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构造有理插值函数的几种方法及其存在性的研究 摘要 有理分式函数是简单函数类，虽然比多项式复杂，但用它表示函数时，却 比多项式灵活、逼近效果好、更能反映函数的具体特征，因而在数值逼近、函 数近似等方面得到了广泛的应用。由于有理插值是有理逼近的重要内容，所以 关于有理插值理论与方法受到人们的关注。但是，构造有理插值函数的方法与 有理函数次数类型相关，由构造方法可以给出插值问题有解的条件。本文章已 有的研究工作的基础上，利用差商知识，给出了一种判断有理插值有解的方法， 并将其推广到向量值有理插值问题，得到了相应的结论。 本文首先简述了有理插值的研究背景，扼要介绍有理插值的基本理论和方 法，以及本文所做主要的工作。 第二章研究了用n e w t o n 汇集差商构造的有理插值函数方法。利用差商的知 识，给出判别一元有理插值问题有解的条件，简化了计算量，并将其方法推广 到二元有理插值和向量值有理插值函数情形。 第三章讨论了t h i e l e 和t h i e l e - - n e w t o n 型有理插值函数的存在条件，并 给出具体的例子进行验证。 第四章介绍了尽可能接近显示的插值公式，进而揭示二元有理插值的内在 结构，得到了矩形网格上二元有理插值函数存在的一个充要条件，并给出了二 元有理插值函数的一种显示表现形式，并将此情况推广到向量的情形。 关键词：有理插值；存在性；充要条件；n e w t o n 差商；向量有理插值 r e s e a r c ho nc o n s t r u c t i o nm e t h o d sa n de x i s t e n c e o fr a t i o n a li n t e r p o l a n t sf u n c t i o n a bs t r a c t r a t i o n a lf u n c t i o ni s s i m p l e f u n c t i o n c l a s s c o m p a r e d t o p o l y n o m i a l i n t e r p o l a t i o n s ，i ti sm o r ef l e x i b l ea n dc a nd e s c r i b ep h y s i c a lc h a r a c t e ro ff u n c t i o n s m o r ea c c u r a t e l y ，a p p r o x i m a t i o ne f f e c ti sb e t t e r t h e r e f o r ei th a sw i d e l yu s e di n n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n ，f u n c t i o na p p r o x i m a t i o n ，e t c b e c a u s er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n i sa ni m p o r t a n ta s p e c to fr a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n i ti sv e r ym u c hc o n c e r n e da b o u t r e s e a r c ho nt h e o r ya n dm e t h o do fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n h o w e v e r ，m e t h o do f c o n s t r u c t i o nr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ni sr e l a t e dt h en u m b e ro ft h et y p eo f r a t i o n a lf u n c t i o n i tc a ng i v es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n sf o ri n t e r p o l a t i o np r o b l e mb yu s e o fc o n s t r u c t i o n i nt h i st h e s i s ，o nt h er e s e a r c hf o u n d a t i o n ，t h eu s eo fd i f f e r e n c e q u o t i e n tg i v eam e t h o do fju d g i n gt h es o l v a b i l i t yp r o b l e mo fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ， a n dw ee x t e n di tt ov e c t o r 。v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o np r o b l e m ，o b t a i n c o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n s i nt h i st h e s i s ，f r i s t ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ， t h eb a s i ck n o w l e d g ea n dm e t h o do fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nb r i e f l y ，a sw e l la st h e m a j o rw o r ko ft h i sa r t i c l e i nc h a p t e r2 ，w es t u d i e dm e t h o do fc o n s t r u c t i o nr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nw i t h n e w t o n sd i f f e r e n c eq u o t i e n t b yu s eo fd i f f e r e n c eq u o t i e n tw eg i v eas o l v a b i l i t y c o n d i t i o no fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o np r o b l e mw h i c hr e d u c ec o m p u t a t i o n ，a n de x t e n d i tt ob i v a r i a t er a t i o n a l i n t e r p o l a t i o na n d v e c t o r v a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n i nc h a p t e r3 , w ed i s c u s sc o n d i t i o n so ft h i e l e ，n e w t o n t h i e l ea n dt h i e l e - n e w t o n t y p er a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nf o r t h ee x i s t e n c e ，a n dg i v es p e c i f i ce x a m p l e st o v e r i f y i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c ear a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf o r m u l aw h i c hi sa sc l o s ea s p o s s i b l ec o n c r e t e ，r e v e a lt h ei n t e r n a ls t r u c t u r eo fb i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n w ec a n g e tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n f u n c t i o nf o rt h ee x i s t e n c e ，g i v ea ne x p r e s s i o no ft h ef o r m u l at h a ti sc o n c r e t e ，a n d e x t e n di tt ot h ev e c t o r k e y w o r d s ：r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，e x i s t e n c e ，n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ， n e w t o n sd i f f e r e n c eq u o t i e n t ，v e c t o r v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得金胆王些盍堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 一签耕蛳f 妒月留日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金壁王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 魍王些丕堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 。 通讯地址： 导师豳寥矽劾 签字日却：汐7 年垆月f 纩日 电话： 邮编： 爿儡 手 “ 揣舻 名 摊呻 秘 如 文 劳 仑 j 、p p r f 位 字 挚 窿 致谢 时光飞逝，转眼间，三年的研究生生活就要告以一段落。看着自己写好的 论文，思绪万千，心情久久不能平静。首先我要感谢我的导师朱功勤教授，没 有他，我的论文不可能顺利完成。导师的治学严谨、品德高尚、平易近人、深 深地感染着我，在我学习期间，不仅传授我做学问的秘诀，还教我为人处事的 道理，这将使我终生受益。无论是在理论学习阶段，还是在论文开题、选材、 撰写都得到了导师的悉心指导，在此，我对他表示衷心的谢意。 回首过去学习期间的一千个日日夜夜。自己能够不断取得进步，离不开所 有的授课老师们，正是由于他们的慷慨解囊，我才能不断地获取知识。对他们 表示真挚的谢意，特别是郭清伟老师，正是他的教导，才使我在学业上取得进 步。 在即将毕业之际，我还要感谢我的同学郑林、徐群、柳翠等，在生活是对 我的关心和帮助，同窗之谊，我会铭记于心。 最后，我要感谢我的父母，他们默默的支持一直是我前进的动力，我向他 们表示深深的感谢。 学习研究是永无止境的，我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的 成果来答谢曾经关心、帮助和支持过我的所有老师、同学和朋友。 作者：荆科 2 0 0 9 年2 月 1 1 有理插值的研究背景 第一章绪言 众所周知，函数逼近( 或近似) 就是用简单函数去近似替代复杂函数，最 简单函数是多项式，但当函数值某点附近无界时，用多项式逼近效果很差，而 用有理分式函数r ( x ) = a i x x 7 逼近便可得到较好的效果。多项式逼近是 一种线性逼近，而有理拶式函叛o ( 简称为有理函数) 逼近则是一种非线性逼近。 多项式插值方法是线性逼近的主要方法，多项式插值法是线性逼近的主要方法。 而有理函数插值是非线性逼近的一种重要方法，很显然采用有理函数作为插值， 其计算方法的建立、误差研究都比多项式困难的多。但是由于它具有一些特殊 性质，如能较好地逼近函数f ( x 1 值有限点处值很大的函数等。所以有理插值问 题研究受到人们的关注，己成为数值逼近的一个主要研究领域。 设( x i , y j ) ，i = o ，1 ，m + n 是与y = f ( x ) 有关的r e + n + 1 个型值点，其中 鼍，( f _ o ，1 ，删+ 刀) 互异，乃= 厂( 鼍) ，( 江o ，1 ，m + r t ) 。所谓有理插值问题，乃是 寻求有理分式函数 = 器= 嚣善搿 ， 使之满足如下条件 r m , 1 ( 而) 2 揣2 厂( 墨) 扣o ，1 ，“肿 ( ll2 为了求出满足有理插值条件( 1 1 2 ) 的有理函数( 1 1 1 ) 。需要解非线 性方程组，这是一个困难的问题。将式( 1 1 2 ) 改为如下齐次线性方程组 尸( t ) 一厂( 薯) p ( _ ) = o ，f = o ，1 ，m + n ， ( 1 1 3 ) 这是一个含有m + n + 2 个未知量，m + n + 1 个方程式的方程组。显然非零解 一定存在，现在的问题由方程组求出的q ，( f - o ，1 ，m ) ，b ，( ，= o ，1 ，n ) 构成的有 理函数( 1 1 1 ) 是否是有理插值问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的解呢? 回答不一定。 这表明有理插值问题解的存在是有条件的。早期的有理插值算法是仿照多项式 n e w t o n 插值公式建立的，为此引入反差商( 逆差商) ，由于差商定义中函数值 为分母，所以产生了对于所给函数值厂h ) ，( f = 0 ，1 ，m + n ) 如何判断它的逆差商 是否出现无穷问题，从而这种算法的可行性也是有条件的。因此，有理插值问 题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 解的存在唯一性和构造有理函数方法，成为有理插值研 究中的主要内容。有关具体内容请看文 1 。由于一元有理插值是多项式插值的 推广形式，所以如同多项式插值一样，基于实际需要将一元有理插值推广到二 元情形，即二元有理插值问题。a c u y t 等通过多元逆差商( 倒差商) 研究了二 元有理插值逼近问题( 见 3 ， 4 ) 。基于分叉连分式是研究二元有理插值问题 的存在性和构造插值函数的主要手段，显然采用分叉连分式构造有理插值函数 时，需要引入所谓的偏逆差商，如同一元情形，二元有理插值问题解答存在性 与构造方法可行性都是由条件的。因此，研究有理插值问题比多项式插值问题 复杂的多。基于研究机械振动膜分析的需要，g r a v e s m o r i e s 等学者，借助一 元t h i e l e 型连分式和向量的s a m e l s o i l 逆变换，引出了一元向量值有理插值的 定义，给出了构造插值函数的方法，证明了特征性及唯一性等。1 9 9 0 年朱功勤， 顾传青等将一元向量值有理插值问题推广到矩形领域上的二元向量值有理插 值，通过引入分叉连分式和偏逆差商，给出插值函数构造方法，证明了特征定 理( 见 8 ) 。所遇到的问题仍然是存在性和构造方法的问题。 近年来，关于一元有理函数插值问题与逼近研究不断深入( 见 9 ， 1 0 ) 。 矩形域上二元有理插值问题研究同样出现了许多新的结果( 见 1 1 ， 1 2 ， 13 ) 同样，向量值及矩阵有理插值也有许多新的结果( 见 1 4 “2 0 ) 。 1 - 2 有理插值问题的存在性 由前面介绍可以看出，有理插值问题的存在性和构造有理函数的构造方法 研究取得了许多好的结果，就一元有理插值问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 存在性 而言，早期的最好结果是有n m a c o n 和d e d u p r e e 在文 1 6 利用代数方法给出 的，即设： b = x m y ox o y o 式y o r朋鼍m 群m i；ii 东。y m + 。+ 。+ 。硝+ 。虼+ 。 x 肿 y x y 扩y ( 1 2 1 ) 若不恒为零，则有 一 定理1 2 1 有理插值问题( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 有解的充要条件是各个矩 阵4 ，江o ，1 ，m + n ，是非奇异的，其中4 是矩阵 a = i x ox m y 0x o y o 式y o 、x l 肆y lx l y l 式y 1 ；。；：。： 1 + 。棚蠕。 + 。+ 。碥+ 。虼棚 去掉第f 行后余下的元素按原来的结构次序构成的矩阵。 若屈恒等于零，则有： 定理1 2 2 若对i = o ，1 ，m + n ，4 的秩是一个常数，则一定存在有理函数 如，= 己q 满足( 1 1 2 ) 。 2 菇奸；矗，五；x 上述方法在实际应用中的计算量是很大的，因为要判断满足插值条件 ( 1 1 2 ) 的有理函数如，。= 己q 是否存在，需要计算m + n + 1 个( m + n ) x ( m + n ) 阶矩阵。 c s c h n e i d e r 和w e r n e r 在文 1 7 中通过引入权函数，研究了有理插值问题 解的存在性，给出了一种判别方法。盛中平，崔凯在文 1 8 中利用v a n d e m o n d e 和l a g r a n g e 多项式插值公式，给出了有理插值问题的一个判别准则。近期关于 一元有理插值问题存在性研究结果( 见 9 ， 1 0 ) 。不但给出了判别存在性条 件，还给出了有理插值函数的解析表示，为实际应用带来了方便。对于二元有 理插值问题存在性，是针对矩形域上的有理插值给出的( 见 1 9 ) ，其证明方 法可以看作是一元情形的推广。对于二元有理插值及向量值有理插值问题，目 前研究主要是有理插值函数的构造方法，遗憾的是关于二元有理插值和向量值 有理插值问题解还没有见到一般唯一性的讨论。所讨论的唯一性都是针对所采 用的方法而言的。从实际应用出发，构造简单的计算量较小的算法研究是由意 义。 1 3 本文所做的工作 本文在前人研究工作的基础上，主要研究了构造有理插值的几种方法及 其存在性问题。 1 研究用n e w t o n 汇集差商构造的有理插值函数，利用差商的知识对判别 一元有理插值函数存在性的方程组进行了简化，并推广到= 元及一元向量值有 理插值函数。 2 讨论t h i e l e 和t h i e l e 一- n e w t o n 型有理插值函数的存在条件，并给出例 子进行验证。 3 利用v a n d e m o n d e 和l a g r a n g e 多项式插值公式旨在寻求尽可能接近显示 的基于矩形节点上任意二元数量及向量值有理插值，进而揭示二元有理插值的 内在结构。 第二章n e w t o n 差商型有理插值 一元函数有理插值问题的可解性及算法研究已有许多好的结果( 见 2 0 ) 。 目前的研究集中在构造有理函数方法。本章首先介绍文 9 中给出的既能判别有 理插值问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 解存在条件，又给出解的具体表达式，以及 文 1 0 中给出的改进文 9 中的算法，然后我们将其方法推广到向量值有理插值 情形。最后给出构造矩形域上二元有理插值的一种算法。 2 1 一元函数有理插值 对于有理插值问题( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 。定理1 2 1 和定理1 2 2 给出 了判别有解的充要条件。但检验条件的计算量相当大。文 9 利用n e w t o n 插值， 从有理分式函数分母多项式入手，给出并注明了有解的充要条件，并给出有理 插值函数的表达式。 县i i x ) v - * i 2 l 阪： 1 q ( x ) ：( x 一而) ( x 一五) x - - 五一。) ，f ：1 ，2 ， v 的逆为 其中 v = 1o i q ( 西) 1 q ( x 2 ) i q ( h ) y 一： o 0 0 o ( 而) 0 ：。： 哆( h ) ( h ) 研1 ) ； 硼) 南州咖密( 弦， 矽2 l ，尼：z + 1 ，f + 2 ，f ：0 ，1 ， 引理2 1 1 如果g 万满足q ( x k ) = 吼，k = 0 , 1 ，n ，则 4 ” 口 以 碰 ，、l g ( x ) ：g o + 羔 圭趣，吼 魄( z )g ( x ) = g o + 趣。吼 魄( z ) k - 1l i = 0 j ( 2 1 2 ) 定理2 1 1 满足插值条件，( 葺) = 厂( 而) ，i = o ，1 ，n ，的有理函数 r ( x ) ：p l q r ( 聊作) 存在的充分必要条件是方程组 础 j ( o ) “一+ 2 帮) 石识 石破 五露) o ( 1 ) 4 n + i ( 1 ) u n + 2 西) ，( 1 ) j i “m + l ，( 1 ) j l i i m + 2 彳硼) d n ( n + 1 ) d n ( n + nd n n + 2 ) 。： 力“)砖+ 2 ) 厶+ 职1 ) 厶+ 。斑1 厶“d m m + 2 ) ： 厶+ 。毋“厶+ ：力+ 2 )氏d 肾 g o 吼 ： q n ( 2 1 3 ) 存在一组解 【q oq l g 】2 满足 q k o ，七= 0 , 1 ， 且 小，= 鬻= 一 矗4 ， 毹o ) = 0 旌，) ：盟，七：1 ，2 ，f ：o ，1 ，七一1 x l x t d t k ( k ) 一q ( 1 习 然后证明了下面两个引理： 引理2 1 2 设i = o ，1 ，m ，g ix ) = x - - x i 那么 ( 店，) 【，鼍，】= 厂【，墨，x z 巾而+ ，x m 】 ( 2 i 5 ) 引理2 1 3 哪! 函数厂( x ) 的f 阶差商“，而，五】= o ，i = m + l ，m + n 成立的充 要条件是 , c o ，五，薯】= o ，i = m + 1 ，m + n ( 2 1 6 ) 由引理2 1 2 和2 1 3 ，在文献 1 0 中将方程组( 2 1 3 ) 的系数矩阵m 记 为 和 兀鳄 一+ i 兀鳄) 一+ 2 厶鳄) 一靠。 一+ i 而一+ 2 d 一+ m 厶力) 一+ i 厶露 x m 一+ 2 。： 厶力) 一+ 。 。) 一+ i 力) 一旄+ 2 ； 毋) x o 一+ m 穰。厂 ，z ，+ 。】 。 ，z ，+ ：】 ； 。厂 ，z ，+ 。】 。 ( 一吒+ 。) ； 碰o ( 而一+ 。) 其中z = ( + 。，矗+ 胂) 。 厶+ 。 ( “) 0 “【矗，z ，+ 。】 ”厂【，z ，+ ：】 。； 毋厂【，z ，+ 。】 毋) ( 一。) 。i ” ( - x + 。) ：。 0 ； 厶+ 。 + 。( + 。) o 0 ( 2 1 8 ) 如果相应的齐次线性方程组解( q o9 9 l ，一，q ，+ 。) ， 只要满足 q k o ，( k - - o ，1 ，m + n ) ，则有理插值问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 一定有解，且有理插 值函数r ( x ) 仍可由式( 2 i 4 ) 给出。 6 。插 。 。一一。 ； 。 。；。 。 ；。一 。；川。一； 。 例2 1 1 已知插值条件如下：( o ) = 1 ，厂( 1 ) = 丢，( 2 ) = 喜，求r ( o 2 ) 和r 0 1 ) 型有理插值函数r ( x ) 。 罐 - o 解方程组得到解为k ( 1 ，2 ，5 ) r ，其中( k 为任意常数) 。由( 2 1 4 ) 得 ，( x ) = 言潜= b ，由定理2 1 1 知，( x ) 满足插值条件， 当聊= 阼= 1 时，由于厂【而，屯】- 詈，厂 五，而】_ - 1 0 3 ，由( 2 l 8 ) 得方程组为： 三二三o 51 0 一1 1 三 22匮h 0 求出解为七( 3 ，4 ，5 ) r ( 七为任意常数) 。代入公式( 2 1 4 ) 便得，( x ) = 五3 - - i x ，同理， 可知，( z ) 满足插值条件。 2 2 一元向量值有理插值 将上面方法推广到一元向量值有理插值i 司题，不难证明。 引理2 2 1 若v ( x ) 为m + nt 欠d 维向量多项式，满矿( ) = 圪，k = o ，1 ，m + n ， 则 m , 4 - nlm + 开 l 矿( x ) = + 碰。杉 纯( x ) ( 2 2 1 ) 其中 ( x ) = l ，吨( x ) = ( x 一黾一。) 嗥一。( x ) ，k = o ，1 ，m + n 那么向量值有理插值函数r ( x ) 二苦如，我们可得到： 毹n q f = o ，k = n + l ，m + n i = o 罐睨g ，= o ，k = m + l ，m + n 7 ( 2 2 2 ) 其中 质： d ( x ) = q o + g ，b ( x ) k f f i l l i f f i oj m + 月f m + h 、 n ( x ) = q o v o + 趣n z , q ，k ( x ) 引理2 2 2 设g ，( x ) = x - - x i ，i = o ，1 ，m ，那么向量值函数v ( x ) 具有下面的性 ( 增。) 【，西，】= y 【，j c l ，而一。，墨+ 。，】 ( 2 2 3 ) 引理2 2 3 设v ( x ) 为向量值函数，y ，而，x 1 = 0 ，扛m + l ，m + n 成立的充 要条件是： 而，墨，墨】= o ，i = m + l ，m + n ( 2 2 4 ) 证明：y 【而，而，_ 】_ o ，扛m + l ，肌+ 疗成立的充要条件是： 其中 ( y 丑) ，毛，：+ 。】= o ，f = m + l ，m + n ( 2 2 5 ) 以( x ) ：m + nx - - _ ) 因为五( x ) ，i = m + l ，聊+ 玎构成一。的一组基。所以( 2 2 5 ) 成立的充要条件是： ( 旧) 【，五，+ 。】= o 对所有的q _ l ，那么( 2 2 6 ) 成立的充要条件是： ( 2 2 6 ) ( 喝) ，而，+ 。】= o ，f = m + l ，m + n ( 2 2 7 ) 其中q ( x ) = ( x 一而) ，反复运用引理2 2 2 可得( 2 2 7 ) 成立的充要条件是： 矿【，五，鼍】= o ，f = m + l ，m + n 由引理2 2 3 方程组( 2 2 2 )等价于下面的方程组： 8 ( 2 2 8 ) 霸q k 可2 咖帆一，聊+ 玩 ( 2 2 9 ) ；2 。，后= 聊+ ，竹+ ，z ， 我们重新给方程组( 2 2 9 ) 的系数矩阵m 赋予新符号。设m 的第一行元素 的第1 列到第n + l 列元素依次为嘏，观，露n ，o ，0 ，依此类推第m 行从第1 列到m + n 列元素分别为观，观，嚣) ，同样，第m + l 行依次为 韶。，。c 槲o ) 巧，穗1 圪巾o ，0 ，依此类推，第m + n 行的元素依次为 c 辨。v o ，琵j 。k ，m 棚+ n 吃棚。 那么方程组( 2 2 9 ) 等价于 形吼= o ，后= 聊+ 1 ，m + n ， 簟吼= o , k = 以+ 1 ，m + n ， ( 2 2 1 0 ) 我们引进f 面符号， 巧) ：r a + n 砖) ) = o ，f ，j = o ，i ，1 一，所+ 刀， k = n + l q ) ：m + n 簟) 毋( 巧，形) = o ，i ，j = o ，1 ，彤+ ( 2 2 1 1 ) p 9 ) = 矽+ c ”i ，j = o ，1 ，m + n ， 定理2 2 1 向量值有理插值存在的充要条件为下列方程组 臻鞋h 兰0 g o ) 9 1 ) g ”伸| | g ll ：i ： ： | i l卜 e 袋。e e 嬲j k + 一j l o 存在一组全非零解g = ( 吼，q l ，g ) r ，且有 9 ( 2 2 1 2 ) 吼一旅一稚 瑰两盟h 。脚。枷 d ( x ) = q o + 4 。吼 嗥( x ) k = ll i = oj 卅r 量、 n ( x ) = q o v o + 碰。形吼 q ( x ) ( 2 2 1 3 ) 证：必要条件：若向量值有理插值函数存在，则必有r ( x ) = n ( x ) id ( x ) 满足 插值条件，且d ( x i ) ：q 。，i = o ，1 ，m + n ，所以n ( x ，) = v j q ，i = o ，1 ，m + n ， 由引理2 2 1 知 由d ( x ) ，n ( x ) 己，故 d ( x ) = g o + 以f ) 日， ( x ) k = lli = 0 j 删+ 打r m + 一、 ( x ) = 吼r o + 碰n v , q ， 嗥( x ) 趣杉吼= o ，k = m + l ，m + n ， 趣吼= o ，k = 甩+ 1 ，m + n ， 又因为( 2 2 1 4 ) 等价于( 2 2 9 ) ，可得 m+h m + nm + n肿+ 一 巧c ：l f 形吼= o ，毋q j = o = 0 1 ，r e + r ， k = m + li = ok n + lt = o 将上式号次序改变，两式相加，可得 有 ( 2 2 1 4 ) i 蠢) 毋+ 馥) 毋( 巧，杉) b ，= o ，j = o ，1 ，m + n ， ( 2 2 1 5 ) i = ol k = n + l k - m + l j 充分性：设方程组( 2 2 1 2 ) 有全非零解q - q 。q l g 册+ 。】r ，由( 2 2 1 5 ) 于是有 即 乃 l 蠢+ ( 巧，k ) b ， = o j = o l i = ol k = n + l 膏t m + l 1 j 艺f 芝巧乃1 f 艺c ：f ) 杉吼1 + 芝f 芝，劬1 f 芝9 1 1 ：o k = m + l j = oi = o k = n + l j - o、i = o k 艺= n + ll艺i=oc l f ) 吼1 2 + k 芝= m + ll i l i 芝i = o 杉吼1 1 2 t l = 。 l c l f ) 吼i + 恺杉吼l i = o i 1 0 枷御 从而可得( 2 2 2 ) 成立。则r ( x ) = ( x ) d ( x ) 满足插值条件，故有理插值函数 存在。 例2 2 1 已知插值数据如下： 薯 0l 2 形 ( 纠 ，12 、 ( 1 ，2 ) b j j 求r ( 0 2 ) 解：根据( 2 2 11 ) 可得方程系数矩阵 a = 所以得到通解为k ( 1 ，2 ，5 ) 。其中( k 为任意常数) ，由定理2 2 1 知满足插值条 件的有理函数r ( 。2 ) 一定存在，由( 2 2 1 3 ) 知r ( x ) = ( x ) 。( x ) = 要鲁。 2 3 二元函数有理插值 关于矩形域上的二元有理函数构造方法，目前多数是基于分叉连分式给出 的( 见 1 1 ) 。我们借鉴文 1 4 中的方法，讨论矩形网格上的有理插值问题。 我们称点集 兀7 , = 乃) y j ) r 2 ，f - 0 ，l ，1 一，聊，j = 0 ，1 ，刀，) ( 2 3 1 ) 为矩形网格。所谓二元有理插值问题就是求二元有理函数，( x ，y ) = 吉罢拳使之 满足下列插值条件： ，( 葺，乃) = 乃，( 江o ，i ，1 一，聊，i = o ，l ，1 一，以) ( 2 3 2 其中p ( x ，少) ，q ( x ，j ，) 均是二元多项式。 o 一4 o 。一加 巧一2 5 4 o 药一4 o 一2 o 一4 引理2 3 1 1 4 满足插值条件g ( 薯，y j ) = g o ，( f = o ，1 ，m ，j = o ，1 ，刀，) 的二元 n e w t o n 插值多项式为： 其中 g ( x ，y ) = 九( x ) q ( y ) h = ok = o ( 2 3 3 ) h k 叱= 蠢孱。岛，h = o ，1 ，朋，k = o ，l ，1 一，拧。 ( 2 3 4 ) 引理2 3 2 让i = o ，1 ，m ，g i ( x ) = x t ，s ( x ，y ) 为二元变量函数，那么 证明： ( 店，) 嘞，五，y = s x o ，而，墨一。，鼍+ ，y 】 ( 2 3 5 ) ( f g ，) 【，五，y 】= g , ( x ) f x o ，_ x m ，j ，】+ g ， x o ，五】厂 墨，x 2 x m ，y 】 = ( 一x , ) x o ，毛，y 】+而一t 一+ 而 而一 x i ，恐x m ，y 】 ( ：c o 一薯) 厂【，而薯一。，鼍+ 。x m ，y 卜厂 墨，x 2 讫，y 】 一鼍 + 厂k ，x 2 x m ，y 】 引理2 3 3 f x o ，西，嘞，y o ，m ，“】_ o ，h = 口+ 1 ，m ，k = 6 + 1 ，r l ( 2 3 6 ) 成立的充要条件是： s x o ，五x a ，x h ，y o ，m y b ，耽】= o ，h = 口+ l m ，k = b + l 刀 ( 2 3 7 ) 证明：s x o ，五，x h ，y o ，m y b ，此】= o ，h = a + l m ，k = 6 + 1 r l 成立的充要条件是： 其中 ( 厂以) 【，x q x r a ，y o ，m y n ，y k = o ，h = a + l m ，k = 6 + 1 甩 ( 2 3 8 ) 以( x ) = n ( x 一毛) ( x 一吒) 因为以( x ) ，h = 口+ 1 ，m 构成匕一。的一组基，所以( 2 3 8 ) 成立的充要条件是： ( 饱) 【，五x m ，y o ，y l y b ，虬】_ o ，k = 6 + 1 刀 ( 2 3 9 ) 对所有q 己一。那么( 2 3 9 ) 成立的充要条件是： ( 尥) 【，五x m ，y o ，m ，y k = 0 ，矗= a + l m ，k = 6 + 1 纷 ( 2 3 10 ) 1 2 其中 q ( x ) = 兀( x 一而) i = h + l 反复运用引理2 3 2 得( 2 3 1 0 ) 成立的充要条件是： 厂【，x a x h ，y o ，乃y b ，此】= o ，h = 口+ 1 m ，k = b + l 刀 同理可得( 2 3 1 1 ) 成立的充要条件是： 厂【，x a x h ，y o ，m y k = o ，h = 口+ 1 m ，k = b + l 门证毕 如果删 需要的二元有理函数小= 渊中的卟的x 最高次数为 口，y 的最高次数为b ，q ( 而j ，) 的x 最高次数为e ，y 的最高次数为f 。那么我 们可以把( 2 3 1 ) 中的结点的前a 行b 列和e 行f 列按实际需要重新排序，得 到两个二元指标集置，易( 它们的顺序可能相同，也可能不同) 。记： 巨= ( 南，y o ) ，( 矗，石) ( 乞，矗) 色= ( 瓯，) ，( 4 ，q ) ( 吐，吃) = ( f 0 ，矗) ，( f 1 ，五) ( t ，工) 置 d = ( d o ，e 。) ，( 4 ，q ) ( z ，e t ) ) 易 其中l = m n + 肌+ ，s + t = l ，厶= a b + a + b ，厶= e f + p + 厂， 删胁似班渊为巩虻稍黝戮设 记： 尸( x ，y ) = q ， ( x ) ( y ) “， ) e q ( z ，y ) = 以吆( x ) ( y ) ( 噍e i ) e d o = g l o ，g l l 目l h q 朋o ，l g m ，p = a o ，a 1 a 。 p m op 吡p m 其中： q = q ( t ，y j ) ，毋= 乃鳓，i = 0 ，1 ，朋，j = o ，1 ，刀 则分别插值p ，q 的二元n e w t o n 多项式为： 其中： 尸( x ，y ) _ q ， 吼( x ) ( y ) + 皱( z ) 嘞( y ) ( 如 ) e 臣 。4 + 1 d 2 6 + 1 ( 2 3 1 3 ) q ( x ，y ) = 。咚( x ) ( y ) + 砜( x ) q ( y ) 【以。)e岛h=e+lk = f + l ca t = 碰彦助 j = 0j = o q = 圭窆成岛，七：o ，1 ，厶 咏= 芝芝蠼职q ，k = o 1 一，5 2 显然，( 五y ) = 吉罢碧为 。l 型有理函数的充要条件是： 潞爱c裂三d奠j二(2314h e + lmk f + l ， 【d 舭= o ，= ，= 力 7 i q ， = o ，k = s + l 厶 【，咏= o ，k = t + l 厶 ( 2 3 1 5 ) 定理2 3 1 ：1 ) ( 2 3 1 4 ) ，( 2 3 15 ) 下列关于未知向量q 的方程组： 篙差，o - - o 南，o 扣，隈磬，o o ，赤，o 卜 ( 办= e + l m ，k = f + l 玎) 甚差，o o 南1 ，o - 扣】 箸鲁，o o ，南，o 卜 = a + l m ，d = b + l ，1 ) 殴紫娑蜂“掣p 陋川h 2 ， ， 3 忉 嘭，o o 【p 】 础，o o = o ，( 七= s + 1 ，j + 2 ，厶) 归一叫 2 ) 若上面的方程组有一组解q 中的元素全都是非零，则存在 n d 工型二元有 理函酬w ) = 渊满足插值条件( 2 3 2 ) 1 4 一v 厦蠢 七脚 瑚 i | 七巩 其中： 尸( x ，y ) ：窆 圭羔麟约乃 吼( x ) ( y )尸( x ，y ) = 硝约乃 吼( x ) ( ) k = oii = oj l o j i x , y ) q ( xy ：圭 壹皇趔雕q , 7 呶( x ) ( y ) = 趔艘 呶( x ) ( ) k l oii = oj = oi 矾叭 舷端：2 笔麓二 ip x o ，耳x c ，y o ，m y d 】= o ，c = a + l 聊，d = b + l 聆 【q x o ，而x h ，y o ，咒y k 】_ o ，c = a + l m ，d = b + 1 n 由引理2 3 3 得： 又因为 ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) f p 【，五屹，以，y o ，m ，y d = 0 ，c = a + l m ，d = b + l 力 【q 而，而艺，x h ，m 以，欺 = o ，办= 口+ 1 聊，k = f + l 胛 ( 2 3 2 0 ) 毹o ) = 1 醴) ：盟，z ：o ，1 七一1 ，厦，) 也满足上面的类似关系，故( 2 3 2 0 ) 成立 薯一x k a , k ( k ) 2 习1