（概率论与数理统计专业论文）汽车保险的奖惩系统分析.pdf

论文摘要 汽车保险是现代保险业的重要险种之一。在我国众多财产险公司中，汽车保 险业务的保费收入往往占到公司总保费收入的8 0 以上。因此，科学合理地厘定 汽车保险费率至关重要。汽车保险的奖惩系统( b o n u s m a l u ss y s t e m ，简称b m s ) 是广泛应用于世界各国保险公司的一种经验估费系统，主要是根据驾驶者的历史 索赔记录来确定其续期保费。在中国，各家保险公司也都分别制定了自己的奖惩 系统或无赔款优待系统( n oc l a i md i s c 咖ts y s t 哪，简称n c d 系统) 。 本文对b m s 进行了介绍，并分别利用随机过程中马尔可夫链的知识和时间 序列中的i n a r ( 1 ) 模型对b m s 进行了研究。 第一章介绍b m s 的优点、各国保险公司在经营中使用b m s 的情况和b m s 的研究进展；第二章从理论上研究汽车保险中的b m s ，用马尔可夫链对b m s 建 模并做稳定性分析，得出了任一b m s 都存在平稳分布的结论；第三章从另一个 角度来研究b m s ，首次把时间序列方法应用到汽车保险的定价中，用整值一阶 自回归模型i n a r ( 1 ) 来拟合索赔次数，利用该模型的一步预报得到续期内索赔次 数的预测值，并据此计算出相应的续期保费；在第四章中，笔者根据自己在多家 财产保险公司实习的经验提出了对中国车险市场经营的几点建议；第五章结语部 分则提出了一些有待进一步研究的问题。 本文的创新在第二章和第三章中都有所体现。中国人民大学的成世学教授曾 对n c d 系统作过稳态分析，本文第二章就是在他的研究结果基础上，进一步将 研究范围拓展到b m s 中，对b m s 进行数学建模和稳定性分析。以往学者们研 究索赔次数时，一般总是假定索赔次数服从某一种分布，如泊松分布。而在本文 第三章中，笔者另辟蹊径，将时间序列方法应用于b m s 中，利用时间序列模型 来对索赔次数建模，并据此得出投保人须缴纳的续期保费。 关键词：汽车保险，b m s ，马尔可夫链，时间序列，矾a r ( 1 ) 模型 a b s t r a c t t h ea u t o m o b i l ei n s u r 帅c ei si m p o r t a n ti nm o d e mi n 硼r a n c ej n d u s t r y i nm o s to f t h ep r o p e r t yi n s u r a n c ec o m p a n i e si no l i rc o u n t l mc a ri n s u 砌c eb u s i n e s sp r e m i u m i n c o m eu s u a l l yo c c u p i e s8 0 o fn l et o t a lb e n e f i ti n c o m e t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt o p r i c i n gt h ea u t o m o b i l ei n s u r a n c es c i e n t m c a l l ya n dr e a s o n a b l y t h eb o n u s - m a l u s s y s t e m ( b m s ) i se x t e n s i v e l ya p p i i e dj na u t o m o b i l ei n s u 舢c e i t sm a i ni d e ai st o d e t e 啊i n et h ep r c m i u ma c c o r d i n gt ot t i ed r i v e s h i s t o r i cc l a mr c c o r d s i nc h i n a ， m 柚yi n s u r 跏c ec o m p a i l i e sb a v et i i e i ro w n n oc i a j ms y s t c m ( n c ds y s t e m ) ，t o o 1 1 1 i sp a p e rw i l lf i r s ti n t r o d u c eb m s ，t h e ns t i l d yb m sb ym a r k o vc h a i nj n s t o c h a s t i cp f o c e s sa n dt n a r ( 1 ) m o d e l i nt i m es e r i e s i nc h a p t c rl ，w ew 1 ls e et h ea d v 粕t a g eo fb m sa n dt h es i t i l a t i o no fb m s r e s e a r c h i nc h a p t e r2 ，b m sw i l lb er c s e a r c h e db ym a r k o vc h a i n 1w i l ld r a wt i l e c o n c l u s i o nt l l a te v e i yb m sh a ss t a t i o n a 呵d i s t r i b u t i o n i nc h a p t e r3 ，1w i l lt 叫t os t u d y b m sf b m 柚o t l i e r 锄g l e ：u s i n gt j m es e r i e sm e t h o dt op r i c i n gt h ea u t o m o b i l e i n s u r 粕c e 1w i l lf i tt i l ec l a i mf k q u e n c yb yi n a r ( 1 ) m o d e l ，t 1 1 e np r e d i c tt h e “s ko f t h ei n s u r c rb yt h eo n e - o r d e rf o r e c a s to ft h em o d e l b a s eo nj t ，ic 朋c a i c u l a t et h e p r e m i u mo ft h ei n s u r e ls o m er e c o m m e n d a t i o n sa b o u tt l l e 叭t o m o b i l ei n s u r a n c e b u s i n e s sw i nb eg i v e ni nc h a p t e r4 a tl a s t ，i nc h a p t e r5 ，1w i i le x p o u n ds o m el s s u e s w h i c ha 他w o r t h yo f b e i n gf i l r t h e rr e s e a r c h e d t 1 1 ej n n o v a t i o n so ft h i sp a p e ra r cj nc h a p t e r2 卸dc h 印t e r3 p r o f c s s o rc h e n s h i x u eh a ss t u d j e dn oc i a j md i s c o u n ts y s t e mb ym a r k o vc h a i n ，1w i l lg oa h e a dt o m o d e l i n gt h eb o n u s m a l u ss y s t e ma n dm a k es t a b i l j t ya n a l y s i so fb m si nc h a p t c r2 s c h o l a r sa l w a y sa s s u m et | i a tt h ec l a i m 丹e q u c r i c yf 0 1 l o ws o m ed i s t r i b u t i o n ，s u c ha s p o i s s o n b u ti nc h a p t e r3o ft h i sp a p e bis t u d yt h ec l a - m 能q u e n c yb yt i m es e 抵 t h e o k e yw o r d ：a u t oi n s u r 锄c e ，b m s ，m a r k o vc h a i n ，t i m es e r i e s ，i n a r ( 1 ) m o d e l 6 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名： l 育陋燕 日期：翌! ：! 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库 进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文 在解密后适用本规定 学位论文作者鼢觯蕾导师签名辫天鼍乙 日期：塑! ：!魄坐丛 第一章汽车保险奖惩系统( b m s ) 介绍 华东师范大学硕士论文 第一章汽车保险奖惩系统( b m s ) 介绍 保险定价的一个基本原则就是公平性，指保险人对被保险人所承担的责任与 投保人所缴纳的保险费对等，即费率模式应能体现不同被保险人之间的风险差 异。汽车保险中投保人之间的风险差异主要表现为他们的索赔差异，如何合理有 效的利用每位投保人的以往索赔信息，并据此逐期更新保费，这是经验费率定价 法要解决的问题。在汽车保险实务中最常见的经验费率定价模式是奖惩系统 ( b o n u s m a l u ss y s t e m ，简称b m s ) 或无赔款优待系统( n oc l a i md j s c o u n ts y s t c m ， 简称n c d 系统) 。 在汽车保险中，世界上绝大多数的保险公司都实行了b m s ，即对上一年度 没有发生索赔的投保人，在下一年度续保时给予保费上的优待，而对上一年度发 生索赔的投保人则在下一年度提高其续期保费。这样，每个投保人每年所缴纳 的保费可能比初始保费低( 对优质风险的奖励) ，也可能比初始保费高( 对劣质 风险的惩罚) ，从而可以达到区分风险的目的。而n c d 制度则只是在无索赔时给 予一定的折扣奖励，所缴纳的保费要么低于初始保费，要么相等，不会高于初始 保费。 1 1b m s 的优点 实行b m s 无论是对保险人还是对被保险人都有很多好处，具体归纳为以下 三个方面： 一、有助于减少各费率组别中的风险非同质性现象 在厘定车险费率时，除了要考虑车辆型号、司机性别、年龄、婚姻状况 等显性因素外，还应该考虑到驾驶员的判断能力、反应敏捷性、超车欲望等 隐性因素。这些隐性因素往往难以判断和度量，但它却跟风险质量有着非常 直接的关系。所以，保险人在综合考虑了这些因素的基础上，以被保险人以 往的索赔记录作为调整费率的依据，这样可以降低存在于各费率组别中的风 险的不均匀性，使每个投保人缴纳的保费与他的实际风险相匹配，从而使保 费的收取更趋合理。 二、可避免小额赔款的发生 由于奖惩制度的存在，当被保险车辆发生事故时，保单持有人会面临是 第一章汽车保险奖惩系统( b m s ) 介绍 华东师范大学硕士论文 否索赔的问题。一般而言，保单持有人会把因索赔造成的多支付的保费与 发生的损失额进行比较，若前者大于后者，则为了得到下一年度续保时的保 费优惠，驾驶员往往会选择自己承担损失。这样一来可以降低保险公司的索 赔成本和管理费用。 三、有利于鼓励司机安全行车 在采用了b m s 制度的车险市场中驾驶人员会自觉、主动地提高安全驾 车的意识，因为只有在记录“清白”的基础上，保户才可能享受到更多的保 费优惠。而索赔次数越多，缴纳的保费就会越高。 1 2 外国车险费率的b m s 奖惩系统最早始于2 0 世纪5 0 年代中期的欧洲，后来慢慢被世界上大多数国 家所接受。作为一种经验费率定价法，它尤其适合汽车保险这种每年可续保更新 的业务。但奖惩系统在各国的使用情况却不尽相同。因为它会受到国家法律法规 的影响。所以各国在实践中逐步形成了符合自身国情的折扣组别和转移规则。如 英国的7 个等级制，瑞士实行2 2 个等级制，香港地区6 个等级制等。 奖惩系统的转移规则依赖于后验因素，最常用的后验因素是索赔次数，统计 结果表明。索赔次数是最能体现风险水平的因素。目前世界上几乎所有的奖惩系 统都将投保人的以往索赔次数作为后验因素。韩国的奖惩系统除了考虑索赔次数 外，还按索赔事故中是否有人身伤亡对投保人给予不同程度的惩罚。台湾的奖惩 系统则考虑免赔额因素，即同保险期间内第一次索赔的免赔额最低，以后索赔 的免赔额是递增的。 此外由于平均风险及风险的分布将会随时间发生变化，因此各国保险公司都 会适时对奖惩系统进行调整。在调整时考虑的因素通常包括索赔金额及索赔频率 的变化、系统内的公平、信息的完备性和对称性以及法律法规的变化等。比利时、 芬兰、德国、意大利和挪威等国的原系统在使用了大约二十年后作了较大的改动， 增加了奖惩等级，加大了惩罚力度。目前欧洲大多数国家奖惩系统的等级数已增 加到2 0 个以上。 例比利时的车险费率奖惩制度 比利时的车险费率奖惩制度中的保费水平自低到高共设置了2 1 级。保费水 平依次是5 4 、5 7 、6 0 、6 3 、6 6 、6 9 、7 3 、7 7 、引、8 5 、9 0 、9 5 、1 0 0 、1 0 5 、1 l l 、 第一章汽车保险奖惩系统( b m s ) 介绍华东师范大学硕士论文 1 1 7 、1 2 3 、1 3 0 、1 4 0 、1 6 0 和2 0 0 ，单位为欧元。并规定了新投保车进入时的初 始保费水平为旅游用车和公共汽车8 5 、商业用车1 0 0 。其转移规则为： 对无索赔记录的奖励： 一年无事故，下一年的保费水平降低一级，连续四年无索赔后，保费水 平若高于1 0 0 的，则变为1 0 0 。 对有索赔记录的惩罚： 一年内若发生索赔，首次索赔后保赞水平增加4 级，以后每增加一次索 赔，保费水平增加5 级。若增加后等级大于2 l 级的则自动变为2 1 级( 即保 费水平为2 0 0 ) 。 1 3 中国的b m s 现状 我国开展机动车辆保险的时间较晚，1 9 9 5 年中国人民保险公司机动车辆 保险条款规定施行n c d 制度。1 9 9 9 年中国保险监督委员会修订了上述条款并 颁布了新的n c d 制度，只有一个优惠级别l o 。即新进入的投保人缴纳全 额保费，一年未出险的投保人在续保时享受l o 的折扣优惠。加入w 1 1 0 后，为 了满足市场需求和与国际接轨，我国于2 0 0 3 年1 月1 日实行了机动车辆保险费 率自由化制度，各家保险公司在自行制定车险条款的同时，也都制定了经验估费 的n c d 系统。 表l ：费率自由化之后我国财产险公司n c d 系统比较 折扣最高最低是否考虑 序号公司名称 等级数折扣率折扣率索赔次数 l 中国人民财产保险公司 4 3 0 0 是 2 太平洋财产保险公司 9 3 5 一6 0 是 3 平安财产保险公司 73 0 0 否 4 中华联合保险公司 4 2 0 o 否 5 天安保险公司 63 0 o 否 6 永安财产保险公司 4 2 0 0 否 7 华安财产保险公司 4 2 0 o 否 8 华泰财产保险公司 7 3 0 一5 0 是 9 大众保险公司 6 3 0 o 是 资料来源：参考文献7 第一章汽车保险奖惩系统( b m s ) 介绍 华东师范大学硕士论文 费率自由化之后我国各保险公司的新的n c d 系统和以往1 0 的单一折扣等 级相比，有了多项改善： 一、实行了多级折扣 普遍达到了4 个折扣等级以上。其中以太平洋财产保险公司的折扣等级 数为最多，分9 个级别；华泰财产保险次之，分7 个折扣等级。 二、最高折扣率有所增加 最高折扣率都在2 0 以上。其中又以太平洋财险公司最高，其最高折扣 率达到了3 5 ；另外有好几个公司的最高折扣率都达到了3 0 。 三、出现了负折扣率 即加大了对劣质风险的投保人的惩罚力度。事实上就是引入了b m s 。 如太平洋财险公司对高风险的司机最多收取初始保费的1 6 倍，华泰财产保 险公司则最多收取1 5 倍初始保费，都突破了原有的n c d 系统只在初始水 平上减费而不加费的传统做法。 四、充分利用被保险车辆的历史索赔信息 表现在两个方面：第一，不再单纯考虑被保险车辆上一年有无赔款记录， 而是根据其索赔次数和满期赔付率确定折扣优待比率，如中国人保、太平洋、 华泰和大众等保险公司均按索赔次数不同给予不同的折扣等级，其中华泰和 太平洋财产保险公司更是以满期赔付率作为调整折扣系数的依据。第二，不 再只是根据上一个保险年度的赔款记录确定下个续保年度是否享受无赔 款优待，而是充分考虑以前各保险年度的赔款记录。如平安保险公司，考虑 到过去3 年内的赔款情况，对过去3 年内2 年无赔款的被保险车辆实行2 0 的折扣比率。 尽管我国的新系统较以前有了大幅改善，但和国外的b m s 相比，还是有很 大差距： 一、保费等级数仍然太少 目前最多的只有9 个级别，而国外的奖惩系统的等级数一般都有2 0 个 以上。划分的等级数直接关系到b m s 在减少风险非同质性中的作用，等级 数越多，b m s 制度就越有效。 二、奖惩力度不够 虽然已经实施了奖惩制度，但由于各等级之间的差异不够大，故而还不 足以发挥b m s 对驾驶员的约束作用。 三、对新加入的投保人收取最高等级的保费 除太平洋和华泰财产保险公司以外，其他公司都是对新进入的投保人 第一章汽车保险奖惩系统( b m s ) 介绍华东师范大学硕士论文 收取最高等级的保费，意味着对新投保人的隐性惩罚。而国外则只要求新 投保人按中间段的某一保费水平缴费，其所缴的保费远远低于最高风险投 保人所缴的保费。 四、行业内没有建立起汽车保险投保人资料的信息平台 投保人续保时如果选择另一家保险公司，则该公司一般没有关于此客 户以往索赔记录的资料，要对他的风险质量进行评估，实施奖惩就很困难。 所以，如果某个投保人本来风险质量很差，一旦他换一家保险公司投保， 就可以逃避b m s 对他的惩罚。这使得b m s 在我国的运作效力欠佳。而在 国外，相应的信息就很完善，不论投保人选择哪一家保险公司，该公司都 可以查到他的索赔记录，为有效地实施b m s 创造了良好的条件。 1 4b m s 的研究进展 国内外有很多学者都在研究b m s 。1 9 8 5 年美国学者让勒梅尔的英文版汽 车保险：精算模型( a u t o m o b i l ei n s u 啪c e ：a c t i l 州a lm o d e l ) 一书对当时世界各 国的b m s 作了详细的介绍，并从如何建立模型、评价模型和设计最优奖惩系统 等方面作了具体的讲述。是关于b m s 的一本系统和全面的著作。随后各国的专 家学者们也陆续发表了很多关于车险奖惩系统的研究成果。如w a l h i n ，j f 和p a r i s ， j ( 1 9 9 9 ) 讨论的是将奖惩系统和混合泊松分布相结合，d o r o nk l i g e r 和b e n n y l e v 赫o n 讨论了n c d 系统的定价问题；2 0 0 2 是对奖惩系统作敏感性分析， 等等。 在中国，从事奖惩系统研究的主要有天津财经大学的孟生旺教授、中国人民 大学的袁卫教授等。1 9 9 7 年袁卫教授在宾西法尼亚大学沃顿商学院访问期间将 勒梅尔的 一书译成了中文，并发表了多篇 相关论文。2 0 0 3 年，中央财经大学的郑苏晋和中国人民大学的成世学教授从数 学角度对n c d 系统进行建模并作了稳态分析。2 0 0 4 年盂生旺教授的著作保险 定价：经验估费系统研究则具体讨论了保险公司如何根据被保险人的索赔记录 调整续期保费，并重点对最优b m s 进行了较为全面的研究，。 日前，国务院第1 2 7 次常务会议上通过了机动车交通事故责任强制保险条 例。该条例规定在中国境内道路上行驶的机动车的所有人或管理人，必须按规 定投保机动车交通事故责任强制保险。条例的第二章第八条还提到： “被保险机动车没有发生道路交通安全违法行为和道路交通事故的，保险公 第一章汽车保险奖惩系统( b m s ) 介绍华东师范大学硕士论文 司应当在下一年度降低其保险费率。在此后的年度内，被保险机动车仍然没有发 生道路交通安全违法行为和道路交通事故的，保险公司应当继续降低其保险费 率，直至最低标准。被保险机动车发生道路交通安全违法行为或者道路交通事故 的，保险公司应当在下一年度提高其保险费率。多次发生道路交通安全违法行为、 道路交通事故，或者发生重大道路交通事故的，保险公司应当加大提高其保险费 率的幅度。在道路交通事故中被保险人没有过错的，不提高其保险费率。降低或 者提高保险费率的标准，由保监会会同国务院公安部门制定。” ( 资料来源；中国法制信息网h t 【p ： n n v c h i n a i a g o c n ) 这一条款事实上就是对奖惩系统的阐述，而其中提到的“降低或提高保险费 率的标准”正是b m s 的研究者们关注的问题。这一条例的实施可能又会在国内 掀起一股研究汽车保险b m s 的热潮。 第二章b m s 的数学理论 华东师范大学硕士论文 第二章b m s 的数学理论 2 1b m s 建模 b m s 是广泛应用于世界各国保险公司的一种经验估费系统，主要是根据驾 驶者的历史索赔记录来确定其续期保费。 一个完整的b m s 必须包括三个要素：保费等级、起始组别和转移规则。用 数学的角度来看b m s 就会发现，它事实上就是一个离散时间离散状态的马尔可 夫链，不同的保费等级就是状态空间，而转移规则可用相应的转移概率矩阵来描 述。 n c d 系统事实上是b m s 的特例，它对被保险人只有奖励而没有惩罚。有学 者曾经研究过n c d 系统的数学建模，得出了任一n c d 系统都存在平稳分布的 结论。本章中笔者将在前人研究的基础上对b m s 进行建模，并对其作稳定性分 析，进一步得出任一b m s 都存在平稳分布的结论。 下面就来具体讨论b m s 的建模。 一、保费等级 在b m s 中，被保险人缴纳的保费可以用初始保费的折扣来表示。该折扣可 以是正值( 享受优待，缴纳较低保费) ，也可以是负值( 缴纳较高的保费) 。例如： 初始保费为l o o ，则保费为8 0 的续保者就处在折扣水平为2 0 的折扣组中，而 保费为1 2 0 的续保者则处在折扣水平为一2 0 折扣组中。 假设共有”个折扣组，分别用l ，2 ，”表示。又记第f 个折扣组的折 扣水平为l ，假定它们可按递增次序排列如下： r ， ， l ，其中 某个= o 。现设初始保费为n ，则位于折扣组f 的投保者在相应的保险年度缴纳 ( 1 一) 的保费。当i 为正值时，表明投保人处在低风险组中，免交口的保费以 示奖励；当t 为负值时，表明投保人处在高风险组中，缴纳比初始保费更多的保 费以示惩罚；t = o 表示不享受优惠，也不给予惩罚，缴纳全额的初始保费。 显然，该体系中位于折扣组”的投保人可享受最高的优惠，即在相应的保险 年度可免缴口的保费，以下称折扣组”为最高折扣组：位于折扣组1 的投保人 则要受到最严历的惩罚，多缴纳 口的保费，称折扣组1 为最低折扣组。 第二章b m s 的数学理论华东师范大学硕士论文 二、索赔发生的概率分布 在保险实务中总是约定，每相隔一固定时间间隔r ，保险人向投保人收取保 费。不失一般性，本文以一年为时间间隔，这也是大多数保险实务中采用的标准。 以下恒以n ( 七= l ，2 ，) 表示投保人在一年中恰发生t 次索赔的概率，琢表 示投保人在一年中至少发生七次索赔的概率： i l 既+ = 只= 1 一b ( 2 1 ) _ j = 0 全文假定0 ，) 均可由特定的折扣组转 移法则和索赔频数分布 n ：t o ) 确定。此外，由于o 岛 l ，从最高折 扣组出发，总有可能( 即以正概率) 经有限步转移后返至最低折扣组。 2 2b m s 的平稳分布 定理l 对于任一由b m s 确定的马尔可夫链 五：t 1 ) 来说，均存在唯一的平 稳分布万= ( 雹，石2 ，万。) ，且有 l i l i l p r ( 以= f ) = 万，f = 1 ，2 ，“，h ( 2 1 5 ) 证如前所述，由该马尔可夫链的一步转移矩阵q 所具有的特殊结构( 见( 2 5 ) 式) ，总存在有限个折扣组：o o 为一常数， e ( s ，s ，) = o ( j f ) 白噪声序列是一个宽平稳的时间序列。也可以说是最简单的平稳时间序 列。 2 、自回归模型a r ( 力 x ，一瑾1 x f _ 一联2 xr _ 2 _ 一a ，x 卜p = sr ， ( 3 1 ) 其中弛) 阡w ( o ，盯2 ) 为白噪声序列，且对任意j f ，e ( 置s ，) = 0 。 为保证其平稳，颁使得该a r 模型的自回归系数方程口( “) = 0 的根都 落在单位圆外，或等价的，使得特征方程 舻一a 1 舻一口2 一2 一- 一d 口= 0 的根都落在单位圆内。当p 较小时，a r 妇) 模型的平稳域较易求得，如a r ( 1 ) 模型的平稳域为矗。：k l l ，口。j ) ，但当矿2 时，直接求a r p ) 模型的平 第三章用时间序，u 方法研究b m s华东师范大学硕士论文 稳域就比较困难了，通常可用计算机辅助验证或用j u r y 判别准则( 参考文献 3 ) 来判断。 平稳a r 模型的偏相关系数是p 步截尾的，这一性质可用来判断某组 数据是否符合a r 模型。而平稳a r 模型的自相关函数和自协方差函数 阻指数阶趋于零，这一性质称为拖尾。 3 、滑动平均模型m a ( 口) x ，= 一崩s f - l 一压日一2 一乓t 一口， f e r ( 3 2 ) 其中e ) 聊( 0 ，盯2 ) 为白噪声序列，a ，屐，尾为g 个常数。 m a ( 口) 模型总是平稳的。其自相关函数和自协方差函数在g 步后截尾， 而其偏相关函数拖尾。 4 、自回归滑动平均混合模型a r m a 白，曲 工一啊k t _ k p = 一层t 一一岛_ 叮， f e 丁( 3 3 ) 其中纯) 聊、r ( 0 ，口2 ) 为白噪声序列，且对任意s q 由( 3 4 ) 式知对于一个m a ( g ) 时间序列，最多只能做口步预报，q 步之后的 预报均为零。 第三章用时间序列方法研究b m s华东师范大学硕士论文 a r 序列( 3 1 ) 式的一步线性最小方差预报为 x ( 1 ) = 口l x 。+ + 口，x 川一p 女步线性最小方差预报为 爿j ( 七) = a l 爿j ( 七一1 ) + - _ + 口。冀- ( 七一p ) 七l 其中碧。( 女一1 ) 、只( t p ) 等可依次由一步预报迭代得到。 3 2 用i n a r ( 1 ) 模型研究索赔次数 在汽车保险中，索赔次数显然为一个整值序列，而如前所述，笔者认为用时 间序列模型，特别是用自回归模型来研究索赔次数的分布是非常合适的。故而， 要找到一个合适的整值自回归时间序列模型来描述投保人的索赔次数分布规律。 事实上只需确定该自回归模型的阶数即可。显然，由于驾驶员的年龄、驾龄、判 断能力、反应敏捷性、超车欲望等因素在相邻的两年里差别不会太大，故而可以 认为该驾驶员在未来一年中的索赔次数与他在前一年度的索赔记录是密切相关 的。而随着时间的增加，驾驶员的经验会丰富很多，可以想象，任何个有经验 的驾驶员的风险质量与他还是新司机时的风险质量相差甚远。因此，我们所选的 模型阶数不宣很大。故而考虑取整值的一阶自回归时间序列模型l n a r ( 1 ) 模 型。 一、模型形式( 用算子来表示) 先看一般的线性自回归过程，即a r ( 1 ) 模型： r = p r 一。+ ，占，为一列相互独立同分布的变量。 若要求平稳，则其中参数p 在( 一1 ，1 ) 问取值。为得到整数值的f ，需加上 如下的约束条件： ( 1 ) 取整数值， ( 2 ) p = 一1 ，0 或l 。 这样的约束条件对该模型有很多限制，不利于用一般的时间序列分析方法来 对它进行分析，因此我们换一种定义方式，利用一个线性算子来定义该取整数值 的时间序列模型。 首先引入算子“。”： 设y 为一个非负整数值随机变量，对任意a 【o ，1 ，算予“。”定义为 第三章用时间序列方法研究b m s华东师范大学硕士论文 口。y = x 其中x 为一列独立同分布的随机变量，且与y 相互独立，且有 p r ( 置= 1 ) = l p “z = 0 ) = 瑾 由该定义我们有0 。1 ，= 0 ，l 。1 ，= r ，e 。n = a e ( y ) ，且对任意 卢仨【o ，l 】，有。( 口。y ) = ( 肛) 。y rr 事实上， o 。r = 置= o = o ， ry 1 。】，= 五= l = 】， ，2 li l 厂y、 联舭r ) 姐【善置j 姐( y 皿2 删y ) 下面利用该算子来定义i n a r ( 1 ) 模型如下： r = 口。r l + s ， ( 3 5 ) 其中口e 【0 ，l 】，为一列取非负整数值的不相关的随机变量，均值为， 方差为盯2 。 模型( 3 5 ) 事实上包含了两个方面的内容，一是考虑了自回归的影响，二 是允许误差限服从任何形式的分布。 显然，在( 3 5 ) 式中，如果a = o ，s ，服从参数为 的泊松分布，则 f ) 就 是一列独立的泊松变量。也就是说，我们在拟合个体索赔次数时通常用到的泊松 模型事实上可看成是狲a r ( 1 ) 模型的特例。 该模型也可用 。) 序列表示如下： r = a 。一， ( 3 6 ) 事实上， z = 口。r i + = 口。( 口。r 一2 + 岛一1 ) + = q + 口o 一1 + 口。r 一2 = - = 占l + 口。占卜1 + 口2 。s - 2 + = 口。一， j = o 第三章用时间序列方法研究b m s华东师范大学硕士论文 另外，还有一些在计算推导时常用的式子，如 一l e = 口6 。r 一+ 口。一， ( 3 7 ) 、( 3 8 ) 式可由( 3 5 ) 式依次迭代得到 z = + 口。r i = + 口。_ 1 + 口2 。r 一2 = 口。q 。+ 口。k 二、模型的数字特征 我们从两个角度来看i n a r ( 1 ) 模型的均值与方差。 l 、e 瓴) = 葩 一，) + ， 证 砌r ) = 口2 陆一) + 口( 1 一口) 砌r 一。) + 盯2 其中置b r l ，口j ( 3 7 ) ( 3 8 ) e ( r ) = e ( 善置 + e b ) = e 化，净( z ) + = 施1 ) + ，c ，m 陆( r ) = 踟r ( 莩墨 + 砌r ( ) = e ( 1 一。) 砌r ( 置) + ( e ( 置) ) 2 踟r ( k 。) + 盯2 = 口( 1 一a ) e ( r 一1 ) + 口2 k 矿( r 1 ) + 盯2 2 、e ( _ ) = 口e ( y 0 ) + d 卜j 比矿( ，】；j = 盯( 1 一口7 ) e ( kj + 口2 阮吖kj 十盯2 盯2 j = 0 证由( 3 7 ) 式， 2 ( 3 1 0 ) 一日 。 口 “ + k o 盯 = r 岫 o 口+ 一 s o 盯 m | | | + 五 毡厶 = 占+ l 0 口 = l 第三章甩时间序列方法研究b m s华东师范大学硕士论文 r = 。，+ 。 刚) ：4 芝口， 、j - o 、，、 卜1 。一，i + e b 。k ) = 口+ 口e ( k ) ，j - o 再由r = 口。z l + 及( 3 1 0 ) 式 p 打0 。) = 哳 ) 一跆r ) = 口( 1 一口) e 。) + 口2 p 铷 。) ， 故有 陆化) = 胁( 萎口。钆) + 哳k 陆化) = 胁l 口。一，l + 哳b i t o， 由( 3 8 ) 式 卜l = 盯2 盯2 。+ 口( 1 一口。) e ( k ) + 口2 攻矿( k ) r = 口6 。r 一。+ 口 故i 阶协方差 = c 0 v 。r ) = 。v f r 。 = c o v 化 口。i 。) + c o 、，( r 。，善s 。 = 口哳一 ) + o = 口 由平稳性条件及( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 式，有 e ( r ，) = 以以) + 芦je 瓴) = l l 一口 ( 3 1 1 ) 哳( 驴洲一啪哳( 阱盯2 ： m 驴警手 所以， 口( y ) 竿手 l， 叫 + e o i 盯 第三章用时间序列方法研究b m s华东师范大学硕士论文 三、模型的参数估计 和一般的时间序列模型样，估计i n a r ( 1 ) 模型参数的方法有很多如矩估 计法、条件最小二乘法、极大似然估计法等。我们只考虑最简单的方法矩估 计法。 这里先假设s ，服从参数为五的泊松分布，然后分别估计参数口和参数五。 事实上，由( 3 1 1 ) 式，用样本自协方差c 。代替其中的n ，为简单起见， 取女= l ，就可得到参数口的估计值： 。y t 一，) y 。一，) 西= 导= 旦f 一 l 。 r y ，一歹j 2 再对( 3 5 ) 式两边取数学期望，有 占0 ，) = 葩一) + e g ，) 计算出矗之后，整理上式即可得到参数丑的估计值 互= ( 1 一西涉 如果s ，不是服从参数为兄的泊松分布，仍然可由上式估计s ，的数学期望 丘= ( 1 一矗修 四、模型的预报 为了在汽车保险奖惩系统的实际中应用该模型，必须要能够通过以往的索赔 次数记录预测出未来的索赔次数，即模型的预报应该能得到具体可行的公式。在 上述i n a r ( 1 ) 模型中我们可以很容易得到未来索赔次数的 步预报： 由( 3 8 ) 式， 一i ，】；= 口6 。r 一 + 口。占。， 故 z r 似1 r 一。) = e ( c r h 。r 一。+ 篓c r 。s ，一，i r 一。 = = e ( 垡 。r 一i r 。) - e ( 篓c r 。e ，一，l r 一。 第三章用时间序列方法研究b m s华东师范大学硕士论文 = 口一e 一+ 罢二竺二 ( 3 1 2 ) 事实卜在汽车保险中，保单持有人在下年度续保时，其历史索赔记录是 已知的，只须估计出他在下一年度的索赔次数就行了，故而只会用到上述模型的 一步预报。在( 3 1 2 ) 式中令 = l ，即可得到一步预报公式如下： e i r 一。) = 口r 一。+ 预测出保单持有人下年度的索赔次数后，就可以计算出他应该缴纳的续期 保费了。 设索赔次数预测值为y ，平均索赔额为口( 本文不考虑索赔额的分布情况， 只简单的取一个平均索赔额) ，则该投保人在下一年里应缴纳的保费，为： p = 【1 + 粥 其中粥是纯保费，即风险保费，口是附加费用比例。附加费用是保险公司 的经营管理等支出，包括职场租金、员工薪酬、税金、监管费等等。一般这些附 加费用是按照保费的一定比例( 这里记为口) 来收取的。 第四章对车险经营的几点建议华东师范大学硕士论文 第四章对车险经营的几点建议 研究生期间，笔者曾分别在北京和深圳两家财险公司实习，对内地市场和深 圳市场的车险状况有一些了解。现在的车险市场竞争相当激烈，尤其是在深圳， 城市不大，车流量却很大，保险市场主体也有十多家，为了做成一笔业务，往往 是保费一降再降，一折再折。因此单纯的从理论上来研究车险是不够的，研究出 的结果在现实中很难推行。如何解决理论与实践之间的矛盾是非常值得有关人员 研究的问题。车险市场已经是微利市场了，许多新开业的保险公司为了进入市场， 争夺市场份额，不惜给出很高的手续费，在这么高的费用情况下，公司已经无利 润可言。针对车险市场的种种违规操作，日前保监会下文规范车险市场，同业公 会也据此形成了相应的行业自律方案，规定了车险的最低折扣标准和手续费的最 高给付标准，并再次强调禁止非正常批单、虚列应收账歙、直接在保费收入中坐 扣、采取撕单埋单或鸳鸯保单、账外账或制造假赔案等违规方式支付手续费。从 该规定来看，有助于缓解目前车险市场亏损、混乱的局面，有助于营造一个规范 的市场。在市场规范、有序经营的前提下，学术上的研究才有付诸实际的可能， 也才有意义。 对车险的经营提出几点建议： 一、适当提高费率水平 前面已经说到，目前的车险市场处于全行业亏损状态，但车险又是财产 保险公司经营的主要险种，目前的费率水平对汽车保险业的发展是不利的。 其费率水平低并不是指公司厘定的基准费率水平低，而是在实际应用中，打 折之后的费率水平太低。 二、控制赔付率的上涨趋势 随着我国机车数量越来越大，汽车保险的经营风险也越来越火，保险公 司车险的满期赔付率节节攀高，特别是在深圳市场。有的公司车险赔付率在 8 0 以上，其中有大赔案的情况，也有一些骗赔的情况发生。因此，建立科 学完善的核保体系、对查勘定损严格把关和加强理赔管理是很重要的。 三、降低经营成本 可以从以下三个方面着手：一是控制手续费的比例。2 0 0 5 年深圳市场 车险的手续费相当之高，4 0 是常见的，更有些保险公司开出了5 0 以上的 手续费标准来抢夺市场。二是实行免赔额或免赔率。虽然有各家保险公司的 汽车保险都有实施免赔制度，但大多数保单在投保时都同时购买了不计免赔 第四章对车险经营的几点建议 华东师范大学硕：t 论文 特约保险。事实上，实行一定的免赔额对保险公司降低经营成本是非常有效 的，往往一些小赔案的实际赔款远小于保险公司在理赔各个环节的支出。三 是优化业务结构。通过对公司各种业务的分析找到盈利和非盈利的业务，调 整业务结构来控制经营成本。 四、建立车险投保人索赔记录的信息平台 全面了解投保人以往的索赔记录情况将有助于对不同风险质量的投保 人实施奖惩，在续保时给予优惠或者惩罚，这是有效实施b m s 的前提。如 果没有这个平台，投保人在续保是只需选择另一家保险公司，就可以逃避 b m s 对他的惩罚，如此一来，b m s 的存在就失去了意义。 五、提高服务水平。 车险的价格战如火如荼，很多公司已经无法跳出这个思维惯性，认为价 格才是占领市场的唯一武器，无暇顾及客户服务，而一个保险公司在公众心 目中的形象却是通过服务来展现的，所以保险公司应该形成自己独具特色、 内涵丰富的公司服务文化，为客户提供高质量的专业化服务。 六、加强中介市场的管理 这是特别针对深圳市场提出的建议。目前全国没有任何一座城市像深圳 这样依赖保险中介。中介的业务往往占到公司业务的一大半。但对中介公司 的监管却还未达到与其发展规模相匹配的程度。中介公司的业务会绘哪一家 保险公司，往往取决于保险公司的政策，即手续费的给付标准。因此，中介 公司也是引发价格战的原因之。还有的中介公司操作不规范，存在收了客 户的钱却不交给保险公司的情况，而客户一旦出险，仍要找保险公司来赔偿， 这又加大了保险公司的经营风险。所以对中介市场的管理对深圳的保险业来 讲是至关重要的。 第五章结语 华东师范大学硕士论文 第五章结语 本文研究汽车保险的奖惩系统，在两个方面有所创新：一是将其他学者对 n c d 系统的研究拓展到b m s 中，用马尔可夫链对b m s 进行建模并得出了任 一b m s 都存在平稳分布的结论：二是将时间序列方法引入到b m s 的研究中， 用i n a r ( 1 ) 模型来对汽车保险的索赔次数建模，从而得到投保人须缴纳的续期保 费。 在本文的基础上，有待进一步研究的问题还有： 一、利用马尔可夫链来表示b m s 时，针对向高折扣组转移的规则，笔者只 考虑了上一个年度的索赔情况，即在上年度无索赔发生时，或递增一个折扣组 或停留在最高折扣组，而没有充分考虑以往各年度的索赔信息。事实上，还有一 些特殊的优待政策，比如连续三年无索赔发生即降至最高折扣组。这类特殊的优 惠政策在马尔可夫链的步转移矩阵中如何体现有待进一步研究。同时，在这种 特殊优待政策下b m s 是否仍存在平稳分布也是有待解决的问题。 二、笔者本来是想利用一些真实数据来进行分析从而得到合适的模型，但由 于目前市场数据量的缺乏和可信度问题，故而难以得出结果。随着数据的不断积 累和市场的不断完善，可以考虑通过真实的数据分析来得出模型，这样的模型