（应用数学专业论文）随机模糊集与概率模糊集的研究.pdf

摘要 内容摘要：模糊集理论是1 9 6 5 年由控铽论专家l a z a d e h 第一个引 入的。之后，模糊集和模糊系统理论被广泛应用到许多领域， 在模糊数学领域逐渐形成了模糊拓扑学、模糊分析学、模糊代数 学和非经典逻辑等系统的理论。为了建立模糊集的理论基础，人 们做了许多工作，形成了如：集合套理论、模糊集和随机集落影 理论及r 模糊集理论。这些研究成果显示，模糊集理论与概率论 有着密切的联系。1 9 7 5 年，h i r o t a 6 i 入了模糊概率集的概念。之 后，g e r s t e n k o m 和m a n k o 提出了双模糊概率集的概念，这些研究工 作在模糊集和概率论之间建立了联系。然而，迄今为之，随机模糊 集和概率模糊集之间的联系还没有被讨论过。 本文的目的就是在随机模糊集和概率模糊集之间建立联系。首 先，讨论模糊概率集和r 一模糊集之间的联系。给出了一个新的概念r 一 模糊集合套，指出模糊概率集可看作是r 一模糊集合套的等价类。其 次，对r 模糊集的概念在直觉模糊集理论上作了推广，给出了卜直 觉模糊集的概念及弘直觉集合套的概念，并讨论了其性质。最后， 利用卜直觉集合套讨论了由g e r s t e n k o r n 提出的双模糊概率集和卜直 觉模糊集之间的联系。 关键词：模糊概率集；r 一模糊集；7 一模糊集合套；双模糊概率 集；r 直觉模糊集；卜直觉集合套 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h et h e o r yo ff u z z ys e t sw s , sf i r s ti n t r o d u c e db yc o n t r o lt h e - o r yp r o f e s s o rl a z a d e h s i n c et h e n ，t h et h e o r yo ff u z z ys e t sa n df u z z y s y s t e m sw s , , se l p p l i e di nm a n yf i e l d s i nt h e 丘e l do ff u z z ym 爿t h e m r t r i e s ，m a n ym a t h e m e l t i c a lt h e o r ys u c ha sf u z z yt o p o l o g y , f u z z ya n a l y s i s ， f u z z ya l g e b r aa n df i 卿l o g i c ，e r e ，a r eo b t a i n e d i no r d e rt ob u i l dt h e t h e o r yb a s eo ff u z z ys e t s ，p e o p l ep r e s e n t e dm a n yw o r k ss u c h8 , 8t h e t h e o r yo fn e s t e ds e t s ，t h et h e o r yo ff u z - z ys e t sa n df a l l i n gs h a d o w so f r a n d o ms e t sm a dt h et h e o r yo f , - - f u z z ys e t 8 t h e i rw o r k sh a v es h o w n t h a tt h et h e o r yo ff u z z ys e t sh a si n t i m a t ee o m a e e t i o nw i t hp r o b s b i l i t y t h e o r y i n1 9 7 5 ，h i r o t ai n t r o d u c e dt h ec o n c e p to ff u z z yp r o b a b i l i s t i e s e t s t h e n ，g e r s t e n k o r nm a dm a n k oi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fb i f u z z y p r o b a b i l i s t i cs e t s t h o s ew o r k sb u i l tac o r m e c t i o nb e t w e e nf u z z ys e t s a n dp r o b a b i l i t yt h e o r y , h o w e v e r ，t h er e l a t i o n sb e t w e e n7 - - f u z z ys e t s a n dp r o b a b i l i s t i cf u z z ys e t sh a v en o tb e e nd e s c r i b e d8 0f a r t h ea i mo ft h i sp r p e ri st ob u i l d8 1 , c o n n e c t i o nb e t w e e np r o b 曲 t i cf u z z ys e t sa n dr - f u z z ys e t s f i r s t l y , t h er e l a t i o n sb e t w e e nf u z z y p r o b a b i l i s t i es e t sm i d7 一f u z z ys e t sa r ed i s c u s s e d an e wc o n c e p to f 一 f u z z yn e e d s e ti sp r e s e n t e da n di ti sp o i n t e da f u z z yp r o b a b i l i s t i es e t i sa ne q u i v a l e n tc l a s so far - f u z z yn e s t e ds e t s e c o n d l y , w eg e n e r a l i z e t h ec o n c e p t ；o f ，一f u z z ys e to i lr - f u z z ys e tt h e o r y , m a dt h ec o n c e p to f r - b i f u z z ys e t , r i dr b i f t t z z yn e s t e ds e ti sp r e s e n t e d t h e nt h ep r o p e r - t i e so fi t8 1 es t u d i e d f i n a l l y , b yt h eu s eo f ，- 一b i f u z z yn e s t e ds e t ，t h e r e l a t i o n sb e t w e e nr - b i f u z z ys e ta n db i f u z z yp r o b a , b i l i s t i cs e tp r e s e n t e d 随机模糊集与概率模糊集的研究 k e yw o r d s ：f u z z yp r o b a b i l i s t i cs e t ；r f u 五猡s e t ；r - f u z z yn e s t e ds e t ； b i i u z z yp r o b a b i l i s t i cs e t ；r - b i f u z z ys e t ；，- b i f u z z yn e s t e ds e t 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他 同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢 意 靴敝储虢动易 日期：彬步玎 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权辽宁 师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存、汇编学位论文。保密的论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 幻况害导教师签鲁锄后 日期： 。 蜥 、s | 随机模糊集与概率模糊集的研究 随机模糊集与概率模糊集的研究 1引言 1 9 6 5 年，美国计算机与控制论专家l a z a d e h 教授在文献5 1 中提出了模糊 集的概念，开创了研究和处理模糊性或不确定性问题的方法，迄今已呈现出了 广阔的应用前景。 四十多年来，模糊理论与技术得到迅猛的发展，国内外学者在这个领域做 了大量卓有成效的工作，其中许多探索是具有突破性的。在理论上，形成了模 糊拓扑学，模糊分析学，模糊代数学和非经典逻辑等系统的理论。在应用中， 形成了近似推理，模糊控制，模糊优化和模糊决策等比较系统的理论和方法。 在模糊系统与随机系统两种不确定性系统的研究中，汪培庄建立了模糊集与 随机集落影理论9 】，李洪兴指出：任给一个模糊系统琴的模糊推理规则组，一 定可将该模糊推理转化为一个随机系统量的概率密度。反之，任给一个随机系 统量的概率密度，必可将概率密度转化为一个模糊系统君的模糊推理规则组，这 更加揭示了模糊系统理论与概率论之间的密切联系。 1 9 7 5 年，h i r o t a 提出了模糊概率集的概念f 4 1 。之后，g e r s t e n k o r n 和m a m k o 在 文献【2 1 中给出了双模糊概率集的概念。而r 一模糊集的概念是1 9 9 6 年由l iq 、w a a g p 及l e ees 在文献 6 】中提出的。这一概念的提出不但体现模糊集隶属函数的客 观性，还避免违反排中律。在模糊集理论中，模糊这个概念中所包含的不确定 性不是静止的，会随着时间和环境而改变，因此具有一定的随机性。如：在不 同的场所、不同的时间、对不同的人群，“高个子的人”这个模糊的概念具有 不同的意义。所以要引入r 一模糊集这一概念。然而，概率模糊集和随机模糊集 之间的联系还没有被研究和描述过，本文对此问题进行了讨论。 在第3 章中，首先，利用集合套理论f 3 ，7 ，8 1 及7 一模糊集理论6 1 给出了r 模糊 集合套的概念，并指出模糊概率集可看作是r 模糊集合套的等价类，即通过利 用r 一模糊集合套的性质在模糊概率集和r 模糊集之间建立联系。 第4 章利用直觉模糊集的理论【1 】，给出了r 一直觉模糊集的概念及r 一直觉集合 昏的概念，并讨论了其性质。最后，通过利用r 一直觉集合套讨论了双模糊概率 集和r 一直觉模糊集的联系。 1 随机模糊集与概率模糊集的研究 2 预备知识 x 的经典子集( 普通子集) 可审其特征函数) _ 唯一确定，) _ 0 ) 指明z 对a 的 隶属程度。不过隶属度只取0 与l 两种值，它反映了z 绝对不属于a 与绝对属 于a 两种状况，因而它只能表现“非此即彼刀的确切概念。如果打破隶属程度 只取0 与1 的限制，就可以表现“亦此亦彼刀的模糊概念。l a z a d e h 正是由此提 出模糊子集的概念。 定义2 1 【1 9 】给定映射纵：x 一【0 ，1 ，zh 肌( z ) 。我们说纵确定一个x 的 模糊子集a 。纵称为a 的隶属函数，m 0 ) 称为z 对a 的隶属度。 当纵的值域是 0 ，1 时，a 就是经典子集，而纵就是它的特征函数。所以经 典子集是特殊的模糊子集。 全体x 的模糊子集组成的集合记作f ( x ) ，称为x 的模糊幂集。 定义2 2 【1 9 】设a ，b f ( x ) ，定义运算a u b ，a n b ，介如下： ，a u b ( z ) 全p a ( z ) vp 曰( z ) 胁b ( z ) 全一a p a t x ) ap b t x )纵n b 哆j2 ，l a c ( 。) 全1 一p a ( z ) aub 与anb 分别称为a 、j e 7 的并集与交集，而小称为a 的余集。 模糊子集的并、交、余运算具有下列性质： ( 1 ) 幂等律： aua = a ，an - a = a ； ( 2 ) 交换律： at ob=bua ，anb=bna ； ( 3 ) 结合律：( aub ) uc =a u ( bug ) ， ( anb ) nc =a n ( b n c ) ； ( 4 ) 吸收律：a n ( a u b ) = a ，a u ( a n b ) = a ； ( 5 ) 分配律：( aub ) nc = ( a nc ) u ( bnc ) ， ( anb ) uc = ( a uc ) n ( buc ) ； ( 6 ) x 与d 满足： xna = a ，xua = x ，9na = 9 ，口ua = a ； ( 7 ) 复原律：( a 。) 。= a ； ( 8 ) 对偶律：( aub ) c = a 。nb c ，( anb ) 。= 斗ub c 。 这些运算的验证可以直接由它们的隶属度来验证。应该指出，在f ( x ) 中补 余律不成立，因为一般情况下( o 纵( z ) 入) 分别为a 的k 截集和八强截集。 截集具有以下性质： 性质l ： ( aub ) = a ub a ，( anb ) a = a n 上玖， ( aub h = a ub , x ，( anb ) a = anb x ； 性质2 ： ( t 吕a 2 ) a2 。吕a p ，( 。b a ) a2 。2 t a ( 0 ， ( 。吕a ) 墨= 。吕越，( 。吕a 2 ) 玉。吕掣； 性质3 ：a a o 性质4 ： a 1 入2 令a a l ，如，2 如，如i2a 抛； 性质5 ： na = a ，n a = a ， 口 a 一一 性质6 ： ( 介) a = ( a z a ) 。，( 介淦= ( a 1 一a ) c ； 性质7 ：a o = x ，a 1 = d 。 定义2 4 【1 9 】设a f ( x ) ，a 0 ，1 】，规定入a f ( x ) ，它的隶属函数为 ( a a ) ( x ) 全aa a ( z ) 特别地，若a p ( x ) ，贝u ( a a ) c x ) = 入aa 0 ) 。 显然，我们有 ( 1 ) a 1 a ) = a ( z ) - 满足： h ：【0 ，1 】_ p ( x ) 入hh ( a ) ( 枞【0 ，1 】) 厶h ( a ) a a 则( 1 ) 肚a 删u a 日( 入) ； ( 2 ) 入1 入2 = h ( a 1 ) 2 日( 入2 ) ； ( 3 ) a a = 县日( q ) ( 入o ) ，a a2 鼓日( 口) q 1 ) 口口户 证明：( 1 ) a 玉h ( a ) a a 专a 厶a h ( a ) 入a 号a = u ，a 如u ，1 】入日( 入) cu ，1 】a a = a x e o i lx e ox e l o， 一 ，1 】 。 ，1 】 号a = ua h ( a ) 。 a e o ，i l ( 2 ) a 1 a 2 兮h ( a i ) 2a a 。2a a 。2h ( a 2 ) 。 ( 3 ) v a a ，h ( a ) 2 如2a xjq 、呱a ) a x ( a 0 ) a 又 耍a 日( q ) 囊a a = a 。黾a ) 2 a ( 入o ) 口 aa ao a ( 7 u r 峨) ( 口) _ 叫u ( 甚甄( a ) ) 2 * ( 兰q ( 口) ) = 7 u rt ( 也) 玉2 ( 甚t ( q ) ) 玉 5 随机模糊集与概率模糊集的研究 t ( 甚q ) 2 吕t ( q ) ( 7 ) v a ( 0 ，1 】， t ( h ca = q 、h c ( a ) = q ( 日( 1 一q ) ) c - na ) 三( 【o ，1 】) 。 定义2 6 1 4 设x 是一个集合，映射a ：x e ( 【0 ，1 】) 称作一个模糊概率 集。 ( x ) = 似i a 为x 上的一个模糊概率集) 。 定义2 7 【6 】 设x 是一个集合，映射a ：x _ 量( o ，1 ) ) 称作为一个卜模糊 集。 p n ( x ) = a i a 勾x 上的一个r - 模糊集) 。 在f n ( x ) 和玮( x ) 中，有下面的运算： a b 营a ( z ) ( u ) j e 7 ( z ) ( u ) ，沈五乩q ( 亘a ) ( z ) = 里a ( z ) ；( 点a ) ( 茁) = 墨a ( z ) ；小( z ) = 1 一a ( z ) 。 x 0 ) p ) 兰1 ；d 0 ) p ) 三0 。 定义2 8 1 8 】 设q 是( o ，1 ) g _ i e _ l 的一个可数子集，并且满足： ( 1 ) 口qj1 一口q ； ( 2 ) v a i ，a 2 ( 0 ，1 ) ，a 1 入2 号了a q ，入l q a 2 ； ( 3 ) v a ( 0 ，1 ) ，a = v a l q 入，口q ) 。 则q 称为( o ，1 ) 上的可数稠密子集。 定义2 9 【8 】 设尸( x ) 是集合x 的幂集，q 是( o ，1 ) 上的一个可数稠密子集。若 映射h ：q _ p ( x ) 满足： 入l a 2 净h ( a 2 ) h ( a 1 ) 则日是x 上的一个可数集合套。 定义2 1 0 1 设x 为一个集合，若映射 a ：x 一【0 ，1 】x1 0 ，1 】 6 随机模糊集与概率模糊集的研究 。卜a ( z ) 全( 月p ( z ) ，月( z ) ) 其中 4 ：x 一【o ，1 】，也：x 一【o ，1 】，且4 ( z ) + 也( z ) 1 ，则称其为一 个直觉模糊集。 令x f ( x ) = a l a 为x 上的直觉模糊集) 。在x f ( x ) o e 定义如下的运算： a b 甘( a u ，a ) ( 瓯，毋) 营a 弘( z ) 召0 ( z ) ，4 p ( z ) b y ( z ) 比x aub ：( aub ) 0 ) = a ) v j e 7 0 ) ，即 ( au 曰) ，l ( z ) = a t , ( z ) vb 0 ( z ) ，( au 口) p ( z ) = 月( z ) b 0 ( z ) a n b ：( a n j e 7 ) ( z ) = a ( x ) aj e 7 ) ，即 似nj e 7 ) p ( z ) = 如( z ) a 吼( z ) ，( anj e 7 ) ( z ) = 也( z ) v 尻( z ) a c ：小( z ) = a ( z ) ，即 ( ) p ( 。) = a ( z ) ，( 介) y ( z ) = 4 ( z ) 定义2 1 l n设x 为一个集合，若映射 a ：x _ 置( 【0 ，1 】) e ( 【0 ，1 】) 。卜- a ( z ) 全( a 弘( z ) ，a ，( z ) ) 其中 ：q 一【0 ，1 】，a ：q 一【0 ，1 】，且a p g ) 0 ) + 也 ) 0 ) 1 ，则称 其为一个双模糊概率集。 令i f ( x ) = a l a 为x 上的双模糊概率集) 。在j r ( x ) 中定义如下的运算： a b 营a u ，屯) ( 吼，玩) 营a b u ，a p 玩 4 ( z ) p ) 吼0 ) 0 ) ，如 ) ) 玩0 ) ) 比x 。v w q 亘a ：( 亘a ) o ) = 旦a ( z ) ，即 ( 里a ) p ( z ) = ；呈( a ) p ( z ) ，( 昌o oa ) ，( z ) = ；全0 0 ( a ) y ( z ) ； 西a ：( 亘a ) ( z ) = 圣a o ) ，即 7 随机模糊集与概率模糊集的研究 ( 亘a ) p ( z ) = 墨( a ) p ( z ) ，( 互a ) y 如) = 星( a ) ( z ) ； ：介( z ) = a ( z ) ，即 ( ) p ( z ) = ( z ) ，( ) y ( z ) = 4 ( z ) 3 模糊概率集和卜模糊集 本章将要证明一个模糊概率集是一个r 模糊集合套的等价类。首先，给出 以下定义： 定义3 1设q 是( o ，1 ) 上的一个可数稠密子集。若映射h ：q _ 昂( x ) 满 足： 下： 入1 入2 ：今日( a 2 ) s 日( a 1 ) 则称日为x 上的一个弘模糊集合套。 令( x ) = 日1 日为x 上的一个7 一模糊集合套 。规定( x ) 上的运算如 曼日i ：( 亘凰) ( a ) = 辽凰( a ) ，比q ； = jl=i$-1 置凰：( 亘甄) ( 口) = 齐风( 口) ，v q q ； c ：日c ( q ) = (一q-1hh ( 1) ) ，q ； x ：( x ) ( ) 三1 ，地q ； d ：( d ) ( q ) p ) 三0 ，地q 则可以得到： 定理3 1 ( ( x ) ，u ，n ，c x 一，口) 是一个可数完备的的d em o r g a n 代数。 其次，可以在( x ) 上定义等价关系： 日l 一- 2 铮0 、h 1 ( 及) = 0 、h 2 ( q ) ，坝( 0 ，1 】。 d an 这里q q 。则一是( x ) 上的等价关系。 令【h i = 日l 抒u n ，h 一日) ，且昂( x ) = 【日】1 日0 ) ， 设置u c x ) ，j 1 日和是q 到r ( x ) 的两个映射，且满足： 乃( 入) 2 马日( q ) ，岛( 入) 2 品h c o l )a 8 随机模糊集与概率模糊集的研究 这里a q ，则有下面的结论： 引理3 1 ( 1 ) 霸，岛( x ) ； ( 2 ) a 1 入2 日( a 1 ) 2f h ( a 2 ) ； ( 3 ) 日日聆； ( 4 ) _ f i t ( a ) = u 、h ( q ) ，垓q ， j k ( a ) = q 、互k ( q ) ，坝q ； ( 5 ) e h ( 入) = _ 、( q ) ，v 入q ， j 日( 入) = n 日( q ) ，v 入q 证明：( 1 ) 设a 1 ，入2 q ，且入l 抛 所以厢，岛u a ( x ) 。 ( 2 ) 设入l ，a 2 ，o - o q ，且a 1 o e 0 lo r a 2 所以入1 入2 兮e h ( a i ) 2j ( a 2 ) 。 ( 3 ) 设久1 ，入2 ，a q ，且口 入1 1口 a口 a 由而( 入) 勋( q ) ，枞 口( a o ) ，得0 ，黯( 口) 2 而( 入) ； 又且如( 口) 5 品a 2 口日( 口) 要 日( q ) 冬具a 日( q ) = 厢( 入) ，枞q ， v 0 口日( 口) 裂入日( a 7 ) 三a 甚 日( a ) = 岛( 入) ，枞q ， 比 & 。 由f 日( a ) 互| 日( q ) ，坝 q ( a o ) ， 又0 、日( q ) 9 、日( 口) = ( a ) 。 n a 证明：只需证q ，如( a ) = ( a ) 营坛q ，岛( q ) = 岛，( q ) 9 随机模糊集与概率模糊集的研究 事实上，设矗( q ) = f 日，( a ) ，v a q ，则 u ，厢( a ) = u ，勖，( q ) ，比q ，即岛( 入) = 岛，( 入) ，枞q 。 又设日( 口) = j e ，( q ) ，v a q ，贝0 i ，1 、日( a ) = r 、f _ h ，( a ) ，比q ，即j 日( a ) = j 日，( a ) ，枞q - a 口( = j l 理3 3 若皿一琊，a = 1 ，2 ，) ，日一日，则百甄一旦琊，点皿& 一亘倒，一俨- -ihc 证明：( 1 ) 皿一h g = 1 ，2 ) 号u ，、t t , 0 1 ) = u ，、殿( a ) ，a ( 0 ，1 ) 口) a ) 专掣里噩) ( ) = 裂入( 里甄( 口) ) = 兰o o 裂入噩( 口) = 里岩入联( q ) = 兰要日：( 口) = 裂a ( 星皿) ( a ) ，枞( o ，1 ) j8 及。嚣嚣， ( 2 ) 鼠一h g = 1 ，2 ) 兮f 1 ，、凰( a ) = n ，、联( q ) ，a ( 0 ，1 ) a a 净耍a ( 凸o o 风) ) = 耍a ( 凸( 3 0 日i ) ) = 亘q 口n a 日i ) = 凸o o 是a 趔 ) = 品i o n l o 趔( q ) = 耍a ( 亘趔) ( q ) ，枞( o ，1 ) 令o n o 噩。齐日， ( 3 ) 日日7 专裂a 日( 口) 2 晶日7 ( 口) ，坝( o ，1 ) 令品日c ( q ) 2 耍a ( h 0 一口) ) c 2 1 - 裂1 一a 日( 1 一a ) ) 。= ( 1 一岩。一h 7 ( 1 一q ) ) c = n ，、( 日，( 1 一口) ) 。= 0 、日耙( q ) ，坝( 0 ，1 ) 、i、 jh c h 把 定s t 3 2 在昂( x ) 中定义运算： 曼慨】= 【亘凰】，亘【凰1 = 点皿】， h i c = i s 。】o “ 注：( 1 ) 由引理3 3 可知定义3 2 定义合理。 ( 2 ) 令a 昂( x ) ，巩o r ) = a ，q ( x ) = 巩1 日a ( 口) 三a ，地q ) 。 则( 昂( x ) ，u ，n ，c ) 垡( 昂( x ) ，u ，n ，c ) 。 令n p ( x ) = ( 咒( x ) 一昂( x ) ) u 忍( x ) ，则可以得到一个新的代数系统， 且( p n ( x ) ，u ，n ，c ) 竺( 昂( x ) ，u ，n ，c ) 。 定理3 2令f ：n 日2 ( x ) 一只2 ( x ) 【日】ha h 其中a 日 ) 0 ) = v 伽1 日( 口) ) p ) = 1 ) ，则，是双射，并且 ( 1 ) ，( 豆吲) = 曼，( 网) ； ( 2 ) 几o o ，。, 】) = 点，( 陬】) ； ( 3 ) 加日】。) = ( ，【日】) 。 证明：首先证明，定义合理： 事实上，令1 日 = 阻，】，则v 口q 1 0 随机模糊集与概率模糊集的研究 则 岛( 0 1 ) = 岛，( a ) 冬日( c 瞄( = f 日( 口) v 口i 日 ) 0 ) 0 ) = 1 ) v 恤1 日7 陋) ) ) = 1 ) v 恤i 民r ( 口) 0 ) p ) = 1 ) 令 i 黯( 口，) ( z ) 0 ) = 1 ) ，则尼r ( 入，) ( z ) p ) = 1 。则有而( 口) ( z ) 6 , 2 ) = 1 ， 。 故有v 口i ( 口) ( z ) 0 ) = 1 ) v 恤i 口 a 7 ) = a 7 及v 恤i j j r ( 口) 0 ) p ) = 1 ) v 入7 i f ：f j r ( 入7 ) ( z ) ( u ) = 1 ) ， 贝0 v c x i 查( q ) ( 名) ( u ) = 1 ) = v 【入i f ( a 7 ) ( z ) ( u ) = 1 ) 故a 日= a h ，。 其次，证明，是一个满射。事实上，令a f n ( x ) ，对口q ，令 脚) = 僻黜三： 则三匕( q ) 玮( x ) 且v qj 上“( q ) ) ) = 1 ) = v a l a ( x ) 0 ) 口 = a 0 ) p ) 。 故，( 巩) = a 。 接着，需证明，是一个单射。事实上，令a = ，( 旧) ，则h ( a ) ( z ) 0 ) = 1 = 争a ( z ) ( u ) = v 口i 2 ( q ) ( z ) ( u ) = 1 ) a 。 由于而( a ) = n ，日( q ) ，所以，当f x ( a ) ) ) = o 时，一定存在蜘 ( 2 1 0 入。 当日( 入) = o 时，对v 口 a ，有日( q ) 0 ) ) = 0 ，则日( 咖) 0 7 = l 时， 有咖入 故a ) p ) = v a l h ( c o ( a ：) p ) = 1 ) o 0 入。因此 聃m = 黝美 随机模糊集与概率模糊集的研究 令，( 旧) = 州刎) ，则由( 1 ) 式可得而( 入) = ( 入) ，又日一，因此【日】= 吲，即，是一个单射。 最后，证明，保持运算。 ( 1 ) 令慨】n f a ( x ) ，州凰】) = a ，及嘲屁( x ) ，a = ，( 旧) = 齐a ，则 s - = - i ( h ) ( a ) ( z ) 0 ) = 1 ( ；亘a ) ( z ) p ) a 兮，a ( z ) p ) 入 营，( a ) ( z ) ) = 1 ，( 太( a ) ) ( z ) 0 ) = 1 。 则f 日( a ) = i 互地( a ) 。因此旧】= 【如】= 【点如】= 点】= 点阻】。 2 i = 上 仁上= 工 故凡置吲) = 点，( 陋】) 。 ( 2 ) 令慨】n f n ( x ) ，州甄】) = a ，及旧昂伍) ，a = 州刎) = 嚣a ，则 s - = - l ( 岛) ( 入) ) 0 ) = 1 兮( 旦a ) ( z ) p ) 入兮里a ( z ) o ) 入 兮五，a 0 ) 0 ) 入影甄( 入) ( z ) ) = 1 。 则日( a ) = 量( 入) - - 因1 此【日】= b 】_ 【里如】- 旦】_ 星【日】。 故几亘吲) = 亘，( 阻】) 。 ( 3 ) 令旧】n f n ( x ) ，a = ，( 旧】) ，及吼】n f n ( x ) ，b = ，( 吼】) = 小，则 f m ( 入) ) ( u ) = 1 兮1 一a ) ( u ) a a ) ( u ) 1 一a _ p h ( 1 一a ) ) p ) = 0 营但日( 1 一入) ) 。( z ) 0 ) = 1 兮( 岛) 。( a ) 0 ) 0 ) = 1 则【日1 】= 】= 窿】。= h i 。，则，( 【凰】) = ，( 吲。) 。x b = ，( 【日1 】) = a c = ( 州日】) ) 。 故，( 日 。) = ( ，( 【明) ) c 。 注：由定理3 2 可知，模糊概率集是7 模糊集合套的等价类。因此，此定理揭 示了模糊概率集与7 一模糊集之间的联系。 4 双模糊概率集和r 直觉模糊集 定义4 1设x 为一个集合，着映射 a ：x 一三( o ，1 ) ) 三( o ，1 ) )、 ， j ，。一、lr ，- j ， z - a ( z ) 垒( 4 弘( z ) ，a y ( 。) ) 其中a ( z ) ：q _ o ，1 ) ，也( z ) ：q _ o ，1 ) ，且 4 ( z ) = 1 ) n 凡( z ) = 1 ) = d 。则称其为一个7 _ 直觉模糊集。 1 2 随机模糊集与概率模糊集的研究 令，p n ( z ) = a i a 为x 上的一个7 直觉模糊集 。在，p n ( x ) 中，有如下的运 a b 营( a i , ，a v ) ( 吼，玩) 4 吼，也玩 营4 ( z ) p ) b i , 0 ) p ) ，a ( $ ) 0 ) 玩( z ) ) 比x ，乩q 旦a ：( 要a ) ( z ) = 要a ( z ) ，即 ( 曼a ) p ( z ) = 旦( a ) p 0 ) ，( 亘a ) p 0 ) = 天( a ) y ( z ) ； 仁上仁工仁工s , - = - i 亘a ：( 互a ) ( z ) = 圣a ( z ) ，即 ( 点a ) p ( z ) = 天( a ) p ( z ) ，( 点a ) p o ) = 里( a ) y ( z ) ； =1$-1=上= l 小：a c ( x ) = 雨，即 ，( 4 c ) p ( z ) = a p ( z ) ，( a 。) ( z ) = a p ( z ) 上述运算有以下性质：令ab ，c i p ( x ) ( 1 ) 幂等律： aua = a ，ana = a ，即 ua ) p = 4 ，( a na ) p = 4 ，( aua ) p = a ，( ana ) y = 也； ( 2 ) 交换律： aub=bt ja ，anb=br la ，即 ( aub ) p = ( b u a ) p ，( anb ) p = ( b n a ) p ， ( aub ) p = ( bua ) p ，( anb ) p = ( bna ) ； ( 3 ) 结合律：( aub ) uc =a u ( b t _ jc ) ，( anb ) nc=a n ( b nc ) ，即 ( ( auj e 7 ) uc ) p = ( au ( buc ) ) p ， ( ( anb ) nc ) p = ( an ( bnc ) ) p ， ( ( auj e 7 ) uc ) p = ( au ( buc ) ) p ， ( ( anb ) nc ) p = ( an ( bnc ) ) p ； ( 4 ) 吸收律： a n ( a ub ) = a ，au ( anb ) = a ，即 ( an ( aub ) ) p = 4 p ，( au ( an 男) ) i = 4 ， ( an ( a ub ) ) y = 屯，( au ( anb ) ) y = 屯； ( 5 ) 分配律：( aub ) ng = ( a nc ) u ( bnc ) ， ( anb ) uc = ( a uc ) n ( bt _ jc ) ，即 ( ( au 召) nc ) p = ( ( a nc ) u ( bnc ) ) p ， 1 3 随机模糊集与概率模糊集的研究 ( ( anb ) uc ) p = ( c a uc ) n ( buc ) ) p ， ( ( au 曰) nc ) p = ( ( a nc ) u ( bn c ) ) p ， ( ( anb ) uc ) p = ( c a uc ) n ( bu c ) ) ，； ( 6 ) 恒等律：xna = a ，xua = x ，9na = d ，dua = a ，即 僻n 舢p = 4 ，( x ua h = 耳，( dnq p = 毗，( 9u 舢p = 4 ， ( xna ) y = 也，( xua ) ，= 五，( 9na ) 。= 乱，( 口ua ) p = 屯； ( 7 ) 复原律：( 介) 。= a ，即( ) 。) p = 4 ，( ( 斗) 。) p = a p ； ( 8 ) 对偶律：( aub ) 。= nb c ，( an 日) 。= 斗ub 。，即 ( ( aub ) c ) p = ( 小nb 。) p ，( ( anb ) c ) p = ( 岔ub 。) p ， ( ( aub ) c ) p = ( 斗nb c ) p ，( ( anb ) 。) p = ( ub 。) ，。 定义4 2设q 是( o ，1 ) 上的一个可数稠密子集。若映射 h ：q 一，p n ( x ) a 卜日( a ) 全( 上0 ( z ) ，五乙( z ) ) 满足： 入l 入2 = 日( a 2 ) h ( 入1 ) 即上0 ( 入1 ) 2z 0 ( 入2 ) ，日l ，( 入1 ) z 乙( a 2 ) ，则称日为x 上的一个7 直觉集合 套。 令几r n ( x ) = ( h i h 为x 上的一个r - 直觉集合套) 。定义几k ( x ) 上的运算如 亘风：( 亘日i ) ( 入) = 百凰( a ) ，坝q ，即 ( 曼风) p ( a ) = - - 1 里( 风) p ( 入) ，( 量风) p ( 入) = 互( 皿) ，( a ) ； 点甄：( 点凰) ( 入) = 齐风( 入) ，坝q ，即 ( 氕凰) p ( 入) = - - 1 置( 凰) p ( 入) ，( 艽凰) p ( 入) = o u l o ( 日i ) p ( 入) ； t - - - - - i = 1t - - - - - j t = 上 h c ：日c ( 入) = ( 丑( 1 一a ) ) c ，v 入q ，即 ( 日c ) p ( a ) = ( 上0 ( 1 一a ) ) c ，( 日。) p ( a ) = ( 王0 ( 1 一入) ) 。 由此可以得到下面的结论： 定理4 1 ( 几b ( x ) ，u ，n ，c ) 是一个可数完备的d em o r g a n 代数。 在几k ( x ) 中，定义关系“一刀： 1 4 随机模糊集与概率模糊集的研究 衄一飓兮n ，h i ( q ) = n ，日2 ( 口) ，坝( 0 ，1 】 i f h i 一2 旦( 日1 ) p ( 口卜一nc h ，) p ( q ) ，易( 日1 ) y ( q ) 。拮) p ) 则一是几b ( x ) 上的等价关系。 。 令【日】= 日i s 儿如，h 一日) ，且j 砭( x ) = “日】1 日j c ，n ) ) z l l m 4 1设h 几r n ( x ) ，毋f 和是q 到，尸n ( x ) 的两个映射，且满足： 即 而( a ) _ 砌nh ( 0 0 ，岛( 入) _ 蹦u 日( 口) ( f 日) p ( 入) = 3 吼( a ) ，( 岛) ，- ( 入) 。兰吼( ( 勖) p ( a ) 一砌u 矾( q ) ，( 岛) p ( 入) 2 矾( q ) 这里口q ，则有下面的结论： ( 1 ) f ，查儿，n ( x ) ； ( 2 ) 入1 a 2 兮日( 入1 ) 2f k ( 入2 ) ； ( 3 ) 日日冬岛； ( 4 ) 日( a ) = u 、而( a ) ，v a q ， 乃( 入) = n 岛( 口) ，v 入q ； ( 5 ) f _ x ( 入) = u ，、日( q ) ，v 入q ， 晶( a ) = n ，岛(