（应用数学专业论文）求解偏微分方程的一类无网格算法及其应用.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文利用径向基函数在s o b o l e v 空间h 。( n ) ( 自 2 ) 中的插值性质，由一类特殊的径向 函数构成日1 ( n ) 空间中的一组基，得到求解偏微分方程边值问题的无网格算法，并针对散 乱数据的特点，给出计算整体稠密度h 的算法及如何通过加密节点使h 值缩小的一个可行 的方法，最后应用s o b o l e vs p l i n e s 径向基函数和紧支柱正定径向基函数进行了数值模拟 关键词：正定径向基函数偏微分方程的无网格算法 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rb ym e a u so ft h ei n t e r p o l a t i o np r o p e r t yo fr a d i a lb a s i sf u n c t i o n si nh 8 ( n ) ( k n 2 ) ，w eu s eak i n do fs p e c i a lr a d i a lf u n c t i o n st oc o n s t r u c tab a s i so f 日1 ( n ) ，a n dd e r i v ea m e s h l e s s m e t h o df o rs o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e m i a le q u a t i o n s w ea l s og i v ea na l g o r i t h mo fc o m p u t i n gt h ev a l u e o fg l o b a ld a t ad e n s i t yhf o rs c a t t e r e dn o t e sa n da ne f f e c t i v em e t h o dt or e d u c et h ev a l u eo fhb y i a c r e n s i a gt h en u w j o e ro fn o t e 8 f i n a l l ys o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ep r e s e n t e db yu s i n gs o b o l e v s p l i n e sa n dc o m p a c t l ys u p p o r t e dp o s i t i v ed e f i n i t er a d i a lb a s i sf u n c t i o n s k e y w o r d s ：p o s i t i v ed e f t n i t er a d i a lb a s i sf u n c t i o n s m e s h l e s sm e t h o do fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 复旦大学硕士学位论文 前言 在应用或工程数学中经常要用函数来描述所考察的变量的变化规律，且常通过求解方 程( 很多情形是偏微分方程) 来确定所要建立的函数关系。应用或工程数学的一个非常重 要的任务就是如何定量化地求解这些偏微分方程。 偏微分方程需要在一个合适的函数空间中求解，而为了离散化的需要，还必需利用所 考察的函数空间的一组基。最熟悉的是多项式函数空间，它是用一个简单的函数9 7 , 及自身 的各次乘积z “作线性组合而得到的。还有三角多项式函数空间，它足用一个简单的波函数 e ”及自身的各次乘积e ”。作线性组合得到的。它们都具有只用一个函数来生成函数空间、 而又可以逼近几乎所有的函数的优点。但这些古典的函数空间也有其缺点，这两个函数空 间都刚性太强，一个地方的小扰动会在远处产生非常大的影响。 在上一世纪六、七十年代，样条函数开始流行，并且被广泛地接受。简单的说，样条函 数就是分段或分片多项式，它既有多项式表示简单并且可以逼近几乎所有函数的优点，又 改正了多项式刚性太强的缺点。被广泛应用于偏微分方程数值解的有限元方法就是用分片 多项式去逼近微分方程的解。但是样条函数基也有其缺点，特别是对于多元散乱数据，样 条函数基的表示就十分复杂，如果还要求函数高阶连续，那么其构造更加困难。这是为什 么很难看到用有限元方法求解高维及高阶偏微分方程问题的例子。 那么在高维及高阶情形应该选取什么样的函数空间及其基呢? 近年来发展起来的用径 向函数m ( ) = 咖( ”m 的适当平移张成的径向基函数空间，在一些实际应用中表现出很好的 效果 径向基函数的最早来源可能是k r i g e 在1 9 5 1 年把矿藏的沉积看作是一个各向同性的稳 定的随机函数的实现，从而导出了广泛应用于矿藏分析的k r i g e 方法。1 9 7 1 年h a r d y 用 m u l t i q u a d r i c 径向基函数来处理飞机外形设计的曲面拟合问题，取得非常好的效果。 1 9 7 5 年d o u c h 从样条弯曲能最小的理论出发导出了多元问题的薄板样条。这些从不同领域导出 的方法，实际上都是径向基函数的插值方法。自此人们对径向基函数进行了广泛的研究， 针对径向基函数的插值以及径向基函数空间的性质，主要有下面的研究工作： 1 径向基函数插值的收敛性与收敛速度，主要结果是由m a d y c h & n e l s o n ，w u & s c h a b a c k 得到的，见1 1 1 7 ，1 8 ，1 9 1 。 2 径向基函数的计算稳定性问题，也就是最后所得的线性代数方程组的系数矩阵的条 件数问题，主要工作见n a r c o w i c h 等的【2 0 ，2 1 及s c h a b a c k 的 1 0 ，2 2 。 3 正定或条件正定径向基函数的数学性质的讨论，见 1 6 ，2 3 径向基函数插值已经大量地应用于地质勘探、外形设计等领域，径向基函数空间也应 该在偏微分方程数值解方面有很好的应用利用径向函数进行插值在大多数文章中是在下 面的函数空问 耻引；= 上。群虾。) 复旦大学硕士学位论文 中考虑的。这里壬是径向函数，壬是其f o u r i e r 变换，而g 是空间r 中的任一元素，斧 是其f o u r i e r 变换。r 称为关于圣的”n a t i v ef u n c t i o ns p a c e ”。然而，对于光滑的径向函 数西，这样的函数空间岛是很小的，且要求被逼近函数相当光滑，大大地限制了应用的 范围。不少文章中直接用径向基函数代入偏微分方程求解，如在 1 4 l 中用m q 方法求解具 有d i r i c h l e t 或n e u m a n n 边界条件的椭圆型偏微分方程，其数值结果相当满意，但缺少理论 依据本文从求解偏微分方程的角度出发，在被逼近函数1 2 属于更广的函数空间如s o b o l e v 空间h ( n ) ( g ) 时，利用一类特殊的径向基函数插值理论，提出求解一类偏微分方程边 值问题数值解的无网格算法 本文主要由以下几部分组成：在1 给出了有关径向基函数的准备知识及主要结果。在 2 利用径向基函数构造了空间h 1 ( q ) 中的一组基。在3 针对p o s s i o n 方程的第三边值问 题，利用g a l e r k i n 方法导出了方程的真解u 与近似解u 的误差怕一u | i 及真解u 与其插 值s 。的误差一s 。| | 之间的关系，并利用引理1 的结果，建立了用无网格算法求解偏微分 方程边值问题的相应理论。在4 给出计算区域n 中整体稠密度h 的算法及如何通过加密 节点缩小 值的一个可行的方法。在5 用具体的径向基函数作相应的数值模拟，并得到若 干结论。 2 复旦大学硕士学位论文 1 准备知识 针对散乱数据插值的径向基函数是一个非常有用的工具：i ) 便于对被逼近函数u 进行 估计；i i ) 只要函数u 充分光滑，它的逼近阶是令人满意的；i i i ) 在选择径向基函数方面有 相当大的灵活性。 给定一连续的实值函数亚：舻- r ，垂称为是径向的，若满足 圣( z ) = ( j | z j ) ，v z 耐，( 1 1 ) 3 这里( ) ： 0 ，+ 。) _ r 为单变量的函数，”| | 是指通常的欧几里得范数。 定义1 径向函数垂称为是 ( i ) n 维空间的正定函数，是指对于任意给定的元素两两不同的点集x = 。l ，x 2 ，。) 咿及 = ( 1 ，a 2 ， ) r 0 ) ，二次型 勺1 1 ) 0 ( i i ) n 维空f 司的m 阶条件正定函数，是指对于任意给定的元素两两不同的点集x 1 ，z 2 ，z ) 舻及a = ( l ，a 2 ，a ) 皿 o ) ，且满足甚l 哼= 0 ，v 酬 0 显然零阶条件正定函数就是正定函数。 给定区域q c 舻上元素两两不同的点集x = z 1 ，x 2 ，z ) ( 甄n ，1 is n ) 及光滑 函数u 在这些点上的值“( z ：) ( 1 i n ) ，构造如下形式的插值函数 使其满足 5 。( ) = 垂( 或一。，) = “( q ) ( 1 i ) ， ( 1 3 ) j = 1 这儿圣：舻_ 皿是正定的径向函数( 见定义1 ( i ) ) 。由于d “( 圣( z 。一码) ) 0 ，形如( 1 2 ) 一( 1 3 ) 的插值问题的解是存在且唯一的。 对于m 阶条件正定径向函数，把插值方程( 1 2 ) 作适当的修改，添加上一个多项式，成 为 _ s 。( 。) = b 垂( 。一q ) + 肛p 护， ( 1 4 ) 露 b a 皿 曲 z b a 饵 ol e ia ：叵 = zs 复旦大学硕士学位论文 使其满足 s 。( q ) = e 圣( 跏一z j ) + 脚z ? = “( ) ( 1si ) ( 1 5 ) j = l n 2 ，而c l ，c 2 是正常数，则对u 与s 。之间的误差，有下面的 引理1 ( 见【2 1 ) 令n 是舻中具有l i p s c h i t z 连续边界的有界区域，对任意给定的“ h ( n ) ( ；) ，札( z ) 为形如( 1 2 ) 一( 1 3 ) 或( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的u 在q 上的插值函数，则存在常数 h o 0 ，只要成立h h o ，这里的h 由( 1 7 ) 定义，就有以下的插值误差估计： 0 u s 。l l 打z ( n ) 茎c h 一。j l u l l h i , ( n ) ( o 茎is ) ， ( 19 ) 这里c 为一个与 及“均无关的正常数。 4 复旦大学硕士学位论文 2 利用径向函数构造日1 ( q ) 中的一组基 本节应用引理1 的结论，由正定径向函数来构造日1 ( n ) 中的一组基。首先引出下面的 引理2 给定qc 妒土两两不同的点集x = z 1 ，x 2 ，x n ) ，则对任意的= ( f 1 ，p ) 科， e 。1 ，p ，e 2 2 ，p ，e 0 ，而i 竺l a j e i 向，f | 2 是连续函数，就有 - 。、a ，e z ( q ) ；0 j = l 从而由引理2 ， a l = a 2 一a no ，故( 妒( 1 l x 一码) ) 整l 线性无关。 其次证 妒( 1 l x z 1 1 1 ) ，庐( 忪一z 2 1 1 ) ，庐( 忪一。n i i ) ，) 中元素的有限的线性组合的全体 在日1 ( n ) 中稠密。因为q 为具有l i p s c h i t z 连续边界的有界区域，e o 。( q ) 在日1 ( n ) 中稠密， 从而 v “日1 ( n ) ，v 0 ，刁却c o 。( n ) ，s t u 一口| f 日1 m 1 茎e 2 ， ( 2 8 ) 因画( ) 满足( 18 ) ，由引理1 可知，必存在适当小的h o ，当h o ( n 足够大) 时，对 u c 。0 ( q ) ，存在s 。s p a n ( 1 z 一2 7 1 i i ) ，( 忙一z 2 j ，咖( 忙一z ”，使得 i i u s ”i i h - ( n ) c h f li i ”1 1 日( n ) e 2 这就有 | “一如ij h ，( | | 一v l b ，( m + l l 口一如j j 日，( n ) se 口 7 复旦大学硕士学位论文 3 用无网格法求解偏微分方程的边值问题 本节利用径向基函数在有界区域qc 砂上求解下述p o s s i o n 方程的第三边值问题 其中r 是区域n 的边界，三2 ( n ) ( 更一般地，可设，日1 ( n ) 的对偶空间) 。 记h = l 2 ( n ) ，v = 日1 ( n ) 今 咖、”) = v u v v d f 2 + , f a u 汕，v u ，”k f ( v ) = f v d n ，v v v 问题( 31 ) 一( 32 ) 相应的变分问题为：求“v ，使得 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( “，u ) = f ( u ) ，v v 矿( 3 5 ) 由( 3 3 ) 和p r i e d r i c h s 不等式，并注意到 0 ，易见 刮2 正i v u 阳n 十。上铲如，nj r 圳“临f n ) ( 3 6 ) 其中，y 是与u 无关的正常数；且在“伽 0 时，7 可取得只与o o 有关，而与a 无关。 再由( 3 3 ) ，有 n ( “，u ) i f f v u l z ( n ) t l v v i i l 。( n ) + a i i u i l 。( r ) l l l l l ：( r ) 假定n 的边界r 为l i p s c h t i z 连续，由迹定理知 l l i fl t ( r ) c ( n ) | l l l h t m ) ， 其中c ( n ) 是一正常数。故有 o ( “，v ) l 1 1 w , i i l 。( n ) i i w l i l 。( n ) + n c 2 ( a ) i n i i h - m ) i i v l i h - ( n | | u i f h ，( n ) i i f f 圩一( n ) + a c 2 ( a ) l b l l h ，( n ) i i 刘1 h ( n ) s 彳1 1 “l i h - ( n ) i f | h - ( n ) 这里m = 1 + 。c 2 ( n ) ，因此n ( ，) 是矿v 上的一个连续且对称正定的双线性泛函，而f ( ) 显然是v 上的一个连续线性泛函。由l a x m i l g r a m 定理，存在唯一的u v 满足( 3 5 ) 式。 这就证明了问题( 3 1 ) ( 3 2 ) 的弱解“v 的存在唯一性。 8 数常 0o n r m 叫o = = u o+ 一 一地乩 ，、l 复旦大学硕士学位论文 为了求( 3 5 ) 的数值解，利用g a l e r k i n 方法，取v 的一个基 也) 罄，再取其截断( 咖) 墨， 作为v 的有限维的子空间喙的一组基底。对于任意给定的u n 喙，均可由的基唯 一线性表出，即 “= 勺咖( z ) ， ( 3 7 ) j = 1 其中c j ( 1s j n ) 为某些常数。 若_ ，且满足 a ( u v ，”) = f ( 口v ) ， v v n h ，( 3 8 ) 则称t 是( 3 5 ) 的近似解。 将( 3 7 ) 代入( 3 8 ) 并分别取v n 为哦( 江l ，) ，有 点善n 咖v 蛐十z 蚤n c j v 勺毗妒i d s = 胁舯， 上暑们蜊阱上著嗍 胁肌汪l m 从而 薹叼勺2 上触艘，b 1 国9 其中 皇。c也，奶，：v妒ydg+fraij 。哦咖d s 皇o ，奶) =n 哦咖 下证( 39 ) 的系数行列式d e t ( a i j ) 0 ，从而( 3 9 ) 有唯一的解( c i ，e ) ，即( 3 8 ) 有唯一 的解 首先易见( ) 是对称的，且对任意非零向量( d l ，d 2 ，d ) t ，二次型 ，毛n。：vwe，)2dlid d j q + 上巾) 2 出 。z = q + 止a ( u 】v ) 2 d s t j = 1 。1 0 ， 其中w n = 墨1 d i 妒i 。但若 a i j d i d j = 0 ， 即 上m 舻d q + 上巾) 2 扣。， 易知 9 复旦大学硕士学位论文 故( d l ，d 2 ，一，d ) t = 0 ，矛盾。从而可知( 叼) 是正定的。于是d e t ( a 0 ) 0 ，方程( 3 8 ) 有 唯一的近似解u n 。 下面考虑真解u 与近似解u 的逼近程度。因为h 为v 的子空间，由( 3 5 ) 有 将此式与( 3 8 ) 式相减，就得到 o ( “，v n ) = f ( v n ) ， v v n h o ( “一u n ，v n ) = 0 ，v u h 即u u n 在。( - ，) 意义下与空间啊正交 由于。( ，) 的双线性性和正定性，有 u 一“| l 备。( n ) ：。( u - - t , n , u - - u n ) ， = ；。( u 一“，u 一”) + 。( u - - i t n , v n - - u n ) = ；。( u 一“- v ，u 一口) m 。i i - t n t t 日- ( n ) 1 l u 一”l i h ，( n ) ，铷 于是 ，r 忙一“_ v 慨n ) 曼号。 味l i u 一”_ 慨n ) 茎g l l u s u i i ，( 蛳 ( 3 l o ) 这里s 。是“在嗡空间的插值函数，而c 与。有关，且在a2o t o 0 时，c 可取为o t 的 一次函数。 这就得到 命题近似解t a n 与真解u 之间的误差l l “一“怕n ，被真解u 与其插值解8 。之间的 误差l l “一s 。怯- n 所控制。 这一命题对于一般的基都成立。由定理l ，给定n 中元素两两不同的点集x = 知l ，。2 ， x n ， ，且设_ 0 ( - - + 。) ，并设正定径向函数的f o u r i e r 变换圣( ) 满足( 1 8 ) ， 那么 西扛一巧) ) 嚣1 组成y 的一个基。y 的有限维予空间h 取为 圣( 。一) ) 墨，的截断 圣( z 一叼) ) 墨。张成的空间。此时仍成立( 3 i 0 ) ，只是这里的s 。是u 利用正定径向基函数在 空问中的插值函数。 再结合引理i 我们就得到下面的 定理2 假设变分问题( 3 5 ) 的解日。( n ) ch 1 ( q ) ，其中k ；，而“v n 是变分 问题( 3 8 ) 的解，这里v n = s p a n 圣( z 一飘) ) 墨1 ，又设垂( 。) 为正定径向基函数，且中( ) 满足 ( 1 8 ) 。则存在适当小的h o 0 ，当h n h o 时，有下面的误差估计： 一i i h ( n ) sg 妒1 l l “i i h k ( n ) ， ( 3 1 1 ) i 0 复旦大学硕士学位论文 这里c 是与h n 和u 无关、而仅与q 有关的正常数。 这个定理表明：如果广义解具有较高的光滑性，那么用无网格方法求得的近似解不仅 收敛，而且可以估计出它与真解的误差阶。事实上，这个阶不仅取决于径向基函数的f o u r i e r 变换在无穷远处的收敛速度，而且也依赖于解的光滑程度。显然，当u 日( q ) ( 1 ) 时， ( 3 1 1 ) 式是有意义的。若只知道解u 属于日1 ( q ) ，则( 3 1 1 ) 不能在误差估计中出现h _ 】v 的阶 数，但由定理1 的最后一部分的讨论，知此时仍有无网格解的收敛性 复旦大学硕士学位论文 4 整体稠密度h 的算法及散乱节点的加密方法 由于在误差估计( 3 1 1 ) 中右端项依赖于整体稠密度h ，其中h 由( 1 7 ) 定义；而若只在 区域n 中的某处加密节点，并不能使得 减小。本节要研究h 值的算法以及如何加密节点 使得h 值减小。 我们要根据节点在区域q ( c 舻) 内的分布来求 。一维情况较简单，我们只需要求出 包括两边界点在内的两两相邻的节点之问的距离，其最大距离的一半即为 。下面我们主 要研究二维情形。 一、节点具有规则分布的情形 1 设节点组成区域q 内的矩形单元r ( 见图4 1 ) ： 1 1 11 t = 扛r 一言 1 ，z t4 - - ；a h l l 恼，一言 2 ，y ，+ 言 2 ， -。 这儿( ，珊) 是r 的中心坐标，a h l 和 2 是r 的横向和纵向尺寸。 f m 一1 j 一、 2 图4l 由h 的定义易知，此时 为矩形单元对角线长的一半，即 h = ：抓西爵耳厮 若要将节点加密使h 值减小到原来的一半，只需连接原来的矩形单元对应边的中点得到四 个相等的小矩形单元，所有小矩形单元的顶点就是加密后的所有节点。 2 节点组成区域n 内的正三角形单元( 见图4 2 ) 。 就有 图4 , 2 显然此时正三角形单元的重心到顶点的距离即为h 。记正三角形单元的边长为 ：娑九 1 2 复旦大学硕士学位论文 若要将节点加密使 值减小到原来的一半，只取两两连接原正三角形单元的各边的中点得 到四个相等的小正三角形单元，所有小正三角形单元的顶点就是加密后的所有节点。 二、节点在区域n 上散乱分布的情形 当节点在区域n 中散乱分布时，我们不能直接求出h 的精确值，但可求出 的近似值 h 。思想如下：先把区域q 剖分为均匀正交网格，求出每个网格点与所有的节点之间的距 离的最小值，再从这些最小值中找出最大值即为h 。下面证明当网格剖分越来越细时，这 种方法的确给出h 的足够近似的值h 。 首先设区域q 是矩形区域 q = a ，6 c ，司， 这里b o ，d c ，而a ，b ，c ，d 是给定常数。对ncr 2 上给定的元素两两不同的点集 a = o l ，a 2 ，a n ) c nc 醒 对矩形区域n 作均匀正交网格剖分 孔= o + l a x ，i = 0 ，1 ，m 鲫= c + j a y ，j = 0 ，1 ，一，； 这里z 和a y 分别表示。轴和y 轴方向网格剖分的步长，而m a x = b a ，n a y = d c ； 再对所有的网格点重新按顺序排列，得到点集 b = ( b k k = 1 ，( m + 1 ) ( + 1 ) ) 记 h ：2 6 m a 曰x q m i n a | | 6 k 一。j | l ， 则可证明 i h h 。i = o ( m a x ( a x ，g ) ) 事实上，由h 的定义( 1 7 ) 知，必存在一点z o = ( 。：，g ：) n 及一个节点a j 。a ( j o l ，2 ，) ) ，使得 h = 1 i z o a j 。m 且在以点。o 为圆心、h 为半径的圆内无其它节点。由h 及h 的定义易知 h 警o ； ( i i ) 当节点z l ，x 2 ，x 3 ，x 4 全部位于n r l r 2 r a r 4 之外，则有h 警o ； ( i i i ) 当节点。l ，x 2 ，z 3 ，z 4 位于a ，b ，c ，d 四个顶点时，有h = 以o ；当节点x l ，z 2 ，x 3 ，z 4 位于四个小正方形的中心时，有h = 警n 。 故有 半 0c ( 札，卢) l i i i 一( n + 芦) e i | f “ r b ，卢德 o 2 n t h i n - p l a t es p l i n e s c ( n ，p ) r ”口 r b l o g r ，卢2 n s o b o l e vs p l i n e s k b 一。，2 ( r ) r 9 一“2 ， 2 c ( n ，卢) ( 1 + 旧n 一口 km a c d o n a l d 函数 紧支柱正定 ( 1 一r ) 呈p ( r )( 1 + i ) 一“一2 一1 却( r ) = l 这里c ( n ，卢) 表示与n ，卢有关的常数，o p = 1 表示1 次多项式由表i 中可见s o b o l e vs p l i n e s 正定径向函数和紧支柱正定径向函数的f o u r i e r 变换满足( 1 8 ) ，可构成日1 ( n ) 中的一组基， 因此可用于求解p o s s i o n 方程的第三边值问题 当卢一2 = 8 + 1 2 时，其中s 是非负整数，s o b o l e vs p l i n e s 径向函数中的m a c d o n a l d 函数有具体的表达式( 见 2 4 p i 0 的( 4 3 ) 式) 蚝+ l ，2 ( r ) = ( - 1 ) 。( 杀) 1 2 r s + l ( 未) 5 等 ( 5 1 ) 由( 5 1 ) 给出两个具体的s o b o l e vs p l i n e s 径向函数 乒1 ( r ) 圭e - r ( 3 + 3 r + r 2 ) ( s = 2 )( 5 2 ) 和 也( r ) 兰e - - v ( 1 0 5 + 1 0 5 r + 4 5 r 2 + 1 0 r 3 + r 4 ) ( s = 4 ) ，( 5 3 ) 它们均满足( 1 8 ) 式，可选用它们进行数值模拟。这里圭表示相差一个常数相等 而对于紧支柱径向函数，在文章【8 - 1 2 中研究了它们的构造及其性质，并列出了一些具 体的紧支柱正定径向基函数。这里选用如下两个紧支柱正定径向基函数 咖( r ) = ( 1 一r ) ；( 1 十3 r )( 5 4 ) 和 曲4 p ) = ( 1 一r ) ；( 6 + 3 6 r + 8 2 r 2 十7 2 r 3 + 3 0 r 4 + 5 r 5 )( 5 5 ) 1 6 基里盔堂亟主堂焦堡塞 ， 一一一1 7 进行数值算例。 首先考虑一维p o s s i o n 方程的第三边值问题 u z 。= 1 ，z ( 一l ，1 ) 。( 一1 ) 一2 “( 一1 ) = 0 ， ( 5 6 ) i “。( 1 ) + 2 u ( 1 ) = 0 问题( 5 6 ) 的精确解为 u ( z ) = i 一0 5 x 2 ，。f - i ，i i ( 5 7 ) 取如( 5 2 ) 所示的s o b o l e vs p l i n e s 正定径向基函数币1 ( r ) 和如( 5 4 ) 所示的紧支柱正定径向基 函数咖3 ( r ) 构造h 的基，分别得到在h 空间的近似解为 及 n i t 2 ( z ) = 勺( 1 其中o = j z q f ，z - 1 ，1 ，z j 是【一1 ，1 中给定的节点，n 是节点个数，c j0 = 1 ，) 为待定常数。 表2 一维情形 i t , u ( z )i t l l ( 。) u 1 2 ( x ) u 1 3 ( z )_ l t 2 1 ( f l ：) l t 2 2 ( 1 r ) i t 2 3 ( x ) l0 5 0 0 00 5 0 0 10 5 0 0 10 5 0 0 00 5 0 0 2 0 5 0 0 1 0 5 0 0 1 0 7 50 7 1 8 80 7 1 3 907 1 5 60 7 1 8 90 。6 9 5 60 7 1 6 40 7 1 8 9 一o 50 8 7 5 00 8 7 9 00 8 7 8 60 8 7 5 40 8 7 7 90 8 7 4 20 8 7 4 7 0 2 509 6 8 80 9 6 9 60 9 6 8 90 9 6 8 00 9 4 3 10 9 6 9 50 9 6 8 7 0i 0 0 0 00 9 9 5 6 0 9 9 6 4 1 0 0 0 5 0 9 9 8 30 9 9 6 31 0 0 0 4 o 2 5o9 6 8 809 6 9 60 9 6 8 9o 9 6 8 90 9 4 3 1o 9 6 9 5o 9 6 8 7 0 508 7 5 00 8 7 9 00 8 7 8 608 7 5 4o 8 7 7 90 8 7 4 20 8 7 4 7 0 7 50 。7 1 8 807 1 3 90 7 1 5 60 7 1 8 90 6 9 5 60 7 1 6 40 7 1 8 9 10 5 0 0 00 5 0 0 10 5 0 0 10 5 0 0 00 5 0 0 20 5 0 0 10 5 0 0 1 0 2 50 2010 2 50 201 e r r 0 0 10 ，0 0 7 60 0 0 1 300 4 9 l0 0 0 5 50 0 0 0 7 e r r l0 0 0 4 90 0 0 3 6 0 0 0 0 70 0 2 5 700 0 3 70 0 0 0 4 e r r 20 6 7 o 4 3 00 7 3 2 2 o 3 7 0 0 4 哼 + 0 3 +3 q e 勺 矧 j j o 复旦大学硕士学位论文 表2 是采用等距节点分布并让 减小分别得到的近似解 u 1 i ( z ) 和u 2 i ( x ) ( i = l ，2 ，3 ) 和真 解( 5 7 ) 在一些给定点的数值及误差。这里e r r 表示铲范数误差，e r r l 表示最大绝对值误 差，e r r 2 表示最大相对误差( 下同) 。 从表2 中可看出；采用s o b o l e vs p l i n e s 径向基函数和紧支柱正定径向基函数去求解，随 着h 的减小，误差不断减小，其数值解趋于真解。且从表2 可见，采用s o b o l e vs p l i n e s 径向 基函数当h = 0 2 ，即只有6 个节点时，真解与数值解之间的最大相对误差已达到o 4 3 ； 而且随着h 的进一步减小，它们的误差也减小。当h = o 1 ( n = 1 1 ) 时最大相对误差达到 0 0 7 ，这结果是相当好的，其数值解差不多可看作真解。同样，采用紧支柱正定径向基函 数，当h = o 1 时最大相对误差达到o 0 4 ，这结果也还是相当好的。 其次考虑二维p o s s i o n 方程的第三边值问题 f 。一u = ( 6 ( 2 ：三2 ) 一4 ( z 6 + 9 6 ) ) e 一扛4 + 矿2 i nn ( 5 8 ) 【器+ 2 u = oo na q ， 、 这里丽o u 表示单位外法向导数，而n 取为矩形区域 q = 一1 ，1 - 1 ，1 ， 其边界a n 是由四条直线段组成： a n = ( 扛，可) l 。= 一l ，1 ，一l ys1 ；y = 一1 ，1 ，1sz 1 ) 问题( 5 8 ) 的精确解为 “：e 一掣，( z ，) 一1 ，1 一1 ，1 ( 5 9 ) 对节点分布分两种情形讨论。首先考虑n 上等距正交网格形成的节点 ( 黝，”) = 一1 + i a h ，的2 1 + j h ；i ，j = o ，1 一，焘) ， 此时易知 一 h ：宰龇 取如( 5 2 ) 所示的s 0 b o l e vs p l i n e s 径向基函数机( r ) 和( 5 5 ) 所示的紧支柱正定径向基函数 曲4 构造哳空间中的基，分别得到在空问中的近似解为 1 8 哼 + 0 3+3 q e 勺 芦 | | y 笛u 哼 5 + 哆 03+ 哼 27+ 哼 28+ 勺 63+6 6 +吩 一l 勺 问 | l 可 o 及 复旦大学硕士学位论文 其中r j = f = i f 干西可，而( 。，g ) - 1 ，1 卜1 ，1 】，( 巧，协) 是n 中给定的节点， 是节点个数，勺( j = 1 ，) 为待定常数。 表3 给出了根据h 的不同值所分别得到的近似解函数u 3 1 ( ，y ) 和u 4 i ( z ，口) ( i = 1 ，2 ，3 ) 与 真解( 5 9 ) 在一些给定点的数值及误差。 表3 二维均匀网格分布 g yu ( z ，y )u 3 l ( 茁，y )u 3 2 ( x ，y ) “3 3 ( 茁，y )“4 l ( 。，y )“4 2 ( 茹，y )u 4 3 ( 正，y ) 一l一10 3 6 7 9 o 3 0 6 60 3 5 6 30 3 5 8 10 3 8 6 40 3 6 9 40 3 6 7 4 - 0 510 5 8 7 90 5 8 2 30 5 9 5 40 5 9 4 40 6 0 6 9 0 5 8 9 50 5 8 7 8 010 6 0 6 50 6 4 8 7 06 0 0 806 0 0 90 6 2 1 20 6 0 5 80 6 0 6 3 0 5 10 5 8 7 9 0 5 8 2 505 9 5 405 9 4 40 6 0 6 90 5 8 9 50 5 8 7 8 l一10 3 6 7 90 3 0 6 70 3 5 6 30 3 5 8 10 3 8 6 40 3 6 9 4 0 3 6 7 4 l一0 50 5 8 7 90 6 4 5 9 o 5 9 4 8o 5 9 4 00 6 0 6 90 5 8 9 50 5 8 7 8 10 0 6 ( 6 50 5 3 3 80 6 0 1 50 6 0 1 60 6 2 1 20 6 0 5 80 6 0 6 3 10 50 5 8 7 906 4 6 00 5 9 4 80 5 9 4 00 6 0 6 9 0 5 8 9 5o 5 8 7 8 l10 3 6 7 9o 3 0 6 6 03 5 6 303 5 8 t0 3 8 6 40 3 6 9 40 3 6 7 4 0 510 5 8 7 9 0 5 8 2 40 5 9 5 40 5 9 4 4d 6 0 6 90 5 8 9 50 5 8 7 8 o 10 6 0 6 506 4 8 70 6 0 0 806 0 0 9o 6 2 1 20 6 0 5 80 6 0 6 3 0 510 5 8 7 90 5 8 2 40 5 9 5 40 5 9 4 40 6 0 6 90 5 8 9 50 5 8 7 8 1103 6 7 90 3 0 6 703 5 6 30 3 5 8 10 3 8 6 4 0 3 6 9 40 3 6 7 4 10 5 05 8 7 9o 6 4 6 00 5 9 4 80 5 9 4 00 6 0 6 90 5 8 9 50 5 8 7 8 100 6 0 6 50 5 3 3 80 6 0 1 50 6 0 1 60 6 2 1 20 6 0