（应用数学专业论文）非光滑系统的初步研究.pdf

摘要 在实际工程与力学中往往存在大量碰撞、冲击、干摩擦、可变刚度、开关、 阀值、脉冲调制控制、数字控制等非光滑因素以及噪声等随机因素。非光滑动力 学的研究成为一个重要的，富有挑战性的研究课题。本文把一些光滑动力学的理 论推广应用到非光滑系统中，对非光滑系统的动力学行为进行了初步的研究，主 要的研究内容如下： 1 通过引进平均约束面和平均跃变方程对随机约束系统的约束条件进行处 理，把研究随机光滑系统倍周期分岔的c h e b y s h e v 正交多项式逼近的方法运用到 随机非光滑系统中，数值研究表明随机d u f f m g 单边约束系统同样存在丰富的倍 周期分岔现象，c h e b y s h e v 正交多项式逼近是研究带有约束的随机非光滑动力系 统的有效方法。受随机因素的影响，随机系统的倍周期分岔是不同与确定性系统 的。利用正交多项式研究此类非光滑非线性系统在现有文献中还未见到。 2 基于非光滑线性系统研究的基础上，借助一种非光滑变换，引进狄拉克函 数，把随机单边约束非线性系统转化为光滑随机非线性系统，进而运用拟保守平 均方法得到转换的光滑随机系统的平稳响应。利用逆变换得到原系统的平稳响 应。通过近似解析结果与数值仿真结果的比较证实这种转换方法在研究非光滑非 线性随机系统中的有效性。 3 基于文献 8 的工作，借助不连续映射，构造了p o i n c a r 6 映射，把单边约 束系统的周期解问题转化为非线性常微分方程的边值问题，结合打靶法研究了单 边约束非线性系统的周期解、周期解的稳定性和一些经典的分岔等动力学行为。 数值研究表明，非光滑系统的打靶法，可以很方便的求得系统高精度的周期解， 特别是不稳定的周期解，这是直接数值积分很难得到的。同时，我们对单边约束 d u f f i n g 振子多个吸引子共存以及经典分岔行为进行了研究。 关键词：非光滑动力系统，随机d u f f i n g 系统，c h e b y s h e v 多项式，随机平均法，打 靶法稳态概率密度，周期解，稳定性，分岔 a b s t r a c t t h e r ea r eap l e n t yo fr a n d o ma n dn o n - s m o o t hf a c t o r si na c t u a le n g i n e e r i n ga n d m e c h a n i c s = s u c ha si m p a c t s 、c o l l i s i o n s ，d r yf r i c t i o n s ? v a r i a b l es t i f f n e s s j s w i t c h ? t h r e s h o l d 、i m p u l s ec o n t r o l 、n u m e r i c a lc o n t r o la n ds oo n t h es t u d yo fn o n s m o o t h d y n a m i c si sb e c o m i n ga ni m p o r t a n ta n dc h a l l e n g eo n e i nt h ep a p e rs o m et h e o r i e s a b o u ts m o o t hd y n a m i c sh a v eb e e ne x t e n d e dt ot h es t u d yo f t h en o n - s m o o t hd y n a m i c s ， a n dt h e n ，t h ed y n a m i cb e h a v i o r sw e r e e x p l o r e d ，i n c l u d i n g s e v e r a l a s p e c t sa s f o l l o w i n g ： f i r s t l y , t h ec o n d i t i o n so fc o n s t r a i n ta r et r a n s a c t e db ym e a n so ft h em e a n c o n s t r a i n tp l a n ea n dt h em e a nj u m pe q u a t i o n ，b yw h i c ht h em e t h o do ft h ec h e b y s h e v p o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o nu s e dt oe x p l o r ep e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o no fs t o c h a s t i c s m o o t hs y s t e m s ，i so p e r a t e di ns t o c h a s t i cn o n s m o o t hs y s t e m s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s s h o wt h a tp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o ne x i s t si ns t o c h a s t i cd u f f m go n e s i d ec o n s t r m n t s y s t e ma ss a m ea si ns m o o t hs t o c h a s t i cd u f f i n gs y s t e m ，f u x t h e r m o r e ，c h e b y s h e v p o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o ni sae f f e c t i v em e t h o di ne x p l o r i n gd y n a m i c a la c t i o n so f s t o c h a s t i cn o n - s m o o t hs y s t e m t h e r ea r ed i f f e r e n c eb e t w e e ns t o c h a s t i cs y s t e m sa n d d e t e r m i n i s t i cs y s t e m sb e c a u s eo f t h er a n d o mf a c t o n s e c o n d l y , t h es t a t i o n a r yr e s p o n s e so fn o n - l i n e a rs y s t e m sw i t hu n i l a t e r a l c o n s t r a i n t sa r es t u d i e db yu s i n gt h eq u a s i c o n s e r v a t i v ea v e r a g i n gm e t h o d b ym e a r l s o fan o n s m o o t hv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o na n dt h ed i m cd e l t af u n c t i o n ，t h er e s p o n s e p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n sa r eo b t a i n e da n a l y t i c a l l y m e a n w h i l e ，t h et r a n s f o r m a t i o n m e t h o dw a sv a l i d a t e dc o m p a r i n gw i t hn u m e r i c a lr e s u l t s t h i r d l y , b a s e do nt h el i t e r a t u r e 8 】，t h ep o i n c a r 6m a po fn o n s m o o t hs y s t e mw a s c o n s t r u c t e db yt h ed i s c o n t i n u o u sm a p ，a n dt h e n ，t h ep r o b l e mo fp e r i o ds o l u t i o n so f 1 1 0 1 1 一s m o o t hs y s t e mm t hu n i l a t e r a lc o n s t r a i n t sw a st r a n s f o m l e dt ot h eb o t m d a r yv a l u e p r o b l e m t h ed y n a n a i cb e h a v i o r si n c l u d i n gp e r i o ds o l u t i o n s 、s t a b i l i z a t i o na n d l 】 b i f u r c a t i o nh a v eb e e ne x p l o r e db ym e a n so fs h o o t i n gm e t h o d n u r n e r i e ns i m u l a t i o n s s h o wt h a tt h es h o o t i n gm e t h o do fn o n s m o o t h s y s t e m ss u p p o r t sh i g h e rd e g r e eo f a c c u r a c yo f p e r i o ds o l u t i o n s ，e s p e c i a l l y ，c o u l de x p l o r es o m eu n s t a b l ep e r i o ds o l u t i o n s c o m p a r i n gt ot h ed i r e c t l yn u m e r i c a li n t e g r a t i o n a tl a s t ，t h ec o e x i s t e n c ep h e n o m e n o n o fs e v e r a la t t r a c t o r sa n dc l a s s i c a lb i f u r c a t i o n so fd u f f r a go s c i l l a t o rw i t hu n i l a t e r a l c o n s t r a i n t sw e r e e x p l o r e d k e y w o r d s ：n o n s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m s ，s t o c h a s t i cd u f f i n gs y s t e m ，c h e b y s h e v p o l y n o m i a l ，s t o c h a s t i c a v e r a g i n g ，s h o o t i n gm e t h o d ，s t e a d yp r o b a b i l i t yd e n s i t y , p e r i o d i cs o l u t i o n ，s t a b i l i z a t i o n ，b i f u r c a t i o n 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：力蝣 词年1 月西e t 指导教师签名： 沙7 年岁月万日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：2 垦兰笠： 狮7 年z 月酉日 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 非线性科学是一门交杂性很强的基础科学，被誉为2 0 世纪自然科学中的“三 大革命之一”。考虑到实际工程力学中的一些噪声等随机因素的影响，非线性随 机动力学成为- - i 更接近工程实际的科掣旧，非线性随机动力学的研究不仅有 重大的科学意义，而且具有广泛的应用前景，广泛的存在于自然科学、工程科学 及社会科学等各个领域中。 2 0 世纪初e i n s m i 】n 等人对布朗运动的理论解释，是有关自然现象随机模型 化的开端，标志着随机动力学研究的开端。4 0 年代到6 0 年代期间，相继发展了 随机噪声理论、随机振动及随机结构动力学，以满足通信、航空航天、机械、土 木及海洋等工程的需求。8 0 年代初，人们发现了随机共振现象广泛的存在于许 多系统中，随后物理界对随机共振进行了大量的研究。近年来，人们发现噪声在 非线性系统中往往起着积极的作用，从而在化学与生物学中随机动力学迅速发展 起来。今天，非线性随机动力学正在促使整个现代知识体系成为新科学，动力系 统稳定性、分岔、混沌和奇异性理论方法的发展也已超越原来的数学界限，广泛 应用于振动、保密通信、自动控制、系统工程、机械工程等领域的研究，并且对 经典力学、物理学、固体力学、流体力学、化学工程，生态学和生物医学，乃至 一些社会科学部门的研究和发展都产生了深远影响。 考虑到实际工程动力学中的非光滑因素，其中重要的一种是由约束条件决 定的，其系统可以描叙为具有不连续或非光滑特征的微分方程，形成非光滑动力 系统。非光滑动力学作为动力学的一个分支，它是基于动力学和非光滑力学的基 础上的，在许多的学科中都出现非光滑模型。例如，碰摩转子系统、包含二极管 和三极管的电子电路、空中交通管理、市场经济模型、铁路系统的运行组织等等。 陆启韶教授把典型的非光滑力学模型主要分为三类：刚性碰撞模型、干摩擦模型 和弹性碰撞模型。 非光滑系统广泛的存在于日常生活中：刚性碰撞系统也可看作是带约束的 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 系统，是实际工程力学、工程机械、应用数学、应用物理等专业领域中经常见到 的一种现象例。1 9 3 7 年p a g e t 发明了冲击消振器，成功的抑制了涡轮机叶片、飞 机机翼的颤动，现在广泛的应用于生产实践中。碰撞振动会造成许多的机械部件 的损坏以及零部件的磨损，使得高速转动的转子不可避免的与一些机械发生碰撞 而损坏；于摩擦广泛的存在于力学系统、机械系统中，例如：小提琴、刹车系统、 传送带等。同时它也有很不利于人类生活的一面，干摩擦可以引起系统的自激振 动，例如机械工具的颤振、火车轮子铁轨的摩擦产生的尖锐刺耳的噪声；弹性碰 撞系统是分段系统中的一种，分段系统作为一种非光滑系统，广泛的存在于包含 二极管和三极管的电子电路系统中，例如：电路的开关、阀值、数字控制等。可 见，对非光滑系统动力学理论和应用的研究具有重要的现实意义。 1 2 研究现状 1 2 1 非线性随机动力学与随机振动的研究现状简述 随机振动研究是在2 0 世纪5 0 年代初根据航空航天工程的需要而发展起来， 由于自然科学、工程科学及社会科学之中广泛存着非线性随机振动问题，2 0 世 纪6 0 年代初非线性随机振动开始受到重视，扩散过程方法和随机微分方程方法 相继被引入到随机振动的分析中，至今随机动力学和随机振动已成为一个重要的 研究课题，广泛应用于航空、航天、运输、能源、建筑等工程领域，成为可靠性 设计的重要基础。随机振动与通常所说的确定性振动不同，其振动历程既不能预 测，也不能重复，此时确定性的数学处理方法已经失效，系统动力学特性必须通 过概率密度函数或统计特征量来描述。非线性随机动力学与随机振动的研究主要 包括：随机晌应，随机稳定性与随机分岔，随机混沌与同步。 随机振动的响应研究是随机动力学研究的一个中心问题之一。其研究方法主 要有：摄动法、等效线性化方法、等效非线性化方法、随机平均法、f p k 方法、 函数级数法和m o m ec a r l o 模拟法等。摄动法的基本思想是p o i s s o n 在1 8 3 0 年提 出的，随后得到了近一步的发展和完善，现今摄动法是非线性随机动力学研究中 极为重要的近似解析方法：等效线性化方法使用一个具有精确解的线性系统代替 2 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 给定的非线性系统，使两方程之差在统计意义上为最小；随机平均法是一类方法 的总称，这种方法在随机振动中获得的应用有三种：标准随机平均法、能量包线 平均法以及f p k 方程系数平均法。随机平均法由确定性系统的平均法发展而来， 至今已成为随机振动分析中应用最为广泛的一种方法，它的理论保证是 s t r o t o n o v i t c h - k h a m i n s k i i 定理；f p k 方程是由2 0 世纪6 0 年代初随着扩散过程方 法和随机微分方程方法相继引入而发展起来，求解一非线性系统的随机响应过程 的概率密度函数为目标而建立起来的一种方法，但能求得精确解的f p k 方程很 少，不能满足随机振动的求解的需要，于是发展了许多近似求解的方法和数值解 法；函数级数法是将系统输入与输出按某类函数级数展开，代入原方程进行计算， 将随机系统转换为确定性系统再进行研究。这些近似方法的严格数学基础和适用 范围有待于进一步研究。 目前有关随机稳定性的定义很多，其中比较常用的有矩稳定性、平均稳定 性、随机l y a p u n o v 稳定性和几乎必然稳定性等。但是在实际应用中，不同的随 机稳定性有时会得到不同的结论，其合理性需要商榷。随机分岔是指由参数的随 机扰动引起系统的定性性质的变化，这是不同于确定佳分岔和通常的混沌运动 的一种复杂的非线性现象。1 9 8 7 年，l a r n o l d 用l y a p u n o v 指数给随机分岔下了 一个定量的定义，将最大l y a p u n o v 指数为零作为随机分岔的标志，因此计算最 大l y a p u n o v 指数成为随机分岔研究的一个最主要内容。a r i a r a t n a ma n dx i c 使用 k h a s m i n s k i i 方法计算了白噪声参激的p i t c h f o r k 分岔和h o p f 分岔系统的最大 l y a p u n o v 指数，w e a i g 使用线性的随机变换方法计算了随机分岔系统p 阶矩方程 的最大l y a p u n o v 指数。现有的计算方法较多地局限于k h a s m i n k i i 方法，它已成 功地用于二维系统，但对高维系统仍存在很多困难。当扰动强度较小时，还可用 随机平均法和奇异摄动法计算l y a p u n o v 指数。 随机混沌主要是研究确定性混沌系统在随机微扰下的动力学行为。关于随机 混沌的研究，特别是对非混沌运动，混沌运动和随机运动之间的联系，区别的研 究以及这些问题在力学、物理、化学、生物、医学以及金融领域的应用研究尚待 深入开展。这一研究不但具有重要的科学意义，而且对上述应用研究具有理论指 导意义。 总之，关于非线性随机动力学与随机振动的研究还几乎刚刚起步，其理论和 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 应用都有待予近一步的发展和完善。 1 2 2 非光滑系统动力学的研究现状筒述 非光滑系统动力学的研究需要建立在正确的模型的基础上，在多数应用问题 中，建模的关键在于选择合适的约束力模型。非光滑系统动力学大体可以分为三 类：约束系统、干摩擦系统、分段光滑系统。力学系统中的刚性碰撞属于约束系 统，认为碰撞是瞬间完成的，其向量场在碰撞时刻是间断的；干摩擦系统，是指 向量场非连续的动力系统，一般称作f i l i p p o v 系统；分段光滑系统，是指向量场 连续但j a e o b i 矩阵在分段点处间断的动力系统。 关于非光滑系统动力学的研究，主要研究其周期运动的稳定性，分岔，混沌 以及奇异性。非光滑系统动力学的理论或数值分析主要依靠不同形式的p o m c 甜6 映射实现，当系统p o i n c a r 6 映射对应的j a e o b i 矩阵的特征值存在复杂的穿越单位 圆的情况时，碰撞振动系统会表现出复杂的动力学性态。目前多限于低自由度受 简谐激励的简单系统。八十年代以来，胡海岩等【4 】研究了分段线性系统的分岔和 混沌响应，分析了向量场的非光滑性对系统动力学行为的影响。张思进 1 5 6 1 。n o r d m a r k ：q 和金俐【8 ，明利用局部p o i n c a r 6 映射的方法给出了对应的j a c o b i 矩阵 研究了非光滑系统的稳定性。陆启韶【1 0 】构造了刚性约束的非线性动力系统的局 部p o i n c a r 6 映射分析了周期运动的稳定性和分岔。谢建华和罗冠炜等0 1 - 1 4 用中心 流形理论，研究了两自由度碰撞振动系统弱共振、强共振的h o p f 分岔与次谐分岔。 金栋平，胡海岩【1 5 1 研究了单自由度和两个自由度碰撞振动系统的周期碰撞以及 最优控制问题。非光滑系统具有许多光滑系统所没有的非光滑分岔，其中擦边分 岔 1 6 - 2 t j 的研究引起大量学者的兴趣，已取得一定的结果。 以上一般是针对非光滑确定性系统的理论，关于非光滑随机系统的研究还只 是起步。冯奇 2 2 - 2 4 利用平均p o m e 盯6 映射和叠加原理考察了非光滑随机线性系统 的均值响应问题。vf z h u r a v l e v 2 5 1 通过引进一种非光滑变量代换和狄拉克函数 来处理非光滑系统的非光滑性。d i m e n t b e r g 和i o u r t c h e n k o 等脚- 3 0 j x 寸随机约束线 性系统做了大量的工作：从能量的角度研究了这种系统的能量损失；借助能量平 衡法考察了其均值响应及平均出口时间；利用非光滑变量代换研究了这种系统的 随机响应与混沌响应。n a m a c h e h i v a y a 等弘3 2 1 借助随机平均方法研究了受随机扰 4 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 动的约束线性系统的动力学行为。 随着非光滑系统动力学研究的不断深入，人们开始从动力学的角度去研究非 光滑系统，分析其分岔、混沌及复杂性对非光滑动力学特性的影响。关于非光滑 随机动力学的研究还是一个全新的、富有挑战性的课题。 1 3 本文主要研究内容 本文主要针对非光滑特性进行一些特殊处理，把非线性动力学的一些理论推 广到非光滑系统的研究中。分别对随机单边约束d u f f m g 振子的随机倍周期分岔、 响应的稳态概率密度和确定性单边约束系统的周期解及稳定性这三个方面进行 了初步的研究。 第一章，考虑到实际生活中存在大量的非光滑因素和随机因素，论述了非光滑 随轨动力学的背景和研究意义。接着介绍了光滑随机动力学和非光滑随机动力学 t 7 的一些主要的研究内容、研究方法和研究现状。并指出非光滑随机动力学还有待 于更深入的研究，是一个全新的、富有挑战性的课题。 善第二章，考虑系统的随机因素是服从拱形分布的随机变量，首先介绍了以这 种随机变量的概率密度为权函数的c h e b y s h e v 正交多项式及其性质。其次，借助 c h e b y s h e v 正交多项式把光滑随机d u f f i n g 系统化为与之等价的高阶确定性单边 约束系统，通过对等价确定性系统的响应取集合平均，得到平均约束面和平均跃 变方程，从而对随机单边约束系统的非光滑性进行了平均处理，得到一个等价的 确定性单边约束系统，并从数值上研究了其传统的倍周期分岔。数值研究表明随 机d u f f i n g 单边约束系统同样存在丰富的倍周期分岔现象，但受随机因素的影响， 在分岔临界点附近的小区间内，系统会提前进入分岔。c h e b y s h e v 多项式逼近是 研究带有约束的随机非光滑动力系统的有效方法。 第三章，基于非光滑线性系统研究的基础上，借助一种非光滑变换，通过引 进狄拉克函数，把随机d u f f m g 单边约束系统转化为光滑随机系统。考虑在弱阻 尼、小噪声以及恢复系数接近于l 的情况下，运用拟保守平均方法得到转换的光 滑随机系统的平稳响应。借助逆变换从而得到原系统响应的平稳概率密度。通过 近似解析结果与数值仿真结果的比较证实这种转换方法在研究非光滑非线性随 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 机系统中的有效性。研究结果表明，响应的概率密度峰值出现在约束位置。随着 噪声强度和恢复系数的增大，响应的概率密度越平坦。 第四章，基于文献 8 】的工作，借助不连续映射，构造了p o i n c a r 6 映射，把单 边约束系统的周期解问题转化为非线性常微分方程的边值问题，结合打靶法研究 了单边约束非线性系统的周期解、周期解的稳定性和一些经典的分岔等动力学行 为。数值研究表明，打靶法可以很方便的求得单边约束d u f f m g 振子的不稳定周 期解，这是直接数值积分很难得到的。同时，我们发现单边约束d u f f m g 振子同 样存在大量吸引子共存的情况，当初始条件处于不同的吸引域时，系统解的形式 也不一样，随着j o c o b i 矩阵的特征值穿越单位圆的不同，系统呈现出各种分岔。 第五章，给出了文章的总结和进一步研究的工作。 6 西北工业大学硕士学位论文第二章基c h e b y s h “多项式逼近的齄机d u w m g 单边约束系统的倍周期分岔 第二章基于c h e b y s h e v 多项式逼近的随机d u f f i n g 单边约 束系统的倍周期分岔 2 1 引言 在实际工程动力学中往往存在大量碰撞，冲击，干摩擦等非光滑因素，其中 重要的一种是由约束条件决定的。传统的随机动力系统理论是针对光滑系统的， 不能直接的运用到随机非光滑动力系统中，非光滑系统向量场的不可微性导致了 系统的强非线性和奇异性，引起了大量学者的广泛兴趣。目前关于非光滑动力系 统的研究主要是集中在确定性的非光滑线性系统，包括线性碰撞系统、分段线性 系统、线性摩擦系统等。对于非光滑线性碰撞系统的研究，m f d i m e n t b e r g 。d v i o u r t c h e n k o 和n s r in a m a c h c h j v a y a 做了较多的工作，详见文献 2 6 3 2 1 。关于非 光滑非线性随机系统的研究基本上还是空白。 近年来，c h e b y s h e v 多项式逼近是一种新的研究随机参数的光滑系统的有效 方法，f a n 9 1 3 3 1 和吴存利刚等首次应用c h e b y s h e v 多项式逼近的方法研究了随机光 滑动力系统的响应，马少娟口习等应用c h e b y s h e v 多项式逼近法研究了随机v a n d e r p o l 系统的倍周期分岔和对称破裂分岔。 本章主要通过引进平均约束面和平均跃变方程对约束系统的约束条件进行 处理，借助c h e b y s h e v 多项式逼近的方法研究谐和激励下带有随机参数的随机 d u f f m g 单边约束系统的倍周期分岔问题，并结合数值方法研究其传统的倍周期 分岔现象。 2 2 c h e b y s h e v 多项式 这里考虑随机d u f f i n g 系统中的随机变量“取值在区间 一1 ，1 ，且服从拱形 分布，其概率密度曲线如图2 - 1 ，概率密度表达式如下： 7 西北工业大学硕士学位论文第二章基于c h c b y s h c v 多项式逼近的随机d u 衔n g 单边约束系统的倍周期分岔 出) - ( 2 , 0 4 乒粥u i l 1 图2 - i 随机变量2 ，的拱形分布概率密度函数曲线 ( 2 - 1 ) 当区间为 一1 ，1 ，权函数为p 0 ) 时，对应的正交多项式为第二类c h e b y s h e v 多项式，其表达式为 ( 甜) ：s i n ( n + f 1 ) a r c _ c o s ( u ) ，lui 1 ( 2 - 2 ) , 1 一甜2 由( 2 - 2 ) 可得到递推关系式 瓦0 ) = 1 ， 五0 ) = 2 u ， 五0 ) = 4 u 2 一l ， 墨0 ) = 8 u 3 4 u ， l 0 ) = 1 6 u 4 1 2 u 2 + 1 ， 瓦+ ( u ) + l 一。 ) = 2 l ( 力 ( 2 - 3 ) 令”= c o s ( ，则 i 。瓦( “) 乙 ) p 胁 西北工业大学硕士学位论文第二章基于c h c b y s h c v 多项式逼近的随机d u m n g 单边约束系统的倍周期分岔 ：三c 乙( 爆( 甜) 佩 = 昙r s 叫川灿蜥邶伽= o ： 因为权函数刚好为随机变量t l 的概率密度函数，故( 2 4 ) 式可看成是乘积 嚣( 功瓦o f ) 的数学期望。由正交多项式豹性质知，随机变量群的任何可测函数 厂( ”) c 一1 ，1 1 可以展开为正交多项式的级数形式： 其中 八“) = 厶瓦 ) ( 2 5 ) n = 0 ：罢丝塑竺：伽姒蝴渺 【。l ) ) p ( u ) d u “ 这种展开为广义f o u r e i r 级数展开，是一种最佳均方意义下的逼近。 2 刁随机d u f f i n g 单边约束系统的c h e b y s h e v 多项式逼近 考虑单自由度谐和激励下的带随机参数的随机d l z 陆n g 单边约束系统，其系 统的微分方程形式如下： x + 口x 一缸+ 苫3 = f c o s ( w t ) ，x 配r ( 2 6 ) x + = ，善一，工= 厨( 2 - 7 ) 其中约束条件为 日( 工，z ) = 工一j ：r 0 约束面方程为 = o ，x ) 1 日( t 力= o 跃变方程为 x = 一r x 9 西北工业大学硕士学位论文第二章基于c h e b y s h e v 多项式逼近的随机d u 伍n g 单边约束系统的倍周期分岔 考虑( 2 6 ) 和( 2 - 7 ) 式是一个碰撞系统，系统轨线在约束面处发生碰触，跃变方程 描述了约束面上速度的跃变，其中一，+ 表示碰撞前后时刻，“为区间【1 ，l 】上服从 拱形分布的随机变量，概率密度函数表达式为( 2 一1 ) 式，且 岛2 c + 1 删 c o 的均程g y o c ，方差为要。a , b ，c ，v 均为常数，f e o s ( w t ) 为谐和激励，为恢复系数， 二 尉为刚性约束常数。 由正交多项式逼近( 2 5 ) 式，系统微分方程( 2 6 ) 式描述的是光滑d u f f i n g 系统 的运动，其响应可以展开为如下的级数形式 x ( t ，) = 为( f ) 正( 甜) ( 2 8 ) t - o 当取有限值时，( 2 8 ) 式可写成 雄，嚣) z 而( f ) i ( 掰) t - 0 ( 2 - 9 ) 其中t ) 表示第f 个c h e b y s h e v 多项式，并且有o ) = j ：! 。p o k o ，“e o 协 在不考虑约束( 2 7 ) 式时，2 ( 2 9 ) 式代入随机光滑系统微分方程( 2 6 ) 式中，可 得 嘉【砉冀i ) 】+ 4 丢c 善t 珥q ，卜6 喜墨珥q ， + ( c + v 甜) 一( f ) 乃( “) r = f e o s ( w t ) ( 2 一l o ) 式等号左边项【t p ) 正( “) 】3 可展开为如下形式p 4 3 冠 i - 0 【工，( f ) t ) 】3 = ( f ) 露( “) + + 工；( f ) 露( “) + j - 曲 3 x gc t ) x l ( ，) 彳( “) 互( 甜) + + 3 x ：( f ) x - 1 ( f ) 巧( ) 巧_ l ( “) + 6 x o ( f ) 工9 ) x 2 ( f ) 瓦p ) 五( d 瓦p ) + 十6 x 吨o ) 工v 1 ( f ) 工( f ) 丁，- 2 ( f ) 巧一l ( f ) 磊( f ) 3 = x ，o ) 正( “) ，_ d ( 2 1 1 ) 其中z ( f = o ，1 ，2 ) 为l ) ( f = 0 , 1 ，2 ) 前的系数，利用c h e b y s h e v 多项式递推关系 o 堕! ! 三些盔堂堡堂垡论文多二章基于c b e b y s h c v 多项式逼近的随机d u 伍n g 单边约束系统的倍周期分岔 式( 2 - 3 ) n 7 得 砭t 乃例3 = z ) = x , ( t ) t u t , ( u ) j ：艺墨( f ) 暇一，( 甜) + 瓦。( u b ：i 1 3 。正 ) 【瓦一，( r ) + 置+ 。( f ) 】 ( 2 1 2 ) 由逼近公式( 2 - 9 ) ，可令( 2 1 2 ) 式中五，为零。把( 2 - 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 式代入( 2 。6 ) 式中，然后 在所缛方程两边同时乘以正0 = 0 , 1 ，2 ，奶，并关于掣求期望，( 2 6 ) 式可化为洲 巨+ d 面d 一6 卜( f ) + 础) 畦圳= 科 巨+ 口石d a p + 幽( f ) + 三阮m 础j j ：o 浯+ 口丢一小( f ) + 必o + 却+ 以啪p 1 3 浯+ 口万d 一- d + 嘞m 圭阪胁。伽= 。 于是无约束时的随机光滑d u f f i n g 系统( 2 6 ) 式就化简为一个等价的确定性系 统( 2 - 1 3 ) 式 由逼近k ( 2 9 ) ，随机光滑d u t s n g 系统的集合平均响应可近似为 g x ( t ，砧) 】= 研而( ，) 正( ) 】= ( f ) e i ( 扯) = 而( 2 1 4 ) 当随机变量“在区间【- 1 ，l 】随机取一系列值 蚱，对应每个辑值系统( 2 啕具有 轨线r ( f ，x ，功，存在莱一时刻乇，一部分轨线已经与约束面发生碰触，( 此时约束 面看做是虚拟存在的) ，另一部分轨线还未到达约束面。从而有必要对约束进 行平均处理。由( 2 - 1 4 ) 式可定义 平均约束条件： e h ( x , 工) o 显然，通过非光滑变换，状态变量的取值范围从子空间一和约束面扩展到关于 状态变量y 的整个状态空间，新的状态变量不再受到约束的限制。把变换公式( 3 4 ) 代入微分方程( 3 1 ) 中，得到 西北工业大学硕士学位论文 第三章随机单边约束非线性振子的相应 i + 缈t 6 ；+ c y 3 = 劈( f ) s 驴弘y ( f ) 。 ( 3 5 a ，b ) u a ，b ) 【y + = r y 一，j ，( ) = 0 比较方程( 3 - 1 ”和( 3 - 5 b ) ，很显然，在约束面处原变量速度的跃变为 a x = ( - r - 1 ) x 一，而新变量速度的跃变为a y = ( ，一d y ，当，越接近1 ，新变量速度 的跃变越小。利用狄拉克函数，可以把( 3 5 b ) 式看作是对( 3 5 a ) 式在t 。时刻施加 的个脉冲阻尼项 一一y + ) 艿( f r ) 。方程( 3 5 ) 式可以近似等价于 y + 毋件6 y + c y 3 + ( 1 - r ) y i y l j ( 力= f 善( t ) s g n y ( 3 6 ) 下面给出简单证明：( 3 - 5 ) 式与( 3 - 6 ) 式近似等价： ( 1 ) “j ” 利用狄拉克函数性质即约束关系，可知 j ，( ，) = 0 ， 8 ( t - t ) = y i 艿( y ) ， 0 ，一一j ，+ ) 占( f - t ) = ( 1 - r ) y i yj 3 ( y ) 故( 3 5 ) 式可化为 y + 缈+ 6 y + ( y 3 + 一一y ) 艿o f ) = f 手( t ) s s n y y + 缈+ 6 y + 秒3 + ( 1 一r ) y i y i s t y ) = f 芋( t ) s g n y ( 2 ) “仁” 当y ( f ) 0 时，( 3 6 ) 式中的脉冲阻尼项( 1 一r ) y l y 8 ( y ) 为零，得到( 3 5 a ) 式。 当y ( t ) = 0 时，对( 3 6 ) 式移项后两端关于t 。领域求积分，得到 d t + a l = 徊+ b e ；d | + c e 矿d t = - ( 1 _ ，) 侈 y l s ( y ) d t + f 侈o s g n 缈 考虑到很短的时间间隔，系统的位移y 几乎没有改变，故上式化为 衍= 邓叫侈i ；1 8 ( y ) d t 等式左边 西北工业大学硕士学位论文第三章随机单边约束非线性振子的相应 j y 砂。y + - y 一 由于y ( t ) 0 时状态变量的连续性，等式右边 一( 1 - r ) 莎崩万【y 渺= ( 1 一，) 膨即一f ) 毋= 一( 1 一r ) 多一 化简即得到( 3 5 b ) 式 证毕。 3 3 随机d u f f i n g 单边约束系统的随机平均 考虑转换系统( 3 6 ) 式，令y l = y ，y 2 = y ，微分方程( 3 - 6 ) 式可化为两个一阶 的微分方程组 r 抬叫2(3-7) 【j ，2 = 一c 9 一砂2 一。彳+ 劈( r ) s g n 乃- ( i - r ) y 2i y 2f 万( 乃) 其等价的1 6 随机微分方程为 砒d y , = ：y 【_ 2 d 劬t 一砂：一斫一( 1 一，) y ：i 耽l 艿执) k + ，s 盟m d 矽 ( 3 - 8 ) 1 砒= 【_ 劬一砂2 一斫一( 1 一r ) y ：i 耽l 艿执) k + ，s 盟m d 矽 恤 其中w ( t ) 是维纳过程。引入一个小参数占，以便把系统化为拟保守系统，( 3 8 ) 式改写为如下形式 【咖d y ：, = ：y 【- 2 d 观t 一机一钞? - ( 1 - r ) y ：i 儿1 8 0 , 。) k + 可s 髓y 。d w ( t ) ( 3 9 ) 【咖：= 【- 观一机一钞? ：儿。) k + 可s 髓y 。 在物理上，只要在振动一周内，随机激励输入系统的能量与阻尼( 这里包括 脉冲阻尼项) 的能量之差同系统本身能量相比较小，就可看作拟保守系统 3 6 , 3 7 。 由于r 取值接近于1 ，故脉冲阻尼较小，由( 3 9 ) 式描述的是一个拟保守系统。 未扰系统的能量函数和势函数分别为 = y 1 + u o , 1 ) ( 3 1 0 ) u ( y 1 ) - 爷+ ( 3 - 1 1 ) 西北工业大学硕士学位论文 第三章随机单边约束非线性振子的相应 结合改写后的( 3 - 7 ) 式，得到微分方程 膏= 一( 1 - r ) y ；l y ：l 占( y ，) 一日吵；+ ；，手( f ) y ：s g n ( ) ，) ( 3 ，1 2 ) m ( 3 - 9 ，式和( 3 - 1 2 ) 式并利用1 6 公式，可得到能量函数满足的1 6 随机微分方程 d h = m ( h ) d t + a ( h ) d w ( f ) ( 3 1 3 ) 其中漂移系数和扩散系数分别满足 m ( 日) = - ( 1 - r ) y ；i 肋