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白蜡树的防护 摘要近期在纽约的卡特罗格斯县在39棵树上存在白蜡窄吉丁虫。考虑白蜡窄吉丁虫种群的扩散方式。并对白蜡树上处于潜伏期的白蜡窄吉丁虫种群进行判断，建立预测模型。为了保护白蜡树不被侵害或侵害程度最小，采取相应措施建立减缓模型。运用mathlab软件进行求解、运算。并通过Surfer软件进行绘图。提出最合理的早期判断与进行防护治理的模型。问题（1）中，根据EAB的S型种群增长曲线，知道不采取任何措施，该种群需要扩散3年才能覆盖全纽约州。建立起EAB与啄木鸟的捕食模型。进行减缓扩散。扩散到全州需要60年。花费费用1,166,353元。同时我们对问题进行多角度考虑，运用的梣小吉丁矛茧蜂与白蜡窄吉丁幼虫的寄生关系；根据该种群每天的扩散面积建立起网格化其他树木防护带，阻碍其扩散需花费5,3997,82.5元；与当该物种种群在羽化成虫前，采用高浓度、大面积的飞机喷洒农药的策略杀死成虫，使其没有孕育幼虫机会达到目标要求。问题（2）中，对潜伏期的幼虫我们采取随机抽样检测的方法。在纽约州的森林每100公顷随机选取相应数量的白蜡树，通过Arbotom应力波无损检测系统的仪器对白蜡树进行检测。根据所得种群密度大小进行划分白蜡树所受的侵染程度，从而采取不同的治理措施。问题（3）中，建立早期判断所花费用与检测效果的关系模型，并结合检测效果与防治费用之间的关系，用matlab解得早期判断费用与后期防治费用之和最少时早期判断所花费用的表达式。问题重述在生态环境中，一种新的物种进入到新的环境时。所产生的结果通常会对该地区产生毁灭性的影响。2002年首次在美国密歇根州发现EAB。到今为止，已经对美国的中西部和宾夕法尼亚州等地方带来巨大的灾难。近期，在纽约的卡特罗格斯县发现39棵树上存在EAB。（1） 设计一个计划，可以减缓EAB种群在纽约州的扩散，并尽可能保护好白蜡树不被损害。使受损树木最少。并对其计划的效益进行讨论。（2） 由于EAB早期的侵害现象不易观察，当发现时树木已经被损害。要求设计一种可以考虑到白蜡窄吉丁虫在其潜伏期时的影响，并制定相应计划。（3） 在早期对潜伏期的EAB进行判断需要一定的资金，而资金也可用在治理已经受侵染的地区。请设计一种方案可以满足上述两种需求，并使其资金花费最小。问题分析根据问题背景，我们知道在纽约的卡特罗格斯县发现39棵树上发现EAB。并可能进行种群扩散。对于问题（1）我们需要知道有何种方法可以减缓EAB种群的扩散速度，又得在一定时间内效果最佳（减缓种群扩散时间最长），又得考虑所采取的计划所需要的资金最为合理。对于问题（2）我们知道处在潜伏期的EAB种群很难判断，我们需要采取一种措施。对该措施可以保证树木不被破坏的前提下，可以探测出白蜡树书内的EAB种群的数量。并采取相应措施进行治理。 对于问题（3）由于早期对处在潜伏期的EAB种群需要判断，必然需要耗费一定的资金。而这些资金可以用在已受EAB种群侵染地区。我们建立一种模型使其总费用花费最少，即可达到目标要求。模型的建立与求解假设1白蜡窄吉丁雌虫一生可以留下90个幼虫；假设2啄木鸟主要以白蜡窄吉丁虫为食，不吃其他昆虫；假设3由已知白蜡窄吉丁虫它传播能力不是强。成虫飞行不到半英里。在北美的自然扩散每年8公里，且只有1年的生命周期。成虫的生命周期为3周，其活动高峰期在6月中旬至7月初。所以假设成虫时进行种群扩散，且每天飞行12小时，即设每小时该种群扩散半径为32米。假设4白蜡窄吉丁虫种群主要对白蜡树进行破坏，对其他树种几乎不产生影响。1.1白蜡窄吉丁虫与啄木鸟的捕食模型在自然情况下，白蜡窄吉丁虫的种群扩散呈形曲线增长，由于随着种群密度的增长，导致该虫平均获得的资源将会减少。我们引入一个生长logistic模型。，及阻滞增长模型。 表示为在时刻种群的增长速率； 表示种群个数随时间而变化的函数；在其生物学上为白蜡窄吉丁虫种群增长的剩余空间，为该虫增长的环境容纳量。Logistic方程有两个平衡态与，（舍去）其解析解为：当时，当时，平衡状态全局稳定，即.到达该种群动态平衡位置。根据上述条件，我们知道当该种群扩散到整个纽约州时到达动态平衡点，不再进行种群扩散。为其在该地区自然扩散所需要的时间。假设原先一棵树共有10个虫，共有39棵树。一只虫每天扩散大小的的面积，为纽约州的森林的总面积。为达到种群动态平衡点的天数，即 纽约州内该虫种群稳定。解得：天 该种种群在没有引入更多的天敌种群扩散需要47天。由于种群扩散的高峰期只在每年的6月中旬至7月初（大约15天），并且成虫的生命周期只有3周即21天。所以没引入天敌时，需要3年时间才能扩散到整个纽约州。1.2.1捕食模型的符号说明 该地区面积大小 啄木鸟的个数 一直啄木鸟的价格，数值模拟时设为50元 该地区的时间 引进啄木鸟的费用 该地区的白蜡窄吉丁虫的密度函数 该地区的啄木鸟的密度函数 为影响因数且属于服从0，1上均匀分布上的四个随机数1.2.2模型的建立时刻白蜡窄吉丁虫的生长速率为： 为某时刻啄木鸟的生长速率为： 为其动态平衡的唯一平衡点 在白蜡窄吉丁虫的幼虫时期，白蜡窄吉丁虫与啄木鸟存在被捕食与捕食的关系。已知一只啄木鸟一天可以吃掉1500个虫。我们可以通过引进啄木鸟进行减缓该物种的种群扩散，进而保护白蜡树不被破坏或尽可能减少纽约州受损白蜡树的数量。首先我们考虑它与啄木鸟的捕食模型。选取一个纽约州的1000公顷内森林区域，假设该区域有5000000只昆虫。假设该虫种群扩散速度十分缓慢，只能在该地区生存。通过Lypunov泛函数： 我们可以得到。为该虫与啄木鸟达到动态平衡所需要的时间，即该虫在一定区域内不在种群扩散。即内部平衡点的外围有一族周期轨道，此外在一个接的周期T内可以得到；在Volterra原理中我们可以得到白蜡窄吉丁虫被捕食者与啄木鸟捕食者之间的数量关系。为功能反映函数，即引入天敌时与原先没有引入天敌时的的数量关系；当， 该虫密度最小，又能满足维持该捕食系统的动态平衡的条件。该地区需要啄木鸟的个数:计算出引进啄木鸟的费用:引进啄木鸟后的减缓时间减缓时间越长，遏制该种群种群扩散效果越好。当达到最大值时，保护白蜡树的效果达到最优。图1 啄木鸟与白蜡窄吉丁虫的比例变化曲线1.1.3模型求解通过随机函数运用matlab求解得a=0.8001 b=0.0421 c=0.000011 d= 0.9181 （1） （2）从微分方程（1）（2）中消去时间变量t，其轨线满足方程： （3）令，解得平衡点为（0,0）（舍去）与（83464，20）。所以需要在纽约州引进，只啄木鸟。万元。 计算得即为引入天敌时是原先没有引入天敌时的虫子减少的数量的19倍。相当于没有引入天敌时该种群扩散时间的19倍. 计算出为893天即60年。根据，知道为57年。有效的保护白蜡树不被破坏或尽可能减少纽约州受损白蜡树的数量。1.2宿主-寄生物模型研究表明，在自然界中，一种寄生于白蜡窄吉丁幼虫的梣小吉丁矛茧蜂对白蜡窄吉丁的追随攻击能力较强，所以即使刚开始被大量害虫所侵害的白蜡树几乎没有任何外部征兆，梣小吉丁矛茧蜂也可以寄生在其体内。在自然界中梣小吉丁矛茧蜂与白蜡窄吉丁的相邻世代之间是不重叠的，而且在现实生活中白蜡窄吉丁暴露在梣小吉丁矛茧蜂面前的时间是间断的，仅是时代中的某个阶段，传统的Lotka-Volterra模型不适用于离散世代物种，因此建立考虑离散世代Nicholson- Bailey模型： ， （5）其中为白蜡窄吉丁在世代的种群个数；分别为白蜡窄吉丁和梣小吉丁矛茧蜂在世代的种群个体数；为在世代被寄生的白蜡窄吉丁的个体数；为白蜡窄吉丁的内禀增长率；为小吉丁矛茧蜂的搜寻效率，则在世代中二者相遇的次数：每个白蜡窄吉丁被寄生的概率为： （6）当宿主与寄生物相遇的概率服从统计的Poisson分布时，则世代中被寄生的白蜡窄吉丁的比例为： 则： （7）将（6）式代入（5）得： （8）假设（8）式中，白蜡窄吉丁的初始数量为390个，梣小吉丁矛茧蜂的初始数量为100。搜寻率=0.5，内禀增长率=70，运用MATLAB结合（6）、（7）、（8）式计算出前十代的数据如表一： 表一：前十代白蜡窄吉丁和梣小吉丁矛茧蜂的数量变化表年份12345宿主数量N（个）3908.8766E+322.02E+634.6E+931E+124寄生蜂数量P（个）10037.1134073.23E+312.02E+634.6E+93相遇次数393.2944E+316.53E+919.3E+1534.8E+214被寄生概率0.10.03711341111年份678910宿主数量N（个）2.4E+1545.4E+1841.2E+2152.8E+2456.4E+275寄生蜂数量P（个）1E+1242.4E+1545.4E+1841.2E+2152.8E+245相遇次数2.5E+27565535655356553565535被寄生概率11111从表一可以看出，当到第二代时，宿主的数量远远大于其在自然转台下的极限值17750，因此这种迭代很不平衡，任何干扰都可使系统失去平衡。因此需要进行改进。现引入各种功能反应函数。各种离散世代的宿主-寄生物模型都具有以下的一般形式： （9）其中是白蜡窄吉丁的整体增长率；为白蜡窄吉丁逃脱小吉丁矛茧蜂寄生的概率；为寄生物对宿主攻击时的存活率，为寄生物雌性后代的比率。这些变量即为本模型所考虑的三种因素，这三种因素已经被生物学家公认是影响一般寄生行为和寄生物繁殖的重要因素，也是决定宿主-寄生物相互作用的耦合模型动态属性的主要决定因素（由于和为常数，假设=1，并不影响模型的复杂动态）。这个模型中白蜡窄吉丁被攻击数即为寄生物产卵数量。大多数寄生物种群中，以宿主身体组织为食的非卵生寄生物的成体会杀死宿主。当参数特殊赋值后，都具有（7）的形式 （10）种群的内禀增长率是指在给定的物理和生物条件下，具有稳定年龄组配的种群的最大瞬时增长率，是一个综合了出生率、死亡率、年龄结构和性别比的综合参数。其近似值的公式： (11)反映了内禀增长率与净生殖率（）和世代时间（）的关系。由于初始时刻有39棵白蜡树遭受侵染，假设每棵白蜡树上有10只白蜡窄吉丁，则白蜡窄吉丁的初始数量为390个；假设梣小吉丁矛茧蜂的初始数量为100；搜寻率=0.5，=40，环境容纳量，运用MATLAB结合（6）、（7）、（10）、（11）式计算出前十代的数据如表二：表二：前五代白蜡窄吉丁和梣小吉丁矛茧蜂的数量变化表年份12345宿主数量N（个）39014055842062.2709e+0053.3356e+005寄生蜂数量P（个）300039014055842062.2709e+005年份678910宿主数量N（个）3.1287e+0052.2704e+0051.4628e+0058918651755寄生蜂数量P（个）3.3356e+0053.1287e+0052.2704e+0051.4628e+00589186从表二可以看出，白蜡窄吉丁在第五代的数量超过了设定环境容纳最大值，此时生态系统遭到破坏。且到后几代时时，白蜡窄吉丁数量急剧减少。因此需要合理给出梣小吉丁矛茧蜂的初始数量，以减缓生态系统被破坏的时间，同时使得费用尽可能少。由于所花费用和梣小吉丁矛茧蜂的初始数量呈正比关系，所以约束条件变为以减缓生态系统被破坏的时间，同时使得梣小吉丁矛茧蜂的初始数量尽可能少。 先将梣小吉丁矛茧蜂的初始数量看成未知数，则方程（10）中有3个未知数，要想求得此多目标函数的最优值，一般的方法是很难奏效的，下用二分法对此多目标优化进行求解。当不用梣小吉丁矛茧蜂时，白蜡窄吉丁发生扩散用的时间为3年。最后解得=17500，=5，此时可减缓该区域的白蜡窄吉丁扩散到其它地区的时间为2年，所花费费用为1750元。1.3建立树木防护带 其图为纽约州的大小形状，图中所指的两块区域为纽约州内的森林分布区。 在Adirondack Park地区共拥有（1050000）公顷的土地森林，在Catskill Park地区共有（116353）公顷的土地森林。地图上Adirondack Park地区与Catskill Park地区距离较远。考虑到该种群传播能力不强，所以白蜡窄吉丁虫只在各个区内传播扩散。不能跨区域进行种群扩散。 根据白蜡窄吉丁虫物种种群每天的传播距离进行建立防护带，其防护带主要由松树和杨树组成。 假设每一个杨树或松树为（1.5）元。由于该物种在6月中旬到7月中旬是其活动高峰期，且在白天12小时每小时扩散3215.36平方米。并且成虫一般飞行不到半英里即805米。所以我们把该地进行网格划分。每个小格为平方米大小即（64.8）公顷。每个小格边缘各建50棵树。 为在内建3240740棵树 为在内建359115棵树 为在纽约州共建3599855棵树 在纽约市建设隔离带费用共5399782.5元1.4定期喷洒药物由于幼虫难以防治，而成虫羽化后必须经1周左右补充营养后才能交配产卵，因此抓住成虫羽化后的产卵前期进行化学防治可以取得良好的防治效果。在羽化盛期内(约5月上旬至6月上旬)采用“高杀死”策略，每周喷施1次杀虫剂，连续45次，可以大大减少当代卵量及次年害虫种群的数量。此外，成虫羽化期用性引诱剂或利用成虫的趋性进行物理防治亦不失为一种好办法.我们考虑大量白蜡窄吉丁虫侵害白蜡树在刚开始时，它是几乎没有没有任何征兆的。发现先征兆时，树木的树枝、树干已经死亡。所以在每年的羽化盛期内即5月上旬到6月上旬采取农药喷洒，可以取得高效率。由于纽约州共有1166353公顷面积大小的森林。人工喷洒费时费力。我们采取飞机喷洒农药“高杀死”策略。 飞机每次飞机耗油的费用 飞机每次喷洒农药的费用 飞机出行次数 喷洒农药该计划的总费用2.1.1检测模型的建立由于早期的EBA侵扰很难确定，我们需要主要考虑幼虫潜伏期的影响。在白蜡窄吉丁虫的幼虫时期生长在第一龄时期的幼虫通过白蜡树的树皮和韧皮部并进入树的形成层，使之不易被人们发现并且该种种群对刚开始的侵害的白蜡树是几乎没有任何征兆现象的。我们应用应力波断层扫描检测设备方法检测，可以完全满足树木的无损检测和安全性评估的要求。同时无损检测的优点是既不破坏材料的原有特性，又能在短时间内获得想要的结果。我们运用Arbotom应力波无损检测系统的仪器对白蜡树进行检测。从而进一步考虑白蜡窄吉丁虫潜伏期对白蜡树的影响。在Arnotom力波无损检测系统中可以获得白蜡树内部受侵害程度的二维图像。同时为提高检测效率与检测准确率。我们采用多点测量和增加应力波测试仪器的传感器数量方法，满足检测的要求。每棵树的检测时间为分钟，一棵树的检测费用为元和引进一台设备需要花费元。在检测早期我们对健康树木的应力波断层成像结果分析与内部含有幼虫的虫洞的受侵染的应力波段层成像结果分析进行预先比较。分析在什么程度度内是为健康树木，什么程度内是受到潜伏期影响的树木。这样节省我们检测下批树木并判断其是否为健康状态的时间。我们把应力波仪和阻力仪结合在一起提高了检测结果的准确性。同时，由应力波断层扫描得到的图片和阻力仪得到的阻力曲线图能准确地反映出白蜡树内部的材质分布情况。下图为检测出内部腐烂树木的检测图像1。在评估检测的安全性的过程中，该设备利用Wagener，coder，Mattheck与Fraedrich的方程与应力波断层扫描图片的信息结合起来。可以知道健康的白蜡树自然生长的弯曲程度与受到潜伏期影响的白蜡树生长的弯曲程度。也可以帮助我们区分健康与受潜伏期影响的的树。下图为检测出内有虫洞与受损的树木图像2。我们根据分析图像可知白蜡树是否受到处在潜伏期该虫种群的影响。2.1.2模型求解 已知在Adirondack Park地区共拥有（1050000）公顷的土地森林，在Catskill Park地区共有（116353）公顷的土地森林。我们采取随机取样的方法，进行对纽约州的森林地区进行检测，在森林中分布有有白蜡树林带、白蜡树种与其他树种混合林带与其他树种带（包括少量的白蜡树）。假设每台设配需要花费500元与一次检测费用为1元，每台机器每天可以检测10棵树。在白蜡树林带进行早期早期检测每100公顷随机取样检测1000棵树；在白蜡树林与其他树种的混合林进行早期检测，由于单位面积内白蜡树林与其他树种的混合林内比白蜡树林的白蜡树少，故每100公顷随机取样检测400棵树；同理在其他混合树树林每100公顷随机取样只检测50棵树。共引进台检测设备。检测总时间为分钟。检测费用当与处在相对平衡的在状态下，得出需要引进台设备的数量。即为在检测潜伏期的树木需要耗费的时间最少，检测效率最高。2.2检测模型的后期处理及治理方案在对白蜡树林带、白蜡树种与其他树种混合林带与其他树种带（包括少量的白蜡树）内检测出白蜡窄吉丁幼虫的种群密度。即在每100公顷白蜡窄吉丁虫个数。根据问题1知道在白蜡树林带每100公顷上有0-10个虫内，及为对白蜡树无害现象，不需要给予治疗策略。在白蜡树林带每100公顷上10-80个虫时，我们进行引进梣小吉丁矛茧蜂3200个。在白蜡树林带每100公顷上有80-1600个虫，我们可以采取生物防治手段，即引进天敌啄木鸟每一百公顷引入2只；在白蜡树林带每100公顷上有1600以上时，说明白蜡窄吉丁虫虫害比较严重。我们采取飞机喷洒农药的“高杀死”策略。这样可以在最短时间内防治白蜡窄吉丁虫虫害的扩张。从而满足白蜡树受损的数量最小的要求。在白蜡窄吉丁虫的生命周期时，分为在4月上、中旬开始活动，4月下旬开始化蛹，5月中旬为化蛹盛期，6月中旬为末期。成虫于5月中旬开始羽化，6月下旬为羽化盛期，成虫羽化孔为“D”型。成虫羽化后在蛹室中停留515天，之后破孔而出。6月中旬至7月中旬产卵，每头雌虫平均产卵6890粒。幼虫于6月下旬孵化后，即陆续蛀入韧皮部及边材内为害。10月中旬，开始在坑道内越冬。可知在每年的3月到4月之间的幼虫时期，我们根据调查的该物种种群的种群密度进行选取生物防治方法。在密度低时，我们选取引入梣小吉丁矛茧蜂的方法，根据其寄生关系杀死白蜡窄吉丁虫。同时在这期间，如果查的该物种种群的种群密度大时，我们采取引入啄木鸟天敌的方法，进而杀死幼虫。在羽化盛期(约5月上旬至6月上旬)的时期，按照调查的种群密度分为两种方法。一是采用“高杀死”的农药喷洒策略；二是采用激素诱导杀死雌性个体，进而减少白蜡窄吉丁虫的幼虫数量，从而达到保护白蜡树的目标要求。同理在白蜡树种与其他树种混合林带即在每100公顷白蜡窄吉丁虫个数，根据问题1知道在白蜡树种与其他树种混合林带每100公顷上调查的400棵树有0-4个虫内，及为正常现象，不需要给予治疗策略。在白蜡树种与其他树种混合林带每100公顷上调查的400棵树4-32个虫时，我们进行引进梣小吉丁矛茧蜂1200个。在白蜡树种与其他树种混合林带每100公顷上调查的400棵树有32-640个虫，我们可以采取生物防治手段，即引进天敌啄木鸟每一百公顷引入2只；在白蜡树种与其他树种混合林带每100公顷上有调查的400棵树640以上时，说明白蜡窄吉丁虫虫害比较严重。我们采取小型飞机喷洒农药的“高杀死”策略。这样可以在最短时间内防治白蜡窄吉丁虫虫害的扩张。从而满足白蜡树受损的数量最小的要求。在其他树种林带（包括少量的白蜡树）即在每100公顷白蜡窄吉丁虫个数，根据问题1知道在其他树种林带每100公顷上调查的50棵树有0-1个虫内，即为正常现象，不需要给予治疗策略。在其他树种林带每100公顷上调查的50棵树1-4个虫时，我们进行引进梣小吉丁矛茧蜂180个。在其他树种林带每100公顷上有4-80个虫，我们可以采取生物防治手段，即引进天敌啄木鸟每一百公顷引入2只；在其他树种林带每100公顷上调查的50棵树有80以上时，说明白蜡窄吉丁虫虫害比较严重。我们采取砍伐已损坏的白蜡树树木进行销毁或进行人工喷洒农药的“高杀死”策略。这样可以在最短时间内防治白蜡窄吉丁虫虫害的扩张。从而满足白蜡树受损的数量最小的要求。3.1模型建立早期的判断投入会对后期的防治费用产生一定的影响，其中判断的准确度与早期的投入呈正相关，且准确度越大，防治所花费用越少，当投资多花费用低于防治减少费用时，此时的投资是值得的。但是随着准确度的提高，提高单位准确度所需的投资会增大，当投资费用大于防治减少费用时，此时不宜再投资，为平衡二者的关系，只需求得临界值即可。3.1.1 前期投资与准确度的关系有前面的分析可知，准确度与前期投资费用之间的关系大致符合S型曲线。假设易知当前期投资时， 假设一棵白蜡树的价值为元，则：，即：解得：3.1.2后期防治减少费用与准确度的关系准确度可以看成是处在潜伏期的白蜡树被检测出来的比率，准确度越高，处在潜伏期被检测出来的白蜡树越多，假设发现并防治好一棵白蜡树可使其自身价值升高元，则前期投资费用为时，可检测到处在潜伏期的白蜡树的数量为,其中N为处在潜伏期的白蜡树的估计值。假设每颗被检测出来的处在潜伏期白蜡树被治好的可能性为，投资为时可使白蜡树增加的经济效益为治好这些被检测出来的处在潜伏期的树木需要一定的资金，假设平均每棵的治疗费用为，则拯救树木的花费：处在潜伏期被发现并治好的白蜡树将不需要接受后期的防治，假设平均每棵白蜡树后期防治所需的费用为，则这些白蜡树所节省的防治费为：则当投资量为，准确度为的条件下，可产生的总经济效益为：当达到最大值时，即为前期投资与后期防治费用平衡的最优值。解得：模型优缺点模型的优点：1.对于问题一，本文建立了不同的模型对白蜡窄吉丁进行防治，通过对不同模型的评价及综合考虑，最终给出方案能有效延缓白蜡窄吉丁的扩散。2.对于问题二，本文采用了国际先进技术，能够准确判断出处在潜伏区的白蜡树的数量，这使后期防治的针对性大大提高。3.问题三中的模型引入了早期判