（计算数学专业论文）张量积形式的daubechies样条小波有限元.pdf

内容摘要 本文首先简单地阐述了一维多尺度分析的定义。d a u b e c h i e s 小波、b a t t l c - l c m a r i c 小波族和二维多尺度分析及二维小波函数 接着把三次b _ 样条函数规范正交化后作为尺 度函数，进而得到了相应的d a u b e c h i e s 样条小波函数和归纳了其相关性质，又给出了尺 度函数和小波函数及其它们的一阶、二阶导数在对应的区间上的图像和一些点处的函数 值 然后，构造了张量积形式的二维d a u b e c h i e s 样条小波插值函数。并且得到它的尺度 函数和小波基函数相关的一些函数的图像 最后，把张量积形式的d a u b e c h i e s 样条小波应用于扁壳弯曲问题的有限元中首先 得到扁壳弯曲问题的变分方程。然后以张量积形式的d a u b e c h i e s 样条小波作为插值函数， 离散后得到了刚度矩阵方程分析了相应的系数矩阵，给了具体的数值例子，并且得到了 较好的结果 关键阑多尺度分析d a u b e c h i e s 样条小波张量积形式扁壳有限元法 a b s t r a c t f i r s t , s i m p l ya c c o u n td e f i n i t i o no f o n ed i m e n s i o n a lm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 、 d a u b e c h i e sw a v e l e t s 、b a t t l e - l e m a r i ew a v e l e t sf a m i l ya n dt w od i m e n s i o n a l m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s l e tt h r e eb - s p l i n ef u n c t i o no r t h o n o r m a l i z a t i o na s s c a l i n gf u n c t i o n ，t h e no b t a i nc o r r e s p o n d i n gd a u b e c h i e ss p l i n ew a v e l e t sa n d s u m m a r i z er e l e v a n c ef e a t u r e g i v eo u ts c a l i n gf u n c t i o n 、w a v e l e tf u n c t i o n 、t h e i r o r ed e r i v a t i v e 、t w od e r i v a t i v e g r a p h a n da n a o u n ta ts o m es p o to nt h e i r c o r r e s p o n d e n c ez o n e s e c o n d , m a k et e n s o rp r o d u c t f o r m a ld a u b e c h i e s s p l i n e w a v e l e t s 嬲 i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n , t h e ng i v eo u ti tc o r r e s p o n d e n c es c a l i n gf u n c t i o n a n d w a v e l e tb a s i cf u n c t i o nc o r r e s p o n d e n c es o m ef u n c t i o ng r a p h f i n a l l y , a p p l yt e n s o rp r o d u c tf o r m a ld a u b e c h i e ss p l i n ew a v e l e t st of l a ts h e l l w a r pp r o b l e mf i n i t ee l e m e n tm e t h o d o b t a i nf l a ts h e l lp r o b l e mv a r i a t i o n a l e q u a t i o n ，m a k ep r o d u c tf o r m a ld a u b e c h i e ss p l i n e w a v e l e t sa s i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o nd i s c r e t ev a r i a t i o n a le q u a t i o ng e ts t i f f n e s sm a t r i xe q u a t i o n p a r s e c o r r e s p o n d e n c ec o e f f i c i e n tm a t r i x ；p r o v i d ec o n c r e t en u m e r i c a le x a m p l e ，a n d g a i nb e t t e rr e s u l t k e yw o r d sm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，d a u b e c h i e ss p l i n ew a v e l e t s ，t e n s o r - p r o d u c tf o r m a l ，f l a ts h e l l ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盔量叁日埘：丝2 ： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论 文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：枣望导师签名：金坠蛆日期：丝：兰 前言 这篇学位论文是由我的导师金坚明教授为我精心选题，并在金老师的糟心指导下完 成在此向金老师表示衷心的感谢! 这篇学位论文的思想，是在我的导师金坚明教授多年来从事样条函数、小波分析、微 分方程数值解中的有限元法等方面的研究中，做了大量工作、付出了大量心血的基础上 积累而成的 1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 在参考文献忉给出了一维具有紧支撑的正交小波的构造方法我 的导师金坚明教授在参考文献【1 1 和【8 】中，针对r 次样条及双r 次样条给出了相应的正交小 波，研究了其逼近性并证明了样条小波插值的存在唯一性由参考文献【2 】研究了三次样条 小波对应的小波交换的容许性紧接着在参考文献【3 】中，给出了三次样条小波对应的传递 函数m 。细) 的计算和相关性质并研究了样条小波的正则性由参考文献【1 l 】通过对样条小 波变换的进一步研究论证了多维小波变换的容许性又由参考文献【9 】系统地做了把三次 样条函数正交化后作为尺度函数，进而得到相应的正交小波函数的研究工作，给出了相关 的图像在以上研究工作的基础上，本论文给出了三次样条函数正交化后得到的尺度函数 和相应小波函数的一阶导数和二阶导数在对应区间上的图像，并且给出了它们在一些点 处的函数值 然后。在我的导师金坚明教授为我提供张量积形式的二维d a u b c c h i e s 样条小波插值 函数构造的思想和方法的基础上，本论文构造了张量积形式的二维d a u b e c h i e s 样条小波 插值函数，并且得到它的尺度函数、小波基函数及一些相关函数的图像应当指出的是， 其中一维样条小波插值的研究来自金坚明教授所著的参考文献 8 ，9 】；二维张量积形式的 d a u b e c h i c s 样条小波插值函数构造中的区域剖分来自金坚明教授所著的参考文献 1 2 1 石钟慈教授首先把样条函数用于薄板的有限元方法中( 参考文献【4 】) 我的导师金坚 明教授在参考文献【1 7 】和【8 】中用双三次样条函数和样条小波函数去研究了矩形弹性薄 扳稳定性问题由参考文献【l 】把双三次样条小波在弹性薄板挠度问题的有限元法中加以 应用还把最小支集样条小波应用于弹性薄板问题的有限元法中( 参考文献 1 5 9 在壳体 问题的研究方面，金坚明教授给出了扁壳问题和弹性圆柱薄壳稳定性问题的不完全双二 次非协调板元解( 参考文献【6 】和【1 8 】) 又由参考文献 2 0 ，1 4 分别把样条函数和样条小波函 数应用于扁壳问题的有限元法中在以上研究工作的思想和方法的指导下，这篇学位论文 完全类似地把张量积形式的二维d a u b e c h i e s 样条小波函数应用于扁壳弯衄问题的有限 元法中首先得到了扁壳弯曲问题的变分方程，然后把张量积形式的二维d a u b e c h i e s 样条 小波作为插值函数，离散后得到了刚度矩阵方程分析了相应的系数矩阵，最后给出了具 体的数值例子 需要指出的是，本论文存在以下问题：一方面是首先需要证明本论文中的有限维多 项式插值函数空间是h 2 的子空间，为此需要讨论可微性、紧支性及完备性，才能得到该 空间为有限元空间又由于是有限元空间，所以需要证明扁壳弯曲问题的弱解的存在唯 一性最后由于我们得到的是弱解的近似解，于是我们还需要得出它与真解之间的误差 ( 即误差分析) 。另一方面还器要进行扇壳弯盘问题的边界处理但上述问题在这篇学位 论文中没有做 最后：我再次向我的导师金坚明教授表示衷心的感谢! 第一章张量积形式的d a u b e c h i e s 样条小波 l 小波分析预备知识 为了张量积形式二维d a u b c c h i e s 样条小波的引入，本节简单地阐述了以下几个方面的 内容：一维多尺度分析的定义；一维d a u b e c h i e s 小波；b 一样条函数；b a t t l o - l e m a r i e 小波族 及其一些有用性质：张量积形式的二维小波函数 1 1 一维多尺度分析的定义唧9 ， 定义1 1 1 1 卵设 ) 。z 是工2 ( r ) 的一串闭子空间，称 圪】，喜z 是t 2 ( r ) 的一个( 二进) 多尺度分析，如果 ( i ) c 吒c 巧亡c e l c 正2 c n 圪= ( o ，u 匕= r ( r ) ( 1 1 1 ) ( i i ) ，( x ) e 圪亭f ( 2 x ) e 圪。 ( 1 1 2 ) ( i i i ) ，( 善) j f ( x 一功，行z( 1 1 3 ) ( i v ) 存在函数g ( 力e ，使得 9 0 而) 。构成的一组r i c s z 基，即存在两个正常数 a 和b ，对于任意的 q 。z ，2 有 i qf 0 c 。g ( x - n ) i f s b x i c , r ( 1 1 4 ) 一般的可表示为 圪= s p a n 丸；聍盈 其中 痧。，( x ) = 2 2 ( 2 一”x 一力) ，”z 若 声o 一呻) e z 构成的r i e s z 基，且这样定义的上2 ( r ) 的闭子空间列( 匕) 。；。满足 多尺度分析的定义( 即 ) 。：构成了三2 ( r ) 一个多尺度分析) ，就称( x ) 生成多尺度分 析 。的一个尺度函数 1 2 一维d a u b e c h i e s 小波1 9 1 本小节内容均来自金教授所著的“小波分析”( 参考文献1 9 1 ) d a u b e c h i e s 小波主要强调了尺度函数( 力生成的f 矿0 一刀 。构成圪的一组规范正 交基 上 设以下总有 22 庐( 2 一x - n ) 腱z 为的一组规范正交基 由参考文献f 9 1 ，根据( 1 1 1 ) 式，可知2 1 1 矿( 2 一t 砷e k ，则2 2 1 庐( 2 一i x ) 于是有啪 2 由：艺吃庐。一帕( 1 1 5 ) 这称为尺度函数的二进尺度关系， k ) 。称为频率响应j 委中例 以= 2 - d 渺。一n ) a x ( 1 1 6 ) 由( 1 1 5 ) 式两端经过f o u r i e r 交换，可得7 1 嘲 九凹) = 州i 1m ) 二) ( 1 1 7 ) 其中9 1 m o ( o j ) = 2 - j 丸p 0 1 8 ) 称为共轭滤波器 由于c 。，让【9 j = 圪。既，既= 曙( 1 1 9 ) 亦即 v m - i = o 矿， 所以i ” l 2 ( 置) = ow 。 如果存在似曲e r ( r ) ，使得 既= s p 柚 ；n 刁 其中 = 22 * , ( 2 - m x 一功 ( 1 1 1 0 ) 我们称似砷是对应于尺度函数庐( x ) 的基本小波，与吃分别称为尺度水平m 上的尺 度空间与小波空间 若2 2 妒( 争ew l ，则有2 2 ( 争v o 于是有嗍 2 2 y ( 争= g 。o ( x 一 ) ( 1 1 1 1 ) 其中唧 譬。= 2 2c 妒( 詈) ( r n ) 出 由( 1 1 1 1 ) 式两边经过f o u r i e r 变换，可得9 1 矿“( ) = g ( 詈) “( 詈) ( 1 1 1 2 ) 其中嘲 g ( 等) = 2 - 2 g n e 岫州2 4 1 3m 样条函数简述1 2 0 】 本小节内容均来自金教授所著的“线性板l 目题中的有限兀法”( 参考文献【2 0 1 ) 本小节 概括地叙述了b - 样条的定义及一部分主要特性，作为以后d a u b c c h i e s 样条小波引入的基 础 设吼( 为区间【- ，舶上的特征函数： = l 谢矗l 用下面卷积公式定义函数铷： 西。= e m ，。( 0 0 。( x - t ) d t = 亡中，。( x - t ) 。( o a t 称为n 次b 样条由以上两式可得 = ，黧x p _ m ：o ) ； 0 ， 一x 2 + 三 4 2 l _ x 2i 3 i ； 怫i ；， 卜i c 圭， 三i x i s 三 2 2 对任意的i l , 次的情况，都可i ：上这样分段写出西。o ) 的表达式，只是随着1 1 的变大而越来越 复杂 中。( 力有下列常用的性质瑚： ( 1 ) 紧凑性西。( 曲以区间【一警，掣】为紧支集，在此区问外处处为零 ( 2 ) 分段光滑性m ( 曲是一个分段n 次多项式，在n + 1 个区间卜学，一学+ l 】， 眄，z 期上有不同的表达式，在整个实数轴上西。( 砷仨c “( - m ，+ ) ( 3 ) 积分递推公式成立 巾。= 。“( t ) d t , n = 1 , 2 ， ( 4 ) 从几何上看，o 。o ) 是单峰式的对称山丘状函数，以x = 0 为唯一的极大值点当n 增大时，图像渐趋平坦 ( 5 ) 积分值亡m 。( 砷出= l ，”= 1 ，2 ，；西o + ) = 1 ，一 x 坞 中：( 功= q r - 1 0 + 如一面，i o 一势 ( 6 ) m ( x ) 的f o u r i o r 变换与逆变换为 中。( 砷= 寺e m ：( m 扣“如， = p 。e - j 4 如 is i n ( c 0 2 2 ) l “ 1 4b a t t l e - l e m a r i e 小波族的一些性质1 2 7 i 本小节内容均来自参考文献【2 7 】应当指出的是，在金教授所著的参考文献【3 ，8 】中也 有三次b 样条正交化过程的推导 为了更好地说明d a u b e c h i e s 样条小波对应的尺度函数和小波函数具有指数型的衰 减性以下首先讨论如何由的一个r i e 髭基( 庐扛一七) ) 。e z 为构造一个规范正交基；然后 简单介绍了b a t t l e - l e m a r i e 小波族的一些有用性质 首先定义 声o 一曲 。是上的一个r i e s z 基，当且仅当 庐0 一的) 。e z 展成，而且对 于任意的 q ) t e z 1 2 均有类似于( 1 i 4 ) 式成立，即那1 吲 a z i c 1 2 刮c k # ( x - k ) 1 1 2 s 曰丑q 1 2 ( 1 1 1 3 ) ti 因为吲 c 。( x - k ) 1 1 2 = f i q e 州“) 1 2 蟛 tj = n q e 嘶l 伊( 言+ 2 砷1 2 鸳 laz 以及 2 7 1 f g1 2 = ( 2 刀。f f g e 嘶| 2 蟛 k 故式( 1 1 1 3 ) n - f 等价为”1 o ( 2 力1 4 s i 庐“g + 2 石) 1 2s ( 2 万) 叫b - h o ( 口卫) ( 1 1 1 4 ) ， 于是可定义p ( r ) 如下2 7 1 li 矿“( 善) = ( 2 石) - i 【i 庐“g + 2 矗) 1 2 】- i 矿“皓) ( 1 1 1 5 ) ， 明显地，i 庐”g + 2 z d l 2 = ( 2 石) 1 ( 黜) 这表明矿g d 是曙上的规范正交基另一方 面，空间曙可由矿o 一七) 展成，即脚1 唁= 厂= 刀o 一帕，o f ) 。，2 ) = ，；，= v 庐”，v e r ( 【o ，2 棚) ) ( 且v 以2 石为周期) ( 根据式( 1 1 1 4 ) 和式( 1 i 1 5 ) ) = f ；f = 。船一畦) 一，2 = 矿。( 因为o 一曲为的r i e s z 基) 以下介绍b a t t l e - l e m a r i e 小波族的一些有用的性质b a t t l e - l e m a r i e 小波族与由样条函 数空间构成的多尺度分析相联系，对每种情况均选择具有整数结点b 样条作为原始尺度 函数 b a t t l e - l e m a r i e 小波族中的尺度函数矿( 曲是由b - 样条作为原始尺度函数庐( 工) 利用 式( 1 1 1 5 ) 进行正交化处理得到 一般地，若庐c d 是一个n 次b 样条( 在此仅考虑n 为奇数) ，则1 】【2 删8 1 1 9 】i 卅 6 矿一( o ：( 2 石) 邕娑】+ l ( 1 1 1 6 ) 刍，二 且( 砷满足r 矿( 功出= l ，以及 - 2 _ 2 ! l f - l2 羔2 ( ；渺( 2 x m - 1 + ，) ：2 m + l 对于任意给定的n ，可写出i ( 掌+ 2 耐拘显示表达式，而且庐( 曲均满足 妒o 。= q 6 ( 2 x n ) 其中i q1 2 佃；且有 o 口s i 矿“g + 2 椰1 2 卢。矗) ( 其中o 口，p 佃) ( 注：以上两式是( 虬；月z ) 为匕( 坍z ) ( m 固定) 上的r i e s z 基的充要条件1 ) 由参考文献【2 7 】知，( 曲以x = o 为对称轴，而且4 ( x 一一) 均不正交，需用式( 1 1 1 5 ) 进行 正交化处理其结果是，对于所有的b a t t l e - l e m a r i e 小波族均满足：s u p p 矿= r = s u p p p ： 正交的矿( x ) 与非正交的( z ) 有相同的对称轴小波函数y ( 的对称轴均为x = 1 1 2 尽管 垡，p 矿和s g p p g 延伸至整个x 轴，但矿( x ) 和y ( 均有非常好( 指数型) 的衰减性为说明 这一点，我们引入如下定理 定理1 1 1 2 7 1 设o ) 具有指数型衰减特性：i 庐( x ) 峰c e r 1 , t i ，且对给定的口：o 口，有 s u p l ( e p 矿) ( f ) l c ( 1 + i 掌1 ) 一1 。 i 一如 并假定o 口i 庐“g + 2 砌1 2 定义矿( x ) 如式( 1 1 1 5 ) ，则( 对也有指数型的衰减特性 推论1 1 0 鲫所有b a t t l e - 1 , e m a r i e 小波y ( x ) 与对应的标准正交尺度函数矿( x ) 均有指 数型的衰减性 l 。5 张量积形式的二维小波函数1 9 i 本小节内容均来自金教授所著的“小波分析捧( 参考文献【9 】) 设 。是r ( r ) 中的 一个多尺度分析，则容易证明张量积空间( 瑶 。e z 构成l z ( r 2 ) 的一个多尺度分析其中 瑶= 圪o 我们定义唧 9 5 ( ) ，) = ( 功烈y )( 1 1 1 7 ) 一般可表示为1 9 1 p ：= s p a 丸。；，l e z 2 其中萌。定义如下嘲 如( x ，y ) = ( o ) 定义小波空间唧 嘭= ( 嵋) 1 ，( 即瑶。碟= 2 ) ( 1 1 1 8 ) ( 1 1 1 9 ) 这样我们直接可得m 嘿= 瑶o 以。既) o ( 田圪) o ( 睨o ) 】 则9 l 烈工一仉) y ( j ，一7 1 2 ) ，w ( x 一一) 口i o ，一 2 ) ，以x 一啊) 妒( y n 0 e z ( 1 1 2 0 ) 构成了赡的一组正交基因而嘲 _ 嫩一) 烈_ 】，一n 2 ) ，( x r t t ) j 矿( ) ，一n 2 ) ， 妒o n ) ( y 一) ，妒( x 一 ) 似) ，一) k m 构成了吃的一组正交基 i 1 0 ，力= 庐( z 舻( ) ，) 矿( x ，y ) = 矿( ( y )( 1 1 - 2 1 ) l 矿( 毛y ) = 叭x 弦( 力 称为二维小波函数嗍 2d a u b e c h i e s 样条小波与相关计算 本节首先给出了d a u b e e h i e s 样条小波的定义；然后按其定义通过对三次b 群条基函 数9 3 ( 进行正交化得到办( 力，使得弛o 一曲) 。构成k 的一组规范正交基；进而得到相 应的规范正交小波基 o 一哟) 。e z ，并指出了样条小波变换的容许性；最后为了张量积形 式的d a u b e c h i e s 样条小波插值函数引入给出了磊和( 力及其相应的一阶导数和二 阶导数在相应区间上的图像和一些点处的函数值 2 1d a u b e c h i e s 样条小波i i 】1 2 删9 l 本小节贮( 国) 、卉( 砷、心( 街) 和( 力的具体推导和相关图像的给出均来自金教授 所著的参考文献 1 ，2 ，9 其中m 。( o j ) 的推导和相关性质的研究详见金教授所著的参考 文献 3 ，而且更一般的m 阶样条小波对应的m 。扣) 的研究可见参考文献 5 定义1 2 1 设是由三次融样条函数g ，( 曲张成的多尺度空间，把基函数9 3 ( x ) 正交 化得到k 的一组规范正交基 破o 一刀) ) 。：进而如果能够得到对应于 张扛一一) ) 。：的 o 一功) 。为的一组规范正交基则称( 砷为对应于三次样条函数的d a u b e c h i e s 小波函数，也称为d a u b e c h i e s 样条小波 由参考文献【9 】知，设v o 是三次b - 样条函数空间岛( 功是三次样条基函数，即 v o = s p a n 9 3 0 一功) 。d 容易验证由此决定的( ) 是r ( r ) 的一个多尺度分析但由于熟知的 9 3 ( x - 帕) 。不一 定正交，因此要找到九( 功使得娩0 一功) 。构成k 的一组规范正交基 为此可设p 1 以 ) = c g ，( x - - n ) 根据式( 1 1 1 6 ) ，可得哪2 l 【q 【观【2 7 】 酣( ) = f s i n ( c o ，2 ) 4 又根据式( 1 1 1 5 ) ，可得叫2 】【8 】1 9 】 疗( 功= 【i 爵 + 2 庀dj ：】 爵细) 经过运算可求得【l 】1 2 1 1 3 】1 8 1 1 9 1 ” 1 西”刁蠡 其中u 1 2 ，】【e 1 1 9 1 ) 奄南t“z w ， 8 ( 国) 能够通过z ( 叻2 酉i 二毒五萨求6 次导数得到哪鲫邢删： l 2 丽而1 丽矛1 7 + 1 8 0 c o s ( a + 2 ) 1 2 + 1 1 邻o s 7 硝+ 4 脚7 2 ) 1 ) 到此，解得用哪 舯卜赢 嘧面丽面i ；7 开 1 7 + l 嘲c o s ( ，2 ) 】2 + l i 郇缈，2 ) 】+ 4 【c o s p 7 2 ) 】6 ) 1 - rl ：上f! ! 鱼坐m 塑! 型：f 乒1 国 1 7 + 1 8 0 c o s ( 0 7 2 ) 2 + l1 4 c o s ( o 口2 ) 4 + 4 c o s ( c o 2 ) 】6 ) 图1 2 j 好( 在区间f 1o ，1 0 】上的图像嘲 容易得出甜( 国) 为定义域上的偶函数，又由于疗( 国) 墨铲专，即甜国) 具有 m 。的衰减性( 也可见参考文献【1 3 】) 又通过数据分析不妨取区间【- 1 0 ，l o 】为其支集，这样所 产生的误差很小可以忽略不计 下面计算蟊( 曲由于 九( 曲。去j = 筒( c o ) e “d c o 根据甜) 的偶函数性质及其支集性，得 9 l b 6 4 2 o o 0 o 0 办= 去胎“如 = 去西( ) ( c 。s 【训+ f s i n 训 = 妻f 。甜( 回c o s o n d o , 一卜： 一vv 一 图1 2 2 庐3 c x ) 在区间1 - 5 ，5 】上的图像p 1 另外，根据式( 1 1 7 ) ，即7 1 唧 西( 2 功= m o ( 西( 奶 得呻】1 3 l l m 0 ( = l 图1 2 3 卅0 ( 国) 在区间【一石，石】上的图像嗍 到此，关键问题就在于求解( 曲首先考虑雌( 国) ，由参考文献【7 ，9 】知 坩( 国) = g 2 ) 矗1 2 ) 一方面1 7 1 1 9 1 g ( c o ) = p 。一2 m o ( t “+ 石1 而1 9 1 1 0 。 m 帖 o 石 o o 乱 呼+ 神孙呼+ 力= 踹声 ，2 + 万) 2 丽瓦砾磊1 i i 7 耐1 7 + 1 8 0 s 访妇7 4 ) 2 + 1 1 4 s i n ( 毋7 4 ) 】+ 4 s 抽扣7 4 ) 】6 ) ( m + 2 0 2 丽丽1 而耐1 7 + 1 8 0 。啪7 2 ) 】2 + 1 1 4 c 。s ，2 ) 】+ 邻。s 7 2 ) 】6 ) 另一方面p 9 】 嚣 ，2 ) = = 2 ， 【1 7 + 1 5 岫s p ，4 j j 8 0 6 + 4 1 0 i 叩s i n 。( o s 。伸4 ，) 斗 矛i 面磊乏涮； 所以得唧 坩卸气 丽三而0 7 + 1 8 0 s i n ( o p ，4 ) 】2 “1 4 s i n ( a ，4 ) 】+ 4 【s i n ( 引4 ”6 ) 】_ r ! ! 丝坐垫塑! 型： 1 ； 。2 8 ( 1 7 + 1 8 0 c , o s ( o o 2 ) 2 + 1 1 4 c o s ( 珊2 ) 】4 + 4 c o s ( c o 2 ) 6 ) 竺r婴堕塑塑! 塑：1 ；， 由4 。( 1 7 + 1 8 0 c o s ( a h 4 ) 2 + 1 1 4 【c o s ( o 口，4 ) 1 4 + 4 c o s ( m 4 ) 6 ) 1 八； 图1 2 aj 孵( ) i 在区间【- 1 0 ，1 0 】上的图像删 以下求( 对，由 ( = 去 蚶( ) e “d o j 令饥( 西= 坩( 回，8 2 ( 为了下面叙述方便) ，即 三1 妒1 2 画而丽0 7 、+ 1 8 0 s i n ( 国7 4 ) 】2 + 1 1 4 s i n ( m 7 4 ) 】4 + 4 s i n ( c o 4 ) 】6 ) 】2 r 8 0 6 4 0 s i n ( c a 2 ) 。 1 ； 2 a ( 1 7 + 1 8 0 c o s ( o j 2 ) 2 + 1 1 4 c o s ( c a 2 ) 1 4 + 4 c o s ( t o 2 ) 6 、1 2 4r 8 0 6 4 0 s l n ( a h4 ) 】8 1 ； 印4 ( 1 7 + 1 8 0 c o s ( c o 4 ) 2 + 1 1 4 e o s ( ，4 ) 】4 + 4 c o s ( o ) 4 ) 6 ) 1 显然j i c ，1 ( 功在定义域上为偶函数 又由以( ) 在区间 - 1 0 ，l o j 2 的支集性，得 1 8 6 4 2 0 0 o o o = 荔id 1 ( 础。詈e l “如 = 去丘洲咖，2 ) 如 = 丢扣( 砷e 一，2 ) 如 = 丢f 。妒l c o s 。一扣+ f s i n 国。一扣 如 = 妻f 。y l ( 功c o s o 一争】d 西 、 厂一 v 图1 2 5 ( 功在区间 - s ，5 】上的图像9 1 归纳( 曲的性质如下： 1 ) ( 衰减性) ( 曲具有指数型的衰减性( 参考文献【2 7 】) ； 烈双正交性) - ， = o n , m e z ( 由( 刁的定义容易得到) ； 3 ) ( 正则性) 九0 ) ( 苫) e c 4 ，当口= k e n 时，口= 2 ；当口g n 时，t t t 8 时，| 笛0 0 0 0 3 综上所述，为了实际应用的方便，并且对应的缟o 。和( 力在相应的近似有限支集上 所引起的误差4 5 , 1 , 所以我们不妨取具有 - s ，8 】的近似支集( 注：支集取的越大所引起的 误差就越小) 进而，由参考文献【9 】知，若具有支集【一，+ 】，则 砚印以= 【7 _ ，+ 】， s u p p ：【半，半】 于是可得，九( 砷的近似支集为 - 8 ，8 】，( 功的近似支集为 _ 7 5 ，8 5 】( 下文均简称近似支集 为支翁 。 下面研究三次d a u b e c h i e s 样条小波变换的容许性以下容许性的详细研究参见金教 授所著的“三次样条小波变换舟( 参考文献 2 ) 定义1 2 2 4 函数妒e r ( r ，出) 是容许的当且仅当少不恒等于零和 肛即，咖1 2 等 佃 其中 u ( 6 ，妒( 力爿口i - 1 7 2y ( 兰 引理1 2 1 2 1yer 限d f ) 、 0 ) 是容许的当且仅当积分 f j 坐：熊! 之i i 存在 定义1 2 3 1 2 让杪是容许的，对任意一个属于工2 ( k 毋) 的函数，定义小波变换如下 吼m = 寺 q 乙y 2 赤南f 芋俐出2 再而7 川炒 由定义1 2 - 3 可知研究三次d a u b e c h i e s 样条小波变换的关键是分析( 曲是否是容许 的，而由引理1 2 1 可知验证( 曲是否是容许的关键又是分析 f j 噬塑| 二如 zi 田l 是否存在由参考文献【2 】 知f 号警斗是存在的所以是容许的 2 2d a u b e c h i e s 样条小波的相关计算 通过上一小节我们基本了解了尺度函数九( 对和对应的小波函数( 砷为了张量积 形式的d a u b e c h i e s 样条小波的计算，以下首先在以( 功和( 砷各自的有限支集上求出在 一些点处的值；接着对戎( 功，武( 力，以( 砷和以( 砷做出在相应区问上的图像，并求出在一 些点处的值 根据 九2 二1 i 庐；( 0 0 c o s o r l d o j 容易得到九( 功在一些点处对应的函数值( 注：以下数据是把计算出的结果小数点后保留 了三位有效数字，本文以下对数据的处理均与此相同) ，例如： 磊( _ 8 ) = o o o l ，办( - 7 ) = - o 0 0 2 ，以( - 6 ) = 0 0 0 3 ，九( - 5 ) = - 0 0 0 6 ， 杰( _ 4 ) = o 0 1 2 ,杰( - 3 ) = - 0 0 2 4 ，庐，( - 2 ) f f i 0 0 4 6 ，九( 一1 ) ；0 0 7 1 ， 杰( o ) 5 1 0 8 3 ，九( 1 ) = - 0 0 7 1 ，磊( 2 ) 2 0 0 4 6 ,九( 3 ) = - 0 0 2 4 ， 九( 4 ) = o 0 1 2 ，杰( 5 ) 一o 0 0 6 ，以( 6 ) ：o 0 0 3 ，疙( 7 ) = - 0 0 0 2 ， 以( 8 ) = 0 0 0 1 对兹( 力而言，由 f i e f ( x ) = f 由筇( 0 0 则 五( 力= 去胁( 国) 泐“d e o = j 1 ；上0 。晚1 l 球。s ( c o x ) + ，s i n ( 国瑚如( 由疗扣) 的支集为【1 0 ，1 0 】) ( 利用簖( ) ) 在定义域上的偶函数性质) = 去血( 僦) 埘) 如 ：一! c 。珊s i n ( 嬲) 筇( 功d 幻 l 一八、厂一 一v v 一 图1 2 6 以o ) 在区间【- 5 ，5 】上的图像 s 1 5 0 5 d 5 1 o 吨 叱 芽且得到螽在一些点处对应的函数值，例如： 戎( - 8 ) 铷0 0 2 ，磊1 7 ) = - 0 0 0 6 , ( - 6 ) 。o 0 0 9 , 西( - - 4 ) = - 0 0 4 6 , 磊( - 3 ) ：o 1 0 4 ，以( 2 ) 。o 2 7 0 ， 戎( 0 ) ：o 0 0 0 ， 钙( 1 ) = - 0 8 4 5 ，磊( 2 ) = 0 2 7 0 ， 武( 4 ) = o 0 4 6 ， = 0 0 2 0 , 磊( 6 ) = o 0 0 9 ， 五( 8 ) ：o 0 0 2 对菇( 曲而言，由 研艿( 瑚= 喇2 艿( 珊) 则 菇= 去c 2 ) 西产如 = 一互i ；k 0 国2 疗佃) 【c 。s + f s 试嘞 一去扣2 c o s ( o = ) 东 ( c o ) d c o ：一三c 。zc o s ( 雠) 簖( 曲咖 一八、八厂一 v 一 图1 2 7 西( 力在区间【- 5 5 】上的图像 并且得到菇o ) 在一些点处对应的函数值，例如： 菇( - 8 ) = - 0 0 1 5 ，菇( - 7 ) = o 0 2 3 ，西- 6 ) = - 0 0 4 2 ， 西) - 2 0 2 ，菇( - 3 ) = - 0 a 2 8 ， ( - 2 ) 一1 0 1 0 ， 孵( 0 ) = q 4 3 0 ，菇( 1 ) = 2 9 3 2 ，( 2 ) = 一1 0 1 0 ， 西( 4 ) - - - 0 2 0 2 ，戎( 5 ) = 0 0 9 9 ，西( 6 ) = 一0 0 4 2 ， 菇( 8 ) = - 0 0 1 5 根据 无( - 5 ) = - 0 0 2 0 , 苁( - 1 ) - - o ，8 4 5 ， 以( 3 ) = - 0 1 0 4 ， 苁( 7 ) = 田0 0 6 ， 武( _ 5 ) = o 0 9 9 ， 西( - 1 ) = 2 9 3 2 ， ( 3 ) = - 0 4 2 8 ， 艿( 7 ) = 0 0 2 3 ， 嘣曲= 去d e “如 = 去胁佃) c o s 陬x 一扣如 容易得到( 砖在一些点处对应的函数值，例如： l l u 3 ( - 7 5 ) = o 0 0 1 ， ( - 6 ，5 ) 一0 0 0 2 ，( 一5 5 ) 2 0 0 0 3 ，( _ 4 5 ) 一o 0 0 6 3 2 l 0 d 电七 q ( _ 3 5 ) ：o 0 1 4 ， ( 0 5 ) 3 1 2 4 9 ， i u 3 ( 4 5 ) = o 0 1 4 ， v 3 ( 8 5 ) = 0 0 0 1 对以( 力而言，由 则 ( _ 2 5 ) = - 0 0 1 8 , ( 1 5 ) 20 0 2 1 ， ( 5 5 ) 2 - 0 0 0 6 ， 可以( 瑚= 砌坩( 功 ( - 1 5 ) = o 0 6 9 ， g s ( 2 5 ) = o 0 6 9 , ( 6 5 ) = o 0 0 3 ， ( o 习= o 0 2 1 ， ( 3 5 ) = - o 0 1 8 , ( 7 5 ) = - 0 0 0 2 ， 以2 去 印( 卿钟“如 = 上2 u 妒l f 凹州呻出( 由以( 国) 的支集为 _ l o ，l o 】) = 去丘洲础国 c o s 陋。一扫+ f s i n 【国。一扣 = 丢c 珊s n 【出。一争抄l ( 国) 如 = - 引。c o s i n m 。一争m ( 国) d c o r r 一 一 f l - 4- 2024 图1 2 8 以( 功在反n - 5 ，5 】上的图像 并且得到以( 曲在些点处对应的函数值，例如： ( - 7 1 5 ) = 0 0 0 3 ， 以( - 3 5 ) = 0 0 5 0 ， 以( o 5 ) 卸0 0 0 , 以( 4 5 ) = - 0 0 5 0 ， ( 8 5 ) | o 0 0 3 对以而言，由 玩( 毛5 ) 铷。0 0 7 ， 以( - 2 5 ) = - 0 1 7 2 ， 以0 5 ) = 1 9 6 9 ， 以( 5 5 ) = o 0 3 1 ， ( - 5 5 ) ：0 0 1 3 ， 以( 一1 5 ) = o 1 3 5 ， 以( 2 5 ) = - o 1 3 5 ， 以( 6 5 ) = - o 0 1 3 ， 研征( 瑚= 一甜2 鹾、( 则 以。) = 去亡2 ) 坩( 咖”如 1 6 沈- 4 5 ) = - 0 0 3 1 ， 以5 ) = - 1 9 6 9 , 以( 3 5 ) = o 1 7 2 ， 以( 7 5 ) = o 0 0 7 ， 6 4 2 o 吒 t r 吒 = 去丘2 ) 蜉e “咖 = 去i ：2 m ( 咖州峥如 = 去丘加l ( c 。s p 。一扣+ f s i n 【国( x 一扣) 如 = 兰1 0 c o s 坼一扣1 ( a o d a ， 、厂一一、i 一_ vv 一一 图1 2 9 以( 曲在区问卜5 ，5 】上的图像 并且得到以在一些点处对应的函数值，例如： 妖( _ 7 5 ) = - o 0 0 1 ，以( - 6 5 ) = o 0 0 3 ，以( - 5 5 ) = - o 0 1 7 ，两( - - 4 5 ) = - 0 0 0 4 , 以( _ 3 5 ) = - 0 1 1 8 ，以( - 2 5 ) = - o 3 6 8 ，以( - 1 5 ) = - 1 4 0 s ，以 5 ) = - 9 7 1 7 ， 西( o 5 ) = - 3 2 5 8 0 ，妖( 1 5 ) = - 9 7 1 7 ,以( 2 5 ) = 一1 4 0 5 ，斌( 3 5 ) = - o 3 6 8 ， 以( 4 5 ) = - o 1 1 8 ， 以( 5 5 ) = - 0 0 0 4 ，以( 6 5 ) = - 0 0 1 7 ， 以( 7 5 ) = 0 0 0 3 ， 衍( 8 5 ) = o 0 0 1 1 7 o m 锄 书 3 张量积形式的d a u b e c h i e s 样条小波插值函数的构造 本节张量积形式的d a u b e c h i e s 样条小波插值函数构造的思想和方法是金教授为我 提供的而且一维样条小波插值的研究来自参考文献【8 ，9 】；二维张量