（凝聚态物理专业论文）一维量子自旋系统动力学性质的研究.pdf

摘要 本文利用递推方法研究了一维随机量子横向i s i n g 系统的动力学性质， 主要内容如下： 1 假设自旋间的交换耦合( 或横向磁场) 满足高斯分布，研究了这种分布 对该系统动力学性质的影响。通过数值计算，求出了自旋的自关联函数和谱 密度。结果表明，当交换耦含的标准偏差盯，( 或横向磁场的标准偏差) 较小 时，系统的动力学行为随着交换耦合( 或横向磁场) 均值的变化依次经历从中 心峰值行为到集体模行为再到自旋在外磁场中作拉莫尔旋进的两次交跨；当 盯，( 或) 足够大时，系统的动力学行为不存在任何交跨，系统的动力学分别 表现出中心峰值行为( 或无序行为) 。 2 研究了自旋间的交换耦合( 或横向磁场) 满足双高斯分布时该系统的 动力学性质。数值计算结果表明：当交换耦合( 或横向磁场) 的标准偏差较小 时，随着交换耦合( 或横向磁场) 均值的变化，系统的动力学行为存在从中心 峰值行为向集体模行为的一次交跨；当交换耦合( 或横向磁场) 的标准偏差足 够大时，系统只表现出中心峰值行为( 或无序行为) 。 3 研究了带有反铁磁薄膜的铁磁链在外场中的动力学性质，发现外磁场 和淬致磁场对系统的动力学性质影响较大，而增强的自旋交换耦合对其动力 学性质影响相对较小。自旋在外磁场和淬致磁场的共同驱动下作频率不断改 变的拉莫尔旋进。 4 研究了稀释键和其它类型的随机键对横向i s i n g 模型动力学性质的影 响。结果表明不论随机键满足何种类型的概率分布，当随机键的标准偏差足 够大时，系统的动力学都表现出中心峰值行为。 关键词：随机横向i s i n g 模型，自关联函数，谱密度，递推方法， 高斯分布 a b s l r a c 专 1 1 1t h j st l l e s i s ，t h ed y n a 觚c so ft 1 eo n e d 妇e i l s i o n a lj 鬈1 2 r a n d o m 咖l s v e r s ei s i i l gs y g t e mw h e r em ee x c h a l l g ec o u p l i n g sa n dt l l em m s v e r s ef i e l d s a r ec o i l s i d e r e da sr a n d o mv a r i a b l e si si n v e s t i g a t e db yt h er e c u r s i o nm e t l l o d ，a 1 1 d t h em a mr e s u h sa r ea sf o l l o w s ： 1 s u p p o s i n gt h a t 搬ec x c h a n g ee o u p l i i l g s ( o rt h et r a n s v e r s e 鑫e l d s ) s a 醢s 母 吐擀g 郴s i a nd i s 妊i b u t i ，t h ee 联b c t so f 蛙吐sd i s t r i b u t i o no nt h ed y n a m i c so f 龇 s y s t e mi sj n v e s t i g a t e d s p 证a u t o c o i 糯l a t i o nf h n c t i o n sa n dc o r r e s p o n d 至n g 蹭e c 蚍l d 烈幅协e so ft h e 刚t e ma r eo b t a i n c db yt h e 瑚1 m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h ef e s u l t s s h o wm a tw h e nt h es 劬d a r dd e v i a t i o m 盯jo ft l l eo x c h a n g ec o t l p l i l 蜷s ( o r 搬e 曲m d a r dd e v i a t i o n s o ft h e 自阻n s v e r s e6 e l d s ) a r e 洫a l l ，t h ed y r 嘲恤so fm e s y s t e m1 1 1 l d e r g o e s 押c m s s o v e r 8i ns e q l l e i l c ea sm em e a nv a h l eo ft l l ee x c h a n g e c o u m i l l g ( o rm et m n s v e r s e 矗e l d ) v a r i e s ：f 如mac e n n m p e a kb e ：h “v i o rt oa c o l l e c t i v e m o d eo n e ，a n d 如e nt om el a n n o rp r e c e s s i o no ff 确es p i n si na n e x t e m a lt r a n s v c r s em a 朗c t i cf i e l d h 矗w e v e r ，w b e nq ( o r ) i sl a r g ee n o u 曲， 也e r ei sn oc r o s s o v e r ，i e ，t l l ed y n a m i c so ft l l es y s t e ms h o 、v sac e n t r a l - p e a k b e h a v 诗r ( 0 rad i s o r d e r e db e h 州o r ) 2 n l ed y n a m i c so ft l l es y s t e mi ss c l l d i e dw h e nm ee x c h 粕g ec o u p l 撖g s ( o r 也e 恤m s v e r s e 矗e l d 8 ) s a d s 毋t 1 1 cd o u b l e g a u s s i a i ld i s t r i b u t i o n 1 1 l ec a l c l l l a t o d r e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h es t a i l d 盯dd e v i a t i o n so ft h ee x c h a n g ec o 、础i t l g s ( o rt l l e t r a n s v e r s en e l d 8 ) a r es m a n ，t h ed y n a l i c 8o ft l l es y s t e mu n d e r g o o sac r o s s o v e r 舶mac e 曲m - p e a kb e h 捧v i o ro n t oac o l l e c t i v e 叮n o d eo n ea st 1 1 em e a i l 州u eo f t l l e e x c h 趾g ec o u p l j l l g ( o rm e 廿a n s v e r s ef i e l d ) v a r i es w h e nt l l es t a n d a r dd e v i a t i o n s o ft h ee x c h a n g ec o u p l i n g s ( o rm e 仃a n s v e r s ef i e l d s ) a r el a 嘴ee n o u 跏，o | 1 l ya c e n 妇1 噌e a kb e h a v i o r ( o rad i s o r d e r e db e h a v i o r ) i sf o u n d 3 t h ed y r l a l l l i c so f t l l em e t a s t a b l er a n d o mf e 雌o m a g n e t i cc h a i nw i t hac o v e r 珏 a b t 撼e t o f 氇e 撼t i f e f f o 嫩a g n e 垃e 蠡l mi s 瑾s c u s s e d 鞋i s 岛u 瓣趣a 圭攮ee x t e m 采糙8 嚣躐i e f i e l da 1 1 dt h eq u e n c h e dr a i l d o mm a 触e t i cf i e l d sp l a yam o r ei n l p o n a n tm l ei nt h e d 灌疆l i e s 醴趣es y s t e m 饿簌氆a to f 也e 蹦勉鞋e e 硅e x c h 8 娃 筘e o t l p l i n g s b o 堰堍e e x t e m a lm a 盟e t i cf i e l da n d 也eq u e n c h e d 删吣o mm a g n e t i cf i e l d sd r i t h es p i n s t 。d ol a 黼o fp f e c e s s i o n t 4 讹ee 髓c t so ft 1 1 ed i l u t e d b o n d sa n do t l l e rt y p c so fm er a i l d o mb o n d s0 n 歉e 曲嫩m i e so f 谯e 拄醴s v e f s e s 赫gi 挂o d 嚣l 矗糟鑫重s o 这v e 蠡耄主g a l e d 1 奄er 。s 珏圭t s m d i c a t en l a tf o r t h ea l lt y p e so fp m b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n sc o n s i d e r e d ，t h e 蛔瓣i c so f 氆es y s e m 艇w a y s 霉洒两主拄a 髓蛾l - p e 矗b e 黾g 畦黻w 魏c 珏穗e s t 鼬l d a r dd a v i 砒i o n 8o f t l l er a n d o mb o n d sa r el a 玛ee n o u g h k q 唧o r d s ： r a n d 咖仃a n s v o r s e 1 8 i l l gm o d e l ， a u t o c o 玎e l a t i o n 矗m c t i o n ，。s p e c 乜嫩d e n s i 镪r e c u f s i o nl l l e t l l o d ，g a u s s i 黻 d i 8 t r i 酞煅o n 狂l 第一章综述 1 1 量子模型 1 1 1i s i n g 模型和转子模型 早在1 9 2 5 年，i s i n g 在导师l e i l z 的建议下就提出了用来研究铁磁性的一 个经典自旋模型叫s i n g 模型。随后o f l s a g e r 于1 9 4 4 年利用转移矩阵法首 先得到了二维i s i n g 模型的严格解，但是至今人们没能严格地求解三维i s i n g 模型。与经典自旋模型对应，人们分别提出了研究量子相变的基本理论模型： 量子i s i n g 模型和量子转予模型 1 】。它们相应的哈密顿量分别为 q = 吨茸一匹钟嘭 ( 1 1 _ 1 ) ， ( u ) 和 = 华丘2 一j 自，疗， ( 1 1 2 ) 其中，( j o ) 代表近邻自旋间的耦合常数，g ( g o ) 为一无量纲参数， 筇( 口= x ，y ，z ) 为泡利矩阵：l j 誊代表转子的转动惯量，三。和五分别代表第 f 个转子的角动量和转子取向的维单位矢量，这时可将每个转子想象成一 个在维球面上运动的粒子；( f ，) 表示对最近邻自旋对的求和。人们发现当 g 时日，的基态为量子顺磁态，g 。为临界点处g 的取值，此时关联长度 的变化规律遵从善a k 一i ，其中a 代表晶格常数的倒数，y 为临界指数； 当g 时q 基态存在自发磁化，并且自发磁化随着g 斗呈幂指数衰减。 同样，日。也有类似的相变现象。 i s i n g 模型是人们研究最多的自旋系统之一，这不仅因为它简单可解，还 因为它能很好地解释研究对象的大多数基本性质。横向i s 证g 模型是g h 丑c s 在1 9 6 3 年为了描述氢键物质中质子隧穿效应而提出的一个赝自旋模型 2 】， 该模型中的自旋在沿z 轴方向的横向磁场中平行地排列在x 轴方向上。对于 铁磁体来说，横向磁场来源于使得二重简并基态分裂成两个非磁性单态的晶 第一枣瑞避 俸场【3 】。诧舞，随辊横向i s i i l g 模掇豹有关请况褥在1 3 中绘出。 l 。1 2x y 模型 除了量子l s i 鹋模型终，常见懿还有一些英它煞量子叁蒺模墼，如量子 x y 模型酾 碱s e n b 蝴善模型等。 褒自旋空阅中tx y 模型分子黩鹅模型勰 弑洲淑獬模型之润，其哈密镁 爨为【4 1 。 胃= 一p 。酊酲。+ ，酲，j 一贬西， ( 1 1 3 ) fi 其中j 。( 搿；x ，y ) 鄹嚣分裂代表藕会常数稻步 磁场，代裘总螽旋数。类似 蟪，胃酸譬出自麓8 = l 彪的一维随钒羹予x y 模塑舱哈窭顿爨 n 。k = 一协吒+ 一喝) 一忍， 0 时，式( 1 1 5 ) 盼蒸悉为铁磁序；当，o 时，可用于描述菠铁磁煎；当， o 并且近邻臻点为不嘲磁离子时，则攒述亚铁磁性。l 瓤s 。n b e 毽模型的哈密 镶鼙的一觳形式胃鸳为 盯= 【叫町十足够彰+ 五】， ( 1 1 。6 ) 7 西 其中 ，、艇、是盘旋各分霪阕的鞲合常数。若，* 彭= 五，称冀为各蠢溺 谯 董e i s 啪e 糟模楚g o 。【模蓥幻；豢，= 鬣簪三，颡称其为x x z 模型；装 ，定三，为各向异性 晒s e n b e 塔模型g y z 模型) 。 2 第一章综述 近年来，这一模型已被广泛地用于研究自旋玻璃的动力学性质。大量 的数值计算结果为我们更好地理解其自旋动力学性质提供了理论依据，参 见文献 5 ，6 。此外，s t o l z e 等人利用递推方法给出了高温极限下一维半无限 x y 和) o ( z 链的自旋自关联函数和它们谱密度的严格解【7 】。 1 2 自旋动力学 在研究量子或经典多体系统的动力学性质中，线性响应理论是联系实 验测量和理论计算的桥梁和纽带 8 。它的内核主要包括两个方面：( a ) 广义 的涨落一耗散定理和包括鼬a m e r s - i 鼢i g 关系的因果原理。 涨落一耗散定理告诉我们自旋自关联函数在自旋动力学的研究中扮演 着一个重要角色，它的一般定义式为 s ( 0 兰( 4 0 ) 4 ) 一( 4 ) ， ( 1 2 1 ) 其中，4 代表任意一个厄密算符，( ) 代表统计平均。但是，在研究随机量 子自旋系统时，由于要考虑无序效应，研究其动力学性质的函数应为平均 自关联函数 s ( f ) 兰( 爿o ) 4 ) 一( 4 ) ， ( 1 2 2 ) 其中，( 椰代表先对爿求统计力学平均再对其求无序平均。 在大多数的实际应用中，我们更希望得到自旋自关联函数相应的谱密 度( 谱函数) ，因为人们可通过各种实验手段( 如中子散射技术，中予自旋回 声技术( n s e ) ) 直接测量它【9 】。理论上，它可由( 1 2 2 ) 式的f o 面e r 变换 o ( 动= l 西p “c ( f )( 1 2 3 ) 给出。为了计算方便，通常我们应用( 1 2 2 ) 式的l a p l a c e 变换的极限形式求 解其谱密度，即 r面1 中( 动= l i m m i r 。j ：托( f ) e “l ， ( 1 2 4 ) 其中z = 占+ f 国，占为正实数。从本质上说，以上两种变换式是等效的。 3 第一章综述 1 3 课题研究的历史 人们对自旋系统的研究主要包括两个方面：一是研究自旋系统在临界 点附近的热力学性质，如研究系统的相图、比热、磁化率的变化规律等； 二是研究系统的动力学性质，如研究自旋关联函数、迟豫函数的性质等。 随机自旋系统的时间演化问题是后者中一类比较有趣且具挑战性的课题。 本文主要研究一维随机横向i s i n g 模型在不同无序条件下的动力学性 质，因此，我们在此只重点介绍该模型，其哈密顿量为 ，日= 一v 2 正a 磊一i 2 骂西， ( 1 3 1 ) 闰鲥 其中，1 2 是为了计算方便而选取的常数，正和b 。均可被看作满足某种概率 分布的随机变量。这一模型既可以用于研究准一维有序一无序铁电体，又可 以用于研究自旋玻璃。具体来说，在铁电晶体( 如c s ( h 1 x d ，) 2 p 0 4 、 p b h l x d x p 0 4 等) 中非均匀氘化的氢键可用依赖于位置的随机横场b 来描 述，而键内自旋相互作用保持不变( 正= ，) 1 0 1 3 】；另一方面，如果将交换 耦合看作服从某一概率分布的随机变量而b ，= b 保持不变，该模型还可 以用来研究诸如l i h o o l 6 7 y o8 3 3 f 4 等自旋玻璃的动力学性质【1 4 】。 在过去半个世纪里，人们对经典的和纯量子的自旋模型的平衡态性质 进行了广泛的研究，取得了丰硕的成果。但是人们对它们动力学性质的研 究相对较少，尤其对随机量子自旋系统动力学性质的研究更少。这是因为 其动力学性质的研究要比平衡态性质的研究困难得多。例如，人们在求解 s = 1 2 一维h e i s 锄b e 喀模型的含时自关联函数严格解时，只得到了它的一 些短时行为的严格解 1 5 18 】，但其长时问题仍未解决。不过，对纯的横向 i s i i l g 模型和x y 模型来说，已经得到了它们的一些严格解，如n i e m e i j e r 将x y 模型映射到无相互作用的费米子系统严格求解了在任意温度下该模 型的自旋纵向关联函数 1 9 】。不久，k a t s u r a 等人利用双时格林函数研究了 一维各向同性x y 模型的纵向动力学性质【2 0 】。他们发现，在高温极限下， 4 第一章综述 囊旋问的纵向关联函数可用贝塞尔函数的平方表示。1 9 8 7 年f l o f c n c i o 拥 l e e 运用递推关系研究了维s = 1 2 的备向同性x y 模型和横向i s i n g 模型 褒高温极限下的动力学热质，磷究发现出于这两个模型在动力学 珏l b e 蠼空 间中具有相同的结构，所以它们有类似的动力学性质【4 】，并指出它们的横 穗叁关联涵数在麓溢援隈下都毒翔下褰焱形式鼙l ，2 2 】 1， ( s ；( r ) s ；) = e 甜， 。 ( 1 _ 3 2 ) 。 斗 其中，辩x y 接受和横淘i s 遮g 横垄来说，矗静傻分鄹为了2 和，2 ，2 自旒强 关联函数( 1 1 6 ) 式的高斯形式首先是由a s u r 等人利用有限矩展开法研究 x y 模螫蠡冬动力攀性爱辩疆出斡。嚣来m 毽】钉窥s 缸o c 堑绘鑫了甏温下一维 擞予x y 模型和横向i s i n g 模型的一些动力学关联函数的解 2 2 】。 练上掰述，疆主两静模鍪孛巍凌懿棱淘关联瓣数在高温稷隈下( f 哼m ) 袭现出嵩斯行为 7 ，1 0 ，2 1 ，2 3 】；在o o ， 珞 楚 一列正整数。如粱 f ( z ) = 吼 g 一9 痣应髑翻疆3 。1 3 ) 式可得 矗。f # “拉州) 斑= 一f 8 “鑫，) 露+ f 。“矗，q f ) 毋 0 1 3 1 4 ) 又因必! 竖兰： 熊= t “一压“瓯f ) ， 器1 3 5 ) 上式两边同时对时间积分得 f p 一。矗，( f ) 旃= 口“巩( 玢一z f $ “q 9 ) 积 ( 2 3 1 6 ) 将( 2 3 。l 妨式投入( 2 3 。1 4 ) 残嚣，霉考露委l 初始祭 孛 = l ，群，( 谚= 黻 ( v o ) ，可得 l l 墨三主竺塞查兰 l = z 口。( 互) + l q ( 孑) ， ( 2 1 3 1 7 a ) 口( z ) = z 口，( g ) + 。1 口v + 1 ( z ) ，( v 1 ) - ( 2 3 1 7 b ) 由( 2 3 1 7 幻，( 2 1 3 1 7 b ) 可襻 桫i + 等 h 1 ， 渊鼬 啦 ，疗。( z ) ，y o ，其中弱( ：) = ( z ) ，粼( 2 。3 。1 8 b ) 式篾优巍 尉，( z ) = 胁+ 州岸州( 列，最君( 2 3 1 8 a ) 斌写成逐分式的形式为 露。够= t r 一 弦童1 蛰 z + ；一 z + 。，垒璺 z + ，l ( z ) 装串三= 岔+ 洒，0 力为( z ) 豹第y 泠截瑟丞数。缓翔z ) 已羝，裂叁麓 自关联函数的谱密度可由( 2 3 1 9 ) 溅求出，即 目馥曲一l 毡f e e “露= 瓣r c 龟( z i 。掌+ ( 2 3 2 2 。4 高鞭截断 假如前m 个涟分式系数。，。，a f 已知，且它们和v 成线 戆关系，剿虿鞋零掰宅襄孛奄遥离辫截繇戬褥舞垂荧联丞数懿谱密波【7 ，8 ，4 2 】， 这是因为高斯函数的连分式形式中的连分式系数，= v 在高斯截断中假 浚藏凝毯数o $ 鑫下粥方程求德 r 面。细、：坐三e 一舻一，( 2 。4 1 ) 1 2 第二章研究方法 _ o = j 广 ( 2 。4 2 ) z + o 一 其中五。= k v ，为。，。的线性回归线的斜率， m，、| m k = p 一，一五) p 一) 2 ， ( 2 4 1 3 ) = 击善y ，五= 击善v 利用( 2 4 _ 1 ) - ( 2 4 - 3 ) 式可得l ( z ) ，将其代入式 ( 2 3 1 9 ) 和( 2 3 2 0 ) 中就可得到自旋自关联函数的谱密度。 2 5 递推因子和矩之间的对应关系 对于自旋自关联函数的t a y l o r 展开式( 2 1 6 ) 和展开系数( 2 1 7 ) 式，它们 还有另一种记法为 c = 薹焉蚴”， 矧) 其中 f ：。= ( f 日，【日，【日，町】- 】，嘭) ( 2 5 2 ) 叫做c ( f ) 的第2 七个矩。2 3 节还得到了递推关系( 2 3 1 3 ) 的l a p l a c e 形式 埘r ( z ) 一疋o2 口v l ( z ) 一r + 1 4 ”t ( z ) ，( y = o ，1 ，2 ，) ( 2 5 3 ) 将l 印l a c e 变换三( p ) = f ，o ) 8 叫出应用到( 2 5 1 ) 式中可得 c ( z ) = ( 一1 ) m ：。z 哪“” ( 2 5 4 ) 其中利用了以下积分公式 f 8 f 2 出= z 巾“r ( 1 + 2 忌) ，其中r ( 1 + 2 后) = ( 2 七) ! ( 2 5 5 ) 利用( 2 5 3 ) 和( 2 5 4 ) 式可以证明递推因子和矩之间有如下对应关系 8 。 1 3 第二章研究方法 ( a ) 正向关系 已知一组矩m 2 ，( = 0 ，1 ，2 ，k ) ，m o = 1 ，那么前k 个递推因子。可 由下式定出， 鹕k 等一等卅 ( 2 s _ 6 ) 其中膏= 胛，n + l ，k ；聆= 1 ，2 ，足这里令m ：1 = m 2 女，趔i = o ，o = l = 1 ( b ) 逆向关系 给定一组递推因子。= m ：，( 玎= o ，1 ，2 ，丘) 和o = i = 1 ，那么前 2 七个矩m 罂= m ：。可由下式定出， m ”= 一m 拱+ 会宝m 乐弘 ( 2 5 7 ) 其中玎= 七，七一1 ，l ，七= l ，2 ，k ，此处已令m = 1 ) = o 有了以上的对应关系，只要得到递推因子和矩中的任意一方，利用( 2 5 6 ) 和( 2 5 7 ) 式就可以得到未知的另一方。表一给出了递推因子和矩的前三个对 应关系。 表一矩和递推因子的前三个对应关系 自关联函数的第2 七个矩j l f 2 递推园子。 鸠= 1l = 鸩 毛= l ( l + 2 ) ，：丝一从 m 、 一m6 | m 2 一m m i 心= 1 ( 1 + 2 ) 2 + 2 3 】 。3 m m 1 一m 2m l 此外，由式( 2 1 9 ) 和( 2 3 6 ) 可知，不论是求解递推因子还是求解矩，问 题的关键是首先求出任意算符和系统哈密顿量的对易予，求解对易子的算 法见附录。 1 4 第三章高斯型随祝横向i s i n g 模型的 动力学性质 3 。圭雩l 言 在过去的几年中，人们在研究一维随机量子自旋系统时大多假设随机变 鬣满是舞毅墼概率分毒。镄热，f 1 8 潞嚣i o 寝b 8 搿镪在1 9 9 事年翁璃递拦方法 研究了止和且满足双模分布的随机横向1 8 i n g 摸测在高潞极限下的动力学性 袋，德键裳臻其动力学蘧系统孛藏橇变量蠢穿程度静交纯表现窭一释簌繁傣 横行为向中心峰德行为的变跨效应【4 2 ：2 0 0 0 年，b o e c h 舢和c o r d e i m 等人 在霹究考惠霹鑫瓣疆互终援鲍一缭随楗键搂趣 s 法g 模鼙滟l l 聿瓣演毽隧瞧是 假设交按祸合参墩服从双模分布f 4 3 ，4 4 】；2 0 0 3 年，n u n e g 等人在研究x y 链 秘x y 皇旋撵子时所采鼹熄概率分毒爨爨双模分蠢转6 ，4 7 】。 本章将研究满交换耦台参量戚横向磁l 场服从商新分布时，随机横场i s i n g 模型的动为学性淡，其嗡密顿量巍 片* 一去b o 蠡一去毽 ( 3 1 1 ) 其中和羁独立嫩服从黼斯分布 趱，* 南耐警 ， 箩窝茬。努聚鸯l 麟变量热瓣坶筵袒器蓬鬣差。 3 。2 连分式系数 对于随机横向i s h 增摸型，选择零阶熬矢五一r 余下的基必蠢r 以镩 凌遴接笑系式驻3 。囝褥粼。重复裂屠露，3 懿式，爵驻精确逸褥裂魏丸令羹矢 和相应的涟分式累数。结果表明基矢随着阶数的增大变褥越来越凝杂，因此 这受哭给邀蔻嚣令基矢，薛 s 第三章高斯型随机横向i s i n g 模型的动力学性质 矗= bj o j ， 炙= 呛t b ：) o ：+ bj j i 以o ：以o ：+ b i j i o ：“。： 氕= 一b i 卜l 一2 + b j 七j j 4 + j j ) o ：一2 bj jj 。jj o ：一p j c f ：“ + b j bj jj 、o ：。o ：+ b j bj j o ：a j n ， ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 以= ( - ，+ 巧一巧( ，+ ：+ ，一， 一刀) ) 町 + 岛一( + ：+ s 一砟。一巧一曩。一3 巧) 哼，町 + 之z 1 _ + ? i 碍- 确一3 矗一刀) 略，町 ( 3 2 4 ) + 2 b j j i 4 j j c r ：q o ：c t ：“一3 b 卜l b i jj 。a ：。o ：o ：“ 、。 一3 b j b j n j j _ 、j j a l l o ：o ：n + b 卜t b j j i i l jj 屯a ：l a j l a j + b j b j oj jj n a ：d ：札o ：n 它们相应的模可由( 2 3 5 ) 式得到 ( 工，五) = l ， 其中 u ，z ) = 巧， 幔，石) = 2 万可一可2 + 可， 饼，石) = 巧+ 2 万2 虿+ 2 万巧+ 2 万巧2 一可2 可， ( ，六) = y 矿= 霹3 一：可可琴+ 巧2 + 可2 虿一可巧+ ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) z 可3 可万一啄可2 万+ s 可2 巧万+ z 可可万一 z 可可万+ 2 啄4 万2 2 s 可2 可万2 一z 可2 万2 5 6 可3 万3 + 1 2 可可万3 + 3 6 可2 万4 + 4 可4 万一( 3 2 9 a ) z 可2 可万一s 可2 万+ 4 可可万+ z z 可3 万万一 1 6 第三章高斯型随机横向i s i n g 模型的动力学性质 ：霹可万万一s 霹2 万2 巧+ 。可2 万2 + 2 b j ：j j 一2 玛b ：j ：一4 o jj ：， y = 嚣；一嚣；一2 嚣；，；。 ( 3 2 。9 b ) 将以上的表达戏代入( 2 + 3 7 ) 式，可以求得连分式系数a l ，：，和a 4 的 其体形式。 通过两种不同的途径可以分别得到自旋自关联函数及其谱密度。具体 来说，零雳程1 。筠式霹苏褥到蠡凝鑫关联函数熬蘸2 0 令矩，褥剩震它 】穆 造自旋自关联黼数的最高阶p a d 6 逼近戏，进丽得到自旋自关联函数的近似 表达式。勇终，稠箨溅箱豹逐分式系数霪嚣采震裹襄猿瑟方法，霹褥鑫旋 自关联函数的谱密度。计算结果表明所得的自旋自关联函数和其相应谱密 度蘑表现送来戆凌力学行为是一襄魏。 3 3 结果与讨论 本节将给出三种光序情况下自旋自关联消数及麒相应谱密度的数值 撰。 3 3 1 交换耦合参量无序的情况 禚此假设交换藕宙参量，满足商新分布( 3 1 2 ) 式，随机横确保持不变。 为不失一般性，令置= 嚣= 1 ，取交换耦合参攮正的均值从o 到4 ，同时取 其标准偏差献o 至3 圈3 1 和3 2 分翔给出了不闻参数下的自麓自关联通数 及其棚应的谱密度。凰3 。2 中的插图给出了相成谱线的前9 个遴分式系数的 值。 从圈3 1 和3 2 可以看出，当交换鹚合参赞的标猴偏差盯，较小时( 例如 矿，= o 1 ) ，系统表臻滋兰静不闯类型豹动力警行为；自由蠡麓在乡 磁场串 的旋谶，集体模行为和中心峰值行为。图3 1 ( a ) 的实线( ，= o ，虑= 1 ) 就是一 条轻徽辍尼豹余弦函数盏线。事实土，鲡采，苓存在轻微静笼序，该虢线 就是一条余弦函数曲线，因为此时它只是描谶自由自旋在外场中的施进。 另舞，强3 2 ( a ) 中瓣实线( 歹= o ，嚣= 1 ) 亵鞠谱酶数雪( 妨瓣最大德羟懿频率主 1 7 第三章高斯型随机横向i s i r 培模型的动力学性质 要集中在= l 附近，这与自由自旋在外场中旋进的拉莫尔频率眈吻合的相 当好。众所周知拉英尔频率吼= 归，这里y 为旋磁比，本章以y 作为频率 的单位，贝| j 咣= b 这一结果同样适用于j b 时的情况。 鞋二 曼黥：严 = 裟沁龇呼1 t t 图3 1 交换耦合参量满足不同高斯分布情况下的自关联函数。当q 较小 ( q = o 1 ) 时，系统依次经历了从自由自旋在横向磁场中的旋进( ，= o ) 到集体模行为( j = o 5 ) ，然后再到中心峰值行为( j 1 ) 的交跨。 然而，当l ， 占而不是远远小于b 时，系统表现出集体模行为。图3 1 ( a ) 中，= o 5 对应的曲线就是一个恰当的例子。图3 3 给出了标准的阻尼余弦 函数在不同参数下的曲线。比较图3 1 ( a ) 和3 3 可以很容易地看出图3 1 ( a ) 中的曲线与标准的阻尼余弦函数曲线随参数变化的趋势明显不同。图3 1 ( a ) 中的曲线随着，的增大在短时内( ， 1 ) 衰减得越来越慢，而图3 _ 3 中阻尼余 弦函数曲线随着口的增大衰减得越来越快。这是因为此时自旋之间的相互 作用不可被忽略，即一个自旋随时间的演化受其它自旋的影响，这时系统 1 8 第三章篱辑型瞧教磺匆l s i 裙模型酶动力学挂凌 中的一个自旋随时闻的演化是一种集体行为，所以称系统在这荦孛条件下的 动力学行为为集体模行为。随着交换藕合参量均值的避步增大，系统的 集体模行为逐渐减弱，其动力学行为最终过渡到中心峰值行为( 其标志为诺 密度的最大值所对应的频率为零) 。也就是说，系统经掰了一个从集体模行 为向中心峰值行为的交跨。 位 囤3 2 交挟藕台参量满足不嗣商斯分布情况下自芙联函数相应的谱密度。强 然。j 獍着耦合因子标准偏差的增大，系统的动力学杼为逐渐趋于一致。 观察图3 1 和3 2 ，可以得到以下结果：随着交换耦合参量的标准偏差拶， 的增大，蠡关联缀数的魏豫时间变长，褥且其敷尼振荡戆振螟变小；垂荚 联函数谱密度的最大值所对应的频率逐渐向零频移动，丽其最火值原来就 处在零频驰谱线搓零频处的强度也不断域强。 值得注意的怒当交换耦合参鬣的标准偏差较大时，系统只表现出中心 峰值行为丽没有袭现出介予集体模行为秘中心峰傻行为之间的无窿行为( 见 黼3 1 ( d ) 和3 2 ( d ) ) 。我们认为出现遮一现象的原因是随着交换耦台参量的标 1 9 第三章离巅型随执横向i s i n g 模型砖动力学挂蹊 准偏差的增大，越来越多的强交换耦合在系统的动力学行为中越主导作用。 囱旋最近邻相互作用在和自旋与外磁场稆互千管用的竞争中占攒了主导遣 位，所以交跨效斑随着交换耦合参量的撅准偏麓的增大而逐渐消失，系统 仅仅表蕊出中心峰值行为。 圈3 t 3 阻照佘弦函数啦) = e 磺e f ) c o s 6 压= 歹。在举同参数下的益线 圈3 4 交换耦台参量的均值 ，= 0 时，不同标准偏差下的自旋自关联函数 另一方谣，为了眈较圈3 1 巾所有鞠网均值，= o 的曲线，瀚3 4 给出 了交换耦合的均德为零h 寸，不同标准偏差下的自旋自关联函数。观察图3 4 ， 穗会发戮髓着口，的增大，系统酌动力学仍会经掰一令瓢囊由自旋在矫磁场 中的旋进过渡到集体模行为再到中心峰德行为的两次交跨。类似地比较均 簸了= o 5 酶嚣有麴线，哥知系统淹玎，静增大只存在麸集体模行为蜀中心蹲 1 o o o 器l|。暑霉；嚣。岢鬈一警日a 第三章离薄型莲糖横巍l s i 媳模鲎妁动力学槛壤 蠖霉亍为懿一次交踌。徨楚，当均馕j 是够丈对，系统只淡现出中心峰嬗括 为，丽不存在任何交跨效应。 3 3 2 随毒嚣横塌翡鞲凌 在这种情况下假设随机横场惦独立地满足随斯分稚，而交换耦台以为 常数z * l 。本节哭嚣谂覆耱典型斡祷瀑：簸粳横缵翡标蕊稼差较，j 、 ( = o 1 ) 和较大( 盯。= 2 ) 的情况一结果羧明当随机横场的标准偏藏较小时 系统翡臻力学孬梵夔蓑隧撬攘矮均僮戆趱大会经掰一耪扶孛心酶潼孬势两 撩体模行为的交跨，相虚的数值结果见图3 5 ( a 1 ) 和( a 2 ) 圣 萋z 1 2 0 ：二： 矗，： = # 甏 ：慑 i 兰竺篡：n 州兰裁 、 一 一- b - o 。# 圈3 5 随机横场满魁不同高斯分布下的自旋自燕联函数( a 1 ) 、( b 1 ) 和相应 的谱密度f a 2 kf b 2 ) 图3 5 ( b 1 ) 和( ) 给出了当随机横场的标准偏麓足够大时的岛旋皂关 联滋数农籀癍魏游密度- 送穆 擎魏下靛结鬃与3 3 。l 孛。较大辩辫褥静结 果不同，此时系统处于一种非常毙序的状态，系统在这种状态下的动力学 第三章高斯型随机横向i s i n g 模型的动力学性质 介于集体模行为和中心峰值行为之间。此时系统所表现出来的这种动力学 行为与随机横场服从双模分布时的最无序行为十分类似 4 2 】。图3 5 ( b 1 ) 和 m 2 1 中的细实线代表随机横场服从双模分布时，自旋系统处于最无序状态所 对应的自关联函数及其谱密度。 这种动力学行为从物理上可解释为随着随机横场标准偏差的增大，随机 横场使得系统中的自旋的取向无序，从而导致系统的动力学表现出无序行 为。 3 3 3 交换耦合参量和横场均无序的情况 这种情况下假设交换耦合参量和随机横场分别服从不同的高斯分布。本 小节只讨论几种特殊的情况，即盯，= = 盯，= 0 5 ( s f ) ，b = o 5 ( f 1 ) ， 其中，f = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 在仃专o 的极限下，高斯函数蜕变成j 函数，这样无序 的自旋系统就蜕变成为纯自旋系统。图3 6 ( a ) 和3 7 ( a ) 给出了这种极限情况 下的近似结果( 盯= o 0 0 1 ) 。比较图3 6 中所有，= o ，b = 2 的曲线，可以 图3 6 交换耦合和随机横场同时满足不同高斯分布情况下的自关联函数 2 2 第三章蕊精型琏规模南l s i 瞎模型的动力学烛壤 赣出：当标准偏差口较小( 盯茎o 2 ) 时，随着仃的增大g ( f ) 阻尼振荡的振幅 畿减地越来越快。 当标准偏謦盯较小时，系统仍然存在三种不同的动力学行为：当 船 秘尹：( ) 潜戆臻壤，乃代表点猿立 地服从肪( 正) 和胁( 4 ) 时的标准偏差，同样可以类似地理解( 4 1 3 ) 式户( 最) 的 糖壤意义。在该搂整孛，芦( 譬) 嚣q 8 ；) 筵嚣来决定系统孛( 零) 懿无廖疫。 双高斯型随机横向i s i n g 模型是一个广义的模型，宦既可以描述随机变 爨( 交换糕会参量鬻蘧懿横淘磁场) 疆麸遥续鍪穰率分毒翁情琵，又可戳臻透 它们服从离散型概率分布的情况。具体来说，当标准偏麓盯。_ 0 时，概率 密度分寒涵数( 4 1 2 ) 和4 。1 3 ) 都将纯戒黢模分蠢。这释条件下，芦= 0 5 或 第四章双高斯型随机横向i s i n g 模型 口= o 5 所对应的状态就是系统的最无序态。另一方面，当p = o 或q = o 时， ( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) 就是标准的高斯分布。在上章已经详细讨论过这种情况，并 得到以下结论：当随机外场的标准偏差盯。足够大时系统处于无序态。 由于本章所要研究模型的哈密顿量和第三章的相同，且所要计算的动 力学函数仍是自旋自关联函数及其谱密度。由( 2 1 9 ) 和( 2 3 7 ) 式可知计算所 得到的自关联函数c ( f ) 的矩及连分式系数的表达式应和第三章的相同，因 此这里不再赘述。 4 2 数值结果与讨论 本节将重点研究两种无序情况对该模型动力学性质的影响：一是交换 耦合参量无序，二是横向磁场无序。 4 2 1 交换耦合参量无序 在这种情况下，假设交换耦合参量 独立地服从双高斯分布( 4 1 2 ) 式，