流体力学第二版(蔡增基)第三章.ppt

流体力学,第三章流体动力学,3-1描述流体运动的两种方法,3-2流体运动的一些基本概念,第三章流体动力学,流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律。而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。,3-1描述流体运动的两种方法,连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。,拉格朗日方法着眼于流体各质点的运动情况，然后通过综合所有被研究流体质点的运动情况获得整个流体的运动。这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移。在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：,一、拉格朗日（Lagrange）法,x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t),式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同的流体质点。,(3-1),对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。a、b、c、t称为拉格朗日变量。,将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：,一、拉格朗日（Lagrange）法,一、拉格朗日（Lagrange）法,欧拉法，又称局部法，只着眼于流体经过流场中某空间点时的运动情况，来研究整个流体的运动。即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间t的函数，例如：流体质点的三个速度分量可表示为：ux=ux(x，y，z，t)uy=uy(x，y，z，t)uz=uz(x，y，z，t)ux，uy，uz表示速度矢量在三个坐标轴上的分量。x，y，z，t称为欧拉变量。,二、欧拉（Euler）法,拉格朗日法,欧拉法,研究对象是一定质点,研究对象是空间某固定点或断面,表达式复杂,表达式简单,不能直接反映参数的空间分布,直接反映参数的空间分布,拉格朗日观点是重要的,流体力学最常用的解析方法,三、两种方法的比较,在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。一、定常流动和非定常流动根据流体的流动参数是否随时间而变化，可将流体的流动分为定常流动和非定常流动。现举例说明如下：,3-2流体运动的一些基本概念,图3-1流体的出流,如图所示装置，将阀门A和B的开度调节到使水箱中的水位保持不变，则水箱和管道中任一点(如1点、2点和3点等)的流体质点的压强和速度都不随时间而变化；这时从管道中流出的水的形状也不随时间而变。但由于1、2、3各点所处的空间位置不同，故其压强和速度值也就各不相同。,一、定常流动和非定常流动,这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的流动，称为定常流动。,现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯曲。,一、定常流动和非定常流动,图3-1流体的出流,图3-1流体的出流,这种运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速度等)随时间而变化的流动，称为非定常流动。,一、定常流动和非定常流动,由上可见，定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标x、y、z的函数，而与时间t无关。在恒定流动中，欧拉法速度式表示为：,ux=ux(x，y，z)uy=uy(x，y，z)uz=uz(x，y，z),定常流动与非定常流动比较，少了时间变量t，研究问题要简单的多。实际工程中，不少非定常流动问题的运动要素随时间变化很缓慢，近似作为定常流动来处理。以后的研究，主要针对恒定流动。,一、定常流动和非定常流动,二、迹线与流线迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线，迹线的研究属于拉格朗日法的内容。,图3-2流线的概念,流线是某一瞬时在流场中所作的反映流动方向的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线，如图所示。,流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。,二、迹线与流线,(1)在定常流动时，流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零的点，流线可以相交。速度为零的点称驻点。(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。(4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。,流线的基本特性,流线方程,根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流线上的一微元弧,u为流体质点的流速,流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。,有,流线方程,三、流管、流束和总流在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。如图所示。,图3-3流管和流束,因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性。由于流线不能相交，流体质点不能穿过流管流入或流出。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。,L,流管以内的流体称为流束。当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限流线。在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如图所示。,图3-4有效截面,三、流管、流束和总流,有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的。,无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：（1）有压流动总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。（2）无压流动总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。（3）射流总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。,四、流量和平均流速单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以qm表示，其单位为kg/s、t/h等。由于微元流束有效截面上各点的流速v是相等的，所以通过微元流束有效截面积为dA的体积流量dqv和质量流量dqm分别为：dqv=vdAdqm=vdA,由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分别为以上计算必须先找出微元流束的速度v在整个流束有效截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是很难确定的。,四、流量和平均流速,在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。,若以表示平均流速，按其定义可得：,四、流量和平均流速,五、一维、二维和三维流动一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是x、y、z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维流动。当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流动参数在某些情况下，仅是x、y两个坐标的函数，称这种流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流动。,图3-5管内流动速度分布,如图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，既是半径r的函数，又是沿轴线距离的函数：即：u=u(r，x),工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即：u=u(x)。,显然这是二元流动问题。,五、一维、二维和三维流动,连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以得出结论：（1）若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。,3-3流体流动的连续性方程,二、微元流束和总流的连续性方程在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束如图所示。,图3-6流场中的微元流束,假定流体的运动是连续、定常的，则微元流管的形状不随时间改变。根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即1v1dA1=2v2dA2=常数dA1、dA2分别为1、2两个有效截面的面积，m2；,图3-6流场中的微元流束,v1、v2为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s；1、2为截面处的流体密度，kg/m3。,对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），积分得A1和A2为总流1和2两个有效截面的面积。即为一维流动积分形式总流的连续性方程。设和是总流两个有效截面l和2上的平均流速，总流连续性方程可写成,表示当流动为可压缩流体定常流动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。对不可压缩均质流体密度为常数，则有,该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速大。,【例3-1】有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面2-2处的平均流速为多少？【解】由公式得,3-4理想流体微元流束的伯努利方程,连续性方程只是从几何的角度研究了流体的特性，属于运动学方程，并没有反映力和运动的关系。动力学把物体的运动和力联系到一起，反映了力和运动之间的关系。我们利用功能原理推导流体的力和运动之间的关系式。,假设流体的流动满足下列几个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)质量力只有重力。,一、理想流体微元流束的伯努利方程,图3-7,在流场中取微元流如图所示。在元流上沿流向取1、2两断面。两断面高程为z1、z2，面积为dA1，dA2，流速和压强分别为v1、v2和p1、p2。,在时间dt内，断面1、2分别移动到1、2，整个流动过程中流体的机械能守恒。1断面上压力p1dA所作的功为：2断面上压力p2dA所作的功为：,设1-1，2-2流体的体积为dQv1-1流体具有的动能：1-1流体具有的势能：,外力所作的功为W=W1+W2,图3-7,2-2流体具有的动能为：2-2流体具有的势能为:,机械能的改变量为：U=T2+V2-（T1+V1）,所以：W=U即,两边同除以得,整理得,称为理想流体微元流束的伯努利方程。或称为理想不可压缩流体恒定流元流能量方程。,方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围是:,(1)理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动;(2)并沿同一流线（或微元流束）流动。在特殊情况下，绝对静止流体v=0，静力学基本方程。,二、方程的物理意义和几何意义为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。1、物理意义理想流体微元流束的伯努利方程式中各项的物理意义：z，表示单位重量流体所具有的位势能；p/(g)，表示单位重量流体的压强势能，称为单位压能；v2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度v运动时，所具有的动能为mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为(mv2/2)/(mg)=v2/(2g)。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。,位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数。但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。,2、几何意义图理想流体微元流束的伯努利方程式中，左端前两项的几何意义，在静力学中已有阐述，即z表示单位重量流体的位置水头，p/(g)表示单位重量流体的压强水头，v2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度v，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图所示。,图3-8总水头线和静水头线,因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。,3-5伯努利方程的应用,理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管为例，介绍它的测量原理和伯努利方程的应用。一、皮托管在工程实际中，常常需要测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量。要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图所示。,图3-9皮托管测速原理,v,B,A,Z,Z,在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。,这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为PB，速度为v。应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有,只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比计算出的要小，因此，实际流速为式中流速修正系数，一般由实验确定，=0.97。如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如图所示。,图3-9用皮托管和静压管测量气体流速,考虑到实际情况，,【例3-2】有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。,【解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出值,所以管内流量,3-6恒定总流伯努利方程,一、均匀流和非均匀流根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，否则称为非均匀流。,由定义可知在均匀流中，流线是彼此平行的直线，过水断面（有效截面）是平面。如在等直径的直管道内的水流都是均匀流。,均匀流,注意在均匀流中各流线上的流速大小不定彼此相等。在非均匀流中，流线或者是不平行的直线，或者是曲线，如图所示。一般非均匀流的过水断面（有效截面）是曲面。,非均匀流,非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）变流。,急变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,急变流,急变流,急变流,急变流,缓变流和急变流,流速的大小和方向沿流线急剧变化的非均匀流，称为急变流。,显然，缓（渐）变流的流线的曲率半径r较大，流线之间的夹角较小。因此，缓（渐）变流是一种流线几乎平行又近似直线的流动。缓（渐）变流的有效截面可看作平面，但是缓（渐）变流各个过水断面的形状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布图形也是沿程逐渐改变的。显然急变流流线之间的夹角较大，或者流线曲率半径较小，或者两者兼而有之。实际工程中许多流动不是严格的均匀流动。由于渐变流过流断面有如下性质，渐变流过流断面近似为平面；过流断面上压强近似的按静压强分布。因此渐变流可近似的按均匀流处理。,二、过流断面的压强分布,在缓变流断面上，各点的为常数，不同截面常数不同。,1,1,2,2,证明：,如图:垂直于流线取一微元柱体，在半径r方向应用运动方程,忽略惯性力，有：,对不可压流体积分,即在流线的法向，压强满足静压分布,三、实际流体总流伯努利方程,在实际流体流动中，由于粘性作用，流层间内摩擦力作负功会消耗部分机械能，造成流动流体能量的损失。,以表示元流1，2两断面间单位重量能量的减少，称为水头损失。则实际元流单位能量（或伯努利）方程式为,在如图所示的总流中，选取两个渐变断面，1-1，2-2，总流可以看做无数元流之和。,设元流的体积流量为,dQ=v1dA1=v2dA2,则在上述元流伯努利方程的等式两端同乘以gdQ可得单位时间内元流流过两过水断面的能量关系式：,总流能量方程就是元流能量方程在两断面上的积分：,总流能量方程式推导,积分式中共七项，按能量性质分为三类：,（1）势能积分：,在渐变流断面或均匀流断面上，,所以,（2）动能积分：,表示单位时间通过流体断面的动能。,用平均流速表示上式，则有：,但实际上并不等于,因此需要乘以修正系数：,称为动能修正系数。,值根据流速在断面上的均匀性决定，流速均匀分布，=1。一般流动取1.051.10。工程计算中常取1.0。,1，2断面动能表达为：,（3）能量损失积分：,表示单位时间内流过1-2流段，由于阻力做功损失的能量。,hl1-2为平均单位能量损失，则,总流能量方程式可表示为：,方程两边同除以gQ得：,恒定总流能量方程式，或恒定总流伯努利方程式。,四、总流伯努利方程的适用条件,（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以有急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。,1.如果总流有能量的输入或输出假设输入的单位重量的能量为H1则恒定总能能量方程式为：,若输出的单位重量能量为H0则恒定总能能量方程式为：,2.如果两断面间有分流或合流,在1-1断面和2-2断面间满足总流能量方程式,在1-1断面和3-3断面间满足总流能量方程式,两个总流能量方程式中的单位能量损失值不一样。,五、方程的物理意义几何意义,实际流体具有粘性，在流动过程中产生能量损失。即沿流体流过的路程，单位重量流体所具有的总机械能不断减小。,1、物理意义,2、几何意义,设单位重量流体从断面1-1流动到断面2-2所损耗的机械能为hl1-2，即能量损失，称水头损失。,理想流体总水头线,实际流体总水头线,hl1-2,3-7恒定总流伯努利方程的应用,恒定总流伯努利方程，在工程中广泛应用于流速、流量压强等的测量和计算，下面介绍文特里流量计的测量原理和总流伯努利方程的应用。一、文特里(Venturi)流量计,文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。,以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，2-2的伯努利方程,文特里流量计原理图,理想总流方程式。,由一维流动连续性方程,将式(2)代入到式(1)，整理得由流体静力学则上式表明，若A2，A1已知，只要测量出h，就可以确定流体的速度。流量为：,考虑到实际情况,根据实验确定，称为文丘里流量系数。,【例3-3】如图所示的虹吸管泄水，已知断面1-2及2-3的损失分别为hl1-2=0.6v2/(2g)和hl2-3=0.5v2/(2g)，试求断面2的平均压强。,解：取0-0面为基准面，列断面1，2的能量方程（取1=2=1）因1-1断面为水箱水面，较竖直管大得多，故流速水头可近似取0,因此可对断面1，3写出能量方程,由连续性方程可知：因d2=d1=d,所以v2=v3,解得,所以,带入（1)式得,【例3-4】由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成的管路如右图所示，已知：DA=0.25m,pA=7.85x104N/m2；DB=0.50m，pB=4.91x104N/m2，流速vB=1.2m/s，h=1m。试判断流动方向，并计算A、B两断面之间的水头损失。,解:,A断面能量,由连续性方程,B断面能量,流动方向是从A流向B,A、B两断面之间的水头损失：,hl1-2=9.19-6.08=3.11m,二、伯努利方程应用时特别注意的几个问题(1)选择基准面：基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。通常选在管轴线的水平面或自由液面。要注意的是，基准面必须选为水平面。(2)选择计算断面：计算断面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，速度可以视为零来处理。(3)求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。方程的压强应为