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等角螺线及其它 何谓等角螺线 等角螺线的方程式 趣史一则 等角螺线上的相似性质 黄金分割与等角螺线 等角螺线的弧长 等角螺线的再生性质 其它螺线举例 几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？ 笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。 基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。 何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点 A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？ 假设四只狗在某一时刻的位置分别为 A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知 也是正方形，而且它的中心也就是正方形 的中心 O。更进一步地，由于在 A1 点的甲狗系冲向在 B1 点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量 上。或者说，甲狗所跑的路径在 A1 点的切线与直线 OA1 形成 45的夹角。同理， 图一 乙狗所跑的路径在 B1 点的切线与直线 OB1 形成 45的夹角等等。 一般而言，若一曲线在每个点 P 的切向量都与某定点 O 至此点 P 所成的向量 夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral)，O 点称为它的极点 (pole)。 前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此等角螺线中的定角是 （或 ，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形 的中心 O。 等角螺线的方程式在坐标平面上，若极坐标方程式 表示一等角螺线（），其极点是原点 O，定角为 ( )，则因在点 的切向量为 所以，可得 即 由此可得下述结果： 换言之，此等角螺线的极坐标方程式为 在前面所提的四狗追逐问题中，若中心 O 是极点而点 A 的极坐标为 ，则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上： , , , 前面所提的 ，就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral)。 趣史一则等角螺线的性质，笛卡儿（R. Descartes, 15961650）在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。托里拆利（E. Torricelli, 16081647年）却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。 对于等角螺线的探讨，以伯努利（J. Bernoulli, 16541705年）的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线 (pedal curve)；求等角螺线的渐屈线 (evolute)；求等角螺线反演曲线 (inversive curve)；求等角螺线的焦线 (caustic curve)；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation)，由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：Eadem mutata resurgo（虽然某些状况改变了，我却保持不变）。这是继阿基米德（纪元前三世纪）之后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。 等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式 ，可以看出：对每个 值，都有一个对应的 r 值；而且不同的 值所对应的 r 值也不同（因为 ）。这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着 值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点附近。若 ，则当 时，曲线聚集在极点附近。若 ，则当 时，曲线愈绕越远。图二是等角螺线的一部分 。 图二 图三 若辐角 , 构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径 ， ， ， 就构成等比数列。若令 Pn 表示极坐标 的点，则上述结果表示 , , , 构成一个等比数列。又因 ，所以可知 与 相似。由此可知： 构成一个等比数列。 若上述等差数列 , 的公差是 ，P1, P2, P3, 等乃是过极点的一射线与等角螺线的交点。可见：过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。 对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线 伸缩 m 倍，则所得的图形是等角螺线 。因为 ，所以可找到一个实数 使得 。于是伸缩后的图形为 ，这个图形其实就是等角螺线 绕极点顺时针旋转 角所得，它自然与原等角螺线 全等。 根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后，必与该等角螺线上的另一弧全等。事实上，若等角螺线 经伸缩成 ，则在等角螺线 ，辐角 满足 的弧，经伸缩后必与该等角螺线上辐角 满足 的弧全等。等角螺线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。例如：许多贝壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩服造物之奇。 图四 黄金分割与等角螺线环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？ 图五 在图五中，、 等是一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即：边的比值相等），而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。如： 是由 挖掉正方形 而得的。此时，上列矩形的第一个顶点 A、C、E、G、I、K 等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是 、 等共交的点 O。若以 O 为极点，射线 为极轴，且 A 的极坐标为 ，则此等角螺线的极坐标方程式为 其中 。此等角螺线通常称为黄金螺线。 为什么会扯上 呢？原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。因为由 与 可得 若线段 上的一点 C 满足 ，则称 C 点将 黄金分割。当 C 点将 黄金分割时， （或 ）的值是 ，此数称为黄金分割比。若一矩形的长边与短边的比值为 ，则此矩形称为黄金矩形。 由黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗？ 在图六中 、等是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形，都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。例如： 是由 挖掉等腰三角形 而得的。 图六 此时，上列等腰三角形的顶点 A、B、C、D、E、F、G、H、等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是 与 的交点 O。若以 O 为极点、射线 为极轴、且 A 的极坐标为 ，则此等角螺线的极坐标方程式为 其 。此等角螺线也称为黄金螺线。 此等角螺线也扯上 ，其理由如下：上述的相似等腰三角形 ABC 等，可证明其顶角为 36，而底角为 72，所以， 。此种三角形称为黄金三角形。 等角螺线的弧长假定我们想计算等角螺线 上，辐角 满足 那段弧的长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间 等分成 n 等分，设每一等分的长为 h，即 。又令 Pi 表示极坐标 ( ) 的点，i=0,1,2,n，先考虑所得折线的长 + + + 。若这个和在 （或 ）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。 上述的折线长怎么计算呢？因为 与 相似，所以 = = 由此可得 另一方面，利用余弦定律可求得 再根据微积分中的LHospital法则，可得 由此可得 由此可知：在等角螺线 上，辐角 满足 那段弧的长为： 此值等于该弧的两端点向径之差与 的乘积。 在 的情形中，因为当 时，可得 ，所以，极点可以看成是等角螺线的一个终极位置。我们也因此可以问：由点 绕回极点 O 的长度为多少？这段弧是辐角 满足 所对应的部分，它的长度可以分别考虑 满足 、 、 等部分的弧长，然后相加而得。因此，由 至 O 的弧长等于 前面所得的结果，可以做一项有趣的几何解释：过 O 作一直线与 垂直，因为过 P 的切线与 不垂直，所以，上述垂直线与切线交于一点 T。由于 ，于是，可得 。换言之，由 P 点绕回 O 点的弧长与 的长相等，这就是托里拆利所发现的性质（见图七）。 图七 前段所提的性质，还可作如下的解释：设想等角螺线在直线 PT 上作不滑的滚动，则极点 O 最后会移动到 T，而且在滚动过程中，O 点的运动路径就是 。 等角螺线的再生性质垂足曲线设 C 为一曲线而 O 为一定点，自 O 向 C 的所有切线作垂直线，则所有垂足所成的图形称为曲线 C 对定点 O 的垂足曲线。 若 C 是等角螺线 ，则 C 对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线，为什么呢？在图七中，若 是在切线 PT 上的垂足，则 ，而 是 P 的辐角（设 ）。因此，可得 换言之，所有 H 点构成等角螺线 。焦线设 C 为一曲线而 O 为一定点，将过 O 的所有直线都对曲线 C 作反射，若反射所得的所有直线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线 C 对定点 O 的焦线。 若 C 是等角螺线 ，则 C 对其极点的焦线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。设 P 是等角螺线 C 上一点， 是极点 O 对于过 P 之法线的对称点，则直线 OP 对等角螺线 C 反射，所得的直线就是直线 PR（见图七）。显然， ，而且 是点 P 的辐角（设 ）。因此，可得 换言之，所有 R 点构成等角螺线 。因为此等角螺线过 R 点的切线与直线 OR 的夹角等于 ，而直线 PR 正具有这项性质。也就是说，直线 PR 就是此等角螺线在 R 点的切线。因此，此等角螺线就是原等角螺线 对极点 O 的焦线。渐屈线设 C 为一曲线，作 C 的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线 C 的渐屈线。 若 C 是等角螺线 ，则 C 的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。设 P 是等角螺线 C 上一点， 在过 P 的法线上而且 （见图七）。显然， ，而且 是点 P 的辐角（设 ）。因此，可得 换言之，所有 N 点构成等角螺线 。因为此等角螺线过 N 点的切线与直线 ON 的夹角等于 ，而法线 PN 正具有这项性质。也就是说，法线 PN 就是此等角螺线在 N 点的切线。因此，此等角螺线就是 的渐屈线。 曲线 C 的渐屈线也可定义为曲线 C 的每个点的曲率中心所成的图形。在图七中，该等角螺线在 P 点的曲率中心就是 N、曲率半径就是 （ ）。 习题： 试证图七中的所有 T 点所成的图形仍是一个全等的等角螺线，称为原等角螺线的渐伸线 (involute)。 其它螺线举例除了等角螺线外，数学上还有许多不同形式的螺线，像阿基米德螺线、双曲螺线 (hyperbolic spiral)、拋物螺线 (parabolic spiral)、连锁螺线 (lituus) 等，其中的阿基米德螺线最为有趣，我们略作介绍如下。 向径与辐角的比值是常数时，其轨迹称为阿基米得螺线。以极坐标表示时，其方程式为 ，其中 a 是常数。 早在古希腊时代，大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究，并写成一篇名为On spirals的作品。 在图八中，PQR 是一把木匠用的曲尺，其短臂的内侧 之长为 a，圆 O 的半径也为 a，A 与 B 是圆 O 上两点，而且 是直角。首先，将曲尺上的 P 与 Q 分别置于 O 与 B，然后将曲尺的长臂内侧 沿着圆 O 滚动，则在滚动过程中，P 点所经过的路径就是阿基米德螺线 的一部份。为什么呢？在图八中， 已经滚动到与 O 相切于 T 点。则 = 弧TB 的长。设 。于是，可得 = = 弧 TB 的长 = （此处 系以弪为单位）。 因为向径与辐角成比例，所以，阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动，在图九中，有一个心状的图形是由两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成，它们的极点都是 O，其上的 F 则连接在一个可上下移动的杆子上。当心状图形以等角速绕 O 点转动时，就可带动上面的杆子作等速直线运动。 图八 将阿基米德螺线对其极点作反演变换 (inversion)，所得的反演曲线是一双曲螺线，所谓反演变换，其意义如下：设圆 O 的