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一类微生物之间竞争模型解的性质 郑秋红 摘要恒化器( c h e m o s t a t ) 模型是微生物生态学研究中的一个重要模型它 是一个简化了的湖泊模型，用来模拟海洋或湖泊、废物处理和商业生产中的发酵 过程它在遗传选择的产品生产中也有广泛应用，例如药品的生产这种选择是 通过以质粒的形式引入一段d n a 到细胞来实现的，然而这种外源质粒在生产过 程中可能要失去，r y d e rd i b i a s i o 曾推导出一个质粒载体的微生物与质粒自由 的微生物( p l a s m i d b e a r i n ga n dp l a s m i d f r e eo r g a n i s m s ) 之间竞争的c h e m o s t a t 模 型，和一般的恒化器模型相比，这个模型多一个生产过程中失去质粒的概率参数 q ( 0 0 ， v = d a y + b y ，2 ( s ) + q o 札 ( s ) ，x q ，t 0 ， 筹+ r s = s o ，爱+ r “= 0 ，舞+ r 口= 0 ，x a q ，t 0 ， ( 1 ) s ( z ，0 ) = s o ( z ) 0 ，0 ， 茹q ， u ( 。，0 ) = u o ( x ) 0 ，0 ， z q ， u ( ，0 ) = v o ( x ) 0 ，0 ， 茁q 本文从四个方面讨论上述模型： 第一章讨论了( 1 ) 的平衡态系统正解的存在性利用极值原理和上下解方法 得到正解存在的必要条件和先验估计，然后运用度理论和锥映射不动点指数方 法，结合分歧理论得到了正解存在的几个充分条件，并证明了在半平凡解( 0 ，口) 处出现分歧，分歧点为( 拦，0 ，口) 第二章在第一章的基础上得到了以。为分歧参数( 1 ) 的平衡态系统在( 拦，0 ，日) 附近存在唯一正解分支，然后运用线性算子的特征值理论，扰动理论和分歧解的 稳定性理论讨论了平凡解、半平凡解和上述正解分支的稳定性情况 第三章讨论了( 1 ) 的含时间t 的解的渐近行为首先得到单物种 的持续生 存和消亡的充分条件，然后利用抛物型方程的比较原理，正则化理论和l y a p u n o v 函数得到( 1 ) 的解的渐近行为 第四章以( 1 ) 的一维情况及其平衡态方程为例，首先给出了判断。一邕，o 一 兰，b 一# l d 符号的方法，然后运用m a t l a b 中的p d e p e 函数和b v p 4 c 函数对模型 进行数值模拟，对前面分析的理论结果进行了补充和验证 关键词；恒化器不动点指数分歧稳定渐近行为 p r o p e r t i e so fs o l u t i o n st oac o m p e t i t i o nm o d e l b e t w e e nm i c r o o r g a n i s m s z h e n gq i u h o n g a b s t r a c tt h ec h e m o s t a ti sai m p o r t a n tm o d e li nm i c r o b i a le c o l o g y i ti su s e d a sa ne c o l o g i c a lm o d e lo fas i m p l el a k e ，a sam o d e lo fw a s t e - t r e a t m e n t ，a n da s am o d e lf o rc o m m e r c i a lp r o d u c t i o no ff e r m e n t a t i o np r o c e s s e s t h ec h e m o s t a ti s a l s ou s e da sam o d e lf o rt h em a n u f a c t u r eo fp r o d u c t sb yu s i n gg e n e t i c a l l ya l t e r e d o r g a n i s m s t h ea l t e r a t i o ni sa c c o m p l i s h e db yt h ei n t r o d u c t i o no fd n ai n t ot h ec e l l i nt h ef o r mo fap l a s m i d u n f o r t u n a t e l y , t h ep l a s m i dc a nb el o s ti nt h er e p r o d u c t i v e p r o c e s s r y d e rd i b i a s i oo n c ed e d u c e dam o d e lo fp l a s m i d b e a r i n ga n dp l a s m i d f r e ec o m p e t i t i o ni nc h e m o s t a t c o m p a r i n gw i t ht h ec o m m o nc h e m o s t a tm o d e l ，t h i s m o d e lh a sap a r a m e t e rq ( 0 0 ， 仇= d a y + b ，2 ( s ) + q a u f l ( s ) ， 茁q ，t 0 ， 筹+ r s = s o ，舞+ r 2 1 , = 0 ，舞+ r = 0 ，z a q ，t 0 ， s ( x ，0 ) = s i ( z ) 0 ，0 ， 茹q ， 札0 ，0 ) = u o ( x ) 0 ，0 ， z q ， 口( z ，0 ) = v o ( x ) 0 ，0 ，x q ( 1 ) t h ep a p e ri sm a d eo ff o u rs e c t i o n st oi n v e s t i g a t ea b o v e m e n t i o n e dm o d e l i nc h a p t e r1 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n sf o rs y s t e m ( 1 ) i s i n v e s t i g a t e d t h en e c e s s a r yc o n d i t i o na n dt h ep r i o re s t i m a t ef o rp o s i t i v es o l u t i o n s o fs t e a d y s t a t es y s t e ma r eo b t a i n e db yt h em a x i m u mp r i n c i p l ea n dt h em o n o t o n e i i i m e t h o d ，t h e ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ep o s i t i v es o l u t i o n so fs t e a d y s t a t es y s t e m a r ed e t e r m i n e db yu s i n gt h ed e g r e et h e o r y , t h ei n d e xo ff i x e dp o i n ta n db i f u r c a t i o n t h e o r y i ti sa l s os h o w nt h a tt h es y s t e mg e n e r a t e st h eb i f u r c a t i o nf r o mt h es e m i - t r i v i a ls o l u t i o n ( 0 ，0 ) a tt h ep a r a m e t e ra = 函a d i nc h a p t e r2 ，b a s i n go nt h ec h a p t e r1 , w ek n o wt h a tt h ep o s i t i v es o l u t i o n si n t h en e i g h b o r h o o do f ( 拦，0 ，0 ) e x i s tw i t ht h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e rn t h e nt h e s t a b i l i t 、，o ft h et r i v i a is o l u t i o n ，t h es e m i t r i v i a ls o l u t i o n sa n dt h ea b o v e - m e n t i o n e d p o s i t i v es o l u t i o ni se s t a b l i s h e db yt h ep e r t u r b a t i o nt h e o r e m ，t h ee i g e n v a l u et h e o r e m f o rl i n e a ro p e r a t o r sa n dt h es t a b i l i t yt h e o r e mf o rb i f u r c a t i o ns o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e r w h i c has i n g l eo r g a n i s mw i l l b es u r v i v a lo re x t i n c ti nt h e 百y e ne n v i r o n m e n t m o r e o v e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o ft h es o l u t i o n so f ( 1 ) i sp r o v e db ym e a n so ft h ec o m p a r i s o np r i n c i p l e ，r e g u l a r i t y t h e o r e ma n dl y a p u n o vf u n c t i o n i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h eo n e d i m e n s i o ne q u a t i o n so f ( 1 ) a n di t ss t e a d y - s t a t e e q u a t i o n s f i r s t ，t h ew a yt oj u d g et h es i g no f 口一等，口一等，b 一# l di sg i v e n t h e nw et a k es o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt oc o m p l e m e n t ，a n di l l u s t r a t et h ef o r e g o i n g i d e a s k e y w o r d s c h e m o s t a tf i x e dp o i n ti n d e xb i f u r c a t i o n s t a b i f i t ya s y m p t o t i c b e l l a v i o r i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名数趋丛吼型垒塑 i 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名 日期塑! 毒乏氏 前言 恒化器( c h e m o s t a t ) 模型是微生物生态学研究中的一个重要模型，它是个简 化了的湖泊模型，用来模拟海洋或湖泊、废物处理和在商业生产中的发酵过程， 它广泛应用于生态系统尤其是水生生态系统的管理、预测和环境污染的控制实 践证明，它的参数容易被测定，有关实验是合理的，而数学上的结果也容易被验 证恒化器模型的类型有常微分方程，偏微分方程和时滞微分方程 恒化器是个由三个相连的容器组成的用于连续培养微生物的实验装置，第一 个容器装有微生物生长的营养成分，其中一种占主要作用的称为养料，是有限的 且浓度保持常数，以常数率抽到第二个被称作培养器的容器中，同时以同样速率 将培养器中的养料和微生物的混合物抽到第三个容器中以保持其容量不变，假设 培养器中的物质是被均匀搅拌的，且所有影响微生物生长的参数，如温度等，都 保持常数这样恒化器制成的产品就在第三个容器中 令s ( t ) 表示在时刻t 营养物的浓度，札( ) ，u ( t ) 表示在时刻t 两竞争微生物的 浓度，则有微分方程组 肚( s 删。一篇蓑一和m 2 s 磊v 止让( 蔫- d ) ， 儿”( 蒜- d ) ( 0 1 ) 相应的初始条件为s ( o ) 0 ，u ( 0 ) 0 ，口( o ) 0 其中s ( o ) 代表养料的初始浓度， d 代表输出率r t 1 ，m 2 是最大增长率，0 1 ，a 2 是半饱和常数，m l ，口i ，i = 1 ，2 均 可通过实验测定m ，( i = 1 ，2 ) 是生长常数，表示从养料到微生物的转化 这个模型的详细介绍请参阅文献 1 ，然而现实中的情况和这些文献中的结果 有很大不同生物学家和数学家通过考虑营养物的浓度或输出率和时间有关、尝 试更合适的功能反应函数、引入扩散顼( 即去掉了均匀搅拌的假设) 来修改这个模 型，其中带扩散项的未搅拌的c h e m o s t a t 模型已得到广泛研究，这个模型考虑了 分子扩散的影响作用，养料和微生物的浓度与时间和空间均有关系对应的数学 模型如下 s t = d a s a u a ( s ) h ，2 ( s ) ， u = d a u + n u f l ( s ) ， 仇= d a y + 的，2 ( s ) ， 筹+ r s = s o ，舞+ r u = 0 ，器+ r = 0 ， s ( o ，z ) = s o ( z ) 0 ，0 ， 钍( o ，z ) = u o ( x ) 20 ，0 ， v ( o ，z ) = v o ( x ) 0 ，0 ， q ，t o ， 茁q ，t 0 ， 石n ，t 0 ， 茁a q ，t 0 ，( 0 2 ) 口q z n 茁q 文献1 2 1 6 针对未搅拌的c h e m o s t a t 模型的不同方面，利用了上下解方法、 分歧理论、度理论和数值模拟等方法，对方程平衡态正解的存在性、解的渐近行 为、参数对解的影响等进行了研究文献【2 4 】和 1 0 ，1 1 】分别针对多营养物的未 搅拌的c h e m o s t a t 模型和n 个物种的未搅拌的c h e m o s t a t 模型解的性质进行了研 究 恒化器模型在遗传选择的产品生产中也有广泛应用，例如药品的生产这种 选择是通过以质粒的形式引入一段d n a 到细胞来实现的，然而这种外源质粒在 生产过程中可能要失去，r y d e rd i b i a s i o 1 7 1 曾推导出这样的一个质粒载体的微 生物与质粒自由的微生物( p l a s m i d - b e a r i n ga n dp l a s m i d - f r e eo r g a n i s m s ) 之间相互 竞争的c h e m o s t a t 模型 s = ( s o s ) d x l o 1 ( s ) 一x 2 盯2 ( s ) ， z ：g ： l ： z t 2 i ( ( 厶f l ( ( s s ) ) ( 一1 - - ) q ) + - - d ) , dq x l f l ( s ) ， ( 。3 ) z ：= z 2 ( 厶( s ) 一) + ， 、 s ( o ) 20 ，z j o ) o ( i = 1 ，2 ) ，z 0 ， 这里s ( t ) 表示在时间t 时的营养浓度z l ( t ) 是质粒载体的微生物在时刻t 时的浓度，z 2 ( t ) 是质粒自由的微生物在t 时的浓度，s 的消耗率和矗的生长率 分别是盯l ，观， 和，2 ，在转化过程中失去质粒的概率为q ，因而0 0 ， 茹q ，t 0 ， x 锄，t 0 ，( 0 4 ) o q z q q 其中q 是一个r n 中带有光滑边界a q 的有界区域， ( s ) = 熹，最大生长率 a 0 ，b 0 且a 0 ，且在边界上r ，s o 0 ，0 本文在第一、二、三章分别研究了此模型的平衡态系统非负解的存在性、稳 定性及含时间t 的解的渐近行为，第一章首先利用极值原理和上下解方法得到正 解存在的必要条件和先验估计，然后运用度理论和锥映射不动点指数方法，结合 分歧理论得到了正解存在的几个充分条件。并证明了在半平凡解( 0 ，日) 处出现分 歧，分歧点为( 拦，0 ，口) ；第二章在第一章的基础上得到了( 0 4 ) 的平衡态系统以 n 为分歧参数，在( 名，0 ，口) 附近存在唯一正解分支，然后运用线性算子的特征值 理论，扰动理论和分歧解的稳定性理论讨论了平凡解、半平凡解和上述正解分支 的稳定性情况；第三章讨论了( 0 4 ) 的含时间t 的解的渐近行为首先得到单物 种口的持续生存和消亡的充分条件，然后利用抛物型方程的比较原理，正则化理 论和l y a p u n o v 函数得到( o 4 ) 的解的渐近行为；最后第四章对( o 4 ) 的一维情况 及其平衡态方程进行了数值模拟，首先给出了判断。一篙，口一拦，b p l d 符号 的方法，然后运用m a t l a b 中的p d e p e 函数和b v p 4 c 函数对模型进行数值模拟， 对前面分析的理论结果进行了补充和验证 3 第一章非负平衡解的存在性 1 1 引言 这一章我们讨论的是( 0 4 ) 的平衡态系统利用极值原理、上下解方法、度理 论和锥映射不动点指数方法研究正解存在条件 方程( 0 4 ) 的平衡态方程为 d a s 一警 ( s ) 一7 s ) = 0 ， z q ， dau+6(。1如-(qs)a+ufl(sdayq a u 2 ；：，：三：( 1 1 1 ) 5 ( s 0 + 6 w 厶( s ) +) = ， 口q ， 、。 筹+ r s = s o ，舞+ r u = 0 ，器+ r 口= 0 ，z a 旺 令。= 7 s + 札+ ，则s = 0 一一。) ，则z 满足 a z = 0 ，z q ， 舞+ r z = 7 s o ，z o f t 由线性椭圆方程的性质和最大值原理可知，其中的z ( 石) 是惟一存在的，且孑一0 再由边界条件知z 0 ，z 0 方程( 1 1 1 ) 变为 d a u + ( 1 一口) a 钍 ( ：0 一u 一口) ) = 0 ， d a y + 6 口，2 ( 0 一钍一u ) ) + q a u f l ( ；( z u 舞+ r = 0 ，器+ r v = 0 ， 因为只有非负解s ( z ) ，u ( z ) ， ( 。) 才有意义，也为方便起见我们定义 舯，= 嚣旷”s 0 ，使得 y - 4 - 缸w ，对所有0 目r 成立 是e 中的楔，岛= z 矾l 一。厩 是 e 的线性子空间设l ：可”+ 矾是紧线性算子，如果存在t ( 0 ，1 ) ，u 矾岛， 使得叫一t l ，则称l 具有q 性质 引理1 2 1 2 4 1 ( d a n c e r 指数定理) 设是e 中的一个楔，f ：w _ w 是紧 映射，且有不动点y o 彬使得f y o = y o ，令l = f ，) 是f 在珈处的f r c h e t 导数，则l ：一w - 一w 如果j 一三在e 上可逆，并且 ( 1 ) 三在i 矿上具有性质n ，则i n d e x ( e y o ) = o ； ( 2 ) l 在形上不具有性质o ，则i n d e x ( f iy o ) = i n d e x e ( 工，目) = = k 1 引理1 2 2 2 4 】设q ( x ) g ( - ) ，q ( x ) + p 0 在豆上成立，p 是正实数，a l 是 ， j - - a ( p 一口( 。) 妒= a 妒，茹q ， 【筹+ r p = 0 ， z a q 的主特征值如果a - 0 ( 或 1 ，则i n d e x w ( 只日) = 0 引理1 2 4 【2 5 】假设t 为有序b a n a c h 空间上的一个紧线性正算子，取钍为 b a n a c h 空间中的一个正元，r ( t ) 为算子t 的谱半径，则 ( 1 ) 若t u 札，则r ( t ) 1 ( 2 ) 若t u u ，则r ( t ) o ，考虑下列特征值问题 者之警0 划耋耋未 z l 器+ r l p = ， z a q 卜 则( 1 2 2 ) 的所有特征值可排列为 0 l ( g ) 0 ，z 孬，且特 征值的比较原理成立：对于j 1 ，若q t ( z ) q 2 ( x ) ，z 再，则( g - ) s ) 如 果q l ( x ) 口2 ( z ) ，则有a i ( q 1 ) 0 和一个g 1 曲线( a ，妒) ：( 一6 ，6 ) - rxz 使得 ( 1 ) a ( o ) = a o ； ( 2 ) 妒( o ) = o ； ( 3 ) 对l8i 6 有，( a ( s ) ，s ( u o + l p ( s ) ) ) = 0 且存在( a o ，0 ) 的一个邻域，使得，的任一零点或者在曲线上，或者具有形式( a ，o ) 这里z 是x 的一个闭子集，满足x = 印n 佗 钍o oz ( 即任意的z x 能惟一的 写成z = 0 ：乱o + z ，0 ：冗，= z ) 6 1 3 半平凡解的性质 下面考虑( 1 1 2 ) 的半平凡解，由于当物种v 为零的时候，物种u 也为零， 所以系统( 1 1 2 ) 不存在( “，0 ) 形式的半平凡解，接下来考虑( 0 ，”) 形式的半平凡 解，即考虑方程 d a y + 6 ”，2 ( 。一”) = 0 ，z q ，( 1 3 1 1 器+ r = 0 ， z 0 1 2 、7 的解的情况，有以下几个结论 引理1 3 1 1 6 1 假设 是方程( 1 3 1 ) 的非负解且 0 ，则有0 驾 证明当b # t d 时，易证可= 4 x ) 是( 1 3 1 ) 的上解令v = j ( z ) ，0 6 0 为其对应的的特征函数，则 d a y + 6 竺尼0 一旦) = 6 毋 ( b 一# l d ) f 2 ( z ) 一6 ( ，2 ( z ) 一如0 一d 西) ) 】 = 6 妒【( 6 一p l d ) f 2 ( z ) 一b 6 咖五( 2 一卢6 咖) 】( 0 0 充分小，我们有 d a y _ + 魄咙( z 一型) 0 ，o q ， 娶+ r = 0 ， 。o f t 卸1 。= 一 “。 7 因此笪= 酗为方程( 1 3 1 ) 的一个下解由单调方法【2 7 j 可知( 1 3 1 ) 存在最大解 和最小解矿，一，使得6 v 一u + z ( o ) ，若 是( 1 3 1 ) 的任意非平凡解，则 型曼口西，由矿的定义知，0 0 为( 1 3 1 ) 的解，我们用 乘方程两边并在n 上积分得 fy u1 2d z + z n r v 2 d s = ：( ”2 ，2 ( z 一”) d 茁 p 1 矗v 2 f 2 ( z ) d x ，因此b # l d ( 2 ) 同理可证 引理1 3 3 方程( 1 3 1 ) 在日处的线性化算子l = d a + b f 2 ( z 的所有特征值都严格小于零 证明因为p 0 ，且 d 日+ b o a ( z 日) = 0 ，z q ， 器+ 阳= 0 ， z a q 由k r e i n - r u t m a n 定理知算子= d a + 6 ，2 0 一日) 的主特征值a 1 ( f ) = 0 ，口是对 应的特征函数因为l 的主特征值满足a ，( 三) 0 产生矛盾因此2 7 0 a q 由y 的边界条件可知 嘉b = 七s o + r y ( 蝴) 0 产生矛盾因此我们令可( 。) = z ( 石) 一乱( z ) 一”( 岱) 贝4 可0 ，可0 ，z 瓦，可满足： d a y a u f l ( f f ) 一鼬，2 ( 功= 0 ，z q ， 雾+ r 可= 7 s o ， z 锄 即： d a y 一( 揣+ ( 蔫圬= 0 ，z q ， 舞+ r 可= 7 s o ， z 0 9 t 若y ( z o ) = o ，匈甄由最大值原理1 2 s 可知z o 勰再由h o p f 原理可得 雾f 。：。 0 ，这与边界条件雾i x = z o = 7 s 0 一r y ( z o ) = s o ( 跏) 0 ，产生矛盾，因此 u + 口 0 ，m + 6 ，2 0 u 一甜) 一a q u k 0 则f ：d _ w 是连续可微的，因此，系统( 1 1 2 ) 有非负解当且仅当f 在d 中有不 动点根据度的同伦不变性有：d e g w ( i - ，d ，( 0 ，o ) ) = d e g w ( i f d ，( 0 ，o ) ) ，e 【0 ，1 1 引理1 4 1 算子f 在点( o ，0 ) 的指数有以下结论成立： ( 1 ) 若o 拦，6 肛l d ，则i n d e x w ( f , ( 0 ，o ) ) ；o ； ( 2 ) 若o 拦 6 p l d ，则i n d e x w ( f , ( o ，o ) ) = o ； ( 3 ) 若n 篙，b # 1 d 时，令a 1 为- - d a 妒一6 ，2 ( z ) 妒= a 曲的主特征值，则 a 1 0 ，由引理1 2 2 知存在x 1 拦，b # l d 时，1 不是( 1 4 2 ) 的特征值且a l ( 一d a 一( 1 - - q ) a f l ( z ) ) 0 ，由引理1 2 2 知存在7 1 1 是( 1 4 2 ) 第一个式子的特征值，对应的特征函数记 为庐l ，代入到第二个式子中得： 1 11 ( - d a + ( 1 一v ) m 一6 ，2 0 ) ) 妒= 专o q ( 。) 西- 因为b p l d 且可1 1 ，所以算子( 一d a + ( 1 一专) m 一6 ，2 ( z ) ) ，的所有特征值都 大于零，即此算子可逆，因此令砂l = ( 一d + ( 1 一专) m 一6 ，2 ( z ) ) _ 1 口q ( z ) 咖l ， 则l o 存在大于1 的特征值，其对应的特征函数为( 咖- ，币，) ，再由引理1 2 3 可知 i n d e x w ( f ，( 0 ，o ) ) = 0 ， ( 3 ) 当n 篝，b 肛1 d 时，1 不是( 1 4 2 ) 的特征值下面证明在i 不具有。性质假设l o 在矾。具有。性质，则存在t l ( 0 ，1 ) 及函数( ，妒) i 矿如5 = k o k i ( o ，o ) ) ，使得( i t l o ) ( 咖，妒) t 5 k ，即 j ( 一d + m ) 咖= 。1 ( m + 。( 1 q ) ，1 ( z ) ) 咖， z q ， 4 ) i ( - d a + m ) 币= t l ( ( m + b ，2 ( z ) ) 咖+ q a f l ( z ) ，茹q 、 7 在( 1 4 4 ) 中，若妒三0 ，则咖三0 ，由于( 西，币) 是特征函数，所以妒o ，接下来分 两种情况讨论： a ：若西三0 ，则由( 1 4 4 ) 的第二个式子可知，当b 0 ，由引理1 2 。2 可知( 1 4 4 ) 没有小于或等于l 的特征值，和假设矛盾， b ：若o ，则由( 1 4 4 ) 的第一个式子可知，当o 0 ，由引理1 2 2 可知( 1 4 4 ) 没有小于或等于1 的特征值，和假设矛盾 所以l o 在i 不具有性质，由引理1 2 1 知 i n d e x w ( f , g o ) = i n d e x e ( l o ，( 0 ，o ) ) = 士1 我们知道i n d e x w ( l o ，( 0 ，o ) ) = ( - 1 ) 4 ，其中盯是算子所有大于1 的特征值的代 数重数由上面的结论，从( 1 4 2 ) 可知，l o 没有大于1 的特征值，则口= 0 ，即 i n d e x w ( f , ( 0 ，o ) ) = 1 1 1 引理1 _ 4 2i n d e x w ( f , d ) = 1 证明取e ( 0 ，1 ) 充分小，使得c a ( 1 一q ) a 1 d ，e b 坐l - - q ，6 p l d ，则i n d e x w ( f , ( 0 ，口) ) = 0 证明f 在( 0 ，口) 点的线性化算子为： l 1 = f ( o ，0 ) “=(-da+m)一1(m+a一(1目)-一q)6f口1，2(z(。-一o)口)+。b。(z-口0aqfl(z m ) 一加五( 。一口) ) 7 一目) 一6 口，2 ( o 一口)口) 一加五0 一口) 取y 。= ( 0 ，p ) ，贝：_ i _ 有一w 。= k o c o ( _ ) ，岛。= ( o ) q ( 固，矾。s 。= 硒 o ) c o ( q ) 首先，我们证明当。篙时，一l l 在矾。上可逆假设存在，妒g ( _ ) ， 使得l 。( 毋，咖) t = ( 咖，妒) t ，则 d 咖+ a ( 1 一q ) f l ( z 一口) 妒= 0 ， d a 妒+ b f 2 ( z 一口) 妒一b o s 2 ( z p ) 妒+ q a f l ( z 一口) 毋一6 口矗( z 一日) = 0 由o 立1 - 连q 及a ：的定义知三0 ，将庐三0 代入第二个方程，我们有 d a 妒+ b a ( z 一口) 妒一6 p 五( g 一日) 砂= 0 由引理1 3 3 知妒兰0 ，所以j l 1 在厩，上可逆 ( 1 ) 我们证明l - 在矾。不具有n 性质 假设l z 在矾。具有n 性质，则存在t l ( 0 ，1 ) 及函数( 虫妒) 矾，岛。= 梳 o ) 岛( 孬) ，使得i t t l l ( 妒，妒) t s 。= o ) 岛( 西) ，即 ( - d a + m ) 一t l ( m + ( 1 一q ) a f l ( z 一日) ) = 0 ， ( 1 4 5 ) 1 2 ( - d a + 肘。) 妒一t l ( a q f l ( z 一日) l j 5 6 口五( z 一口) 西 + i v , + 6 ，2 ( z p ) 咖一b o 2 ( z 一8 ) 妒) c o ( 西) ( 1 4 6 ) 由币，妒的取法知( 1 4 6 ) 成立，令t = ( - d a + m ) 。( m + ( 1 一q ) a l ( z 一口) ) ， 对( 1 4 5 ) 有 t = 曲 西， 6 1 由引理1 2 4 可知r ( t ) 1 但是由n 0 使得 d a + a ( 1 一q ) f l ( z 一日) 西= a l ( d a + a ( 1 一q ) f l ( z 一日) ) 咖 0 得 ( d a + a ( 1 一q ) f 1 ( z 一日) + m ) 咖 f ， 即 ( a ( 1 一q ) f l ( z 一口) + i f ) ( 一d a + 1 4 ) 咖， 因为( - d a + 吖) _ 1 是一个紧线性正算子，故有 4 t 庐= ( - d a + f ) 一1 ( o ( 1 一q ) f l ( z p ) + m ) 庐 由引理1 2 4 知t ( t ) # l d 时，l l 在厩。具有理性质令玉i 为 d a 曲+ a ( 1 一q ) f l ( z 一口) 咖= 如的主特征值，由于o 笔，所以支l 0 ，由引理 1 2 2 可知，存在t 1 ( 0 ，1 ) 是 ( 一d + j l f ) 西= t 1 ( m + a ( 1 一q ) f l ( z 一日) ) 毋 的特征值，取k o 0 为对应的特征函数，则( 丸0 ) 可吒。毛。，使得 ( 一d a + m ) q 5 一t 1 ( m + a ( 1 一g ) ( z 一口) ) = 0 ， - h ( - d a + m ) 一1 ( 叫 ( z p ) 咖一6 臼( z 一口) 咖) c o ( _ ) 1 3 即i - t l l l ( 咖，币) t 岛。，所以l 1 在矾。具有。性质，由引理1 2 1 可知i n d e x ( f ( 0 ，口) ) 0 接下来我们讨论口= 型1 - q ，6 p l d 的情形，有以下引理成立 引理1 4 4 如果n = 坐1 - - q ，b # l d ，那么或者( 1 1 3 ) 存在正解，或者i n d e x w ( f ，( o ， 口) ) = 1 证明首先证明i l 1 在矾。上不可逆，即证明存在( u ，x ) 厩。，使得 l l ( w ，x ) t = ( u ，x ) t ，即 必u篇-一qdax b f 。( zm o ) x = 拦o ) x + q a f l ( 洲卜b o y ；( z 卅0 ( 1 ) +一 一b 口五( 。一 + 忙一口) u 一一日) u = 、 如果。= 巫1 - q ，那么取其对应的特征函数为u l o ，代入到( 1 4 7 ) 的第二个式子 得： ( d + 0 一口) 一6 口，三p 一口) ) x = 一q a f 1 ( z 一日) u 1 + 卯五p p ) u 1 由引理1 3 3 - 知工的所有特征值都小于零，即算子三可逆，则存在惟一的x 1 = l - i ( 一q n 扛一口) u l + 6 p 五0 一口) u 1 ) ，因此存在- ，x 1 ) 矾。= c ox 函( 豆) ，使得 l 1 0 ，x ) t = 0 ，x ) t ，即证明了，一l 1 在厩，上不可逆，因此不能用定理1 2 1 来 证明 下面我们将利用歧定理1 2 6 来证明( 1 _ 1 3 ) 在( a ，o ，口) 点产生分歧，进面得 出结论定义下列函数 f ( a ，u ， ) = ( d + a ( 1 一q ) u f t ( z 一乱一口) ，d 廿+ 6 口如( g 一就一口) + a 口 0 一“一口) “) 显然，f ( a ，0 ，日) = 0 定义算子 l t ( a ，0 ，0 ) = d ( 。，。) f ( 口，0 ，口) d a + a ( 1 一口) ( 。一口) 0 、一