（光学专业论文）基于方向耦合器耦合波分析的一种新方法.pdf

内容提要 光通讯技术的发展对方向耦合器的需求将日益增加，技术的发展必然对设 计提出更高的要求。因此，在对方向耦合器中广泛采用的弱耦合理论进行重新 评价后，发展一种更严格的耦合模理论不仅是件具有创新意义的工作，且将对 下一代高性能耦合器的发展具有重要的指导作用。有鉴于此，本论文在弱耦合 理论的基础上，致力发展一种数学形式简单且物理意义鲜明的耦合模理论，着 力体现科学的继承性和创新性。 第一，考虑两光纤相距较近时的情况，仍假定模式场不变，但两光纤的模 式场之间的重叠量s 较大，从h e l m h o l t z 方程出发，采用耦合模分析方法，在 计及模式的非正交性后，推导出定向耦合器的耦合波方程、耦合系数以及输出 功率特性等。通过数值计算，对修正前后的耦合波方程、耦合系数以及输出功 率特性等进行比较。 第二，创新性地提出一种进一步发展耦合器的耦合模理论的新方法，即将 两光纤的模式重叠量作为参量，构造一种特殊的么正变换，将非正交的分立光 纤的模式变换成一对新的局域正交模，并给出这对局域正交模的耦合波方程及 其解析解，该理论的结果将现有的弱耦合理论作为它的零级近似。 关键词：方向耦合器；耦合模理论；局域正交模；么正变化 a b s t r a c t w i t ht h e d e v e l o p m e n to fo p t i c a l f i b e r c o m m u n i c a t i o n s ，t h eo p t i c a l f i b e r d i r e c t i o n a lc o u p l e r sa r ep a r t i c u l a r l yd e m a n d e d t h ed e s i g ni sr e q u i r e dm o r ea n dm o r e w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g y s ot h ew e a kc o u p l i n gt h e o r yi sn e w l ya p p r a i s e d a n dam o r er i g o r o u so n ei sd e v e l o p e d ，w h i c hi sv e r yi n n o v a t i o n a la n dc a ni n s t r u c tt h e c o u p l e r sd e v e l o p m e n t i n t h i s p a p e r ，b a s eo nt h ew e a kc o u p l i n gt h e o r y ，t h e i m p r o v e dc o u p l e d - m o d et h e o r yh a ss i m p l em a t h e m a t i c sf o r m a t a n di so fg r e a t p h y s i c a ls i g n i f i c a n c ea r ed e v e l o p e d ，w h i c hc a ne m b o d yt h es c i e n c e c o n t i n u i t ya n d i n n o v a t i o n f i r s t l y ，w h e nt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ec o r e si s s m a l le n o u g h , w es u p p o s et h e o r i g i n a lf i b e r s m o d e sr e m a i nu n c h a n g e db u tt h eo v e r l a pi n t e g r a lsi sl a r g eb e t w e e n t h ee v a n e s c e n tf i e l d so ft w ot 丘b e r s b a s e do nt h em a x w e l le q u a t i o n ，t h e c o u p l e d m o d e st h e o r yw i t hn o n - o r t h o g o n a lf i b e r s m o d e sa t t h ec o u p l i n gz o n ei s a n a l y z e d t h e f tt h ec o u p l i n ge q u a t i o n sa n dt h es i m p l ef o r m u l a so f t h eo u t p u tp o w e r s a l eo b t a i n e d ，w h i c ha l ec o m p a r e dw i t ht h o s ef r o mt h ew e a kc o u p l i n gt h e o r y s e c o n d l y ，a ni m p r o v e dc o u p l e d m o d et h e o r y i sp r e s e n t e d i nt h i st h e o r y ，t h e l o c a lo r t h o g o n a lm o c l c sa r ei n t r o d u c e di nt e r m so fau n i t a r yt r a n s f o r m a t i o nt ot h e o r i g i n a lf i b e r s n o n - o r t h o g o n a lm o d e s ，i nw h i c ht h eo v e r l a pi n t e g r a lsb e t w e e nt h e e v a n e s c e n te l e c t r o m a g n e t i cf i e l d so ft w of i b e r si sc o n s i d e r e da sp a r a m e t e r t h e na c o u p l eo fc o u p l i n gm o d ee q u a t i o n so fl o c a lm o d e sa n dt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n st o t h e s ee q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e d t h ez e r o o r d e rt e r mi nt h e s es o l u t i o n sa r ei n a c c o r d a n c ew i t ht h o s ed e d u c e df r o mt h ew e a kc o u p l i n gt h e o r y k e y w o r d s ：d i r e c t i o n a lc o u p l e r ；c o u p l e d m o d et h e o r y ；l o c a lo r t h o g o n a lm o d e s ； u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n n 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 在光纤通讯系统和集成光电子技术中，方向耦合器常用作功率耦合、光开关、 调制和波分复用解复用等，是应用最多的无源器件之一【l “。全光纤方向耦合器的 体积小，工作稳定、可靠，光纤连接方便，是目前使用最多的一种耦合器( 如图1 ) 。 在光无源器件的应用中，它也是仅次于光连接器的最重要的一类器件。随着光纤通 信、光纤传感技术、光纤c a y v 、局域网、光纤用户网及用户接入网、精密测试系 统等的迅速发展，对光耦合器件的需求会进一步增大。 全光纤方向耦合器的制造工艺有三类 1 , 2 1 ：腐蚀法【7 】、熔锥法触3 1 】、拼接法( 磨 抛法) t o a h 。腐蚀法是用化学方法把一段裸光纤包层腐蚀掉，再把两根已腐蚀后的 光纤扭绞在一起，构成光纤耦合器。其缺点是工艺的一致性较差，且损耗大，热稳 定性差。熔锥法是把两根裸光纤靠在一起，在高温火焰中加热使之熔化，同时在光 纤两端拉伸光纤，是光纤熔融区成为锥形过渡段，从而构成耦合器。其优点是在各 种使用温度下性能均较稳定，但加工时需要十分精密的微调机构和良好的控制系 统，否则工艺一致性难以保证。用这种方法可构成光纤滤波器、波分复用器等。拼 接式单模光纤方向耦合器是利用冷加工( 机械抛磨) 除去光纤的部分包层，使光纤 波导能相互靠近，以形成消逝场互相渗透。制作的方法如下 2 a o , t h ：先在石英基块上 开出曲率半径为r 的弧形槽，把单模光纤粘进弧形槽中，使光纤具有确定的曲率半 径，然后把石英基块连同光纤一起研磨、抛光，除去部分光纤包层，使磨抛面达到 光纤芯附近的消逝场区域。再把两个抛磨好的石英块对合，使光纤的磨抛面重合。 这时由于两纤芯附近的消逝场重叠而在两光纤之间产生耦合，构成方向耦合器。设 计光纤方向耦合器时，主要考虑因素是光纤曲率半径r 和两光纤芯间距d 2 1 。d 的大 小通过光纤包层的磨抛量来控制。由此可控制其耦合率，是其优点之一。耦合器加 工好以后，利用微调装置，改变两光纤的相对位置还可连续改变耦合器的耦合效率， 第一章绪论 是其另一优点。缺点是热稳定性和机械稳定性较差。同时方向耦合器对不同波长有 不同的耦合率，调节方向耦合器，最大耦合效率所对应的波长发生变化。因此方向 耦合器可作为波长选择器，即可在宽的波长范围内获得相应波长耦合输出。根据这 些特性，可设计宽带耦合器和分光比可调谐耦合器 4 2 4 4 1 。 n 三式过= 乡写1 0 u t o l i 2 i 。= = 乡= = = = 2 o u t 图1 全光纤式方向耦台器 表征光纤耦合器性能的主要参数有插入损耗、附加损耗、分光比。分别介绍如 下【1 训。 1 插入损耗l i 。插入损耗指穿过耦合器的某一光通道所引入的功率损耗， 通常以某一特定的端口输出功率p o ，与某一输入端口的功率p i 之比的对 数l i 来表示，即 n 五= l o l g 詈 a s 2 附加损耗l 。附加损耗是指某一端口的输入功率p i 与各输出端1 ：2 功率合 的比值的对数，对于2 2 四端口光纤耦合器，k 可表示为 l 。= 1 0 1 9 击阍 对理想耦合器，l 。= 0 。 3 ，分光比或耦合比c 。分光比或耦合比是指某一输出端口光功率如p l o 与 第一章绪论 各端口总输出功率之比，它代表从一根光纤耦合到另一根光纤的功率的 百分比，即 c ：墨q 置。+ 只o 1 2 现有的弱耦合理论及其评述 方向耦合器的耦合机 3 4 , 1 6 - 17 , 3 2 - 3 6 】是基于两根光纤通过模式耦合，使 其能量发生转移。通常有两种结构型式：一种是拼接式，另一种是熔融拉 锥式。模式场将视两根光纤的靠近程度的不同，可形成强藕合 1 8 - 2 4 】和弱耦 合。现有的耦合模理论主要有两种 2 1 ，一神是直接用复合光纤的超模来描 述，对强耦合或弱耦合的描述均有效，其缺点是数学上复杂且得不到清晰 的概念，因此很少有入使用；另一种是弱耦合理论 1 2 - 1 4 , 3 7 】，认为两根平行 光纤相距较远，邻近光纤的存在不改变两个参与耦合的模式场分布，只改 变其振幅。由于理论的形式简单且物理意义鲜明而被广泛采用。其典型的 代表是斯坦福耦合器( s t a n f o r dc o u p l e r ) o o l 。但是，弱耦合理论的简单形 式是由于忽略了模式场的非正交性，所以它不能对由此所造成的误差做出 估计，当两根平行光纤相距较近时，由于模式场较大的重叠以及模式场本 身的改变，使得理论的近似失效 1 5 , 3 8 - 4 1 1 。 根据弱耦合理论，对于某一根光纤而言，邻近光纤的存在可以看作微扰从 而改变其振幅，而模式场分布并不因邻近光纤的存在而改变，在两光纤模式场 的重叠可忽略的条件下，可建立耦合器的耦合波方程为【工5 3 0 1 巍筏剐蚴 。， 面i c ：0 ) j 2 i 肛：。肛：j l c ：o v、 式中，k 1 l 和k 2 2 为耦合器的自耦合系数，互耦合系数足的形式如下： 第一章绪论 k = k 1 2 = k s l = | i 2 肛一岛田b d a 2 声j j f l l 2 d a ( 1 2 ) 假定光仅仅从光纤1 的输入端输入，即h 纠2 = l ，l c 2 ( o ) f 2 - - 0 所以耦合器的总输 入光功率等于1 而光纤1 的输出功率是 丑= 】2 = c 。s 2 陋) ( 1 3 a ) 光纤2 的输出功率是 最= m j 2 = s i n 2 ( 1 3 b ) 根据耦合比( 分光比) 的定义，我们可以得到稻合器各端口的耦合比为 c t ： = c o s 2 只。+ 民 一 ( 1 4 a ) c ：譬ms i l l 2 恤) 只o + 民 、7 ( 1 4 b ) 上面诸式中，z 为耦合区长度；k 为耦合系数。由式( 1 3 ) 可知，光纤祸合器中， 能量在两个模式之间周期性交换，使两个模式幅度发生周期性变化。耦合效率 可以达到1 0 0 。所以可以通过调节耦合区长度，达到所要求的分光比c 。此外， 分光比也与工作波长有关。为了增加耦合器的带宽，必须降低分光比对工作波 长的依赖关系，通常采取尽量减小包层半径并使两纤芯靠近，当纤芯f n q 距d 在 2 0q - - 2 5a ( n 为纤芯半径) 之f n q 时，耦合区的两光纤的模式场之间的重叠量 s 较大，模式场间较强的相互作用将使弱耦合理论的结果有较大的误差。 1 3 本论文的主要工作及其意义 第一章绪论 随着光通讯技术朝着高速、大容量的方向发展，对方向耦合器的需求将日益 增加，对器件的各种性能指标如插损、带宽、分光比的可调谐等的要求也愈来 愈高，技术的发展必然对设计提出更高的要求。因此，对目前在方向耦合器中 广泛采用的弱耦合近似理论进行重新评价后，在此基础上发展一种更严格的耦 合模理论不仅是件具有创新意义的工作，且将对下一代高性能耦合器的发展具 有重要的指导作用，这正是本论文选题的科学依据。除此之外，理论的普适性 及其简单的数学形式也是作者所追求的目标，因为对于一个简单的耦合器而言， 过于繁杂的数学公式几乎没有实用价值。本文的主要工作分述如下： 一考虑两光纤相距较近对的情况，仍假定模式场不变，但两光纤的模式 场之间的重叠量s 较大，在计及模式的非正交性后，推导出定向耦合器的耦合 波方程、耦合系数以及输出功率特性等。通过数值计算，对修正前后的耦合波 方程、耦合系数以及输出功率特性等进行比较。 二对方向耦合器的耦舍模理论的进一步发展还要考虑到模式场的修正， 合理地构造模式场是解决问题的关键，本文给出一种计及模式重叠s 的特殊么 正变换，将非正交的分立光纤的模式变换成一对新的局域正交模，并给出这对 局域正交模的耦合波方程及其解析解，该理论的结果将现有的弱耦合理论作为 它的零级近似。 三根据新理论给出的耦台系数和耦合功率与光纤参数及工作波长的关系。 通过实例计算探讨耦合器的特性，并与弱耦合理论的相应结果做相比较，对宽 带耦合器和分光比可调谐耦合器的设计进行有意义的探讨。 毫无疑问，本文的工作尚有一些地方可以改进、提高，遗憾之处只好来日 再寻机会补救了。 第二章方向耦合器中的非正交模耦合分析 第二章方向耦合器中的非正交模耦合分析 2 1 引言 拼接式单模光纤方向耦合器，其耦合机理是基于两光纤通过消 逝场耦合的模式理论，即在消逝场模式发生相干涉，使其能量发生 转移。对于耦合器的耦合机理，很多学者从不同角度进行了分析研 究，提出了不同的近似模型。现在被广泛采用的是弱耦合理论。在 弱耦合理论中，认为在耦合区对于某一根光纤而言，邻近光纤的存 在不改变其模式场分布，只改变其振幅，邻近光纤的模式场可以看 作是微扰，并认为两光纤的模式场是正交的。但是当两平行光纤相 距较近时，耦合区的两光纤模式场的相互作用就比较强，若再把这 种相互作用看作是微扰，则产生较大的误差。在这一章中，我们考 虑两光纤相距较近时的情况，此时耦合区的两光纤的模式场之间的 重叠量s 较大，不能将它忽略不计。所以在耦合区的两光纤的模式 场不再具有正交性，而是一对非正交模式场。从h e l m h o l t z 方程出 发，采用模式耦合分析方法，在考虑了模式间的非正交性后，推导 出定向耦合器的耦合波方程、耦合系数以及输出功率特性等。通过 数值计算，并对修正前后的耦合波方程、耦合系数以及输出功率特 性等进行比较。 2 2 现有的弱耦合理论 在正规的2 x2 横向耦合器中，弱导近似下所满足的h e l m h o l t z 方程为： v2 e + k 2 c e = 0 ( 2 1 ) 第二章方向耦合器中的非正交模耦台分析 式中e ( x , y ) 为耦合器的介电常数分布。在现有的弱耦合理论中，认 为邻近光纤的存在不改变两个参与耦合的模式场分布，只改变其振 幅，于是耦合器介质中的场可看作是两根正规光纤模式场的叠加。 假定光纤1 孤立存在时的模式场分布为f l ，光纤2 孤立存在时的模式 场分布为f 2 。两根光纤互相平行靠近后形成的复合光纤的场为： e = c ，b ) e x p u a , o , f , g ，力+ c ：g ) 【p ( 胞z 坂g ，y ) ( 2 2 ) 其中。屈为光纤的传播常数，c ( z ) 为模式的缓变包络项。e x p 眙) 为模式的迅变项，c ( z ) 与e 咖) 之积为两根光纤模式的波动项0 ) ， 即 口，( z ) = c ，( z ) e x p ( j f l i ：) ，f = i ，2 ( 2 3 ) 由( 2 3 ) 式可知： 参z 2 鸸瞪一聃) e x p o p , ：) ( 2 4 ) 其中忽略了二阶缓变项育dz c t 。如果令 a z 。 占= s o + ( s 一占o ) ( 2 5 ) 式中( 五y ) 表示只存在单根光纤时的介电常数分布，将( 2 2 ) 式、 ( 2 3 ) 式、( 2 4 ) 式、( 2 5 ) 式代入( 2 1 ) 式，并利用 v 2 卅专 第二章方向耦台器中的非正交模耦合分析 化简后可得： 叩椭即强+ k 2 c o e 一? 驴2 j p , e j 口, 鲁f ) c ：口慨。( v ? e + 七2 岛b 一卢；f 2 ) + 2 j f l 2 e j p 庐鲁旺 ( 2 6 ) k 2 ( 占一c o ) c l e p 鹏2 + 七2 ( s c o ) c 2 e 8 。9 3 。= 0 ( 2 6 ) 式中的第一项和第三项分别是模式场e 和f 2 所满足的波动方 程，可知它们均为0 ，其余部分两边同乘e x p ( - 隅z ) e ，并在无穷横截 面上积分可得： 2 鹏鲁缈1 2 螂+ 2 伊：聍m 2 鲁班。b 蚴 ( ：7 ) + k 2 c 肌占一氏珥- e a x a y + k 2 叩鹏圳。爪s 一氏蜗e 蚴= o 归一化模式场，即 l 曩1 2 a x a y = 1 则( 2 7 ) 式就化为： 2 胡鲁+ 2 伊：e “p , _ p md 出c , 掣i f f ：疋姗 ( 2 8 ) + _ | 2 c - - 岛) n f l d x d y + k 2 掣鹏硎。肛咱珥f 2 a x a y = o 在现有的弱耦合理论中，近似认为 肛e 螂= 0 9 第二章方向耦合器中的非正交模耦台分析 即近似认为两光纤模式场是正交的。这只有在两光纤间距较大，光 纤1 和光纤2 的模式场重叠部分很少时才能满足。当此近似条件满 足时，( 2 8 ) 式可以化简为： 旦生：j 出 。 我们令 可得 k 2m 占一岛瓶+ f , a a k 2 俅占一岛珥+ e 刎 要三j i c 1 + ，。生j i 虿一p 岛一岛。c ： 同理可得： k 2j ( s 一竭e 幽 ，k 1 2 = k 2 ( e - c o ) f , - 日烈 华= j k i i c l + 竭2 e j ( , 0 2 - p t ) 。c 2 船 孕= 坞t 啦c 1 + 坞2 c ： 盘z 假定两光纤为全同的( 折射率分布完全相同) ，那么显然有 p = 穆。= p ： 则( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 式化为： i d c t = 成，c 。+ 弘，：c ： d c 2 = j k 2 l c l + j k 2 2 c 2 d i z 将关系式( 2 3 ) 式代入( 2 1 2 ) 式，得 1 0 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 第二章方向耦台器中的非正交模耦合分析 ( 2 1 3 ) 由数值计算可得：脉大于k ，。和k ：，所以k l l 和k 2 2 可以略去不计 得 ! 警= 俑( z ) + 竭：口：( z ) 以 i d a 2 = 弘：，口i ( z ) + 伽：( z ) ( 2 1 4 ) 同时，耦合系数k 1 2 与k 2 l 之间具有一定的关系，从能量守恒可以直 接导出。假定两光纤为无损耗光纤，由( 2 3 ) 式可知，通过光纤1 和光纤2 横截面传输的平均功率应分别为 口l ( z ) 2 和i 口：( z ) 1 2 ，如果模式 耦合只发生于这两个光纤之间，而且光纤本身又是无损耗的，那么 两个模式的总功率( h ( z ) 1 2 + 1 口：( z ) 1 2 ) 是保持不变，不随z 变化的， 从而 罢制2 b 0 ( 2 朋) 将( 2 1 4 ) 式代入上式，即可得到 ( 2 1 6 ) 假定两个耦合光纤为对称结构，且两光纤形状及大小相同，为全同 光纤，可得到 k = k 1 2 = k 2( 2 i 7 ) 地 k 膳 砭 + + 郧 + + 口 够 如 上 = = 堕出堕出 ，tf【 第二章方向耦合器中的非正交模耦合分析 胞( z ) + j k a 舡， 亿 l 警= 膨出) + 伽：( z ) m “叫 ，嘲扩 c o 缸s ( k 心z ) ，篇 捌 h ( 0 】2 = p ，i 口：叫2 = o( 2 2 0 ) 气= l a ，( z 】2 = c o s 2 陋h ( o x 2 ( 2 2 1 ) 岛= 口：纠2 = s i n 2 c 纠q 纠2( 2 2 2 ) 第二章方向耦台器中的非正交模耦合分析 三= 品 ( 2 2 3 ) 2 置 、7 这表明耦合元件长度取上述值时，可获得最大的功率耦合。当耦合 长度一定时，假定光功率只从光纤l 注入，则在两个光纤的输出端 都有功率输出，分别为只。= l 口，乜】2 与民= p ：乜j 2 。同时可得耦合器的 耦合比( 分光比) 为 c = 熹= 龇】2 = s i n 2 ) ( 2 2 4 ) 注意，耦合比是在光功率只从一根光纤输入的条件下得出的，不是 两根光纤都有输入时的耦合比。 由于光纤方向耦合器的耦合系数k 是与波长有关的，所以它的 分光比也与波长有关。利用不同波长的分光比不同这个性质，光纤 方向耦合器也可用作波分复用与解复用器。 2 3 非正交模耦合理论 在现有的弱耦合理论中，认为勰合时两耦合模式场是正交的。 但是当光纤芯距较小时，光纤1 和光纤2 的模式场重叠部分很多， 此时就不可再近似认为两耦合模式场是正交的，即们f ：d x d y , 0 。 我们令两光纤模式场重叠量s 为 s = l l f ：r c b c 匆 则( 2 8 ) 式可以进一步化为： 墨三主查塑塑鱼墨主竺! ! 垩銮塑塑鱼坌堑 s e j ( a - p 3 ) 。警+ 拿0 7 , 七2j j i 占一岛) n f , d a = ， 2 p l = 弘1 l c l 十j k l 2 c 2 同理可得： s e 1 ( # 2 - # 0 z 鲁+ 警 = j k 2 肛一岛) e 五幽 2 口 = 弘2 l c l + j 9 2 2 c 2 c i + ， c 2 + j k 2i s ( 6 - - s o ) e l e 谢 2 p , k 2j ( 占一岛塌+ 曩枷 2 口 e “p t - p 2 ) z c 2( 2 2 5 ) p m 一几7 c 1( 2 2 6 ) 同样假定两光纤为全同的( 折射率分布完全相同，形状及大小相同) 且两光纤为无损耗光纤，那么显然有 届= 屈，k l i = k 2 2 ，k = k 1 2 = k 2 1 则( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 式可化为： 化简整理( 2 2 2 ) 式可得 ( 2 2 7 ) q + 慧六 ( 2 ：。) c 。+ 等c ： 卜一叫 1 4 溉 卜 ， r 一 成 膨 = = 堕出堕出 + 卜 堕出堕出 ，博。晒， 一一一州 = = 堕如堕出 ，j、【 第二章方向耦台器中的非正交模耦台分析 令 f = 警待可k - s k n ( 2 2 9 ) 则( 2 2 8 ) 式可化简为 _ d c i ：，乒，+ ，乒2 a t , d c _ 2 ：_ ，髟l + ，乒2 龙 ( 2 3 0 ) 其中( 2 2 9 ) 式为考虑了模式问的非正交性后的耦合系数，此时模式 耦合系数与两光纤的模式场的重叠部分s 量有关。( 2 3 0 ) 式是在考 虑了模式间的非正交性后，推导出的方向耦合器的耦合波方程。比 较( 2 3 0 ) 式与( 2 1 2 ) 式，发现考虑非正交性后的耦合波方程与现 有的弱耦合理论的耦合波方程形式一样，仅仅是模式祸合系数有所 修正，修正后的耦合系数考虑了模式场的非正交性。考虑了模式场 的非正交性耦合波方程的解为 乏跚= 匕舞j 扣e 峪o s ( 毒z ) ) j 嘲 ( 2 。) l c 2 ( z ) jl _ ，s i n ( 乒)l 巳( o ) j 、。7 这表明，模式的能量也是在两个模式之问周期性交换，使两个模式 幅度发生周期性变化。与现有的弱耦合理论的区别是：由于模式耦 合系数的不同，要获得最大的功率耦合所需的耦合元件长度不同。 同样假定光仅仅从光纤1 的输入端输入，即 l c ( o 】2 = p ，i c ：( 0 】2 = o 光纤1 的输出功率是 第二章方向耦合器中的非正交模耦合分析 鼻。= m z 】2 = c o s 2 像h 叫2 光纤2 的输出功率是 只。= i c ：g 】2 = s i n 2 ( 乒】c 1 ( o 】2 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 沿着z 方向，传输功率在两根光纤问周期性交替变化。为使光纤i 的功率全部耦合到光纤2 ，应该取乒= 詈，从而 三：三 2 眚 ( 2 3 4 ) 这表明耦合元件长度取上述值时，可获得最大的功率耦合。当耦合 长度一定时，假定光功率只从光纤1 注入，则在两个光纤的输出端 都有功率输出，分别为鼻。= h g 】2 与只。- - l a ：g 】2 。同时可得耦合器的 耦合比( 分光比) 为 c = 丧= j d ：( l ) | 2 = s i n 2 悖) ( 2 3 5 ) 2 4 数值计算 下面，就具体的光纤方向耦合器，如图2 1 ，比较弱耦合近似下 的耦合系数e 与非正交模耦合分析下的耦合系数孝。光纤纤芯半径为 a ，介电常数毛，折射率为i l l ，包层介电常数为占：，折射率为n 2 ，d 为两光纤纤芯间距。 1 6 第二章方m 耦合器中的非正交模耦台分析 图2 1 定向耦合器结构示意图 f，：j 2 y 2 je = a e 舻= a e 一已”2 1 r 2 ( j d ) 2 y 2( 2 3 6 ) 恢= a e 矿= a e ”e 矿 所以 l f i i2 d x d y = 1 ，埘f ：1 2 撕= a = ( 2 3 7 ) w 为高斯模的模斑半径。在1 2 s v 2 4 区间内，模场半径可用近似公 1 7 第二章方向耦合器中的非正交模耦合分析 式计算，其精度在1 以内。 一兰 w = a - ( 0 6 5 + 1 6 1 9 v2 + 2 8 7 9 v 6 )( 2 3 8 ) v 为归一化截止频率 矿= d 厢 在只有基模传输时，光纤的传播常数满足 口2 =州彬博卜嬲 f ”f of 2 r d r d o 山“ = n p 2 一( 警) 2 r d r d 日+ 州彬一( 朝2 卜 = m 2 一爿e 等删p + ”爿2 ( 删一崭等删日 两光纤的模式场重叠量 s = 骢式f , d x d y = a 2lp 弋r ，- 2 y 叔d y ( j d ) 2 一o ) 2 2 现有的弱耦合理论中的互耦合系数为 k = 2 f p 一岛孵t e d a ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 届：了一一妒- - ( 。) ：_ 2 y ：( 2 4 2 ) 2 a 2 k 0 2 k 一砖) 卜了e 了它丁蚴 第二章方向耦台器中的非正交模耦台分析 现有的弱耦合理论中的自耦合系数为 k 。= 2j j 醅一) e - f 2 d a 忑i - 2 ( ：一d ，- 2 ， ( 2 4 3 ) 2 a 2 毛2 k 一) 卜丁号丁砌 由以上三式，我们可得在考虑了模式间的非正交性后的耦合系数为 ；= 警 2 肌。：；) 7 。巡产姗 2 可面可 ( “r ( ，一和。二i ：7 一“r 一2 ， 2 4 k 0 2 g ? 一n ：) 仆了一姗e 丁螂 z 十一撕 2 ( 2 4 4 ) 根据( 2 4 1 ) 式，我们可以画出两光纤模式场重叠量s 随光纤芯距d 的变化曲线图。图2 2 a 是光纤芯半径n 为3um 时s 随d 的变化曲线 图，图2 2 b 是光纤芯半径n 为4 i tm 时s 随d 的变化曲线图。由图中 可知，两光纤芯距d 越小，两光纤模式场重叠量s 就越大，即s 随d 递减；当两光纤芯距d 一定时( 如d 同取2 5 a ) ，非正交量s 随纤芯 半径n 的变化而变化。纤芯半径a 越小，非正交量越大，反之亦然。 这是因为纤芯半径q 越小，分布于包层的模式场( 消逝场) 也越多， 而两光纤模式场重叠量s 就是两光纤的包层模式场的重叠部分，所 1 9 第= 章方向耦合器中的非正交模耦合分析 以纤芯半径n 越小，重叠量s 越大。 l s ( d ) 0 ( a )a = 3 d m ( b )a = 4 m 图2 2 两光纤模式场重叠量s 随纤距d 的变化曲线 ( 2 ，4 2 ) 式是现有弱耦合理论的耦合系数，( 2 4 3 ) 式是考虑了模式 间的非正交性后的耦合系数。通过数值计算，得到两耦合系数随光 纤纤芯间距d 的变化曲线图。图( 2 3 a ) 、( 2 3 b ) 分别为光纤芯半径 为3 l im 、4 “m 时，现有弱耦合理论的耦合系数与考虑了模式间的非 正交性后的耦合系数随光纤纤芯间距d 变化曲线的比较，其中实线 为现有的弱耦合理论的耦合系数：点线为非正交模耦合理论的耦合 系数。由图可知。考虑了模式间的非正交性后的耦合系数值比现有 弱耦合理论的耦合系数值大。在光纤芯半径为4um 时，两耦合系数 比较接近；在光纤芯半径为3um 时，两耦合系数相差较大。说明光 纤芯半径a 越小，我们对耦合系数的修正越大。同时，当光纤芯半 径a 一定时，两光纤芯距d 越小，两耦合系数相差越大，反之亦然。 这是因为，光纤芯半径较小或两光纤纤芯距较小时，两模式的重叠 部分就越多，即s 较大，那耦合系数的修正就越大。 第二市方向耦含器中的非正交模耦含分析 ( a )a = 3 “( b ) 日= 4 , u 图2 3两耦合系数随纤芯间距的变化曲线。 实线为现有的弱耦合理论的耦合系数；点线为 非正交模耦合理论的耦合系数 将( 2 4 2 ) 式代入( 2 2 1 ) 式与( 2 2 2 ) 式；将( 2 4 4 ) 式代入( 2 3 2 ) 式与( 2 3 3 ) 式，就可得到图2 1 所示的拼接式全光纤定向耦合器的 输出光功率曲线。图2 4 对现有弱耦合理论中的输出功率随耦合长度 z 的变化曲线和考虑非正交模耦合理论的输出功率随耦合长度z 的变 化曲线进行比较。取光纤芯半径a 为3ui n 。其中( a ) 、( b ) 两图就 是分别对应于纤芯距d = 6um 、d = 7pi l l 时的输出光功率。 ( a ) d = 6 “m 型笋 等萤磐 第二章方向耦台器中的非正交模耦合分析 l p 1 ( z ) p o u t l ( z ) p 2 ( z ) p 锄1 2 ( z ) 0 ( b ) d = 7 a m 图2 4 耦合器中直通臂与耦合臂光功率周期耦合过 程。实线与虚线为现有弱耦合理论中的直通臂与耦合 臂的光功率输出；点线与虚点线分别为修正理论中的 直通臂与耦合臂的光功率输出。 图2 4 中实线与虚线为现有弱耦合理论中的直通臂与耦合臂的光功 率输出；点线与虚点线分别为修正理论中的直通臂与耦合臂的光功 率输出。由图可知：d 越小，两输出功率随耦合长度z 的变化曲线差 异较大。这是由于d 越小，两耦合系数就相差较大；d 越小，耦合系 数越大，故要获得最大的功率耦合，所需的耦合元件长度越短：考 虑了模式间的非正交性后的耦合系数值比现有弱耦合理论的耦合系 数值大，故要获得最大的功率耦合，考虑了模式间的非正交性后所 需的耦合元件长度要比现有弱耦合理论中所需的耦合元件长度短。 对于拼接式全光纤定向耦合器，利用微调装置，改变两光纤的 相对位置还可连续改变耦合器的耦合效率。 第二章方向耦合器中的非正交模耦合分析 ( a ) 口= 3 2 ( b ) a = 4 “ 图2 5 两输出功率随纤芯间距d 的雌线比较。实线为现 有弱耦合理论中输出功率随纤芯间距d 的变化曲线；点 线为修正理论中输出功率随纤芯间距d 的变化曲线。 图2 5 对现有弱耦合理论中输出功率随纤芯间距d 的变化曲线和考虑 了模式间的非正交性后的耦合理论中输出功率随纤芯间距d 的变化 曲线进行比较，实线为现有弱耦合理论中输出功率随纤芯间距d 的 变化曲线：点线为修正理论中输出功率随纤芯间距d 的变化曲线。 其中( a ) 、( b ) 两图就是分别对应光纤芯半径为3 1 tm 、4 1 1i n 时的输 出光功率随纤芯间距d 的变化曲线。比较两幅图可知，q 为3ui n 时 两输出功率随d 的变化曲线差异较大，n 为4pm 时两输出功率随d 的变化曲线基本重合。因为在光纤芯半径为4p - m 时。两模式耦合系 数就是基本重合的。 本章考虑耦合器模式间的非正交性，对方向耦合器的输出特性 给予修正。两光纤的纤芯间距d 越小，修正越大：光纤的纤芯半径 越小，修正也越大。反之亦然。 第三章方向耦合器弱耦合模式理论的修正 第三章方向耦合器弱耦合模式理论的修正 30 1 引言 上一章对方向耦合器的弱耦合模式理论进行了第一步的修正， 分析了方向耦合器中的模式特性。当两光纤相距较近时，两根光纤 的模式场是非正交的。但在耦合区，其模式场没有改变，按非正交 模进行耦合。对耦合器进一步分析，当两平行光纤相距较近时，由 于耦合区处的两光纤的模式场的相互作用增强，使得不仅模式场是 非正交的，而且两光纤在耦合区处的各自的模式场发生了改变。因 此，本章对现有的弱耦合理论给予进一步的修正。改进理论的方案 是寻找一种特殊的么正变换，将弱耦合下的非正交模变换成一对新 的局域正交模。导出这对新正交模的耦合波方程并得到形式简单的 解析解，与现有的弱耦合理论相比较，其耦合系数，耦合功率均发 生变化，当模式重叠小到可忽略时，该理论的零级近似即为现有的 弱耦合理论。 3 2 理论推导 在上一章中，我们得到在不忽略两光纤的模式场重叠部分，两 光纤按模式场不变的非正交的模式进行耦合时的耦合波方程： 墨i s k 1 一s 2 ：k s k l l o f 可一 ，墨二兰：鱼 。 1 一s 2 置1 1 一s 置 1 一s 2 ( 鳓 b ， 古= 带为考虑耦合时模式间的非正交性的耦合系数，其中k - - 和k 的表达式为： = 刨“岬 d 一出 第三章方向耦合器弱耦合模式理论的修正 七2 胎一岛) 耳- e 出咖七2 * 一豫巧劬 芷= l 一 筇 ，k l = _ 当两根光纤相距比较远时，两光纤模式场的非正交量s 较小，趋于 零。这时的方程是众所熟知的弱耦合理论时的耦合波方程 dc 1 0 ) 、r 禹。 忑i c ：酬2 l 雎 ( 3 2 ) 当两根光纤相距比较近时，上一章仅仅考虑两光纤的模式场重叠部 分，认为两光纤模式场的非正交量s 较大，不可忽略。并没有考虑 到在耦合区处，两光纤的模式场的相互作用比较强，其模式场是否 会由于近邻光纤的模式场的影响而发生改变。我们认为：由于邻近 光纤的存在已经改变了两个参与耦合的光纤的模式场分布。在耦合 区处，两光纤的模场分布已与原光纤的模式不同。我们就用幺正变 换，将原光纤中的非正交模f l 和f 2 ，变换成一对新的局域正交模e 和耳。其变换关系如下： 佤e ) = ( _ 万) ( 竣：孑： c ， 变换矩阵u 为幺正矩阵。幺正矩阵的一个基本性质为 u + = u 1 u + 是矩阵u 的共轭矩阵，u 一1 是矩阵u 的逆矩阵。变换后的新模式瓦 和瓦为一对正交模，即j e 瓦- d , 4 = 0 。根据变换特性可得变换矩阵 及其逆矩阵分别为： n 纠 0 0q 吒 ，l， 雎瞄 第三章方向耦合器弱耦台模式理论的修正 似。u ，： 2 ( 1 一s 2 ) f 丽+ 两 l u ：，u ：j 4 【一丽+ 订虿l u 2 i2 2 【一1 + s + l s u 。：1 _ l 1 f 丽+ 订习 j2 丽l 厨一面 丽一丽1 再嚣+ 妪习 一丽+ 打i 1 伍疆+ 尔习l ( 3 4 ) ( 3 5 ) 所以两根光纤互相平行靠的较近后形成的复合光纤的场分布为： 显而易见： e = ；0 ) e x p ( f l z ) 瓦( x ，y ) + ；：( z ) e x p ( ，肛) 瓦g ，y ) ( 3 6 ) 由( 3 4 ) 、( 3 7 ) 式可得在耦合区处的耦合波方程： k s k 1 1 。 1 一s 2 j k l l s k o i 予一 将( 3 4 ) ，( 3 5 ) 式代入上式化简得： ? k s k i l 7 1 焉尹l s 2 ，河1 + s 2a , 旷河2 s 世 心 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 8 ) 式为修正后的耦合波方程。由( 3 8 ) 式可知，修正后的弱耦合理 论的耦合系数为 k s k 芷= = = = = 2 1 一s 2 ( 3 9 ) 瞄 、， 一q 一乞 ，、 、 l 2 u u ，l = 、， q 吒 ，il n 砘砷， 、， 挖 妞 u u 一一一一心 ， 、 、， u u ，、 i | 训 一q 一岛 ，。 d 一出 n 甜 0 g唔 、甄者，刮 黝吖虱 第三章方向耦合器弱耦合模式理论的修正 这时模式耦合方程( 3 8 ) 式的解为： 网= 尚乞矧酬 ( 3 1 0 ) 这个解是在耦合区处的解，i ( z ) 是光纤耦合区处模式场的缓变包络 项，但是光纤的输入与输出是从单根光纤处进行的，故须进一步将 这个解变换为耦合区外的解，由( 3 7 ) 、( 3 1 0 ) 式可得： 进一步化简整理得： ( 糌( c 批s s i i n n ( 。字z 。瓣 浆胞黝l c ：刨一l ，正了) c o s 陋) + 声s i n k ) j 。l c ：( o ) j “u 假定光仅仅从光纤1 的输入端输入，即i c 。( o 】2 = p ，i c ：( o 】2 = 0 所以耦合 器总的输入光功率等于p 而光纤i 的输出功率是 只。= k 。( z 】2 = c o s 2 ( 昭) + s 2s i n 2 ( 腔) 】l c 。( 0 】2( 3 1 2 ) 光纤2 的输出功率是 。= l c ：g 】2 = ( 1 一s 2 ) s i n 2 ( 船】c 1 ( o 】2 ( 3 13 ) 耦合器的耦合比 d c = i 华f = ( 1 - s 2 ) s i n 2 忙) e o + 县o 、。( 3 1 4 ) 通过以上各式可以清楚看出：沿着z 方向，传输功率在两根光纤间周 渤h k嗷瑚端 u ，弋锄心k 第三章方向耦合器弱耦合模式理论的修正 期性交替变换，但是不可能实现将光纤l 的功率全部耦合到光纤2 ， 即耦合效率c 无法达到1 0 0 。这是由于s 的存在。当s 很小达到 可以忽略不计时，光纤1 的功率就能全部耦合到光纤2 ，这就是现有 的弱耦合理论。同时，由于耦合系数的不同，能达到最大功率耦合 所需的耦合长度也不同。 3 3 数值计算 3 3 1 方向耦合器输出特性分析 现在以如图3 1 所示的拼接式全光纤定向耦合器为例，计算修正 后的弱耦合理论的耦合系数与传输功率特性，并与未修正时的弱耦 合理论相比较。光纤纤芯半径为a ，介电常数晶，折射率为n 1 ，包层 介电常数为占，折射率为n 2 ，d 为两光纤芯间