（运筹学与控制论专业论文）通讯网络下群体的动力学行为.pdf

摘要 本论文从系统控制学科的角度，运用图论、矩阵分析和现代控制理论等工具， 研究通讯网络下群体的动力学行为 我们考虑由多个具有相同动力学性质的个体组成的一类群体，其中每个个体 如果不与其它个体发生作用的情况下是李亚普诺夫稳定的当个体通过通讯网络 采用分布式的线性控制协议的时候，我们分析、证明了群体在一个固定的通讯网 络拓扑结构下的动力学行为，不仅和个体的动力学方程有关，而且和网络结构的 代数特征有关进一步，我们给出了群体出现渐近聚集、周期稳定和发散三种不 同行为的条件在网络存在时滞的情况下也得到类似结果我们运用传递函数和 线性矩阵不等式两种不同的控制理论方法分别给出常时滞和变时滞上界估计的 具体算法 在数字通讯网络的条件下，我们探讨了群体? 昆合系统的动力学行为，证明了 在信息采样周期和个体动力学反馈满足一定的条件下群体行为可能呈现聚集现 象当个体动力学反馈增益固定的时候，我们证明并且给出了存在唯一的信息采 样周期使得群体达到临界周期稳定同时，在信息采样周期固定的情况下，我们 也证明并且给出了存在唯一的动力学反馈增益使得群体达到临界周期稳定 最后，我们还用物理场论的方法建立了一类非线性群体动力学模型，表述个 体间相互作用体现为远距离吸引，近距离排斥的特性，分析并且证明了在无向 加权网络拓扑结构下群体将渐近地聚集到一个有界闭区域在细节平衡( d e t a i l b a l a n c e ) 的有向强连通加权网络拓扑结构中，我们也得到类似结论在数值仿真 中，我们揭示了非线性群体不同的、多样性的聚集现象进一步，我们还通过数 值仿真探讨了在一般性的有向网络拓扑结构下的群体的动力学行为，展示了非线 性模型中群体动力学行为的复杂性 关键词：群体，动力学系统，分布控制，通讯网络，图，非线性，时滞，行为 a b s t r a c t h i t h i st h e s i sd e v o t e st ot h es t u d yo fd y n a m i c a lb e h a v i o ro fm u l t i a g e n ts y s t e m si n n e t w o r kb yt h em e a n so fg r a p ht h e o r y , m a t r i xa n a l y s i s ，c o n t r o lt h e o r ya n ds oo n t h em u l t i a g e n ts y s t e m si nn e t w o r ki sak i n do fs w a r m s ，w h i c hc o n s i s t so fm a n y i d e n t i c a ld y n a m i c a la g e n t s t h ed y n a m i c so fe a c ha g e n ti sl y a p u n o vs t a b l ew h e ni t i sd i s c o n n e c t e dw i t ho t h e ra g e n t s w ed e s i g nal i n e a rd i s t r i b u t e dp r o t o c o lf o rt h ed y - n a m i c a la g e n t si nc o m m u n i c a t i o nn e t w o r k w h e nt h ec o m m u n i c a t e dn e t w o r ki so f f i x e dt o p o l o g ys t r u c t u r e ，w es h o wt h a tt h ed y n a m i cb e h a v i o ro fs w a r m sd e p e n d sn o t o n l yo nt h ed y n a m i c a le q u a t i o n so fa g e n t s ，b u ta l s oo nt h ea l g e b r a i cc h a r a c t e r i s t i c a s s o c i a t e dw i t ht h et o p o l o g yo ft h en e t w o r k m o r e o v e r , w ep r o v i d ew i t ht h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ea g e n t sw i l lg r a d u a l l ya c h i e v ea g g r e g a t i o n 、p e r i o d i c a l l ys t a b l e o rd i v e r g e n tt r a j e c t o r i e s t h es i m i l a rr e s u l t sa r ee x t e n d e dt ot h ec a s et h a tt h ec o m m u - n i c a t i o nn e t w o r ki sw i t ht r a n s m i s s i o nt i m e d e l a y t h et i m e - - d e l a yc o u l db ec o n s t a n t o rt i m e - v a r y i n g i nt h i st r a n s m i s s i o nt i m e d e l a yc a s e ，w eg i v ei nd e t a i la l g o r i t h m st o e s t i m a t et h eu p p e rb o u n d s ，f o rb o t hc a s e s ：c o n s t a n td e l a y sa n dt i m e - v a r y i n gd e l a y s ，b y m e a n so ft r a n s f e rf u n c t i o na n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , r e s p e c t i v e l y u n d e rt h ec o n d i t i o no fd i g i t a lc o m m u n i c a t e dn e t w o r k ，w es t u d yt h ed y n a m i cb e - h a v i o ro ft h es w a l t n sw h i c hi sd e s c r i b e db yh y b r i ds y s t e m s i ti ss h o w n t h a tt h eb e - h a v i o ro ft h es w a r m sw i l la p p e a rg r a d u a l l ya g g r e g a t i o ni ft h es a m p l i n gp e r i o da n d d y n a m i cf e e d b a c ko f e a c ha g e n ta r es a t i s f i e dc e r t a i nc o n d i t i o n s f i x i n gd y n a m i cf e e d - b a c kg a i n ，w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sa nu n i q u es a m p l i n gp e r i o ds u c ht h a tt h es w a r m s a c h i e v ec r i t i c a lp e r i o d i cs t a b i l i t y m o r e o v e r i fw ef i xs a m p l i n gp e r i o d , w ea l s os h o w t h a tt h e r ee x i s t sa nu n i q u ed y n a m i cf e e d b a c kg a i ns u c ht h a tt h es w a r m sa c h i e v e c r i t i c a l p e r i o ds t a b i l i t y f i n a l l y , w ed i s c u s st h en o n l i n e a rs w a r m m o d e lw h e r et h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e n a n yt w oa g e n t sa r ed e s c r i b e db ym e a n s o fp h y s i c a lf i e l d w eu s es o m en o n l i n e a rf u n c t i o n st od e f i n et h ei n t e r a c t i o n st h a tg o v e r n sal o n gr a n g ea t t r a c t i o na n ds h o r tr a n g e r e p u l s i o nn a t u r e i ti ss h o w nt h a tt h em e m b e r so fs w a r m sw i l la s y m p t o t i c a l l yf o r m ac o h e s i v ec l u s t e rw i t hf i n i t es i z ei ft h e i rc o m m u n i c a t i o nn e t w o r ki sa nu n d i r e c t e d w e i g h tt o p o l o g ys t r u c t u r e t h es i m i l a rr e s u l t sc a nb eo b t a i n e du n d e rt h ec o n d i t i o n i v t h a tt h et o p o l o g ys t r u c t u r eo ft h e i rc o m m u n i c a t i o nn e t w o r ki sad i r e c t e dw e i g h td e t a i l e db a l a n c e m e a n w h i l e ，w es h o wt h a tt h e r ee x i s tv a r i o u sa g g r e g a t i o nb e h a v i o r so f s w a r m si nn o n l i n e a rc a s e sb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s m o r e o v e r , w h i l et h ec o m m u n i c a t i o nn e t w o r ko ft h ea g e n t si sad i r e c t e dw e i g h t t o p o l o g ys t r u c t u r e ，t h ed y n a m i cb e h a v i o r so fs w a r m sa r ed i s c u s s e db ys i m u l a t i o n e x a r n p l e s w es h o wt h a tt h ec o m p l e xb e h a v i o r so fs w a r m sd e p e n do nt h ec h o i c e so ft h e n o n l i n e a ra t t r a c t i o na n d r e p u l s i o nf u n c t i o n si ni t sm a t h e m a t i c a lm o d e l s k e y w o r d s ：s w a r m ，d y n a m i cs y s t e m s ，d i s t r i b u t e dc o n t r o l ，c o m m u n i c a t e n e t w o r k , g r a p h ，n o n l i n e a r , d e l a y , b e h a v i o r 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或 撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：嬲一一日期：趟些一一 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 硌婶名绎嗍一二 第一章绪论 1 1 群体整体行为研究的实际背景 群体个体的协调行为是自然界中常见的现象，例如，鸟能成群结队的飞翔与 迁徒，结队巡游的鱼群，协同工作的蚂蚁等等这种集体合作能够使生物群体在 觅食生存、逃避天敌等方面形成集体的意向，实现个体绝不可能实现的目标( 目 的) ，呈现出( 相对于个体) 更为有效、更为强大的功能 早期，人们对群体行为的探索大多是从生物学角度研究自然界中动物群体的 行为，从中发现自然界中许多群体的行为具有极高的组织性、自我保护等功能， 而这种功能在日常生活、军事活动等方面显示巨大演示作用( 【1 】一 1 6 】) 现代，随 着计算机和系统科学的迅猛发展，多智能系统( m u l t i a g e n ts y s t e m s ) ，即由许许 多多智能个体以某种方式相互联络组成的系统，已经成为现代控制理论的热点潮 流( 【1 7 卜【3 3 】) 但是从系统科学的角度而言，群体则是更一般的概念本文统一 用群体这个名词来替代多智能系统 近几年，基于工程方面对自然群体行为中的组织能力及自我保护等功能的模 仿和应用的需要，如多移动机器人系统、无人驾驶飞机等的编队控制( f o r m a t i o n c o n t r 0 1 ) 问题，群体行为的建模、机理、模拟、及控制已成为系统科学领域的一个 重要课题，群体的自组织行为动力学和协调控制是当前国内外的一个热点问题 一般而言，群体研究的形成与发展的轨迹可以分别从哲学、自然科学和系统 科学这三个层面来追溯 在人类漫长的科学思想史里，科学研究的方法论中还原论一直占据着主导地 位也即在了解一个对象的时候，人们通常将它作为一个整体进行分门别类进行 研究例如将生物界做种、群分类，化学着力于物质的化学成分与物质结构研究， 物理学深入到分子、原子、电子，一直到基本粒子等的性质与运动规律的研究 还原论对近代自然科学起了巨大的作用，但其研究方法所具有的局限性亦逐渐凸 显出来到二十世纪中期，随着系统科学作为一门独立科学领域的出现与迅速发 展，突破还原论的呼声也越来越高从方法论的角度讲，对群体的整体行为的研 究，正反映了人类突破还原论思维模式的一种努力 自然界和人类社会都可以看作是由多个个体组成的群体自然界的个体可以 2 通讯网络下群体的动力学行为 理解为昆虫、鸟、鱼、细菌等各种动物人类社会的个体则是由物性个体及人性 个体组成一定数量的自主个体( 也可称智能个体) 通过相互间信息交流与协作， 在集体层面上呈现出相对于个体而言更为有效、更为强大的功能，形成集体的意 向，实现个体绝不可能实现的目标自然界与人类社会呈现的群体行为是与个体 的属性有关，但群体表现的行为、功能往往绝非个体能力的总和，人类的社会活 动说明这个事实这类涌现性群体行为的例子在自然界中有很多，保证了族群在 恶劣的自然环境和与生物种群的争斗中繁衍生息，而脱离群体的生物个体，在自 然界是很难生存的 从系统科学的观点看，群体行为的研究对于理解自然与社会中的复杂现象具 有非常重要的意义一方面，群体行为的研究的重大进展能更深刻地揭示自然的 秘密，深入理解人类社会活动、经济活动的规律；另一方面，这项研究能帮助人 类不断完善和发展新技术例如，近年来，群体动力学的协同控制研究直接为军 事上战术的编队、调控，交通系统的控制，对突发事件的应对，传染病的防治、生 态的维护，可持续发展战略的制定等等，提供必要的理论基础同时，群体行为 的研究对解释生命的起源，意识的形成等也具有极其重要的意义 人们研究群体行为往往从观察自然现象开始，发现自然界中的鸟群、鱼群 等并没有一个统一指挥系统，但依靠个体之间的联系以及一些本能的生化趋向 ( c h e m o t a x i s ) 反应，形成一定的飞行队形，达到运动的一致性( c o n s e n s u s ) 也就 是每个个体与周边个体及周边环境之间的相互作用导致了新的更高水平的群体 行为的涌现但是这些群体行为到底是如何产生的呢? 对这个问题的研究也就是 对群体行为产生机制需要建立合适的数学模型以及发展相应支撑理论在实际 应用中，基于群体及群体行为研究成果，我们也需要设计出有应用目的的人造系 统群体行为的研究内容涉及系统与控制、非线性科学、统计物理、生物学等多 个领域，具有学科交叉性和理论难度就目前而言，关于群体行为建模和理论分 析的研究还处在一个长期探索的过程之中 1 2 群体行为的机制及数学模型 建立群体行为的数学模型，弄清群体所呈现出来的复杂的行为机制，一直是 各门学科研究人员所致力探索的问题生物学家一般通过空间( s p a t i a l ) 和非空 间( n o n s p a t i a l ) 两种不同的方法建立群体数学模型，进而对其动力学行为进行研 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 3 究分析所谓的空间方法，也即在群体模型和分析中含有精确的或者模糊的空间 环境元素，通常有两种截然不同的研究框架：基于个体( i n d i v i d u a l - b a s e d ) 和连续 统一体( c o n t i n u u m ) ，分别又称为l a g r a n g i a n 和e u l e r i a n 框架( 【1 5 】) 在基于个体 ( 或者l a g r a n g i a n ) 研究框架中，每个个体的运动方程是基本概念，显然它也是建 模和分析群体个体相互之间作用和聚集行为的途径在这个框架下，群体行为可 以认为是个体之间遵循远距离吸引、近距离排斥所呈现的一种结果( 【l 】，【2 】) 另一方面，在连续统一体( 或e u l e r i a n ) 研究框架中，主要是运用流通量 ( f l u x ) ，又称为集中或者人口密度( c o n c e n t r a t i o no rp o p u l a t i o nd e n s i t y ) 的连续模 型，通过群体密度的偏微分方程来描述群体动力学( 【5 】，【6 】) 在这种连续统一体 ( 或e u l e r i a n ) 模型框架下，不再逐一考虑每个个体，而是将整个群体作为一个连 续统一体来考虑，水平对流扩散一反应作用( a d v e c t i o n d i f f u s i o n - r e a c t i o n ) 方程 是其基本方程，其中水平对流和扩散方程反应个体行为和周围环境相互作用的结 果，反应作用项则是反应人口的动力学( 1 0 1 一 1 2 1 ) 早期的物理学家在群体行为方面的研究也做了大量的工作( 3 4 1 一【4 0 】) 他 们采用的方法一般是将群体中的每个个体看成一个质点，研究其由于相互作用而 引起的聚集行为在他们的早期工作中大都是假设个体是以一个恒定的速度，并 且在一些随机干扰下朝向其周围邻居的平均方向移动，主要是探讨噪音对群体聚 集行为的影响，并且通过大量的数值仿真来筛选模型 随着计算机功能的e t 益强大，运用计算机及相关软件对群体行为作模拟来研 究也是一种有效方法在2 0 世纪9 0 年代初期，基于群体( 多个体) 模型的发展， 美国圣达菲研究所开发了一个通用的群体行为模拟平台( s w a n ) s w a r m 的 建模思想是建立一系列的个体，通过独立事件之间进行交互，考察和研究系统的 行为和演化规律二十一世纪初，美国麻省理工大学也独立开发了s t a r l o g o 的模 拟仿真平台这些软件平台对研究群体行为具有非常重大的意义但计算机模拟 的结果往往事先无法预测，结果的正确性也无法验证，只能与实际生活中的类似 现象作比较，也没有分析群体活动规律的解析手段 上个世纪八十年代，r e y n o l d s 等人在文献【3 4 】中将自然界群体行为用三条 简单的规则来描述：避免碰撞原则( c o l l i s i o na v o i d a n c e ) ，速度匹配原则( v e l o c i t y m a t c h i n g ) 及集队原则( f l o c kc o n t r o l i n g ) ，提出一个名为b o i d 的模型并且通过 计算机模拟，发现这些无统一指挥的群体通过个体之间相互交换信息及本能的反 映，群体会形成有序的、协调一致的行为九十年代，v i c s e k 等人在文献 3 5 】中 4 通讯网络下群体的动力学行为 采用统计力学的方法，在b i o d 模型的基础上，提出了一个v i c s e k 模型在这个 模型中，用一些非常简单的数学方程描述个体的动力学方程，用网络建立起个体 之间的信息传递及一些简单的相互作用原则通过计算机模拟仿真，结果也发现 整个群体的动力学行为呈现一致性现象 b o i d 模型和v i c s e k 模型的计算机模拟结果很快引起了计算机、物理学、生 物学和数学等多个学科研究人员的兴趣和广泛关注( 【1 7 h 6 l 】) 大家对这种计 算机模拟所呈现的现象力图给出严格的理论解释，希望了解群体能够形成或具有 各种各样能力、行为的机理，并建立适当的数学模型来说明、演绎这种能力与行 为及群体行为形成的机理，再通过计算来预测、并调控群体的行为 就一般性而言，构成一个群体及其行为主要有下面三个要素：动力学个体 ( a g e n t ) ，科技文献中也常称之为智能个体；个体之间的信息交换的通信网络拓 扑结构；以及个体接受到其它个体信息后的反应规则，称之为控制协议( c o n t r o l p r o t o c 0 1 ) 群体生物系统的最初模型往往是启发式的( h e u r i s t i c ) ，上个世纪八十 年代r e y n o l d s 提出的b o i d 模型，将群体活动的机理概括为一些原则，逻辑关系 或数学公式；九十年代v i c s e k 等人用统计力学方法提出的v i c 照k 模型是一个解 析化的群体行为数学模型目前群体行为的模型大致可以分为以下三种： c 1 ) 基于群体整体行为及参数的动力学模型( e u l e r i a n ) 和基于个体及个体 相互问作用描述的动力学模型( l a g r a n g i a n ) ； ( 2 ) 用微分或差分方程结合图论建立起来的确定性模型和用随机微分或差 分方程，结合随机网络建立起来的随机系统模型； ( 3 ) 简单的便于分析的解析化模型和基于复杂行为模拟的仿真模型 进入二十一世纪以来，相继出现大量文献用数学分析方法严格地论述了群体 动力学行为运用比较广泛的数学模型包括用简单的线性积分器j = u 或者牛顿 力学法则f = m a 来描述个体的行为个体之间的可测信息状态用于交流信息， 从而，进一步构成个体的控制协议z ，( c o n t r o lp r o t o c 0 1 ) 典型的控制协议，早期 以m m u r r a y 和r o l f a t i s a b e r 等为代表用个体间的可测状态( 如：距离或相 对位置) 的线性函数来描述引入图论的相关知识，得到群体一致性的一般性结 论( 4 l 】 5 3 】) 进一步地，r o l f a t i s a b e r 等人又从物理学的角度引入非线性能 量场函数，推广这类模型至非线性情形讨论( 【5 4 】- 6 l 】) 另外，以k m p a s s i n o 和vg a z i 等人为代表讨论群体本身的自组织行为( 6 5 】【7 5 】) 考虑一类非线性 动力学模型，其中个体之间的相互作用表现为；两个个体之间有信息交换则这两 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 5 个个体就存在相互作用，而且相互之间距离( 用位置量的范数表示) 比较远则相 互靠近，相互之间距离靠近达到一定程度就互相排斥，以保持合理的各自活动空 间，其理论分析也在一定程度上检验了群体出现中心聚集现象国内研究以北京 大学的智能控制研究小组( i c l ) 为代表，他们的工作揭示了一些不同动力特性的 群体能形成聚集，形成队形或同步行为的数学、物理机制以及一致性的控制等等 ( 【7 6 】- 【1 0 4 】) 群体行为在实际应用中需要我们设计出基于群体及群体行为的实际系统群 体行为的研究内容涉及系统与控制、非线性科学、统计物理、生物学等多个领域， 具有学科交叉性和理论难度群体行为的数学建模要求系统学科与相邻学科，如 有实际背景的生物学、生态学、交通学科，对工程群体，自然群体，社会群体行为 的数学、物理属性有较深刻的理解同时也要有计算机，数学等理科学科方面的 学者进行参与合作，提供必要的模拟仿真和基础理论分析 1 3 主要成果和本论文的结构安排 本论文主要从系统控制学科的角度，运用图论、矩阵分析和控制理论等工具 ( 【l1l 】- 【1 1 9 】) ，研究了通讯网络下复杂群体的动力学行为其主要工作体现在以 下四个方面； ( 1 ) 在已经建立或者经过改进的群体行为的数学模型基础上，我们探讨了 一维群体和二维群体在一个固定的通讯网络拓扑结构下的动力学行为，研究并证 明了群体的动力学行为不仅和个体的动力学方程有关，而且和网络结构的代数特 征有关进一步，我们给出了群体出现聚集、周期稳定和发散三种不同行为的条 件 ( 2 ) 在( 1 ) 的基础上，我们探讨了通讯网络存在时滞的情况下，时滞对系 统动力学行为的影响运用不同的方法分别讨论了有向( 或无向) 通讯网络下， 常时滞和变时滞情形运用传递函数法，我们分析得到了最大常时滞的代数表达 式；同样利用线性矩阵不等式( l m i ) ，我们也给出了变时滞的具体算法，来估计 其上界 ( 3 ) 在数字通讯网络的条件下，我们探索了信息采样周期和个体动力学行为 对群体行为的影响，分别证明并且给出了在群体达到聚集的情况下，信息采样周 期和个体反馈增益必须满足的条件同时，在信息采样周期和个体反馈增益两者 6 通讯网络下群体的动力学行为 固定其一的情况下，我们证明了存在唯一的信息采样周期( 或者个体反馈增益) 使得群体达到i 临界周期稳定 ( 4 ) 从物理量场的角度出发，建立了一类非线性群体动力学模型我们采用 一类非线性函数刻画群体间的吸引和排斥作用，从而揭示了群体内部更丰富的自 组织动力学行为 本文总共由六章组成，为方便阅读，我们尽量使得各章自我包含具体结构 安排如下 第一章的第一、二节中，我们简要介绍了群体研究的实际背景，行为机制和 数学模型，阐述了群体研究的现状与进展；在第三节里我们概括介绍了主要研究 成果和本论文的结构安排；本章的第四节将给出一些数学符号的统一约定、图论 的基本概念和控制系统稳定性的判据等数学知识 第二章主要是论述固定通讯网络下动态群体的整体动力学行为第一节探 讨有向通讯网络下一维动态群体的整体动力学行为，并给出其数值仿真第二节 里，我们分别讨论了在无向和有向通讯网络两种情况下，二维平面上动态个体的 反馈增益和可测状态的误差对群体的整体行为的影响和作用，并且给出了相应的 数值仿真第三节主要探讨虚拟领导对群体行为的影响和作用，并给出相应的数 值仿真最后是对本章内容的一个小结 第三章主要是以二维动态群体为例探讨网络的通讯时滞对动态群体的整体 动力学行为的影响第一节探讨有向网络存在通讯常时滞的情况下群体的整体动 力学行为第二节探讨无向网络存在通讯变时滞的情况，第三节给出相应的数值 仿真最后一节是本章内容的小结 第四章主要探讨数字通讯网络条件下动态群体的动力学行为第一节给出问 题的描述，第二节分为两个小节，并给出本章的主要结果，即采样周期对群体动 力学行为的影响和个体反馈增益对群体动力学行为的影响最后一节是本章内容 的小结 第五章是从物理场的理论出发，建立了群体的一类非线性数学模型，并对其 自组织动力学行为进行分析第一节给出群体行为的一类非线性模型，第二节给 出这类群体的自组织动力学行为的理论分析结果，并在第三节中给出相应的数值 仿真最后是对本章内容的一个小结 第六章是对本篇论文的最后总结，以及将来继续从事复杂群体研究的一些具 体构想 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 1 1 4 1 符号约定 r r k , r 册厅 r e ( z ) 如七 a t a 1 r a n k ( a ) 知赋似) k 切口) 怕i i i x y d i a g ) 理 箩= ( 少，侈，) d 汐) l = d 一西 a 国b 1 4 数学准备 实数，k 维实向量空间，m r l 阶实矩阵空间 复数z 的实部 k k 阶单位矩阵，在不致混淆的情况下亦可以记为厶或， 矩阵彳的转置 矩阵彳的逆( 如果存在的话) 矩阵彳的秩 矩阵a 的最大特征值 矩阵彳的最小特征值 矩阵彳的范数，并定义i i a i i ：- - - 甜0 ) 向量x 的欧氏范数，即饭k 疗 向量x = ( x l ，砀) 与y = 陟1 ) ，h ) 的点积，x y = ex l v i f = 1 分块对角矩阵 集合 1 ，2 ，) ，其中是正整数 顶点集合为少，边的集合为矽，邻接矩阵为的图够 对角矩阵，其对角线元素是图箩的邻接矩阵的每行的和 图够的l a p l a c i a n 矩阵 矩阵a 与矩阵b 的直积( 或称k r o n e c k e r 乘积) 1 4 2 图论的基本概念 令够= ( 少，夕，) 表示邻接矩阵为= a o 】的有向图，少= p l ，p 2 ，p u 中的每个元素肼表示图够的顶点，所以少称为顶点集合，锣少少称为 边集合顶点的指标属于一个有限集合丝：= 1 ，2 ，螂图够的一条边记作 e i j - - ( p i ，p j ) ，如果a i j 0 ，则表示从第i 个顶点到第个顶点存在一个有方向线 段连接，即e i j 夕反之，如果e i j 矽，则同样有a i j 0 如果a i j 0 ，则e i j 汐， 从而我们说第，个顶点是第i 个顶点的一个邻居( n e i g h b o r ) 第f 个顶点的所有 8 通讯网络下群体的动力学行为 邻居集合定义为m = 切7 l ：( p i ，乃) 矽) 有向图够的邻接矩阵= a u 】中 元素满足下列条件 f 1 e u 叼2 t o e i j - e 8 我们假设图汐上任何一个顶点没有自环，也即对于所有的f 丝关联元素 a i i = 0 令d ( p i ) ：= a i y ，f 丛表示顶点p i 少的输出度m m 维的矩阵 _ ，= l d = d 侈) 是一个对角矩阵，对角元素为以= d ( p i ) ，f 丝矩阵l = d 一称为 有向图够的l a p a l i c i a n 矩阵 有向图够中由顶点和边组成的一个有限序列p i e i k i p k le k l 七2 纸一i 一i p j p y 被 称之为有向图够中从顶点肼到顶点p ，的一条有向途径，简单记为有向途径 ( p i p j ) 顶点p k r ，l ，i s l 称为有向途径( p i _ p j ) 的内部顶点，顶点朋称 为起点，顶点p ，称为终点，统称为有向途径慨一p ，) 的端点，s 称为有向途径 ( p i p ，) 的长度如果有向途径( p f _ p j ) 中的边和顶点互不相同，则这条有向 途径被称为有向路如果有向图够中的任意两个不同的顶点之间都存在一条有 向路，则称有向图够是强连通的对于有向强连通图，有下面一个非常基础的重 要结论： 引理1 4 1 如果图够是一个具有m 个顶点的有向强连通图，则该图l a p a l i c i a n 矩阵三的特征值除了一个零特征根之外，其余的均具有正实部，而且1 9 是其零 特征根所对应的右特征向量，即l 1 9 = 0 在有向图中，顶点与顶点之间是用有向途径连接的，所以白，和e y i 代表不同 两条边，一般情况下a u a y i ，f 歹进一步，当有向图汐的邻接矩阵= 【口玎】中 元素研，取值不再局限于 o ，1 ) ，而是全体非负实数的时候，则称该有向图是有 向加权图对于有向强连通加权图，同样也有上述引理1 4 1 如果不考虑方向性，而仅仅考察一个图中两个顶点之间是否连接，则上述有 向图的定义就演变成无向图的定义，此时唧，和e y i 代表同一条边a i y = a y i ，邻接 矩阵= 【a i j 】为一个对称矩阵对于无向图，如果图中任意两个顶点都存在一 条连接这两个顶点的路，则称之为连通图类似地，也有如下结果： 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 9 引理1 4 2 如果图够是一个具有肘个顶点的无向连通图，则该图的l a p a l i c i a n 矩阵的特征值除了一个零特征根之外，其余的均为正实数，而且l e 是其零特 征根所对应的特征向量，即三1 m = l 矗三= 0 1 4 3 线性控制系统稳定性的判据 劳斯赫尔维茨( r o u t h - h u r w i t z ) 稳定判据 设连续时间线性控制系统的特征多项式为 p ( s ) = 7 + 嘞一1z ，l 一1 + + 眈户+ 口l z + 口。 其中a o ，a l ，a 2 ，a n 为实数根据该特征多项式的系数，构造劳斯阵列如下表 所示 其中 表1 劳斯阵列 a oa 2a 4a 6 。 ，一l a la 3a 5a 7 。 ，一2 a 2 ，la 2 ，2a 2 ，3a 2 ，4 s n 一3 a 3 ，la 3 ，2口3 ，3a 3 ，4 卒 a n 一2 ，ia n 一2 ，2 j l a n 一1 ，i 夺 a n ，l a l a 2 k 一口o a 2 k + 1 a 2 k2 口l a 3 ，1 a 2 i + 1 一a l a 3 ，i + 1 a 3 i2 。一， 口3 1 j = 型坐艺署掣 k = l ，2 ，争l 】； 待1 ，2 ，争2 】； m = 4 ，5 ， j = 1 ，2 ， 一1 一m 】表示取其整数部分，那么特征方程p ( s ) = 0 的根的实部全为负的充分必要条件 是劳斯阵列表中第一列的数值全部为正的 1 0 通讯网络下群体的动力学行为 朱利( j u r y ) 稳定判据 设离散时间线性控制系统的特征方程为 d ( z ) = a o s + 口l ，一1 + a 2 s 一一2 + + 锄一2 ，+ 一l s + a 玎= 0 其中锄，g i n l ，a l ，a o 为实数根据该特征多项式的系数，构造朱利阵列如下 表所示 表2 朱利阵列 行数 z oz 1z 2 矿一k z n 一22 ，一1z n l a o口l a 2a 3 锄一七 a n - 2a n 一1a n 2 a n 锄一l a n - 2a n - 3 a k a 2a l a o 3 6 06 l6 26 3 一七“一2 一1 4 “一1k 一2 一3 “一4 b k 一1 6 i 5 c oc ic 2q 锄一七 勃一2 6 一2白一3 一4岛一5 魄一2 c o 2 n 一5 p o p l p 2刃 2 n - 4 p 3p 2p lp o 2 n 3 q og lq 2 在朱利阵列中，第2 k + 2 行的元素是第2 k + 1 行的元素的反序排列从第三行起， 阵列中各元素的定义如下。 玩= l 锄a o a 鲰n - kl； 玩= ii ； l 锄鲰1 = f b o 。- 圾k 。1l； 2 h l圾l ； 反= fo n c o - 2 锄“c k | ； l l p o q o2i l p 3 k = 0 ，1 ，拧一1 k - i 0 ，1 ，刀一2 k = 0 ，1 ，刀一3 舻lp p 3 0p p 2 。| ，铲lp p 3 0 ：| i p 3 p l lip 3 沈i 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 特征方程d ( z ) = 0 的根全部位于z 平面单位圆内的充分必要条件是 d ( - 1 ) 0 ( n 为偶数) ，d ( 1 ) 0 以及下列刀一1 个约束条件成立 a n l a o l ，i b oj i b n 一1i ，i c o i l c n 一5 1 ，i d o i l 磊一3 i ，i q o i i q 2 1 第二章通讯网络下动态群体的整体动力学行为 本章我们主要考虑由多个动力学个体( 或称为成员) 组成的一类动态群体， 每个个体的动力学系统具有自治的l y a p u n o v 稳定性，也即当单个个体不与周围 其他的成员进行交流时均为l y a p u n o v 稳定，个体与个体之间的信息交流是在一 个固定的通讯网络上采用分布式线性控制协议我们分别研究无向通讯和有向通 讯网络条件下一维和多维( 以二维为例) 群体行为，通过分析证明和数值仿真相 应获得这类动态群体的整体动力学行为 2 1 有向通讯网络下一维动态群体的整体行为 2 1 1 问题的数学描述 考虑由肘个一维动力学个体组成的一类动态群体，个体与个体间交流的通 讯网络用一个有向图够= ( 少，锣，) 来表示，在不引起混淆的情况下，本文通常 直接说群体的个体交流通过一个有向通讯网络够有向图够中顶点肼；f 丝代 表群体中的第f 个个体一般的，在不引起混淆的情况下，本文也将第f 个个体 记为p “群体成员间的信息交流规定为：如果有向图够中的边e u 矽，则说明群 体的个体成员历接收到个体p ，的信息反之，如果e u 簪锣则意味着群体的个体 力没有接收到个体p ，的信息值得一提的是，图够中的边白，和边e j i 代表不同 的意义 假设这类群体中每个个体p f ，f m 具有相同的动力学特征，用x i r 表示 个体p f 的位置，其动力学方程表示为： m ，协= 一k v i + u 、i ( 2 1 1 ) 肋= ，( x i ) u jj ， 其中v i r 表示第i 个个体的速度， 是其输出状态，l d i 的取值由网络信息通讯 的控制协议确定朋f 代表其质量，k 表示个体成员的内部反馈增益，f 是观测矩 阵我们用x ( o ) = 1 ( o ) ，娩( o ) ，x m ( o ) ) 7 和v ( o ) = ( v l ( o ) ，屹( o ) ，啪( o ) ) 7 来 1 2 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 1 3 表示群体中m 个个体成员的初始位置和初始速度 不失一般性，我们假设m i = l ，f 丛即所有个体成员的质量为单位量；观 测矩阵f = ( 1o ) ，也即表示第i 个个体的位置是可以测量到的我们要求个体成 员的反馈增益k 0 ，也就意味着对于网络上的每个动态个体( 2 1 1 ) 而言，如果 不与外界发生任何作用( c o n t r 0 1 f i e e ) ，则对于任意初始速度，作为一个自治的动 态个体都将经过有限步骤运动后逐渐停止下来 记第f 个个体成员的状态( 包括位置和速度) 为毒= ( x i ，v i ) 丁，f 丝个体 与个体之间存在一个线性分布式控制协议( 1 i n e a rd i s t r i b u t e dc o n t r o lp r o t o c 0 1 ) ： u i = 叼幻- y i ) p j n i ( 2 1 2 ) 其中m 表示第f 个个体p f 的邻居集合，叼是邻接矩阵的元素那么在控制协 议( 2 i 2 ) 下，个体的动力学方程可以写为： 专f = 彳考f + b 口玎( 白一磊) ( 2 1 3 ) 其中 彳= 一 进一步，记作善= ( 考f ，钐，善磊) r ，可得网络群体的动力学方程为： 毒= q 考( 2 1 4 ) 其中q = i m 圆么一l q b ，l 是有向图够的三印，口c 扬刀矩阵由于动力学方程( 2 1 4 ) 是个标准的线性时不变动力系统，所以它的解轨迹可以写为s 考( t ) = e x p ( d t ) 考( 0 ) ( 2 1 5 ) 2 1 2 主要结果 在这里，我们考虑群体通讯网络的拓扑结构是一个强连通有向图箩，根据引 理1 4 1 ，可知其l a p l a c i a n 矩阵三满足秩( l