（理论物理专业论文）混态克隆与bound纠缠的若干研究.pdf

ab s t r a c t n o 一 c l o n i n g t h e o re mi s o n e o f th e m o s t fun d ame n ta i th e o re m s i n q u an t u mme - c h an i c s a nd i n q u a n t u mc o mp u tati o n and q u a n tu mi n fo rma ti o n . t 为 e n i n c as e w e w ant toc opy a qu an tu ms t a te ， w e c a n n 0 t c o p y i t pe rfec ti y bu t ap p r o x 1 m a te i y orprob a b i l i s - t i c a l l y ， wh i le c o n s i d e r a b l e w o rks h ave ai 化 ad y b e e n d o n e tos tu d y v 耐ous q u antu m c l o n i n g m a c hi n e s ， th e reare s ti l l s ome s i mpl e and b a s i c u n s o l v e d pro b l e m s . r e c e n t l y f ane t a l ， g a 铭a u n i t aj 了tr 即s fo rma ti o n w h i c h c a n c o pyt w o iden t i c aiu n known 而x e d q u b i ts tomc opi e r s and acc o mpl i s h e d th e o p t i m als hrin ki n g factor. w七 s h al l s b o wth e g e nera l r e q u e s ts for the c as e o f 2 tomm i x e d s ta teu n i vers a l qua n t u mc io n i n g and g i v e a c l as s o f c l o n i n g tr a n s fo rma t i o n s . the s e c o n d p art o f th i s th e s i s m a i n lyfoc u s e s o n e n t a n g i e d s ta te s ， the valu 曲l e re s o u rc e s fo r quantu mc o m p u ta ti 0 n and c o m mun i c atio n a l th o u g h th c c o n c e pto f e n - tang l e d s ta te s w ass h own ， th e b o und a r y b e t w een the e n ta n g 1 e d s i a t e s and the s e p arab l e s ta t e s i s n ow s ti l l n o t w e l l c h ar acte ri zed . w 七 fi r s t c o n s truc t a fa m i 1 y o f e n ta n g 1e m e n t w i tn e s s e s ， fromw h ic h a gener allz a ti o n o f the re d u c ti o n c ri t e n 0 n c a n bed e ri v e d ， b as ed o n l ocalo rt h ogo n alo b s e rvab l e s . the n we app l y o u r 币t e ri o n o f s epa r abi l ity tos 群- e 司 b oun d e n ta n g l e d s t a te s ， i n c l u d i n ga fa m i l y o f bou n d e n t ang l e d s ta te s w h e reth e crite ri o n i s s u ffic i e n t a ndn e c e s s a ry . a n d w e s h ow t h atth i s fa m i 1 y o f e n t a n g i eds ta t e s ， al th o u g h b o u n d ， c anp r odu c e s o me e ffec t u s e fu 1 i n quant u mc o n m u n i c atio n . k e y words : u q c m， ntix eds t ate， 0一 re d u c t i o n c ri teri o n ， b onn d e n ta n g le men t 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。 除己 特别加以 标注和致谢的地方外， 论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。 与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即: 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版， 允许论文被查阅和借阅， 可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名 : 年月日 第一章引言 量子不可克隆定理是量子力学以及量子信息领域中一个最基本的定 理 11 ， 2 . 这一定理不仅有着理论价 值， 而 且保证了 诸如 b b 84方案 1 3 的量子 通 讯过程的保密性. 因此， 对量子克隆的研究有着十分重要的实际意义. 由于精 确 克隆是不 可能实 现的 ， 我们 能做到 是近 似的 14 1 或是 概率克 隆过 程15 】 . 这 一方 向 始于 b uz ek和 hil le ry 对1 到2 的 量子比 特克 隆的 研究4 这一类 对 完全未 知 态的 克隆， 给出了输出品质对输入态而言对称的输出结果， 因而被称为普适量子克 隆( u qcm) . 随 后， oisi n 通过无 信号 定理证明了 b h 克隆机的 最优性 ， 表明了 无 信号定理与 近似克隆的 联系 1 91 . gi si n 和m as s a 嘴 出 了 量子比 特的 n 到 m 的最 优克隆变换18. w 已 m er 通过对称投影的方式给出了d 维系统的n到m克隆机， 并 且 证明了 这一普适量子 克隆过 程针对与两 种保 真度的 唯一性 和最 优性 l 1 ， 1 2. f a ll 等 人提出了 d 维系统的 n 到 m的么 正 变换11 3 .至此， 可以 说 对于纯态 输入 的普适量子克隆问题有了令人满意的结果. 但是， 一个基本的问 题是: 如果输入 态是混态， 那么克隆变换将如何构造 原有的结果一定不在适用， 因为它们只给 出了对对称态的变换， 而很显然的是多个混态的直积有非0 的非对称态矩阵元. 最近， f a n 等人给出了 一 个2 个 混态量 子比 特输 入的么 正克 隆 变换11 6 这一 变换 能够达到和纯态输入时相同的收缩系数一 个有意思的问题是， 是否和纯态输 入时相同， 混态克隆机也可以被收缩系数来唯一的确定. 下面我们要表明的是 这一猜想是否定的. 我们给出2 到m的混态量子比 特克隆达到最优收缩系数的一 般条件， 并且给出一系列满足这一条件的克隆机，. 本文的第二部分主要关注纠缠态这一量子信息和量子计算的基本资源. 尽 管纠 缠的 概念己 经 提出很 久， 但是纠缠 和可分的 边界仍然未 被很精 确的刻画. 纠缠 探测成为 量子信 息领域中 一个有 趣的问 题， 针 对纠缠 探测己 经有了 很多方 法， 比 如部 分转 置判 据 26， 2 9 ， 重 排判据 1 39， 40 ， 对称 扩展判 据14 21 ， 等 等 这其 中， 很多判据， 比如部分转置判据和约化判据， 是基于正但非完正的映射 一个 量子态可分的充要条件是它能够在任意正但非完正的映射操作下保持正定性. 但是这类映射很难寻找而且不能通过物理手段来实现 己 有的结果也有一些是 关于能 够通过 物理方 法实现的 纠缠 探测方 法， 比 如 bell 不等 式【 31 ， 局 域不确定 关系14 6 和纠缠目 击者1 29， 川 . 关于纠缠一个很重要的概念是b ound纠缠态. 所 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章引言 谓b o u nd纠缠态， 是指通过局域操作和经典通讯 ( l o c c ) ， 不能从中提取出2 维 最大 纠缠态的 纠 缠态.h or od ec ki 家 族证明 所有 p p t 的纠缠 态都 是b ound的 2 81 下面我们先构造一类基于局域正交可观测量的纠缠目 击者. 基于这类目 击者， 我 们可以推广约化判据 然后我们应用这一可分判据来探测一些b ound纠缠态 对 其中一 类b o und 纠 缠态而言 ， 这个 判据是 充分必 要的 3 8 . 最 后， 我 们表明 尽管 这类纠缠是b oun d 的， 但是仍然能够对一些量子通讯过程起到 积极的作用. 第二章混态量子克隆 2 .i o u bi t 的量子克隆 2 . ， . 1 量子不可克隆定理 在经典信息论中， 拷贝是一个很基本的操作. 所谓拷贝， 即把一个输入态 经过某种 操作， 变为两 个或多个与 输入态完 全相同 的输出 态. 但 量子论中 ， 精 确地拷贝未知态， 即克隆是不可能的， 这就是所谓的量子不可克隆定理. 最先 是 在1 982 年， woo tters 和 z u re k ll 以 及di e ksl 2 提出了 这个 著名 的定 理. 下 面给 出这个定理的证明. 我 们 考 虑 输 入 系 统 处 于 未 知 的 量 子 态 哟 ; ， 辅 助 位 系 统 的 初 态 是 物 )， ， 目 标 是 对于 任 意 的 未 知 输 入 态 哟 ， ， 经 过 量 子 演 化 后 输 入 系 统 和 辅 助 位 系 统 都 处 于 !哟， . 假 设 机 器 系 统的 初 态 是 马 ， 输 入 系 统 、 辅 助 位 系 统 和 机 器 系 统 构 成 一 个 封闭体系， 该封闭体系的一般演化过程是一个么正过程 量子克隆过程则表示 为: u 劝 ) ， 咖 ) 2 三 = 叻 ) ; 叻 ) 2 !三 协 ( 2 1 其中 阵 动 表 示机器 系统的 末 态. 为了说明这样的过程是不可能对于任意未知的输入态都能完成的，我 们考 虑两 个输 入 态 1哟 ， 和 同; ， 假设 这两 个 态既 不相同 ， (劝 同: 尹1 ， 也 不正 交: ( 叻 必 1 尹0 . 如 果 它们都 能实 现上 述克隆 过 程， 即 ui哟; 咖 ) : 阵 )= iop)， 哟: 三 叻 ) u 沪 ; ! 咖 ) 2 三 = ! 沪 川价 2 阵 ， ( 2 2 ) 由这两式我们得到 : (叻 ! 哟 ， =; ( 叻 毗 ( 三 ， 三 衬 ( 2 .3 ) 这 个 式 子 只 有 当 ; (叻 哟 ; = 0 或 1 ， 即 两 态 相 同 或 正 交 时 成 立 ， 而 这 与 我 们 的 假 设矛盾。因此， 如 ( 2 1) 式所示的对于任意未知态的量子克隆过程是不可能实 现的。 这就是量子不可克隆定理。 中国科学技术大学硕士学位论文第二章混态量子克隆 2.1 . 2 1 * 2 的普适量子克隆 既然对任意未知态实现精确的量子克隆是不可能的. 很自 然的， 人们要问究 竟能 够 对输 入态实 现多 大 程度的 克隆 ， 即 近 似克 隆。 很显 然， 叭 勺 。 tte rs 和z u re k 的 克隆机的拷贝质量是和输入态有关的，比如， 这种克隆机能对某些输入态进 行精 确克隆， 但对于另 外一些输 入态却 产生 很大的 破坏。 在 这里， 我们 考虑一 种拷贝质量与输入态无关的克隆机， 它对任意输入态都以相同的精度得到两 个相 同的 近似态 。 这种克 隆机 称为普 适量 子克 隆 机 ( u ni ve rs al q u an tu mo on i ng m ac hi ne， u q c m ) 在开 始下 面的 讨论 之前 让 我们 先定 义一 个描 述克 隆 机性能 的 量， 保真 度尸(fi de h ty )假设 输入 态是 劝， 输出 态 用密度 矩阵 nout 表示， 则 克隆 机的保真度定义为: f三(opi po utl扔( 2 . 4 ) 为简单起 见， 我们考虑输入系统 是一个2 维系 统. 普适量子 克隆 机有两个 要求: ( 1)输出态的保真度与输入态无关， ( 2)输出态是对称的， 既两个输出态 相 同 . 假 设 输 入 态 为 声 “ =盖 (i十 产 司 ， 输 出 态 为 po =丢 (i + 沪 ut 司 ， 其 中 产 和户ut分别为输入态和输出态的b fo ch矢量。 我们首先说明对于普适量子克隆 机， 护 吐 是 产的 均匀 收缩， 即 护 公=词n ， 其中 。 刀 1证明如 下: 量子比 特的 任一量子操作可以表示为彭 “ * 沪 ut=m产 +己其中m是3 x3 实矩阵， 伪 常 矢 量 . 因 此 可 以 计 算 f =丢 l + ( m 尹 十 司 司 ， 根 据 f 与 输 入 态 无 关 的 要 求 ， 很 容 易 看出 己 = 吞 ， m= 。 1 ， 其 中 。 刀 1 ， 即 护 ut =刀 尹 刀 刻 画 了 克 隆 机 的 性 能 f = 宁. 先考虑两种trivi al 的1 一 2 克隆策略. 第一种是基于测量的克隆， 通过完全 随机的选择测量基矢， 然后根据测量结果制造两个相应的量子态 设初始态 是 卜 司 ， 即 盖 (l + “) ， 测 量 基 矢 是 吞 子 ， 这 样 ， 测 量 结 果 土 1 的 几 率 是 凡= 盖 (l 士 子 1)， 然 后 我 们 制 造 两 个 拷 贝 11) ， 这 时 保 真 度 是 凡= 1 (al士 9)1 ， = 凡， 于 是对 测量 基矢 万子 取平 均， 得 到 平均 保 真度为 尸 一 了 佩凡 + 几 几 卜 掀j外勺 一 ; ( 2 .5) 实际上这种过程是一个1 ，00 的克隆， 根据测量结果。 可以制造任意多的 拷贝. 另一种克隆的策略是trivi al 的放大， 保留原始粒子不动， 随意制造添加一个 粒 子 。 同 样 假 设 初 始 态 是 卜必， 制 造 的 粒 子 为 + 必， 对 于 第 一 个 粒 子 ， 保 真 度 中国科学技术大学硕士学位论文第二章混态量子克隆 为 1 ， 对 于 第 二 个 粒 子 ， f = 1(ai+ 介= p+， 这 样 平 均 单 拷 贝 的 保 真 度 为 f 一 掀 川票) 一 蓬(26) 很显然以上两个过程都是普适的， 但是提供了一点信息: 普适1 * 2 量子克 隆的保真度至少可以达到75%. 下面研究最优过程自 然的， 我们用一个作用在空间ht= h z 公h z h二 上的么正变换u来描述量子克隆机. 假设输入系统空间的一组正交归一基 是 0 ， 1 ， 辅助 位的初 态为 0) ， 机器态的 初 态为 冈. 克隆 机运行 如下 : u 0 0 ) 1二 =a 00 ) a + b l 0 1 ) b l ) + 如 ! 1 0 ) b z +c 1 1 c ) u ll 10 ) x ) = 云 1 1 1 ) 1诬 ) + 石 : 1 0 ) 户 1) + 醚 10 1 1户 2 + 亡 10 0 !亡 )(2 7 ) 其中的态矢都是归一的. 由归一及么正保内 积性， 得到: a 2 +1 吞 1 1 2 +!场 12 +c lz =1 !a iz + 1石 ; 12 + 1孔 12 + 。 1， = 1 a * 云 ( a i c ) +6 基 吞 1 ( 场i b i ) + b 贫 如 ( b l l 场 +沙 三 ( c a =0( 2 名 ) 设a =川 砂 ， 反 = al e 城. 类似的 其它参 数也 用其 模和辐角 表示. 加上 输出 态对称的条件有: 1石 ; 1 引州， 石 ; 1 引匈l( b : 扁 1 = 1( bzl反 )l ， l( b 1 向)l = 1( bsl岛l ab 宝 ( b ; a ) + c * 石 2 ( c b z ) =a 性 ( 场!a ) + c b ， ( c b l ( 2 . 9 ) 及对上式字母加上上标的等式. 此外还有: 凡 a (户 : 1注 ) + a 。 ; (几 刀 : ) = 醚 a ( 岛ia ) + a 伪 (五 1场) 石 宝 c (云 ， 口 ) + 己 石 1 ( c l刀 1 ) = 石 三 c ( 岛亡 ) + 亡 bz (c 1bz )( 21 0 ) 此 后 令 固= b ; = 州 ， 列 =ivll=州 现 在 加 入 态 无 关 的 条 件 ， 即 尹 ut = 叮 产 ， 有 8 1 : -二二 巴 s 血 竺= 生= 琳 吕 哟吕 协 5 (2. 1 1 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章混态量子克隆 得到限制: alz一 clz= 研一 1护 ia l， 一 ic 2 = 取(6 宝 a ( 仑 l la ) + 犷 b ; (入 ib i) ) im ( 6 艾 a (色 1 1 ) + 犷 b ， (入 旧 ， ) = 0 b 贫 艺 ( b ， c + c * 6 1 ( c i b i ) = 0 b 盆 a ( b z a ) + c b ; ( c b i ) = 0 6 茎 反 ( b z ia ) + 云 * 6 ; ( c ib i ) = 0 云 * a ( c a ) 一 五 * c ( a 口 ) =0 以及将上面的式子中下标1 换为2 的等式由于要求最优， at 2 一 c1 2 达到 最大 值， 利用拉 格朗日 乘子 法， 得 到 ( 2 . 1 2 ) 即收缩系数 刀= 一司 一 。 ，ial 一 lal 一 滤 ，.。 一 。 一 作 (2. 1 3 ) 这里 司 =0 是很 容易 理 解的， 因 为 c 是与 理想 输出 的拷贝 1 0 。 差别 最大的 11 ) 的 系 数。 于 是刀 = 2 / 3 ， 所以 ( 21 4 ) 这时， 上面的变换u 是: 。 .。).。): 卜 褥 : 。).， 卜 褥 二 (!。1) + .1。).， ) 。 1).0)卜 褥 葱“ !11)， )+ 舟 一 (1。卜 。 1).， ) ( 2 . 1 5 ) 这里( aia 力=d ， 这是达到最 优普适1 * 2 量子克 隆的 变换的表达式。 如果 取凡=几=0 以 及i a)=0) ， 就 有 。 .。)旧 ) .: ) 一 作 。 1).。).二) 一 帽 1 0 0 ) 0 ) + 1 1 1 ) 11 ) + 作 (0 1) + .1。)1) 作 (.1。) + .o1).。) ( 2 ， 1 6 ) ( 2 . 1 7 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章混态量子克隆 这正是 b u 乏 ek 和hi lle ry 最初考虑的普适量子克隆机14 ， 可见， 这是一个最 优u q 仁 m 输出 态的 密 度矩阵 为: 尸 一 p罗 :一 ; ( 十 ; 二 ( 2 . 1 8 ) 2 . 1 . 3 态估计和量子克隆 本节考虑量子克隆和态估计 ( state esti m ation) 的关系一 个普适的n * m量子克隆机是指对于n 个输入比特、 m 一n个空白比特和k 个辅助比特 联合进行一个么正 变换后输出 m个比 特和 k 个辅助比 特. 对普 适1 * 2 的量 子克隆机，克隆的过程只是使bloch 矢量收缩， 并没有改变它的方向， 从证明 过程可以看出，结论无疑对n * m 时也成立. 这样， 我们就可以用收缩系 数叭 n ， m) 来描写 克隆 机的 性能。 本 节主 要表 明当 克隆 机的 拷贝 数趋 于无穷 时， 其保真 度趋于 态估 计的 保真 度， 即: 当 m，00时， 护 pt ( n ， m ) *刀 豁 ( n ) ， 其 中 刀 opt( n ， m) 是指 最 优量子 克隆的 bl oc h 矢量 收 缩系数， 刀 : 蕊( n ) 是指 最佳态 估 计时的收缩系数. 所谓态估计， 就是说存在一个未知态， 我们想要知道它究竟是什么. 当然如 果有无穷多个相同的态， 我们可以通过测量精确确定未知态 然而， 在实际情况 下， 我们往往只有有限多个处于相同量子态的系统， 从而精确确定一个未知态 显然是不可能的， 我们自 然希望得到尽可能高的保真度. 已 经有结果 表明1 6 ， 对于 n 个处在 相同 态的量 子比 特， 存在一 组广义正算 子测量( pos tive o 沐 r a 1 0 r val ue d m ea su re ment ) ， 使 得态估 计获 得最 大的 保真 度， 为 户 ( n ) = n + 1 n +2 ( 2 . 1 9 ) 吓 ( n ) = n n 十 2 ( 22 0 ) 每种测量结果出现的概率是 、 一 t r ( 凡 ， ， 。 “ ( 2 2 1 ) 这时， 我们 认为态 是相 应的 哪) ( 丸 ， 于是 对态 做出的 估 计是: ， = 艺脚 (op)丸 ) ( 叫 ( 2 .2 2 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章混态量子克隆 1知 由于要求保真度与态无关， 故也可写成: 户 = 嗦 众( n ) 州 砂 1 + ! 1 一 嗽 盅(n ) ( 2 2 3 ) 由于是对态进行估计， 所以可以根据估计的结果制造无穷份拷贝， 因此可 以认为是一个n* co的克隆. 很显然， 这个过程不可能有比 n、 l 更好的保真 度. 所以有 吓 豁( n ) 5 谬m (n ， l )(2 2 4 ) 对任 意l z n都 成立 下面考虑m个量子比特输入的m * l 克隆机，然后进行最优态估计的 测 量 。 输 入 态是 哟(训 。 m ， 输 出 态 可以 用 几=艺 a 叭 (叭 1。 来 描 述 ， 其 中 艺 a = 1 对 单 个 量 子 位 而 言 ， ， 一 : : ; 一 1 ， : 一 夕。 、 ， ) ( 、 1 一 ， (、 ， ; ) 1州劝 + ， 一 。 ( 、 ， : ) 姜 ， (2 2 5 ) 厂一 匀 一 1 尸 .乙 .曰 一 了 咨 了 ”、 一 一产 了了、 了” 一， 、 一 一产 ， 2一、 一 这 个 过 程 也 可以 看 作 是 对 输 入 态 量 子 态 哟(训 。 m 做 态 估 计于 是 整 个 过 程 有 凡 幽 ( m ) 一(劝 et : ( 凡 ， : ) 1丸 ) ( 劝 ; 1 劝 一 d、 升 伽州矿今 囚(州哟 一 军 “ ，一 阵石 ，“ ，“ ， 一 。豁 “ ， ; ， ， ，2 ， 由 于 l *co 时 巧 豁 ( 功*1 ， 所 以 l *00 时 ， 凡 e。 ( 川/ 艺(opia 讨(州哟= (opi川 动= 所以， ， 舔( n ， co ) 吓 豁(n ) 从而得到: 刀 豁， ( n ， co ) = 力 豁(n ) ; 卜 + 嗡(m ，co ， 2 ， ， ， ( 2 28 ) ( 22 9 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章混态量子克隆 2 .1 .4 n* m的 量子比 特克隆 下 面 我 们 先 给出 这 种 从 n 个 量 子比 特 的 输 入 态 哟(训 。 n 变换 到 m 个 输出 粒子的普适克隆机的保真度的 上限 16 ， 然 后给出 一个能够达到这 种上限的 克 隆 机的 例 子 ， 即 所 谓 最 优 普 适 量 子 克 隆 机( 叩 tim a l u n iv e rs a l q u a n tu m c lo n in g mach i n e ) . 如 果 输 入 态 的 密 度 矩 阵 为 尸 “ = 全 (i + 产 司， 其 中 产， 指 的 是 输 入 态 对 应 的 bl oc h 矢量， 子 是p au li 矩阵。 那么 ， 输出 态 密 度矩阵 为: 尸 一丢 i + 。 (， ，。 ) 二 司 ( 2 .3 0 ) 下面 我们 来求出 n*m的 u q c m 的 保真 度的 上限 1 7 . 为 此我 们先 给出 三条 有用的结论. ( 1 ) u q c m 的收 缩系数 ， ( n ， 汀 ) 是相 乘的， 即 刀 ( n ， m) =， ( n ， l ) 刀 ( l ， m) n三l sm( 2 . 3 1 ) 证明 如下: 我们 把n*m的 克隆 看成 是 经过 两步: n，l 和l ，m( ns l三m ) 得到的， 由 尸 一 (、 ， 、 ) 一 委 ， + ， (二 ，。 ) 二 司 一 。 ， 。 + 叠 1 一 。)， 尸 ut (二 ，、 ) 一 ， (; ， 、 )nout (二 ，: ) + 丢 1 一 。 (; ，。 )， 一 。 (: ，m ) 卜 (n ，“ )， + ; 一 ， (nl ) + 委 一 ， (， ，: )， (; ， 。 )衬 + ; 1 一 ， (、 ) 。 (: ，。 )1 ( 2 3 2 ) 刀 ( l ， m) 1 ( 2 3 3 ) 于是得到 刀 ( n ， m) =刀 ( n ， l ) 叮 ( l ， m) n三l 丛m ( 2 . 3 4 ) (2)当 m00时 ， 谬m ( n ， m ) * ， :etas( n ) ， 其 中 谬m (n ， m ) 是 指 最 优 量 子 克隆 的收 缩系 数， 刀 豁 ( n ) 是 指用测 量然 后 估计的方 法 所能达 到的 最大收 缩系数 这在上一节已经证明. 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第 二 章 混 查 髦鱼竺 (3): 豁( 川= 忐， 这 在 上 节 也 曾 给 出 ， 具 体 证 明 见 16 . 现在我 们利 用上 述几 条结论来 求 解u q c m的 保真 度上限 首先由 结 论( 1 ) ， 应该有 狡 c m (n ， m ) : 品 m (m ， 00 ) 三 谬m (n ， co )( 2 .3 5 ) 否则， m、 00的最优量子克隆机就不能称之为最优的了 这就意味着 、 。m (二 ，、 ): 撰 默 昌 :q c， (、 ，。 ) 、 斋 兴 ( 2 3 6 ) 利用结论 ( 3 ) ， ( 23 7 ) 于是，我们得到 ， 练(n ， m ) = n m +2 五 了n + 2 v n三m ( 2 38 ) 所以 暇 乱(n ， 00 ) = nm +n+m m n +2 ( 2 3 9 ) 这 里 ， f = (训po ut 动 对 于 n=1 和 m= 2 ， 有 暇 么 宜 ( 1 ， 2 ) = 5 / 6，和 前 面 的 结 果是一致的. 下 面， 我们 给出 gi s in 和m as s ar 在1 9 97年 提出 的最 优普适 量子克隆 机 8 先 看1 、m的情形。 这个克隆机由以下变换定义 认 ，二 10 ) 。 r=又a ， ( m一 ， ) 0 ， ， 1 ) 。 凡 悬 vl ， 1 ) 。 r=艺a 、 一 卜 ， 1( m 一 一 ， ) 0 ， (j + ) ) 。 凡 (2 4 0 ) 其中 ( 2 ，4 1 ) 中国科学技术大学硕士学位论文第二章混态量子克隆 这 里 r 代 表 克 隆 机 的 初 始 态 ， 凡代 表 克 隆 机 正 交 的 内 态 ，(m一 夕 ) 0 ，皿 ) 表 示 了 产 生的 m个量 子比 特处 在( m一 力 个 处在0 ， j 个 处在 1 的对 称态上 ， 经 过冗长的 计 算 可以 发现 对任 意态 叻 ， 上 述克 隆过 程也有: ul， 川 哟。 r 一 艺ajl( m 一 种 ，神 上 ) 。 剐哟 j = 0 ( 2 42) 其中 讲表示 和劝 正交的 态， 即 有: ( 训 叻 勺二。 ， 对所 有 7 笋k ， 凡( 哟上 r * ( 哟. 这 是一个相当令人满意的结论， 因为它与输入态无关. 且制造的m 个量子比 特是 相同的， 因为他们处在完全对称的状态. 下面求出 保真度: f=ep ro b 口 e rro rs ，n them 一 1 ，a s t q u b ts ) j = 0 岩 m一 j， 2 万+ 1 一台- 丽 ，一 灼 一 飞 丽 ， ( 2 4 3 ) 这 里 令 是 m 个 量 子 比 特出 卿个 错 误 的 概 率显 然 上 述 结 果 与 前 面 得 到 的 结 论相符. 推广至n* m情形: m 一n 饰.mi n 叻因r= 内 = 属aj l(m 一 )劝 ， 叻 j- 凡 (劝 ) 训 熏俨 各 澎 等 斜 ( 2 .科) 相应的保真度为 。怡 才对一 j材 ( n + 1 ) + 万 rn m =2eell 尸 es“李= 一 - 丁 丁节 下 叮 气 丁 - 一 胃z vi一 ”十 ( 2 .4 5 ) 2 . 1 . 5 不可克隆定 理与 无信号( nosi g n aling) 历史上， 不可克隆定理的研究始于对利用量子关联进行超光速通讯的研 究考 虑 分 处 两 地 的 al ice 和 b ob 他 们 共 享 了 一 对 最 大 纠 缠 态 宙 一 ) = 六 (l0 ) ， 。 l) b 一 l a 。!0) 动 alic e 对 她手中的 粒子进 行 几或 氏 测量 由 于冲 一 ) 的 特性 。 如 果 al ice 选 择 的 是 几 基 矢 ， 她 将以 盖 的 概 率 得 到 0) 或 11) ， 同 时 将 b ob 手 中 的 粒 子 制 中国科学技术大学硕士学位论文第二章混态量子克隆 备在了 1 1) 或0) . 如果 没有得到来自 ali ce 的任 何信息 . b ob 对他手中 粒子的 描述 将 是 盖 (i 0) (0l+ 1 ) (ll ) ， 这 和 al ice 是 否 进 行 测 量 无 关 . 类 似的 ， 如 果 al ice 选 择 的 是 、 基 矢 ，她 以 盖 的 概 率 得 到 1+ ) 或 一 ) ， 同 时 将 b ob 手 中 的 粒 子 制 备 在 了 一 )或 1+ . 设想如果b ob拥有一个1* 2 的克隆机，他对将手中的粒子输入这个克 隆 机 . 如 果 a lci e 测 量 的 是 。 ， 那么 ， b ob 手 中 的 粒 子 就 处 于 p 二 =孟 ( 十 + (+ + 一 ) ( 一 ) ， 而若是 alci e 测量的是 几 ， 那么 . b ob手中的 粒子 就处于 几 = 盖 (l0 0) (0 01 +ln )(l11) . 这 样 ， b ob 通 过 测 量 他 手 中 的 这 两 个 拷 贝 ， 至 少 可 以 概 率 的 得到a li ce选择了 哪组测量基矢的信息. 而这一切与光速是信号传递速度的极限 的狭义相对论假设， 即所谓的无信号条件相矛盾 n .gisi n 利 用无信号 条件给出了 二维普 适1 *2 对称克 隆的保真 度上限 1 9 这 种 情 况 下 ， 输 入 态 用 bl oc h 矢 量 表 示 为 几 。 ( m ) = 盖 (l + m 司 ，输出 态 的 单 拷 贝 密 度 矩 阵 为 t o po 时 ( m ) = t 。 脑，( m ) 二盖 (l + : m 司 ， 那 么 输 出 态 p 。 。( m ) 可 以 表示为 ，。、!(m ) 一 ; (， 。 + : (。 。 + 。 m ， ) + 艺 勺 * 内 。 a 。 ) (2 ，4 6 ) 由于是普适克隆， 际: ( u m ) =u ou 户 二 ( m ) 口 t 。 “ t ( 2 4 7 ) 这里 u 表示任意 q ub it 么正变换所对应的 bl oc h 矢量的旋转.所以很容易得 到 肠( m ) 在 绕 m 的 任 意 角 度旋 转 下 不 变 ， 即 e a 咖。 e 证 m ， p 。 :( m ) =0这 就给系 数 蜘 增加了 限 制条 件 . 例 如若 取 2 方向 ， 得 到 耘 二 二亡 洲 ， 几 。 =一 与 ， : = 二 = 与 : = 你 ， = 0 ， 于 是 得 到 p 、 :( m ) 一粤 ( ， 。 ， + ， ( 。 : 。 1 + 1 。 。 : ) + ， : : 。 : 。 。 + 二 二 (。 。 。 二 十 。 。 。 、 ) 4、 一 “-一 了- -一一、一 + t 二 ， ( 。 二 。 内一a ， ) )( 2 .4 8 ) 由 无 信号 条件 ， 得到 输出 态的 密 度 矩阵 不可 区分 ， 于是 腼 ( t ) + 腼 ( 土 ) = 脑。 ( *) + 际 ( ， )( 2 4 9 ) 从 这 里 可以 得 到 t 。= 亡 。= 儿 : 三 t . 另 外 ， 输 出 态 p 。 ， ( m ) 为 密 度 矩 阵 ， 必 须 保 证 正定 性 求出 p 、 ( t)的 本征 值 去 ( 1 土 2 : + t ) 羞 ( 1 一 t 士 z v 了 干丐)(2 .5 0 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章混态量子克隆 杨= 0 和 t =盖 时 得 到 满 足 上 面 本 征 值 非 负 的 最 大 ， 值 腼二 = 号 ， 于 是 。1 十侃。5 二 = 一 花 厂 一一 石 ( 25 1 ) 2 . 1 . 6 光子辐射与量子克隆 这一 节我 们说明光的 受 激和自 发 辐射导 致的 放大过 程 对应 着普 适的量 子克 隆 过 程l 0考虑光 子的水 平 h 和v竖 直两 种极 化 模式 ， 我 们可以 定 义q ub it 为 : a 公 (。 ) iv ac )=10 a 各 伽 ) 卜 ac )= 11 ) ( 2 .5 2 ) ( 2 .5 3 ) 这 里 卜 ac ) 表 示真 空 态 这 样 ， 对于 任 意 复 数 ch ， ， ch ， +cv 2 =1 ， 可 以 定 义 重 的 产 生 算 符 心= ch a 公 (劝+ cv a 各 (司 ， 即 a 升 (。 ) iv ac =1宙 = c 二 10 + cvli )(2 .5 4) 于 是 n 个处 于 平 ) 的 光子 态可以 表示 为 : ， . t 、 n 刚 ”一 二肃 ivac) ( 2 5 5 ) 考虑 n 个 光子入 射， 经 过与介 质的 相互 作用 ， 我 们后选 择m)n 个出 射 光子 的 模 式. 由 于自 发 辐射过 程的 存在， m个出射 光子的 极 化状 态不 可能 与入 射 光子 完全相同 ， 于 是总有 一定的概 率，辐射出的 光子 会处于与 入 射光子 正交的 极 化态 上. 如果辐射截面与入射光子的极化状态无关， 这个过程就是一个n一 m 的普 适量子克隆过程. 我们先 通过1 *2 的 情况 来说明 这一点 设 入射 光子处 在竖 直极 化模!v ) 上， 第 二个处于竖直 极化模i v 的光子可 能会以 受 激或是自 发的 方式被激发 . 这两 个过程的界 面相等. 而处于 水平极化 模 h ) 的光 子只能通 过自 发 辐射的方 式被 激发 于是第二 个光子处于 i v ) 的概 率就是处 于 h ) 的 2 倍 ， 也就 是说第 二个 光子 有 号 的 概 率 处 在 !v 由 于 光 子 是 b o se 子 ， 全 同 性 原 理自 动 保 证 了 出 射 的 两 个 光 子 处 于 对 称 态 ， 所 以 出 射 的 一 个 光 子 处 于 !v)的 概 率 是 盖 、 1 + 盖 、 号 = 盖 ， 这 恰 好 与 普适1 ， 2 的情况相同. 中国科学技术大学硕士学位论文第二章混态量子克隆 我 们记 n 个 v ) 光 子入射 ， 激发 出 1 个v)和k 一 1 个光 子的 概率 为 尸 口+ 1 ， k 一 ll n ， 0 ， 那么 整个 后选择 到m= n十k 个 光 子的 概率 为 又p n + ， k 一 in ，0 = p (n *m ) ( 2 56 ) 前 面关于 1 、2 的 过程已 经说 明了 尸 !2 ， 0 1 ， 0=2 尸 l ， 11 1 ， 0 ， 下 面我 们证明 更一般的情形 p n+ 1 ， k 一 1 n ， 0 =( n+ 1 ) ! n! 1 ! p nk n ， 0 ( 25 7 ) 考 虑由 n 个 a 型原子构成的 介 质 对应的 能级是 激发态 e 和两个正 交的分 别 对应 着不同 光子极化 的基 态9 动和g y) 忽 略 祸合常 数， 介 质 和光 场相互 作用 的哈密顿量为 h = 又(ab呀 。 +a各 吭卜adj， ( 2 万8 ) 初始情况时介 质的原子全部处于 激发态 同， n 个入射光子全部处 于竖直极化 模 码， 即 卜 动=n ， 0; 。 ， 。 ， ， e 出 射 时 ， 我 们后 选 择 有 k 个 光 子 被 激 发 的 模 式 . 更 确 切 的 ， 如 果 我 们 选 择 1个 激 发 光 子 处 于 v)， k 一 1个处 于 v)的 模 式 这 个过程从原来上是可行的， 因为通过测量辐射后原子的状态， 我们可以区分 这些不同的辐射模式 考虑所有前k 个原子辐射出光子的过程， 这时， 出射态 为 此 t ( ) ) =in + 1， k 一 1 ;火 (1) ， ， 火 (* )， e ， e )， 这 里 石 是 一 个 有 k 项 的 数 yij ， 其 中 还有 1 个v 和 k 一 1 个h那么 ， 概率 尸 n+ 1 ， k 一 ii n ， 01 正比 于 艺1 (。 ( ) h 几 1n ) 1， 一 1( n + ， k 一 la 牡 a 梦 一 in ， 0 ) 1， 一 k ， ( n+ 1 ) ! n! 1 ! ( 25 9 ) 这就证明了( 2 5 7 ) 。 利用 言 (丫 ) 一 (n 万 立 亨 ) (2石 0 ) 得到 尸 ( 二 * 、 卜尸 ， + ， 、 一 引 、 ， 。 1 卫 龚 典 奥 军葬 又 i v+1 ) ! 左 ! ( 2 石1 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章混态量子克隆 于 是输出 粒子 处在 竖直 极化 模 v ) 的 概率 为 。 一 斋 、 套 1誓 舜 瑞 癸 型 ) 一 裔 沁 睿 鄂粉羚 ) 一 韧 薰 玉丝 卡 景 尸 1黯羚 ) 一 枷+ k 豁卜 黑 群 子 ( 2 石2 ) 上式最后一步将无 替换成了m 一n. 这与前面最优普适克隆的保真度相符 2. 2 d 维系统的n* m普适量子克隆 2 . 2 . i we r n e r 的构造 现在我们考虑一般的d 能级系统的n 、 m的克隆. 设d 维系统的正交完备 基矢 为旧 ， 云 =1 ， . ， ， d ， 那 么任意 纯态 可以 展开 为 网= 又坤) ( 26 3 ) 以 上 艺 乏 1 二 ， = 1 . 这 种 情 况 下 量 子 克 隆 机 输 入 态 为 !叨。 叨二 叫 。 n 任 h 。 刀 . 显 然 输 入 态 处 在 对 所 有 态 矢 交 换 不 变 得 b 。 二 子 空 间 入 尹中 . 于 是 我 们 引 入 布 居 数 基 矢 d 维 矢 量 !n =n ; ，. ， n ) ， 艺 、 。 * =n ， 。 表示 占 据 卜 ) 态 的 粒 子 数.用这套基矢来展开输入态: 二厂 一石 万一 ， ，。 “ “ 三 恕 v 石 万 获 笼不 万x r ” ” :“ n ， “ ( 2 . 64) 容 易 验 证 b o se 子 空 间 月 荤 n 的 维 数 是 : : 一 (“ 彭 一 ) ( 2 .65) 如 果 我 们 用 映 射 的 观 点 来