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样条精度若干问题研究 摘要 样条函数的精度是s c h o e n b e r g 于1 9 4 6 年在 3 1 】中首次提到的。在这片文章中他利用 调和分析等基本数学工具，构造出了具有一定的次数，连续性，精度以及跨度的基本样 条( c a r d i n & ls p l i n e ) 。本文在s c h o e n b e r g 工作的基础上，迸一步讨论了这种样条的精度和 跨度之间的联系，并且构造了某些特殊样条满足精度最大条件下的跨度最小。然后，我 们还讨论了当一元样条的问题推广到多元的时候，如何将所要考虑的问题用多元的工具 加以描述，从而能够将某些特殊的多元b o x 样条的精度和跨度之间的联系做进一步的研 究。 关键词：基本样条；样条精度：样条跨度；b o x 样条。 a l 样条精度若干问题研究 a b s t r a c t s p l i n e se x a c t n e s si sf i r s t l ym e n t i o n e di nf 3 1 1 b ys c h o e n b e r gi n1 9 4 6 b yu s i n gt h eb a s i c m a t h e m a t i c a lt o o lo fh a r m o n i ca n a l y s i s ，h e e s t a b l i s h e ds e v e r a ls p e c i a ls p l i n e sw i t hc e r t a i n d e g r e e ，c o n t i n u n i t y , e x a c t n e s sa n ds p a n i nt h a tp a p e r i nt h i st h e s i s ，w ef u r t h e ri n v e s t i g a t e t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s p l i n e e x a c t n e s sa n d i t ss p a n ，a n dc o n s t r u c ta s p e c i a ls p l i n ew i t h m i n i m a ls p a nw h e ni t se x a c t n e s sr e a c ht h em a x i m u m t h e n ，w ec o n s i d e rh o wt od e s c r i b e t h ea b o v ep r o b l e mw i t hm u l t i v a r i a t em a t h e m a t i c a lt o o lw h e nw ee x t e n dt h eu n i v a r i a t ec a s e t om u l t i v a r i a t eo n es ot h a tw ec a n c o n t i n u o u s l yi n v e s t i g a t ec e r t a i nm u l t i v a r i a t eb o xs p l i n e s w i t ht h e i re x a c t n e s sa n ds p a n k e yw o r d s ：c a r d i n a ls p l i n e ；s p l i n e se x a c t n e s s ；s p l i n e ss p a n ；b o xs p l i n e a 2 独创- 胜说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其 他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：垫登日期：坠受：f ：丛 样条精度若干问题研究 1 多元样条简介 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数 1 9 4 6 年，数学家ij s c h o e n b e r g ：铰为系统的建立了一元样条函数的理论基础( 3 1 1 ) 但是 s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发 展，样条函数也得到了迅速的发展和广泛的应用鉴于客观事物的多样性和复杂性，开展有 关多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应用上都有着十分重要的意义现在，它在函 数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小波等领域中均有较为重要的应用 一般而言，多元样条研究的主要方法有：光滑余因子协调法、b 网方法及多元b 样条方法 下面我们分别对它们做简要的介绍 1 1 光滑余因子协调法 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f ，hl g a r a b e d i a n 和c a r ld eb o o r 等研究并建立 了一系列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论c t e s i a n 乘积型多元样条虽然有一定的应 用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简单推广 1 9 7 5 年，王仁宏在文f 1 中采用函数论与代数凡何的方法，建立了任意剖分下多元样条 函数的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调法( s m o o t h i n gc o f a c t o r c o n f o r m a l i t y m e t h o d ) 从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均可转化为与之等价的代数问 题来研究 设d 为二维e u c l i d 空间r 2 中的给定区域以殴记= 元k 次实系数多项式集合： kk - i 畋：= 佃= 矿1 r ) 4 = 0 j = 0 一个二元多项式p p 。称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它多项 式可以整除它( 在复域中) 代数曲线 r ：f ( ，管) = 0 ，c ( 芏，譬) e p m ， 称为不可约代数曲线，如果f ( o 。y ) 是不可约多项式显然赢线是不可约代数曲线 今用有限条不可约代数莹线对区域d 进行割分，将割分记为，于是口被分为有限个 子区域d 1 ，d 2 ，d ，它们被称为d 的胞腔形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的 交点称为网点或顶点若两个网点为同一网线的两端点，则称该两网点是相邻网点我们 将位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点如果一条网线的内部属于区 域d 肉，酬称此网线为内网线，否到称为边界网线， 对区域d 施行剖分以后，所有以某一网点y 为顶点的胞腔的并集称为网点y 的关联区 域或星形区域，记为s t ( v ) 多元样条函数空间定义为 嚣( ) ：= s c “( d ) fsj d 。峨， = i ，) 样条精度若干问题研究 事实上，s 碟( ) 为一个在d 上具有芦阶连续偏导数的分片女次多项式函数 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏在文( 1 1 中指出了多元样条函数光滑连接的内在本 质表现为如下定理： 定理l ，1 ( 1 j ) 设z = s ( z ，在两相邻胞腔最和d j 上的表达式分别为 = ：= p ，( z ，y ) 和：= p ，( 。，g ) ， ， 其中p i ( 。，) ，v a x ，y ) 殴为使s ( $ ，f ) ( 瓦 0 酉) ，必须且只须存在多项式( z ，g ) 耽一( p + 1 ) a ，使得 p l ( 。，y ) 一p j ( z ，) = 1 0 ( x ，口) 】”+ 1 q i i i x ，) ，( 1 1 ) 其中瓦与瓦的公共网线为 f o ：b ( $ ，g ) = 0 ，( 1 2 ) 且不可约代数多项式l q ( x ，y ) 玢 内定理1 1 q 6 ( 1 1 ) 式所定义的多项式因子( ，) 称为内网线r 蚶：l l j ( x ，y ) = 0 1 的( 从取到功的) 光滑余因子( s m o o t h i n gc o f a c t 0 0 ( 1 ) 说明内网线r 玎上的光滑余因子 存在，恒指形j z n ( 1 1 ) 的等式成立 设a 为任给定的内网点今按下列顺序将过a 的所有内网线( r 订) 所涉及的i 和f 进行 调整：使当一动点沿以a 为心的逆时针方向越过k 时，恰好是从d i 跨入口i 发a 为一内网点，定义a 点处的“协调条件”( c o n f o r m a l i t yc o n d i t i o n ) 为( f 1 】) ： 1 0 ( z ，) r 1q , i ( x ，y ) i0 ， ( i 3 ) a 其中 表示对一切以内网点a 为端的内网线求和，而( z ，g ) 为n j 上的光滑余因子 设的所有内网点为a 1 ，a m ，则“整体协调条件”( g l o b a lc o n f o r m a l i t yc o n d i t i o n ) 为( 1 】) 1 u ( z ，) p q , i ( x ，g ) 耋0 ，u = 1 ，m ， ( 1 4 ) a o 其中相应于内网点a 。的协调条件y l q q ( x ，) 满足( 1 3 ) 所作的规定 下述定理建立了多元样条的基本理论框架： 定理1 2 ( 【1 ) 对给定剖分，多元样条函数s ( z ，y ) 罐( ) 存在，必须且只须s ( 。，0 ) 在 每条内网线上均有一光滑余园子存在，并且满足m ( i 4 ) 所示的整体协调条件 王仁宏还在文 2 】中建立了多元样条函数的一般表达形式 设区域d 被剖分分割为如下有限个胞腔d h 一，d _ 任意选定一个胞腔，例如d l 作 为：源胞腔”，从d ，出发，画一流向图舀，使之满足： l 口流遍所有的胞腔d 1 ，d 各一次； 2 样条精度若干问题研究 2 亏穿过每条内网线的次数不多于一次： 3d 不允许穿过网点 流线e 所经过的内网线称为相应于亭本性内网线，其它的内网线则为相应于e 的可去内 刚线显然所谓本性内网线与可去内网线都只是一个相对概念 设：0 ( 。，y ) = o 为d 的任意一条本性内网线将从源胞腔出发，沿a 前进时，只有 越过r 坩后才能进入的所有闭胞腔的并集记作u ( r 矗) ，将从源胞腔出发沿0 前进时，在越 过r 玎之前所经过的各闭胞腔的并集记为v ( ) 称u ( r 去) u ( ) 为网线的“前方”，记 作 ( ) 定义1 1 ( 【2 】) 设：幻( 。，口) = o 为相应于流向g 的本性内网线多元广义截断多项 式定义为 吲钏胛= 胪删“美瓣溉阱 s ， 由此，有如下的样条函数表现定理 定理1 3 ( 【2 ) 任- - s ( x ，y ) 碟( ) 均可唯一地表示为 s ( 茁，可) = p ( x ，可) + 瞰刚) 旷蜘( 茁，v ) ，( 啪) d ， ( 1 6 ) 0 其中芦( 。，y ) 取为s ( z ，) 在源胞腔上的表达式，d 表示对所有本性内网线求和，而且 沿d 越过的光滑余因子为( 。，y ) p k 一，- 1 在文献【3 】中，王仁宏给出了n 维样条函数的基本理论框架这些结果与上面关于二元 样条的结果类似在专著【5 】和【3 3 】中，详细介绍了光滑余因子协调法在多元样条中的理论及 其应用，包括各种多元样条空间的维数，基函数组，特别是具有局部支集的样条基函数组等 等 1 2b 网方法 所谓引司方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系数 之间的关系，给出光滑拼接的条件最早将一元b e r n s t e i n 多项式推广到二元情形的是五 十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表将b e r n s t e i n 多项式用于多元样条理论的研究，当 首推g f a r i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作g f a r i n 在博士论文中考虑了多元样条 的b 6 z 渤坐标和光滑性之间的关系、从而使b 网方法成为研究多元样条的重要方法之一d e b o o r h s l l i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用，此外，中国学者苏步青、刘鼎元、郭 竹瑞、贾荣庆、常庚哲、冯玉瑜等人也作了许多有意义的工作 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下的样条空间但由于剖分 的针对性，b 恻方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性迄今为止，单纯形 割分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剐分上二元样条函数空间的维数问题 3 样条精度若干问题研究 多是由b 刚方法得到的f 面简单介绍二兀b 网方法的基本思想关于面积坐标与b 网万法 的具体汁算，会在后面的章节中继续介绍 设”l ，7 3 2 ，v 3 是三角形6 梭逆时针方向排列的三个顶点，则任意o r 2 可唯一表示为 z = 力奶十丁2 也+ 码地， 其中，n + r 2 + n = 1 ，并不难得到 。! 壁l 丝= 苎：坐= 兰! 。：坐! ! ! ! 二兰! 塑= 兰! 。：! 竺! ! ! 二! ! ! ! = 兰2 n。瓦磊菘i=ii商吃。一det(vl-vzva-v2)码2夏五i_=iii而 称n ，观，乃为x 关于三角形6 的面积坐标，面积坐标变换具有仿射不变性 令口= 。2 一z 1 ，瓤的面积坐标为r ( i ) = ( 矗o ，誉，矗o ) ，i = 1 ，2 ，并记口= ( 口l ，a 2 ，3 ) = r ( 2 ) 一r ( ”函数，( 茗) 的自变量石用面积坐标r 替换后得到的函数仍用，( r ) 表示，替换前后函 数的偏导数与方向导数有如下关系： 刚加嘶m 掣恤掣+ 锄掣， d ：，一) = b ；( q ) d 1 ，( 丁) 1 f = 其中，毋( r ) = 等r 1 = n ! 划t l a 矗2 矗3 ，a i + a 2 + a a = n ，凡z + 称磁( r ) 为扎次b e r n s t e i n 基 函数其具有如f 性质： 1 毋( r ) o ，r 6 = v l ，v a 2 ：。毋( 7 ) 三1 3 研( r ) ，= n 是多项式空间n 的一组基底 4 ，b ：( 7 - ) 在点r = i 处取唯一极大值 由性质3 可知，任一n 次多项式p 可唯一表示成 p ( r ) = h 霹( f ) ， i a l = “ f b a ，川= 凡) 称为以r ) 关于6 的b 筋e r 坐标，插值于f ( ：，以) ：川= n ) 的分片线性函数称 为p ( r ) 关于6 的b 包i e r 网，简称b 网下述定理显示t b e r n s t e i n 形式的升阶公式 定理1 4令e 1 = ( 1 ，0 ，0 ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，e 3 = ( 0 ，0 ，1 ) 6 妒= 击胁6 m 川= n “ 刚 h 霹( r ) = 6 i l 睇“( r ) p , l = ni a l = n + l 定理1 5( d ec a s t e b a u 算法) 假设礼次多项式p ( r ) = ；。b x b 2 ( r ) 若令6 ( r ) = b 。，6 0 ( r ) = ；1 巧6 s ；( r ) ，p i = n 一 则 p ( r ) = 6 i r ) 殿1 ( r ) ，0 冬r 冬n ， i a l = n - r 特别地，取r = n ，则得p ( t ) = 6 f ( r ) 4 样条精度若干问题研究 卜述定理给出了砧次多项式p ( f ) 的方向导数， 定理1 6 蹦扣志蠢妒r ) ( r 闭。) 设丁为以口l ，u 2 、u 3 为顶点的三角形，于为以 1 ，u 2 ，u 3 为顶点的三角形，于与t 有公共边 2 u 3 两个相邻三角形上的n 次多项式之问的c r 光滑连接条件为 定理l7 设p ( r ) 与声汀) 分剐是定义在相邻三角形r = 扣l ，址，u 3 l 和亍= 瓯，地，u 3 l 上 的n 次多项武， h ，= n ) 和西，= n ) 分别是p ( 7 - ) 和卢( r ) 关于r 和于的b 6 z i e r 坐标， n p ( r ) 与声( r ) 2 _ n c r 光滑拼接的充要条件是 ，= 6 描( ) ，s = 0 ，1 ，一，r ( 1 7 ) 其中，f 是 l 关于丁的面积坐标，”= ( s ，a 2 ，扎) ，a o = ( 0 ，a 2 ，b ) ， 2 + a 3 = n s 1 3多元b 样条方法 b 样条方法起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，是一种定义b 样条的几何 直观方法这种方法的本质是研究高维空间中的多面体在较低维空间投影的测度函数一 元b 样条是c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的1 9 7 6 年d eb o o r 将其推到多元样条但这 种几何定义的推广不便于理论研究，直到便于理论研究的泛函形式推广的出现，多元b 样条 的研究才开始活跃起来多元b 样条的泛函形式的推广有多种形式，如单纯形样条，b o x 样 条，锥样条等分别由m i c c h e l l i ，d eb o o r d ev o r e ，d a h m e n 等人给出与上面方法相比，b 样 条方法对剖分的要求更为严格，通常为均匀的剖分下面我们作一些简单介绍 令y = ( 哦，isi n c 辩，其中饥可重复、使得s p a n v = r 5 多元b 祥条瞄。( z i y ) 定 义为 正m ( m l v ) ( x ) d x 一 ( t ) ，( t i v d d t ，v ，c o ( m ) j 彤 j 0j 二i 其中d t = d t l d 亡。，q 为r “的凸区域 若取w ( t ) = n ! ，q = s “，则由此定义的b 样条就是m i c c h e l l i i 入的单纯形样条，记 h m ( x l v ) 若取叫( t ) = 1 ，q = f l 2 ，1 2 p 且。岳矿剐由此定义的b 样条就是d eb o o r d ev o r e ；l 入的b o x 样条，记为b ( xj y ) 若取t u ( ) = 1 ，q = r ：a o 甓v ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 引入的锥样条，又称 为多元截断幂。记为t ( x l v ) f 面以b o x 样条( ( 1 6 1 ) 为例，介绍多元b 样条的基本性质 5 样条精度若干问题研究 定理1 8 b o x 搀条b y ) 具有如下性质： 1 s u p p b ( x i v ) = l t l v l i i 1 t l52 2 1 2 b ( z i y ) 的函数值非负，且在支集内部严格大于0 3 且( zj y ) 是次数不太于竹一s 的分片多项式 4 令肛= m i n ( n ( v ) i s p a n ( x v ) 序) 一2 ，贝r j b ( x l v ) 是p 阶光滑的 5 b ( z i v ) + b ( x w ) = b ( z l v u w ) 对于_ 元样条函数空间s 箕( ) ，曲线 r ： ( 嚣，y ) i s ( x ，口) = 0 ，s ( 。，y ) 磁( ) ，( 1 8 ) 称为分片代数曲线。事实上，这里定义的分片代数f | ：f 线其实也就是二元样条函数的零点 集合。 6 样条精度若干问题研究 2 一元样条的精度和跨度 2 1 基本定义 s c h o n e b e r g 在【3 1 】中对样条进行了较为详细的研究。尤其是对样条的精度和跨度的工 作对以后样条函数的研究影响深远。 在 3 1 m ，样条的定义如下： 定义2 1定义在实轴上的实函数f ( z ) 称为阶样条。并且记做n ( z ) ，如果它满足如 下的性质： ( 1 ) 由一系列次数不超过k l 的分段多项式所组成； ( 2 ) f ( z ) c 。一2 ( 一。，+ ) ； ( 3 ) 当为偶数时f ( z ) 以整数点为结点；当女为奇数时，f ) 以半整点= n + j 1 ，礼= 0 ，5 = 1 ，士2 ，) 为结点。 这里，我们称( o ) 具有次数一l ，连续性k 一2 。由定义可知，n 1 ( z ) 是个阶梯函数， 它仅在茁= n + 处不连续。2 ( z ) 是个通常的折线函数，其顶点在整点o = n 。 样条函数的重要性就在于我们可以利用样条的线性组合来褥到所需求的满足一定阶 数和连续性的新的样条。我们的主要工作也就是试图寻找样条的特定线性组合，以此来 构造出新样条的某些特殊的性质。如果没有特别说明，我们下面研究的样条均指这种等 间距( 间距为1 ) 的并且是偶函数的样条。 定义2 2称由如下表达式描述的函数为自阶b 样条： 忡卜去e ( 筹儿沁乱( ，z ，；一。 s ，( s l ，( i = i ，2 ，k ) 。最后，由于巩一2 ( 1 ) = u ( 0 ) = 1 ，我们有 曲m c u ，= 巩一。c z ，= ( - 一毒) ( ，一麦) ，( 一妾) ( 2 3 7 ， 样条精度若干问题研究 当b 为奇数的时候，我们可以对 机( u ) = 一- ( z ) 进行类似的讨论。 由上面的讨论我们可以引出如下的引理 gi 理2 , 5 余弦多项式机( u ) 的倒数有如下的表达式 赤= 薹靴曲妒，抓 该式对所有的实数鞋均收敛，且系数均是正有理数 捌 0 ，( n 一0 ，1 ，2 ，) ( 2 3 s ) ( 23 9 ) ( 2 4 0 ) 鳜( u ) = f ，2 s i n u 2 ) ， ( 24 1 ) 则在u = 0 的某个邻域内，我们有 州= ( 半) “髅于蝶个删酬 ( 2 4 2 ) 将( 24 2 ) 带入( 2 3 9 ) 我们有 ( 半) 薹o o 黝咖啦严_ 1 + 一( 炳某佃懒) ( 2 a 3 ) 或者 ( 半) 。c 鲰( k m 。s i n u 2 ) h = l + i z k ( 关于乜某个正则函数) ( 2 4 4 ) 、7 o 曼2 n k 我们有必要指出。如果令 础净( 半) 躲曲媚一 ( 2 a s ) 则我们有 “。f u ) ：j 1 + u 2 m ( 关于扎某个正则函数) 如果2 m 七 ( 2 4 6 ) 肌”【u j 2 1 + 舻( 关于u 某个正则函数)如果2 m 一2 2 m 4 b 在构造特殊样条的过程中，我们还需要知道系数 掣2 n ，( 2 4 7 ) 的具体的数值。有趣的是，这些系数f 2 4 7 ) 口- i 以被看作是一个简单的发生函数的系数而 被计算出来。事实上，由( 2 。1 1 ) 我们知道如果用( 2 1 1 ) 右端的第一项来代替( 2 3 9 ) 左端 的做( “) ，系数( 2 4 7 ) 保持不芋。即，挈誊。 ( 赤) 。d 辨( 2 s i n u “， (248)n=o 1 2 ) 那么 c 5 ：) ：蹦( 2 n 枷寸，( 2 3 9 ) 的系数可能出现负数项。 2 3 2 几个特殊样条 利n b 一样条( 2 1 ) 及其特征函数( 2 3 ) ，结合e u l e r f r o b e n i u s 多项式的性质以及上一小节 的几个引理，我们很容易构造下面的几个特殊样条。 定理2 4根据的奇偶性定义如下的样条： 工( 。) ；a o m k ( z ) + 0 2 d 2 靠( 。) + - + 。女一2 5 一2 扛) + n j 盯 靠+ l ( z ) + 口：仃d 2 慨+ 1 ( z ) + - + n ：一4 盯d 一4 + l ( x ) ( 七为偶数) ( 2 5 4 ) l ( z ) = 6 0 慨 ) + b 2 6 2 慨( 。) + - + b k 一1 占一1 m ( z ) + f 慨+ l ( z ) + 砖盯6 2 m + 1 ( z ) + + 吐一3 a 5 。一3 肘i + 1 ( 。) ( k 为奇数) ，( 2 5 5 ) 其中常数n ，o ：，b 。，虬由7 1 n ( 24 ) 定义，j 为中心差商算子；d ，( z ) = i ( x4 - 1 2 ) 一f ( x 一 1 2 ) ，算：于盯定义为盯，( z ) = f ( x + 1 2 ) 4 - ，扛一i 2 ) 。那么l ( z ) 具有如下的次数，连续 性，精度和跨度： 。，g “2 ，酽，s = l 。2 。k 一- 2 。篓羹：羹罢釜： c z s e ， 定理2 5令为正整数，m 为整数使得0 2 m + 2 。正有理数d 崭由( 25 1 ) 给出a 则样条 三k ，。( z ) = 靠( 。) 一毋铲 靠( 士) + 露d 4 m d x ) 一+ ( 一1 ) “一1 迸2 2 d 2 “一2 m d x ) ( 25 7 ) 具有如下的次数，连续性，精度和跨度： d k 一1 ，c “一2 ，e m i “( 2 ”一1 t2 一“，8 = 七+ 2 m 一2 ( 2 5 8 ) 在( 25 ) 中，我们比较感兴趣的是m 取最大值的情况。当为偶数的时候，m = 2 为 最大值。当k 为奇数的时候，m = ( k4 - 1 ) 2 为最大值。两种情况下我们都有 m 觚m ：卢：f 半 ( 2 删 样条精度若干问题研究 其中m 表不不超过z 的最火整数。这时相应的( 25 7 ) 燹成 脚) = 去仁( 半) ”烈。咖妒h 十d 浆2 ( 2 s i nu 2 ) 2 p - 2 e “。d u ( 2 6 0 ) 由于 f 驾半九l + d ( 2 s i n u 2 ) z + + 龆。( 2 s i n u 2 ) 。坤) = l 4 - u 。( 关于札的某个正则函数) ( 2 + 6 1 ) 式( 26 0 ) 0 9 ；精度为一1 这时，我们很自然的想到用u 取代2s i n u 2 ，并给定常数镌：使得 ( 半) 。 l + , , f 2 ( k ) u 2 4 - 牲- + 谌2 u 2 , - 2 ) = l 4 - 舻( 关于u 的某个正则函数) ( 2 6 2 ) 这样我们得到如下的定理 定理26定义样条 州班去仁( 半) 1 + 谬) u 2 4 - 船+ - + 证。一_ 2 ) e “乱( 2 e 。) 则样条 r 七m ( 。) ( - m 4 ) 协6 8 ) 具有 胪一，e - 1 ，e 5 ，s = ( 2 6 9 ) 从上面几个特殊样条的例子，我们观察到样条的精度增大的时候，其跨度也往往是 随之增大的。但是，无论是在进行理论分析还是数值处理，我们都希望所给定的样条的 精度足够大，但是跨度足够小。这会给我们的分析带来很大的方便。因此考虑样条的精 度和跨度之问的关系是一个非常有意义的工作。 1 4 样条精度若干问题研究 2 4 样条的精度和跨度之间的关系 s c h o n e b e r g 在【3 l 】中构造了上面所述的几个特殊的样条，它们满足定的精度和跨 度。因此，精度和跨度之间的关系自然就成为了我们所要考虑的问题。简言之，女扛) 的 精度最大能达到多少? 当精度达到最大的时候，( 。) 的跨度最小能达到多少? 我们下面的结论回答了这个问题。 定理2 7阶样条m ( ) 能达到的精度最大值是k l ，此时跨度所能达到的最小值 是 s = 2 k 一- 2 k ；篓慧c 嘲， 皿，。，52 1一l 当k 是奇数 z p “叫 尬( z ) = 甄1 + 。s i n u 2 ) k e i ”如， 甫于螈) 的特征函数为乳( t ) ， 小) = e 脚) e 一= s i n u 2 2 ，k 由复分析的相关理论知道 ( 警) ；盼1 ( ；一可( u 2 7 + 可( u 2 p 一 = ( - 一学+ 咩) ：1 + v , 2 ( 关于的某个正则函数) ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) ( 掣) - “髌硼某个删 ( 2 7 3 ) 故g k ( “) 一1 在让= 0 处是2 重根。 另外，容易知道( 毫g 笋) 在札= 2 r n ( n o ) 处是七重根从而慨( z ) 的精度为1 ，并且 有跨度k 。 其次考虑阶样条中具有次小跨度的函数工0 ) ，由定理( 2 ，3 ) ，次小的跨度是+ 2 ，此 时l ( z ) 具有如下的形式： l ( x ) ；y - 1 慨 + 1 ) + y o m ( z ) + y l m k ( z 一1 ) ， ( 2 7 4 ) 其中v l ：g l 。我们来考虑当参数g “y o ，y l 取特定的值时，l ( z ) 的精度最多能达到多少。 仍然考虑( z ) 的特征函数肌( u ) ，此时 + 吼( 乱) = l ( z ) e - t u z d z j 一 娟川“十珈协e - - i u ) ( 警) 8 ， 1 5 样条精度若干问题研究 利用l a u r e n t 展开我们有 州旷( ，一争- ) ( 州。- ( z + 等+ 等) ) = ( t 一务) ( ( y o + 2 。1 ，+ 2 y 1 等扣) 由于蛳、l 是参变量，我们可以取定特殊的y o ，y l ，使得上面的l a u r e n t 展开式满足： n ) 常数项为l ， 6 ) u 2 项系数为0 。 这时我们就有 g k ( u ) 一1 = ( 关于t 的某个正则函数) ( 2 7 5 ) 故，9 k ( u ) 一1 在u = o r 是4 重根。另外，容易知道玑( u ) 在= 2 ，r n ( n 0 ) 处是k 重根。从 而当跨度次小( s = + 2 ) 的时候，k 阶样条的精度最大可以达到3 。 同样的，当s = k + 4 时，对应的k 阶样条的精度最大可以达到5 。 注意到肌( 让) 在u = 2 r n ( n o ) 处是k 重根，由定理( 2 1 ) 知，不可能有k 阶样条的精度 超过k 一1 。故而，上面的方法类推，当8 = 2 k 一2 ( k 为偶数) 时，精度可以达到一l ，此 后s 再增大，精度不会再增大；当8 = 2 k 一1 f 七为奇数) 时，精度可以达到女一1 ，此后s 再增 大，精度不会再增大。 有了这些准冬工作，我们可以说明定理中的主要结论。假定精度为k 一1 ( 此时不妨 殴为偶数) 州。跨度所能达到的最小值为2 k 一4 ，那么按照上面的结论，这时精度至多能 达到女一3 ，与精度为k 一1 是矛盾的。一 由于f 3 1 1 出现的时间较早，不确定前人是否考虑过此问题，笔者特地求教了样条方面 的专家，包括p r o f c a r ld eb o o r ，p r o f a m o sr o n 等，但是均末给出正确的答复。 2 5 进一步的工作 在上一节的工作中，我们找到了样条精度和跨度之间的关系。很自然的我们会想 到，既然满足精度最大并且跨度达到最小的样条存在，鄢么它的具体形式是什么昵? 在 这一节中我们主要探讨这个问题。 注意到定理( 2 7 ) 的证明中，我们主要是要寻找珈，y 1 ，蜘。一1 ，使得 9 k ( 让) = l ( z ) e 一“d o = e c 黑，蝴叫) e “”出 = ( ；黑1 旷“) ( 警) = ( 旷“) ( 等等) i = 一m +， 、 7 = ( 蜘+ 喜。舭咖1 ( 警) 。 = 蜘+ 。舭鲥“) ( 鼍势) l = 0 、 7 7 1 6 样条精度若干问题研究 = 1 + “( 关于u 的某个正则函数) ， 其中执= y - ，2 m 女。 利用( 2 4 5 ) 和( 24 6 ) 我们可以看至l l e u l e r f r 。b e n l u s 多项式的性质为我们提供了种寻 找上述珈，y ，t 一，g 。一1 的方法。我们举下面的例子予以说明a 当自= 6 的时候m ( 2 2 4 ) ，( 2 2 6 ) 和( 2 ，3 4 ) ，我们有 11 53 0 1 丽5 砥可2 闽此我们得到 i 葺1 1 i r 年i 手一酌二3 0 s + 4 s 2 l 曲6 ) 5 f 研 ( 2 7 6 ) ( 2 7 7 ) ( 2 7 8 ) ( 警) 6 一( 关瑚某个删酬 ( 警) 6 - q 1z 汛。) 2 ) 州关瑚某个删融) ( 警) 6 ，q 1 。咖2 ) 2 + 盖( 2 s m 2 ) 4 ) = + 州关于u 的某个删 我们最关心的是上面的最后一个式子 w s i n u t 2 ，、6 阳叭埘2 吲1 3 “例) 一c 撕硎函 只需要将( 2 7 9 ) 左边的正弦三角多项式变成余弦三角多项式如下- 1 十：( 2 s i n 乱2 ) 2 + 蒜( 2 s i n u 2 ) 4 = 面2 1 9 一丽1 4c o s u + 盖c o 池， ( 2 8 0 ) 则我们就得到 2 1 9 y o2 面 y 1 。话 1 3 y 2 。丽 ( 2 8 1 ) 上面的例子提供了一种求蜘，0 1 ，一1 的方法。但是这种方法在求e u l e r n o b e n i u s 多 项式的时候非常麻烦。下面我们从另外一种角度来寻求满足 ( 蜘+ 喜。沌) ( 警) 。一髌剐舳数，皿s 。， 的舶，y l ，一，如一i 。 事实上，如果我们注意到 ，一厂s i n u 2 、 l 一u 2 ，f 壁曼业、 1 7 一 一 登叁楚堡茎塑壑堑壅 ：塑望r 2 生丫 2 s i n u 2 = ( s i “2 nu 2 1 - 三o o 础( 2 s 矾2 ) 2 n = ( 专芋) - m 薹- i c 。咖啦) 2 n + 三o 。翻c z s t n “栩2 ” = ( 鼍竽) m 薹- 1 删( 。s 眦2 ) 2 ”+ f ，塑u 丝2 ) 、妻础( 。s 吼2 ) 2 n = ( s i n 们u 2 _ i - m 薹- 1 删( 2 如2 ) 2 n - i - , t 2 m ( 关于让的某个正则函数) ( 警) m 薹- i 舭s n 帕卜z “髌础某协愀) ( 2 - s s ) ( 28 4 ) 利用二角等式转化成如下的形式 y o 十2 y l s t + 2 抛c 0 8 2 u + 十2 弘n 一1c o s ( m 1 ) 札 ( 2 ，8 5 ) 就可以求a y o ，y i ，跏一l 的具体值。 事实上，这种方法跟上面利用e u l e r f r o b e a i u s 多项式的方法是殊途同归的。考虑到 11( 警) 。一机( u )1l 芾一钆l 叫 机心( 警) 机( u ) ( 学) = 矿一( 关于u 的莱个芷则函数) 其中第_ 个等号是由于( 2 4 2 ) ，同时我们有 雨i 一丽1 2 薹( 副一剞) ( 2 咖妒) 2 n ，饥( 乱) ，堕业、岳岬“ l 叫2 。 另外注意到 机( “) ( 2 8 6 ) ( 2 圆7 ) 在u = 0 处解析，因此我们得到 ( c 婴趣拿) ( 2 s i n “2 ) “= u 2 ( 关于“的某个正则函数) 、 ( 2 8 8 ) n 兰o 因此，我们有 c 辨= d 辨( 2 n ) 1 8 ( 2 8 9 ) 胆 孙 璎 一脚 样条精度若干问题研究 这也就说明了上述两种方法的一致性。这其实也是同( 24 7 ) 一( 2 4 9 ) 要说明的问题是一致 的。 对于d 辨( 2 n ) 的具体求法，( 25 1 ) 一( 2 5 3 ) 给出了具体的表达式。最后，我们将上面 的讨论结果总结为如下的定理： 定理2 8 存在阶样条n k ( z ) 满足k 1 次精度且跨度达到定理( 2 7 ) 中给出的最小 值。r i k ) 的特征函数由下式给出 引让) = ( 警) m 薹- 1 舭s i n 明严 ( 29 0 ) 其中m 曼f k l 2 l 。 从上面的构造过程我们可以知道满足如上定理的样条l - i , ( z ) g 唯- 确定的。 1 9 样条精度若干问题研究 多元b o x 样条的精度和跨度 3 1 一些定义和符号 定义3 1 对于任意的可重集x = 。1 ，p ) c 厣( o ，( x ) = s p a n x = 伊，b o x 样- 条b ( z l x ) 由如下关系定义： 上。m ) 脚幽。二珏+ 州) 抓v ，叫础 ( 3 1 ) 其中口( 抒) 表示定义在彤上无穷次可微的紧支撑函数全体。 我们在这里采用比较通用的多元符号：口，p z 5 ，。一( a ) ，h = 口1 + + ，扩= 茁? 1 z ；t 。! = 口l ! n s ! ，( ；) = 口! 卢! ( 口一卢) ! 并且记为实多项式全体构 成的空问，t i 。为所有次数不超过k 的实多项式全体构成的空间， n 。= t i 。( 群) = e s 。 岛r ) d 。d o 为微分算子， d , f ( x ) = 矗，( 。) ，d 。，( z ) = 翟岛，( 。) 我们这里讨论的b o x 样条满足xcz 。，其基本性质在 1 1 1 ， 1 4 1 ， 1 3 1 ， 1 6 i ，【2 2 】， 2 3 1 ， 2 4 1 ，【2 5 中有详细的介绍。由于c a r ld eb o o r 在【1 1 ， 1 4 1 ，【1 3 ，【1 6 】所采用的符号较难理解，我们在 这里所采用的是w d a h m e n 和c a m i c c h e l l i i ! e 2 2 ，【2 3 】， 2 4 】，【2 5 j 中所采用的记号。并且为 了与一元的情况保持致，我们所采用的积分区域为( 3 1 ) 中的【一j ， 卜而不是c ”ld e b o o r ，w ，d a h m e n 和c a m i c c h e l l i 等常用的o ，1 1 n 。 3 2 多元b o x 样条简介 上面的定义( 3 1 ) 给出了b o x 样条1 的基本定义。由此定义易知b ( z 1 x ) 的紧支撑 集是x 【一l 2 ，1 2 1 “= ( 冬1 t l x ，t i 【- z 2 ，1 2 】 。如所知，b o x 样条是一个次数不超 过i x l s = n 一5 的分片多项式，其中| f 表示相应的集合中元素的个数，也就 是集台的势。进一步的对于任意的y x ( d i m ( y ) = l y | = s 一1 ) 和任意的形 如z = e ，懈c i z ( q o ，1 ) ) 的任意向量，在由s l 维超平面z 十( y ) ( 切割域c u tr 昏 g i o n ) 所界定的区域内_ 召( z j x ) 为一个多项式。我们记c ( x ) 为切割域的所有多重整数平移 1 在 1 2 j 中c a r ld eb 0 。r 首次给出了泛函形式的b o x 定义如下：广义函数( d i s t r i b u t i o n ) ( l 爿) ：c ( a ) 一只：一( 盯( l x ) ，) ：= ( x t ) d t( 3 2 ) j i - ，1 “ 称为芙十x 的b o x 样条，其中x 由定义( 31 ) 给出。 这两个定义事实上是等价的i t 6 1 样条精度若干问题研究 的并集，即 c ( x ) ：= u “y ) + 口：o z 驴，1 y 1 = d i m ( y ) = s l ，y c x ) ( 3 3 ) b o x 样条中一个重要的研究对象是空间 e ( x ) = s p a n b ( z o i x ) ：n z 5 ) ( 3 4 ) b o x 样条和空间眯) 的一些基本性质可由d ) 给出 d ( x ) ：= m a x i m ：y x ，l y i = m 辛( x y ) = 彤)( 3 5 ) 如所知 b ( - j x ) g 8 ( x ) _ ( r 。) e 8 ( x ( n 。) ，( 3 6 ) 此且当 x c ( 3 7 ) 的时候