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外腔谐振倍频单频红光激光器 中文摘要 三基色全固态激光器作为激光彩色显示的关键技术，已成为当前国际激光领域 研究的热点。在三基色中，绿光激光器技术已经相对成熟，所以目前研究的重点在 红光和蓝光激光器上， 而且， 红光激光器还在医疗领域有广泛应用， 并可作为 3 cr + 离 子晶体的泵浦源。尤其是单频运转的红光激光器，以其优良的频率特性和功率稳定 性广泛应用于光谱学、相干测量、全息、量子信息等领域。同时，以波长为 671nm 的单频红光激光器作为抽运源，通过参量下转换可得到能在光纤中低损耗传输的 1.34um 纠缠态光场，这将为今后探索量子信息实用化提供一个有效途径。 获得二次谐波输出的办法有两种， 1966 年， a.askin 等首先提出的外腔谐振倍频 将激光谐振腔和倍频腔最大限度分离，尽量互不干扰，使它们各自独立达到最佳状 态，在目前获得了越来越广泛的应用。 本文利用输出波长为 1.342m的全固态单频红外激光器作为抽运源，采用 i 类 临界相位匹配 lbo 晶体进行外腔倍频。当基频光抽运功率为 1.14w 时，获得了 580mw 的单频红光输出， 最大倍频转换效率 50.9%， 如果考虑到输出镜对红光 95.2% 的透射率，实际倍频效率应该是 53.4%。红光功率稳定性优于0.5%（1 小时） ，自由 运转状态下红外光频率漂移小于2mhz（1 分钟） 。 论文共分四部分： 第一章：绪论 简要介绍二次谐波产生的机理，回顾全固态红光激光器的国内外发展历史，阐 述全固态红光激光器在医疗卫生、科学研究、屏幕彩色显示和量子信息等领域的应 用，最后对本文工作做一个综述。 第二章：外腔谐振倍频的一般理论分析 根据光的电磁理论，由麦克斯韦方程出发，推导出三波混频的耦合波方程组， 进而根据边界条件得出聚焦高斯光束光倍频的输出功率和倍频效率的表达式。最后 介绍常见的两种位相匹配技术角度匹配和温度匹配（又叫临界相位匹配和非临界 相位匹配） ，并比较了它们的优缺点。 第三章：红光腔外倍频的设计优化与实现 中文摘要 对三种倍频晶体从理论计算和实验测量两方面进行比较，选定类临界相位匹 配 lbo 晶体作为倍频晶体。设计优化腔型，采用近共心驻波腔型倍频腔，分析了振 荡腰斑 0 及稳定性参数随腔长变化的曲线，在此基础上，完成了红光外腔倍频的实 验研究。当泵浦功率为 1.14w 时，获得单频输出红光 580mw，最大转换倍频效率 50.9%。 第四章：总结与展望 关键词：腔外倍频；类临界相位匹配 lbo 晶体；单频红光 外腔谐振倍频单频红光激光器 abstract at present all-solid-state tricolor laser, which is regarded as the key technology of laser display, has become the hotspot on international research in the field of laser. the technique for green laser is relatively mature, so research stress should be on red and blue laser. furthermore, red laser has extensive application in the field of medical treatment and is also used as a pumping source for cr3+ lasers. especially, the single-frequency dpsl are extensively applied in many fields such as spectroscopy, coherent measurement and holography because of its excellent characteristics of frequency and stability of power. at the same time, the single frequency red laser at 671nm is used as the pump source to pump an optical parametric oscillator (opo) and generate two entangled beams with the wavelength of 1342nm from the process of frequency down-conversion, which will provide an effective way to realize quantum information system as a result of low losses in optical fibers. there are two ways to obtain second harmonic generation (shg) output. in 1966, a. askin et. al. firstly put forth an idea of extra-cavity frequency doubled technology, which separates doubling cavity from laser cavity most greatly and makes they in the optimum state respectively. it is more and more generally applied in the present experiment. the all-solid-state infrared single frequency nd:yvo4 laser with wavelength of 1.342m is used as basic frequency to pump a extra-cavity frequency-doubler with the lbo crystal of type and generate second harmonic output. when the pump power was 1.14w, we obtain the second harmonic output with the power of 580mw and the double efficiency of 50.9%, which should be 53.4% considering the output mirror with transmission coefficient of 95.2%. the intensity fluctuation of the second harmonic wave at 0.671m is less than 0.5% in one hour and the laser frequency shift is less than 2 mhz in one minute under the condition of free running. abstract v the thesis consists of the following four chapters: chapter 1: introduction we simply introduce the principle of second harmonic generation, review the research history of all-solid-state red laser at home and abroad, then expound the applications of all-solid-state red laser on medical treatments, scientific researches, laser display and quantum information and so on. at last, major job of this paper is introduced. chapter 2: theoretical analysis of extra-cavity frequency doubling based on optical electromagnetic model from maxwell equation, the three-wave mixing coupled wave equation is deduced. then we obtain the expressions of output power and doubling efficiency of focused gaussian beam according to the boundary condition. finally, two common kinds of phase-matchingangle matching and temperature matching (also named critical-phase-matching and noncritical-phase-matching) is discussed. their advantage and disadvantage is compared, too. chapter 3: designing、optimization and realization of extra-cavity frequency doubling from theoretical calculation and experimental measurement, type cpm lbo crystal is chosen to be doubling crystal in the cavity, which adopts the structure of nearly concentric standing-wave cavity. we analyze the variation curves of the waist spot and the stability parameter by changing the length of cavity. when the pump power is 1.14w, the second harmonic output of 580mw is obtained with the double efficiency of 50.9%. chapter 4: conclusion and outlook keyword extracavity frequency doubling; type cpm lbo crystal; single-frequency red laser 42 承承 诺诺 书书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指 导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大 学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论 文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引 用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的成果。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指 导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大 学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论 文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引 用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的成果。 学位论文作者（签章） ：葛青 2009 年 5 月 12 日 第一章 绪论 1 第一章 绪论 第一章 绪论 1.1 非线性光学概述 1.1 非线性光学概述 1960 年梅曼（t.maiman）发明了第一台红宝石激光器1，此为近代科学史上最 伟大的发明之一。1961 年，p.a.franken 将红宝石激光入射到石英晶体中（-sio2） 中2，首次观察到了位于紫外区（=347.2nm）的倍频激光。从此以后，便开辟了非 线性光学发展的新纪元。 非线性光学主要研究介质在强光作用下产生的非线性现象及其应用。激光问世 之前，介质的光学折射率基本上是与光强无关的常量，介质的极化强度与光波的电 场强度成正比，光波叠加遵守线性叠加原理。在上述条件下研究的光学问题称为线 性光学。对很强的激光，例如当光波的电场强度可与原子内部的库仑场相比拟时， 光与介质的相互作用将产生非线性效应，反映介质性质的物理量不仅与场强 e 的一 次方有关，而且还决定于 e 的更高幂次项，从而导致线性光学中许多不明显的新现 象。 将非线性光学介质中的感应极化强度 p 展开为外光场的幂级数形式，即 (1)(2)2(3)3 000 peee =+ ? ? (1.1) 其中 (1) 为线性电极化率， (2) 为二次非线性电极化率， (3) 为三次非线性电极化率。 与上式第一项有关的效应称之为线性光学效应，与第二项有关的效应称之为二 阶非线性光学效应，与第三项有关的效应称之为三阶非线性光学效应，更高阶的光 学效应以此类推。 非线性效应能引起不同频率光场之间的能量交换，从而呈现出许多新的光学现 象和光学效应，诸如光学倍频，光学混频，光学参量振荡，受激散射，多光子吸收， 自聚焦，相位复共轭，光学双稳态等。 过去，人们之所以未能感受到和测量到这些参数以及与其相应的效应，是因为 人们过去所能得到的光电场太弱，以致二阶、三阶等非线性光学效应处于测量灵敏 度之下，而无法被发现。 光学二次谐波产生 （second harmonic generation 简称 shg） ， 即一束频率为的 激光在通过一非线性介质后获得频率为 2的光。 这是一种典型的二阶非线性光学效 应，是获得可见光波段激光光源的最有效途径之一。 外腔谐振倍频单频红光激光器 2 1.2 红光激光器的研究背景 1.2 红光激光器的研究背景 he-ne 激光器是最早研制成功的气体激光器。输出波长为 632.8nm，放电管长数 十厘米的 he-ne 激光器输出功率为毫瓦量级， 放电管长 1-2m 的激光器输出功率可达 数十毫瓦3。由于它能输出优质的连续运转可见光，而且具有结构简单、体积较小、 价格低廉等优点，在准直、定位、全息照相、测量、精密计量、光盘录放等方面得 到了广泛的应用。但由于输出功率小，在工业、医疗等领域的应用受到限制。 半导体激光器是目前应用最广泛的光电子器件之一。670nm 以下的 algainp 红 光ld是90年代以来发展最快的半导体光源之一。 1988年东芝最先推出670nm产品， 90 年代红光 ld 进入条码扫描、 激光打印和塑料光纤通信等领域4。 但其因存在发散 角大、光束质量差、线宽宽、输出波长及功率随温度漂移等缺点，仍难以在彩色显 示、单模运转、超短脉冲等领域取代固体红光激光器5。 最早出现的红宝石激光器，其波长为 694.3mn，从光谱上来说，它集合了几个特 别有利的特点:线宽相对窄、荧光寿命长、量子效率高、泵浦吸收带宽，且位置优越， 这样的泵浦带能高效地利用闪光灯发射的泵浦辐射。由于它属于三能级系统，泵浦 阈值较高，所以通常情况下只能以脉冲方式运转。调 q 红宝石激光器可用于动态全 息成像，激光医疗等领域。 掺 3 nd + 离子的全固态激光器由于兼备了激光二极管和固体激光器的双重优点而 成为目前红光激光器研究的热点。 1997 年，山东大学晶体材料研究所王长青等人利用 ktp 晶体内腔倍频，实现了 670nm 的红光输出6；1998 年，中国科学院物理研究所张恒利等人利用 i 类非临界 相位匹配lbo晶体内腔倍频， 当输入抽运功率为6w时， 获得功率为502mw的671nm 激光输出，光-光转换效率超过 8.3%7；1999 年，张恒利等人利用类非临界相位匹 配的 lbo 晶体，在吸收泵浦功率为 5.16w 时，获得 404mw 的 67lnm 激光输出，光 -光转换效率约 7.8%8；2000 年，他们又采用类临界相位匹配 ktp 晶体内腔倍频 获得了最高 273mw 的 671nm 红光输出9；2001 年，中国科学院长春光学精密机械 与物理研究所郑权等采用 i 类和类临界相位匹配 lbo 晶体倍频，分别获得 97mw 和 52mw 红光输出10； 同年， 张恒利等人采用类非临界相位匹配 lbo 晶体内腔倍 频获得了最高功率为 890mw 的 67lnm 红光输出11；2002 年，南京大学固体微结构 第一章 绪论 3 国家重点实验室何京良使用了周期极化的钽酸铌超晶格（pplt）对二极管抽运 nd:yvo41342nm 激光进行腔外直接单通倍频，在泵浦功率 12.3w 时获得 840mw671nm 红光输出，光-光转换效率达到 6.8%12；同年，山东曲阜师范大学物 理系孙梅等人采用 lbo 内腔倍频，在此基础上加入声光调 q 开关，得到倍频脉宽 138ns、峰值功率 280w 的激光输出13；2003 年，中国科学院长春光机所应用光学国 家重点实验室郑权等人采用类临界位相匹配 lbo 晶体倍频，通过腔内插入布氏片 实现了 nd:yvo4/lbo 红光激光器的单纵模稳定输出， 在泵浦功率 800mw 时， 671nm 单纵模稳定输出达 37mw14；同年，南京大学固体微结构国家实验室采用周期极化 litao3(ppslt)晶体准相位匹配外腔单通倍频获得 1.4w671nm 红光输出15； 2004 年， 中科院物理研究所光物理实验室许祖彦等人采用类非临界相位匹配的 lbo 晶体， 在泵浦功率 9.5w 时分别获得 0.77w 连续和平均功率为 1.3w 的准连续红光输出 16； 同年，长春光机所郑权等人采用类临界相位匹配的 lbo 倍频晶体对 ld 抽运的 nd:yvo4的 1.342um 波段激光进行内腔倍频，得到了 2.23w671nm 红光输出，光-光 转换效率达到 21.0%17；中科院物理所光物理实验室许祖彦领导的研究小组与中科 院理化所、长春光机所合作研制成的瓦级全固态连续波红光激光器 671nm 红光输出 功率为 3.38w，该输出功率当时达国际先进水平；2005 年，中科院长春光机所郑权 等人采用类临界相位匹配 lbo 晶体倍频， 当注入功率为 8w 时， 获得波长为 671nm 的红光基模稳定输出，最高输出功率达 1.8w，光-光转换效率达 22.5%，该转换效率 当时处于较高水平18。 2006年，山西大学光电研究所刘侠等人利用半导体激光器（ld）端面抽运位于 四镜环行腔中的nd:yvo4 晶体，保证激光器单频运转的腔内光学单向器由tgg 和 /2 波片构成；腔内倍频晶体选用类临界相位匹配lbo 晶体。在16w 泵浦时，获 得了输出功率为360mw，1 小时内功率波动小于1.0%，1 分钟内基频光（1342nm） 的频率漂移优于4.7mhz，波长为671nm 的单频红光19。 2007 年，山西大学光电研究所常冬霞等人采用 ld 端面泵浦 yvo4-nd:yvo4复 合晶体、 类临界相位匹配 lbo 进行腔内晶体倍频， 在抽运功率 19w 时得到 610mw 的单频 671nm 红光和 400mw 的单频 1342nm 红外输出。红光 30 分钟内输出功率波 动小于0.6%，基频光（1342nm）1 分钟频率漂移为5mhz20。 以上对于全固态红光激光器的介绍大多集中在腔内倍频，它的优点在于可以提 外腔谐振倍频单频红光激光器 4 高谐振腔内的循环功率密度，进而提高倍频效率。但腔内倍频也有缺点，当激光器 多模运转时，由于倍频晶体内的和频过程使纵模间相互耦合，导致倍频红光输出有 较大的振幅波动，正如绿光倍频过程中出现的所谓“绿光问题”21。尽管迫使激光器 单纵模运转，可以避免红光波动，但是由于激光谐振腔同时存在激光产生过程和非 线性二次谐波产生过程，而且倍频效率对腔的细微结构十分敏感，所以要使激光产 生过程和倍频产生过程同时达到最佳状态相当困难，整个系统的稳定性也相对较差。 为了解决这一问题，a.askin 等人 22首先提出利用外腔谐振倍频的技术来获得高效 稳定的倍频输出。此技术就是在激光谐振腔外用倍频晶体再建立一个专用来倍频的 谐振腔。它的主要优点就是激光谐振腔和外谐振倍频腔最大限度分离，尽量互不干 扰，使它们各自独立达到最佳状态。特别是在使激光器处于稳定单频运转的同时保 证倍频腔的输出也一定是单纵模23，可以得到高的倍频效率，并且通过外腔谐振倍 频还可以获得强度压缩光24。 1.3 红光激光器的应用 1.3 红光激光器的应用 红光激光器在激光医疗、彩色显示、量子信息等方面有着巨大的应用前景,并且 可以作为掺 cr 3+离子晶体调谐激光器的抽运源。 在医疗方面， 红光对组织的穿透能力 强，可以达到组织深处，可治疗慢性炎症、内分泌失调、神经功能障碍等疾病25； 在光动力疗法中，运用红光照射 hpd(血叶琳醋硫酸盐)，可以产生一系列光动力学 作用，产生单态氧等氧化力极强的细胞毒性物质而杀死癌细胞，因而红光是治疗早 期癌症理想光源26。在彩色显示方面，红光是红、绿、蓝三基色之一，激光三色显 示技术中，信号调制及扫描技术已经成熟，可以获得高功率、高质量的绿光输出。 而红光和蓝光目前仍是研究的重点，相对来说，蓝光在三色显示中的功率要求小的 多，红光要求的功率最大，所以红光的研究最关键。此外，671 nm红光又可以作为 可调谐激光器的抽运源，例如 cr:lisaf 等晶体。特别值得一提的是，全固态激光器 的单频运转在光谱学、相干测量、全息等领域也被应用广泛。而 1.3m 区域激光与 硅光纤传输窗口符合，实现波长为 671nm的单频红光激光器后，利用该激光器作为 抽运源有可能通过参量下转换得到光纤中低损耗传输的 1.34um纠缠源。 1.4 本论文主要工作 1.4 本论文主要工作 本论文主要简述了以下两个方面： 第一章 绪论 5 1.从理论上推导出二次谐波产生的机理。根据光的电磁理论，由麦克斯韦方程 出发，推导出三波混频的耦合波方程组，进而根据边界条件得出聚焦高斯光束光倍 频的输出功率和倍频效率的表达式。最后介绍常见的两种位相匹配技术-角度匹配和 温度匹配（又叫临界相位匹配和非临界相位匹配） ，并比较了它们的优缺点。 2.在实验中实现腔外倍频并将其锁定。对实验室现有三类倍频晶体（类临界相 位匹配 lbo 晶体类非临界相位匹配 lbo 晶体及类临界相位匹配 ktp 晶体） 从理论计算和实验测量两方面进行比较，选定类临界相位匹配 lbo 晶体作为倍频 晶体。采用近共心驻波腔作为腔型结构，从模式匹配和光学阻抗匹配这两个方面对 倍频腔进行优化，分析了振荡腰斑 0 及稳定性参数随腔长变化的关系，并计算出倍 频理论中的重要参数：非线性转换系数 sh 及 boyd-kleinman(b-k)聚焦因子。在实验 中当腔长为 103.5mm 时倍频输出功率最大，腔前匹配透镜焦距为 75mm，输入耦合 镜透射率为 2.8%，倍频晶体 lbo 匹配温度为 26.21。当 1342nm 基频光的泵浦功 率为 1.14w 时，获得 671nm 单频输出红光 580mw，最大转换倍频效率 50.9%，如果 考虑到输出镜对红光不是完全透射的影响， 实际倍频效率应该是 53.4%。 红光功率稳 定性优于0.5%（1 小时） ，红外光频率漂移小于2mhz（1 分钟） 。 外腔谐振倍频单频红光激光器 6 第二章 外腔谐振倍频的一般理论分析 第二章 外腔谐振倍频的一般理论分析 二次谐波产生是非线性光学混频中最典型、最重要、最基础的技术，也是应用 最广泛的一种技术。特别是伴随着调 q 技术、超短脉冲激光技术的出现和发展，伴 随着优良的非线性晶体的获得，已经可以使二次谐波产生效率提高到 70%80%， 可以说二次谐波产生和光混频已成为激光技术中频率转换的重要手段。本章先对我 们采用的外腔谐振倍频进行一般理论分析，然后对相位匹配技术作一重点介绍。 2.1 三波混频耦合波方程组的推导 2.1 三波混频耦合波方程组的推导 根据光的电磁理论，由麦克斯韦方程出发，可导出非磁、均匀电介质中的波动 方程为： 22 2 0000 22 eep e ttt =+ ? ? ? (2-1) 式中，为电导率；p ? ? 是极化强度，它包括线性极化强度 l p ? ? 和非线性极化强度 nl p ? ? 。 如果将电场强度e ? 和极化强度p ? ? 用傅立叶分量表示， ()() , n it n n e r ter e = ? ? （2-2） ()() , n it n n p r tpr e = ? ? ? ? （2-3） 则对应每个频率分量，其波动方程为: ()()()() 222 0000 , nnnnnnn eriererpr = ? ? （2-4） 如果只考虑介质的线性响应， 极化强度复振幅 () , n pr ? ? 只包含线性极化强度复振 幅 () , ln pr ? ? ，即： ()()() (1) 0 ,(), nlnnn prprer = ? ? ? ? i （2-5） 将上式代入（2-4）式，就可得到线性介质中的波动方程： ()()()() ()() 222(1) 00000 2 00 ,(), ,(), nnnnnnnn nnnnn eriererer ierer = = ? ? i ? i （2-6） 式中 (1) 0 ()(1() nn =+ ? ? （2-7） 第二章 外腔谐振倍频的一般理论分析 7 是介电常数张量。 现在进一步考虑介质对光电场的响应包含非线性效应的情况。此时极化强度的 复振幅 () , n pr ? ? 为： ()()() , nlnnln prprpr=+ ? ? ? ? （2-8） 式中， () , ln pr ? ? 是线性极化强度频率为 n 的傅立叶分量， () , nln pr ? ? 是非线性极化强 度频率为 n 的傅立叶分量。这时，在介质无耗情况下， （2-6）式变为： ()()() 222 00 ,(), nnnnnnln ererpr += ? ? i (2-9) 式中， ()()() (3) (2) , nlnnn prprpr=+ ? ? ? ? （2-10） 与线性响应介质相比， （2-9）式多了一项非线性激励项。由于这一激励项对线性响应 的贡献很小，因而在求解（2-9）式时，常把非线性激励项作为一种微扰来处理。 现在假定光波沿着z方向传播，则（2-9）式解的形式可表示为： (, )(, ) ()(, ) n ik z nnnn ezez abz e=+ ? （2-11） 即在介质无耗情况下，由于非线性效应的存在，光电场的振动矢量和复振幅都是 z 的函数。但因非线性激励项是作为线性响应的一种微扰，所以可认为光电场复振幅 是 z 的慢变化函数，且振动矢量的改变量(, ) n bz ? 既小，变化又慢。现在将（2-11） 式代入（2-9）式，并在等式左边略去所有包含 22 (, )/ n d ezdz、(, )/ n dbzdz ? 、 22 (, )/ n d bzdz ? 的项，在等式右边的非线性极化强度(), n pz ? ? 中略去(), n bz ? ，并用 () , nln pz ? ? 表示。这样，我们得到如下关系： () 2 00 22 00 (, ) 2(, )()(, ) () ()(, ) (, )(, ) n n nnnnn ik z nnnnnnnln dez ikk ez zzabz dz abz ezpz e + += ? ? ? ? ? ? i （2-12） 现 在 用() n a ? 标 量 乘 （2-12） 式 ， 用 ()(, ) (, ) nnn abz ez+ ? 标 量 乘 式 22 000 ()()()0 nnnnn k zzaa += ? ? ? i（ 0 z ? ? 是z轴正方向的单位矢量） ，并将所得二 式相减，可得： 外腔谐振倍频单频红光激光器 8 （2-13） 利 用 () () a b ca b c= ? ? ii和 ()() a bccb a= ? ， 我 们 可 以 证 明 ： () 2 00 2 00 (, ) () ()(, ) (, ) ()(, ) () nnnnn nnnnn k ez azzabz k ez abzzza + =+ ? ? ? i ? ? ? i （2-14） 又由于介电常数张量() n ? 是对称张量，所以有： ()(, )()()()()()(, ) nnnnnnnn abzaaabz +=+ ? iiii 则（2-14）式可简化为： 00 2 0 (, ) 2 () ()(, ) ()(, ) n n nnnn ik z nnnln dez ikazzabz dz apz e + = ? ? ? i ? ? ? i （2-15） 因为(, )/ n dezdz和(, ) n bz ? 是作为一个小量来处理的，所以在（2-15）式中可将 它们的乘积项略去，进而求出标量复振幅(, ) n ez所满足的微分方程为： （2-16） 考虑到对于大多数介质来说， 0 () n za ? ? 的值接近于1，即平面波的电场矢量基 本上垂直于波法线方向 n k ? ? ，可将（2-16）式简化为： 2 0 (, ) ()(, ) 2 n ik z nn nnln n dezi apz e dzk = ? ? ? i （2-17） 该式就是平面光波在稳态条件下的非线性耦合波方程，它是讨论光波混频过程 的基本方程。 对于二阶非线性光学效应，有三个波相互作用，设频率关系为 312 =+，可 以得到三波混频中任何一对光波所感应的非线性极化强度复振幅为： () 2 00 2 0 22 000 (, ) 2(, ) () ()(, ) ()() ()(, ) (, ) ()(, ) () (, ) ()(, )()( n nnnnnn nnnnnnnn nnnnnnn dez ikk ez azzabz dz aabz ezabz zzak ezabza + + + ? ? ? i ? ii ? ? ? iii 2 0 ) (, ) ()(, ) n nn ik z nnnln ez apz e = ? ? ? i 2 0 2 0 (, ) ()(, ) 2() n ik z nn nnln nn dezi apz e dzzak = ? ? ? ? ?i 第二章 外腔谐振倍频的一般理论分析 9 (2)(2)* 103232 ()2(,):(, )(, )pez ez = ? ? ? （2-18） (2)(2)* 203131 ()2(,):(, )(, )pez ez = ? ? ? （2-19） (2)(2) 301212 ()2(,):(, ) (, )pez ez = ? ? ? （2-20） 根据（2-17）式，三个频率 1 、 2 和 3 的光电场标量复振幅 1 (, )ez， 2 (, )ez 和 3 (, )ez满足的微分方程分别为： 1 2 101 11 1 (, ) ()(, ) 2 ik z nl idez apz e dzk = ? ? ? i （2-21） 2 2 202 22 2 (, ) ()(, ) 2 ik z nl idez apz e dzk = ? ? ? i （2-22） 3 2 330 33 3 (, ) ()(, ) 2 ik z nl dezi apz e dzk = ? ? ? i （2-23） 式中的 ( , ) nl pz ? ? 为 32 ()(2)* 10323232 (, )2(,): () () (, )(, ) i kkz nl pzaaez ez e = ? ? ? ? (2-24) 31 ()(2)* 20313131 (, )2(,): () () (, )(, ) i kkz nl pzaaez ez e = ? ? ? ? (2-25) 12 ()(2) 30121212 (, )2(,): () () (, ) (, ) i kkz nl pzaaez ez e + = ? ? ? ? (2-26) 将（2-24）式（2-26）式分别代入（2-21）式（2-23）式，并令 123 kkkk =+ (2-27) 可得： 2 (2)* 11 3213232 2 1 (, ) (,)() () () (, )(, ) i kz dezi aaaez ez e dzk c = ? ? ? ? （2-28） 2 (2)* 22 3223131 2 2 (, ) (,)() () () (, )(, ) i kz dezi aaaez ez e dzk c = ? ? ? ? （2-29） 2 (2) 33 1231212 2 3 (, ) (,)() () () (, ) (, ) i kz dezi aaaez ez e dzk c = ? ? ? ? （2-30） 如果介质对频率 1 、 2 和 3 的光波都是无耗的，即 1 、 2 和 3 远离共振区， 外腔谐振倍频单频红光激光器 10 则上面方程中的 (2) 32 (,) ? ? 、 (2) 31 (,) ? ? 和 (2) 12 (,) ? ? 都是实数。考虑到它们的 完全对易对称性，不难证明（2-28）式（2-30）式中的方括号都相等。我们可以引 入一个实数 (2) eff 表示它们，即 (2)(2) 12312 (2) 32132 (2) 32231 (,)() () () (,)() () () (,)() () () eff aaa aaa aaa = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2-31) 它是标量，给出了三束光波之间耦合强度的一个量度，称为有效非线性极化率，这 样一来，方程（2-38）式（2-30）式可以进一步简化为： 2 (2)* 11 32 2 1 (, ) (, )(, ) i kz eff dezi ez ez e dzk c = （2-32） 2 (2)* 22 31 2 2 (, ) (, )(, ) i kz eff dezi ez ez e dzk c = （2-33） 2 (2) 33 12 2 3 (, ) (, ) (, ) i kz eff dezi ez ez e dzk c = （2-34） 上面三式就是我们所要求的三波混频的耦合波方程。 2.2 聚焦高斯光束的光倍频 2.2 聚焦高斯光束的光倍频 本节将从上节得到的耦合波方程组（2-32）式（2-34）式出发定量的处理高斯 光束二次谐波的产生。如图2-1，设频率为 1 的 00 tem模高斯光束通过长度为l的倍 频晶体，产生频率为 1 2的倍频光，假设晶体对 1 光子和 1 2光子都没有吸收，在近 场，略去相位因子，场函数简化为 22 00 ( )exp(/)e rer=，即可认为是振幅按高斯型 函数变化的平面波；其中 222 rxy=+， 0 为基波腰斑半径。波束的总功率p可表示 为： 2 2 2 000 00 1 ( )(/2) 2 pcne rrdrdi = （2-35） 其中 0 i是光束中心的光强 2 000 /2icn e=， 2 0 /2是基膜激光束的有效面积。 我们分两种情况来讨论出射面处倍频光的强度及其倍频转换效率：一类是倍频效率 较低、基频光损耗可以忽略的情况（又叫小信号近似） ；另一类是倍频效率较高，基 第二章 外腔谐振倍频的一般理论分析 11 频光的损耗不可忽略。 图 2-1 光学二次谐波产生 a、小信号近似 按照（2-35）式积分即可写出基频光和倍频光的功率： 22 000 ( )(/4)pcne = (2-36) 2 2 202 00 1 (2 ) 2 pcnerdrd = (2-37) 小信号近似情况下，基频光基本上无衰减地通过非线性晶体，基波幅度在距离变化 时近似保持为常数，故令 1( ) 0 e z z = 。 那么三波耦合方程组（2-32）式（2-34）式变为： 1 (, ) 0 dez dz = （2-38） 2 (2) 33 12 2 3 (, ) (, ) (, ) i kz eff dezi ez ez e dzk c = （2-39） 此外，因输入场中不包含 3 (, )ez，故可设 3 0 (, )0 z ez = =。这时对（2-39）式积分就 得到倍频场： (2)2 1 31 3 ( )(0)(1) i k l eff e lee cnk = i (2-40) 引入有效非线性系数 eff d (2) 1 2 effeff d= 则 222 24 2 22 2 4 (2 )( ) sin 2 eff d l k l eec n c = ? （2-41） (2) 1 2 d= l 1 31 2= 外腔谐振倍频单频红光激光器 12 代入（2-37）式得到： 22 22 2 2 232 1200 8 sin 2 eff d l pk l pc n nc = ? （2-42） 定义倍频光功率 2 p与基频光功率p 之比为光倍频转换效率， 由 （2-36） 式和 （2-42） 式可直接得出倍频转换效率为： 22 2 2 232 1200 8 sin 2 eff d l pk l c n nc = ? （2-43） 根据以上两式，可得到结论： （1）在非相位匹配情况下（0k ?） ，倍频光呈周期性的变化，当条件 c lk=? 满足极大值时，称 c l为相干长度。当相互作用超过一个相干长度时，倍频光强下降， 在这种情况下使用更长的介质是徒劳的。只有当0k =?，即满足相位匹配条件时，倍 频光强随介质的长度呈平方关系，可以得到最有效的倍频转换。 （2）倍频转换效率不仅取决于基频光的功率，更重要的是取决于介质中基频光 的强度，为提高倍频效率必须采用聚焦以提高基频光的强度。 由此可见，欲提高倍频转换效率，就要求： （1）基波功率密度要大， （2）晶体 的非线性系数要高， （3）0k =?（相位匹配） ，此时使sin/1x x ， shg 达最大，且 2 shg l。 b、基频