（应用数学专业论文）服从指数ou模型的期权定价研究.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 期权定价理论是现代金融学的重要组成部分，对于传统的b l a c k s c h o l e s 模型， 国内外学者已经做了大量研究工作，获得了许多对金融实践有指导意义的结果。实 证研究表明，股票的预期收益率往往是波动变化的，而不是传统b 1 a c k s c h o l e s 模型 中假设的常数。因此，众多学者放宽b l a c k s c h o l e s 模型的某些假设条件，提出了各 种期权定价模型。 为了更好地反映股票价格运动的实际情况，本文考虑股票价格服从指数o u 模型，运用鞅论，随机分析等数学理论和方法，研究了指数o u 模型下的期权定 价问题：服从指数o u 模型的股票期权定价，服从指数o u 模型的随机利率期权 定价，服从指数o u 模型的回望期权定价，并且得到了相应的期权定价公式。 指数o u 模型是在b l a c k s c h o l e s 模型基础上得到的，我们得到的服从指数o u 模型的期权定价公式与b l a c k s c h o l e s 公式在形式上相似。由于指数o u 模型能更 好地反映股票市场，这样得到的结果更具有实际意义。 关键词：期权定价，指数o u 模型，i t o 公式，g i r s a l l o v 定理 a b s t r a c t o p t i o np r i c i n gt h e 0 巧i sa ni m p o n a l l tp a no fm o d e m f i n a l l c e s c i e l l t i s t sh a v ed o n ea l o to fr e s e a r c h e so nt r a d i t i o n a lb l a c k - s c h o l e sm o d e la 1 1 do b t a i n e ds i 鳃i f i c a i l tr e s u l t s w h i c hi n s t m c tf i n a i l c i a lp r a c t i c ee 艉c t i v e l y e m 嘶c a ls m d i e ss h o wt h a tt h ee x p e c t a l l t a r ea l w a y sn u c t u 锄t ，i ti sn o tc o n s t a n t 弱弱s u m p t i o ni nb l a c k s c h o l e sm o d e l t h e r e f o r e s c i e n t i s t sb r o a d e ns o m ea s s u 盯叩t i o n so ft h eb l a c k s c h o l e sm o d e l ，m a k ev 撕o u so p t i o n a l m o d e l i no r d e rt or e n e c tt h em o v 锄e n to fs t o c kp r i c eb e n w ec o n s i d e ri to b e y e x p o n e i l t i a lo m s t e i n u h l e i l b e c km o d e l i i lt h i sp a p b ym e a n so fm a t h e m a t i c a lt o o l s s u c h 嬲m a n i n g a l e ，s t o c h a s t i ca n a l y s i ss m d y t h ee x p o n e n t i a lo m s t e i n u h l e n b e c km o d e l ， d e d u c eo p t i o np r i c i n ge q u a t i o n s 锄dt h ec o 盯e s p o n d i n g 研c i n gf 0 肌u l a s ，i n c l u d i n gs t o c k o p t i o n 州c i n g ，r a n d o mi n t e r e s to p t i o n 研c i n ga l l d l o o k b a c ko p t i o n 两c i n gu n d e r o m s t e i n u h l e n b e c km o d e l 1 1 1 ee x p o n e n t i a lo m s t e i n - u h l e n b e c km o d e l i sb a s e do nb l a c k - s c h o l e sm o d e l ，a n d t 1 1 eo p t i o np r i c i n gf o m l u l a sh a v es i m i l a rf o mw i t hb l a c k s c h o l e sf o 衄u l a t h i sm o d e l r c f l e c t st l l er e a li n v e s t i i l e l l te n v i r o n m e i l tb 甜e r i ti ss i 印i f i c a i l tw o r ki no p t i o np r i c i n g r e s e a r c h k e yw o r d s ：o p t i o n 埘c i n 舀e x p o n e n t i a lo um o d e l ，i t of o 肌u l 钆g i r s a i l o vm e o 巧 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在文中以 明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：王香细支 日期：9a 年y 月谚日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电了版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技 术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。 作者签名： 诸敞 导师签名：街仁 日期：伊$ 年g 月谚日日期：冲r 月暗日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学 位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的规定 享受相关权益。 作者签名： 日期：加昌年y 月谚日日期：灿黔r 以日 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 1 1 金融衍生产品【1 1 第一章绪论 1 1 1 金融衍生产品的基本概念 金融衍生产品( d 舐v a t i v e s ) 又称为金融衍生证券( d 耐v a t i v e ss e c u r i t i e s ) ，它是 一类新型的金融工具，其价格取决于原生资产( 或称为标的资产) ( u n d 甜y i n ga s s e t ) 的价格。金融衍生产品的价值是由原生资产的价值衍生而成。其中作为标的资产的 可以是股票，债券，货币等基础金融工具，或其它实物资产，也可以是金融衍生工 具本身。 远期合约( f o n a r dc o n t r a c t s ) ，期货( 如t u r e s ) 和期权( o p t i o n s ) 是三种最基本 的金融衍生产品。如果把原生资产设定为股票，债券，汇率或商品等，相应的金融 衍生产品有：股票期货( 期权) ，债券期货( 期权) ，货币期货( 期权) 以及商品期 货( 期权) 等。 下面，我们简单介绍这三种基本衍生产品。 ( 1 ) 远期合约 远期合约是一种特别简单的衍生证券。它是一个在确定将来时刻按确定价格购 买或出售某项资产的协议。它通常在两个金融机构之间或金融机构与其他公司客户 之间签署合约。其中愿意在将来某个确定的日期以某个确定的价格购买标的资产的 一方称为多头( 1 0 n gp o s i t i o n ) 相应的同意在同样的同期以同样的价格出售标的资产 的一方称为空头( s h o r tp o s i t i o n ) 在远期合约中的特定价格称为交割价格( d e l i v e 巧 p r i c e ) ，确定的时间称为交割日( m a t 埘t y ) 远期合约一般都在场外交易 ( o v 盯- t h e - c o 髓t 简称o t c ) 。 ( 2 ) 期货 与远期合约相同期货也是一张在未来确定时间，按确定价格购( 销) 一定数量 原生资产的协议，但它是由远期合约逐步标准化而形成的。他们之间的区别在于： a 期货交易一般在交易所进行； b 期货合约具有标准化条款； c 期货合约上的交割价格通常由场内交易决定，它依赖于供求关系。 ( 3 ) 期权 期权是持有人在确定时间，按照确定价格向出售方购( 销) 一定数量原生资产 的协议，但他不承担必须购入( 销售) 的义务。在期权合约中，确定价格称为实施 价格( e x e r c i s e 砸c e ) 或敲定价格( s t r i k e 州c e ) ，确定同期称为到期同( e x p i r y d a t e ) 。 期权按合约中购入和售出原生资产来划分可分为： 看涨期权( c a l lo p t i o n ) 是一张在确定时间，按确定价格购入一定数量原生资产 的合约。 看跌期权( p u to p t i o n ) 是一张在确定时问，按确定价格出售一定数量原生资产 的合约。 期权按合约中有关实施的条款来划分可分为： 欧式期权( e u r o p e a i lo p t i o n s ) 只能在合约规定的到期同实施。 美式期权( a m 谢c a l lo p t i o n s ) 能在合约规定的到期f 1 以前( 包括到期同) 任何 一个工作日实施。 期权是一种未定权益( c o n t i n g e i l tc l a i m ) ，期权定价本质上就是对一类未定权益 定价，为了取得这个未定权益所需要付出的代价称为期权金( p r 锄i 啪) 。 1 1 2 金融衍生产品的基本功能 衍生工具最主要和最基本的功能在于实现风险的转移，从而为投资者提供套期 保值的有效途径。 在一个不确定的世界中，风险通常被理解为与投资收益始终相伴，具有负效用 的因素。但是有了衍生工具，各种风险的价格可以得到量化，从而使风险与投资收 益相分离，成为一种特殊的商品。 因此，金融衍生证券市场的诞生为原先主要由商品市场和要素市场所构成的市 场体系增加了一个新成员，即风险市场，在这个市场上交易的商品是风险。通过一 定的价格，投资者可以将自己不愿意承担的风险，转交给那些对特定风险有深入研 究的专家，或者那些追求风险收益的投机者。 套期保值就是金融衍生证券风险转移功能的直接体现。套期保值的基本思想是 将两个价值呈现反向运动的资产组合在一起，让它们互为消涨。 1 2 期权定价理论的产生与发展 1 2 1b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论 1 9 7 3 年b l a c k 和s c h 0 1 e s 发表的研c i n go f o p t i o n sa i l dc o 啪r a t el i a b i l i t i e s 【2 1 是 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 期权定价理论的革命性突破。这篇文章给出了欧式股票看涨期权的定价公式，即今 天所称的b 1 a c k s c h o l e s 公式。b l a c k 和s c h o l e s 避免了对未来股票价格概率分布和投 资者的风险偏好的依赖，这主要得益于他们认识到，股票看涨期权可以规避股票的 投资风险，通过一种投资策略，买入一种股票，卖出一定份额的股票看涨期权，可 构成一个无风险投资组合，即投资组合的收益完全独立于股票价格的变化。在资本 市场完全均衡条件下，根据资本资产定价模型，这种投资组合的收益应等于无风险 利率。因此，期权的收益可以用标的股票和无风险资产构成的投资组合来复制。在 无套利情况下，期权价格等于购买投资组合的成本，因此期权价格与股票价格，股 票价格的波动量，无风险利率，执行价格，期权到期同等要素密切相关，其中除了 股票价格波动量之外都是可以直接观察到的。而对股票价格波动量的估计也比对股 票价格未来期望值的估计简单得多。期权价格这种定价思想在b l a c k s c h o l e s 公式中 也得到了体现。 假设期权执行价格为k ，股票价格为s ，股票波动率为盯，期权到期时间r ， 无风险利率为厂，根据b 1 a c k s c h o l e s 公式欧式看涨期权的价格c ( s ，k ) 为 c ( 墨，k ) = 删( 反) 一叫( 如) 其中d。：竺一，d：三一：d。一仃c丁一，cz，表示 服从j 下态分布的分布函数。 1 2 2b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论的扩展 b 1 a c k s c h o l e s 期权定价公式的推出是现代金融理论的重大突破，但由于该模型 过于严格的假设条件，制约了其实用性，使其在理论及应用上均存在缺陷。s h 砷( 1 9 7 8 ) 构造了一个简单的二项式模型，假定经过每一个时期，股价都会上升或者下降某个 固定比例，由于在每一期仅有两种可能的运动，通过对股票与无风险债券的交易， 期权能够很容易得到复制。c o x ( 1 9 7 9 ) 等人利用这种二项式方法来计算期权价格。 c o x r o s s r u b i n s t e i n 模型【3 j 的结果与b 1 a c k s c h o l e s 模型完全一致。当时间间隔越来 越小的时候c o x r o s s r u b i n s t e i n 买方期权的价值会收敛于b l a c k s c h o l e s 公式的定价 价值。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 1 3 期权定价理论的意义 期权是2 0 世纪国际金融市场创新的一个典范，它的诞生对现代金融理论与实践 带来了巨大的冲击和影响。期权定价理论作为现代金融学的重要研究内容，在理论 和实践上都具有非常重要的意义。 ( 1 ) 期权定价理论加速了现代金融学的诞生 上个世纪初，金融学就已经作为一门独立的科学而存在，但在开始的5 0 年中， 它几乎是一门纯粹描述性质的学科，侧重于定性分析。一般认为1 9 5 2 年m 破o w i t z 的开创性工作标志着金融学从一门描述性的学科向分析性学科转变的开端，他的工 作奠定了现代有价证券组合理论的基础。 l9 7 3 年b 1 a c k 和s c h o l e s 发表的“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa 1 1 dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”， 第一次完整的提出了期权定价模型，即著名的b l a c k s c h o l e s 模型( 简称b s 模型) ， 并且得到了期权定价公式。同年m e 缸o n 发表了“t h e o r ) ，o f r a t i o n a lo p t i o n 埘c i n g l 引， 推广了b s 模型。 b s 模型提出后，分析型金融学得到了飞速发展，成为一门新型的学科，日益成 为数学工作者和金融工作者研究的热门领域。 ( 2 ) 期权定价理论促进了金融市场的繁荣 金融学研究的主要对象之一是衍生产品，它的价格依赖于其原生资产的价格。 b s 模型提出后，为了满足金融市场和更多不同投资者的需求，学者们运用期权定 价理论和分析方法，创造设计了许多具有不同特征的期权，例如：回望期权( 1 0 0 k b a c k o p t i o n ) ，亚式期权( a s j a i lo p t i o n ) ，障碍期权( b a r r i e ro p t i o n ) ，彩虹期权( r a i n b o w o p t i o n ) ，重置期权( r e s e to p t i o n ) 等新型期权，这些期权的出现繁荣了金融市场。 期权定价理论的产生与发展推动了金融衍生产品的设计与开发，这些新的衍生产品 扩展了风险共担的机会，促进了市场的完备，降低了交易成本，促进了市场的流动 性，提高了风险管理的有效性，彻底变革了全球金融市场。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 1 随机过程【5 1 第二章基础知识 随机过程( s t o c h a s t i cp r o c e s s ) 是对一连串随机事件动态关系的定量描述。定义 为一组随机变量 x ( f ) ，f 丁) ，其中f 是参数，属于某个指标集r ，r 称为参数集。 一般f 表示时间，当丁= o ，l ，2 ，) 时也称随机过程为随机序列。石( f ) 是定义在空 间q 上的随机变量，可记为x ( t ，缈) ，国q 。 2 2b r o w n 运动【6 1 定义1 若随机过程 z ( t ) ，t o ) 满足 ( 1 ) z ( 0 ) = o ； ( 2 ) z ( t ) ，t o ) 是平稳增量过程； ( 3 ) v s ，t o ，z ( t + s ) 一z ( t ) n ( o ，盯2 ) 则称 z ( t ) ，t 0 ) 是b r o 、n 运动或者、i e i l e r 过程。当仃= l 时，称 z ( t ) ，t o ) 为标准b r o 、v n 运动。 我们要理解遵循b r o w n 运动过程的变量 z ( t ) ，t 0 的行为，可以考虑在小时 间问隔上变量z 值的变化。设一个小的时间间隔长度为f ，定义z 为在f 时间内 的变化。要使z 遵循b r o w n 运动过程，z 必须满足两个基本性质： 性质z 与缸的关系满足方程式z = s 缸； 其中占为从标准正态分布( 即均值为o ，标准差为l 的正态分布) 中抽取的一个 随机值。 性质对任何两个不同时间间隔垃，z 的值相互独立。 从性质，我们得到z 本身具有正态分布， z 的均值= o z 的标准差= 厄 股票价格s 可以用漂移率为s 和方差率为盯2 s 2 的i t o 过程来表示， 嬲= 鼢+ 仃蚍 ( 2 2 1 ) 即 冬：u d t + 讹一= u n t + f i f l ， s 。 而此式也是描述股票价格行为最为广泛使用的一种模型，也叫做几何布朗运动。 变量通常被称为股票价格预期收益率( e x p e c t e d r a t eo f r e t 啪) ，仃称为股票价格波 动率( v o l a t i l i t y ) 。 2 3i t o 定理1 6 】 设p ( f ) ，0 f 研是由( 2 2 1 ) 给出的i t o 过程，g ( s ，f ) 是 o ，叫尺上的二次连 续可微函数，则g ( s ，f ) 仍为n o 过程，并且 d g = c 署+ 箸s + 丢豢仃2 趵出+ 箸盯姚 c 2 t ， 2 4g i r s a n o v 定理【5 l 设( q ，f ，竹为完备概率测度空间，丁 0 在给定的区间【o ，明上，给定一个子盯代 数流( 或者在实际中称为信息流) ) 。定义随机过程 z f ) ， z f = e x p ( f 包蛾一丢f 口( “) 2 砒) ，吲。用 这里饵) 是b r o w n 运动，其概率分布记为p 。 若令 茸= 忍一f p ( “) 幽 ( 2 4 1 ) i i 南 6 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s e ( 器z ) = 唧卿) 蛾一三f 秒2 似) 州 唯一确定了一个与原概率测度p 等价的概率测度q 。 g i r s a n o v 定理实际上给出了一个b r o w n 运动满足一定条件的平移，在一个与 原概率测度等价的测度下仍是b r o w n 运动。而测度变换被广泛运用到数理金融学， 成为衡量市场公平性的依据。 2 5b l a c k - s c h o l e s 微分方程 在七十年代初，b l a c k 和s c h 0 1 e s 取得了一个重大的突破，推导出基于不支付红 利股票的衍生证券的价格所满足的微分方程。这就是著名的b l a c k s c h 0 1 e s 微分方程 矿：望+ 心笪+ ! 盯z s z 粤 ( 2 5 1 ) 现a s2 a s 这个偏微分方程在金融界具有划时代的意义，被称为“华尔街革命”。 b l a c k 和s c h o l e s 在推导之前首先对市场做出了如下假设： ( 1 )股票的平均收益和波动率盯为常数； ( 2 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 3 ) 没有交易费和税收，所有证券都是高度可分的； ( 4 )在衍生证券的有效期内不支付红利； ( 5 ) 不存在无风险的套利机会； ( 6 )证券交易是连续的； ( 7 )无风险利率为常数，且对所有到期日都相同。 2 6b l a c k - s c h o l e s 公式 记c ( 墨f ) 为在f 时刻，欧式看涨期权的价格，则 c ( s ，f ) = j s ! ( d i ) 一k 台r 叫( d 2 ) ( 2 6 1 ) 肌4 = 一毋一卟盯厕， 盯( 丁一f ) 盯( 丁一f ) ( 工) 表示服从正态分布的分布函数。 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章服从指数o u 模型的期权定价 3 1 指数o u 模型【7 1 股票价格s 遵循随机过程硼( f ) = 鼢+ 仃啪，但在该式中，由于股票的预期 收益率是一个常数，这与现实是不吻合的，它不能描述预期收益率波动的情况。 考虑到股票预期收益率的波动，假设预期收益率为( 1 一c l n 墨) 。则s 满足如下随机 微分方程 姆= ( 1 一c l l l 鼍) 墨班+ 盯墨皿 ( 3 1 1 ) 此处墨理解为睾，瓯= l ，c 为。到l 之间的常数，这就是股价波动的指数 o o o m s t e i n u h l e n b e c k 模型。 文献【8 】一【1 1 】分别从个不同的方面和层次对该模型在理论和实际中的应用进行 了深入的研究。文献 8 研究了指数o u 模型下股票价格的波动过程，文献 9 】研究 了指数o u 模型下欧式双向期权的定价，【1 0 和【1 1 】分别介绍了指数o u 模型的权 证定价和在投资项目中的应用。 性质1 如果股票价格墨满足( 3 1 1 ) 则 墨= e x p 去( 一譬) ( 1 一p 卅) + 盯p 堆f p 胛缓】 ( 3 1 2 ) 证由n o 微分公式及( 3 1 1 ) 式可得 弛墨= 等出+ 筹姆+ 三等( 谢 i 8 t 8 s 。 2a s ? 、。 - o + 专啦一圭毒c 鹕，2 = ( 1 一c l i l 墨) 出+ 仃鸩一丢仃2 出 8 = ( ( 1 一c l l l s ) 一丢盯2 ) 出+ 盯啦 令一：l n 置，z = 一丢仃2 ，七= c ， 则上式变为 越= ( m 一) 以+ 仃鸩 由于 d 妒x ) = 材x t d t + d x ： = b x t d t + m k x ) d t + o e h d b ： = e k l m d t + o e 幻d b t 注意到k = l n & = o ，于是 矿墨= 詈( 矿一1 ) + 盯p 魍 七、 句 3 互= 詈( 1 可斯) 岫矿担 于是有 墨= e x p 去( 一手) ( 1 一p 州) + 盯p 叫f 担】 证毕。 性质l 给出了股票价格服从指数o u 过程的解析表达式。不难看出，当c 专o 时，s 恰为几何b r o 、张运动模型的解析解，从而几何b r o w n 运动模型是o u 模型 的一种极限情况，o u 模型是几何b r o w n 运动模型的一种改进。 3 2 服从指数o u 模型的股票期权定价 测度变换在指数o u 模型下对概率测度p 做g i r s a n o v 变换如下 记 口( f ) = 三兰学 ，令 耳= 忍一f 秒( “胁 ，则由 仃 “ e ( 器f ) = e x p ( f 9 ( “) 蛾一丢f 9 2 ) 如) 唯一确定了一个与原概率测度p 等价的概 率测度q ，矿在概率测度q 下是布朗运动。 9 性质2 令= p 叫墨为股票价格的贴现过程，在测度q 下，g 满足随机微分 克程d $ = as l l d 毯。 证因为= p 叫墨， 由i t 0 公式，耐= p 州鹕一肥叫s 班 = e 州 ( 1 一c h s ) 墨出+ 仃墨姆】一比一墨班 = p 叫墨 ( 1 一c l l l 墨) 一，】以+ 仃鸩) = 讲鸩一生坐型盟西】 仃 = s f o d b 证毕。 定理1假设一股票期权在f 时刻的价格为g ( s ，f ) ，那么g ( 墨，f ) 满足微分方程 馏= 詈+ 峰蠹+ 丢删塞 2 证令g ( 墨，f ) = ( ，f ) 则有厂( 譬，f ) = p 州厂( g ，f ) 在测度q 下是鞅。 由性质2 及i t o 公式有 矽+ ( g 力= ( 考p 一一咖叫) 出+ p 叫嚣磷+ 圭p 叫筹( 耐) 2 玎讯鲁们秘2 筝出茜盯珥】 因为e 。( g ，f ) = o 所以 矿= 警+ 丢喇2 筹 叉厌i 为 l o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 鲁= 鲁+ 轰鲁= 鲁+ 嘉c 卅p 州墨 8 ta t a s ：a ta t8 爱、。 i 鲁= 鲁w 玎墨轰 二= = + 阳“6 8 t 8 t l 8 s ： 笪：堕 8 墨8 s t j 笪：墼+ 陀州s 堕：塑+ 心堕 a ta t 1 as?8t8 s 坐：丝 8 s ：2a s ：2 得出结论 曙= 鲁+ 晦砉+ 三删象 证毕。 由此可以看出，这与按几何布朗运动所导出的期权定价公式偏微分方程完全相 同，从而说明了股票期权价值与描述股票波动的随机模型的漂移项无关，因此定价 公式形式相同。 3 3 服从指数o u 模型的随机利率期权定价 在短期情况下，市场利率一般被认为是稳定的，可以看做常数，但是进行中长 期投资时，考虑到国家政策，经济发展状况以及股市的起伏等多种因素都会引起市 场利率的波动，为更准确描述市场利率的变化，学者倾向于使用随机利率进行研究， 文献【1 2 】研究了市场利率波动对期权价值的影响，【1 3 】给出了随机利率下的 b 1 a c k - s c h o l e s 模型，文献 1 4 1 5 】就研究了随机利率下的期权定价，【1 6 】给出了随机利 率下的亚式期权定价。 在文献 1 7 中用几何b r o 、) i ，i l 运动来描述市场利率模型。设口f 为f 时刻利率， 口o = 1 ，砰为标准b r o w n 运动，q 满足随机微分方程 妇，= 鸬q 疵+ 吒口，群 ( 3 3 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 兵中膨为预期币场刺翠，吒为积累值的胖时波动翠。 用市场随机利率模型来处理股票及其期权定价问题，考虑利率的风险，可以更 加准确地反映股票及其期权价值。 在金融市场有效的假定下，通过对概率测度做适当的g i r s a n o v 变换，可以唯一 确定一个与原概率测度等价的概率测度。在新的概率测度下，折现的股票价格是一 个鞅。 设股票价格波定的指数0 u 模型为 鸩= 。( 1 一c l l l s ) s 出+ q s 叫 ( 3 3 2 ) 令= 口1 墨，为股价波动过程的贴现过程，由i t o 公式可得 耐= 署蚶吾鹕畦篆t 蚶 一私+ 毒姆t 争c 蚓2 一睾( 鸬q 出+ c r 2 q 珥) + 丢( 麒l - c l n s ) 墨出+ q 墨删) + 圭等( m 出哪瑚2 一导( 鸬嘶q q 碑) 专吖h 啪+ q 咖詈咖 口口口， = ( 1 一c l i l 墨) 一心+ 露 出+ q 叫一吒僻】 测度变换令皿= 垡字琏，其= 厅可丽，贝! j e 为标 准一维b r o w n 运动。 在指数o u 模型下，对概率测度p 做g i r s a l l o v 变换如下 令耳= e 一胁协，其帕炉芝垒掣， 1 2 硕士学位论文 d a s t e r st h e s i s 则e ( 器f ) = e x p f 9 ) 蛾一三f 口2 ( “) 幽) 唯一确定了一个与原概率测度p 等 价的概率测度q 。耳是概率测度q 下的标准b r o w n 运动。 性质3 在测度q 下，= 酊1 s 满足随机微分方程 d 文= $ 了d 毯 证 群= 口i 1 鹕一町2 s 妃+ 要( 2 口i ，) 墨( 如，) z 2 口1 墨 “( 1 一ch l 墨) 沈+ q 删卜口1 s ( 鸬出+ 吒蟛) + 町1 墨霹出 = ( 一( 1 一c l l l 置) 一如+ z ) 出+ q 删+ 吒蟛 = 文一d 或 证毕。 定理2 服从指数o - u 过程模型的随机利率期权定价所满足的微分方程为 甜g2 鲁蝴啬+ 2 塞3 其中= 鲍一c ，c 。= 霹一呸p ( f ) 鱼生。 证令g ( s ，f ) = 厂( 譬，f ) ，则+ ( 譬，f ) = 町1 厂( ，f ) 在测度q 下是鞅。 由性质3 及i t o 公式有 矾和m ( 和) 吾( m 出慨碑) + 妄( 考碑+ 釉 + 三等魄q 班+ 吒q 僻) 2 + 圭丢筹c 孵，2 = 计( 善一他+ 纠+ 三筹仃屹折一n 蟛+ 毒盯筇晖】 其中耳在测度q 下是鞅，而牟在测度p 下是鞅，令 z f = e x p f 鲍) 蛾一丢f 欧甜) 如) 则 其中 e 口( 口f 1 吒缉e ) = 町1 厂吒岛( 群f ) e 。( 群f ) 2 去e 7 ( 碑z ) ( 贝叶斯公式) 2 去矿嘁血一取一z ，+ z f ) 绷 = 芝e f u 牝t 阡+ 专e f u 暇婚j 2 芝酽u 毯9 嗽d b 。”- = 9 q 、e p 堪b ；d b t f ) 由e 的定义和布朗运动的性质可得 所以 e p ( 群皿z ) = 矿( 群( 争删一争蟛) ( ) = ( 丑) 出 矾和m l ( ( 彳+ 善+ 扣屹争出茜啦) 根据鞅性质 所以有 又因为 e ( 矽+ ( ，f ) f ) = o “弘等+ 丢跏屹筹。8 t2 1 6 s ：z 望：望+ 望箜 8 ta t8 s ：8 t 1 4 毒告q j 簧= 害一c 砉的鲁= 鲁+ 蠢：墨 8 t 8 t 、a s ”a t 8 t a s ? 筹= 彳意 a s ：2 l a s 整理可得 g = 鲁懈嚷+ 丢2 鲁 证毕。 在上述公式中，当吒j0 时，也就是将市场利率看做无风险利率，这时无论股 价服从几何运动模型，还是指数o u 过程模型，对应的期权定价公式完全相同，都 不包含股票价格的增长系数以。其结果是，就算两个人的估计h 不同，其期权价值 仍可能相同。若剧和群独立，则公式中p = o 。 定理3 假设一股票期权到期时刻为丁，执行价格为k ，利率过程为( 3 3 1 ) 式，股票价格过程为( 3 3 2 ) 式，则该股票期权价值g ( s ，f ) 为 g ( 最，f ) = s e x p 【c ( 丁一f ) ( d 1 ) 一k e ) 【p 【一+ ( 丁一f ) ( 吐) ( 3 3 4 ) 其中= 鸬一c ，c + = 霹一吒p ( f ) 鱼乇至，( d ) 为标准正态分布函数， 矾：曼掌心：垒挚 证求服从指数o u 模型的随机利率期权定价即求它所满足的微分方程组 卜鲁嘲意+ 2 警 3 【g ，：r = ( 一k ) + 令x = h l s ，f = r 一厶矿( x ，f ) = 2 ( ，f ) 因为 则方程组( 3 3 3 ) 转变为 令y ( x ，f ) = e 甜+ 肛“( 石，f ) 又因为 塑：一业 a fa f a 2 9 8 s ? 良 a y1 喀一d y ! a s ? a xs ? 。 a 2 l ，1a 矿1 秘s ；a xs ： 卜一筹地一却笔+ 等 【y 例= ( 矿一k ) + 所以方程组( 3 3 5 ) 转换为 即 芸：+ 矽( 励+ 罢) o fo t 翌：p 船+ 肛( 口“+ 坐) 警妒竹c 如砌罢+ 出幽出一 ( 3 3 5 ) p “= c 一+ 口c 鲍一譬，+ 口2 譬胪雾+ c 段一譬+ 2 ，罢+ 譬器 。3 3 6 ， 【“f z o = p 一( 矿一k ) + 令 “+ 一埘( 鸬一争埘2 等 从一+ 口仃”：o 心一t + 口仃2 o 口= 一专c 心一譬，= 圭一笋 肛“圳鸬一争口2 方程组( 3 3 6 ) 转化为 譬= 彳一兰嘉c 他一譬，2 一= 一“一一百i ，一一j 22 仃。”2 l 抛 盯屹a 2 甜 i 一：= 一一 a f2 锄2 卜f - o = p 一( 矿一k ) + 热传导方程组( 3 3 7 ) 的解为 m “( x ，f ) = ik ( x 一手，f 砌( 孝) d 孝 其中缈( 孝) 为初值，k o 一孝，f ) = 了去 一鲤 e2 口吃r ，则有 吣力= e 志f 而p 叫( 孝 1 ( 一f ) 。 y ( x ，f ) = e 啊+ 卢7 “( x ，f ) = e 志p 丽妒增也叫埘 1 ( x f ) 2 巾+ 导( 段争) 7e 最争舞旷增一硝w ( 3 3 7 ) 净巾+ 淞和e 矗争簪瞳黔一膨锩增 d 孝 = i l 七1 2 厶矗净巾+ 淞铷赤e 一甓螺f r c ：赤e 一扣铲+ ( - 2 啦缈耐辄净+ ( - 2 ) ( 铷一和蟛 玎“7e 志e 扣打咖盼亭毗一争倒孵硼d 孝 1 7 玎”7e 志一扣“昂) 2 1 埘蟛 令怫母( 鸬一争 扭。r 广淬矗争扣2 口2 r 州母 却 玎“7r 淬矗争扣4 2 伽锄) + ( 批”却 玎“m wr 淬志e 一扣口2 r r 却 令舻等删2 去芦妣 aq f nz 兀7 、 则 同理， ，一口( 肫一“) f + 。 j l 一( 。x 乩k + ( 鸬+ 譬弦 = 矿什。( l ) o t 厶：舷“7e 志一扣“肫争2 d 善 r 卜蛰岳却 一彬萜罢；强 = 一盔叠叫吁( i 了l ) 将计算结果变回原来变量( s ，t ) ，我们有 g ( s ，f ) = & 。( r f ( 吐) 一k 台一“r 一( d 2 ) 撕：一咖一叫厉， 证毕。 3 4 服从指数o u 模型的回望期权定价 回望期权是一种路径依赖型期权，它的敲定价格依赖与整个“回望期”内的原生 资产的价格。固定履约价格回望期权持有人可以在到期同以标的资产的价格在期权 有效期内的最大值( 或最小值) 来计算其收益。 目前有不少关于回望期权的定价研究参看 1 8 】 1 9 】，文献 2 0 】研究了美式回望期 权提前执行的规则， 2 l 】用二叉树方法对回望期权进行定价，文献【2 2 】研究了随机利 率下的回望期权定价， 2 3 】是有交易成本的回望期权定价研究，文献 2 4 给出了服从 指数o u 模型的欧式期权定价。 在这里我们讨论具有固定履约价格的服从指数o u 模型的回望期权的定价。假 设股票价格服从指数o u 模型过程( 3 1 1 ) ，则s ( f ) 满足性质1 和性质4 。 性质4由文献 2 5 】在概率测度q 下，令 五= 1 1 1 ( 墨s ) ， l = l n ( 懋s s ) 2 黔置， 只2 1 n ( 碑s s ) 2 婢墨。 则r 和只的累计概率分布可以表示为 刚钏_ ( 坐2 h 李( 型妻) ， q ( r y ) = ( f 兰一) 一p ( 7 互一) ， a q tg q t y + ( 厂一要弘圣少+ ( ，一要v q ( 只y ) = ( 上) 一e c r 2 ( 产) o q to q t 其中( x ) = 去百幽。 1 9 推论【2 6 】 又由于标准正态分布的概率密度可以表示为力( x ) = 望凳堕= 去e 一等，则z 和只 的密度函数分别为 厂( y ) = 车q ( r y ) d 1 ， ：去咒。雩，一掌乎。雩，+ 乎去以c 雩，a _ ta q t o o q to _ to t g ( j ，) = 导q ( 咒j ，) d 1 ， ：南甩。擘，+ 字乎c 雩，+ 乎去以c 学，o q to q t a 0 0 ta t a q t 定理4 服从指数o u 模型的固定履约价格美式回望期权的定价公式为： 当心k 时， e q 洲m 一勃州h r ) ( 妒删一半半) 胍咿叫【( 矶仃厕) - ( 扩1 州一堑笔) 】 当m ； k 时， e h 城 ( 彳竹厕) _ ( 争笋删一警p ) 】 删”务删) _ p - ，( ( 争箸州一举p ) 】z r6o 黼：生：墅二。：竺赴二室二竺 证考虑以股票价格s 为标的资产，k 为敲定价格，r 为到期日，买权的到 2 0 q = m a ) 【 恶答墨一k ，o ) 由风险中性定价原理，可得固定履约价格美式回望型看涨期权的价格为 c = p ”7 e q m a ) 【 册s k ，o ) 】 = p 一玎e q 【m a x ( m j k ，o ) = p 叫e q m a x ( 蟛一k ，o ) m ；m _ + p 7 e p m a x ( m 厂一k ，o ) 群 m ：】 = p 7 ( c l + 乞) 其中 f = 丁一f ，( f 是现在估价时的点) 磁= 黔瓯( 最高价格为履约价格) 膨= m a ) 【s ，= 时间( 0 ，t ) 内的最高价格( 已知) 。 o s “鱼 ” m ? = m a 】【墨，= 时间( t ，t ) 内的最高价格( 未知，尚未实现) ，s “s r ” q = 俨 m a ) 【( m ；一k ，o ) 峨m _ 】 = 俨 m a ) 【( m ；一k ，o ) j ，i 】( 其中y = l n ( m ；s ) ，e = l n ( 聊s ) ) l ( m ；一k ) q ( y ) ，若m ：k ( 1 ) 【o ，若弼 m 胡 = e q m a x ( 匕一k ，o ) r y ( 其中r = l n ( m _ s ) ，y = l n ( m ；s ) ) i r 一( y k ) 厂( y ) 砂，若( 聊 足 m ；) ( 3 ) 【e 蚶s ) 一( & ，一k ) 厂( y ) 砂，若( m ， m ； k ) ( 4 ) e k 一( & ，一k ) 厂( j ，) 咖= 一e k & y 厂( y ) 咖+ ke 足厂( y ) 砂 ：一广 缸x s )阱s 学k 姚季。拳，咖 ，妣李去以。芝肌，m 协 ：，驴赤一掣”和一c 扣”半刀一k 7 高形一育砂档( 1 _ 争哪( 矿( 扩删一半) 】 一弋 s 窖t j l l ( 置5 ) 2 叮2 r 1 n ( 足s ) 一( ，一要) r 咖+ 删( 7 上 o t 率- l n ( k 旧七一譬) f 一盯2 ( 产l g t 李 呱 上析 _ 2 & 川卅跚一务硎) - ( 铲州一学) 】 删矶厕叫扩删一学) 由分布积分法( 3 ) 式中的第二项等于 s 学k 姚李。季渺 ：s 学k 多。霉渺 ：s 学乓争。季赢。悯 ：s 学扩。霉圪善一。霉刀 ：s 擘h 瓣。之净哆y 志p 掣砂， 叫白母州一事矿。毒害 叫- 一川妒( 妒删一半) 】 l i l 导竹+ 要) f 其中d ：坠二善。 a q t 所以，当m ：k 时，固定履约价格的回望期权定价公式为 c 玎嘲+ ( 3 ) 】矿 _ 2 州m ( 1 一争f f ( 妒( 妒州一半) 】 + 剧( 一d + 仃石) 一k ( 冬) 争( d 一生) ) 3g - _ 2 删m ”勃州h 州( 妒删一学) 】 + - ，r ( 一d + 盯石) 一( 冬) 争1 ( d 一生) 】 同理，( 4 ) 式等于 峨一( & y k ) 厂( y )