资有密切关系，比如环境问题同样可以通过对环境的投资来解决。而知识 经济条件下投资的内涵要重新界定，外延也在扩大，投资不仅包括物质投资，还 包括人力资本，技术投资等。 华中科技大学硕士学位论文 我国目前正处在社会主义市场经济新体系形成的关键时刻，同时处于经济起 飞的紧要关头，改革和发展是我们面临的两大主题，深入研究投资理论，得出符 合我国发展现状的经济投资模型，对于我国的经济发展和经济改革具有格外重要 的现实意义。 1 2 投资理论回顾 投资在经济学中是颇有争议的问题，k e y n e s 的通论( 1 9 3 6 ) 1 1 对于引起现 代投资理论中的许多争论起了重要的作用，在这些研究中，j o r g e n s o n 关于“新古 典理论，的研究，即调整成本的方法【2 1 以及t o b i n 的“q ”理论【3 】，在现代投资理 论的形成中具有重妻的地位。这节我们批判性的回顾这些理论，并得出结论： 尽管它们有明显的优点，但很不幸，它们中无一是令人满意的。 1 2 1 “新古典”理论 令墨和分别表示一公司在时刻珀日资本存量和投资流量。令占为折 日率，我 们有 d k ，= ( 1 ，一蕊，) a t ( 1 1 ) 其中0 0 ，c 。( j ：) 0 。 公司的最大化问题由这样的修正所决定，这样公司将选择，和，以使 m r x f p f ( n , ，k t 、一w n t p i i l k “d t 约束条件为：d k t = ( - 点k , ) d t ，m 0 ，k ，2 0 ，给定初始资本存量。 该问题的h a m i l t o n 函数可定义为 h ；【p f ( ，k ) 一w n t c ( 1 ，) + 丑( 一6 k ，) 对这一模型的分析，我们最终可以得出这样的结论：随着调整成本的加入，存 瓷着投资需求计划，而且它是利率、折旧率及工资率的减函数，产出价格的增函 数【3 6 1 。 华中科技大学硕士学位论文 1 2 3t o b i n q 、公司的价值和k e y n e s 的资本边际效率 在一篇重要论文( 1 9 6 9 ) 中t o b i n 介绍了“q ”的概念。这在后来被称为t o b i n q 。从2 0 世纪7 0 年代晚期t o b i nq 一直受到极大的注意，被当作投资决策的准则。 在1 9 6 9 年的文章中，t o b i n 用g k 表示公众的实际物质资产，这里的q 是就平 均而言的q ，即现存资本的市场价值对其重置成本的比率。然而，随后却普遍认为 与投资决策有关的这个“g ”是边际的g ，即追加一单位资本的市场价值与其重置 成本的比率。 若用矿+ 代表公司的价值，大体上t o b i n 的边际g ( 以g 。表示) 可定义为 q ；( a v + o k o ) 只 ( 1 4 ) t o b i n 的投资准则简单的决定于q ，是否超过1 ，与( 1 4 ) 相对照的t o b i n 的平均q ( 用q 。表示) 可定义为 q g v + p , k 0 ( 1 5 ) 它们之间的关系由下述定理给出： f i a y a s h i 定理：假定生产函数和安装函数是一次齐次的，那么边际等于 平均q 4 1 0 k e y n e s 的“资本资产供给价格( 段) ”可用单位边际资本增加所带来的公司 值增量( a v + o k 。) 来定义称为k e y n e s 资本边际效率规则。他的资本边际效率理 论被证实为借助调整成本方法的动态投资理论。 1 3 传统的投资理论与实物期权理论 在企业面临不确定的市场环境时，如何确定是否投资。一个简单的方法是计 算这个企业产出的期望收益的现值，然后计算企业期望花费的现值，最后比较两 者之差如果大于零则投资是可行的，这就是净现值( n p v ) 规则。它是传统投资 理论的基础。实物期权理论是将期权定价理论应用到项目投资领域的一种理论， 由于项目投资中的期权是以实物为基础的，因此项目投资中的期权被称为实物期 华中科技大学硕士学位论文 权。 传统的投资理论中，公司的投资决策主要是将n p v 与0 作比较，当n p v 0 时，则可以投资；实物期权理论认为投资是具有时间价值的，所以投资必须当n p v 大于一正的值时才是可行的，因而发展了一种新的投资观。d i x i t 和p i n d y c k ( 1 9 9 4 ) 运用金融中的期权定价理论对存在固定成本和不确定性的投资进行了有效的分析 【6 1 。 上述两种投资理论在解决实际问题时有各自的优势，我们可以针对要解决的 问题不同选择不同的投资模型。 1 4 本文的工作意义及简介 在实际中，企业在进行项目投资时，总是面临着各种各样的不确定性，比如 价格、需求、盈利、税收政策、环境等等。对不确定性的研究对于现实的经济来 说是重要的，虽然不确定性经济模型在理论分析上要更复杂一些j 但对于不确定 j 性投资模型的研究，邑是许多研究投资理论的学者最重要的课题。 本文在研究中沿袭了前人的一些成果并且结合了一些先进的理论，对一些不 确定性模型进行了有效的改进，使其更加符合实际情况或在理论研究上有一些突 破。在第一章绪论中，介绍了投资理论的模型及其重要理论。第二章中运用一般 的几何布朗过程，研究了利率、需求的波动对于投资决策的影响，得出了几个重 要的命题。在对利率不确定性的研究中，考虑了调整成本，得出了最优投资率的 重要信息；在对需求不确定性的研究中，完善了c a l c a g n i n i ( 2 0 0 0 ) 模型的分析。 在第三章中，研究了目前普遍关注的环境问题对于投资决策的影响，本章改进了 k o r t ( 1 9 9 5 ) 的模型，将原文中的随机过程由一般的几何布朗运动改进为几何布朗 运动一跳跃过程，这个模型不仅包含了原有的模型而且对原有的模型进行了推广分 析，使得它的应用范围更加广泛。第四章中，在经济中引入了一种新的随机过程， 介绍了它的分析特征，在实物期权理论框架下，给出这种随机过程在投资分析中 的应用，从而发展了一种新的建模方法。 华中科技大学硕士学位论文 2 1 引言 2 利率、需求变动与投资决策 现代投资理论模型包括投资的基准模型，q 理论模型及其在不确定性和金融市 场的不完美性两方面的扩展1 3 7 j 。正如绪言中所分析的基准模型本身具有局限性， 带调整成本的模型更加符合实际情况。同时，模型中加入调整成本会导致得出模 型解的难度，所以很多文献中，特别是在分析不确定条件下的投资模型时，作者 往往运用基准模型进行分析，文献 7 】就是在基准模型下分析了利率不确定性对投 资决策的影响，丽本章就是在文献阴的基础上，考虑了调整成本，从而完善了模 型。特别的，通过对总投资成本函数的合理假设，得出了投资最优水平，这是基 准模型无法实现的。本章的目的是分析不确定性对投资决黄的影响，我们主要关 注两种类型的不确定性：需求和利率的不确定性。本章对利率和需求的不确定性 分鄹进行了分析，虽然分析的方法类似，但是模型韵框架却是不完全相同的，前 者运用的是带调整成本的模型和一个特别的布朗运动，后者运用了一个简单的模 型和一个一般的几何布朗运动。 2 ，2 模型 在模型中，考虑一个生产单一最终产品的企业，假设它是风险中性的，其它 条件外生时，企业的经营利润为： ，4 厢( j i ：) ，( ) 0 ，, o f 。( 五) 0 ，c ”( ) ) 0 。 接下来首先分析利率不确定情况下的投资决策。 2 3 利率不确定条件下的分析 为了简化分析，先排除需求冲击，即令口= 0 。假设利率，服从布朗运动 3 d r = 盯。r2 出( 2 3 ) 其中出是标准维纳过程的增量，盯，( o , n e 2 , 4 , 6 ) 【8 1 ( 2 8 ) 它由两部分组成：( 1 ) b l 是购买新资产的成本，b 是固定价格，b i 0 表示出卖资 产；( 2 ) 舡叫”1 是凸调整成本。将( 2 8 ) 代入( 2 7 ) 令一阶条件等于零得最优的 投资水平为： + = 竺二】”一1 ( g 一6 ) “，从而巾= ( g 一6 ) r ，r ；( 月一1 ) 一一- 一n ( i 一一) 疗 俨州 飞j 夕 图2 1 q 6 在图2 1 中，资本的边际值g 大于资本的购买价格6 ，因此，在原点q l 比c ( ，) 陡 峭。在这种情况下，在某些正的，值域内，q i 比c ( ) 大，投资的最优水平，+ 是使 得q 一c ( i ) 达到最大的值。租金中是在，= ，处，直线与曲线的之间的垂直距离。 两边对岸求导可得 2 3 2 投资不可逆的情况 在投资不可逆情况下，假设总投资成本函数( 8 吣：l 酏斗砸帕时舱q 【酗) o ， o ( 2 9 ) ( 2 1 1 ) 髓龋鳓 嘞一一一 跳一一一黼m 一 一炸一娜 2 种在 互这夥一 君峨蚴由 鞔聊慨 糌释 蛐咐蚍概懈 叭2 n 瑚 7 垌理可以求得投资的最优把叭 = 燃 0 ，睁1 m 广1 ) ， 并且中2 m a x 【o ，( g 一6 ) 。】r 。g 6 时，同前面投资可逆 的情况是一样的。 兰警篓不可逆的情况下，我们考虑( 2 6 ) 的通解，这个解由两部分组成：特 解和齐次部分解的和，即 。 阽筹尝q ( k ) r n t + a 2 ( 缈 ( 2 1 2 ) 其中4 ( 定) ，彳z ( 固是常量：碣，野：是特征方程，7 z 一，7 一形：。的两个裉， 啊。圭一伊( 力：) o 慨= 互1 v 4 1 。2 ，抄o 。 下面分析方程( 2 1 2 ) 右边三项的经济意义： 第一项型r ( 1 1 - 兰上c 驾r ) 代表的是企业的基本值，可见不确定性的存在使得企业的基 本值增大。4 ( 茁) ，玑意味着利率增大，企业的基本值增大，这不符合经济事实， 因此这项应该排除。4 ( 足) r “可以解释为企业投资的期权价值，代表的是企业来 兰竺摹堂能力口对于一个风险厌恶的企业来说它对资产价值的估计应该是企业的 孝：竺等所以这一项应该排除脚。但是在本章中我们假设企业是风险中性的，磊 以保留这一项，则 华中科技大学硕士学位论文 肚篙“舯“ 眨 方程两边分别对足求导，n 时n v k2 9 ，得 器“一( 矿叫 眨 n - i n 看成n i w n 价值匹配5 条件； 另一个条件是平滑粘贴【5 1 满足，= 0 ，即 一j 了聂兰+ 玎，a - c 茁，m 一= 。 ( 2 1 5 ) 由( 2 t 4 ) ( 2 1 5 ) 消去a i ( 应) ，得 ，：粤( 1 + 与 ( 2 1 6 ) ( 1 一d ，2 ) g 叩1 由叮 0 ( 2 ，1 7 b ) 1 l 享压 华中科技大学硕士学位论文 ：撩c 可c 仉+ ，一鲁2 ( _ 7 2 2 _ 2 ) ， ；焘c 可，c 叩+ t ，一并2 - 2 ( 4 - 2 ) ， = 高舞c r 1 + i ) 一止掣， 石( 足)( 矾+ 1 ) 2 ( 1 一盯，2 ) 2 ( 2 - 4 r 1 ) 1 时，盯，2 增加k 增加；当 1 时，盯，2 增加k 减 少；当= 0 时，盯，2 对k 没有影响。 若产出函数是c d 型的，那么可以证明： z r ( k ) = k 。，口 1 时，仃，2 对投资有正的影响；当0 1 、0 1 、口+ 1 ，这是由企业的 规模回报假设决定的， 2 4 2 投资不可逆的情况 在投贤不司逆的情况f ，企业的最优决策问题仍然是( 2 ，1 9 ) ，但是要附加1 0 的条件。考虑方程( 2 2 3 ) 的一般解，去搏不符合实际的项： y ：r a n ( k ) + b 。( k ) ，“( 2 。9 j 这里编是特征方程吾町2 玎2 一刁哼1 t 2 一) 二r = o 的正根，局( k ) 是常量。负根的情 况被去掉t 因为它与，对利润的有正的影响矛盾。与前面的解释类似，第一项表示 企业的基本值，第二项是期权价值。 运用价值匹配条件： 吆：幽+ 硪置) 户：l ( 2 。3 0 ) 及平滑粘贴条件： y 0 ：f l r a - 1 x ( k ) + b 。( 置) 印。，“：0 ( 2 3 1 ) 由( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 得到均衡条件： r h 址- f l ( r 一搬) 2 ，4 ( 足) ( 2 3 2 ) 由于投资是不可逆的，如果出现负向冲击，那么 华中科技大学硕士学位论文 办博) 刍r ( 卜聊)(233)1 一 相反如果出现正向冲击，企业可以通过投资达到均衡。 给定企业的经营利润为，4 k 。，口 o o j a 7 ( 世2 ) 一0 a 给定函数r ( k l ，k ：) 表示在劳动投入最大化下的企业收益，则在存在随机扰动 的情况下，r ( k ，k ：) 满足下列表达式 r ( k l ，k 2 ) d t = s ( k 1 ) 一r a ( k 2 ) k 1 】( a t + o d b ) ( 3 2 ) 其中， b = b ( f ) ：标准的维纳过程。 r ( k 1 ，k ：) ：纯收益关于。，足：的函数。 s ( k ) ：税前期望收益，其中s ( o ) = 0 ，s7 ( 定，) 0 ，s ”( k ：) 0 ( 3 3 ) 其中： d = d ( r ) ：r 时刻的分红率。 m = m ( f ) ：r 时刻的现金平衡。 圳松媳a q = ：鬟，五表示泊松事件的平均到达率跳跃巾_ 度为 ( o 可以是随机的，也可以是固定的常数，本章假设中为固定的常数) 2 4 1 。 企业的行为是最大化企业股票持有人的值，可以表示成计划期内分红流折现 1 8 华中科技大学硕士学位论文 的期望，即目标函数为 m a x e 。皤d e x p ( 一i t ) d r ( 3 4 r ：限期。i ：股票持有人的时间偏好率。 假设边界时刻r 是内生的，由破产时间决定，企业的破产时刻，即现金平衡变 为负，所以 t = i 1 1 f 川m ( t ) 0 ) 同时假设投资是不可逆的，也就是说不可以通过出卖资产增加现金，& 口过往的投 资都是沉淀成本。 由投资的不可逆性及分红的非负性可得下列不等式 d 0 ， l 0 ， 1 2 0 ， 企业用于投资和分红的份额不能多于收益，所以 d + 厶+ ，2 s ( k 1 ) 一 c g ( k 2 ) k 1 总的说来，这个模型包含三个状态变量墨，足：，m 和三个控制变量，j ：， d 。可以表示如下： 卟m 。a x 。g jd e x p ( 一i t ) a t ( 3 5 a ) s ，以1 = l l d t ，k l ( o ) 0 ( 3 5 b ) d k 2 = 1 2 d t ，k 2 ( 0 ) 0 ( 3 5 c ) d m = s ( k i ) 一r g ( k 2 ) k 】一，1 一l d d t + 盯 s ( 足1 ) - r a ( k 2 ) 足1 ) d 8 一m d q ，m ( o ) 0 ( 3 5 d ) d 0 ( 3 5 e ) i ，0 ( 3 5 f ) i ，0 ( 3 5 9 ) s ( k 1 ) 一r e z ( k 2 ) k i 一一f 2 一d 0 ( 3 5 h ) 限定企业是一个增长型的企业，那么在计划期的起始点，由k ，k ：分别引起 1 9 华中科技大学硕士学位论文 的边际增长率都要大于股票持有人的时间偏好率： m i n s ，瞄( o ) ) 一r a ( k 2 ( o ) 】，一诳7 晖2 ( 0 ) i k l ( 0 ) i ( 3 6 ) 3 3 最优策略 运用动态规划解这个模型，定义值函数： 嘴( 悯( 蝴嘞= 3 ：t 铀m a x ( 舭e r 。唧一蒯d + ，l + ，虾( 岛卜谢 由于丁是由m 决定的，所以可以认为v 是依赖于m ，k 。，k ：而不显含r 。一般 的假定此值函数是连续光滑的。由随机动态规划可以得出，这个问题的 h a m i l t o n j a c b i b e l l m a n 方程是： 肚斯瓣卜。+ 醐蜀例k 2 ) k , - 1 1 - 1 2 - d 心厶+ 酬 + 昙盯2 s ( 五1 ) 一r e 2 + 2 i v ( ( 1 一o ) m ，k i ，k 2 ) 一v ( m ，k 1 ，k 2 ) 】( 3 7 ) 中括号里的项最大化可以通过比较，与1 的值的大小得到a 如果m a x ，珞。，攻：) l ，则括号中的项可以通过使得j 。= 0 ，j ：= o 及 d = s ( x 。) 一饱达到最大值； 如果i l 豫x ，1 ) ，则括号中的项可以通过使得 s ( k ) 一r a ( k 2 ) k ，一，一：一d 足够大，即，。= o ，2 = 0 ，d = o 达到最大值； 如果m a x ，珞：，1 ) ，则可以通过使得。足够大达到最大值，即j ：2 0 ， d = 0 ，s ( k 、) 一莅= f 】； 如果m a x ，比，1 v x ：，则可以通过使得，：足够大达到最大值，即，- 2 0 ， d = 0 ，s ( k ) 一面= 1 2 。 因此方程( 3 ，7 ) 可写为： i v = s ( 墨) 一面) m a x ( ，1 ) + i ，o 2 s ( 蜀) 一硒 2 + a 【矿“1 一中) m ，k 1 ，k 2 ) 一v ( m ，k l ，k 2 ) 】 ( 3 8 ) 华中科技大学石页士学位论文 边际条件满足：v ( o ，k i ，k 2 ) = 0 。 由，k 。，k ，的不同值使得( 3 8 ) 式最大化的策略是不同的，对于1 ， ，可作如下解释： 1 = 用于增加分红的额外一美元的边际收益。 = 为了免于破产而保持一美元现金的企业值的边际增长。， = 一美元生产性投资所引起的企业值的边际增长。 ，= 一美元减污投资所引起的企业值的边际增长。 对应于1 ，珞，比较的四种结果有企业的四种策略： 现金策略：埘= s ( k 1 ) 一r e ) ( 西+ o r l b ) ，d = 1 1 = 1 2 = 0 。此时 m a x o ，) ( 3 9 ) 由( 3 ，9 ) 可以得以下比较最优： 增加现金优于分红： 增加现金优于投资于生产性资本 增加现金优于投资于减污性资本。 分红策略：d m = c r s ( k 1 ) 一四加，d = s ( k 】) 一面， 1 n 砸( 屹，吆，) 这种策略的边际比较优势： 支付红利优于增加现金； 支付红利优于投资于生产性资本； 支付红利优于投资于减污资本。 减污策略：d m = c r s ( k t ) - 面 a b ，1 2 = s ( k 1 ) 一面， 攻，2 m a x ( 1 ，) ，l = ，2 = 0 。此时 ( 3 1 0 ) d = i = 0 。此时 ( 3 n ) 这种策略的比较优势： 投资于减污资产优于增加现金； 投资于减污资产优于支付红利： 投资于减污资产优于投资于生产性资产。 2 1 华中科技大学硕士学位论文 投资策略：d m = 盯 s ( 置，) 一记 招，l = s ( 世1 ) 一证，d = ，2 = 0 。此时 k ，m a x ( 1 ，：) ( 3 1 2 ) 这种策略的比较优势： 投资于生产性资产优于增加现金； 投资于生产性资产优于支付红利； 投资于生产性资产优于投资于减污资产。 因为v ，：仅与m ，k 。，k ：有关而与r 无关，而由条件( 3 9 ) 一( 3 1 2 ) ，状态变量的值决定了企业的最优策略，为了研究m ，墨，足2 值所对 应的最优策略，将m k k ：空间分为四个区域：投资域，现金域，分红域以及减 污域，分别记为，l 一域，m 域，d - 域，：一域。 3 4 模型的解 下面我们分三种情况进行分析：巾= 0 ，中= 1 ，0 1 其中p 是一个常数，满足： e x p ( _ 一吃) p ) = 1 一吒( 1 l i 一盯蜀 l 一，l ( 1 f 一盯西) ) 其中： = ( 一l + 1 + 2 盯2 i ) i g 2 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ - - - _ - _ _ ，_ - _ _ - 一 2 2 华中科技大学硕士学位论文 吒：( 一1 一厮) 盯2 ( 3 1 8 ) 在上述条件的基础上，我们可以得出以下几个性质【1 9 】： 性质l ；在条件( 3 1 4 ) 下，当m 斗0 时唯一的最优策略是现金策略。 性质2 ：肘- 域和d - 域可以由m = p s ( k 1 ) - r a ( k 2 ) k 1 ) 表示，其中p 由( 3 1 6 ) 给 性质3 性质4 性质5 出。 ，l - 域，d 一域和m 一域的交点满足( k 。) 一r a ( k ：) ) ( 1 f o - 2 f 一p ) = 1 。 在足l m 坐标系中，。一域和m 一域的起点在原点，结束于m d ( 表示肘- 域与d 一域的边界，以下表示类似) 与1 ，d 的交点。 1 ) i ，d 、m d 和i ，d 交点满足： 一础( 足2 ) k 1 ( 1 f o - - , 2 i p ) = 1 ( 3 1 9 ) 2 ) j ，d 和j ，d 的交点满足： s 7 ( 世1 ) 一r a ( k 2 ) = 一馏( 世2 ) k l ( 3 2 0 ) 其中性质l 一3 的证明见文献 2 l 】，性质4 - 5 的证明见文献【1 9 。 对于固定的k 2 ，在所有可能的域中，满足上述性质的解，可以由图3 1 表示。 图3 1k 2 固定k 1 - m 坐标系下的最优解( 零= 0 ) 由于( 一 f 1 2 ( 足：) k 。) 表示边际减污投资收益，( j ( k 。) 一r a ( k ：) ) 表示边际生产投 资收益，若给定丘，则在，l 1 2 上有一个k ，使得 s 7 ( k i ) 一r z ( k 2 ) = 一豫( 世2 ) 芷l ( 3 2 1 ) 一 2 3 华中科技大学硕士学位论文 由性质2 5 和( 3 2 1 ) ，我们可以直接得到： 性质6 ：当霞：增加时，与图3 1 相比较。在世。- m 坐标系中，各个域的变化如下： 1 ) m d 向右移动 2 ) i ，d 、m i i ，、m i d 的交点向右上方移动 3 ) m ，、m d 、i ，i d 的交点向右上方移动 4 ) ，向上移动 在，。：边界上，两种投资的边际收益是相等的，此时企业会同时投资于生产 性资本和减污性资本，使得两者的边际收益相等。企业会继续这种混合的投资策 略直到边际收益等于股票持有人的时间偏好率，此时企业停止扩张，用现金分红。 企业投资的边际收益在起始点超过股票持有人的时间偏好率。在芷k ：坐标系中 表示如下 图3 2 当m 足够大时，最优解在k 1 k 2 坐标系的情况 当m 足够大时最优解在蜀- k ：坐标系中如图3 2 所示，并且( k ，k ：+ ) 满足一( k ) 一r a ( k 2 + ) = 一以( 足2 + ) k + = i 。 关于排放税率的影响，由性质2 5 和( 3 2 1 ) ，我们可以直接得到 性质7 ：与图3 1 相比如果排放税率增