（应用数学专业论文）相空间重构、分叉及经济系统吸引子分析.pdf

摘要 摘要 在自然和社会中存在的大量非线性系统，许多系统的内部结构并不清楚，而 其外部特性通常只能是某个单变量的时间序列。因而处理单变量时间序列并由此 分析原系统的动力学特征是非线性系统分析的重要工作。 混沌现象是自然界广泛存在的一种不规则运动，是一种由确定的非线性动力 系统生成的复杂行为。相空间重构是用动力学方法分析非线性时间序列的基础， 而相空间重构的关键是其参数的选取。运用混沌理论对经济数据进行分析的意义 在于通过这个过程可以更清晰的认识某些经济系统如证券市场的运行规律，更好 地加强对各种经济金融市场的调控管理。 。 混沌时间序列对初值敏感，具有混合性及拓扑传递性，即初值的微小扰动将 以指数倍数被放大，所以混沌时间序列难于预测。但是混沌系统是由非线性动力 机制决定的确定性系统，貌似随机运动的混沌系统内部存在确定性规律，所以混 沌时间序列是短期可预测的。 主要完成了以下工作： 1 ，论文介绍混沌时间序列、相空间重构等基本概念，采用趸一己变换改进了 延迟坐标状态空间法，对l o r e n z 系统等经典混沌时间序列和经济时间序列进行了 深入的分析，得到某些经济系统的混沌吸引子。通过数值仿真说明了现有的混沌 时间序列预测方法的预测性能。首先讨论了相空阕重构理论及现有的相空间重构 方法，然后讨论了用高阶统计量估计嵌入维数的方法，分析了用四阶累积量构造 矩阵的多种方法，得到了一种较好的方法，仿真结果验证了该方法的有效性及稳 定性。 2 论文主要采用了延迟坐标状态空间的相空间重构法。采用这种方法重构相 空间的关键是选择合适的嵌入维数和延迟时间。并对这两个参数的选择做了大量 的理论分析，论述了选择参数的各种方法的主要原理和优缺点，编制了实现这些 方法的程序，并且进行了实证。 i 堕! ! 三些奎堂竖主堂堡笙苎 塑至旦重塑：坌墨墨丝堕墨竺婴! ! 三坌堑 在对单变量时间序列用延迟坐标状态空间法进行相空间重构基础上，提出对 重构后的相空间再作k 一三变换的改进方法。采用这种方法，在保留原信号绝大部 分能量的前提下，能够完全去除重构相空间中各个向量之间的相关性，更好地恢 复原动力系统的特征，获得更多的信息，并相应的减少了计算量。 3 论文还对刻画非线性系统中吸引子的重要参量一l y a p u n o v 指数和关联维 数一做了分析，并借助于自己编制的程序进行计算。为了证明程序的可靠性和准 确性，论文还使用一些经典的混沌系统对这些程序进行了验证，结果表明程序计 算的实际值和理论值基本一致。这些经典系统有：l o r e n z 系统、h e n o n 映射和 l o g i s t i c 映射。 现实数据不可避免的被噪声污染，噪声还破坏了混沌时间序列内部结构，因 此对实测数据去噪非常重要，尤其在混沌保密通信中针对混沌信号的去噪方法是 非常重要的。笔者最后讨论了混沌时间序列的去噪方法，介绍一种假设系统动力 学方程未知而只根据混沌序列数据直接去除噪声的迭代算法。 在国内外学者研究工作的基础上，论文根据r o s e n s t e i n 等人提出的计算最大 l y a p u n o v 指数的小数据量方法，研究噪声对混沌时序最大l y a p u n o v 指数的影响。 采用将随机数据方法生成的高斯白噪声与混淹系统时间序列叠加的方法，分析了 相同信噪比下，数据量和嵌入维数对最大l y a p u n o v 指数的影响；以及不同信噪比 下，混沌时序最大l y a p u n o v 指数的变化趋势。结果表明：当加入一定范围信噪比 的噪声时，原时序数据的最大l y a p u n o v 指数受到的振动影响很小，这对于实际问 题中含有一定程度噪声的经济或金融时序非线性混沌特性的判定具有重要的理论 和实际意义。 4 。提出了一种新颖的多步预测方法，并把这种新颖的多步预测方法用于改进自适 应预测法和局域自适应预测法，仿真结果表明改进后算法的多步预测性能明显提 高，这一结果为重新认识混沌的可预测性有重要的理论意义和工程应用价值。 另外，论文还使用多种方法对时阀序列建立了预测模型。 5 大量的研究表明股票信号源于混沌系统，具有混沌特性，论文还尝试把混 沌时间序列相空间重构理论和预测方法应用于股票数据的分析，得到的多步预测 结果好于文献中基于神经网络的方法的多步预测结果。 6 论文的主要研究对象是含有平方项的几种二维平面映射，即： l i 摘要 j + i = 斫+ 魄+ c 1 以+ 。= 矗 出现了一维情况中没有的h o p f 分叉，这表明系统通向混沌还有另外可能的路 径。随着系统控制参数的变化，系统动力学特性表现得非常复杂，即系统不一定 非常规则地按照倍周期分叉道路、阵发混沌道路、拟周期道路走向混沌。通过全 面深入的研究，发现这类二维混沌映射有两种非常典型的演化模式，并导致两种 不同类型的混沌吸引子。在参数变化的过程中出现的周期轨道之间有一定的内在 联系。此外，我们还对一维l o g i s t i c 映射的耦合和二次映射中的阵发混沌进行了 研究，对耦合情况下系统出现的新的演化模式进行了分析。研究结果对解释湍流 的形成机制有一定的意义。 论文在对非线性时问序列进行了大量论证的基础上，对实际的几种宏观经济 数据进行了深入地分析。证明了所采用的经济数据是混沌的，从中寻找出了混沌 吸引子；最后，又采用已建好的预测的模型对这几种宏观经济时间序列进行了短 期预测。 关键词；相空间重构；l y a p u n o v 指数；h 交换；嵌入维数：高阶统计量； 宏观经济；二维映射系统；混沌吸引子；h o p f 分叉；通向混沌的道路 m a b s t r a c t a m o n gai a r g en 岫b e ro fn o n l i n e a rs y s t e m se x i s t i n gi nt h en a t u r ea n dt h e s o c i e t y ，al o to fi n s i d es t m c t u r eo fs y s t e mi sn o tc l e a r ，i t se x t e m a lc h a r a c t e r i s t i ci so n l y ac e r t a i nf o 皿t i m es e r i e so fv a r i a b l eu s u a l ly - t h e r e f o f e ，i ti si m p o r t a n tt 0d e a lw i t h s i n g l ev a i i a b l et i m es e r i e sa n da 1 1 a l y z et h ec h a r a c t e r i s t i co f 也eo r i g i n a ld y n 锄i c so f s y s t e m c h a o si sa ni r r e g u l a rb e h a v i o u rw h j c hi saw i d ee x i s t e n tp h e n o m e n o n c h a o si s ac o m p l i c a t e db e h a v i o u rw h i c hi sf r o mad e t c n 】a i n i s t i cn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m p h a s es p a c er e c o n s t m c t i o ni st h eb a s e o fu s i n gd y n a m i c a lm e t h o d st oa n a l y s e n o l l l i n c a rt i m es e r i e s t h ek e yo fp h a s es p a c er e c o n s t r i l c t i o ni st 圭l ee s t i m a t i o no fi t s p a r 锄e t e li th 船f a r - r c a c h i n gm e a n i n g st os t u d yt h en o n l i l l e a rt i m es e r i e s ，e 印e c i a l l y m a c r o e c o n o m yt i m es e “e s t h em e a n i n go fu s i n gc h a o st h e o r yt o 锄a l y z et h e e c o n o m i cd a t ai s ：t h o u 曲t h i sp r o c e s ss o m ee c o n o m i cs y s t e m sc 她b el l n d e r s t o o d c l e a r l yl i k et h eo p e r a t i o nl a w so ft h es e c u r i t i b u s i n e s s ，s t r e n g t h e nt h ev a r i o u sk i n d s o f e c o n o m i cr e g u l a t i o na n dc o n t r o lm a n a g e m e n to ff i n a n c i a lm a r k e tb e t t e r c h a o t i ct i m es e r i e sa r ee x t r e m e l ys e n s i t i v et oi t si n i t i a lc o n d i t i o n s t h ec h a n g eo f t h ci n i t i a lv a i u ew i l lb ee x p a i l d e di nt h er a t eo fe x p o n e n t s oi ti sv e r yd i m c u l tt o p f e d i c tc l l a d t j c 石m es e r i e s b u tc b a o sj sad e t e 咖i n i s t i cs y s t e md e t e 锄i n e db yt h e n o n l i n e 耵d y n a m i c a lm e c h a n i s m t h e r ei sad e t e 硼i n i s t i cr i l l ei nt h ei n t e r i o ro ft l l e c h a o t i cs y s t e mw h i c hi ss e e m e da sar a n d o mm o v c s oc h a o t i el i m es e r i e sc a nb e p r e d i c t e di nm es h o r tt e m l a n dt h em a i nc o n n b u t i o n so f l i st h e s i sa r e ： 1 o nt b eb a s eo ft h ei n t r o d u c t i o no ft h ec o n c e p t i o i l ss u c h 篮n o n _ l i n e a ft i m e s e r i e s 卸a l y s i s ，p h a s e s p a c er e c o n s t n l c t i o na n dc h a o s ，t l l ed e l a y - c o o r d i n a t em e t h o d i s i m p r o v e db yu s i n gt h e 忌t r a i l s f o r m a t i o n ， t h ec l a s s i c a lc h a o st i m es e r i e ss u c ha st l l e l o r e i l zs y s t c me t ca n d e c o n o m i ct i m es e r i e sa r ea n a l y z e dd e 印1 y ，a tt h es 锄et i m e ，t h e v 西北工业大学博士学位论文 相空间重构、分叉及经济系统吸引子分析 c h a o t i ca t t r a c t o r si m p l i e di nt h ee c o n o m i cs y s t e m sa r ea c q u i r e d i nt h i sp a p e rw ea n a l y s et h ee x i s t i n gp r e d i c t i o nm e t h o d s a n ds i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h ep r e d i c t i o np e r f o n 】a a i l c eo ft h ee x i s t i n gp r e d i c t i o nm e t h o d s i nt h i sp 印e fw ed i s c l l s st h et h e o r ) ，a n dm e t h o d so fp h a s es p a c er e c o n s t m c t i o n i n t h i sp a p e rw eu s et h em a t r i xc o n s t n l c t e db yh i 曲一o r d e rs t a t i s t i c sf u n c t i o nt oe s t i m a t e t h ee m b e d d i n gd i m e n s i o n w es t u d ym e t h o d su s i n gh i g h - o r d e rs t a t i s t i c s 如n c t i o nt o c o n s t 九l c tm a t l j x e sa n df i n d t h eb e s tt w om e t h o d s s i m u l a t i o nr e s u l t sp r o v e dt h ev a l i d i t ya n dm es t a b i l i t yo ft l l i s m e t h o d 2 t h e r ea r em a n ym e t h o d sw h i c hc a i l a n a l y z et h es i n g l et i m es e r i e s i nt h e n o n l i n e a ft i m es e r i e sa n dr c s u m et h en o n l i n e a rk i n e t i c sc h a r a c t e r i s t i c sf o re x a m p l e c h a o t i ca t t r a c t o re t c i nt h i sp a p e r ，m ed e l a y c o o r d i n a t em e t h o di s a d o p t e dt o r e c o n s t m c t e dt h es p a c ep h a s e t h ek e yo ft h i sm e t h o di st os e i e c tn x e de m b e d d i n g d i i n e n s i o na n dd e l a yt i m e i nt h i sp a p e r ，al a 唱en 啪b e ro f t h e o r ya n a l y s i sw h i c hc a n c h o s et h et w op a r a m e t e r sa r em a d ea l l dr e s e a r c h ，t h ec a r d i n a lp r i n c i p l ea n do n e so w n p l u s e sa n dm i n u s e so ft h e s em e m o d sa r ee x p o u n d e d ，t h ep r o g r a m st h a tc a nr e a l i z e t h e s em e t h o da r em a d e ，锄dh a v eb e e np r o v e d s i n g l ev a r i a b l et i m es e r i e sa r er c c o n s t m c t e db yt h ed e l a y - c o o r d i n a t em e t h o dt o r e b u i l dp h a s es p a c e ，o nm i sb a s et h em e t h o dt h a t 忌t r a n s f o m a t i o nw h i c hi sa p p l i e d i nt h ep h a s es p a c ei sp u tf o r w a r d b yt h i sm e t h o dt h em o s to fe n e r g yo ft h eo r 咭i n a l s i g n a l i sk e p t ，t h ec o r r e l a t i o n si nb e t w e e na l it h ev e c t o r sa r ee l i m i n a t e da _ b s o l u t e l y a t t h es 锄et i m e ，t h ec h a r a c t e r so ft h eo r i g i n a ls y s t e mc a nb eb e n e rr e s u m e d ，m o r e i n f 0 瑚a t i o nc a nb ea c q u i r e da 1 1 dt h ec o m p u t a t i o nc a i la l s ob er e d u c e d 3 o nt h eb a s eo ft h es p a c e p h 勰er e c o n s t r u c t i o h ，t h et w oi m p o r t a n tp a r a m e t e r s t h a tc a nc h a r a c t e r i z en o n l i n e a rs y s t e ma t t r a c t o r si n c l u d e dl y a p u n o ve x p o n e n ta n d c o n e c t i o nd i m e n s i o na r cs t u d i e d ，t h ep r o g r 锄st h a tc a nc a l c u l a t et h e s et w op a r a m e t e r s a r em a d eb y m y s e l f f o rp r o v i n gt h ed e p e n 出【b i l i t ya n dt h ea c c u r a c yo ft h e s e p r o g r a m s ， s o m ec l a s s i c a lc h a o t i cs y s t e m sa r cu s e d ，t h er e s u l ti n d i c a t et h ev a l u e s v i a b j ；仃a c t c a l c u l a t c db yt h ep r o g r a m sa c c o r d 谢mt h et h e o r yv a l u e s t h e s ec l a s s i c a ic h a o t i c s y s t e m sa r el o r e n zs y s t e m ， h e n o nm a pa i l dl o g i s t i cm a p n o i s ei s 柚o m n i p r e s e n tp h e n o m e n o n a l le x p e r i m e n t a ld a t ea t 0s o m ee x t e n t c o n 恤n i 触t e db yn o i s e ，t h es e n s i t i v i t yt on o i s eo fc h a o t i cs y s t e mi sac o n s e q u e n c eo f t l l ei n h e r c n ti n s t a b i l i t y a n dt h ei n s i d es t m c t u r eo fc h a o t i ct i m es e r i e sa r ed e s t r o y e db y n o i s e s oi ti sv e r yi m p o r t a l l tt or e d u c et h en o i s ei nc h a o t i ct i m es e r i e s a tl a s tw e d i s c u s st h en o i s er e d u c t i o nm e t h o d s o nt h eb a s i so ft h er e s e a r c hw o r ko fd o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r s ，t l l ep a p e r s t u d i e sn o i s ee 疗b c t st ol a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n to f t h ec h a o t i ct i m es e r i e s ，a c c o f d i n g t ot h es m a l ld a t as e t sm e t h o dw h i c hd e v e l o p e db yr o s e n s t e i ne ta 1 w ed e m o n s t r a t e d f o rv a r i o i l se x a m p l e su s i n gd a t af r o ml o g i s t i cm a p ，h e n o nm a pa n dl o r e n zm a p ， w h i c hw e c o n t 锄i n a t e d 、v i t hn o i s e i nt h i sp a p e r ，t h et i m es e r i e sw e r ep r o d u c e d 协a s u p e r p o s i t i o no fg a u s sw h i t en o i s eg e n e r a t e db yr a l l d o mn u m b e ra l l dn o i s e f r e ed a t a a 沌a i l a l y s e de 虢c t so fl e n g t ho ft i m es e r 呈e sa n de m b e d d i n gd i m e 船i o nt ot h el a r g e s t l y a p 蚰o ve x p o n e n t u n d e rt h es 锄es i g l l a l t o h o i s er a t i o ( s n r ) ，a sw e l la s 蠢 w e r e s e a r c h e dt h ec h a n g et e n d e n c yo fl a 喀e s tl y a p u n o ve x p o n e n tu n d e rd i 腑r e n ts n r ， t h ec o n c l 吣i o ni m p l i e st l l a tt h ee f f e c t so fn o i s ei sn o to b v i o u sw h e ns n ri si n 垂0 e n + s c o p e ，w h i c hh a st h ei m p o r t a n t 坨o r y 柚dp r a c t i c es i g n i f i c a n c et 0d i a g n o s i so f n o n l i n e 觚c h a o t i cc h a r a c t e r i s t i co f 如ee c o n o m yo r 矗n 8 n c et i ：m es e r i c sc o n t a m i n a t e d w i t hn o i s ei nc e n a i nd e g r e ei na c t i l a lp f o b l e m 4 b a s c do nm es h o r t - 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d i m e n s i o n a lc 豁e s h e n c ei tw i l lb r i n gn e w p o s s i b i l i t i e si n p r o d u c i n gc h a o s s u c h s y s t e m se x h i b i t c h a o t i cb e h a v i o rn o t r e g u l a r l yc o m p a r e dt o t h ea b o v e e x 锄p l e sa sp a r 啪e t e rc h a n g e s t h a ti s ，t h es y s t e md o e sn o t ，a sk e yp a r a m e t e rc h a n g e s ， s i m p l y t a k eo n eo ft h et h r e ek n o w l lr o u t e s ( p 喇o d d o u b l i n g c a s c a d er o u t e ， i n t e n i l i 讹n c yr o u t e ，q u a s ip e r i o d i c i t yr o u t e ) a i l de v o l v e sr e g u l a r l yt oc h a o s t h e r c s u l t ss h o wm a tm e r ea r et w ot y p i c a le v o l u t i o n sf o rt h et w o d i m e n s i o n a iq u a d r a t i c m 印，w h i c hl e a dt od i f 绝r e n tk i n d so fc h a o t i ca t t r a c t o r s t h ea 1 1 a l y s i si n d i c a t e st h a tt h e p e r i o d i co r b i t so c c u f t e dd u r i n gt h ew h o l ee v o l u t i o ni si n t e r r e l a t e d i na d d i t i o n ，c o u p l e d l o g i s t i cm a pa l l di n t e 眦i t t e n tc h a o sa r cs t u d i e da sw e l l t h er e s u l t sa r es i g n i n c a t i v e i nt h ee x p l a n a t i o no ft u r b u l e n c e a n dt h es y s t e m ss t u d i e dh e r em i g h th a v ei m p o n a n t c o n s e q u e n c e sf o ro m e rp l a i l a rm a p sw h i c hh a v et h es a m et y p ea n dn u m b e ro f 矗x e d p o i n t s a f t e rm a k i n gal a 玛en u m b e ro ft h e o r e t i c a ir e a s o n i n go ft h en o n - l i n e a rt i m e s e r i e s ，t h ea n a l y s i so f t h er e a lm a c r o e c o n o m yd a t aa r ec a 玎i e do nd e e p l y f i r s to f a l l ， t 1 1 ei m b e d d i n gd i m e n s i o na n dd e l a yt i m ea r ec o n f i m e d ，w i t ht h e s et w op a r a m e t e r st h e p l l a s es p a c ei sr e c o n s t r u c t e d t h e nt h el y a p u n o ve x p o n e ma l l dc o r r e c t i o nd i m e n s i o no f m a c r o e c o n o m yt i m es e r i e sa r ec a l c u l a t e d ， e c o n o m i cd a t aa d o p t e da r ep r o v e dc h a o t i c b e c a u s et h ec h a o t i ca n r a c t o r sc a nb es e a r c h e d f i n a l l y ， t h em o d e l so fp r e d i c t i o nb u i l t v i i i b s c m c t u pa l r e a d ya r ea d o p t e dt oc a r r i e d0 ns h o r t t e mp r e d i c t i o no ft h em a c r o e c o n o m yt i m e s e r i e s k e ) ，w o r d s ：p h a s e s p a c er e c o n s t m c t i o n ；l y a p u n o ve x p o n e n t ；忌t r a n s f o 珊a t i o n ； e m b e d d i n g d i m e n s i o n ； h i g h - o r d e rs t a t i s t i c s ；s i g n a l t o n o i s ef a t i o ( s n r ) ； m a c r o - e c 伽【0 1 【i l ys y s t e m ；t w 0 d i m e n s i o n a lm 印p i n gs y s t e m ； c h a o t i ca t t r a c t o r ； h o p f b i l r c a t i o n ：r o u t et oc h a o s 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期问论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电予版。本人允许论文被查 阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：施 7 年年月7 日 指导教师签名： 弘胗再 丝多 弘月9 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的 学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所 知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或他人已 申请学位或其它用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：立鞋 讥咿7 年年月7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 混沌理论发展历史及研究现状 有关混沌的数学研究历史可以追溯到1 8 9 0 年代的法国科学家庞加莱，他的研 究发现即使只有三个星体的模型，仍导致明显的随机结果。他提出三体问题在一 定范围内其解是随机的，实际上这是一种保守系统中的混沌。 1 9 5 4 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫( a n k o l m o g o r o v ，1 9 0 3 1 9 8 7 ) 发表 了哈密顿函数中微小变化时条件周期运动的保持，奠定k a m 定理的雏形。他 的学生阿诺尔德( v i a m o l d ) 和瑞士数学家莫泽( j m o s e r ) 给出严格数学证明， 为明确保守系统中存在混沌现象的理论铺平了道路。 2 0 世纪6 0 年代，斯梅尔( s t e p h e ns m a l e ) 研究微分动力系统结构不稳定性， 试图对动力系统行为分类。1 9 6 3 年，洛伦兹( l o r c n z ) 指出，在三阶非线形自治 系统中可能会出现混沌解。2 0 0 0 年，自然杂志发表评论文章t h e l o r e i l z a n f a c t o r e x i s t s ，首次从数学上严格证明自然界存在l o r e n z 吸引子。1 9 6 4 年，恩龙( h e n o n ) 以k a m 定理为背景给出h e n o n 映射，这其实是二维不可积h a m i l t o n 系统中确定 性随机行为，即h e n o n 吸引子。1 9 7 1 年，茹勒( d r u e l l e ) 和塔肯斯( f t a k e n s ) 发表论湍流的本质，第一次提出用混沌描述湍流形成机理的新观点。发现第一 条通向混沌的道路，并命名为奇异吸引子( s t 咖玛ea n r a c t o r ) 。 1 9 7 5 年，李天岩( t i a n y a l l l i ) 和约克( y o r k ) 在美国数学月刊上发表周期3 蕴含着混沌，给出l i y o f k e 定理。1 9 7 6 年，梅依( m a y ) 发表具有复杂动力 学过程的简单数学模型讨论l o g i s i c 方程。2 0 世纪8 0 年代p a c k a r d 、儆e i l s 和 f a r i l l e r 等根据w h i t n e y 拓扑嵌入定理提出重构相空间方法，g r 硒s b e 唱e 、p r o c a c c i a 和w b i f 在此基础上提出直接从时间序列计算奇异吸引子统计特征量( 如分形维 数、l y a p 蛐o v 指数) 方法，混沌理论进入实际应用阶段。 随机混沌主要研究确定性系统在随机微扰下的混沌动力学行为，目前已成 为随机动力学研究的重要论文之一。从1 9 9 3 年开始，s i m i u 【i q 】等人研究噪声对非 塑! ! 三些查兰苎圭兰垡堡奎塑窒塑重塑：坌墨墨丝堕墨竺堕! ! 兰坌堑 线性动力学系统的影响，得到衡量d u 伍n g 振子在噪声诱导作用下混沌响应的随机 m e i n i k o v 过程，并得出结论：针对一类非线性系统，随机扰动同谐和扰动作用机 理相同，都能促进通过鞍点的稳定和不稳定流形横截相交，进而产生混沌。 1 9 8 8 年，郝柏林与丁明洲研究洛仑兹模型找出与反对称三次映射的关系，1 9 8 9 年郝柏林、郑伟谋发文推广符号动力学，1 9 9 4 年郝柏林等人完全解决了有多个临 晃点的一维连续映射周期数问题f 4 5 】。 研究表明1 9 删，即使很弱的噪声也能对确定性动力学系统产生实质性影响，噪 声甚至可以改变系统的演化过程，产生新特征。2 0 世纪9 0 年代，戎海武、徐伟 等将确定性多尺度方法推广到随机动力学系统，解决了多个非线性随机系统的定 性问题，其噪声干扰或噪声激励动力学系统研究备受瞩目。 最早将混沌理论用于经济学研究的是美国经济学家s t u s e r ，随后j b e n h a b i b 和r d a y 的合理选择与不规则行为应用混沌理论研究效用函数的长期性态， r d a y 的i r r e g u l a rg r o 、v t hc y c l e s 、t h ee m e 娼e n c eo fc h a o sf r o mc l a s s i c a l e c o n o m i cg f o w t h 研究了包括人口自然出生率、生产率和人均工资收入的古典 经济增长模型。这几篇文章使混沌经济理论首次进入主流经济学的学术领地。