10.建模作业_水塔供水.doc

数学建模课程作业题-10第二章 算法模型-水塔供水将水塔供水的两个供水时段、两个用水时段的水流量、用水量程序实现，给出相关数据表。 将所有程序和计算结果呈现在此文档中。一、问题提出某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约 8.2m 时,水泵自动启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。表1是某一天的水位测量记录(符号“/”表示水泵启动 )，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）时刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位968948931913898881896852839822时刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位/108210501021994965941918892时刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822/105910351011二、问题分析流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱体，横截面积是常数，在水泵不工作的时候，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能依靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准越好。这些流量答题可利用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，由表1克制从水位下降了968-822=146（cm），乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量，这个数值可以用来检查拟合的结果。三、模型假设（1）流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m（设出口的水位为0），因为，所以可忽略水位对速度的影响。（2）水泵第一次供水时段为，第二次供水时段为h，这是根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位测量记录做出的假设，其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h），最后1个时刻来自每次供水约2h的已知条件。（3）水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间单位的平均流量。（4）流量是对时间的连续函数。（5）流量与水泵是否工作无关。（6）由于水塔截面积是常数，为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可，水位是时间的连续函数；水位对时间的变化率（流量）；任何时刻的流量：。四、建立模型（1）拟合水位-时间函数从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第一供水时段和第二供水时段）和三个水泵不工作时段（以下称第一用水时段，第二用水时段和第三用水时段以后）。对第一、第二用水时段的测量数据分别做多项式拟合，得到水位函数和。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3-6次.由于第三时段只有三个测量记录，无法对这一时段的水位做出比较好的拟合，可采取外推的办法解决。（2）确定函数-时间函数对于第一、第二用水时段，秩序将水位函数求导即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的额第二供水时段外推，将第三用水时段流量包含在第二供水时段内，需要拟合四个流量函数。（3）一天总用水量总用水量等于两个水泵不工作时段的和两个供水时段用水量之和，他们都可以由流量对时间的积分得到。五、模型求解用MATLAB计算，可得结果。（1）拟合0,9内各时刻的流量值，见表2。表2：在0,9内各时刻的流量值（水位变化率）00.921.842.953.874.985.907.017.938.9722.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69（2）拟合11,20.8内各时刻的流量值，见表3。表3：在11,20.8内各时刻的流量值（水位变化率）10.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.8433.0230.7529.0727.6026.1725.2324.5223.9823.7723.8624.16（3）拟合第一供水时段9,11的流量，见表4。表4：在9,11内各时刻的流量值（水位变化率）91116.7432.91（4）拟合第二供水时段20.8,24的流量，见表5。表5：在20.8,24内各时刻的流量值（水位变化率）22.0122.9623.8824.9925.9123.9923.18921.6318.4814.62（5）一天总用水量的估计第一、第二用水时段和第一、第二供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量，虽然各时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。1第一用水时段的用水量其中积分值通过梯形公式计算，2第二用水时段的用水量3第一供水时段的用水量4第二供水和第三供水时段的用水量通过计算，得出各个时段的用水量及一天的总用水量，见表6。表6：各时刻的用水量及一天的总用水量各时段用水量第一用水时段第二用水时段第一供水时段第二供水时段总用水量14.71258.0450.4074.91946.60其中，四个时段都用三次多项式进行拟合，如果第一用水时段，第一、第二供水时段用三次多项式及第二用水时段用四次多项式拟合，得到另一组计算结果，见表7。24h水流量的曲线见图1。表7：各时刻的用水量及一天的总用水量各时段用水量第一用水时段第二用水时段第一供水时段第二供水时段总用水量14.71258.0950.4074.91946.73图1：24h水流量的曲线图附录t = 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95. 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91;h = 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 . 866 843 822 0 0 1059 1035 1018;% 第一用水时刻流量c1 = polyfit(t(1:10),h(1:10),3);a1 = polyder(c1);x1 = -polyval(a1,t(1:10); tp1 = 0:0.1:9;x11 = -polyval(a1,tp1);% 第二用水时刻流量c2 = polyfit(t(13:23),h(13:23),3);a2 = polyder(c2); tp2 = 11:0.1:20.8;x2 = -polyval(a2,tp2);% 拟合第一供水时段9,11流量xx1 = -polyval(a1,8 9);xx2 = -polyval(a2,11 12);xx12 = xx1 xx2;c12 = polyfit(8 9 11 12,xx12,3);tp12 = 9:0.1:11;x12 = polyval(c12,tp12);% 拟合第二供水时段20.8,24流量dt3 = diff(t(26:28);dh3 = diff(h(26:28);dht3 = -dh3./dt3;t3 = 20 20.8 t(26) t(27);xx3 = -polyval(a2,t3(1:2),dht3;c3 = polyfit(t3,xx3,3);tp3 = 20.8:0.1:24;x3 = polyval(c3,tp3);polyval(c3,t(24:28);% 各时刻的用水量及一天的总用水量h1 = 0.1*trapz(x1);h2 = 0.1*trapz(x2);h12 = 0.1*trapz(x12);h3 = 0.1*trapz(x3);V = (h1+h2+h3+h12)*237.8*0.01;% 第二用水时段用四次多项式拟合c2 = polyfit(t(13:23),h(13:23),4);a2 = polyder(c2); tp2 = 11:0.1:20.8;x2 = -polyval(a2,tp2);h1 = 0.1*trapz(x1);h2 = 0.1*trapz(x2);h12 = 0.1*trapz(x12);h3 = 0.1*trapz(x3);V = (h1+h2+h3+h12)*237.8*0.01;% 24h水流量的曲线图%