（应用数学专业论文）带robin边值条件的奇异半线性椭圆方程正解的存在性.pdf

摘要 本文考虑了一类带r o b i n 边值条件的奇异半线性椭圆方程 a u - ( 1 + 赤) 钰+ 矿= 0 1 i 群， 嘉+ h 扎z a 硪 o ， u ( x ) 一0 ，当一0 0 时， 正解的存在性，这里群= ，彳n ) i x n 0 。，= ( z l ，现，z 一1 ) ，钟毪= ，工) f 士= 0 代表冗芒的边界i 是a 上的单位外法向其中指数p 满 足；若3 。1 p 而n + 2 ；若= 1 ，2 。1 p 。，一( 竺) 2 p o ) ，w i t ht h eb o u n d a r ya 群一 ( 一，茁) l z = o ) ， = 0 l ，勋，3 ：n i ) ，pi st h eu n i to u t w a r dn o r m a lo na 础t h ei n d e x ps a t i s f i e s ： l p 而n + 2 i f 揖1 p o i - ( 竿) 2 p 互1 一( 竿) 2a r e 一跳 t h e o r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa st h ef o l l o w i n gl i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c et h ef o r mo fs e m i l i n e a rs i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t h r o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o ni nh a l fs p a c ea n ds o l y i ek n o w nr e s u l t s i ns e c t i o n2 ，w eg i v e 蜘e x p l i c i tf o r m u l af o re x p o n e n t i a ld e c a yp r o p e r t i e so f g r o u n ds t a t e sf o rt h ee l l i p t i ce q u a t i o n si nt h ew h o l es p a c er n i ns e c t i o n3 ，w ev e 一母t h e 碱t i o n ( 3 8 ) h o l dn a t u r a l l y 坶u s i n gt h eg r o u n d s t a t es o l u t i o ni nw h o l e s p a c ec o r r e s p o n d i n gt o ( 1 4 ) a n dp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h e p o s i t i v es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a ld e c a y , m o u n t a i np a s st h e o r e m ，t h e 喇s t 懈 o fp o s i t i v es o l u t i o n s 掣 z ， 叮 仉 = 群。肛畔弧 + 1 h 沁 z 叫 上川q 捃枷甜 1 u 0 一 + 卜缸钆一加啦，f-ii_j、i-_l 硕士学位论文 a s r e r s t h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 玛颖 日期：功吵年多月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 嵌着鲞名：强 日期：力年 ， 算灸 月7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按，“章程”中的 规定享受相关权益。回垂论塞握套卮澄厦；旦圭生；旦二生；旦皇生蕴查羔? 1 。j ，； 毒蠢譬，：； 作者糖曩善灸 导师签名：瞧鏊籍 日期：0 7 年5 月7 日 日期：哆年月7 日。 第一节引言 近几年来。有很多人对带h a r d y 项的半线形椭圆方程很感兴趣，比如说康东升 帮邓引斌研究了如下问题 见文f 1 1 】) 叫静：# 州毗 ( i 。) 卜o 蚝矾 u 1 7 这里的区域q 是l p 中包含原点的有界光滑区域，0 s 2 ，2 + ( s ) ：= ! 照n - - 生2 是临 界s o b o l e v - h a r d y 指数他们找出方程的达到函数，分析了各种情形时解的情况 n g h o u s s o u b 和c y u a n 在2 0 0 0 午研究了下面问题( 见文f 9 】) = = ：叫煮小| r - 气晓 2 ， 其中a ，p 是正的参数，q 是，p 中的有光滑边界的有界区域，0 在其内部，1 九。a 永远不可达 从f 1 】【9 】【l l 】中受到启发，我们对于带r o b i n 边值条件的一类椭圆问题进行研 究 在这篇文章中，我们考虑带有r o b i n 边值条件含h a r d y 项的半线性椭圆方程 的正解的存在性我们将讨论如下边值同题 f 一( ，+ 许) 牡+ 矿_ 0 z 群， + 地- o z 溅 o ， ( 1 4 ) lu ( z ) 一0 ，当h o o 时， 这里j = ( 一，x n ) z n o ) ，一= ( z l ，z 2 ，x n 一1 ) ，a 冗掣= ( 一，z ) i z = o ) 代表衅的边界，i ，是a 桦上的单位外法向其中指数p 满足：若n 3 ， l p 0 ，z 艘 2 ，-lli-，、l-_ 硕士学位论文 m a s t er ，s t h e s i s 该问题在p = 0 时是无解的( 可用p o h o z a e v 恒等式证明) 个有意思的问题是： 是否可以找到一个临界点a 。，使得对于a 0 ，a ) ，问题( 1 4 ) 存在个解l 对于 a 九。问题( 1 4 ) 无解本篇论文的目的就是回答这个问题 h e n r ib e r e s t y c k i 和j u n c h e n gw 苗在研究问题( 1 3 ) 的正解的存在性时，运用 集中紧原理证明了问题( 1 3 ) 有解的充分条件，并利用问题在全空间上的基态解” 验证了此条件，从而证明了存在性结果其中的基态解t t ，是存在且唯一的。而且它 径向、单调减少而本文在讨论( 1 4 ) 的正解的存在性时，对应问题( 1 5 ) 的基态 解加是否也是存在且唯一。是否径向且单调减少呢? 这是我们进一步将要考虑的 问题( 1 5 ) 的基态解的存在性已经由邓引斌和金玲玉证明( 见文【5 】) 在第二节 中我们对问题( 1 5 ) 的第一式作变换，消去它的奇性，从面证明了基态解缈在区间 ( r o ，+ 0 0 ) 中是严格单调减少的( 其中r o 是非负常数) 为了下文中证明( 1 4 ) 正解 的存在性方便，我们假设有以下条件成立t 假设( a ) ：问题( 1 5 ) 有唯一解t ( z ) ，且t ( z ) = “( r ) 是径向的 在本文中一直有假设( a ) 成立我们参照rg a r d n e r 和lap e l e t i e r 的方法 ( 见文【1 4 j ) ，将( 1 5 ) 中第一式化为一个一阶常微分方程组，利用效学分析的知 识，得出了问题( 1 4 ) 在全空间中的基态解t ，在无穷远处的指数衰减表达式，也就 是我们这篇文章的第一个主要结果 定理1 1 令t 0 ) = t ( r ) 是( 1 5 ) 的正的径向基态解，那么存在个常数a 0 ， 使得当r 一时， “( r ) = e r 一掣t f l + ( n - 1 ) 百( n - 一3 ) + 4 # + o ( 抛 ! 绰：- 1 一n - 1 一( n - - 1 ) ( n - 3 ) 4 # u 三盟 t ( r ) 2 r 8 r 2 r 2 。 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 问题( 1 4 ) 对应的变分泛函厶m 记作 晰= ；厶( 附+ 舻+ p 锘) 如- 南厶矿p 出+ ：厶) 2 如， ( 1 9 ) 3 硕士学位论文 m a s t e i t s t h e s i s 其中 t h 1 ( 磷) ，+ = m a x ( u ，o ) 我们定义 以2 。1 ( 硝i n ) o f 删8 伽u p t x t ”】 ( 1 1 0 ) v 1 ( 且垡) o 事ot o 。 、。 那么我们的另一个主要结果可以包含于如下定理： 定理1 2 ( 1 ) 0sa 1 时，c a 可以被某些t j 达到，伽 为( 1 4 ) 的解； ( 2 ) 令九= 8 u p a i 钆是可达的) ，那么k 1 ；对a k 。 以永远不可达 文【l 】1 中用集中紧原理证明了问题( 1 3 ) 有解的充分条件，并利用问题( 1 3 ) 在 全空间上的基态解t c ，在无穷远处的指数衰减性质验证了此条件，从而证明了存在 性结果，即定理1 1 中( 1 ) 在本文中参照rg a r d n e r 和lap e l e t i e r 的方法( 见文 【1 4 ) ，得t l t l 司题( 1 4 ) 在全空间中的基态解加在无穷远处的指数衰减表达式， 即定理1 1 在证明同题( 1 4 ) 的存在性结果时，本文使用无( p s ) 条件的山路引理 证明了问题( 1 4 ) 有解的充分条件，并利用问题( 1 4 ) 在全空间上的基态解埘作为 试探函数，运用该函数在无穷远处的渐近展式验证了此条件，从而证明了问题( 1 ，4 ) 的存在性结果，即定理1 2 4 硕士学位论文 m a 吼r s t h e s i s 第二节半线性椭圆方程的基态解的指数衰减性 我们考虑半线性椭圆方程 a u - - ( 1 + 静) t + 矿= o ，t 日1 ( ) ( 2 1 ) 基态解的指数衰减性这里我们说个基态解的意思是( 2 1 ) 的个非负非平凡解， 且在无穷远处趋向于0 我们令t ( z ) = 札( r ) 是假设( a ) 中所陈述的径向基态解则u ( r ) 应该满足如下 常微分方程： 卜+ 竿- ( 1 + 筹) 牡+ 矿- 0 r o r 0 ， i o r ，( 2 2 ) iu ( r ) _ 0 ， 当f - _ + o o 时 = r 8 u 再中 。 一= 竿+ ( 竿) 2 + p ， 那么t = r 句移，代入( 2 2 ) 中第一式得， r 一一t ，- f ( n 一1 2 0 ) r 一一一1 t ，一r - 一t ，= 一r 一一矿 等式两边同除以r 。得到 矿+ 型= ! = 翌t ，一可；一r 卅神矿 5l 埋z - 璃足上式的t ，( r ) 在( r 0 ，+ o o ) 中是单调减少的 5 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 证明如果不是这样，那么口( r ) 在( t o ，+ o 。) 内必有一个局部极大值点若存在 f ( 0 ，+ o 。) ，使得( f ) = 0 ，( 0 0 ， i l i 在f 的某一个右邻域内有矿( r ) 0 ，t ，( r 1 ) = 0 由t ，( o 。) = 1 哑口( r ) = 0 ，立即可得存在r 2 ( f ，+ o o ) ， r + 十 。 使得v ( r 1 ) = ( r 2 ) 一方程两边同乘以。( r ) ，再从n 到r 2 积分，则有 p 秽+ 坚半舭雌= j 二_ r - p o + o m 积分上式，由v ( r 1 ) = v ( r 2 ) ，不难得出等式的左边大于零，等式的右边小于零，得 到矛盾所以口( r ) 在( r o ，+ ) 内不可能有局部极大值点，可得t ， 0 证明完 毕 由上述证明可知，t ，( r ) = ( r 9 u ( r ) ) 7 0 ，即o r s 一1 钍( r ) + 一( r ) 0 ，那么易 得t ，( r ) 0 ，则存在彳= 0 ( 于足够大) ，使得 t 孚 一嘉7 r 那么由( 2 7 ) 式可得 ( - ) z ( f ) 1 一z ( f ) j 可以推得当r o o 时，z ( r ) 0 因此，由( 2 4 ) ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 得到 | = i m q ( r ) = n 一1 在方程( 2 1 0 ) 中应用上式，我们利用l h o s p i t a l s 法则得到 熙倒r ) - 一孚 稠2 一l i r a 小砷) + 竿) = 一坠堂# 世 证明记 q ( r ) n 1 r 。q ( r ) ， 其中 q ( r ) = r 2 2 2 一芦+ 户妒一1 。 那么由方程( 2 1 0 ) ，用分部积分，我们可以得到 俐+ 下n - 1 = 一坠半型；1 + f r 。p 矿- 3 e - 2 a q ( p ) d p + 0 ( 刍) 9 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 硕士学位论文 m a 眦r s t h e s i s 现在将上式乘以r ，利用l h 0 6 p i t a l 8 法则和引理2 3 ，我们得到 l i mr 舭( r ) + n = ( n - _ 1 ) 广( n 一- 2 ) + i 1 丁n - 1 ) 2 一善 ：一f 丝二1 2 f 生二翌! 竺 8 定理1 1 的证明，由引理2 4 得。 ( r j 一1 ob p ( r ) 五万j 2 1 一一1 - 2 2 r 2 + 矛， 其中口= ( n 一1 ) 2 ，b = ( n 一1 ) ( 一3 ) i s 及当r 一0 0 时，e c r ) 一0 在( r ，o o ) 上积分， “( r ) ：a e - r r - 学e 丛毯业性 利用泰勒展式得， 缸( r ) = 舻r r _ 华 l + ( n - 1 1 ) 广( n - 一3 ) i 1 + 券+ d ( ；) ， 定理的证明完成 本节中证明的定理1 1 在后面存在性定理的证明中起到了重要的作用 硕士学位论文 m a s t er t s t h e s i s 第三节存在性定理的证明 在这部分，我们利用变分方法分析问题( 1 4 ) ，我们定义( 1 4 ) 对应的变分泛 函为 。 琳= ；厶( w + “锗肛者厶p 如+ ；厶) 2 d s ( 3 1 ) 设w 是以下问题的解 掰- ( 1 + 静+ 矿= o ，z ， w ( x ) 一0 ，当h 一时，( 3 2 ) 伽 0 z r n 那么由假设( a ) 我们知道，埘是径向的，唯一的。而且单调减少如果对任意1 ；p 日1 ( 冗勺，满足 厶c 。埘妒+ 叫妒+ p 雠= 厶矿妒蛾 那么称t l ， 0 是方程( 3 2 ) 的弱解 ( 3 2 ) 所对应的变分泛函为 j m = ；厶( 1 阢1 2 + 矿+ p 荠) 如一币1 厶1 峨 ( 3 3 ) 则( 3 2 ) 的弱解相应于上述能量泛函的正临界点。即，陋j = o 若是( 3 2 ) 的解， 则埘满足 厶( i 加j 2 + t t ，2 + p 品= j ( r n 矿1 如， j r ” p i 记j ”= j m ，那么取矽= t ，( 一，2 ：n r ) ，可以得到 皇旦8 u p 厶p 川= i 。 j n t o 。 1 1 ( 3 4 ) 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 因此，对a 0 以sp ( 3 5 ) 我们有如下引理。 引理3 1 设 a 卜伽i n f 似f r n d u2 蕊- l - 2j _ 型 u 1 2 - ( r n ， “h 1 ) o ， 训f 0 1 其中一( 生手) 2 0 ，使得厶( 缸) 0 - p p 0 ，t 日1 ( 磷) ； ( 2 ) 存在一个非负函数e h 1 ( 冗宰) ，使得厶( e ) 1 ，我们推出存在p 0 ，使得 厶( t ) 声 0 ( 2 ) 对任意t ，o ，t ，o ，t ，日1 ( 冗摹) ，我们有 厶p 川 = 萼厶c 胁h t ，2 + p 臀，如一筹厶c 门州如+ 等厶2 幽 一- - o o ( 当t 一+ ) ，( 3 7 ) 取e = t v ，t 足够大，即证 1 3 m 碳a s t e r 鼢 s t h 文e s 培 引理3 3 对a f o ，+ 。o ) ，p ( 1 ，倦) ，如果存在v o o ，v o o ，v o 日1 ( 雕) ，使 得 s u ph t v o 0 。 那么问题( 1 4 ) 至少有一个正解 。 证明由引理3 2 及( 3 8 ) 有， o c x 5 m i n fs 日u p i x ( 川 0 u p h ( t v o ) ，”， 其中d 表示h 1 ( r 掣) 空间中一类连续的连接0 到e 的道路在引理3 2 中，我们 已经验证了厶阻】满足无( p s ) 条件的山路引理，因此，厶m 关于 以2 代i n 口fs 。u p ，厶( 牡) 有临界序列 h 1 ( 冗) ，使得 厶( 嘶) 一白( 当j 一s o ) ， 。 ( 3 9 ) ， 以( ) 一0 ( 在空间h - 1 ( 兄掣) 中，当歹一时) ( 3 1 0 ) 现在我们证明 ) 在h 1 ( 群) 中有界事实上，由( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ，可以推出 ；厶( i 观1 2 + 霹+ p 并一币1 k f 、，4 - p d x + ：厶时) 2 d s = e x + o ( 1 ) ， 厶“如f 2 + 莺+ p 器) 出一厶时p d z + a 厶( 哼胁= ( 取( 吼啦 因此。我们有 ( ；一击) 厶( 附+ 碍+ p 臀肌( i a 一寿) 厶( 缈如 n + l ( 取( ) ，q ) i + o ( 1 ) 1 4 硕士学位论文 i “a s r e r s t h e s i s 由( 3 1 0 ) 知， ( 最( 吻) ，妒) 一0 比较上面这两个式子得到，对v 妒日( 础) ， 厶c 仇。妒+ 妒+ p 簧) 出+ a 厶c + ，础一厶( u 纰寸 在上式中取 2 u 一= m i n ( u ，o ) 日1 ( 硝) ， 得出 ， 厶( 盯) 2 + ( 牡一) 2 出= o 由此得到 u 一= 0 a e 在础中， 即 t = t + 0 口e 在只! 中 这样，对v 妒日( 础) ，我们有 厶妒机妒+ 肛辞，如+ a 厶t 础一厶矿础= o 因此， t 是( 1 4 ) 在h 1 ( 群) 上的个非负弱解现在我们来证t 0 反证，否 则，若“兰o ，由 ( o ) = 0 以易知，吻在日1 ( r 掣) 中不强收敛于0 那么由蛳 ：r e 日1 ( 群) 中弱收敛于u 及b r e z i s l i e b 引理。得到当歹一时， 。 0 i l 备，= 0 u l i 备- + i 0 刍，+ o ( 1 ) ， ( 3 1 2 ) 吩f i 筹；= 肛j f 筹；+ i kj f 筹：+ o ( 1 ) ( 3 1 3 ) 厶m 2 d s = 厶u 2 如+ 厶咖+ d ( - ) ， ( 3 “) 1 6 m a s t e r 雠 s t h 文e s 培 炅甲吩2 一t 田【1 4 j 拨( 3 1 0 ) 我们有 幻酬2 + 嵋+ p 筹) 如+ a 厶( 如= 厶( 护，出+ d ( 1 ) “。) 厶( 例2 + p 臀肼a 厶2 d s = 厶矿如+ o ( 1 ) ( 3 1 6 ) 因此，由( 3 ，1 5 ) ( 3 。1 6 ) 得 厶( 附+ 谚+ p 管肼a 厶( 秽如= 厶( 伊- 如圳( 3 胛) 由( 3 9 ) 及( 3 x r ) 可得，当歹一0 0 时。 o ( 1 ) + “= i ( u j ) = 厶( 乱+ ) = 厶( t 。) = ；厶( 附+ 喀+ p 器胁互a 厶( 秽幽一寿上芒( 伊- 如+ d ( 1 ) = ( ；一矿1 _ ) z 型( 哼) 升1 如+ 。( 1 ) ( 3 1 8 ) 另一方面，由s o b o l e v 不等式和( 3 1 7 ) ，得到 a o 哆i i 知- 厶( i 。1 2 + 哼+ p 管) 出i i 妒。筹i + 。( 1 ) ， 因此。 8 吩+ p + p - 1 1 + d ( 1 ) 24 2 ， ( 3 1 9 ) 其中 a护in帅ffn掣loul2+备u2。u,eh 竺 1 ( r 掣) 、 o i l 让i | 0 1 1 7 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 由( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ，我们有 ， 钡2 ( 五1 一寿) 厶( 哆) 州+ o ( 1 ) ( ；一寿) a 笋+ o ( 1 ) ( 3 2 。) 记 伽础”i n 叭f 斜趔学 “e h l ( r ”) 、 o j i f | k l 由引理3 1 ，我们知道昔a - 可以由函数t ，达到，i p + 。= 1 ，那么a 声 是 问题( 3 2 ) 的基态解由基态解的唯性，我们有棚：a 声t ，因此 ，”= ：l ( i d w l 2 + 加2 + p 箬) 如一1 万f r , , w r + 1 如 = ；a 产厶( f 肌1 2 + t ，2 + p 萎) 如一而14 j 厂r n t ，舛- 如 = ( ；a 声“一而1 以产) 上，1 出 = j 1 一而1 胪 ( 3 2 1 ) 由于( 3 2 ) 的基态解是径向的，我们有 a 2 互芝搿= 笙鬻= a 。 c 。z z ， ( 厶伊1 ) 南( 山) 南 一”_ 由( 3 2 0 ) ( 3 2 2 ) 得到，呶p 与( 3 8 ) 矛盾引理3 3 证毕 我们容易得到 推论3 1 若对某些a 0 ，满足q i o o ，那么戗可达 引理3 4 设0 a 1 a 2 ，若以。可达，则c a ，必可达 1 8 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 址明由c 。口j 述，傲达剑凼效是u b ，即= k 阻知】这样，当0 a 1 九 时， 厶- 】= ；厶( 胁划2 + 唬+ p 告) 如一寿厶瞄1 如+ 等厶掣。幽 ；厶( 嘲针p 参肛而1 厶嚼1 如+ 誓厶如 = 厶，心 ：j 因此，钡。s 厶。陋 ：】 o 、 令e = ( o ，o 1 ) r ，现在我们来计算当月很大时，h t n v 月】的值由定理1 1 可 以推出， l t p 卧1 ( z r e ) i c e 一( 2 + a 2 ) 月叫4 2 ( 。) 。( 3 2 4 ) 因此，我f f 】得到了 厶( 阢1 2 + 护+ 弘爵) z + 厶榭幽 2 厶川z 一酬出+ 厶加( - - 兄e n ，掣如 + a 厶舻( z m 帕 2 厶矿+ 1 出+ 。( e 一( 2 卅2 ) 丑) + 厶0 扛一庇) 坝z 一觑西_ 了r 函 ：+ 0 p m ) 1 d 。 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s = 厶矿1 出+ 。( e ( 2 + 柏r ，+ 厶加2 。一w ，( 孑忙一觑，f = 名习+ a ) 击 令q = i z l ，因此在a 础上有加扛一船 r ) = 仰( “f 雨) 对r 1 ，我们有 石丽5 = r 、厅而= r ( 1 + t i 2 2 r 2 + o ( c 1 4 ) ) = r + a 2 2 r + o ( o t 4 i r a ) ( 3 ，2 5 ) 取o t = v - 瓦t ，首先考虑a 0 ，使得 ，十，+ o o 4 c 0 e - t 2 t n - 2 d t = _ e - t 2 d t j 0 j o 我们得到当a 1 + 簧，其中匈满足( 3 2 9 ) ，有 ( 3 2 6 ) 幻驯2 w + p 辞肌厶埘如 。升1 ( z ) d z + o ( e 一( 2 + 4 2 ) 冗) j r n fi s n - i l r 孚( a 一- ，。+ o o w 2 ( 厕扩2 坤+ d ( 轨若a 1 ， + 卜- l | 争糌弋一；z 佃盼t 2 1 ) ) 若娜t 坞 z ! 丢告矿1 一觑) 出= 厶丢j 1 ( z ) 出+ 。( e - ( 2 + o 2 ) r ) ( s z t ) 我们很快得到当a 1 + 鲁r 1 ， c , 、 s 伽u p l x t v n = 厶咖】 ；上。t 1 出一上，矿1 万t 1 出= p ( 3 2 8 ) 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 由推论3 1 ，定理1 2 的第一部分得证 由( 3 2 9 ) 我们知道。当a l + 簧及r 1 时，有颤 1 我们可以考虑以下两 种情况：九= + o o 或者l 九 + 另外，由引理3 4 知，对a 九，c 是可 达的定理l 2 的第二部分成立 参考文献 1 】h b e r e s t y c k i ，j - c w e i ：o ns i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m sw i t hr o b i nb o u n d a r y c o n d i t i o n ，a n n s c u o l an o r m s u p p i s ac i s c i ( 5 ) ，v 0 1 n ( 2 0 0 3 ) ，1 9 9 - 2 3 0 2 】d m c a oa n dy - b d e n g ：o nt h ee x i s t e n c ea n dn o d a lc h a r a c t e ro fs o l u t i o n so f s i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a c t m a t h s d ，1 0 ( 1 9 9 0 ) ，4 7 1 4 7 8 【3 】a d i l l o n ，pk m a l n ia n dh g o t h m e r ：p a t t e r nf o r m a t i o ni ng e n e r a l i z e dt a r i n g s y s t e m s i s t e a d y - s t a t ep a t t e r n si ns y s t e m sw i t hm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s j m a t h b i o l ，3 2 ( 1 9 9 4 ) ，3 4 5 - 3 9 3 4 1e n d a n d e r ，j w e i ：o nt h el o c a t i o no fs p i k e so fs o l u t i o n sw i t ht w os h a r pl a y e r sf o r a s i n g u l a r l yp e r t u r b e ds o m i l i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e m ，j d i f f e q m 1 5 v ( 1 9 9 9 ) ，8 2 - 1 0 1 【5 1y - b d e n g ，l - y j i n ：ao o b a lc o m p a c tr e s u l tf o ra s e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mw i t h h a r d yp o t e n t i a la n dc r i t i c a ln o n l i n e a r i t i e so l lr n 6 】y - b d e n g , q ，g a oa n dd d z h a n g ：n o d a ls o l u t i o n sf o rl a p l a c ee q u a t i o n sw i t h c r i t i c a ls o b o l e va n dh a r d ye x p o n e n t so nr n ，d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sd y n a m i c m s y s t e m s - s e r i e sa 【7 】m j e s t e h a n ，pl l i o n s ：e x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c er e s u l t sf o r8 e m i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m si nu n b o u n d e dd o m a i u s ，p r o c r o y s o c e d i n b u r g hs e c t a 9 3 ( 1 9 8 2 ) ，1 - 1 4 8 】b g i d , w - m n ia n dln i r e u b e r g ：s y m m e t r yo fp o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n si nr n ，i n ：。m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，p a r ta ， a d v m a t h s u p p l s t u d i e s7 a ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ( 1 9 8 1 ) ，3 6 9 - 4 0 2 【9 ln g h o u s s o u ba n dc y u a n ：m u l t i p l es o l u t i o n sf o rq u a s i - l i n e a rp d e 6i n v o l v i n gt h e c n t i c a ls o b o l e va n dh a r d ye x p o n e n t s ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，3 5 2 ( 2 0 0 0 ) ，5 7 0 3 - 5 7 4 3 【1 0 】r g a r d n e r l a p e l e t i e r ：t h es e to fp e s i t i v es o l u t i o n so fs e m i l i n e n re q u a t i o n si n l a r g eb a l l s ，p r o r o y s o c e d i n b u r g hs e c t a1 0 4 ( 1 9 8 6 ) ，5 3 - 7 2 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 【1 1 】n s k a n ga n dy - b 。d e n g ：e x i s t e n c eo f s o l u t i o nf o ras i n g u l a rc r i t i c a le l l i p t i ce q * t i o n ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n sn o 2 s 4 ( 2 0 0 3 ) ，7 2 4 - 7 3 2 【1 2 】p l l i o n s ：t h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei nt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s t h e l o c a l l yc o m p a c tc a b o i a n n i n s t h p o i n c a r ea n a ln o nl i n e a i r e1 ( 1 9 8 4 ) 2 2 3 -