（理论物理专业论文）连续变量量子信息论的若干研究——量子变换理论的应用.pdf

摘要 本文利用广义线性量子变换理论( l q t t ) 这一有效的工具，对连续变量下 量子信息论的若干基础理论问题进行了研究，其主要内容包括： 把量子变换理论进一步推广到了具有超对称的量子体系，并给出了这一体系 的能级及超配分函数的解析表达式，这一结果可对研究杂化纠缠态的研究提供很 大的帮助。 在介绍了高斯纠缠态的产生及p a r k e r 等人对连续变量纠缠度计算方法的基 础上，我们利用l o t t 给出了高斯纠缠态和一类非高斯纠缠态纠缠度计算的一般 公式。 利用由l o t t ，导出了冯诺依曼熵，相对熵的计算公式，这些公式对计算混 态纠缠度带来了极大的方便。 在已有的工作基础上，我们给出了计算b u r e s 保真度公式的简单推导。应 当指出，我们的这一方法还可直接用来计算、t t e r s 等人提出的c o n c u r r e n c e 。 对主方程的求解进行了研究。利用超算符的分解定理，给出了求解含有s u ( 1 ，1 ) 或s u ( 2 ) 超算符生成元的一大类主方程的一般方法。利用这方法可以非常方便 地从任意给定的系统初态得到其密度算符的解析表达式，因此它为研究量子态的 退相干，非定域性动力学及纠缠分析等量子现象提供了行之有效的理论工具。 对空间非定域性作了分析。利用玻色指数二次型矩阵元公式，讨论了自旋为 l 的纠缠态的空间非定域性；利用本文给出的求解主方程的超算符方法，分别对 双模真空压缩态及杂化纠缠态的非定域性动力学演化作了细致的分析和讨论。从 对双模真空压缩态非定域性动力学的研究中，我们还得到了结论，即对于初态为 双模真空压缩态的体系，经与相阻尼热库相互作用后，其体系的量子态始终是纠 缠的。对杂化纠缠态的非定域性动力学研究中，利用几种不同的b e l l 算符，也 得到了一些有趣的结果。 在附录中给出了量子变换理论的一些主要结果。 a b s t r a c t i nt h i s d j s s e n a i o n ，b yu s i n gt h eg e n e r a l l i n e a r q u a l l t u mt r a n s f o m a t i o nt h e o r y ( l q t t ) a s a 1 1e 仃e c t i v et o o l ，w es t u d ys e v e r a lb a s i ct h e o r e t i c a lp r o b l e m si nt h en e l do f q u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o 阱t h em a i nc o n t e n t so f t h ed i s s e n a t i o na r ea sf o l l o w s ： w ef u n h e rg e n e r a l i z et h el q t tt os u p e r s y m m e t r i cq u a n t 啪t r a n s f o r m a t i o na r i d g i v e t 1 1 e e n e 唱ys p e c t m m a n dt h e s u p e r 】) a n i t i o n f u n c “o nf o ra g e n e r a l s u p e r s y m m e t r i cq u a d r a t i cs y s t e m t h i sr e s u l tc a np r o v i d eu sw i t hag r e a th e l pf o r s t u d y i n g t 1 1 eh y b r i de n t a n 9 1 e ds t a t e w 音j n l r o d u c et b eg e n e r a t i o no ft h ec o n t i n u o u s - v 捌a b 】ee n t a n g 】e ds t a t e sa sw e l l a st h em e t h o dt h a tw a sp r o p o s e db yp a r k e rp ，订，f o r c a l c u l a t i n gt h ee n t a n g l e m e n to f c o n t i n u o u s v “a b l es t a t e s w i t ht h e a i do ft h el q t t ，w ep r o p o s ea j la l t e m a t i v e m e t h o dt oc a i c u i a t et h e e n t a n g i e m e n te n t r o p y f o rc o n t i n u o u s v a r i a b es t a t e s w b d e r i v et h ef o n n u l af o rc a l c u l a t i n gt h ee n t a n 9 1 e m e n to f a n yg a u s s i a ns t a t e ，t h ef o r m u l a f o raw i d e rn o n g a u s s i a ns t a t ei sa l s oo b t a i n e d w i t ht h e h e i p o ft h e l q tt ，w ed e r i v et h ef o r m u l a ef o rc a l c u l a t i n gt h ev o n n e u m a n ne n t r o p ya n dt h er e i a t i v e e n t r o p yo f t h eq u a n t u ms y s t e m s t h ef o r m u l a e p r o v i d eu sw i t ha 印p r o a c hf o rc a l c u l a t i n gt h ee n t a n g l e m e n to f t h er e i a t i v ee n t r o p yf o r t h e e n t a n g l e ds y s t e m s ， b a s e do np r e v i o u sw o r k s ，w e p r o p o s et h es i m p i j f i e dm e c h o dt od e r i v et h ef o r m u i a f o r c a l c u l a t i n g t h eb u r e sf i d e l i t y o u rm e t h o dc a na i s o b eu s e dt oc a l c u l a t et h e “c o n c u r r e n c e ”p r o p o s e db yw o o t t e r sp f 日， t h i sd i s s e n a t i o n s t u d i e st h es o l u t i o nt o t h em a s t e r e q u a t i o n u s i n g t h e d e c o m p o s j t j o nt h e o r e mo fs u p e r o p e r a t o r s ，w ep r e s e n cag e n e r a 】m e t h o dt os o i wt h e m a s t e re q u a t i o n sw i t hs u p e r o p e r a t o rg e n e r a t o r so fs u ( 1 ，1 ) a n ds u ( 2 ) l i e a l g e b r a s w i t ht h eh e l po ft h i sm e t h o d ，t h et i m ee v o l u t i o no f t h ed e n s i t yo p e m t o r sf o rc e r t a i n s y s t e m s ，w h i c hh a v es u ( i ，1 ) a 1 1 ds u ( 2 ) s y m m e t r ) f ，c a nb ee a s i l yo b t a i n e df r o ma n y g i v e ni n i t i a ls t a t e t h e r e f o r e ，t h i sm e t h o dp r o v i d e su sw i t ha ne f r e c t i v et o o 】f o r s t u d y i n gt h eq u a n t 啪p r o p 叭i e ss u c ha sd e g e n e r a t i o n ，也ed y n a m i c so fq u a n t u m n o n l o c a l i t ya 1 1 de n t a l 唱1 e m e n t w ea n a l y z et h eq u a n t 哪n o n l o c a l i t yo fm eq u a n t 啪s t a t e s w i t ht h eh e l po f t h e f o m l u l ao fm em a t r i xe l e m e n t sf o rm eb o s o ne x p o n e n t i a iq u a d r a t i co p e r a t o r s ，w e d i s c u s st l l eq u a n t u m n o n l o c a l i t yf o rs p i n 一1e m a n g l e d s t a t e s u s i n gt h es u p e r o p e r a t o r m e t h o df o rs o l v i n gt h em a s t e re q u a t i o n ，w ed i s c u s sm e d y n a n l j c so fn o n l o c a l i t yi n d e t a i lf o rt h et w o m o d es q u e e z e dv a c u u ms t a t ea 1 1 dt h eh y b r i de n t a l l g l e ds t a t ei n t h e r r n a l r e s e o i r ，r e s p e c t i v e l y b ya n a l y z i n gt h ed y n a m i c so fn o n l o c a l i t yf o rt h e t w o - m o d es q u e e z e dv a c u u ms t a t ei nt h ep h a s e 出胁p i n g ，w ed r a wm ec o n c l u s i o nt h e f 0 1 l o w i n g ：at w o - m o d es q u e e z e dv a c u u m s t a t ei s a 量w a y se n t a i l g l e d i nap h a s e d a m p i r l gc h a n n e l f o rah y b “de m a r 培1 e ds t a t ei nat h e 啪a 1r e s e r v o i r ，w ea l s oo b t a i 力 s o m e i n t e f e s t i n gr e s u l t sb yu s i n g an u m b e ro fd i 行b r e n tb e u o p e r a t o r s t h em a i nr e s u i t so f t h el q t ta r eg i v e ni nt h e a p p e n d i x 致谢 本论文怒在我的导筛张永德教的授睾毒心指静下完成静。在藏，善兔自我尊敬 弱老雾器张永德教授表示羧诚挚瓣澎懑。感谢张老舞这嚣年柬对我在学习与科硒上 台辛茹酱的指导及多方蕊的关怀和照顾。张老师渊博的知识，敏锐的思维和严谨 的治学态度给我留下了深刻的印象，使我受益匪浅。我从张老师那里学到的不仅 仅是丰富的知识，严谨朴实的学风，还有做人的准则，他的座右铭“学闷好， 为久努，缺一不霹”格永久圭| 羹影确我静人生道路。 繇母钱辙羚老爆这甄年来在望三淫方瑟给予了我缀多的芙怪与照顾，使我褥以 顺利完成学业，在此表示深切的谢意。 本科研小组中，陈增兵博士在我两年的学习中给了我许多帮助和支持，他的 优秀品德和治学态度给我留下了很深的印象，在此衮示衷心的感谢。 奁，l 、经鬃，癸强副教授，郁霹爱薄士，穰广博士，拯涪，赵薄，赵梅垒，张 强，薮字翱等在课题进行中网我遂雩予过多次有藏的讨论并绘了我缀多舱帮助，赵 博在作图中提供了许多有意义的帮助，衣这碾并向他们表示感谢。 感谢华东师大马霄博士给予的许多支持，鼓励和帮助。 在这两年学习中，我夫入和几予给了我精神上的鼓励，生活上的关心藕学业 上翡支持，经得我能安心学习帮零喜磅，簿潋j l 曩餮l 完成学韭。在就，谨囱健翱致鞋 深澡的谢意。 最后，向所有关心过我、帮助过我和支持过我的人们致以衷心的感谢。 第一章引言 量子信息论 卜2 包括量子计算 3 及其实现 4 、量子通讯 5 、量子网络 和量子门、量子最佳拷贝机制、量子态退相干的抑制、量子远程传输、量子密 码等丰富内容，以及由其引起的对量子力学基础问题( 如量子纠缠、非定域性 和量子测量) 的重新审视和认识。可以说，量子信息论就是量子信息处理的科 学，它充分地利用了量子力学中的基本原理( 如量子态叠加原理) 和基本概念 ( 如量子纠缠) 来实现信息的处理，是经典信息论的革命性发展。虽然目前量 子信息论仍处于实验和理论物理学家的原创性研究阶段，但它为量子论的实际 应用带来了全新的更为广阔的前景。同时，通过与信息论的交叉，量子信息论 也为量子论提供了一个全新的视点与生长点。与以前应用量子力学完全不同的 是，在量子信息论中人们利用的是量子态本身，其基本任务是量子态的存储、 操纵、传输与读出。我们可以谨慎地预言，量子信息论的发展很可能会导致一 个新的量子技术时代。 在量子信息论中，把所研究的量子系统是作为一个更大系统的一部分来考 虑，甚至将量子系统作为一种人为操控的对象，作为一种信息载体和计算工具 来考虑。也就是说，所研究的量子系统和环境( 或外部系统) 之间存在着常常 是不可避免的、未知的或不必要知道的、有时又是人为外加的相互作用。出于 这样的量子系统将是开放的、不完全的，只是一个足够大系统的子系统，因此 出现了崭新的情况 6 ：1 ) 子系统常常是混念，状态之间的叠加是概率叠加；2 ) 子系统状态随时间的演化常常是非幺正的、不可逆的；3 ) 对大系统的测量在量 子子系统上经常表现为不是正交投影。注意到这些新特点，将会有助于对量子 信息论中基本理论的认识和研究，也更有利于拓展和深化量子论本身。 对量子信息论的理论基础的研究包括：量子纠缠、b e ll 不等式和量子非定 域性等量子论中的基本问题的研究。1 9 3 5 年，e j n s t e j n ，p o d o j s k y 和r o s e n ( e p r ) 发表了一篇题为c a nq u a m mm e c h a l l i c a l d e s c r i p t i o n o fp h y s i c a l r e a l i t yb e c o n s i d e r e dc o m p l e t e ? ，的文章 7 】。这一意义深远的文章把两个极为奇妙的现象 一量子纠缠和非定域性一引进到量子力学中来，并导致了旷日持久的争论 8 ，9 】 和大量研究工作的涌现。从e p r 开始，量子纠缠、非定域性及它们之间的关系 就成了极大的理论兴趣之所在。特别是b e l l 不等式 1 0 ，1 l 】或其推广一 c l a u s e r h o m e s h i m o n y h o l t ( c h s h ) 不等式 1 2 卜咱提出，使得原来只能停 留在哲学层面上的e i n s t e i n b o l l r 之争变成了一个可以从实验上加以定量检验的 问题，从而激发了一大批构思巧妙的实验工作。由于量子信息论的飞快发展， 新的“量子奥秘”层出不穷。现在，纠缠已成为量子力学定义性的特征，是量 子体系测量和退相干的潜在机制，它对理解量子经典间的分界至关重要 1 3 量子纠缠已经并正在吸引很多人的注意。应当强调指出，1 ) 按量子信息论 的观点。量子纠缠总是指不同粒子量子态之间的纠缠，不是指单个粒子不同自由 度的波函数之间的耦合；2 ) 它不是一个在某种表达方式下存在而在另一种表达方 式下不存在，仅仅依赖于态的表达方式的纯形式的东西，而是具有测量效应的 物理存在。事实上，它是两体及多体量子力学中重要的概念、与态叠加原理以 及量子测量的非定域性密切相关。它是量子力学中看似简单，但实际却十分深 刻目前尚未很好了解的问题。但对于两体量子系统纯惫这一最简单的情况，问 题已经基本弄清楚了。子体系之间有量子纠缠的最重要特征是，( 由测量造成的 塌缩可以知道) 子系统爿和b 的状态均依赖于对方而各自都处于一种不确定的 状态。这样一来，对一个进行测量必将使另一个产生关联的塌缩。而且，在纠 缠态中，粒子彳和口的空间波包可以彼此相距遥远( 任意远! ) 而并不重叠， 这时它们的自旋波函数仍会产生关联的塌缩：当爿系统因测量而发生塌缩时， b 系统必将发生相关联的塌缩。例如对态l 妒+ ) = 去 f o ) 。j o ) 。+ j 1 ) 。j 1 ) 。) 中的爿作测 量， 若爿的状态塌缩到f o ) 。jb 必为i o ) 。 测爿时_ 1 若爿塌缩到 1 ) 。j b 必为 1 ) 。 b 的这种关联塌缩是爿+ 占系统测量塌缩的一部分，因而它也是瞬时的、非定域 的、不可逆的、斩断相干性的。可以说，纠缠态的关联是一种纯量子的非定域 2 豹关联，怒一秘“超窆阈”豹关联! 这是量予态塌缠的 # 定域性质稠量予纠缠 相结台表现出的奇妙性质。 爨子鲥缝态之繇戬孳| 超人稻懿兴趣在于它豹极端重要性：第一，在测量塌 绩中糍们表现出季中转定域的关联，一墨孛没蒋经典对应的、趣窆阆灼关联。这 不仅具有深远的科学意义，而且在量子通讯和量予计算中具有潜在的巨大技术 价值：第二，量子系统与环境发生的难以避免的量子纠缠正是量子退相干 璧子信息衰遮的主要方式。可醣说，这是量子信意论和蹩子计算税发展途中酶 主要障碍。 还应当指出，薰子鲻缠必体现为粒予态之闽的关联，僵关联不等予鲻 缠。铡如，态l t ) 。 t ) 。，它表明农a 彝8 熬基旋取趣之潮套关联，但未纠缠， a 和转均处于自旋确定态。 在量子纠缠的范畴内，纠缠纯纯( 袋浓缨) 移纠缠黪产生茺疑怒嚣个重要 两基本的问题。出于不可避免的系统环境耦会，一个e p r 纠缠对的纠缠度将 不断“降级”。这对在实际中应用纠缠这一量子资源而言是非常不利的。为克服 纠缠的降级，b e n n e 髓等人提出了纠缠纯化的方案f 1 4 】。在b e n n e t t 簿人的方案 中要求量子c n 0 下操体，餐嚣蔚安验实琥的c n o t 静精度根本无法傲现实的翻 缓缝化。最近，溃建传等人f l 嚣建汲了利爰线经光学进弦缨缠缝纯鹣瑟方案。 出于线性光学元件的寓精度，该方案使得纠缠纯化的实骏实现成为可能。正是 由于系统与环境的不可避免的耦合，导致所研究量子系统的相干性将随时间衰 减，这一遥槽干现象是实现鬃子计算机的主要困难。而为了使量子计算成为现 突，蓠先要尧驻鹩海嚣就是瀵稻子。繇戳环境( 燕簿) 对量子予系统诱导的遥 鞠于【1 6 】，毂定域性动力学等量子现象农就成为量子诗舅中兹一令热f j 话题， 对此，我们通过对主方程 1 7 w 19 】求鳃的研究，提出了求解类主方稷的超算符 方法，该方法为研究量子系统与环境相互作用时的非定域性动力学提供了方便 的工具，也为量予许算的耪理实现绳供了可参考的躞论依据。 无论对爨予力学基本问题的研究还怒对量子信息论的实际戍用来说，纠缠 的产生都具有重要的意义。目前，已有多种物理体系被建议用于产生纠缠态， 其中部分体系已有实验实现，如离子阱 2 0 、原子一腔 2 1 、b 0 s e e i n s t e i n 凝 聚体 2 2 、光学驱动b o s e e i n s t e i n 凝聚体 2 3 及中性原子 2 4 。不过，目前 最成熟的纠缠粒子源是极化纠缠双光子源 2 5 。利用该极化纠缠双光子源， b o u 帅e e s t e r 等人 2 6 和潘建伟等人 2 7 分别实现了三光子极化纠缠态和四光 子极化纠缠态。最近，本小组还建议了利用单光子源和线性光学元件来实现可 控制的光子极化纠缠态产生 2 8 。 可以看出，量子纠缠和非定域性是两个十分奇妙的量子现象。有人认为， 量子纠缠既可以用空间非定域性来定义，也可以用关联的量子信息来定义，并 且认为两种定义是统一的 2 9 。其实，这很可能只是对简单的q u b i t 系统是如 此。就一般的量子系统而言，它们密切相关但决非是同一件事。非定域性即便 在单个粒子波函数的测量塌缩中也存在，而量子纠缠则充分表现在处于空间不 同位置的不同粒子测量时发生的关联塌缩。两个粒子如不存在量子纠缠( 可分 离) ，彼此之间就可存在任意相位差，于是将能容忍隐变数的描述。与此相应， 也就不存在b e l l 定理意义下的空间非定域性。就是说，就不同粒子之间而言， 纠缠度为零的量子态将不会体现出空间的b e l l 非定域性。然而，违背b e u 定 理程度最大的态，其纠缠度并不一定为最大。这说明量子纠缠和非定域性之间 的差别。对量子纠缠的分析，就两体纯态这最简单的情况问题已经得到解决， 对多体纯态有了一些结果，对混态情况问题还远未解决。总的来说，量子纠缠 的分析呈现出相当复杂的局面。至于空间非定域性问题，理论方面已有无数工 作，但几乎都集中于b e 儿非定域性这一角度，迄今甚至缺乏对空间非定域性的 一种基本的、普适和定量的度量；实验方面，可以认为，著名的t e l e p o r t a t i o n 和s w a p i n g 实验 3 0 ，3 1 是对空间非定域性奇妙性质直接实验研究的开端。 以上所提到的有关量子信息论中的基本问题虽然其提出和研究已有几十 年的历史，但由于近年来量子信息论的迅猛发展，这方面问题的研究工作又获 得了很大的推动，认识不断深化，这些研究在量子信息处理中起到了积极的作 用。最初的一些量子信息处理方案都是针对离散变量( 如自旋和极化) 的量子 4 体系( 即量子比特) 提出的。近几年，连续变量( 如位置和动量) 的量子信息 处理方案引起了广泛的关注。连续量子变量体系的t e l e p o r t a t i o n 【3 2 】、纠缠交换 【3 3 】、量子克隆 3 4 】、量子计算【3 5 】、量子纠错 3 6 1 、纠缠纯化【3 7 等被相继提出； 本科研小组还提出了新的用“杂化”( 连续变量与离散变量) 纠缠实现量子信息 处理的方案 3 8 】。经过数十年的发展，量子光学 1 8 ，1 9 】已经是一门非常成熟而又 充满活力的科学。它为检验量子力学的一些基本问题提供了必不可少的精密手 段。连续变量的量子信息处理的一个突出特点是：它可以在量子光学实验中利 用线性光学元件( 如相移及分束器) 操纵压缩态来实现 3 6 】；线性光学元件易 于实现较高效率和精度的量子操作。因此，量子光学为各种连续变量量子信息 处理方案提供了可行的手段。但在b e l l 不等式的实验检验中( 3 9 】，人们大多使 用那些具有离散量子变量的量子系统。运用非简并光学参数放大过程，人们可 以产生双模压缩真空态，从而实现连续量子变量( 如位置和动量) 的 e i n s t e i n - p o d o l s k y r o s e n 佯谬。在此基础上，连续量子变量系统的量子纠缠和非 定域性及它们之间的关系就成了极大的理论兴趣之所在。本文将就连续变量系 统的若干问题展开讨论。 线性量子变换理论( l q t t ) 4 0 一4 4 】是近十年来以张永德教授为首的本科研 小组创立的，已经证明，利用这一理论，对多模f o c k 空间，位型空间及场论中 诸多物理量的计算已充分显示了它无可比拟的优越性，如配分函数 4 5 ，指数 二次型矩阵元【4 6 】，能级与波函数【4 7 4 9 的计算以及量子场论中的分立对称变 换研究( 5 0 】等。量子信息论这一新兴学科的诞生又为l q t t 的应用带来了更广 阔的应用前景，我们发现量子信息论中涉及的许多量子操作，如验证b e l l 不等 式的幺正变换 5 1 ，纠缠态的产生【5 2 - 5 8 】，主方程中的超算符影射等都可归结 为广义的线性量子变换。因此，本文将充分利用这一行之有效的工具，对连续 变量下的若干问题，如量子纠缠，非定域性及非定域性动力学，主方程的求解 等进行详细的讨论。 本文包括了作者最近科研工作的主要部分。其结构如下。第二章，先简单介 绍量子变换理论的基本理论，然后，将这一理论推广到了具有超对称的量子体 系，使玻色子和费米子可在同一框架下进行变换，由此绘出了这体系的能缀 及超鹦己分函数的解析袭达式，这一结果对杂化纠缠态的研究提供了很大的帮助。 第三章，我们利用由l q t t 给出的配分函数公式，导出了冯诺依曼熵，相对熵 以及尚斯籍缠态和一类菲商斯鲥缠态绸缠度计算靛一般公式。第褡章，利弱 l q l t 极冀麓法缝导线了8 瓣s 缳真痰瑟9 】翡计算公式。第五睾，我们发震了 触6 v a l o a 8 u i i a r 6 0 】等人豹方法，提出了求解大类主方程的越算符方法，这一 方法为研究量子态的退相干，非定域性动力学及纠缠分析提供了行之有效的理 论工矮。第六章，对空问非定域性及双模压缩真空态的非定域性作了介缁，然 后秘稽第纛章给蹬的求解烹方程鼢超葬符方法，分羽对粳穰鹾缩冀空态缀杂化 纠缠态豹j # 定域性动力学演亿嚣了缨致约分掇农讨论。第七章是对以上凌容豹 总结井对将来进步的研究提出展望。最后，我们在附袋中，给出了l o t t 的 些主要的常用结果。 6 第二章量子变换理论概论 多模f o c k 空间广义线性量子变换理论是张永德教授为首的本科研小组自 1 9 9 3 年以来创建的，该理论是保持f o c k 空问中产生算符和湮灭算符不变为唯 一前提的量子变换。它已经概括和延拓了以往众多互不相干的变换，如 b 0 2 0 l i u b o v v a j a t i n 变换、空间转动变换、分离对称变换、定域规范变换及超对 称变换等。下面先对这一理论的基本内容作一简要总结，然后，详细介绍玻色一 费米混合体系的量子交换以及由此导出的超配分函数。 2 1 多模f o c k 空间广义线性量子变换的基本理论 4 0 4 4 】 2 1 1 玻色体系 引入l q t t 中的基本算符 a ；( 日+ ，磊) = ( 口，口：，口l ，口。)( 2 1 ) 它们满足如下对易关系 酬刮而= ： 眨z ， 由满足( 2 1 ) 式的算符和相应的真空态l o ) ( q i o ) = o ( f = 1 ，? ) ，( o i o ) = 1 ) 决定 的表象称之为玻色表象。 定义如下的l q t t 变换 人三( 万7 ，苟) = u a u = a 肘+ 三 ( 2 3 ) 这里m = ( 善善) 为2 刀x 2 力复矩阵c 月，e c ，。分别为四个胛胛矩阵， = ( 后+ ，) 为2 ，z 维复矢量。由变换后对易关系不变可知，三可以任意选取，而 m 为复辛群s 。( 2 胛，c ) 中的元素，即满足条件 施口m = 尬口肘= 口( 2 4 ) 按( 2 3 ) 式定义的变换c ，称为一个玻色子线性量子变换，其中的变换，满足唯 7 一牲翘乘法牲，显( 2 3 ) 式孛黔每一个变换拶对应繁一个出槽瘢豹荔，口t i = 酲 | 9 ，e | 决定款玻色衰象。必须攒出的楚，这里的变换势没奄簧教扩和群互必 愿米共压关系，艨以交换可以是非幺蕞的，这正熙对变换，约限制最小所至。 因此，这变换u 构成了复辛群s 。( 2 张，c ) ( 体系的最大对称群) 在阳模玻色予 f o c k 空间的一个射线表示，其它的操作都是此群壁的一个子群。如粜u 是幺正 的，则有一= c + ，b = d + ，七= ，这时的矩阵 除了是辛矩雕外，同时还是一 个负幺正矩阵( 即肘一= m “) 。也就是说，所有多模玻色子f o c k 空间的幺正 变换算符构成了复辛群中负幺正予群的一个射线表示。 从( 2 3 ) 式给出的量子变换，可以由瓶阵m 求得变换算符，的显示表达 式，绞由露知的秽得潮辛矩阵肼的表示，这是l q t t 的主簧内容。例如变换 算餐移( 设铷) 熬三耪不溺形式( 磐逮豢数形式，正矮帮爱歪援乘积彤式) 分别为 x 啦搬s 天卜机娜s 天p 吡沙) 蝴= 志= e x 程舳s x ： 2 s ， 沙击+ e x p 心舳e 天 + 这里的符号： ：，：分别代袭正规莱积和反正溉乘积，且= p ，n 为负 厄米矩阵，满足琶口帮= 舰e ，其中矩阵m 和其逆肼- 。( 三? 3 的映射分 别为， 烈构。( ，；1 ，三娑) 。泓= ( 二：乏j 鸳 e z 固 其中短阵d e 一和0 一秀及彳、肪廓 为对称矩阵，即， d 0 = c 一1 舀，0 1 蓉= b c 一，藏：4 1 d 、j 豆。鲥 从公式( 2 5 ) 、( 2 6 ) 及l q t t 的基本公式( 2 3 ) 可以直接碍出变换算符u 甚 的逆u 一1 之正规和反正规乘积表达式。例如，只要将u 的正规乘积表达式中的 矩阵作如下变换：爿j c ，石一一d ，蓉斗一b ，0 一j ，便可得到u 一1 的正规乘 积形式，即 ( 尹k 击e x p e a d ( 圹1 ) e 天 ： ( 2 7 ) 2 1 2费米体系 费米体系的l q t t 定义为 a = 姒u = 八m( 2 8 ) 这里基本算符a s ( 6 + ，f ) = ( 耳，醵，6 l ，6 。) 满足反对易关系 酬刮而= ( 。， 由变换后对易关系不变，可知矩阵m 为复费米群，( 2 疗，c ) 元素，满足如下关系 j 占：一删，西0 = 一c d ，c 爿+ 6 百= ，( 2 1 0 ) 即 施，m = f ( 2 1 1 ) 与玻色情况相同，上述变换算符u 也具有唯一性和乘法性。当u 是幺正算符时， 由其生成的矩阵m 除满足费米群性质外，同时还是一个幺正矩阵，显然，多模 费米子f o c k 空间的所有幺正变换构成了复费米群中幺正子群的一个射线表示。 变换算符u 的几种显示表达式为， x 啦僦f 天卜阻c 蛳斗刑刑 泸k 志e x p e a d ( 懈e 天 ： ( 2 1 2 ) 批击玲程仙( 飓天 ： 9 这里的d ( m ) ，d ( m 一1 ) 与( 2 6 ) 式有相同的定义，但注意这时矩阵m 中的各复 矩阵有下列反对称关系 j 百= 一删。西0 = 一c d ，厨= 一爿一1 d ，0 1 百= 一b c 一1 ( 2 1 3 ) 以上即为l q t t 的基本理论。将此理论作进一步推广，使其玻色子和费米 子可以在同一框架下进行变换，便可得超对称的量子变换理论。将此理论应用 到玻色费米混合体系，可以研究量子系统的超对称解，即下一节我们要研究的 内容。 2 2 玻色一费米混合量子系统的配分函数 6 1 】 众所周知，配分函数是量子统计中的一个最基本的物理量。因为一旦求得 系统的配分函数后，就可由此求得诸如系统的总粒子数平均值，内能及外界对 系统的广义作用力等基本的热力学函数，从而确定系统的全部热力学性质，因 此，对配分函数求解的研究无疑有着积极的意义。文献 4 5 对玻色体系及费米 体系已分别给出了配分函数的解析表达式，对研究系统的统计特性提供了极大 的方便。最近，我们又把这一方法应用到玻色费米混合体系，从而导出了这 系统的配分函数的解析表达式和能级，从而进一步丰富和发展了原有的量子变 换理论。并且我们发现，这些公式在量子信息论这一新型学科中同样有着广泛 的应用。例如，可以用这些公式非常方便地求出冯诺依曼熵，纠缠度及b u r e s 保真度等重要的物理量。 对于具有玻色一费米相互耦合的超二次型混合体系 6 2 6 4 】。文献 6 2 通过 引入g r a s s m a n 数，首次提出了将两能级原子与单模光场相互作用的j c 模型用 最简单的单模玻色一费米子相互耦合的超二次型系统来描述，称之为超j c 模 型。这样处理的优点是，一方面，在耦合强度较弱的情况下，利用g r a s s m a n 数 的特点，可以自动地截断到一级项，因此，为一级近似求解提供了极大的方便； 另一方面，为求解j c 模型中被略去的那些项( 例如虚光子过程) 首次提出了 种超对称量子变换的方法，这也是该文献的主要目的。如果将文献 6 2 】的方法 l o 推广到m 个两能级原子与h 模光场相互作用情况，便可得所模玻色子与，? 模费 米子相互作用的超二次型系统 6 1 】，m 个两能级原子与珂模光场相互作的 h 锄i l t o n 量由下式给出， j v = 叱6 以+ e 盯；+ ( g 肚仃：“+ 向t c ) ( 2 1 4 ) i = j= 】 式中心是第i 模光场的频率，玻色算符酷( 仇) 代表第七模光场的产生( 湮灭) 算符，g 础是耦合常数，系数e 。是第个原子的能级，原子跃迁算符 吒si e ) 。( g f = ( 吒) + 满足下列对易关系 k ，巧j j ：一毛，吒，k ，巧；j = 巴，或 ( 2 1 5 ) 按照文献 6 2 的做法，做下列替换， 仃；2 专( 彤厶一1 ) ，g 肚g o2 ， f 2 1 6 1 o j = f ：，o j = ， 则( 2 1 4 ) 式可成为超对称二次型 月成 日= 配6 t + e ，疗厶十蟛6 。+ 地) ( 2 1 7 ) = j= l 上式中露( 厶) 为费米产生( 湮灭) 算符，曰础应视为反对易算符( 也与费米算 符反对易) ，仍为c 数。将( 2 1 7 ) 式写为更紧凑的形式，即 膏= 6 + h o 6 + ，+ h ”，+ + q + 6 + 6 + q 厂( 2 1 8 ) 式中的费米算符+ = ( i + ，) ，玻色算符6 + = p l + ，) ，”( ( “) 是 n ( 棚x 州) 阶厄米矩阵，q 是埘门阶费米矩阵( 即由元素为g m s s m a n 数组成 的矩阵) 6 5 。 下面我们将给出( 2 1 8 ) 式所描述的超二次型系统的配分函数的解析表达式。 为此，引入以下记号， 八拐 ”= ( 6 + ，厂+ ) ( 2 1 9 ) 它们满足对易反对易关系， a 峙】f = a _ a 名一( 一i ) 如和a 名a 。= 以b ， ( 彳，曰= 】，2 ，胛+ 所) ( 2 2 0 ) 其中， 占。，口= 。胛芝三j ：量i ：匕， c z z ， 6 一，口一1 1 ，( 胛 o 时，体 系的密度算符为， p 2 ( ， 0 ) = p 一疗2 p l p 疗f ， ( 4 2 6 ) 疗：= 圭劫+ 三焱+ 触- 尬 ( 4 2 7 ) 这时，其保真度的计算公式为， ，：( z ( 卢渺p 一；矽一p 一腑：，。一硒。p 脯：，p 一；所t ) 2 ( 4 2 8 ) 此时同样可用f 4 2 2 1 式计算出( 4 2 8 ) 式的结果。利用线性量子变换理变换关系， 毒 可得 瓴小粕骆如k v l ：足f 7o 足 ，： 1 l o， 。 00 1o 01 o丑乎 ( 4 2 9 ) 于是，得( 4 2 8 ) 式的保具厦为， 4s j n h 4 垂 f = f 丢 ( 4 3 0 ) 。刊2 式中，由下式决定， c o s h r 2 志协嘲圳c o s ( 2 r 瓜m 2 ( 1 叫c o s 而) + c o s h 2 6 6 - 1 4 旯2 一五2 ( 1 + 五) c 。s ( 2 f 厉i ) 一五2 ( 1 一五) c 。s ( 2 f 打万) ) 】 上面我们用量子变换理论导出了b u r e s 保真度的解析表达式，其导出过程 非常简洁，本方法的优越性与文献8 4 1 相比是一目了然的。 柏 第五章具有s u ( 2 ) 或s u ( 1 ，1 ) 对称性的主方程求解 在诸多领域中，如量子光学 1 7 1 9 】，粒子物理 9 0 】，量子测量 9 l 】及量子信 息论处理中都要涉及到对某一开放系统的研究，而这一开放系统的密度算符所 满足的运动方程即为主方程，它与描述封闭系统的薛定谔方程处于等同的地位。 由于通过求解主方程可获得该开放系统的所有信息，因此，研究主方程的求解 1 7 1 9 ，9 0 9 5 】无疑有着极为要的意义。例如，众所周知的c 数福克- 普朗克方程 方法【1 7 1 9 】，热场动力学( 刘维空间) 方法 9 2 9 5 为研究某一力学量( 如粒子 数，振幅平均值等) 的运动方程提供了极大的方便。然而，随着量子信息论这 一学科的不断发展，量子态的纠缠与非定域性愈来愈引起人们的注意。最近文 献【6 0 】在研究辐射场在单模腔场中的主方程求解时，发现原有的这些方法，难 以从己给的任意初态得到该量予系统密度算符的解析表达式，所以文献 7 3 】提 出了超算符的方法。由于这一方法容易得到密度算符的解析表达式，因此可用 来研究量子态的非定域性动力学。这确是一个极为有用的方法。但这一方法仍 存在以下不足：其一是由于该方法没有给出严格的s u ( 2 ) 李代数的对易关系，所 以在确定分解系数时需求解这些系数的微分方程，其二，该方法没有进一步揭示 主方程中超算符的某种李代数对称性( 如s u ( 2 ) ，s u ( 1 ，1 ) 等) ，而在量子光学及量 子信息处理中很多体系主方程中超算符具有这种对称性 9 6 9 9 。为此，在文献 【6 0 】的基础上，我们进一步发展了这一超算符的方法。用我们的方法 1 0 0 】，无 需求解微分方程便可确定分解系数，并且可以用来求解一大类量子体系的主方 程。本章主要介绍这一超算符的主方程求解方法，先介绍文献f 6 0 1 的方法，然 后介绍我们提出的方法。 5 1 密度算符的主方程一“n d b l a d 方程 5 1 1 密度算符的演化，超算符f 7 7 j 将量子体系爿与环境e 区分开，若只局部地对进行观测这时量子体系爿的 密度矩阵n 的演化将是非么正的，现在推导这一演化表示。 4 l 设环境处于基念i o ) 。，由于体系一与环境e 一般会有各种不可控制或无 法精确考虑的多种因素相互作用，它们会造成4 + e 这个复合体系的量子纠 缠，因此，这复合体系的时间演化算符不可能写成直积的形式，即 。( f ) 乩( f ) o ( ，) a 这时若初态为一( 0 ) 固f o ) 。( o ，经r 时间演化后，将 成为 p 。( f ) = u 。( f ) b 。( o ) i o ) 。( o 上，玉( f ) ( 5 1 ) 对环境e 部分求迹，可得子体系爿的约化密度算符为， 几( f ) = u 。( f ) b 。( o ) 。o ) 。( o l p 知( f ) ) = ，似p 。( f ) 必。( o ) 圆j o ) 。( o i p 知( ，) ) 。 ( 5 2 ) 式中的 ) 。 是环境哈密顿量的一组正交归一基。如果令 肘，( ，) = 。( u 。( ，) j0 ) 。， 则( 5 2 ) 式可写为， 几( f ) = 肘，( f ) 几( o ) m ：( f ) z $ ( 几( o ) ) 。 式( 5 3 ) 中定义的算符肘。o ) 是作用在爿上的一组算符 u 。( ，) 及环境e 的一组基 d ，j 所决定 肘：( ，) m ，( ，) = 1 。 ( 5 3 ) ( 5 4 ) 它们由演化算符 称为k m u s 算予，它满足如下性质 ( 5 5 ) 出演化算符u 一一( f ) 的么正性，可以验证这一性质， ，：( f ) m ，( f ) = 。( o p 。( 叫) 。( c ，魏( ，) l o ) 。 ! ：( oj u 。( ，) u 盏( ，j 。) 。：l 。 5 6 由式( 5 4 ) 可以看出，该式所所给出的时问演化定义了一个超算符$ ，它描述从 一个算符到另一个算符的线性变换。利用( 5 5 ) 式可以验证几( f ) 确为密度算 符，因为 第一，p 。“) 是厄米的； 第二，几( ，) 是单位迹的，即 以办( ，) = 吒阻，( ，) 以( o ) 吖：( ，) = n 阻：( ，) 肘，( f ) n ( o ) j = 以 莓瞳：c ，肘，c ，仍c 。冯