（运筹学与控制论专业论文）变系数抛物方程能控性成本估计.pdf

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) ) ；t h e8 0 l u t i o m lo f ( 0 1 ) s a t i 8 矗e s ( 0 2 ) ) ( o4 ) 记系统( 0 1 ) 零能控集为： z 玉( u o ，o ；o ) = ，上2 ( n ( o ，t ) ) ；t h e8 0 l u t i o n “o f ( o 1 ) s a t i s 矗e 8 ( o 3 ) ) ( o 5 ) 由于系统( 01 ) 的能控性，阮d ( “o ，“d ；s ) 和d ( u o ，o ；o ) 都是非空的显然，如果存 在一个容许控制的话。那么一定有无穷多个控制，所以非常自然的我们想要寻找 1 v 到一个最优控制所以我们的问题是；能控成本的最小是多少? 记近似能控最小 控制成本为， c ( 5 ) 2 胤撼) l 2 ( 州吖n ) ( o6 ) 零能控的最小控制成本为： c ( 咖，o ；o ) 2m 燕删职州 ( o7 ) 这类问题在( 1 1 ，1 2 中被j l l i o 8 提出在文献【6 】中，ef h n a d e z c a r a 和 ez u a z u a 研究了带系数o ( 。，) l 。( n ( o ，t ) ) 如下系统的零能控和近似能控 的成本估计 篡 鼬 需要指出的是，带系数。热方程能控性成本估计对于分析某些半线性控制 系统起着非常重要的作用。尤其的，在无限处以超线性方式非线性增长 例如，利用k a k u t a 丑i 不动点定理和成本估计ef e r n a n d e z - c a r a 和e z u a z u a 证明了如下半线性抛物系统的近似熊控性 轨一f + ，悖) = x 。 i n n ( o ，t ) 这里的非线性项，( s ) 甚至允许系统弱爆破利用相似的方法在文献 3 】中，这些 结果在如下抛物系统中也被推广 轨一9 + ， ，v ) = ”x 。 i n q ( o ，t ) 其中非线陛项厂( s ，p ) 是局部l i p s c h i t z 连续的可以被重写成以下形式； ，( s ，) = ，( o ，o ) + 窘( s ，芦) s + g ( 5 ，p ) t pv ( s ，p ) r r 其中9 和g 是l 蕊 v 本文的目的是给出变系数热方程关于扩散系数n ( 。，) 和控制时间r 近似能 控和零能控的成本估计显然，这种类型的成本估计对于处理如下拟线性方程的 控制问题是非常重要的 “一d i v ( a ( 仳) v u ) = ”x 。 i nnx ( o ，丁) 本文中，设( z ，t ) w 譬( q ) 和a 婶，t ) 几乎处处满足一直抛物条件存在正 常数 0 使得 o ( 茹，) 舟( z ，t ) q ( o ，t ) ( 0 9 ) 为了简化记号，我们记”4 ，为工l p 范数，p 【0 ，o 。】， q ! q ( o ，丁) ，q 。兰u ( o ，t ) 本文的第一个主要结果是全局的c a r l e m a n 不等式，明确是示了扩散系数 n ( z ，) 和控制时间丁对不等式的影响也是建立新的能观不等式和成本估计的 基础 为了得到新的c a r l e m a n 不等式，引入适当的权函数 让u 。c w 为开集。oc u 由1 8 ，存在函数妒( z ) 伊( 豆) 使得 l 。f 硝= l ；妒( 喾) o ，v 王q ；中 a n 和；i v 妒( 窖) l 0 ，比n 岫( o 1 0 ) 对于任意d o ( 在后面确定) ，记 硒= i l 妒j f g f 确+ 6 ，p ( z ) = 妒+ 3 k j 2 ，卢= 5 厩2 - ( 0 1 1 ) 引入如下的权函数 煳) ：嵩，出，归等筹， ( 0 1 2 ) 妒( z ，) 2 行f 丽，n ) 21 亍= 矿， 2j 这里a 0 为一参数 本文所得到的c a r l e m 8 n 不等式如下 t h e o r e m1 1 为系统( o 1 ) 的解，存在正常数 使得 ( s 3 妒3 2 + 3 a 垆l v u p ) e 知。d z 出 j 口 掣毕( o 撕留一严8 出0 、，i ( 0 1 3 ) 对于所有的a 三j 和3 丁+ 丁2 而且，j 砂，q ，u 和d ，而且有如下形式 天= m a x 1 ，e ( 砂) g ( 口) 驴) ， 这里的 g ( o ) = 1 + ! i aj 蝥+ j i v 口1 f 瑟+ j j n 。9 。 第二个结果是以下对偶系统的能观不等式 f 。+ d i v ( ( 。，t ) v u ) ：o i nn ( o ，? ) 口= oo na n ( o ，丁) ， ( o 1 4 ) i nn 记为一在硪( n ) 中的第一特征值t h e o r e m1 2 对于对偶系统1 1 4 的解，有 忪幢丽篙可e 印p ( ，+ ；) ) 儿。池如，c o 埘 g 为只以来q 和“的正常数，a 为只依赖于i i 警( o ) 的正常戴 下面的两个定理是系统( o 1 ) 的近似能控和零能控性的新的成本估计t h e o r e m 1 3 对于任意终端状态“d h 2 ( n ) n 硪( n ) ，任意5 0 和t o ，我们有 c ( o 训s 咖p ( ，+ ；十忐+ 掣) m 粘，c o 峋 这里 日( o ，u d ) = l i v n | 1 。i i v u d 忙+ i i d l i 。1 | 锄1 | 2 ， e 和a 同t h e o r e m1 2 r e m a r ko 1 近似能控的成本估计是在几乎处处零初值条件下建立的u o o 对于一般初值条件“o ，我们知道 c ( u o ，“d ；e ) = c ( o ，z d ；e ) 这里幻= d z ( 丁) ，z 是，io 时徊。，的解 t h e o r e m1 4 对于任意t 0 ，我们有 c c 叩，a 唧 s e l ( - + 亭+ 点) 汕川。， c 吡， g 和a 同t h e o r e 11 2 r e m ”ko 2 通过强 mj 0 dj 4 ，我们可以清楚的看到扩散系数在成本 估计中确实起到很重要的作用特别的，如果一0 ，那么佃纠和佃刀的右端 将趋于无穷而且，如果扩散系数的w 譬( q ) 范数增长，那么佃! 卅和，i 刀的 右端也会各自增长 r e m a r ko 3 如果扩散系数为常数，那么我们能控性成本估计同研 r e m a r k0 4 以上定理可以被推广到如下散度形式的抛物方程 这里w 酱( q ) ，= 蛳且满足一致抛物条件j 存在p o ，使得 任意r “和所有( z ，t ) 0 v l u ( o 1 8 )0 住 ux， = b u 0 o q 0 渊 一u p 一 白 靠0 嚣 一u 吐 。瞄 第二章定理1 1 的证明 同文献 6 中的讨论，全局g a r i e m a n 不等式在证明能观不等式和能控性成 本估计中起着至关重要的作用 由于我 要讨论扩散系数a 旧) 和控制时间丁对于能控性控制成本的影响， 所以n ( z ，) 和r 应该在全局c u l e m a n 不等式中尽可能明确的表示出来尽管 c a r l e 皿8 n 不等式已经被许多作者建立( 9 ， 1 5 ) ，但是扩散系数8 ( z ，) 和控制时 间t 并没有明确的在不等式中表现出来由于这些原因，我们首先利用文献【9 l 的方法证明适当的全局c 捌e m a n 不等式 p r 。o ，o ，吼e o m 让埘( z ，t ) = e 5 。u ( 。，) 则 叫0 ，t ) = w ( z ，0 ) = o i n q 定义两个算子 p 删= e 舳l ( e 一曲叫) ，l = 咄一口( z ，t ) 很容易计算得到 尸 = e 帕上钍= ，弛。e 3 0 + ( v o v ) e 另外，算子p 可坡重写成如下形式； p 叫= 州一o + 2 s a 妒口v 妒v 埘+ s a 2 妒o l v 母1 2 叫 一s 2 a 2 妒2 0 i v 币1 2 叫+ s a 妒n 妒训一s q t ， 定义算子l - ，如为 l 1 川= 一w s 2 2 妒2 0 l v 妒1 2u j s 啦w ， 工2 叫= 叫+ 2 s a 妒o ( v 妒- v 叫) + 2 8 a 2 妒i v 妒1 2 叫 明显可以看出 工1 w + l 2 叫= ，( o 1 9 ) 1 x 这里 工( 。，) = ，j 已8 。+ ( v o 1 寸轧) 8 8 。一s a 妒n 妒叫+ s a 2 妒o f v l 】c i f 2 在( o1 9 ) 两边取上2 范数，我n 得到 l l 1 1 2 。( 。】= i i l l 叫1 1 2 。( 。1 + l l l 2 1 1 2 。( 。) + 2 ( 1 ，l 2 ) 工z ( 口) ( o 2 0 ) 由算子上1 和工2 的定义，我们有 ( l l 甜，l 2 叫) l 2 ( o ) = ( o u s 2 a 2 【p 2 0 j v 妒1 2 一s o t 叫，似t + 2 s a 2 妒o i v 妒1 2 叫) 驴( 日) 正2 ( s 。a 3 妒3 0 v 舻f 2 叫+ s 2 l p o t ) o ( v 砂v 叫) 出出 j 0 一z 2 幽妒。吣v 妒v w ) 如出 ( 0 2 1 ) 现在我们开始分别估计( o 2 1 ) 的右端首先， 其次 a o = ( 一o 叫一s 2 舻妒2 0 i v 妒f 2 叫一s 吼， t + 2 8 卯妒口j v 妒j 2 叫) 上。f 。) = z 川v 。v 卅( v ”一v 一半圳v 卯( 。一缸呐。 一2 s 3 a 4 妒3 n 2 i v 妒j 4 t u 2 2 s 2 a 2 妒o o t l v 妒1 2 埘2 + 2 s 舻妒o l v 妒1 2 训( v 口v ) + 2 s 2 妒d 2 l v p p l v 1 2 + 2 s a 2 8 叫( v ( 妒盘f v 砂f 2 ) v 甜) ) d 。d t ( o 2 2 ) a l = 一2 ( s 3 a 3 妒3 0 l v 妒1 2 叫十s 2 a 妒o ) 口( v 廿v 枷) d 。d 口 2 上4 鳓v 卯护怕3 舻矿善p 蟾m k 2 p + 以妻( 妒吼地) 。研如出( o 2 3 ) a 2 = 一2 s a 妒o 叫沁v 廿v w ) d 。d t j 0 = z 2 m 们n v 州。v 讪v w ) + 钟咖v 砂，v 计 + s 妒o l v l o v 妒v 叫j v w ”d o 饿 + 上z s 砌v 妒i 阱删t = 上协枷( v 。v 坝v 砂v w ) + 2 s 脚( 。v 妒v 计 + z s 却娄g ；砉e 。虹k 屹。) + 2 s 却fa ；( 。虹) 。屹。 t = l ! _ l 一s a 妒o ( v o ，v 廿1 l v 埘1 2 一s a 2 0 2 l v 砂v 训1 2 一s a 妒( n ) 。l v 叫2 d + 上耐i v 妒l 斟删t j iu ”f 把( o 2 2 ) 一( o 2 4 ) 代入到( o 2 1 ) ，我们得到 这里 ( o 2 4 ) ( 三l 叫，工2 ) 胪( 讲= s 3 a 4 妒3 0 2 l v 妒1 4 叫2 + 2 s a 2 妒0 2 ( v 妒v w ) 2 j 0 + 占a 2 妒口2 f v 砂f 2 v 叫f 2 + ( 二2 甜) ( v 口v 甜) ) ( 妇如 + p l v 妒l 饼如出悄 ( 0 。s ) x = 以 扣蹦咄i v 卯+ 扣墙增卿一卯 + 妒”妒3 ( 矿化。f v 们。+ s 2 a ( 妒n q c 蚓) 训2 d 出 + 厶 2 s a 2 ( 仉。) q 。+ 2 s a 妒口( 乳tv 叫) ( v 妒v ) q i i = 1 川“洲乳v 训v 叫l 咖抛印”1 2 一妇v ”f 2 脚t + 厶2 钟n 埘( v ( 妒。嗍2 ) v 叫) 如出 2 x l + 尥+ 抵 ( 0 - 2 6 ) 下匾我们开始分别估计x t ，弼和强很容易可以得到 x ，2 z 矽卵妣们卯+ 2 矧v 卯+ 知。 一s 2 a 2 妒a 1 1 口坳1 2 + 2 s 3 a 3 妒3 。( v o v 妒) l v 妒1 2 + s 3 a 3 扩0 2 ( 虹lv m 。+ a 妒o ( v m v 妒) + 5 2 a 妒毗( v 日v 妒) ) w 2 d g 出 因而 f x z 】s e ( 砂) 和。怯z s 2 a 2 妒胁) w 2 如出+ o 砚kzs 2 a 2 矿”2 如出 + j | o ”o 。上s 2 a 2 妒l 趣j 训2 如出+ s j n f 2 如出 0 0 + ( 1 f 口i i 乏+ | 1 v d i 毛) 正s 3 3 妒3 叫2 d 。出+ l l 口| | 。s 2 a 妒i v o i 彬2 d z d j 口j 口 州i * 上s 2 划a 扣锄) ， ( 0 2 7 ) 这里及后文中g ( 妒) 表示一类只依赖于妒的正常数考虑p 和声的定义，很容易 计算得到多 雳 2 辟通过简单计算可以得到 妒( z ，t ) 等妒2 ( z ，) ， 卅笫并 t 萨 b 【= 器 妒， ( 0 z s ) 小笙雩黔笋塑 f 时9 ( z ，) 为递增，因而 妙垆怨出，巾飘蒜二黧： 因此，若s2s 1 其中8 1 同( 0 4 3 ) ，我们得到 攫爝m ，t ) 如t 2 4 ) = 2 “t 6e x p ( 一8 5 p ( z ) ? 。 m 3 ( 。) - ( o - 4 5 ) 由( o4 4 ) 和( o 4 5 ) ，( o 4 2 ) 成立 r e m a r ko 5 下面计算阳4 别中出现的s 1 由p ( 石) 定义，我们有 一p ( z ) = e 卢( 。( e ( 声一厚扛) ) 一1 ) e 3 1 m 2 ( e ”一1 ) e 3 5 1 2 ( e m 1 ) 由于a l ，简单计算得女n p ( 茁) ；当d2 ；因而 s l = t + r 2( 0 4 6 ) 在阳4 纠中s 乱，我们得到 l i e 2 。妒3 i l s2 6 t 一6 毋甲 一( b ( 1 + 1 t ) ) e 1 5 蚝2 ( o 4 7 ) e 2 一妒娑丁一2 e x “一q s t 一2 扣一珞疗 ( o4 8 ) 对于所有z n ，所有f 4 ，3 叫4 】所有5 三s 1 ，这里q 警鼍f ( 一p ( 。) ) e 2 ”妒：e 2 ”t 。( t f ) “m ( z ) = 1 ( z ，t )( o 4 9 ) m ，归妒_ ) m _ 1 ( 扣p 粼) 1 z ) 唧 掣) 吼r ) 这里r = t 口一t ) o ，7 1 2 4 】当t f 4 ，3 t 4 】时，f 3 t 2 1 6 ，丁，2 4 同 l e m m a3 1 ，我们得到 t 嚣勤4 ( 州) 羔t 2 e x p ( e t 纩2 ) m 1 1 ( 。) ， 这里s2t 2 ( 8 巫n ( 一p ( z ) ) ) 也满足s2s l 因此， 泸。咿2 萼丁一2 “p 一g 1 8 r 一2 ) 一2 i nn 口1 4 ，3 t 4 当s s 。证明完成 r e m a r k0 6 如冗e m o 他2 j 中讨论，有 e 妇a 妒娑丁一2e x p 一g l ( 1 + 1 r ) 扣3 耳s 2 i 礼力【丁4 ，丁引( o 5 0 ) 对于s = s 1 p m o ，d ，7 h e o m mj 2 回到( 0 4 1 ) 让s = s 1 由( o 4 7 ) 和( o 5 0 ) ，我们得到 ! v u j 2 如出 jj n x ( ? 一3 r 4 ) 盟掣竺( ，+ ；) 唧吲( t + ；) ) 儿。黝础 s 掣罂喾“- 吲( + ；) ) 脱。讹a t c o s ， 对于( 0 4 0 ) 的任惹解和任葸时f 刚1 o 另一方面，在( 0 4 0 ) 两端乘u 在n 上积分，我们得到 一；爰( ”2 d z + ：。l v ”1 2 a z = 。2 出，n。，n 。 让知为一在嘲( n ) 中的第一特征值那么我们有 ；丢上u 2 如2a 。m z 。2 如， 2 出如一”，n 。 因此 ：；( e 一2 抽船( 到2 d z ) 2 。 出 x 在【t 4 ，t 】上积分这个不等式对于任意t 口4 ，3 t 4 】，我们得到 胁t伽z 兰唧协。坤一t 4 ) ) 上识妒4 ) 缸 ( 0 5 3 ) 结合( o 5 1 ) 和( o 5 3 ) ，我们得到 ”叫加榔肌知以啦h 驯，2 如出 掣絮喾唧吲( - + 亭) ) 儿伽础 另一方面，在时间间距f 0 ，叫4 中积分( o 5 2 ) ，我们又得到 因此 e x ，( 一a 。叫2 ) z 以致彤4 ) 如z 娘。) 如 们川：s 面g 咎 通过简单计算得 g 1 一c 0 “p 吲( + ；) ) 缇觑础 = 警”l n 。n 一p ( 。) ) 一8 m “如 一p ( 。) ) = 8e 学一1 ) + ( e 1 ( ) 一1 ) 】 争学 和 1l 南 壶 裂护。甲面瓦i 瓣 妒荔n ) 厶，一= 如- ( 0 6 1 ) 由于p o 为泛函 口( 妒o ) 的极小容易得到 见。触s ( 批) 川m 一小础z 妒l 2 ( n 邮z ) 这里庐和妒为系统( o 5 6 ) 在初值o 和妒。下的鳃因而 = 一；儿。煳t ( 0 。) 结合( o6 1 ) 和( o 6 3 ) ，我们得到 c ( 0 】蚴妒= 儿滟妪2 如 ( 0 6 4 ) 因而，我们的任务是估计如选择一使得( o 6 0 ) 成立 廊用能观不等式鞋们得习i 妒( z ，t 一伊) 1 1 ；两籍可唧p ( t + ；) ) 儿。洳出 对于系统( o 5 6 ) 任意解由( o 6 5 ) 及b 定义，容易得到 如一 因此，我们得到以下估计 唧p ( z + 珊h 她 f 0 6 5 c c 。，”a ；e ，2 ；x a ；e = x - ，。e 1 ( z + ；) ) i i u a i i ； g 唧 1 8 e 1 ( t + ；) 如硼； c 删 这里s2 a o l z “a ( 矿一妒( 置丁一一) ) 如 s 刚 。 v 妒f ( q ) ( n 6 7 ) 产北，t 刊= ，掣如 我们可以从方程( 05 6 ) 得到 协( 产出，丁叫j = 眨加c 忉抛l = 眨p 叫，v 岫脚i 用妒乘( o 5 6 ) 在n ( t ，t ) 上积分，我们有 因而 上妒2 ( z ，t ) 出= 上( 妒。) 2 ( z ) 如2 以n | v 咖，刮2 捌r i i 妒| | 弘( n 。( t 一，砷) 、居l l 妒o l l 2 ( o 6 9 ) 结合( o 6 8 ) 和( o 6 9 ) z 咄严出，t 叫) 出|i j n s 口( 1 | v n i i o 。1 i v “d 1 1 2 + i i 口1 i 。lj u d ) i l 妒o 2 ( o 7 0 ) 不等式( o7 0 ) 表明当 a ( 1 l v n i l 。0 v u d | 1 2 + i i n i i 。l i u d i l 2 ) e 时( o 7 0 ) 成立，这里 。= m ；n t ，。a 。e e ，互h 亏毛赢，i 云赢) ( 。，- ) x x i i i ； 享+ 志+ 婴半地+ 掣( o ，。) 把( 07 2 ) 代入( o 6 6 ) ，我们得到 c ( o ，“d 】e ) 帅p ( ，十；+ 点+ 删迎掣必) m 忆邛