（应用数学专业论文）非齐次马氏链的收敛及收敛速度.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 马尔科夫过程是一类重要的随机过程，它有极为深厚的理论基 础，如拓扑学、函数论、泛函分析、近世代数和几何学，又有广泛的 应用空间，如物理、化学、生物、天文、计算机、通信、经济管理等 等众多领域。有关齐次马氏链的研究，已形成了较完整的理论体系； 关于非齐次马氏链的研究，人们一直在陆续进行中。本文主要研究非 齐次马氏链的收敛及收敛速度。 本文第一章主要介绍马氏链的相关研究及进展。第二章介绍后续 章节所需用到了基础理论知识。第三章研究一类非齐次马氏链的收敛 速度及绝对平均强遍历性。首先在b b o w e r m a n 等人研究转移矩阵列 收敛的一类非齐次马氏链，其c e s a r o 平均收敛的收敛速度基础上， 研究转移矩阵列平均收敛到一周期强遍历随机矩阵的一类非齐次马 氏链，通过控制转移矩阵列平均收敛的收敛速度，利用矩阵范数的性 质、非齐次马氏链的相关性质等，得到该非齐次马氏链转移矩阵 c e s a r o 平均收敛的收敛速度，是b b o w e r m a n 等人结果的一个推广， 并将这一结果应用到期望平均费用中；其次引用杨卫国提出马氏链绝 对平均强遍历的概念，给出齐次马氏链绝对平均强遍历与强遍历的等 价性，然后通过引进另一个强遍历的非齐次马氏链，给出一个非齐次 马氏链绝对平均强遍历的充分条件，是杨卫国作出一个非齐次马氏链 绝对平均强遍历的充分条件的推广。第四章通过引进一正规矩阵，证 明了一个关于非齐次马氏链的收敛定理，是杨卫国等人的一个关于非 齐次马氏链c e s a r o 平均收敛定理的推广。第五章作一个简单总结。 关键词：马氏链，遍历，收敛，收敛速度 江苏失擎硕士孝弦论文 a 辩s t r a c t m a r k o vp r o c e s s e si sa ni m p o r t a n t p r o b a b i l i s t i cp r o c e s s e s i th a sp r o f o u n d t h e o r e t i cf o u n d a m e n t ，s u c ha st o p o l o g y , t h e o r yo f f u n c t i o n s ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，m o d e m a l g e b r aa n dg e o m e t r y , a n di th a se x t e n s i v ea p p l i e da r e a , s u c ha sp h y s i e s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , a s t r o n o m y , c o m p u t e r , c o m m u n i c a t i o n , m a n a g e m e n to fe c o n o m y t h er e s e a r c h a b o u th o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n sh a sf o r m e di n t e g r a t e dt h e o r e t i cs y s t e m ；t h e r e s e a r c ha b o u tn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i nh a sb e e nr e s e a r c h i n g 露sa r t i c l ei s g o i n gt os t u d yt h ec o n v e r g e n c ea n dr a t eo fc o n v e r g e n c ea b o u tn o r d a o m o g e n e o u s m a r k o vc h a i n s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h er e s e a r c ha n dp m g r e s s e sa b o u tm a r k o v c h a i n s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yw h i c hn e e d st ou s ei nt h e s u b s e q u e n tc h a p t e r s ，i nt h et k r dc h a p t e r , w es t u # t h er a t eo fc o n v e r g e n c eo f n o n h o m o g e n e o u s m a r k o vc h a i n sa n dt h ea b s o l u t e a v e r a g es t r o n g e r g o d i c 。f i r s t l y , b a s e do nt h eb 。b o w e r m a n sr e s u l ta b o u tt h er a t eo fc o n v e r g e n c ei n c e s a r os e n s eo fc e r t a i nn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n sw h i c ht h et r a n s i t i o nm a t r i c e s c o n v e r g e , w ea r et os t u d yac e r t a i nn o n h o m o g e n o u sm a r k o vc h a i n sw h i c ht h e t r a n s i t i o nm a t r i c e s a v e r a g ec o n v e r g e t oap e r i o d s t r o n g l ye r g o d i c s t o c h a s t i c m a t r i c e ，a n dc o n t r o lt h ea v e r a g ec o n v e r g e n cr a t eo f t r a n s i t i o nm a t r i c e s ，t h e nw eg e tt h e r a t eo fc o n v e r g e n c ei nc e s a r os e n s ea b o u tt h en o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n sb y u s e dt h ec h a r a c t e ro f n o r ma n dt h ec h a r a c t e ro f n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s i ti s a ne x t e n s i o no fab b o w e r m a n sr e s u l t 。w ea l s od i s c u s st h ea p p l i c a t i o no nt h e e x p e c t e da v e r a g ec o s t a n dt h e nw eq u o t et h ec o n c e p to fa b s o l u t ea v e r a g es t r o n g e r g o d i cw h i c hy a n g w e i g u oh a si n t r o d u c e d 。结g i v et h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h e a b s o l u t ea v e r a g es t r o n g e r g o d i ca n ds t r o n ge r g o d i c f o r h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i n s a n dw e # v es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fa b s o l u t ea v e r a g es t r o n ge r g o d i ef o ra n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n st h r o u g hi n j e c t i n ga n o t h e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i n sw h i c hi ss t r o n ge r g o d i c ，w h i c hi sa l le x t e n s i o no fy a n g w e i g u o sr e s u l ta b o u t n 江苏大学硕士学位论文 a b s o l u t ea v e r a g es t r o n ge r g o d i cf o ran o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s i nt h ef o u r t h c h a p t e r , w eq u o t e d an o r m a lm a t r i x ，a n d p r o v e d ac o n v e r g e n c et h e o r e ma b o u t n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s t h et h e o r e mi s a ne x t e n s i o no fy a n g w e i g u o s c e s a r oa v e r a g ec o n v e r g e n c et h e o r e mo f n o n h o m e n g e o u sm a r k o vc h a i n s k e yw o r d s ：m a r k o v c h a i n s ，e r g o d i c ，c o n v e r g e n c e ，r a t eo f c o n v e r g e n c e n i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 ， 不保密囱。 学位论文作者签名：力易 冲s 年5 月g 日 指导教师签名。嘈鼍弘硐 以年i 月g 日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：煮易 日期：y 一歹年月g 日 江苏失擎硕士学位论文 第一章绪论 骂尔科夫链酶麓肇定义及铡子 马尔瓣夫逑卷是隧魂_ i 蓬程孛掰史最悠久且充满溪力戆一粪隧掇过程。这一类 随机过程的特点是，当过程在时刻r 0 所处的状态融知，则过程在r 。以后所处状态 与过程在t 。以前所处状态笼关，这个特性叫无后效性，也州做马尔科夫蚀。通俗 穗说，藏怒“已煞现在，将来襄过去无关”。若马尔辩夫过程 并) ，f 毫t 麓状态 空阀s 为震中的霹列集，贝4 称，t t 为马尔科夫链。萋r 为田列离教集，则 称 x ( f ) ，t t ) 为离散参数马尔科失链：若丁为连续的，则称 爿( r ) ，re t ) 为连续 参数马尔科夫链。本文主要研究离散参数玛尔科必链，其严格数举定义将在下一 章绘出。 自1 9 0 7 年苏联数学家a a m a p k o b 引出马尔科夫链概念以来，人们对码尔科 夫链懿磅究哥潋说蘧久不襄。黧疆究有隈戏可数强尔辩夫链卜”，辑究骂尔季萼夫 链及随机稳定性f “，研究码尔科失链的基础及应用l ”，以及对马尔科夫链纂础知 识的研究“”】。 为了爨加形象的了解码尔科夫链，我们在诧举一个马尔科夫链的例予。 ( 随机徘徊滤波器) 对一系统接连不断地输入一串脉冲序列，自然脉冲相位 可能超前也可能滞后，经过一段时间之后的叠加可能出现过于超前或过于滞后的 聪象，困疆造成较大戆误麓，予怒登嚣设法翅以控测，嚣么营先就应建立一令戮 断准则判断何时过于超前何时过乎滞后以便随时修正。为此可利用如下的数学模 墅，帮著鸟熬赌德输光瓣题，设蠢一震熹材开始位予数辘熬歪整数熹楚( 这 表示赌徒肘开始裰元) ，以后m 在数轴的整数点( 0 7 l ，毛，2 n ) 上作每次向 右绒向左仅移一格的随机徘徊运动，若吖现在z 处，0 0 ，总有 p ( x 。1 = i 。“i x o = f o ，x l = i l ，x 。= ) = p ( 爿j + 1 = “l x 。= ) ( 2 1 1 ) 成立，则称x 为离散参数的马尔科夫链。若s 为可列集或有限集，则称x 分别 依次为离散参数的马尔科夫链和有限马尔科夫链。本文仅研究离散参数的马尔科 夫链，以后简称为马氏链。 下面我们给出马氏链的等价性质【5 】： 定理2 1 - 1设x = x 。，”= 0 ，1 ，) 是定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的随机序 列。x 的状态空间s 是可列集或有限集，则下列陈述互相等价： ( i ) x 是离散参数的马氏链，即式( 2 1 1 ) 成立。 ( “) 对任何正整数门，任何非负整数列：0 t 。 ，1 0 ，下面不再一说明。 ( i i i ) 对任何正整数n ，任何非负整数列：0 兰“ t 。 f 。以及任何 i o ，i 1 j - + l s ，恒有 p ( x = i 0x h = 札，a 。f 。，x k 2 i n + 1 ) = p ( x f 0 = i o ) p ( x = 引x b = g o ) p ( x k = i i x 2 i n ) = p ( x 。= o p ( x b = i oi x 。= f ) 一p ( x k = i “i 墨。2 i n ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( i v ) 对任何正整数n 、m ，任何非负整数列0 f os ，l f 。 f t 以 及任何f 0 ，i ，+ 。es ，恒有 p ( x 。，= + l ，置= i i x b = i 0s x 2 “，x 。) = p ( x k = j ，x 。= i 。+ 。i x 2 i n ) ( 2 1 5 ) ( v i ) 对任何正整数玎、m ，任何非负整数列0 t o f 。 f ，。以 及任何f 0 ，i l ”i 。，i ，i s ，恒有 p ( x h = o ，x 。= i n _ l ，x 。= + l ，x k ，= i lx 。2 i n ) = p ( x = f o ，x ，= 一ii x 2 i n ) p ( x “，= i n + l ，x k = i i x 2 i n ) ( 2 1 6 ) ( v i i ) 对任何正整数以、m ，任何非负整数列0 t o f l r 。 t ，以 及任何f o ，i i i “，f 。，i n + 。s ，恒有 p ( x 。= f o ，x t 一= i ix = i n , x f _ + 。= f ，x 2i n + m ) = p ( x b = 砧，x k = 一1i x 2 ) 7 ( 2 1 7 ) 江苏大学硕士学位论支 ( v i i i ) 对任何正熬数露以及任何f 匹s ， f x l ，o 女s n - - l 是出x 。，x 生 成的最小仃“代数，即包含n 及一切形如 ：瓦( m ) = j , o s _ j 墨门一1 ，j 研的 脚集，并对淑余及可列并遥算封闭的最小繁类，又记f ( x 。，露玎+ 1 ) 是由 邑。x 。，生成兹最小d 找数， 剐对 壬嚣 a 芒f ( x 女，0 女雅一1 ) ，b f ( x i ，是n + 1 ) ，憾有 p ( b 1 4 ，咒= i ) = p ( b i 以= i ) ( 2 1 8 ) ( i x ) 对任俺正熬数筇，任辩igs戮及任侮 a f ( x k ，o 基| s n - 1 ) ，b f ( 炭j ，七n + 1 ) 恒有 p ( a b i x 。；i ) = p ( a l km i ) p ( b i x 。= f ) ( 2 1 9 ) ( x )对任何正熬数行，任何i芒 s戳及任何 a f ( x l ，0 更s n - 1 ) ，b f ( 爿：，枣雄+ 1 ) ，攥舂 p ( a i 爿j f ，b ) = p ( a l 爿j = i ) ( 2 1 1 0 ) 注2 1 1 由马氏链定义及等价定义的( i i ) ，( v ) 。( v i i i ) 知，在已知x 。= f 戆条 聿下，系统遘去懿历囊与宅静下一步是独立懿，及对它懿将祭豹任籍转移帮 是独立的。 注2 i 2 由等价定义的( v i i ) ，( x ) 如如采随机序列 函，置，置，。，) 楚舄氏链，郑么 ，置i ，置l ，+ ，x ，x o 傍是马氏链。 注2 1 3 设 羁，n o ) 是定义在s = 0 , 1 ，2 ， 上的马氏链，记 p 。( f ，) = p ( x 。= ，i x 。一i 。i ) 只= ( 以( f ，力) ，其中f ，s ，”1 簧镕狡溉，歹) ，辩l ；凳骂氏链 五，撑蛰懿一多转移缀率，篱髂转移壤率；藩薅誊 嚣的变化b 也变化，则称 以，挣o 为非齐次马氏链， 冀，托1 为其一步转移概 率矩阵列，简称转移概率矩阵列；若随着”的变化只不变化恒为p ，则称 冀 江苏大学硕士学位论文 x 。，玎0 ) 为齐次马氏链，p 为其一步转移概率矩i l t - ，简称转移概率矩阵。 2 2 相关定义及性质 定义2 2 1 设，= ( ，正， ，) 为一行向量，定义，的范数| 1 | | 如下 设g = ( 蜀，g ：，岛，) 是一列向量，定义g 的范数如下 | 1 9 | | = s u p i g ，i 设4 = ( ) 是肌h 阶实数矩阵，州和”可以是无穷大，定义4 的范数1 1 i l 如下 = s u p la i j i j ；l 易知这样定义的范数| i | | 满足范数三个公理，并且还有以下性质m 1 性质2 2 1 对任何矩阵爿与b 有 l i a b i h l 4 i i b i i 由此可以得出： 性质2 2 2 对任何矩阵a ，任何行向量，及任何列向量g 有 峪i i u 1 1 4 ，i i a g l l - ci i a i i i l g l l ，i 唐i sl l s l l i l g l l 性质2 2 3 若p 为随机矩阵，则有 | 1 p l | = 1 另外，我们从范数意义上给出马氏链各种遍历性的定义，在给出各种遍历性 定义之前，先给出一些预备知识。 设q 是一随机矩阵，若a 的各行均相同，则称q 为常数随机矩阵a 设 以，订o 是定义在s = o ，1 ，2 ，) 上的非齐次马氏链，其转移矩阵列为 只= ( n ( f ，脚，n 1 ) ，其中 9 江苏大学硕士学位论文 l ， 0 为齐次马氏链，尸为其一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。 2 2 相关定义及t 陛质 定义2 2 1 设，= ( ，2 ，工，) 为一行向量，定义，的范数如下 设g = ( 蜀，g ：，乳，) 。是一列向量，定义g 的范数洲如下 = s u p ig - 。1 f 设4 = ( 。f ) 是，z n 阶实数矩阵，m 和n 可以是无穷大，定义a 的范数| | 如下 i j a i l = s u p l z l 易知这样定义的范数满足范数三个公理，并且还有以下性质“” 性质2 2 1 对任何矩阵爿与占有 l i , 擂i i - i i a i i 恻i 由此可以得出： 性质2 2 2 对任何矩阵“，任何行向量，及任何列向量g 有 恻1 - 1 1 1 1 n a i l ，i i a g l l - o 弱一有羧鬻数g ，使得 鬻寺副甓圹，陋甜t 蹦3 _ 1 1 那么对任窳s 0 ，必存在d ( 占) ，使 溜挚n 挖一卡雄m 蝴1 ) ” 蹦强m ， 杨卫豳已经给如了这类非齐次马氏链c e s a r o 平均收敛【2 ”，假没有给出收敛 速度。这个定理通过控制转移矩i 蹿y , j 平均收敛的收敛速度，给出了这个非齐次马 炙链c e s a r o 平均收敛熬收敛速度。鑫| l 琏：零定理以说是扬卫鏊美予葵务次马氏 链c e s a r o 平均收敛定理【2 4 1 的一个补充。 证明由文献 2 4 的式( 6 ) 、( 8 ) 和式( 9 ) 知： 濡l 喜尹“m ，聍一酬2 e 澎+ 力，辫 e s 。t a ， + s 。u p 舀蔷吉蕃| | 己m v 一尹 ( 3 1 6 ) + 竿静“l 删 慨h ， 其中三满足珂= l d + r ( 0 - r 0 ，i n n 的阶不离子雄。的阶f 2 射，所以式( 3 。1 。a ) 的除不糍予拧小。的阶。 又肖 材+ d - 1 群+ # - 1 s 删u p d 善言否1 名m v 一户。墨d 善g 7 矿 g d ( m + d - 1 ) n 。 ( 3 1 7 ) 因为掰+ d l 舄i n n 蠲蹬，爨激式( 3 1 。b ) 夔羚不寒予辨一妻冬泠。帮黧搿 1 时，”的阶不黼于雌。”的阶。则式( 3 。1 。a ) 、( 3 1 b ) 、( 3 1 c ) 的阶均不高于 ”小5 = 7 - 州1 ，耐+ 。的阶。 当0 膳 1 时，胛_ 1 ”的阶不高于拧1 ”的阶，剃式( 3 1 a ) ，( 3 1 b ) ，( 3 1 c ) 熬徐均苓舞予疗”= 一“蛙一”戆鼢。 综上，所以式( 3 1 2 ) 成立。 嚣为转移矩阵列收敛w 戬推出转移矩阵列平均收敛，所以由由扬卫国关于非 齐次马氏链c e s a r o 乎均收敛定理1 2 4 i ，哥褥b o w e r m a n 戆令定理 4 l ；类钕遗， 由本定理i 可得b o w e r m a n 的一个定理，下面给出证明： 稚论3 1 1 ”1 在定遐i 条件下，如果存在盘o 和一有限常数g ，使得 1 6 江苏大学硕士学位论文 慨- p l l _ 0 ，存在d ( s ) ，有式( 3 1 2 ) 成立。 证明证此推论只需证由式( 3 1 8 ) 可导致式( 3 1 1 ) 成立即可。这是因为由 式( 3 1 8 ) 知 骝i 1 若no 只“一p 忙船i 1 丢ng 石导万 o k 口1 时，式( 3 i 1 ) 成立，由定理3 1 1 知式( 3 i 2 ) 成立。 若口= i ，有 骝i i 副n 一pi i - 詈喜妻 ( 3 t 1 ) 因为宝k = i 与l n 一同阶，所以存在。 0 ，有常数划，使得 裟孥”疗q 峥训一 蒯( 3 i s ) 又设g 。( x ) 和g ( x ) 是定义在s 上的函数，和g 均是列向量，其第j 个分景分别 为g l ( ，) 和g ( ，) ，设 l l g ，m t 1 ) 是脊界数列，对于上述s 0 ，有常数m ：，使得 s m u p ；o 三h 宝r f f i ! 晦翻一g 忙膨：，村i 8 疗l(31 t 4 ) m + n 记妒“o ) = e g ，( 一) ， l 工。= 磅 i s i _ m + t 妒“是戳伊“”( i ) 为第f 个元索的列向量，妒怒每个嚣素都为gu ) 丌的 ， 颡淘垂，粪g 存在常数捣，健褥 磐眵t l , m + n q ，| m 3 。 撑l ( 3 。l 。1 5 ) 证明由钏舅”1 ) 肖界性及式( 3 1 1 4 ) 和蚓l 有限m 1 ，设碰岛t 1 ) 与l l g l l 的上界为z ，刚 鬻妙一硼= s 酬ui i 陌芒- p 一一皴i 鬻”弋，吲，n 卜裂陲一曲g l 慨，旧 竖骝冲n 。砷珂+ 五d i i 窆t = l 一酬i i 0 ，t l 0 蔓m 2 n 一8 + 删l i n l = m 3 i n l 一 ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 ，1 8 ) 帮褥式( 3 + 1 ，l f i ) 箴立。 注由定理3 1 2 知，l i m p 0 4 ( f ) ，f e s 存在，称此极限为马氏镳的期望平均费 * 呻呻 用。 峦上述定理3 。1 。2 褥b o w e r m a n 戆一令结论l ”l ： 江苏大学硕士学位论文 推论3 1 2 0 4 1 在定理3 1 2 条件下，如果式( 3 1 1 4 ) 换成以下条件 g 。( n r21 ) 一致有界，且有常数m ：，使得 l i g ，一g l l o ) f 1 ( 3 1 1 9 ) 其他条件不变，则式( 3 1 1 5 ) 仍成立。s 证明证明此推论，只需证明由式( 3 1 1 9 ) 可导致式( 3 1 1 4 ) 成立即可。这 是因为： 骝i 1 酗n 。一g 忙s 。u p l ”窆百m ：协+ f ) i + 5 ( 3 1 2 0 ) 丝n 童t = l ，- ( 1 ( 3 1 2 1 ) n 由引理3 1 1 知t 。“。与 。同阶，所以有 溜i 1 善no g o + , - g l l s i 以m 肼：”i 一 则由定理3 1 2 知式( 3 1 _ 1 5 ) 成立 3 2 一类非齐次马氏链的绝对平均强遍历性 ( 3 1 2 2 ) 关于非齐次马氏链的强遍历性和c e s a r o 平均收敛已有不少研究 4 h ”】1 1 2 0 1 “i 。本节旨在利用非齐次马氏链绝对平均强遍历的定义，首先给出齐 次马氏链强遍历和绝对平均强遍历的等价关系，然后给出一个非齐次马氏链绝对 平均强遍历的充分条件。 定理3 2 i 设一齐次马氏链转移矩阵为p ，则p 关于某常数随机矩阵q 强 遍历的充要条件为p 关于q 是绝对平均强遍历的。 证明必要性是显然的，只需证明充分性既可 由于q 为常数随机矩阵，则有 妙“一q i i - - i i p - 1 ，设 缘，嚣1 是另一菲齐次马氐链鹃转移矩薄弼，并且 婊，摊1 关于常数睫掇矩阵q 是强遍历敬，即黠舞鹰芷羧数聪鸯 ! 删q “”一o l l - - o ( 3 卫2 ) 如果 n l i - 擞* 。三3 妻k = l l 壤一幺l 。 ( 3 。2 3 ) 粼 0 ，嚣1 是关予零数魏橇筵箨q 绝霹平鹭强遍历静，帮对 王餐歪整数掰，有 擞i i 沙n 沓。 ( 3 矗4 ) 证踺对于任露正整数搿，骞 丢耋峨“一q 擀+ t 黔m + _ n i 磊1m 善+ n 峻一酝l ( 3 2 5 ) 所以由式( 3 2 3 ) 榻，对任何丁f 般敞m 。有 ，兰兰茎垄堂壁主兰堡垒墨 m _ _ 一一一 ! 臻去善n 缈p + t 一级“u = o 奴2 对任俺正熬数珥，有 l p ”t m 一q ”“”“2 | l o ， 存在，搜对 王簿趸整数掰有 l l g ”m + 一q l ( 3 2 1 。 丢耖”一q k l 酽v “m m + k q k l ；勃q i 墨2 疗v _ 2 0 + i 1 ；静h 旷 ”“桫小 “卜 妙肘“”q ”卜 一”卜删 曼2 撵v 旦o + 确1 宝1 1 p 川咖呵托m + “峥去扣黼1 m + 帆一q l ( 3 。2 1 1 ) 由式( 3 2 。5 ) ( 3 2 6 ) 及譬的任意梭可褥，对任旃诞整数m ，有 麓去扣”一盆l = 。 3 忠强 2 l 江苏大学硕士学位论文 根据非齐次- 5 氏链 只，门1 ) 关于常数随机矩阵a 绝对平均强遍历和c e s a r o 平筠收敛豹定义，可敬翔遂若一菲齐次骂氏链 鬈，n l 关予常数隧橇矩阵q 懿 绝对乎均强遍历骢，则她非孑 = 次马氏键缓，n l 必然关于常数随枧矩阵。熄 c e s a r o 平均收敛的。所以有： 推论3 2 1 设豫，n 1 ， 统，挖t ；翔定遴3 2 2 定义，整有 ! 受言寨阪一酝l = 。( 3 2 1 3 ) 羯繇，n 怠1 关予常数薅橡矩薄岔是c e s a r o 平均浚敛斡 推论3 。2 2 设 瓦，辫麓o ) 是定义在s 。 o 1 ，2 ，) 上的j 齐次强氏链，其 转移矩阵列为 只，九1 ，设p 是另一随机矩降，并且设p 是强遍历的，如果 煅搏只一p i l = 。( 3 2 1 4 ) 则马氏链是绝对平均强遍历的，即存在常数随机矩阵q ，使对所有m 商 溉言砉旷”一q 印( 3 2 1 5 ) 证明在斑理3 2 2 中取绕* p 即可。 江苏大学颈士学位论文 第蹬章一类菲齐次马氏链的收敛定理 零章邋过弓| 逡瀵是条箨款蠢隈正栽矩阵，谖疆了一个关予蛰齐次警氏链收 敛的定理，并推广了非齐次马氏链c e s a r o 平均收敛的条件 定义蔗为一藏怒矩阵，帮掰嚣除实戆阵元索满是黧下条俘： l i a l = s u p l * ，l 簪= l ，其中气= 瑶。 “ ；1 ” c 1 对每个k 熙关于k 一致的有 1 够口m2 0 勇乡 ，在本文审我稻灵考虑满足下剜两条彳串之一酶有蔽正艇矩阵： ( a ) 对每个靠，口船是单调递减的。即 d 础日 j “，k = 1 , 2 ， ( b ) 对每个露，存在一整数，使得 并且有 群辩量墨吒。+ l ，1 茎k r o a k 口 + i ，k ， l i ms u p l 撑女| _ 0 8 女 关于非齐次马氏链的各种收敛性已经有不少研究f 1 3 - 2 4 l ，本文是通过日l 进一 类似于r h o a d e s 文中的正规矩阵m j ，得一关于非齐次马氏链收敛性定理，从而 馒辆卫国静一个绪论i ”1 成为既定理韵一个特例。 在绘搬主要定理之懿，我们先绘出一个嚣令弓l 理并 歪明。 引理4 1 设“是满照条件( a ) 或( b ) 的正规矩阵，则对所有的m ；0 , 1 ，d ， 教任意豹燕整数拧= 三d + 办，0 s h d ，肖 溉丢m 嬲 ( 毒。1 ) 江苏大学硕士学位论文 证明( 1 ) 装a 满足条件( a ) ，即对任意的正整数露，有球m 矗“+ l 则令 s l = 口。j + 口n 一十1 + + 口 l 1 ) a “+ d h ，。d + 呙= a n , 2 + 口月一+ 2 + + 嚣h ，( ，1 ) a + 2 + a n , 埘+ 2 s h 以= a n , h i + g n , d 十 ，1 + + 打“三一t ) d + 一1 + 疗h ，。“h 一1 s h = 吼 + 稿# 一+ 女+ + a 。) 露+ 嚷。掰+ s “l = d ” 十l + 口n d + + 1 + + d n 一1 ) d + & = 壤+ 。+ 嚷。2 # + 口，掰 由上述表达式可知 s l s 2 ，同时s 2 s 1 + 口。，1 粼枣 又有 ! i r e s t2 熙s z 一擞虬h目_ o l i m 蕞+ 岛+ + s 毒= 1 呻 所以对m m o ，l ，d ，有 ! 恐口啪。= 1 d ”舞“”“ ( 2 ) 若爿满足条件( b ) ，则有 曼口。脚一口一：r - 2 疗。+ p 山。+ 呈m 酗脚州一2 酐“氓卜w + k 。r + 1 mt 。i = 1 ，q l - 2 = 吒肿川d + 川d + 4 啡+ 1 ) d # 2 i - ， ( 4 2 ) ( 4 3 ) 4 4 ) ( 4 。5 ) ( 4 6 ) ( 4 。? ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 。l o ) 江苏大学硕士学位论文 即 ，一1一2 d 州m 卅+ p _ 1 ) m + d 胁。 k = 2k = r dl - 1d一2 ( 吼嗣一致，。) ( a n 耐+ 。一a n o n ) ? m = 1女= l推= l = o 三一l d 口。州一帆，兰 * i 另一方筒有 即得 茜础一妻。 k = tm = l ，一2王0 牙。m 。+ 吒( r - 1 ) “。+ 彬+ 。) # 0i z 毒，一2一2 g ( a n 肿+ 1 ) d + n 枷加十g n 脚) m = l 女一o z ， = d 口删+ k - 1 d a n 材+ 由式( 4 1 4 ) 和式( 4 1 6 ) 褥 掰激毒 ( i n m 疗。，( ，一i ) d + 。 吉缸飞。吉磐一筹吼f i 1 磊d 舔。，驰+ 。一吉瘁。弦 l n l 面a ，m 21 7 d ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 4 。1 7 ) ( 4 1 8 ) w” 口一 *+树4 d h m | | ( ， 嚣 o “ + 埘n 盯 m 1 d十 d+ h 甜 m 脚 d i m卜 。 。 窆n 江苏大学硕士拳位论文 又有 郢得 联融毒 l - l卜2 l 一2 a n ，埘一口以耐靠。村+ 。+ 舔和棚d + 。+ 靠耐+ 卅 t = l i = 1t t r - 2l - 2 8 州+ 1 ) 才+ 掰“，一1 ) “卅十a n 。材 i z l= 7 - 2 = 树+ 口1 n 耵州m d 州 = 1 ( 4 1 9 ) l - 2 一2上一2 辫一痒”l 。f - 啊舔，材+ 。a n 筒+ 壤伊删。一舔d ( 4 2 0 ) i 1i - l t l 。1 i m 。夏 y a n ，+ m = l i m 瓦a 。船21 觋善+ m = 1 7d(421) 综上，由式( 4 1 1 ) 、( 4 2 1 ) 知式( 4 1 ) 成立。 弓l 瑗4 2 设 吼，盯1 ，溉，行l 为实数瓢，b 为一实数，置存夜一有限常 数掰，靼0 至m 0 ，选取充分大的m ，可使 m 。a x 。p “l 幺0 n i 时 i 。6 7 ( i i ) 若爿满足条件( b ) ，则 ( 4 3 3 ) ( 4 3 4 ) ( 4 3 5 ) ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) ( 4 3 8 ) ( 4 3 9 ) 肌 。 “川 码对，弼使1 4 t 1 7 又有 菪， 甄时，霹使 埘 2 l s ，7 ， 综上所以结论成立。 l d + 2 l a n ki 1 7 i t d + ( 4 4 3 ) ( 4 。4 4 ) ( 4 4 5 ) 敬4 6 ) ( 唾4 7 ) 在上述定理中取释。= 1 n 鼹然a = ( 1 n ) 楚潢足条传( 8 ) ，( b ) 豹芏e 褒延 阵，则有如下结论成立： 推论2 。设 以，开0 是菲齐次马氏链，其转移矩阵捌为 只，栉1 ) ，设p 是 筘 嚣 ，删 菇一 赫 痒 翟 疗+ 彳 p 球 m 扭 。h 、一 江苏大学硕士学位论文 周期为d 的周期强遍历的随机矩阵，其左特征向量为p ，q 为每行取妒的常数随 机矩阵。 1 ) 如果 ! 受吉封最一p i i = 。 ( 4a s ) 则对任何正整数i n ，有 ! 现i b 扩“一q | | = 0 t 。， 2 ) 如果 熙骝吉副p m + , - p i i = o ( 4 5 0 ) 则有 一l i m 。s 。u ：p 。1 1 1 。羔。，。p ”+ 一q 0 = 。 c a s ， 江苏大学硕士学位论文 第五章总结 自1 9 0 7 年苏联数学家a a m a p k o b 引出马尔科夫镶概念，并开始进行研究以 来，经j 臻世界备国冗健数学家静相继努力，使褥骂尔秘失链蟊蘸邑成为肉容十分 半富理论上相当完整的数学分支，并且广泛地被应用于众多领域之中。 与齐次马氐链已经取得的丰硕成暴相比，非齐次马氏链的研究刚显褥相当不 足，至今仍是有待深入碜 究的论题。本文即研究非齐次舄氏链的收敛及收敛速发 问题，盎要研究内容分三块： ( 一) 在转b o w e r m a n 等入赣究转移矩终捌收敛瓣一类蛰弃次马涎涟，箕 c e s a r o 平均收敛的收敛速度蕊础上，研究转移矩阵列平均收敛到一周期强遍历 隧辊矩薄戆一类i 齐次骂氏莲。遴遗控澍转移楚海平均毅敛豹救敛速魔，羁强矩 阵范数的性质、日 齐次玛氏链的相关性质，得到该非齐次马氏链转移矩阵c e s a r o 平均收敛的收敛速度，楚b b o w e r m a n 等入结聚的一个推广，并将这一结采应糟 予期望平均费用中。 ( 二) 利用非齐次玛氏链绝对平均强遍历的定义，给出齐次马氏链强遍历和 缝对平稳强遍绣豹等徐关系，及一个j # 骞次马氏链绝对平均强遍历熬巍分条 牛。 ( 兰) 通过引进一满足一定条件的有限正规矩阵，证明一个关于非齐次马氏 链浚敛瓣定理，笄推广 齐次麓氏链c e s a r o 警均浚敛熬条锋。 江苏大学硕士学位论文 参考文献 【1 】d a v i d f r e e d m a nm a r k o v c h a i n s ，s p r i n g e r - v e r l a g , n e w y o r k ，1 9 8 3 2 】 j o h ng k e m e n y , j l a u r i es n e l l ，f i n n em a r k o vc h a i n s ，s p r i n g e r - v e r l a g , n e wy o r kb e r l i n h e i d e i b e r gt o k y o , 1 9 7 6 3 】 j o h n g k e m e n