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东北大学硕士学位论文 摘要 三维m i n k o w s k i 空间中的二次曲面 摘要 m i n k o w s k i 空间作为一个全新的领域，一直备受数学界和物理学 界的关注。对于e u c l i d 空间中的曲线、曲面，前辈已作了大量的工作， 并己形成了系统的理论体系。m i n k o w s k i 空间是带有不定内积的线性 空间，这里的曲线与曲面同欧氏空间中的情形完全不同。本文所讨论 的二次曲面是依据前辈的思想，把其推广到m i n k o w s k i 空间中。其中 主要研究了：一、三维m i n k o w s k i 空间中的距离公式。二、讨论了空 间任意一点到定平面的距离与到定点的距离之比等于常数的点的轨 迹方程和空间任意点到定直线的距离与到定点的距离之比等于常 数的点的轨迹方程，以及三维m i n k o w s k i 空间中二次曲面方程的化简 和化简后的方程，最后给出了定点、定直线和定平面取特殊值时的轨 迹方程。 关键词：m i n k o w s k i 空间，二次曲面，距离公式，不定内积。 i i - 垒! ! 垄堂堡主堂垒垒圭 二竺竖里坠! ! l s u r f a c eo fs e c o n dd e g r e ei n3 - m i n k o w s k i s p a c e a b s t r a c t a san e w f i e l d ，t h e m i n k o w s k i s p a c e i s a l w a y s t h ef o c u so f m a t h e m a t i c sa n d p h y s i c s a sw ek n o w , t h e r ea r em a n ym e a n i n g f u lr e s u l t s f o rc o x v e sa n ds u r f a c e si nt h ee u c l i d e a ns p a c e t h em i n k o w s k is p a c ei sa l i n e a rs p a c ew i t hi n d e f i n i t ei n n e rp r o d u c t s ot h ec u r v e sa n dt h es u r f a c e si n t h em i n k o w s k is p a c ea r ev e r yd i f f e r e n ta si nt l l ee u c l i d e a ns p a c e i nt h i s p a p e r , w ew i l ls h o w am e t h o dt os t u d ys u r f a c eo fs e c o n dd e g r e ei nt h r e e m i n k o w s k i s p a c e t h em a i n w o r k sa r ea sf o l l o w s ： a tf i r s t ，w es t u d yt h ed i s t a n c ef o r m u l a sf o rp o i n t ，s t r a i g h tl i n ea n d p l a n e i nt h r e ed i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e t h e n w i t ht h er e l a t i o n s b e t w e e nt h e p o i n ta n d t h es t r a i i g h tl i n e ，t h ep o i n ta n dt h e p l a n e ，t h es t r a i 【g h t l i n ea n dt h es t r a i g h tl i n e ，w eg e tal o to fs u r f a c e so fs e c o n d d e g r e e f i n a l l y , t h es u r f a c e sw i l lb es i m p l i f i e dw i t ht h ek n o w l e d g eo fa l g e b r aa n ds o m e s p e c i a lt r a c e sa r eg i v e n k e y w o r d s ：m i n k o w s k is p a c e ，s u r f a c eo fs e c o n d d e g r e e ，d i s t a n c ef o r m u l a ， i n d e f i n i t ei n n e r p r o d u c t 1 l i 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。 论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得 其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 作的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本人签名：勘、客 日期：2 t , t 得膳卯 查! ! 垄兰堡主生竺堡查 苎二主! ! 童一 第一章引言 1 1 几何的发展史 数学是研究数量关系和形体性质的科学。“数”与“形”在现实 世界中无处不在，因此，数学科学是自然科学的基础，也是高新技术 的基础，甚至是工程建设的基础，这已是人们的共识。数学科学的好 处是，可以化难为易，把奥妙变为常识，为各类问题的解决提供框架。 众所周知，直线和平面等几何概念可由一次代数方程描述，多项式方 程则用于描述曲线和曲面等。数学科学中，从线性到非线性的第一步 跨跃，是由多项式实现的。因此，多项式方程组求解是非线性数学最 基本的课题，这个问题的研究已经持续几百年。 十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几 何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象 的。研究物理世界，似乎首先需求几何。物体基本上是几何的形象， 运动物体的路线是曲线，研究它们都需要数量知识。而解析几何能使 人把形象和路线表示为代数形式，从而导出数量知识。 解析几何的重要性在于他的方法一一建立坐标系，用方程来表示 曲线，通过研究方程来研究曲线。苏联著名几何学家格列诺夫在他所 编的解析几何前言中说：“解析几何没有严格确定的内容，对它 来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法。”“这个方法的实 质，在于用某种标准的方式把方程( 方程组) 同几何对象( 即图形) 相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。”由于解 析几何方法解决各类问题的普遍性，它己成为几何研究中的一个基本 方法。不仅如此，它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域，如力 学和物理学之中。费尔马为此做出实质性的贡献。1 6 2 9 年他写了一本 平面和立体的轨迹引论( 1 6 7 9 年发表) ，得出一些重要结论，还在 一定程度上掌握了利用移轴和转轴的方法化简方程的技法：在解析几 何的圆锥曲线的研究上已经初步系统化。16 3 7 年笛卡儿创建解析几何 以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。 f e 砸虿嚅f 瑟匿睡曩f 蒙趸刁i 丽首先认识到解析几何学产 生的必要和可能。他们通过把坐标系引入几何图形中，将几何的基本 元素一点，与代数的基本研究对象一数对应起来，从而将几何问题转 化为代数问题，将曲线或曲面转化为方程、函数进行解决。 属于几何原本内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学， 或简称为欧式几何。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗 式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加 以说明： 欧式几何罗式几何 同一直线的垂线和斜线相交。同一直线的垂线和斜线不一定 相交。 垂直于同直线的两条直线平 垂直于同一直线的两条直线， 当两端延长的时候，离散到无穷。 行。 存在相似的多边形。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以 过不在同一直线上的三点，不 一定能做一个圆。 作且仅能做一个圆。 黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱 因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里， 爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的 空间里以一种近似性而均匀的，但整个时空却是不均匀的。在物理学 中的这种解释，恰恰和黎曼几何的观念是相似的。 自爱因斯坦提出相对论以来，其时空模型一m i n k o w s k i 空间一直备 受数学界和物理界的关注。作为一种重要的几何空间，相对于我们熟 悉的e u c l i d 空间，m i n k o w s k i 空间是一个全新领域。由于度量的不同， 导致了一些基本量如向量、距离、点的轨迹有了质的变化，这使得一 些问题结果往往出人意料。 一2 一 东北大学硕士学位论文第一章引言 1 2 本文的主要内容 经过几百年的发展，e u c l i d 空间的几何理论已经形成了完整的理 论体系+ “，也有了许多研究成果 5 】_ ”。而随着现代数学的发展，代 数与几何的统一是一种必然趋势 1 9 l 。m i n k o w s k i 空间作为一个新的领 域，也有了一些结果l 【18 1 。本文是把e u c l i d 空间中的一些基本理论 推广到m i n k o w s k i 空间中。首先，本文讨论了m i n k o w s k i 空间中的距 离公式，空间任意点到平面的距离公式，空间任意点到直线的距离公 式和空间两异面直线间的距离公式。其次，讨论了三维m i n k o w s k i 空 间中满足一定条件的点的轨迹方程，并对其化简。最后，分别讨论了 在特定条件下的点的轨迹。 查些查堂堡主堂堡笙圭丝三主j 型竖坚垦一 第二章预备知识 本章介绍了本文所涉及的概念、公式、新引入的定义，并叫顾7 e u c l i d 空间中的距离公式。 2 1 不定度量 2 1 1 霹中的内积与外积 我们知道，欧氏空间是具有正定内积的线性空间。设e 3 表示三维 欧氏空间，云与谚是e 3 中的两个向量，则夏与万的内积定义为： ( 夏，万) = 一) ，+ x ：y ：+ x 3 y ， 这里 x l ，x 2 ，码) 和 y l ，儿，y 3 分别是云与万在e 3 的标准正交基下的分 量。若在三维线性空间中定义两个向量磊和万的内积如下： ( 磊，万) = x y ，+ x 2 儿一x 3 儿 这样的内积称为负指标为一的不定内积，定义了这样内积的线性 空间称为三维m i n k o w s k i 空间，我们用脐表示，它的度量为： 凼2 = d x ? + d x ；一掰 定义2 1 1 1 任取，万霹，设夏= x i , x 2 ， ，万= y ly 2 ，乃) 定义五，万的 内积为 ( 云，万) = _ m + x ：y 2 - - x 3 y 3 定义2 1 1 2 任取夏，万，尹曰，设磊= x ix ：，码) ，万= y l , y ：，y 3 ) ， 孑= z 1z 2 ，毛) ，定义品，万的外积为 品万= 隆乃x 3 ii m x 3m x i ii 奶x 2 要| ) 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 则有 ( 吕万) 萝= 巨 说明：一a x 一, a - 与磊，万所生成的平面中的任一向量旯磊+ 万( a ，p 是任 意实数) 都是正交的。 2 1 2 岔中的向量 定义2 l 2 1 一个非零向量云日称为类空向量，如果( 品，品) 0 ；称 为类时向量，如果( 磊，苫) o 时，称直线l 为类空直线。 ( ；，；) o 时，称平面为类时平面。 ( 磊，品) o 时，称平面为类空平面。 ( 品，二) = o 时，称平面为类光平面。 注：本文在讨论过程中所涉及到的向量、直线、平面，均未考虑类光 的情况。 2 2 欧氏空间中的距离公式 定理2 2 1 空间任意点p ( x o ，y o ，z , o ) 到平面万：彳x + 缈+ c z + d = 0 的距 离为 d = 定理2 2 2 空i n 任意一点p ( 五，y l ，毛) 到直线 的距离为 d = l ：x - - x 0 ：必：垃 ，mn 定理2 2 3 空间两异面直线 l ：尘玉：旦丑；型l f i 研l啊 与 寻 警芋 乞 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 之间的距离为 d = - 7 东北大学硕士学位论文 第三章三维m i n k o w s k i 空间中的距离公式 第三章三维m i n k o w s k i 空间中的距离 公式 本章主要讨论了三维m i n k o w s k i 空间中点到平面的距离公式，点 到直线的距离公式和两异面直线间的距离公式，并给予证明。本章内 容是后继章节的基础。 3 1 空间任意一点到平面的距离公式 引理口中不存在两两正交的类时向量。 定理3 1 1口中两平行向量对应坐标成比例。 证明由向量线性相关性易证。( 略) 定理3 1 2研中两平行向量都是同类型向量。 证明 ( 1 ) 假设类时向量瓦= 一，x ：，x 3 ) 与类空向量v 一2 = y l , y 2 ，y 3 ) 平行， 由定理3 1 1 ，有 羔：羔：量：f my 2y 3 与 x ? + x ；一x ；= 一日2 故 砰+ y 2 一订= 一7 a 2 0 ) 的点的轨迹。 5 1 1 点的轨迹 根据m i n k o w s k i 空间中的距离的定义，两点间的距离与该两点所 确定的向量类型有关，再由第三章讨论可知，不同类型的平面其距离 公式是不同的，故我们对类时平面和类空平面分别讨论满足条件一的 点的轨迹。 第一种情况：平面疗为类时平面，丽为类空向量时，其轨迹为： 爿z + 占，+ c 2 + d l 彳2 + b 2 一c 2 = 粤 即 ( 爿x + b y + c z + d ) 2 = z 2 ( 爿2 + 口2 一c 2 ) ( x 一) 2 + ( y y o ) 2 一( 三一气) 2 整理后，得 一2 一1 2 ( 一2 + b 2 一c 2i x + b 2 一9 2 ( 一2 + b 2 一c 2 ) l y 2 - 2 2 - 查! ! 垄堂堕主芏堡垒查耋兰主三堡坚垫! ! ! ! 塑窒塑! ! 坐塑笠竺童! ! 盐鱼 + c 2 + 1 2 ( a2 + b 2 一c 2 ) l z 2 + 2 a b x y + 2 b c y z + 2 a c x z + 2 a d a 2 + b 2 一c 2 ) 卜+ 2 b d a 2 + b 2 一c 2y o y + 2 c d 一2 ( 4 2 + 一c 2 ) 气 z + d 2 一扩a 2 + b 2 一c 2 ) ( 靠+ 元一露) = o ( 5 1 1 ) 第二种情况：平面石为类时平面，一p p o 为类时向量时，其轨迹为： 朗 爿x + 置y + c r z + d l 彳2 + b 2 一c 2 = 孽 ( 4 x + b y + c z + d ) 2 = z 2 ( 彳2 + 口2 一c 2 ) ( z ) 2 一( x 整理后，得 ) 2 一( y y o ) 2 彳2 + 2 ( 4 2 + b 2 一c 2i x 2 + b 2 + 2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) y 2 + c 2 一2 ( 4 2 + b 2 一c 2 ) z 2 + 2 a b x y + 2 b c y z + 2 a c x z + 2 l a d ( 爿2 + b 2 一c 2 ) x + 2 b d o a 2 + b 2 一c 2 y o l y + 2 c d a 2 + b 2 - c 2 ) 毛 z + 0 2 + 2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) ( 露+ 式一z ；) = 0 第三种情况：平面万为类空平面，丽为类空向量，其轨迹为 即 4 x + 置y + c i + d l 4 c 2 一a 2 一b 2 = 孽 ( 5 1 2 ) ( 4 x + b y + c 2 + d ) 2 = 1 2 ( c 2 一一2 一口2 ) ( x 一) 2 + ( y y o ) 2 一z - - z o ) 2 2 3 查些垄芏塑主堂堡垒查苎墨主三丝坚坐! ! ! ! 堑窒塑竺：兰竺垫兰竺苎丝 整理后，得 a 2 + z 2 a 2 + b 2 _ c 2 i x + b 2 + z 2 ( 4 2 + b 2 一c 2 ) y 2 + c 2 一9 2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) z 2 + 2 a b x y + 2 b c y z + 2 a c x z + 2 l a d ( 彳2 + b 2 。c 2 ) x + 2 b d a 2 + b 2 一c 2y o l y + 2 c d a 2 + b 2 _ c 2 ) 气 z + d 2 + 9 2 ( 4 2 + b 2 一c 2 ) ( 磊+ 弼一z ；) = 0 同式( 5 1 2 ) 。 第四种情况：平面刀为类空平面，丽为类时向量，其轨迹为： 即 a x + b y + c z + d 4 c 2 一一2 一b 2 = 粤 ( 彳x + b y + c z + d ) 2 = 9 2 ( c 2 一彳2 一b 2 ) ( z z o ) 2 一( x x o ) 2 一( y y o ) 2 整理后，得 a 2 _ f 2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) x 2 + b 2 一9 2a 2 + b 2 一c 2 ) y 2 + c 2 + 2a + b 2 一c 2 ) z 2 + 2 a b x y + 2 b c y z + 2 a c x z + 2 i a d + z 2a 2 + b 2 一c 2 ) x + 2 b d + p 2 a 2 + 日2 一c 2 y o y + 2 c d o ( 爿2 + b 2 一c 2 ) z 0 ：+ d 2 ( 彳2 + b 2 一c 2 ) ( + 圬一爵) = 0 同式( 5 1 1 ) 。 5 1 2 二次曲面化为标准形 由上面的讨论易知，空间任意一点到定平面的距离与到定点的距 离之比等于常数的点的轨迹有两种方程：式( 5 1 1 ) 和式( 5 1 2 ) 。根据 m i n k w o s k i 空间中二次曲面方程化简的变换式，首先，消去其驯，妒，船 - 2 4 东北大学硕士学位论文第五章三维m i n k o w s k i 空间中的点的轨迹的讨论 这样的交叉项，然后再经过平移消去一次项，最后将方程化为最简形 式。 1 方程( 5 1 1 ) 的化简 方程( 5 1 1 ) 的系数矩阵为： 4 2 一1 2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) a ba c a bb 2 _ f 2a 2 + 曰2 一c 2 1- b c a cb c c 2 + p 2 ( 4 2 + b 2 一c 2 ) 由式( 4 2 1 ) ，系数阵化为形如 的对角形阵。 其中 t l 00 0 t 2 0 00 t 3 t l = 爿2 一孽2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) 驴堂兰端豢铲剑 t 3 = 1 2 ( 2 一1 ) ( 爿2 十四2 一c 2 ) 2 p 2 ( 爿2 + 口2 一c 2 ) 一( 彳2 + b 2 ) 由式( 4 2 2 ) 可知，变换矩阵为 0o a c p 2 ( 4 2 + 曰2 一c 2 ) 一( 一2 + b 2 ) 曰c z 2 ( 一2 + b 2 一c 2 ) 一a 2 + 且2 ) 一1 2 5 ( 5 1 3 ) ( 5 1 4 ) 东北大学硕士学位论文第五章三维m i n k o w s k i 空间中的点的轨迹的讨论 再经平移后，方程( 5 1 1 ) 为 a 2z 2 ( n b 2 一c 2 ) x 2 + 坐生a 辫篝a 2 筹半剑y ： 。 2 一z 2 f+ b 2 一c 2 1 7 + 鬈掣黼冉删 ， 其中3 1 为含有常数爿，b ，c ，x o ，y o ，z 0 的常数。 2 方程( 5 1 2 ) 的化简： 方程( 5 1 2 ) 的系数阵为： f 一2 + 2 ( 爿2 + 占2 一c 2 ) a ba c f 4 b 曰2 + 1 2 ( 4 2 + b 2 一c 2 ) 一b c 【 一a c b c c 2 一z 2 f a 2 + b 2 一 由式( 4 2 1 ) ，其系数阵可化为如下 五0 0 0 五0 0 0 正 的对角形阵。 其中 t 一= 4 2 + z 2 ( 爿2 + 启2 一c 2 ) t 2 = ! ：f 兰：竺：二c 2 ) z 2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) + ( 一2 + b 2 ) 万万牙i 正了厂一 一92(12+1)(彳2+口2一c2)t21一 、 ，、 3 一刁万面i 玎而 2 6 叫 东北大学硕士学位论文第五章三维m i n k o w s k i 空间中的点的轨迹的讨论 再由式( 4 2 2 ) 可得其变换矩阵为 卜而南 o1 oo a c 1 2 ( 爿2 + b 2 一c 2 ) + ( 爿2 + b 2 ) b c 9 2 ( 一2 + 台2 一c 2 ) + ( 一2 + b 2 ) 一l 再经平移后，方程( 5 1 2 ) 为： 彳z+z：(a2+b=-c2)x：+!：i!：!二；2；三盖；三笋y： 一箸黼z 、删 c s ， 其中d 2 为含有常数a ，b ，c ，x o ，y o ，z o 的常数。 5 1 3 二次曲面方程的讨论 空间任一点到定平面的距离与到定点的距离之比等于常数的点 的轨迹方程，经化简后有两种最简形式：式( 5 1 5 ) 和式( 5 1 6 ) 。下面 就这两种方程分别讨论z 的取值及对应的方程。 1 讨论方程( 5 1 5 ) 用4 ，且，c 1 分别表示 n 旷a + b 2 - c 2 ) ，塑兰端豢掣剑 ! ( ! ：二! ! f 兰：竺：二竺2 ：的绝对值。 p 2 f a 2 + b 2 一c 2 ) 一( 彳2 + b 2 1 ( i ) 平面为类时平面 ( 1 ) 1 耿万毒虿勘2 - c 2 o j 2 7 - 善兰望竺塑生兰j 塑圭苎墨主三笙坚! 些呈! ! 望窒塑塑：量竺塾竺塑堕堡 口u 方程为： ( 2 ) 或 - z 。时 4 x 2 一曩y 2 - c z 2 + b = 0 l 1 且b 2 一c 2 0 时 4 x 2 一蜀y 2 + c j z 2 + 日= o 厂7 矿 v a 2 + b 2 _ c 2 时， 一4 x 2 一骂y 2 + c z 2 + d l = 0 ( 4 ) 1 o 或 岳2 + b 2 _ c 2 啾藤时 方程为 一x 2 + 且y 2 一c j ：2 + 日= 0 ( 5 ) 忐 。时， 方程为： - 2 8 东北大学硕士学位论文第五章三维m i n k o w s k i 空间中的点的轨迹的讨论 一4 x 2 一旦y 2 一c l z 2 + d l = 0 z 呲 方程为： ( i i ) 平面为类空平面 ( 1 )z l 时， 方程为： ( 2 ) 0 l 1 时) + ：一一一一【 l h qj 1 一z 21 一俨 ( 1 一9 2 ) 2 一。 ( x + 南 2 y ：f 一。： 21 + 粤2l + 粤2 ( 1 + 粤2 ) 2 ( 2 ) n = 0 , 1 ，0 ，( x 0 ，y o ，z o ) = ( 0 , 0 ，0 ) 轨迹方程为 或 z 1时， 轨迹方程为： 或 x 2 一z 2 = 2 。( y + 詈) x 2 + 2 y 2 一z 2 + 2 n y + d 2 = 0 x 1 一2 x 歹j + + 掣 ( y + 啬 2 x l + 粤2 南1 一南- 时， 孽2 一 f 粤2 1 r z 2d 2 1 ( 1 + e 2 ) 2 3 1 东北大学硕士学位论文第五章三维m i n k o w s k i 空间中的点的轨迹的讨论 ( 3 ) 丢= o ，o ，1 ) ，( x o ，y o ，z 0 ) = ( o ，0 ，0 ) x 2 + y 2 = 一2 。( z + 詈 苦+ 再y 2 + 丁i z - 与1 2 ：研d 2 陬。时， 矗岳掣：阿d 2 禹岳一掣d = 高 厂、2 条件二：任意点p ( x ，y ，z ) 到定直线三：苎：上二筮：塑的距离与到 lm n 定点b ( ，y o ，气) 的距离之比等于常数r 的点的轨迹。 5 2 1 点的轨迹 我们分别对类时直线、类空直线进行讨论。 - 3 2 东北大学硕士学位论文第五章三维m i n k o w s k i 空间中的点的轨迹的讨论 第一种情况：直线l 为类时直线，聒为类时向量 整理后，得 = r 厄i f f 哥而 m2 - 2 2 + 盯2 ( ，2 + m 2 _ n2 ) 1 x 2 + 1 1 2 _ 2 + 盯2 ( ，2 + m2 一n 2 ) y 2 一 z 2 + 胁2 + r2 ( f 2 + 聊2 一一2 ) z 2 2 l m x y + 2 ”l x z + 2 m n y z + 2 行( 一，z 。+ ”x 。) + ，竹( z y 。一m x i ) 一x 。( ，2 + 所2 一疗2 ) 芷2 x 一2 1 聆( m 毛一n y 。) + ，( 砒一t a x i ) + ( ，2 + m 2 _ n 2 ) 1 c2 i y + 2 i m ( ，”z 一即，) + t ( 1 z 一”z ) 一z 。( 一2 一，2 一，”2 ) r2 z 一( m 毛一，奶) 2 一( 岛一m ) 2 + ( 砒一，m ) 2 一茁2 ( n 2 一1 2 一，2 ) ( z ；+ y 。2 一引i = 0 第二种情况：直线l 为类时直线，驴为类空向量 整理后，得 = 石厄i f 瓦两丽 月2 一，”2 + r 2 ( ，2 + ，珂2 - - 1 1 2 ) x 2 + 2 ，2 + r 2 ( ，2 + ，卵2 一n 2 ) y 2 + ，2 + 聊2 一r 2 ( ，2 + 脚2 - n 2 ) 1 9 2 + 2 l m x y 一2 胛l x z 一2 m n y z + 2 胛( 拓。一嘲) 一小( 耖。一嘲) + x o ( 1 q 2 - 卜m 2 ) 茁2 x 一3 3 一 ( 5 2 1 ) 查些查堂堡主芏堡笙查整墨主三丝坚! 些! ! ! 堕窒单! ! 坐生塑竺童兰! ! 垒 + 2 玎m 毛一则，) + ，( 一m x i ) + ( n 2 一，2 一m 2 ) 茁2 y 一2 m ( m z 。一n y 。) + 也，一慨) + z 0 ( 门2 一，2 一埘2 ) r 2 z + ( 船一礁h ) 2 + ( ，z ，一，) 2 一( 陟一m x l ) 2 一( 玎2 一1 2 一m 2 ) ( + 蠕一露) = o 第三种情况：直线l 为类空直线，驴为类时向量 整理后，得 = r 厄i f f 哥而 ( 5 2 2 ) m 2 _ h 2 + 贸2 ( ，2 + 历2 一玎2 ) x 2 + 2 _ 1 2 + 匿2 ( z 2 + 聊2 - - n 2 ) y 2 1 2 + 研2 + 2 ( “所2 一月2 ) z 2 2 h n x y + 2 珂l x z + 2 聊彬 + 2 斤( 一如。+ m ) + m ( 饥一嘲) + x o ( - n 2 + ，2 + 埘2 ) 盯2 x + 2 一”( 哟 - n y 。) 一，( 纳 一嘲) 一( ，2 + m 2 - - i , , 1 2 ) 芷2 y + 2 m ( m z ，一研) + ，( 弦一n x l ) + z o ( - - n 2 + ，2 + 埘2 ) r 2 = 同式( 5 2 1 ) 。 或 一m z 。一n y 。) 2 ( 1 z 。一m ) 2 + 慨一嘲) 2 + 彤2 ( 一行2 + ，2 + 研2 ) ( 靠+ 弼- z 0 0 = o 3 4 整理后，得 甩2 一m z + 茁2 ( ，2 + m 2 - n 2 ) l x 2 + 刀2 一，2 + 茁2 ( ，2 + m 2 - - 1 1 2 ) 1 y 2 n m 2 一k , 2 ( ，2 + 肌2 - n 2 ) z 2 + 2 l m x y 一2 月l x z 一2 m n y z + 2 冗( 如，一m ) 一埘( 耖，一m x 。) + ( 2 一，2 一m 2 ) r 2 x + 2 忍( m z a n y 。) + t ( 1 y , 一r e x , ) + y o ( n 2 _ z 2 一川2 ) i f 2 y 一2 m ( m z l 一研) + t ( t z 一啊) + 知( 2 _ f 2 一m 2 ) i f 2 z + ( 坍毛一礁h ) 2 + ( 拓，一，鹎) 2 一( 纵一片嘶) 2 一r 2 ( 珂2 一，2 一珑2 ) ( 磊+ 露- z o o ) = 0 同式( 5 2 2 ) 。 第四种情况：直线l 为类空赢线，帝为类空向量 整理后，得 玎2 一m 2 + 盯2 ( ，2 + m 2 一月2 ) x 2 + 2 ，2 + 1 r 2 ( ，2 + ，押2 一一2 ) y 2 + ，2 + m 2 一k - 2 ( ，2 + m 2 一行2 ) z 2 + 2 l m x y 一2 肝i x z 一2 m n y z + 2 胛( ，z 。一n x l ) 一m ( 1 y , 一嘲) + x o ( n 2 - - ，2 一所2 ) r 2 x 一3 5 查苎查芏翌主兰堡堕查苎墨垩三竺坚垫! ! ! ! 堕窒塑塑：墨塑塾垫生塑垒 + 2 即( 糍。一奶) + l ( 1 y , 一嘲) + ( 胛2 一，2 一脚2 ) 盯2 y 一2 m ( m z ，一慨) + ，( 玩一，磁) + ( 门2 一，2 一删2 ) 盯2 z + ( 抛，一n y ，) 2 + 一般，) 2 q y ，一脚。) 2 = , r , ( x - x o ) 2 + ( y 一) 2 一( z 一白) 2 整理后，得 m 2 _ n 2 + t r 2 ( 1 2 + 历2 _ , 1 2 ) x 2 + ，2 _ n 2 + t r 2 ( 1 2 + 肌2 _ n 2 ) y 2 一 ，2 + m 2 + k 2 ( ，2 + 脚2 一n 2 ) 1 2 2 _ 2 l m x y + 2 九i x z + 2 m n y z 一2 肝( 一嘲) 一m ( 1 y , 一脓) 一( 玎2 1 2 _ 聊2 ) 盯2 x 一2 片( 脚- 一m ) + ，( 砒一m 贸, - y o ( 门2 一，2 一m 2 ) k 2 y + 2 m ( 哟一嘲) + ，( 拓。一啊) 一毛( 门2 一，2 一m 2 ) 芷2 1 z 一( 胧，一，巩) 2 一( 盈一，t _ ) 2 + ( 砒一胍墨) 2 一1 - 2 n 2 一，2 一m 2 ) ( x g + y g z 0 2 ) - - o 同式( 5 2 1 ) 。 5 2 2 二次曲面化为标准形式 综上所述，空间任意点到定直线的距离与到定点的距离之比等于 常数的点的轨迹有两种方程：式( 5 2 1 ) 和式( 5 2 2 ) 。下面我们将其化 3 6 o = 、l 爵 一 蝴 + 豸 ，i、_， 2 m一产一 2 胛 ，j、 2 r o ) 225 ( 式同 或 - 兰l m 三- i m 翟- n 1 q l = 聊2 一h 2 + 盯2 ( ，2 + 卅2 一 2 ) q ：= ，2 一胛2 + r 2 ( ，2 + m 2 一 2 ) q 3 = 一1 2 + m 2 + 茁2 ( “删2 - - 1 7 2 ) f 中- o 01 l 。0 詈兰j 2 3 ) 巾，= m 2 一，2 2 + r 2 ( ，2 + 研2 一胛2 ) 吣鲨! 丛! 二型垡：! 型二塑 2 聊2 一以2 + r 2 f ，2 + m 2 一”2 1 中3 = 由式( 4 2 2 ) 知，其变换矩阵为： - 3 7 搿堂即 东北大学硕士学位论文第五章三维m i n k o w s k i 空间中的点的轨迹的讨论 1 忑瓦南 01 00 经平移后，方程( 5 2 1 ) 为 - n l 盯2 ( ，2 + 聊2 一 2 ) 一竹2 一聊厅 k 2 n 2 + m 2 - - 2 - r 2 一l ( 5 2 4 ) 埘2 一行2 + 盯2 ( 1 2 + m 2 _ 2 ) 3 z2+!竺：二!(：!m二2型_2_k2(竺12：_f_!m：12_竺h：2二)!：!二!：y： (r盯2：+ff2+1)r2(：2一+胛m：12一-甩n：2)2m z ：+ d 3 ：。 _ l r 2 f ，2 +2 一胛2 1 一甩2 。l ，3 一” 其中d 3 为含有常数，m ，n ，x 0 ，y o ，z o ，x i ，y l ，z 。的常数。 f 即2 一所2 + r 2 ( ，2 + 小2 一疗2 1 砌 l、 i 砌 ”2 - f 2 + 誓2 ( n m 2 彳) 【 胛， 坍胛 眺耋 r - - - - - 1 , 2 一m 2 + r 2 ( ，2 + 州2 一胛2 ) f 2 = ( 5 2 5 ) m n z 2 + 聊2 一r 2 f 尸+ ，”2 - n 2 ) ( t c 2 - 1 ) ( 1 2 + m 2 - n 2 ) r 2 ( 1 2 + m 2 - n 2 ) + n 2 门2 一m 2 + k , 2 ( ，2 + 脚2 一行2 1 - 3 8 ( 5 2 6 ) 查些查堂翌主芏竺堡查 苎兰主三竺坚! ! ! ! ! ! 堕窒望主塑：墨竺垫垫! ! 苎垒 f 3 = 一 由式( 4 2 2 ) 知，其变换矩阵为 。，聊 n f 1 玎2 一m 2 + r 2 ( ，2 + 垅2 一n 2 ) k 2 ( ，2 + 聊2 一以2 ) + 胛2 o1 0o 经平移后，方程( 5 2 2 ) 为 疗2 一m 2 + f 2 ( ，2 + m 2 - n 2 ) l x 2 + m n 盯2 ( ，2 + 川2 一咒2 ) + 即2 - 1 ( 5 2 7 ) 嗡l 筹m , l4 - n 山删r 2 f2 +2 2 1 2 。 。一4 。( 5 2 8 ) 其中d 4 为含有常数，m ，- i ，y o ，z o ，五，y t ，而的常数。 5 2 3 二次曲面方程的讨论 空间任一点到定直线的距离与到定点的距离之比等于常数的点 的轨迹经化简后有两种最简方程：式( 5 2 5 ) 和式( 5 2 8 ) 。下面我们分 别进行讨论。 1 讨论方程( 5 2 5 ) 用4 ，马，g 分别表示 肌2 一珂2 + 茁2 ( ，2 + m 2 一胛2 ) ， f 竺：1 2 11 1 ：竺三! ：z 的绝对值。 r 2 ( z 2 i - m 2 一栉2 1 一n 2 ( i ) 直线为类空直线 3 9 r 一 兰衍 ! 卅 尝 坚呻 其轨迹方程为 ( 2 ) 其轨迹方程为 ( 3 ) 其轨迹方程为： 4 x 2 + 马y 2 一g z 2 + b = 0 、，。+ , 2 删_ 。m 一2 盯 1 时， 其轨迹方程为： ( 2 ) a x 2 + 蜀y 2 一c 4 2 2 + d 4 = 0 m + 2 _ n 一2 1 2m 2 r l 时，+ 一，z 2 4 其轨迹方程为： ( 3 ) k - 一4 x 2 + 蜀y 2 + c 4 2 2 + 见= 0 m + 2 聊_ 。n 一2 时，、，；+ 聊z 一刚 其轨迹方程为： ( 2 )1 r - a x 2 一日y 2 一c j z 2 + d 4 = 0 其轨迹方程为： ( 3 )r 1 时) ( r 1 h e ) ( r 2 一1 ) 2 ：三( 帮 1 时) ( r l 时) ( r 2 一t ) 2 ；_ _ 鼻( 盯 l 时) ( 1 ) 2 ”“ + 上i _ k - 22 南k + 2 鬲加“尉 4 6 者 一 ，一 查些垄芏塑圭兰堡熊查 查耋查苎 参考文献 1 吴大任微分几何讲义嗍，北京：人民教育出版社，1 9 5 9 2 陈省身，陈维桓微分几何讲义( 第二版) 口喝，北京：北京大学出版社，2 0 0 1 3 梅向明微分几何( 第二版) 嗍，北京：高等教育出版社，1 9 8 1 4 吕林根等解析几何嗍，北京：高等教育出版社，1 9 8 7 5 m d oc a n n oa n dm d a j c z e r r o t a t i o nh y p e r s u r f a c eo fc o n s t a n tc u r v a t u r e 四 t r a n s a c t i o n o f t h e a m e d c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 8 3 ，2 7 7 ( 2 ) ：6 8 5 7 0 9 6 n e k m e k c ia n dk i l a r s l a n o nb e r t r a n dc u r v e sa n dt h e i r c h a r a c t e r i z a t i o n j ， d i f f e r e n f i a lg e o m e t r y - d y n a m i c a l s y s t e m ，2 0 0 1 ，3 ( 2 ) 7 b a y r a ms a h i n , e r o l k i l i ca n dr i f a tg u n e s n u l lh e l i c e s i n 群哪，d i f f e r e n t i a l g e o m e l r y - d y n a m i c a ls y s t e m s , 2 0 0 1 ，3 ( 2 ) 8 h o u hcs r o t a t i o ns u r f a c e so ff i n i t e t y p e m ，a l g e b r a s ，g r o u p a n d g e o m e