等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析.doc

等差数列及其前n项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本部分在高考中占5-10分左右.【趣味链接】 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。【知识梳理】一、等差数列的相关概念1、等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差通常用字母d表示。2、等差中项 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或推广：3、等差数列通项公式 若等差数列的首项是，公差是，则 推广：，从而。4、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和的公式：；5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差时， (1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为； (2)前和是关于的二次函数且常数项为0。 2、等差数列的增减性 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列， 若公差，则为常数列。 3、通项的关系 当时,则有， 特别地，当时，则有.注： 4、常见的等差数列 （1）若、为等差数列，则都为等差数列。 （2）若是等差数列，则，也成等差数列。 （3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。 5、前n项和的性质 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.当项数为偶数时，则 当项数为奇数时，则 （其中是项数为的等差数列的中间项）6、求的最值（或求中正负分界项）（1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.（2）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和 即当，由可得达到最大值时的值.“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和. 即当，由可得达到最小值时的值.三、等差数列的判定与证明1、等差数列的判定方法：（1）定义法：若或(常数)是等差数列；（2）等差中项：数列是等差数列；（3）数列是等差数列（其中是常数）；（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.2、等差数列的证明方法：定义法：若或(常数)是等差数列【经典例题】【例1】（2006全国）设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a315，a1a2a380，则a11+a12+a13等于（ ）A.120 B.105 C.90 D.75【解析】B【例2】(2008重庆)已知an为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ） A.4 B.5 C.6D.7【解析】C【例3】（2006全国）设是等差数列的前项和，若，则（ ）A B C D【解析】D【例4】（2012四川）设函数，数列是公差不为0的等差数列，则（ ） A.0 B.7 C.14 D.21【解析】D【例5】（2009湖南）设是等差数列的前n项和，已知，则等于( ) A13 B35 C49 D 63 【解析】C【例6】（2009全国理） 设等差数列的前项和为，若,则= . 【解析】24【例7】（2009辽宁理）等差数列的前项和为，且则 .【解析】【例8】（2011福建）已知等差数列an中，a1=1，a3=-3. （I）求数列an的通项公式； （II）若数列an的前k项和Sk=-35，求k的值.【解析】（I）设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n-1）d由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，an=1+（n-1）（-2）=3-2n；（II）由（I）可知an=3-2n，所以Sn=n1+(32n)2=2n-n2，进而由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又kN+，故k=7为所求【例9】（2010山东）已知等差数列满足：，的前项和为. （）求及； （）令（），求数列的前项和为.【解析】（），（）【例10】（2010浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数an的前n项和Sn，满足S2S6150.（）若S5S.求Sn及a1;（）求d的取值范围.【解析】因为SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d28.故d的取值范围为d-2 或d2.【课堂练习】1、（2011江西卷）设为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）A.18 B.20 C.22 D.242、（2006重庆）在等差数列中，若a4+a6=12，Sn是数列的前n项和，则S9的值为（ ）A.48 B.54 C.60 D.663、（2009福建）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（ ）A1 B-1C2 D4、（2011上海）设数列的首项，则_. 5、(2008海南)已知an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = _.6、（2012北京）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=_，Sn=_.7、（2012浙江）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=，nN，数列bn满足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn.8、（2012北京理）已知是等差数列，；也是等差数列，.（1）求数列的通项公式及前项和的公式；（2）数列与是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由.9、（2006北京）设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.【课后作业】1、(2007安徽)等差数列的前项和为，若（ ） A12B10C.8D62、(2008广东)记等差数列的前n项和为，若，则该数列的公 差d=（ ） A7 B. 6 C. 3 D. 23、（2009全国）等差数列中，已知，则n为（ ）A48 B49 C.50 D514、（2007四川）等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）A9 B10 C.11 D12 5、（2008福建）设Sn是等差数列的前n项和，若（ ）A1 B1 C2 D6、（2010北京）已知等差数列an满足1231010则有( )A11010 B21000 C3990 D5151 7、（2010全国II理）如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则( ) A B C.+ D=8、（2012北京理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A13项 B12项 C.11项 D10项9、（2007全国）已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= . 10、（2006山东）设为等差数列的前n项和，14，则.11、（2011全国）等差数列的前n项和记为Sn.已知（）求通项； （）若Sn=242，求n.12、(2008宁夏理)已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值.13、（2010全国）设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，求.【参考答案】【课堂练习】1、B 2、B 3、A 4、153 5、15 6、 ，7、（1）由Sn=，得：当n=1时，；当n2时，nN.由an=4log2bn3，得，nN.（2）由（1）知，nN所以，nN.8、解：（1）设an的公差为d1，bn的公差为d2 由a3=a1+2d1得 所以，所以a2=10, a1+a2+a3=30依题意，得解得，所以bn=3+3(n-1)=3n（2）设an=bm,则8n-6=3m, 既，要是式对非零自然数m、n成立，只需 m+2=8k,所以m=8k-2 ， 代入得，n=3k, ,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切都成立。所以，数列与有无数个相同的项。令24k-6100,得又，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。9.解：（）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3（）由 得 即由+得7d11。即d.由+得13d1 即d于是d又dZ, 故d=1将代入得10a112. 又a1Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项