（光学专业论文）直接辐射式扬声器的12分谐波失真.pdf

f 1 川 1 1 i lli ir i lli i llu f y 18 0 4 5 4 5 直接辐射式扬声器的1 2 分谐波失真 摘要 扬声器及扬声器系统作为音响设备重放的终端，其质量的好坏，将直接影响 整个音响系统音质效果的发挥。随着数字音频技术的发展，市场对扬声器的品质 提出了更高的要求。中国是一个扬声器的产量大国而非质量强国，扬声器生产工 艺和技术水平还较低，因此，对扬声器分析波失真机理的探究有助于扬声器生产 工艺的提高和改进；同时扬声器薄壳是典型的旋转薄壳结构，对壳体非线性振动 的研究可以丰富非线性动力学的内容，因而具有较强的实践意义和理论意义。基 于此，在阅读相关文献的基础上，在硕士期间主要开展了以下工作： 1 采用s a n d e r s 薄壳理论和虚功原理推导了闭合旋转薄壳的几何非线性模 态方程；编制了专门的有限元程序用于确定其系数计算公式；用实例验证了结果 的正确性。 2 选用1 个轴对称模态和1 个非轴对称模态给出了可揭示扬声器参数激励分 谐波产生机制的运动方程。其中的轴对称模态由驱动力直接激励，而非轴对称模 态由轴对称模态非线性耦合激励，激励方式表现为参数激励。当激励频率为非轴 对称模态固有频率的约2 倍时，非轴对称模态在合适的条件下可被激发，从而产 生1 2 分谐波。 3 实验确定了所分析扬声器的材料参数、电磁参数和几何参数；在此基础上， 利用有限元程序确定了分析扬声器的轴对称振动和非轴对称模态耦合运动方程 的系数。 4 采用多尺度法和谐波平衡法解析求解了所得方程，并用r u n g e k u t t a 数 值方法进行了验证和扩展，提出了提高扬声器分谐波产生阈值的3 个途径。 ， 关键词：扬声器薄壳l 2 分谐波参数激励耦合 l 、l f ， p 二 、 t h e1 2s u b h a r m o n i cd i s t o r t i o no fd i r e c t r a d i a t i o nl o u d s p e a k e r s a bs t r a c t c h i n ai st h el a r g e s tl o u d s p e a k e rm a n u f a c t u r i n gc o u n t r yi nt h ew o d d ，b u ti sf a r 的mag r e a tp o w e rc o u n t r yp r o d u c i n gq u a l i t yl o u d s p e a k e r s s ot h er e s e a r c he x p l o r i n g t h em e c h a n i s mo ft h el o u d s p e a k e r s s u b - h a r m o n i c sm a k e st h ep a p e rp a r t i c u l a r l y s i g n i f i c a n tn o to n l yi n t h et h e o r yo fn o n l i n e a rd y n a m i c so ft h i ns h e l l sb u ta l s oi n p r a c t i c eo fi m p r o v i n gl o u d s p e a k e rq u a l i t y m a i ns t u d i e sa r el i s t e d 嬲f o l l o w s 1 n o n l i n e a rm o d a le q u a t i o n sf o rc l o s e dr e v o l u t i o ns h e l l sa r ed e r i v e da c c o r d i n gt o t h ev i r t u a lw o r kp r i n c i p l eb yu s i n gt h es a n d e r sn o n l i n e a rs h e l lt h e o r y t h e c o e f f i c i e n t so ft h ee q u a t i o n sa r ew e l l 。s u i t e df o rn u m e r i c a l c a l c u l a t i 0 1 ，鼍a s p e c i a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o di sd e v e l o p e dt oc a l c u l a t e t h ec o e f f i c i e n t s t h e o b t a i n e dr e s u l t sa r ev e r i f i e db yt h ep r e v i o u s l yp u b l i s h e da n da n a l y t i c a lr e s u l t s t h ec o e f f i c i e n tv a l u e so ft h es q u a r et e r m sd e r i v e df r o mt h ed o n n e l l sn o n l i n e a r s h a l l o w - s h e l lt h e o r ya r ev e r yc l o s et ot h ep r e s e n tr e s u l t s ，w h e r e a st h ec o e f f i c i e n t v a l u e so ft h ec u b i ct e r m sa r es i g n i f i c a n t l yu n d e r - e s t i m a t e d 2 t w om o d e s ，a l la x i s y m m e t r i cm o d ep l u san o n - s y m m e t r i cm o d e ，a l eu s e dt o r e v e a lt h em e c h a n i s mo ft h e1 2s u b - h a r m o n i cd i s t o r t i o ni nl o u d s p e a k e r s t h e m o t i o ne q u a t i o n so b t a i n e ds h o wt h a tt h ea x i s y m m e t r i cm o d ei sd r i v e nd i r e c t l yb u t t h en o n - s y m m e t r i cm o d ei se x c i t e dt h r o u g ht h en o n l i n e a rc o u p l i n gb e t w e e nt h e t w om o d e s ，k n o w na st h ep a r a m e t r i ce x c i t a t i o n w h e nt h ed r i v e nf r e q u e n c yi s c l o s et ot w ot i m e so ft h en a t u r ef r e q u e n c yo ft h en o n - s y m m e t r i cm o d e ，i tc a nb e e x c i t e du n d e rs o m ec o n d i t i o n st og e n e r a t e1 2s u b h a r m o n i c s 3 t h em a t e r i a l ，e l e c t r o m a g n e t i ca n dg e o m e t r yp a r a m e t e r so ft h el o u d s p e a k e ru n d e r i n v e s t i g a t i o na r ed e t e r m i n e de x p e r i m e n t a l l y a n dt h e n ，t h ec o e f f i c i e n t so ft h e i i - t e q u a t i o n sd e s c r i b i n gt h eg e n e r a t i o no ft h e 1 2s u b h a r m o n i c sa r ed e t e r m i n e db y t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d 4 t h ea n a l y t i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sa r eo b t a i n e dw i t ht h em u l t i s c a l em e t h o d a n dt h eh a r m o n i cb a l a n c em e t h o d t h e ya g r e ew e l lw i t ht h en u m e r i c a lr e s u l t s o b t a i n e df r o mt h er u n g e - k u t t am e t h o d k e yw o r d s ：l o u d s p e a k e r t h i ns h e l l1 2s u b h a r m o n i c s p a r a m e t r i c e x c i t a t i o n c o u p l i n g ，。 f ， 夕，。 y 夕 - 目录 直接辐射式扬声器的1 2 分谐波失真i 摘要i a b s t r a c t 1 i e jj j 毛 ll 者论1 1 1 课题背景l 1 2 扬声器的非线性失真和非线性因素l 1 3 国内外研究概况3 1 4 本课题主要研究内容5 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程7 2 1 非线性模态方程7 2 2 方程系数的确定。l o 2 3 应用和验证例。1 4 2 3 1 纵向激励1 4 2 3 2 横向激励1 6 2 4 本章小结。1 9 3 扬声器的l 2 分谐波方程的解。2 l 3 1 基本假设和边界条件。2 l 3 2 运动方程2 l 3 3 扬声器参数的测定。2 3 3 4 方程参数的确定2 6 3 5 方程的摄动解。3 0 3 5 1 摄动解3 0 3 5 2 摄动解的稳定性3 3 3 5 3 摄动解的分析。3 4 3 6 方程的数值解。3 9 3 7 实验结果：4 3 3 8 本章小结4 5 4 全文总结与展望4 6 i v ，0，袁 ： 4 1 全文总结4 6 4 2 展望4 6 参考文献：4 8 附勇毛：。5 0 攻读硕士学位期间科研成果5 0 j l 定谢5 1 浙江师范大学学位论文独创性声明5 2 学位论文使用授权声明5 2 v 7 ： r l ， ， l 、 1 1 课题背景 1 绪论 扬声器及扬声器系统作为音响设备重放的终端，其质量的好坏，将直接影 响整个音响系统音质效果的发挥。一般认为，扬声器是声重放链中最薄弱的环节。 随着立体声技术的发展以及人们欣赏能力的提高，市场对扬声器的品质提出了更 高的要求：要求扬声器那同时具备承受功率大、动态范围大、失真小、频响宽广 平坦和瞬态响应好的特性【1 1 。在影响扬声器失真的各种因素中，扬声器的非线性 是影响扬声器品质的一个重要方面，因而扬声器非线性失真问题日益受到声学工 作者的重视。 我国已经成为世界公认的扬声器及其零件的生产和出口大国。据 2 0 0 3 2 0 0 4 年中国扬声器市场分析报告，2 0 0 3 年，我国扬声器产量超过3 0 亿 只，占世界扬声器总产量的8 5 。但是我国生产的扬声器价格和档次低，出口扬 声器生产基本处于接受订单生产阶段。我国还远非扬声器生产强国。因此，对扬 声器分析波失真的探究对提高我国的扬声器质量有较大的实际意义。同时，扬声 器振膜是典型的旋转薄壳结构，而薄壳结构被广泛地应用于航空航天、建筑、机 械、核能等领域。因而本课题对壳体非线性振动以及非线性动力学研究也有一定 的理论意义。 1 2 扬声器的非线性失真和非线性因素 图1 1 为动圈式扬声器的结构示意图，主要由磁路系统、振动系统及支撑辅 助系统3 部分组成。磁路系统由环形永久磁铁、上导磁板、下导磁板、导磁柱组 成；振动系统是扬声器的关键部分，主要由音圈、锥形纸盆、定心支片等组成： 支撑辅助系统由瓮架、折环、接线板、压边、防尘罩、焊片、引出线等组成。在 音圈中通入音频电流，则音圈受到安培力作用，驱动纸盆( 振膜) 在音圈的带动 下产生振动从而向周围空间幅射声波，由此实现了电信号与声信号之间的能量转 换。 1 绪论 舫饿簟 图1 1 电动式扬声器结构示意图 扬声器重放时出现电信号所没有的频率成分的失真，称为非线性失真。扬声 器的非线性是影响扬声器品质的一个重要方面。在扬声器中存在着诸如谐波失 真、分谐波失真、互调失真以及其他形式的非线性失真。谐波失真是指输入扬声 器频率为厂的正弦波信号，扬声器系统输出的声音信号中除了原输入信号之外， 同时又输出原信号中没有的2 3 厂等谐波声音信号；分谐波失真是指放大器馈入 扬声器频率为厂的正弦波信号，扬声器输出的声音信号中除了原输入信号之外， 同时产生频率为胆，7 j r 3 y 7 n 的声音信号其中，l 2 分谐波失真又称为半音现象： 互调失真指的是在扬声器中存在输入基频为石、正的正弦信号( 至少两个) 时，由于扬声器的非线性，输出中除这两个频率的信号外，还会出现它们的各种 和、差频信号，即出现频率为石+ 厶，石一石，的输出信号，此种非线性失 真即为互调失真。 e z w i c k e r t 2 】对窄带噪声的掩蔽效应的研究结果表明：低频声对高频声的掩蔽 作用较强；相反，高频声对低频声的掩蔽作用较弱。事实上，经验也证明了这一 结论。当扬声器发出的声音中其分谐波与基波声压级相差2 0 - - 3 0 d b 时，分谐波 的存在就极易觉察【3 1 。反之，若存在同样数量级的高次谐波成份，则只对听音训 练有素的人才能觉察其存在。因此，分谐波的存在对扬声器的音质的影响是不容 忽视的。 扬声器的非线性失真缘于其非线性因素：磁隙中的磁感应强度随位移的非 2 f 、 ， r 一 l 绪论 均匀分布；折环和定芯片除固定振动系统之外，最主要作用是为系统提供劲度， 其非严格遵循胡克定律；扬声器薄壳本身的应变和位移的非线性。图1 2 为实测 的一个低音扬声器的支撑系统弹性系数和磁感应强度随位移的变化【4 1 ，非线性非 常明显。由于这两种非线性因素在大振幅时才会起明显作用，因此主要限于低频 共振区，此时扬声器作为简单弹簧质量系统，可归纳为一个广义的d u f f i n g 方程， 已有比较深入的研究，但对扬声器薄壳的非线性研究则较少。 1 o 8 o 再 o o 2 o i厂、 ； 1 k i p 、 d i ap h r a g mp o s i t i o n ( r a m ) 图1 2 一个低音扬声器的支撑系统弹性系数( 实线) 和磁感应强度( 虚线) 随位移的变化 1 3 国内外研究概况 1 9 3 5 年，p e d e r s e n 5 】第一次在实验中发现了扬声器的1 2 分谐波，当驱动电 流较小时，1 2 分谐波发生在一些离散的频域内，而当驱动电流增大时，这些频 域连成了一片，见图1 3 。另外，他还发现在阈值电流以上，分谐波的振幅随驱 动电流的增大急剧的增加。p e d e r s e n 在非线性分谐波解方面做了开创性的工作， 在此之前，人们想当然地认为不可能存在分谐波【5 1 。他发现了分谐波出现的两种 途径：驱动力幅度为位移的线性函数( 现在知道，这种情况正是参数激励振动) ； 回复力为平方非线性。在这两种情况下，当驱动频率约为系统固有频率的2 倍时， 系统运动方程存在l 2 分谐波解。针对这两种情况，p e d e r s e n 巧妙地设计了两个 力学和电学实验予以证实【6 】。 卜、 i、 1 绪论 图1 31 2 分谐波发生区域 o l s o n i7 】指出扬声器分谐波的声音在中频段非常响亮，因而对扬声器音质影 响很大。他将扬声器的低频振动归结为d u f f i n g 方程，指出分谐波在低频时由扬 声器支撑系统的非线性回复力引起，在中频段则由扬声器振膜非线性引起。o l s o n 采用图1 4 解释中频段锥形扬声器1 2 分谐波失真产生原因( 国内一直沿用这种 解释) ：当功率足够大时，驱动力就足以使纸盆产生纵向弯曲，若驱动力向上， 则母线向内侧弯曲；若驱动力向下，母线被拉直，但由于惯性的原因，母线稍 微越过平衡位置而向外侧弯曲。母线振动的周期恰为音圈振动周期的二倍。按照 该解释，扬声器纸盆若设计为曲母线锥，则可避免i 2 分谐波的产生。实际上， 在实验中依然可以在纸盆为曲母线锥的扬声器中观测到1 2 分谐波。该解释实际 上是线性参数激励机制。 图1 4 锥形扬声器1 2 分谐波产生的参数激励机制 4 l ， p r y j i i r l l 绪论 c u n n i n g h a m 8 】将扬声器振膜振动类比为纵向受力的直杆横向振动，由此得出 分谐波由参数激励引起的结论。扬声器振膜振实际上是一个旋转薄壳结构，虽然 c u n n i n g h a m 已经觉察到扬声器中频段的分谐波由参数激励引起，但限于薄壳理 论的复杂性，无法确切和直接地解释扬声器分谐波的产生机制。 a l d o s h i n a 等1 1 可能是首先采用非线性薄壳理论揭示扬声器参数激励分谐 波产生机制的学者。驱动力直接激发的扬声器振膜轴对称振动作为激励源，参数 激励了固有频率约为1 2 驱动频率的非轴对称模态。但他们采用了浅壳模型，因 而只适用于周向波数较高的非轴对称模态，并且忽略了非轴对称模态振动对轴对 称模态振动的影响。而且他们取整体振动作为扬声器振膜的轴对称振动，而整体 振动应该没有应变，似乎不应该产生轴对称振动和非轴对称模态的耦合。 一直到最近，不断有实验观察到扬声器分谐波的报导【4 , 1 2 - 2 1 】，这些文献证实 和扩展了p e d e r s e n 、o l s o n 和c u n n i n g h a m 的结论。s t e w a r t 4 1 和r e i s s l l 2 】等观测到 了低音扬声器的分谐波，分谐波产生于扬声器的低频共振频率附近( 几十h z ) ， 因而很可能由非线性回复力和不均匀磁场所引起，但他们没有给出明确的理论解 释。其特点是分谐波的振幅小于基波振幅，并需要很大的驱动力幅度。文献【1 3 圳1 观测到了扬声器在中高频的分谐波，部分文献观测的是声信号，而文献【1 6 加，2 1 】 观测的是扬声器振膜的位移振动信号，发现在振膜的外部位置，分谐波的振幅远 大于基波振幅，因而应由参数激励引起。这些文献大多是实验观测，没有讨论扬 声器参数激励机制。 国内也观测到了扬声器的分谐波【协1 1 1 ，同样没有分谐波形成节制的理论解 释。国内扬声器工程界一直沿用图1 4 所示的解释。 以上说明，目前关于扬声器分谐波失真的研究远未完善，对扬声器分析波失 真的机理还缺少系统的理论解释，对其的研究目前仍然扬声器界非常活跃的领域 【1 9 ，p 4 4 】。 1 4 本课题主要研究内容 本文目的是揭示扬声器1 2 分谐波失真机制，由于扬声器振膜是典型的旋 转薄壳结构，因此本文首先研究闭合旋转薄壳的非线性模态方程，然后研究直接 辐射式锥形电动扬声器的1 2 分谐波失真机理。 l 绪论 1 由于直接采用有限元等数值方法计算薄壳非线性振动的时间历程不仅计 算成本高，而且海量多次迭代运算存在可靠性问题，因此将旋转薄壳离散为模态 的多自由度振动。采用s a n d e r s 薄壳理论和虚功原理推导了闭合旋转薄壳的几何 非线性模态方程；编制了专门的有限元程序用于确定其系数计算公式；用实例验 证了结果的正确性。 2 选用1 个轴对称模态和1 个非轴对称模态给出了可揭示扬声器参数激励分 谐波产生机制的运动方程。进一步实验确定所分析扬声器的材料参数、电磁参数 和几何参数；并利用有限元程序确定了分析扬声器的轴对称振动和非轴对称模态 耦合运动方程的系数。采用多尺度法和谐波平衡法解析求解了所得方程，分析定 常振动的稳定性。并用r u n g c k u t t a 数值方法进行了验证和扩展，提出了提高扬 声器分谐波产生阈值的3 个途径。 所得结果表明，扬声器分谐波的产生机制主要是源于扬声器薄壳模态之间的 相互耦合作用。扬声器薄壳作为连续介质，具有无穷多个振动模态。线性情况下， 它们互相独立，在轴对称激励下，仅轴对称振动被激发；当驱动力足够大时，在 某些频率范围，模态之间出现非线性耦合，从而出现耦合激励的非轴对称模态振 动，激励方式表现为参数激励。当激励频率为非轴对称模态固有频率的约2 倍时， 非轴对称模态在合适的条件下可被激发，从而产生1 2 分谐波。 6 f 声 y ， r 鲁 。 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程 l 、 - 扬声器的纸盆是一典型的旋转薄壳结构，因此要理论分析扬声器的分谐波产 生机制，必须推导和确定旋转薄壳的非线性模态运动方程。 薄壳结构在航空、航天、船舶、建筑、核能等工业领域具有广泛应用。薄壳 的非线性振动将破坏薄壳结构的稳定性。最新的综述文献【2 2 以】指出薄壳非线性振 动研究远未终结，并列出了许多有待研究的课题。文献【2 4 】的作者a m a b i l i 的课题 组最近几年中发表了数十篇薄壳非线性振动的论文，研究的重点集中于薄壳非线 性振动具有硬弹簧还是软弹簧特性，说明薄壳非线性振动的一些基础性问题都未 获彻底解决。这些综述文献还表明，已有的文献以研究圆柱壳或浅壳的非线性振 动居多，一般形状的旋转薄壳研究较少。 由于薄壳非线性分析的重要性，本章推导的非线性模态运动方程不仅仅针对 扬声器分谐波研究，而旨在得到可适用于旋转薄壳的一般非线性分析的运动方 程，其所包含的模态理论上可以无穷多。 若直接采用有限元等数值方法计算旋转薄壳非线性振动不仅时间历程长，计 算成本高，而且海量多次迭代运算存在可靠性问题。因此，将薄壳正确离散为有 限个自由度系统是分析研究薄壳非线性振动的关键，通常采用线性模态的叠加离 散连续系统【2 5 2 9 1 。对存在几何非线性的任意形状的弹性薄壳，r a d w a l l 等【2 6 1 离散 给出了有限自由度非线性模态振动方程，但方程过于复杂，且不适合于数值计算， 限制了它的应用。即使在圆柱壳这种形状最为简单的旋转薄壳的离散中，也不直 接采用文【2 6 1 的结果，而是通过g a l e r k i n 方法【2 5 2 7 1 、r a y l e i g h r i t z 法【2 8 1 、ia g 阳n g i 锄 方程【2 9 】等方法得到有限自由度的非线性振动方程。 2 1 非线性模态方程 对存在几何非线性的旋转闭合薄壳，其应变势能含有3 次和4 次项，即： 一t g # p ( g ) 2l ：上r i p 2 ( q ) + p 3 ( q ) + p 4 ( q ) d o d s 誊最( g ) + b ( g ) + 只( g )( 2 1 ) 式中，0 分别为柱坐标系中的径向坐标和角坐标，5 为薄壳母线坐标， q 代表 薄壳的3 个位移分量，下标代表q 的幂次。 7 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程 由虚功原理可写出弹性薄壳的非线性运动方程3 0 】： m 。( 口，6 9 ) + 露。( g ，5 q ) + p 2 。( g ，8 q ) + p 3 i ( g ，6 9 ) = e 。( 厂，8 q ) ， ( 2 2 ) 式中各项均为齐次函数，下标数字分别依次表示括号内自变量的幂1 0 次( 下同) ， 曰。( g ，6 9 ) 、最。( g ，曲) 和只。( 口，6 9 ) 分别为p 2 ( q ) 、p 3 ( q ) 和只( g ) 的一阶变分，惯性 力虚功m 。( 口，6 9 ) 和外力虚功e ，( 厂，6 9 ) 分别为 m i ( 章，6 9 ) = rr 。p h ，_ ( 1 i e u + i ；s v + f f , 6 w ) d o d s ， ( 2 3 ) 互- ( 厂，6 9 ) 2j ：j ：r ( f s u + f ，s v + f w s w ) d o d s ( 2 4 ) 可见，对旋转闭合薄壳，方程( 2 2 ) 的各函数具有相同的积分形式。 将g 展开为线性模态的叠加，对旋转薄壳，模态的周向解是三角函数，为方 便以下运算，采用复指数函数的形式，即 g ：( f ) ( s ) + 壹 ( f ) k ( s ) 沙一+ c 】：壹( f ) k ( s ) p 泐兰兰( f ) 只( s ，乡) ，( 2 5 ) n = l = 一gn = - - g 式中，c c 代表其前边项的共轭复数，g 为任意正整数，根据实际问题确定。模 态虬o ，乡) = k ( s ) p 湖，且有以下关系 儿。( s ，0 ) = 或( j ，乡) ，匕( j ) = k ( s ) ，吼。= 瓦 ( 2 6 ) 对薄壳这种2 维振动，对应相同的周向波数n ，可以存在多个纵向模态， 即k ( s ) = y 删( s ) 。这种情形将在第三节的实例中予以考虑。 将( 2 5 ) 式代入运动方程( 2 2 ) 的前2 项，得 m i 。( 茸，6 9 ) ：g 吃m 。，( 以，6 9 ) ，曰。( g ，却) ：圭毋。( 儿，6 9 ) ( 2 7 ) n = - - gr = - - g 令6 9 = 兑，由复指数函数的正交性得 m 。( 牙，6 9 ) = 吃，日。( g ，8 q ) = 置。( ，歹：，) = ( 2 8 ) 式中，为与模态胁对应的固有频率，质量朋。为 = m 。( 只，歹：，) 8 ( 2 9 ) 一 ， 户 。 l 、 _ 、 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程 为得到昱。( g ，8 q ) 的模态表达式，首先由( 2 5 ) 式得 因而有 g ：f 壹以、1 2 ： 2 2 + 2 壹j - iq 乃以， ( 2 1 0 ) n m - - g j - - gj - 一g + lk - 一g 罡。( g ，6 9 ) ：杰可罡。( 乃，6 9 ) + 羔艺哆吒日。( 乃，儿，砷) ， ( 2 1 1 ) j - - gj z g + ll = 一g 式中，日。( 乃，妖，8 q ) 为应变能3 次项只( q ) 的二阶变分。上式右边第二项不出现 因子2 ，是由于按照变分规则，日。( y j ，儿，5 q ) 内已包含因子2 。令s q = 歹：i ，由复 指数函数的正交性可知，( 2 1 1 ) 式右边第一部分中，仅当j = 一2 的项不为零；第 二部分中，仅当k = 刀一的项不为零。又由ks _ ，一l 知_ ，( n + 1 ) 2 。因而由( 2 1 1 ) l 式得 、 罡。( q ，只) ：2 ，：罡。( 只只) +圭 吩一，露。( 乃，以中歹：，) ( 2 1 2 ) 由于当g 1 ，必有伽+ 1 ) 2 一g + l ，这意味着只要不是仅仅考虑轴对称振动模 态的情形，上式第二部分求和的下限应为j ( n + 1 ) 2 1 。而若g = 0 ，则有 j 一g + l 1 ，因此总有j 1 。 同样，为得到b 。( g ，6 9 ) 的模态表达式，首先由( 2 5 ) 式得 因而有 9 3 - - 3 3 + 3 羔羔彰巧儿+ 6 曼芝杰吩吒嘶乃儿乃， ( 2 1 3 ) j - - gj = - gk = - g t ， j - 一譬k = j + li = k + l b 。( g ，6 9 ) ：壹司弓。( 乃，6 9 ) + 壹羔彰罡。( 乃，儿，6 9 ) ，：呈壹q 以j q = - g 日k 川- g 。, k 乃j ，儿，乃，6 9 ， ( 2 14 ) 式中，最。( 趵，儿，6 9 ) 和日川( 乃，儿，乃，6 9 ) 分别为应变能只( q ) 的二阶和三阶变分。 令6 口= 死，经过与前述相同的推导，由复指数函数的正交性得 9 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程 b 。( g ，兑) = 以，只。( 以见) + 嘭由县。( 乃，一：，只) j = m a x 一g , ( n - g ) 2 ，州3 r 2 15 1 + 哆吼一产i 暑川( 乃，儿，以一七，兑) j = 一gk f f i l m l x ( j + l ，h g j 1 将公式( 2 8 ) 、( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) 代入方程( 2 2 ) ，得到离散化的旋转闭合薄壳非线 性模态方程 或+ q 2 + 昱。( 此2 ，死) 2 + 墨。，( 乃，虼或) 哆一 _ ，= f i l - x i g + l ，( + 1 ) ，2 】 曲窖，( 月+ p ，2 1 + e 。( 以伊只) 露，+ ( 乃，只- 2 j , 死) 一： ( 2 1 6 ) = n 砒卜g ，( n 一亭) 2 1 ，j # n 3 z - 2n 面f z - l ，( n - l - d 2 + 号i i l l ( 乃，儿，以十。，歹：，) q 吒十t = 厩。( ，歹：t ) 仰= o ，g ) ，= 一g 七= m 曩x o 总成立，上式中出现符号函数 s ( ，) 是为了保持公式的普适性，以对下面的( 2 3 9 ) 式的第二式成立。 另外2 个3 次非线性项的系数由变分规则直接据下式计算 只- ( 以肿只) = 日l l l ( y 桕，y n t 3 ，y 帕，只) 7 6 ( 2 3 9 ) 。( 乃，虬一2 ，死) = 丑川( 乃，y j ，- 2 jy ) 2 、 7 至此，非线性模态方程( 2 1 6 ) 的系数计算公式已全部给出。首先f l 了( 2 3 0 ) 式计 算线性固有频率和模态，然后f l j ( 2 8 ) 式计算线性项系数，最后根据( 2 3 3 ) 、( 2 3 5 ) 、 ( 2 3 7 ) 和( 2 3 9 ) 计算非线性项系数，( 2 3 3 ) 和( 2 3 9 ) 中诸量通过( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 式由已 知的线性模态位移计算。 本文编制的有限元程序采用曲边环单元，3 个位移均采用3 次多项式插值。 2 3 应用和验证例 通常研究纵向和横向2 种激励下的薄壳非线性振动行为。前者沿周向均匀激 励，直接驱动轴对称模态，表现为参数激励振动【2 8 2 9 】；后者直接激励非轴对称模 本 2 7 , 2 9 j i ：一o 2 3 1 纵向激励 对纵向激励，设薄壳在2 端受相等压缩力作用，即 无= o ) 6 ( s a ) ，( 口) 一6 ( s 一6 ) ，( 6 ) 】( 2 兀) ，工= 兀= 0 ，( 2 4 0 ) 式中，6 为冲激函数。模态展开式取为2 8 1 g = a o ( t ) y o ( s ) + 吒( f ) ( s ) p 啪+ c r ( 2 4 1 ) 上式代入非线性振动方程( 2 1 6 ) 得 蔫麓l y 己o ) a 型_ c t o a 鳓 u 纛。象：i ”鹄又蹦露亿4 2 ， + 日川( 只，只，。 = ( ，) i ( 口) 一( 6 ) i ， 、。 吨+ 露+ ，- ( 咒，儿，y ) a a o + 最一一( ，只，歹：t ) 菇( 2 4 3 ) + 。( 咒，只，歹：，) 吼。= 0 、。 可以看到，同一个模态方程中各项口的下标值之和相同，对轴对称模态方程 1 4 ， 一 v p 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程 ( 2 4 2 ) ，该和值为0 ，对非轴对称模态方程( 2 4 3 ) ，该和值为，l 。或者说，每个模 态方程含有的项为所有模态的排列组合，该组合的口的下标值之和等于模态的周 向波数。注意到这点，并注意口的排列组合和前面系数的对应关系，对模态不多 的系统，方程可信手写出。 进一步将模态表示为三角函数，即 由上式得模态系数关系 e 柑+ c c 2 q u ( 4 ) c o s n o y ( 片) s i n n o w t 。) c o s n o + 以 = ( 厶- i d ) 2 ，a o = c o 上式代入( 2 4 2 ) _ ；f - 1 1 ( 2 4 3 ) 式，并令吒= o 2 引，得 u ( “) s i n n o y ( “) c o s n o 形( 4 ) s i n n o ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 鼍+ c 0 + 6 1 譬+ 6 2 e + 6 3 磊+ e t2 0 p ) 【( 口) 一( 6 ) 】( 砖蛾( 2 4 6 ) + 研魂q + 6 5 c o q + 玩露巳+ 6 7 e = 0 、 7 式中，上标撇代表对归一化时间f = f 求导，幅度则由薄壳厚度h 归一化，该归 一化在编制有限元程序时通过令横向模态位移的最大值等于薄壳厚度实现。上式 中的系数计算式为 a 2 可p 2 i ( y o , y o ) 一毪小掣小掣，亿4 7 ， 玩= 鲁= 鲁= 訾 一 方程( 2 4 6 ) 和文献2 8 】中的方程( 2 1 ) 结构基本相同，那里少了6 l 露和6 3 露2 项， 这是因为该文采用了d o n n e l l 浅壳理论的原因。 从方程( 2 4 6 ) 可以看到一个重要的现象，轴对称模态和非轴对称模态的2 次 非线性耦合项的形式是不同的，分别为e 和c o q 。因此，直接激励的轴对称模态 对非线性耦合激励的非轴对称模态表现为参数激励，特别是当满足c o 2 q ( 缈为激励角频率) ，将出现自参数共振【2 8 】。 州 一矿 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程 2 3 2 横向激励 文献【2 7 】采用d o n n e l l 非线性浅壳理论，通过求解v o nk a r m a n 形式的运动方 程研究了2 端简支的圆柱壳受横向激励的非线性振动。其激励为 兀= 厶c o s n o s i n o r 孝) c o s c o t ，正= 工= 0 ， 式中，孝= s l ，l 为圆柱壳长度。其选用的模态为 ( 2 4 8 ) - w h = ( e o sn o + d s i nn o ) s i n ( n 孝) + c o ls i n ( n 善) + c 0 2s i n ( 3 蟛) + c 0 3s i n ( 5 x f ) ，( 2 4 9 ) 式中，横向位移w 前的负号是由于文【2 7 】的w 以内法线为正方向，与本文相反。 注意该文为了研究轴对称模态对薄壳非线性振动类型( 硬弹簧还是软弹簧) 的贡 献选用了3 个轴对称模态，因此，本文给出的模态展开式( 2 5 ) 和非线性模态方程 ( 2 1 6 ) 必须稍作推广。考虑到最后一个轴对称模态基本无贡献【2 7 】，且又不失一般 性，以下推导中不计该模态。对有2 个轴对称模态，对方程( 2 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 作如下 替换 得 专l y o l + y 0 2 ， 一 瞄蜣一蚝+ 蚝+ 2 a o l 1 ， 积露专盛。以。+ 芘+ 3 吒圮+ 3 。碡r ( 2 5 0 ) 瓯+ 露+ 只l i ( 儿，y o l ，或) l + 墨i l ( 以，歹：，) + 。( 儿。，儿，歹：t ) + 只。( ，儿，歹：，) + 丑( l ，以，y 。) a o 。( 2 5 1 ) + 昱l l ( 咒，只，只) 吼。= 7 t r l 2 f c o s t o t ， m 。哦。+ m 。玩i + 最i ( i ，y o 。) 碥+ 罡。( ，y o 。) 靠+ 毋i 。( l ，。) 。 + 丑- ( ，歹：，y o ) 吼一+ 只i ( y o l ，y o i ) 以l + p 3 , ( ，y 0 1 ) 畦 ( 2 5 2 ) + p 2 l i ( l ，y o i ) + 罡l l ( ，l ，y o i ) l + 曰川( 歹：l ，y o l ，儿，y 0 1 ) 吼。i + 只川( 歹：l ，以，y 0 1 ) 盟。= 0 ， + 朋0 2 + 。( l ，y 0 2 ) + 最，( ，) + 异i l 饥。，) 。 + 只- - ( 只，只，) 哎一+ 只i ( y o l ，) i + 只l ( ，) ( 2 5 3 ) + 只。( 。，) + 只l l ( ，l ，) i + 毋川( 只，y o l ，只，y 0 2 ) 吼1 + 片川( 只，只，) 口一。= 0 ( 2 5 1 ) 式中的尺代表圆柱壳半径。利用( 2 4 5 ) 式将方程( 2 5 1 ) 和( 2 5 2 ) 改写为 + 巳+ c o l c 一+ 如c 如c 一+ h 3 4 i 巳+ 丸乇q + h s c o i c 如巳+ 魄e + 吃c 一= 夕c o s ( 国f q ) ， + 以+ 岛。以+ 也吨+ h 3 4 。以+ 九c 毛以+ 吃c 0 。以+ d 3 + 丸q 2 以= 0 1 6 ， ( 2 5 4 ) p | 、 l 1 i q 2 闭合旋转薄壳的非线性模态方程 t q 。) 2 + 囊+ 厶乇+ ，- 景+ 厶( + 刃) + 毛磊t + 毛砬+ 勺 ( 2 5 5 ) + 岛c o l + 1 , c o l ( e + 砰) + o c 0 2 ( 蠢+ 露) = 0 ， 、。 式中系数计算式为 夕2 器小警扣掣加警， 啊= 警m加地糍掣小学4 m ， 。 。 。 饼 。 。噶 = 笔乎小瓮乎加2 = 彘= 乎，亿5 6 ， 名= 笔铲_ 0 ，7 = 掣m o t c o ：小掣m o t ( o ：小旦2 m o t 呜， 。 l 蝣 。= 争鬼 7 1 0 1 方程( 2 5 3 ) 的上述形式方程与方程( 2 5 5 ) 相似，这里不列出。方程( 2 5 4 ) 的2 个模 态分别称为驱动模态( d r i v e nm o d e ) 和伴随模态( c o m p a n i o nm o d e ) ，它们的固有频 率相同。在共振频率附近很窄的频率区域，会出现复杂的非线性行为【2 5 ，2