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多元g a r c h 模型及其应用 专业：概率论与数理统计 硕士生：柯玉琴 导师：余锦华教授 摘要 本文在一元g a r c h 模型基硎：上向多元g a r c h 模型扩展，进行了一系列的 理论分析总结和实证分析。文章综述了一元g a r c h 模型的参数估计方法，多元 g a r c h 模型的主要发展形式，重点总结了当前常用的多元g a r c h 模型的参数估 计的算法，和探讨多元g a r c h 模型的协同持续性。对沪深股票市场的综合指数 序列，采用b h h h 算法，均得到了基于价格指数序列的引入协整理论后的 g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，比基于价格收益率序列的g a r c h ( 1 ，1 ) 模型有更好的拟合度的 结论。最后，对两市收益率序列采取直接建立二元g a r c h 模型，和先建立v a r 均值方程再对残差建立二元g a r c h 模型的两种做法，并在这两种模型f ，均得到 沪深股市综指存在着波动的持续性和显著的多元g a r c h 效应，沪、深股市综指不 存在协同持续性的结论。 关键词：多元g a r c l l 参数估计协同持续 m u l t i v a r i a t eg a r c hm o d e l sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s n a m e ：k e y u q i n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry uj i n h u a a b s t r a c t t h i sp a d e re x t e n d st om u l t i v a r i a t eg a r c hm o d e l so nt h eb a s i so f u n i v a r i a t eg a r c hm o d e l s u m m a r i z e st h et h e o r i e sa n d p r e s e n t ss o m e r e a l i z a t i o n s t h ea r t i c l er e v i e w se m p i r i c a lm e t h o d so fp a r a m e t e re s t i m a t i o nf o r u n i v a r i a t eg a r c hm o d e l 。m a i nf o r m so fm u l t i v a r i a t eg a r c hm o d e l s e s p e c i a l l yt h ec o m m o ne s t i m a t i n gm e t h o d sf o rp a r a m e t e r so fm u l t i v a r i a t e g a r c hm o d e l ，a n dd i s c u s s e st h e i rc o m m o np e r s i s t e n c ei nc o n d i t i o n a l v a r i a n c e s f o rt h es e r i e so fg e n e r a li n d e xf r o ms h a h 血a ia n ds h e n z h e ns t o c k m a r k e t s ，w eu s eb m ha r i t h m e t i c ，b o t hg e tt h er e s u l t st h a t ：t h eg a r c h f l ，1 、 m o d e l sb a s i co ns e r i e so fp r i c e sa f t e rq u o t i n gt h et h e o r yo fc o i n t e g r a t i o n ，h a v e t h eb e t t e rf i t t i n gr e s u l t st h a nt h o s eb a s i co ns e r i e so fr e t u r n s a tl a s t f o rt h e r e t u ms e r i e sf r o mt h e s et w om a r k e t s ，w es e tu pt w ot y p e so fb i v a r i a t em o d e l s t h ef i r s ti sd i r e c tb i v a r i a t eg a r c hm o d e l ，t h eo t h e ri st os e tu d 、，a rm e a n e q u a t i o nf i r s tt h e nt h eb i v a r i a t eg a r c hm o d e l a n df o rb o t hm o d e l s w eg e t t h er e s u l tt h a t ：t h et w om a r k e t ss h o wp e r s i s t e n c ei nv a r i a n c ea n do b v i o u s b i v a r i a t eg a r c he f f e c t a n dt h e r ei sn oc o m m o np e r s i s t e n c eb e t w e e n s h a n 吐a ia n ds h e n z h e ns t o c km a r k e t ， k e y w o r d s ：m u l t i v a r i a t eg a r c hm o d e l s ，e s t i m a t i o no f p a r a m e t e r s ，c o m m o n p e r s i s t e n c e i i 中山人学顺十论文 多元g a r c h 模型及儿心川 引言 金融市场的波动往往表现出异方差特性。方芹代表市场的波动与风险，在客 观一卜风险波动是时变的，异方差建模为市场波动性刻画、风险描述与防范以及资 产定价等提供了有力工具，因此，异方差建模成为计量经济学和金融研究的热点 之 。e n g l e1 9 8 2 年运用时间序列具刻画条件方差的时变性，提m 自回归条件 异方差模型( a r c h ) ，此后，a r c h 模型由于明确的经济涵义及对市场波动的准 确刻画，得到了广泛应用，并证实了其有效性。 同时，在客观一卜金融市场的风险波动又是聚集的、持续的。经济金融时f 司序 列的波动持续性首先来自于人们对股票市场价格波动持续性现象的观察。p o t e r b a 和s u m m e r ( 1 9 8 6 ) 注意到股票价格的持续波动会引起风险率( 期望收益率减去无 风险利率) 的变化。所谓波动的持续性是指当前方差的变化将对未来方差产生持 续性的影响。f r e n c h ，s c h w e r t 和s t a m b a u g hf 1 9 8 7 ) 发现股票收益的方差所组成 的序列存在单位根现象。e n g l e 和b o l l e r s e v ( 1 9 8 6 ) 认为产生波动持续性现象的原 因是由于波动过程存在近似单位根，针对这一现象，捉m 了g a r c h 与i g a r c h 模型，认为当前条件方差的波动会对各时期条件方差的预测产生明显的影响。后 来，人们不断改进模型，衍生出其它新的g a r c h 族模型，比如e g a r c h 等， 利用时间序列工具对时变条件方差序列进行刻画。 由于在对大量的经济和金融问题的分析中，更多面对的是多变量的情景。最 近，又出现了研究多变量、多市场的多元g a r c h 类模型，这类模型不仅涵盖 了单变量的波动特性，又可刻画不同变量波动间的相关关系。金融市场中不同 变量、不同因素问往往存在着相互影响和相关灭系，多元g a r c h 类模型为之 提供了解决工具。 在一元g a r c h 模型的参数估计中，有极大似然函数估计方法。在计算机实 现上，b e m d t 等提出了一种优化似然函数的算法( b h h h 算法) ，目前这种算法 已被证明有较好的收敛性和统计性质，在一些统i t 软件中已能得到成熟的应用。 并且国内外很多学者已经利用一元g a r c h 模型的对掌握的金融经济数据进行 了大量的实证分析，使得模型形式得到广泛应用和验证。 在多元g a r c h 模型方面，对1 ：参数估计，根据样本的似然函数依然有极大 中人学倾十论文多元g a r c h 模型及其心川 似然估计，但是其收敛性未能得到证明。日时国外多兀g a r c h 模型的参数估计 还是大多采_ h jb h h h 算法，利州目标函数的梯度信息进行迭代和优化，但是由 于待估参数较多和梯度计算非常复杂等原因，多元g a r c h 模型的实证应用例子 还相对比较少。鉴于b h h h 算法存在的缺陷，国内目自u 有人提出了新的估计算 法，即遗传算法和多智能体退火算法。 在研究波动的持续性问题上，国内外学者对多元g a r c h 模型的方差持续件 和协同持续性问题得到了一些结论。b o l l e r s l e v 和e n g l ef 1 9 9 3 ) 给出了一个向量 g a r c h 过程的方差持续性和协列持续的定义和些重要定理。国内的李汉东等 人也在b e k k 模型的协同持续研究等方面做了一些工作。 为此，本文主要在一死模型基础上向多元过程扩展，研究多死g a r c h 模型。 比较其参数估计方法，判定模型中变量之间的协- j 持续性，及对模型进行实证研 究。文章1 分为五章。第一章首先介绍一元g a r c h 类模型的基本形式，给出了 若t 是一个一元g a r c h ( p ，g ) 过程，则g 是一个一无a r m a ( m a x ( p ，g ) ，p ) 过程的 定理的证明过程，和总结一元g a r c h 模型的参数估计方法。第二章总结多元 g a r c h 模型的几种丰要形式并进行比较。第i 章推导多元g a r c h 模型的极大 似然估计，总结了基于梯度信息的优化似然估计b h h h 算法和基于遗传算法的 似然估计方法及多智能体参数估计算法。第四部分探讨多元g a r c h 模型的协同 持续性，介绍多元g a r c h 模型的波动持续性及协】刊持续的定义，总结相关的重 要定理。第五章利用沪深股市综合指数序列进行实证研究。首先分别对沪深综指 建立一元g a r c h 模型分析，对于沪市和深市，分别建立了基于价格指数序列和 基于价格收益率序列的两个元g a r c h 模型，比较分析两个模型的拟合效果， 得到了在引入协整理论后基于价格指数序列的模型有更好的拟合度的结论；接着 对两市收益鼋夏序列建立二元g a r c h 模型，采取了直接建立二元g a r c h 模型， 和先建口v a r 均值方程再对残芹建矿：元g a r c h 模型的两种做法，并在这两 种做法下都对沪深两市的协同持续性进行了判定，得到沪深股市综指存在着波 动的持续性和显著的多兀g a r c h 效应，并且沪、深股市综指不存在协同持续性 的结沦。 中1 1 人学坝十论文 多元g a r c h 模型及h 应朋 第1 章一元g a r c h 模型 1 1 模型基本定义 首先我们引入e n g l e 1 ( 1 9 8 2 ) 提出的a r c h 模型的基本定义 y ，= x f + g t2 口f “f “，f i d ，e ( u ，) = 0 ，v a r ( u ? ) = 1 e ( 寄i q 一，) = 口? 口? = 口。+ a ，2 ，= 口。+ 口( 上) 占? i = 1 “o o ，口。0 ，i = 1 ，。，g 其中：上为滞后算子，口( ) = q r ，口。 o ，口。o ，i = l ，- ，q ，是为了保汪条件方 i = 1 差口? 0 ；q 一，= 口( + s 。，) 表示截至t - - 1 时的信息生成的口一代数。此时 称白噪声序列 e t 为自回归条件异方差过程，记为a r c h ( q ) 。 模型 由于市场波动性是具有持续性的，b o l l e r s l e v t l l 把a r c h 模型推广g a r c h y f = j j 十e ， = 盯f ”f “，i i d ，e ( u ，) = 0 ，w r ( u ) = 1 e ( 1 q 一，) = 正 ( i - 1 ) 盯? = 口。+ 口，s 三，+ 岛仃三- ，= 口。+ 口( ) 占? + ( ) 仃? 忙lj = 1 口o o ，口，o ，i = 1 ，g ；卢，0 ，j = 1 ，p q， 其中：为滞后算子，a ( 三) = 口，r ，卢( 三) = 岛； o ，盘：o ，i ：1 ，g i = 1 j = l 屈o = 1 ，p 是为了保证条件方差一 0 ；q = 口( 。，t 。) 表示截至 t i 时的信息生成的口一代数。此时，称白噪声序列 ) 为广义自回归条件异方 中1 1 1 人学f 矾七论文多元g a r c h 模型及兑应川 差过程，记为e t g a r c h ( p ，q ) 。 显然，( 1 1 ) 式巾一为残差项g t 的条件方差，它是随时间变化而变化的，它 不仅是滞后随机扰动项平方的线性函数，还是滞后条件方差的线性函数，表明了 过去时刻的波动对未来收益波动有着持续影响，从而模拟了波动的积聚性。 特别地，当x ，= o ( l ) y ，= o + 商，。+ + 谚只一，“，服从正态分布n ( o ，1 ) 时， 模型( 1 - 1 ) 的特殊形式a r ( r ) 一g a r c h ( p ，q ) ： y 。= 氟+ 奴y 1 + + c r y ，+ s 。 s f = 盯f “，f i d n ( o ，1 ) ( 1 - 2 ) 4p 茸= a 。+ a ，s ：，+ 岛a ：， 户lj = l 口o o ，口，0 ，i 二1 ，g ；卢，0 ，j = 1 ，p 定理1 1 ( 1 - 1 ) 式中定义的g a r c h ( p ，q ) 过程s ，是平稳随机过程，且e 爵 o o qp 的充要条件为： q + 岛 1 ，且这个平稳解还是唯一的。 i = l 严l 证明：模型可以变换成一阶高维模型 j ：= 4 r 一，+ e 其中 r = ( 只，y t - p + lo ? ，。+ ) ，咒= 彳 e = ( 口。研，0 ，o ，o j o ，o ，o ) ，仉= 砰， a = e a , ， 口1 仇 l 0 口】 0 0 口g 一1 仉口q 仉 属刁 000 100 o 叫口目 届 00i 岛一。矾岛玎 oo 00 0 p 。0 p 00 o0o - lo 4 ( i - 3 ) 中1 1 1 人学倾十论文 多元g a r c h 模型及其麻h j 则 为模型的平稳解，当且仅当 r ) 是( 1 - 3 ) 的、稳解。 有 为证明 e ，) 的唯一陛，只需- i i 明( 1 - 3 ) 的平稳解的唯“性。 在( 1 - 3 ) 中，由k = z 出发反复迭代，得 f 。= e + 茎( 妻a k， e 。+ f i = 1 0 一。， z f = e + i 兀，h + l 兀钆i z = l ，= 0， 当且仅当妻q + p 岛 1 时，a 的谱半径p ( 4 ) p ) 。 证明：由于g a r c h ( p ，g ) ，则有 s f = 盯，“f ， “，f i d ，e u = 0 ，e u j = 1 ， qp o - ? = a 。+ a ，年，+ 岛。三， 仁l，= 1 不妨设p q ，贝u m = m a x ( p ，g ) = p ，贝0 敛炙率慨以 e 、 4 兀记 ，l 。 中1 1 1 人学碗十论文多元g a r c h 模型及其府州 专= 蠢+ ( e o ) qp = 。+ 呸蠢，+ 岛a ：，+ ( i a ? ) i = 1 j = l ppq = a 。一岛( 蠢，一。三，) + 岛，+ z a ，年。+ ( s ? 一a ? ) 尸i= ii = l = 嘞+ ( q + 屈) s 三。+ 屈，+ v 一岛v f 一， t = l i = q + l j = 1 m口 = o f 0 + 西，q - v t 一岛q ， 其中 v t = s o - ? = 。? ( 砰一1 ) ， e ( q ) = e ( 甜；一1 ) 】= e ( ) e ( “? 一1 ) = 0 e ( v , v d = e ( 0 - ，2 ) e ( “? 一1 ) e ( 一1 ) = o ， - i t s 时， 即有“) 为一个白噪声过程。 所以f 彳 是一个爿御捌过程，舌a e m a ( m ，p ) 。 当p o ，i 2 i ，伍岛 o ，2 1 ，p 用模拟退火算法求解该规划问题其计算步骤如下： 步骤1 ：给定初始可行解舀和初始温度瓦，计算，( 百o ) ，令 氏。= 百，厶。= f ( o ) ，k = 0 步骤2 ：按下式产生随机向量z = ( z t ，：，：) ，”为万的维数； q 中| 1 1 人学坝十论文多元g a r c h 模型及儿心用 ( 三一1 ) ，f ：l ，。 式中彬，是一组在卜1 ，1 】上均匀分布的随机变量，z f 。，z ，：，是一组 在 0 ，1 上均匀分布的随机变量，彤，一，岷，”，“，两两相互独立，瓦是第k 次迭代的温度值，利用当前迭代点百( 和随机向量z ( 产生一个新的试探点y “， 即 j ，( ) = 舀( t ) + ( 一j 1 ) z ( 女) 步骤3 ：检验y 是否属于可行集，若不属于可行集，转步骤2 ：否则转步 骤4 ： 步骤4 ：产生一个在 o ，1 上均匀分布的随机数v ，计算在给定当前迭代点百 和温度疋下接受y 的概率 卅w 刊n 卜c 华， ； 若1 7 p ( y i 百，瓦) ，置舀川= y ，f ( o 川) = f ( y ) ： 否则置百“= 百“，f ( o “) = 厂( 百) 步骤5 ： f ( g ”“) s 0 。在此基础上，b o l l e r s l e v 和 e n g l e ( 1 9 9 3 ) 给出了- - + 甸量g a r c h 过程的持续性的定义。 定义4 2 随机过程 r 1 被定义为关于方差持续的，如果存在 i = 1 ，2 ，m ( m + i ) 2 和存在s 0 使得 l i m s u p h ：( s ) ) 。l o ，一 其中， 研( s ) ) ，表示向量研( s ) 的第f 个分晕，这时条件方差的扰动影响将是持续 的。 定理4 2 6 1 如( 4 1 ) 定义的的f f i g a r c h ( p ，g ) 、, 1 - 一n t ) 是m 方差平稳的， 当且仅当系数特征多项式d e t i a ( 2 。1 ) 一b ( 五“) 卜0 的根全都在单位圆内，此时 l i ms u p f 研( j ) = 0 ，口 ，v s 0 。 此后，f 29 】从单位根的角度来理解向量g a r c h 过程的持续性。 定义4 3k 是关于方差一阶单整的，如果d e t ，一爿( 五1 ) 一b ( 五一1 ) = 0 存在 个单位根，且其余的特征值都在单位圆内。其中，d e t 1 一a ( a 。) 一b ( z 。) 】表示( 4 1 ) 中系数特征多项式，兄表示矩阵的特征值。 定理4 3 ( 充分条件) 如果量g a r c hp ，g ) 过程是单整的，那么它也是关 于方差持续的。 4 3 向量g a r c h 模型的协同持续性 协同持续的概念实际上是协整概念的推广。协整的基本观点是，蜘i 果两个或 更多的时间序列在均值上表现出非平稳性( 单整性) ，但变量问的某种线性组合可 中i i f 人学顺十论文 多元g a r c h 模型及片心删 能会保持平稳，在这种情况下就称变量问存在协整关系。类似地，当某些金融或 经济时间序列显示出方差的持续性时，如果持续变晕间的某种线性组合并不表现 出方差的持续性，则表明变量问可能存在一种共同的长期线性趋势，这种特性就 成为协同持续性。协同持续的概念最初是由b o l l e r s l e v 和e n g l e ( 1 9 9 3 ) 提出的。他 们在方差持续性的基础卜，给出了协同持续的定义。 定义4 3 向量随机过程 r 称为关j ：方差协同持续的，如果存在一个向量 孝r ”，有 比c 2 ( 孝) ，0 ，并且 l i m s y p ：s ) ) | o ，一 对某一s 0 且某一i = 1 ，2 ，m ( m + 1 ) 2 ，使得 l i m s u p l e ( 善一f ) 一( # 只f ) l i m s u p l v e e 2 ( 孝) 月? ( s ) i = o ，a s 对所有j 0 成立。其中， v e c 2 ( g ) = v e e h ( 2 甏ld i a g ( f ) d i a g ( g ) ) 是一个m ( m + 1 ) 2 维向量，d i a g ( 表示将向量化为对角阵。 定理4 4 6 1 设 l l 1 4 i 1 ，1 4 。i l l 是如( 4 一i ) 定义的甸量g a r c h ( p ，q ) 过程 s f ) 的系数特征多项式的根，且 v ，v ：，k 是相应的m ( m 十1 ) 2 维右特征向最，满足： 4 ( 百1 ) v + b ( 可1 ) e = v ， 则过程 t ) 是关于方差防同持续的，当且仅当存在非零向量f e r ”使得 v e c 2 ( f ) e = 0 ，( f = 1 ， ) 。 町见以上协同持续的定义是通过线性组合的方法